Valószínûség számítás

Átírás

1 Valószíûség számítás

2 Adrea Glashütter Feller Diáa

3 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása: eljáráso, amelye sorá meghatározzu egy adott időpotbeli pézösszege r amatlábat feltételezve egy mási időpotra számított értéét. A. JÖVŐÉRTÉK SZÁMÍTÁSA: a jelebeli pézösszeg valamely jövőbei időpotra voatozó értéée a meghatározása. Kiszámítása a amatszámítás módszeré alapul. FV PV ( r) Kamattéyező: azt fejezi i, hogy a jövőbei érté háyszorosa egységyi mai pézösszege. Egyszerű amatozás: Hosszabb időre voatozó befetetés eseté mide periódusba csa a ezdő befetetés amatozi. Kamatos amatozás: Hosszabb időre voatozó befetetés eseté mide orábbi időszaba apott amat újra befetetésre erül és ez a övetező időszaba többletamatot eredméyez. FV r) PV (, ahol r: amatozási periódusra jutó amatláb : amatozási perióduso száma Ha adatai az éves amatlábról (p), az éveéti amatfizetése számáról (m) álla redelezésüre, aor a t éve eresztül amatoztatott pézü jövőértée: FV PV ( p m m t ) p Az előző éplettel összehasolítva általáosságba is elmodható, hogy r és m t. m Példa: 000 Ft-ot helyezü el baba. Az éves amatláb % és a amatjóváírás évete törtéi. Eor 5 év múlva a redelezésüre álló összeg: 0, 5 FV 000 ( ) 593, 74 Meora lee a jövőértée ee az összege, ha a amatjóváírás félévete törtéi? 0, 5 FV 000 ( ) 74, 08 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

4 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba B. JELENÉRTÉK SZÁMÍTÁSA: a jövőbe esedées péze jele időpotra voatozó értéée a meghatározása. Kiszámítása a diszotálás módszeré alapul, ami a amatszámítással elletétes művelet. Egy periódus eseté: Általáos ala: PV FV r PV FV, vagy ( r) p PV FV FV ( p m t m ( ) m -m t ) Diszotráta: a diszotálásál haszálatos amatláb. Diszottéyező: azt fejezi i, hogy a jeleérté háyszorosa valamely jövőbei időpotba esedées egységyi pézösszege. A amatláb érvéyességi időtartama: az az időtartam, amelyet időegysége teitee. Kamatozási periódus: a amat-jóváírási vagy amatfizetési idősza hosszát jelöli. Példa: 7%-os éves amatláb mellett meora összeget ell a baba teem, hogy egy év múlva $ álljo a redelezésemre: PV ($) 0, 07 ( ) C. ANNUITÁS: a meghatározott ideig esedées, periódusoét egyelő agyságú pézáramo sorozata. Szoásos auitás: a pézáramo idősza végé jeleteze. Esedées auitás: a pézáramo a perióduso elejé esedéese. Gyűjtőjáradé: Az auitáso jövőértéée számítása olya típusú érdésere ad választ, hogy ha C összeget befetetü (pl. baba teszü) mide év ( hóap, egyedév..) végé/elejé perióduso eresztül, és ha a befetetésü évi r % hozamot biztosít (a ba r % amatot fizet), meora összeggel redelezü az. periódus végé? A válasz a jövőérté-számítással oldható meg. 4 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

5 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba Szoásos auitáso jövőértée(idősza végé): S ( FVAN ) p m t ( ) ( r) C C m, r p m ahol C: pézáramo összege ( a többi jelölést lsd. fet) Levezetés: S C C amatozási perióduso száma. befizetés amatozási ideje. periódus végé a amatos amatoal övelt összeg C r - ( ) - ( ) C r M M M C r 0 C összes befizetése értée S az. periódus végé: - ( ) C( r) K C( r) C( r) ( r) K ( r) ( r) [ ] mértai sorozat összegéplete alapjá C ( r) r Esedées auitáso jövőértée (idősza elejé): Az előzőehez épest ayiba tér el az összegü, hogy itt mide egyes befizetett összeg egyel több perióduso eresztül amatozi. S ( r) C ( r) r ( FVAND ) Példa: 00 Ft-ot helyezü el mide hóap végé a baba. Az éves amatláb % és a amatjóváírás mide hóap végé törtéi. Meora az ily módo épzett 5 éves auitás jövőértée: C00 m p0, t5 S 0, 00 0, , 04 5 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

