3.1. A Poisson-eloszlás

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3.1. A Poisson-eloszlás"

Átírás

1 Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a fejezetbe a leggyakrabba előforduló valószíűség-eloszlásokat tekitjük át. Megjegyezzük, hogy a matematikai statisztika irodalma jóval több valószíűségeloszlást tart yilvá. Természetese mide eloszlás em adható meg, de elegedőe sok eloszlás közül választva szite mide eloszlás jól közelíthetõ A Poisso-eloszlás A Poisso-eloszlás egyike a méröki gyakorlatba és az iformatikába leggyakrabba megjeleő valószíűség-eloszlásokak. Eek elleére az előző fejezetbe tárgyalt eloszlásokhoz képest csak jóval összetettebb matematikai modellekbe mutatható be. Legegyszerűbbe a biomiális eloszlásból kiidulva juthatuk el a Poisso-eloszláshoz. Bizoyos meyiségű yersayagból m számú terméket készíteek. Az összes yersayagba számú szeyeződésszemcse va. Mi a valószíűsége, hogy egy termékbe potosa k szemcse kerül? Ez a kérdés például akkor válhat léyegessé, amikor bizoyos számúál több szeyeződésszemcsét tartalmazó termék selejtek tekitedő. Leegyszerűsítve így fogalmazhatuk: számú szemcsét kell elhelyezi m dobozba. Mi a valószíűsége, hogy egy dobozba k számú szemcse jut? Aak a valószíűsége, hogy egy adott szemcse egy adott dobozba kerül p = 1/m. Így a biomiális eloszlás képletét haszálva: k p k 1 p k aak a valószíűsége, hogy k szemcse jut egy dobozba. Ez a valószíűség egy hosszabb gyártási periódusba érdekes, amikor m agyo agy, de az egy termékre jutó szeyeződésszemcsék /m száma em változik. Legye λ = /m. A lim k λ k 1 λ k határérték kiszámításához részletese kiírjuk a biomiális együtthatót, és egy kicsit átalakítjuk: 1... k + 1 k λ k 1 λ 1 λ k k! 1

2 3. FEJEZET. NEVEZETES VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK Itt az első tört és az utolsó téyező egyhez tart, a középső -től függő téyező pedig e λ -hoz egy evezetes határértéktétel szerit. Tehát: λ paraméterű Poisso-eloszlásak evezzük a p k 1 p k λk k k! e λ P ξ = k = λk k! e λ, ahol k = 0, 1,... és λ > valószíűség-eloszlást. Lejjebb megmutatjuk, hogy λ az eloszlás várható értéke. Amit így kaptuk, az a Poisso-féle határértéktétel: 3.1. tétel: Poisso-féle határértéktétel A p sikervalószíűségű biomiális eloszlás Poisso-eloszláshoz tart, ha az alteratíva ismétléséek száma tart a végtelehez úgy, hogy eközbe a biomiális eloszlás várható értéke p álladó marad. Más szóval, ha agy p-hez képest, akkor a biomiális eloszlás Poisso-eloszlással közelíthető. A Poisso-eloszlásra voatkozó több kérdésre a geerátorfüggvéy módszere hatékoya haszálható. Ha egy diszkrét valószíűségi változó csak pozitív egész értékeket vesz fel, akkor geerátorfüggvéye Gz = P ξ = z =1 hatváysorral adott, feltételezve, hogy a G összegfüggvéy létezik. Mide esetre z < 1 eseté a hatváysor tetszőleges diszkrét eloszlásál létezik. A Poisso-eloszlás geerátorfüggvéye mide z IR eseté értelmezve va. Gz = e λz példa: Haszáljuk a geerátorfüggvéyt a Poisso-eloszlás várható értékéek és szóráségyzetéek kiszámítására! Akkor ból differeciálással és z = 1 helyettesítéssel kapjuk, hogy G 1 = P ξ = = Mξ, és ismételt differeciálással Ebből G 1 = =1 P ξ = 1 = Mξ Mξ. =1 ξ = G 1 + G 1 G Most alkalmazzuk a és általáos képleteket a Poisso-eloszlásra: G z = λe λz 1, G z = λ e λz 1.