6 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba Törlesztőjáradé: Az auitáso jeleértée az perióduso eresztül, periódusoét egyelő agyságú pézáramláso (ifizetése vagy bevétele) sorozatáa jeleértée. Szoásos auitáso jeleértée (idősza végé): V ( r) ( r) C C, r r r ahol C: törlesztőrészlet ( PVAN ) Levezetés: V C C törlesztési perióduso száma. befizetés háy periódus múlva esedées jeleértée C( r) C r C( r) C r M M M C ( ) r C r C( r) C r - - ( ) ( r) ( r) ( r) C ( r) ( r) ( r) mértai sorozat összegéplete alapjá C ( r) K K C r összes befizetése értée az. periódus végé: ( r) ( r) C r ( ) ( ) ( ) V (felvett vagy ölcsöadott hitel összege) 6 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

7 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba Példa: Egy vállalozó 5 millió Ft hitelt vett fel 7 %-os amatláb mellett. A ölcsöt 4 év alatt egyelő összegebe ell visszafizetie. Az első törlesztés a ölcsö felvétele utá egy évvel esedées. a.) Meyi az éves törlesztőösszeg? V r0,7 (p0,7 és m) 4 (t4) C ( 0,7) 0,7 4 C (Ft) b.) Készítse el a törlesztő tervet? Év Törlesztő Feálló Kamatra Törlesztésre vége összeg tartozás Esedées auitáso jeleértée(idősza elejé): ( r) V ( PVAND ) C r 7 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

8 Valószíűségszámítás Kombiatoria II. Kombiatoria A. PERMUTÁCIÓ Ismétlés élüli permutáció: ülöböző elem sorba redezése. Az ülöböző elem permutációia száma: P! Ismétléses permutáció: elem sorba redezése, amelye özött megülöböztethetetlee (ismétlődő) is vaa. Az elem ismétléses permutációia száma: P (,,..., r )!!!...! ahol,,..., megülöböztethetetle elem va. B. VARIÁCIÓ Ismétlés élüli variáció: ülöböző elemből iválasztása és sorba redezése, ha mide elem csa egyszer választható. Az elem -ad osztályú ismétlés élüli variációia száma:! V ( )! Ismétléses variáció: ülöböző elemből iválasztása és sorba redezése, ha bármely elem többször is választható. Az elem -ad osztályú ismétléses variációia száma: (i) V C. KOMBINÁCIÓ Ismétlés élüli ombiáció: ülöböző elemből iválasztása, ha a sorred em számít és egy elemet csa egyszer választhatu. Az elem -ad osztályú ismétlés élüli ombiációia száma:! C!( )! 8 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

9 Valószíűségszámítás Kombiatoria Ismétléses ombiáció: ülöböző elemből iválasztása, ha a sorred em számít és bármely elem többször is választható. Az elem -ad osztályú ismétléses ombiációia száma: - C (i) D. BINOMIÁLIS TÉTEL Tétel: Tetszőleges éttagú ifejezés (biom) bármely emegatív egész itevőjű hatváya poliommá alaítható a övetező módo: ( ) b b a... b a a 0 b a R b a, N; ahol Az szimbólumot biomiális együtthatóa evezzü. Tulajdoságo: Szimmetria: Összeg: Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

10 Valószíűségszámítás Eseméyalgebra III. Eseméyalgebra VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: véletle tömegjelesége vizsgálata, törvéyszerűsége eresése. JELENSÉG: DETERMINISZTIKUS: (bolygó mozgása, szabadesés), előre meghatározott SZTOCHASZTIKUS : véletleszerű Sztochasztius a jeleség, ha a megfigyelt jelesége azoos örülméye özött többféle imeetele lehet. TÖMEGJELENSÉG: azoos örülméye özött aárháyszor megismételhető. VÉLETLEN KÍSÉRLET: a véletle tömegjeleség előidézése, megfigyelése. ESEMÉNY: a véletle jeleség valamely imeetele. Jelölés: A, B, C, stb. ESEMÉNYTÉR: eseméye összessége, halmaza. Jelölés: H Eseméy: ELEMI ESEMÉNY: csa egyféleéppe övetezhet be Példa: ocadobásál -est dobo ÖSSZETETT ESEMÉNY: többféleéppe is beövetezhet Példa: ocadobásál párosat dobo LEHETETLEN ESEMÉNY: ami az adott ísérletél em övetezhet be. Jele: ø Példa: ocával 7-est dobo BIZTOS ESEMÉNY: amely az adott ísérletél biztosa beövetezi. Tartalmazza az összes elemi eseméyt. Példa: ocával 7-él isebbet dobo Művelete eseméyeel MAGA UTÁN VONÁS: A B eseméy maga utá voja A-t, ha B beövetezésével A is beövetezi. Jelölés: B A Példa: A: párosat dobo ocával B: -est dobo ocával Eor B A 0 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

11 Valószíűségszámítás Eseméyalgebra KÉT ESEMÉNY EGYENLŐSÉGE: ha ét eseméy özül bármelyi beövetezi, az maga utá voja a mási beövetezését. Jelölés: A B Példa: A: 4-él isebb párosat dobo ocával B: -est dobo ocával Eor B A KOMPLEMENTER ESEMÉNY: Jelölés: A. A aor övetezi be, ha A em övetezi be. ÖSSZEADÁS: AB aor övetezi be, ha A és B özül legalább az egyi beövetezi. SZORZÁS: A B aor övetezi be, amior A és B egyszerre beövetezi. A ÉS B EGYMÁST KIZÁRÓ ESEMÉNYEK, ha egyszerre em övetezhete be. A ÉS B KÜLÖNBSÉGÉN azt értjü, amior A beövetezi, de B em. Jelölés: A-B Tulajdoságo: idempotecia: ommutatív: asszociatív: disztributív: AA A A A A AB BA A B B A (AB)C A(BC) (A B) C A (B C) A (BC) A BA C A(B C) (AB) (AC) Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

12 Valószíűségszámítás Eseméyalgebra További tulajdoságo: A H A AH H A ø ø Aø A A A ø A A H elyelési tulajdoság: AA B A A (AB) A de Morga azoosságo: A B A B A B A B TELJES ESEMÉNYRENDSZER: az A, A,..., A em lehetetle eseméye teljes eseméyredszert alota, ha bármely ét eseméy pároét izárjá egymást, valamit összegü a biztos eseméy. A A ø A i j A K A H Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

13 Valószíűségszámítás Klasszius valószíűség IV. Klasszius valószíűség RELATÍV GYAKORISÁG: Az A eseméyt vizsgálju. Végezzü el a ísérletet azoos örülméye özött -szer; a vizsgált A eseméy beövetezi A -szor. relatív gyaoriságáa, A -t az A eseméy gyaoriságáa evezzü. A -t az A eseméy VALÓSZÍNŰSÉG: A sztochasztiusa overgál egy számhoz, amely számot az A eseméy valószíűségée evezü. RELATÍV GYAKORISÁG TULAJDONSÁGAI: mivel 0 0 A A a biztos eseméy relatív gyaorisága Ha A, A,..., A eseméye pároét izárjá egymást, aor A A... A eseméye relatív gyaorisága az A, A,..., A eseméye relatív gyaoriságaia összegével egyezi meg. A VALÓSZÍNŰSÉG AXIÓMÁI A H eseméytér mide A eseméyéhez hozzáredelü egy P(A) számot, melyet az A eseméy valószíűségée evezü, és amely eleget tesz az alábbi axiómáa: mide A eseméy valószíűségére teljesül, hogy 0 P(A) a biztos eseméy valószíűsége : P(H) ha A és B egymást izáró eseméye, aor P(AB) P(A)P(B) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK: ha az A eseméy valószíűsége P(A), aor P( A) P(A) a lehetetle eseméy valószíűsége 0. ha az A, A,..., A eseméye teljes eseméyredszert alota, aor P(A )P(A )... P(A ) P(A-B) P(A)-P(A B) ha B maga utá voja A-t, azaz B A, aor P(A-B) P(A)-P(B) ha A és B tetszőleges eseméye, aor P(AB) P(A)P(B)-P(A B) KLASSZIKUS KÉPLET: Legye a H eseméytér elemi eseméyeie száma és tegyü fel, hogy midegyi egyelő valószíűséggel övetezi be. Ha az A eseméy potosa elemi eseméy összegeét írható fel, aor P(A) 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

14 Valószíűségszámítás Mitavétele V. Mitavétele Visszatevés élüli mitavétel: N elemű mitába va M számú itütetett. Egyszerre iválasztu számú elemet.(vagy egymás utá választu i db-ot úgy, hogy a iválasztottat félretesszü.) Meyi a valószíűsége, hogy számú itütetett lesz özte? Jelölje A azt az eseméyt, hogy az iválasztott elem özt itütetett va. Eor Visszatevéses mitavétel: P (A ) M N M N N elemű mitába va M számú itütetett. Kiválasztu számú elemet úgy, hogy bármelyiet újra választhatju. Meyi a valószíűsége, hogy számú itütetett lesz özte? Jelölje A azt az eseméyt, hogy az iválasztott elem özt itütetett va. Eor azaz P (A M ( N M ) M N M P (A ), N N N ahol az M N M p és q, azaz q p. N N ) p q 4 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

15 Valószíűségszámítás Mitavétele Példá:. Meyi a valószíűsége, hogy ötös lottó (a) legalább ét páros va a ihúzott számo özött? P(legalább ét páros) - P(evesebb, mit ettő páros) - ( P(0 db páros) P(db páros) ) , (b) va a számo özött öttel osztható? 7 5 P(va a számo özött öttel osztható) - P(ics a számo özött öttel osztható) - 0, A tapasztalato szerit egy beziúthoz érező autó 0%-a ülföldi. Meyi a valószíűsége, hogy a övetező 0 autó özül (a) em lesz ülföldi? 0 P(em lesz ülföldi) 0,8 0, 073 (b) legfeljebb ét ülföldi lesz? P(legfeljebb ét ülföldi lesz) P(0 vagy vagy ülföldi lesz) ,8 0, 0, 8 0, 0, 8 0, P(em lesz özte magyar) 0,, 0 0 (c) em lesz özte magyar? 5 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