3 3.. AZ EXPONENCIÁLIS ÉS A GAMMA-ELOSZLÁS 3 A λ szám tehát a Poisso-eloszlás várható értéke és egybe szóráségyzete. A következő, a gyakorlatba agy jeletőségű tétel bizoyítása ismét a geerátorfüggvéy módszere alapul. Azt a köye kiszámítható állítástfogjuk felhaszáli, hogy függetle, egész értékeket felvevő valószíűségi változók összegéek geerátorfüggvéye az összeadadók geerátorfüggvéyéek a szorzata. 3.. tétel: Ha ξ 1 és ξ λ 1 ill. λ paraméterű Poisso-eloszlású függetle valószíűségi változók, akkor ξ 1 + ξ ugyacsak Poisso-eloszlású, és paramétere λ 1 + λ. Bizoyítás: ξ i geerátorfüggvéye G i z = e λ iz 1 i = 1, szerit. ξ 1 + ξ geerátorfüggvéye G = G 1 G, azaz Gz = e λ 1z 1 e λ z 1 = e λ 1+λ z 1. Ez pedig éppe egy λ 1 + λ paraméterű Poisso-eloszlás geerátorfüggvéye. A Poisso eloszlást a biomiális eloszlásból, aak speciális esetekét kaptuk meg. Komoly előye, hogy em kell ismeri a p valószíűséget, -et, a kísérletek számát, csak λ-t. Poisso eloszlás eseté aak a valószíűsége, hogy a siker száma k vagy aál több legye [ P ξ k = 1 e λ 1!λ + λ! + + λk 1 k 1 Ez a kifejezés olya gyakra fordul elő, hogy külö eve is va:,,poisso féle expoeciális függvéy, és értékeit táblázatba foglalták. Jól haszálható időegység alatt bekövetkező eseméyek számáak, terület egységre eső potok számáak, készletezési, sorba állási, radioaktív atomok bomlásával kapcsolatos valószíűségek leírására.] 3.. Az expoeciális és a gamma-eloszlás Az expoeciális eloszlás már az előző fejezetbe is felbukkat, sűrűségfüggvéye f : x exp λx, ahol λ pozitív paraméter. Az expoeciális eloszlás várható értéke λ 1. A tipikus expoeciális eloszlású valószíűségi változó egy olya véletle időtartam, amely ha egy x időpotig em ért véget, akkor úgy tekithető, mitha az egész folyamat csak az x időpotba kezdődött vola: P ξ x + y ξ x = P ξ y 3..1 Ez midig teljesül egy expoeciális eloszlású ξ valószíűségi változóra. Szavakkal úgy fejezzük ki, hogy az expoeciális eloszlásak icse emlékezete, 3..1 bizoyításához a valószíűségeket ki kell fejezi az eloszlásfüggvéy segítségével: P ξ x + y ξ x = P x ξ x + y P x ξ = e λx e λx+y e λx = F ξx + y F ξ x 1 F ξ x = 1 e λy = F ξ y = P ξ y.

4 4 3. FEJEZET. NEVEZETES VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK Bizoyítható, hogy csak az expoeciális eloszlásak ics emlékezete a sűrűségfüggvéyel redelkező folytoos eloszlások között. Expoeciális eloszlás alkalmazható például radioaktív bomlási folyamatok sorá, és olya meghibásodásra, élettartamra voatkozó problémák esetébe, ahol a meghibásodás em az öregedésből, haem pl. valamilye véletle igadozástól, behatástól függ. Az expoeciális eloszlás befoglalható a gamma-eloszlások családjába. Legye α és β pozitív paraméter. A gamma-eloszlás a gamma-függvéyről kapta a evét, mivel defiíciójába a gamma függvéy szerepel. A gamma függvéyre voatkozó legfotosabb ismeretek a függelékbe megtalálhatók. Az α-dredű gamma-eloszlás sűrűségfüggvéye fx = { 1 β α Γα xα 1 e x/β ha x > 0, 0 külöbe. 3.. Kiszámolható, hogy a gamma-eloszlás várható értéke αβ és variaciája αβ. Az α = 1 választás vezet az expoeciális eloszláshoz. A gamma-eloszlás mometumgeeráló függvéye t > β eseté va értelmezve és mt = 1 βt α t > β tétel: Ha a ξ 1, ξ,..., ξ valószíűségi változók függetleek és ξ i gamma-eloszlású α i és β paraméterrel 1 i, akkor ξ 1 +ξ +...+ξ ugyacsak gamma-eloszlású, α 1 +α +...+α és β paraméterrel. Bizoyítás: A mometumgeeráló függvéy módszerét haszáljuk szerit ξ i mometumgeeráló függvéye m i t = 1 βt α i és a?? tétel szerit ξ ξ mometumgeeráló függvéye mt = m i t = 1 βt α 1+α + +α i=1 amiből látszik, hogy egy gamma-eloszláshoz tartozik, és a paraméterek kiolvashatók. A Poisso eloszlás megadja az idő itervallum alatt bekövetkező eseméyek számáak valószíűségét, a két eseméy között eltelt idő pedig expoeciális eloszlást követ A ormális eloszlás A ξ valószíűségi változót ormális, avagy Nm, -eloszlásúak evezzük, ha sűrűségfüggvéye fx = 1 e x m π alakú, ahol < m < és > 0. Mivel fm x = fm + x, az Nm, sűrűségfüggvéy szimmetrikus m-re, és m a várható értéke. Parciális itegrálással számolható ki, hogy Nm, szórása éppe.

5 3.3. A NORMÁLIS ELOSZLÁS 5 Ha m = 0 és = 1, akkor stadard ormális eloszlásról beszélük. Eek eloszlásfüggvéye Φx = 1 x e t / dt 3.3. π A Φx értékeket táblázatból vehetjük, mivel az itegrál em adható meg köye kezelhető képlettel. A táblázat csak pozitív x-ekre tartalmazza Φx-et, egatív x értékekre a Φ x = 1 Φx összefüggést haszáljuk. A táblázatból látható, de fejbe tartai is érdemes, hogy a stadard ormális eloszlás 99% valószíűséggel 3 és 3 között veszi fel értékeit. Megjegyzés: A műszaki irodalomba gyakra haszált Erf hibafüggvéy defiíciója Erfx := x π 0 e t dt, tehát Φx = 1 Erf x tétel: Ha a ξ valószíűségi változó Nm, eloszlású, akkor η = ξ m stadard ormális eloszlású. Nevezetese a m P a < ξ < b = P < η < b m b m a m = Φ Φ 3.. példa: Legye a ξ valószíűségi változó N3, eloszlású. Mekkora legye az A szám ahhoz, hogy a, A itervallumba 1/ valószíűséggel esseek ξ értékei? és a Ha F a ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye, akkor P ξ A = F A F A 3 3 A 3 = Φ Φ = Φ A 3 Φ = 3 1 Φ Φ, egyelethez jutuk, amit Φ táblázata segítségével olduk meg: A 3/ = Φ = 0.875, amiből A = példa: Egy gyártó 1000 Ft-os egységáro árulja termékeit. Ha egy termék 80 g-ál kisebb, akkor eladhatatla, és teljes veszteséget jelet. A termékek tömege ormális eloszlást mutat w 0 várható értékkel és 10 g szórással. Egy termék előállítási költsége c = 5w + 30, ahol w a termék súlya. Milye átlagos w 0 súly maximalizálja a profitot? Aak a valószíűsége, hogy egy termék eladhatatla w 80 p = Φ, 10 és 1 p1000 5w + 30 a bevétel, amelyek várható értéke a maximalizáladó. A p 5w 0 várható érték maximumát differeciálással határozzuk meg: 1000 d w0 80 Φ = 100 Φ w0 80 = 5 dw összetett függvéyt kellett differeciáli. Az egyelet két gyöke közül w 0 = ad csak maximumot, a feladat természetéből adódóa.