16 Valószíűségszámítás Geometriai valószíűség VI. Geometriai valószíűség GEOMETRIAI VALÓSZÍNŰSÉGről va szó, ha a H eseméytér mérhető geometriai alazat, az A eseméy ee mérhető részhalmaza aa a valószíűsége, hogy egy véletle pot az A-ba esi, aráyos az A tartomáy mértéével. Ha A H P(A) A tartomáy mértée H tartomáy mértée Példá:. Egy futball labdát találomra eirúgu egy házfala, amely 0m hosszú és 5m magas. A házo ét, m x,5m-es abla va. Meyi aa a valószíűsége, hogy a labdát az ablaba rúgju? 6 P(a labdát az ablaba rúgju) 0, 50. Egy ember elfelejtette este felhúzi az óráját, és reggel 8:00-or vette észre, hogy az óra megállt. Meyi a valószíűsége, hogy a agymutató a hármas és a hatos özött állt meg? rπ P(a agymutató a hármas és a hatos özött állt meg) 4 0, 5 rπ 4 6 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

17 Valószíűségszámítás Feltételes valószíűség VII. Feltételes valószíűség Feltételes relatív gyaoriság: Elvégzü egy ísérletet -szer. Tegyü fel, hogy a B eseméy B -szer, az A B eseméy A B -szer övetezi be. Eor az A eseméy B feltétel melletti relatív gyaorisága megmutatja, hogy B beövetezésée háyadrészébe övetezett be A is. A B B Az A eseméy B feltétel melletti FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉGÉN értjü az A B eseméy valószíűségée és a B eseméy valószíűségée háyadosát (ha P(B) 0). Jelölés: P ( A B) A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉGRE IS ÉRVÉNYESEK AZ AXIÓMÁK: 0 P(A B) P(B B) Ha A, A,..., A egymást pároét izáró eseméye, aor P(A A...,A B) P(A B)P(A B)...P(A B). A VALÓSZÍNŰSÉG SZORZÁSI SZABÁLYA: P(A A... A ) P(A ) P(A A ) P(A 3 A A )... P(A A A... A - ) TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE: Ha B, B,..., B teljes eseméyredszert alot és A a H eseméytér valamely eseméye, aor P(A) P(B ) P(A B )P(B ) P(A B )...P(B ) P(A B ). BAYES-TÉTELE: Ha B, B,..., B teljes eseméyredszert alot és A a H eseméytér valamely eseméye, P(B ) P(A B ) aor P ( B A). P(B ) P(A B ) i i í 7 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

18 Valószíűségszámítás Feltételes valószíűség Példá:. 000 megvizsgált ember özül 5 szívaot találta. A megvizsgálta 3/5 része ő volt, a férfia /40 része szíva. Meyi a valószíűsége, hogy egy véletleszerűe iválasztott (a) ő szíva? (b) szíva férfi? (a) szíva) P( szíva ő) ő férfi szíva em szíva P(ő és szíva) 5 P(ő P( ő) 600 P(szíva és férfi) P( szíva férfi) P férfi szíva P(szíva) (b) ( ). Vegyszerrel szúyogirtást végeze. Az első permetezés utá a szúyogo 80%-a elpusztul, de az életbe maradottaba ayi elleálló épesség fejlődi i, hogy a másodi permetezésor már csa az életbe maradt szúyogo 40%-a pusztul el, a harmadi irtásál pedig csa a 0%-u. Meyi a valószíűsége, hogy (a) egy szúyog túléli midhárom permetezést? (b) ha egy szúyog túlélte a másodi permetezést, aor a harmadiat is túléli? (c) feltéve hogy elpusztult, a másodi permetezésél pusztult el? I. permetezés II.permetezés III. permetezés elpusztul 0,8 0,08 0,04 0,904 életbe marad 0, 0, 0,096 0, 0, (a) P(egy szúyog túléli midhárom permetezést) P( III.permetezést túléli) 0,096 (b) P(ha egy szúyog túlélte a P ( III - at túléli II - at túlélte) (c) P(feltéve hogy elpusztult, P P ( II - ál elpusztul és elpusztul) P( elpusztult) ( III at túléli és II - at túléli) P( II - at túlélte) 0 5 másodi permetezést, aor a harmadiat is a másodi permetezésél pusztult el) 0,08 0,904 0,088 túléli) 0