6 6 3. FEJEZET. NEVEZETES VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK Normális eloszlás alkalmazható mérési hibákra, méret igadozásokra és olya élettartam vizsgálatokra, ahol a készülékek, alkatrészek redszeres kopással meek tökre. A ormális eloszlás fotosságát tükrözi a következő tétel, amely szerit bizoyos feltételek eseté ormális eloszlással közelíthető a biomiális eloszlás tétel: Moivre Laplace-tétel Legye ξ 0, 1,,..., értékeket felvevő valószíűségi változó, amelyek eloszlása biomiális p sikervalószíűséggel. Ekkor a ξ = ξ p pq valószíűségi változók eloszlása a stadard ormális eloszláshoz tart, amikor +. A tételt a gyakorlatba a biomiális eloszlás közelítésére haszáljuk a következő alakba: b p a p P a ξ b Φ Φ pq pq Ez a közelítés akkor alkalmazható, ha p és q 5-él agyobb. Megjegyzés: A 3.1 gyakorlat megoldásába megtapasztalhatjuk a tétel jeletőségét példa: Egy hallgatóak 0 tesztkérdésre kell igeel vagy emmel válaszolia, és p = 50 %-os valószíűséggel ad helyes választ. Mi a valószíűsége, hogy legalább 15 kérdésre ad helyes választ? p = q = 10 > 5, így alkalmazhatjuk a közelítést. P 15 ξ = = 1.1% a meglepőe alacsoy esély tétel: Az Nm, ormális eloszlású valószíűségi változó mometumgeeráló függvéye m 0 t = expmt + t / Bizoyítás: A mometumgeeráló függvéy defiíciója szerit az m 0 t = = 1 π 1 π e tx e x m dx exp [ /x mx + m tx] dx. A kitevőbe teljes égyzetté való kiegészítés utá azt kapjuk, hogy m 0 t = e mt+t / 1 π exp x m + t dx. Az itegrál értéke π, és így a bizoyítadó képlethez jutottuk tétel: Legye ξ i Nm i, i ormális eloszlású valószíűségi változó i = 1,. Ha ξ 1 és ξ függetle, akkor ξ 1 + ξ is ormális eloszlású, m = m 1 + m várható értékkel és = 1 + szórással.

7 3.4. A LOGARITMIKUS NORMÁLIS ELOSZLÁS 7 Bizoyítás: Valóba, az m i t = expm i t + i t / mometumgeeráló függvéyek szorzata exp m 1 t + m t t a?? tétel alapjá ξ 1 + ξ mometumgeeráló függvéye. kiolvashatók. Belőle a ormális eloszlás paraméterei A szórás a valószíűségi változók igadozásáak leggyakrabba haszált mértéke. Egy valószíűségi változó bizoytalaságáak főkét az iformációelméletbe haszált másik mértéke az etrópia. ξ etrópiáját az f ξ x l f ξ x dx = Hξ itegrállal lehet megadi. Köyű kiszámoli az Nm, eloszlás etrópiáját, ami az l πe + l értékek adódik. A képletből látszik, hogy ormális eloszlásra az etrópia bármilye valós értéket felvehet. A agy szórás agy etrópiát, azaz agy bizoytalaságot jelet. Az Nm, ormális eloszlás evezetes tulajdosága, hogy a szórású és m várható értékű eloszlások között a legagyobb az etrópiája, azaz mide más szórású m várható értékű eloszlás etrópiája ál kisebb. A következő eloszlások majd a statisztikai vizsgálatokba leszek fotosak A logaritmikus ormális eloszlás Egy pozitív értékeket felvevő ξ valószíűségi változót logaritmikus ormális eloszlásúak vagy logormális eloszlásúak moduk, ha a η = l ξ valószíűségi változó ormális eloszlású. Tételezzük fel, hogy η eloszlása Nm,. Ekkor az eloszlásfüggvéy defiíciója szerit F ξ x = P ξ < x = P η < l x = 1 π l x e t m dt. Ebből differeciálással adódik, hogy f ξ x = 1 l x m exp πx x > Az irodalomba m helyett α és helyett β paraméter is szokott szerepeli. Az m és betűk haszálata azoba azért célszerű, mert utalak a megfelelő ormális eloszlásra. Itegrálással kiszámolható ξ várható értéke és szórása: Mξ = e m+ /, ξ = e m+ e A logormális eloszlás evezetes tulajdosága, hogy ha ξ logormális eloszlású, akkor az aξ b valószíűségi változó is logormális eloszlású tetszőleges pozitív a és b számokra.

8 8 3. FEJEZET. NEVEZETES VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 3.5. A khi-égyzet és a khi-eloszlás számú függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változó égyzetösszegéek eloszlását szabadságfokú χ -eloszlásak evezik. A χ -eloszlás sűrűségfüggvéye f x = x 1 e x Γ/ x > A evezőbe előforduló gamma függvéy értelmezése és tulajdoságai a függelékbe találhatók meg tétel: Az szabadságfokú χ -eloszlás mometumgeeráló függvéyét, várható értékét és szórását a következő képletek adják meg: mt = 1 t / t > 1/, M =, = Az η valószíűségi változó eloszlását χ-eloszlásak evezzük, ha az η valószíűségi változó χ -eloszlású. Ez az eloszlás a matematikai statisztikába játszik fotos szerepet. Az - szabadságfokú χ-eloszlás sűrűségfüggvéye és várható értéke f x = x 1 e x / / Γ/ x > M = Γ + 1/ Γ/ Megjegyezzük, hogy a példák között szerepel a két szabadságfokú χ -eloszlás sűrűségfüggvéyéek levezetése. A következő példába rámutatuk a Maxwell-eloszlás lásd a?? példát és a három szabadságfokú χ -eloszlás kapcsolatára példa: A kietikus gázelmélet szerit egy yugalomba lévő gáz egy molekulájáak egymásra merőleges x, y és z iráyú sebességkompoesei függetleek, és N0, eloszlású valószíűségi változóak tekithetők. Legye ξ x, ξ y és ξ z a három sebességkompoes. A sebességvektor v = ξx + ξy + ξz hosszáak sűrűségfüggvéyét a Maxwell-féle sebességeloszlási törvéy adja meg, amit most levezetük. A ξ x /, ξ y / és ξ z / valószíűségi változók stadard ormális eloszlásúak, így v/ három szabadságfokú χ -eloszlású valószíűségi változó. A χ -eloszlás sűrűségfüggvéyéből és f v/ x = x e x / 3/ Γ3/ = x e x/ π f v x = f v/ x = 3 x e x / π.3.11 α paramétere és az utóbbi képlet -ja között az α = / összefüggés áll fe. Ezért = m/kt.

9 3.6. A T VAGY STUDENT ELOSZLÁS A t vagy studet eloszlás Az η valószíűségi változót szabadságfokú t-eloszlásúak evezzük, ha megadhatók olya stadard ormális eloszlású, függetle ξ 0, ξ 1,..., ξ valószíűségi változók, hogy ξ0 η = ξ 1 + ξ + + ξ

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok) Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)./ Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma óra alatt. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

Matematikai statisztika gyakorlatok összefoglaló

Matematikai statisztika gyakorlatok összefoglaló Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Matematikai statisztika gyakorlatok összefoglaló Eger, 2012 Tartalomjegyzék Jelölések 2 1. Összefoglaló 4 1.1. Eloszlások geerálása...........................

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Random Club 2010 tavasz Advanced probabilistic calculus for engineers

Random Club 2010 tavasz Advanced probabilistic calculus for engineers Exercitatio artem parat (Tacitus) Radom Club 200 tavasz Advaced probabilistic calculus for egieers Mide jeleséget okok redszere hoz létre, amelyek midegyikét legtöbbször em tudjuk figyelembe vei, így a

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

VII.Valószínűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak

VII.Valószínűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak VII.Valószíűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak VII..A valószíűségszámítás elemei A valószíűségszámítás a véletle tömegjeleségeket taulmáyozó, kb. 300 éves tudomáy. Véletle jeleség: em

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben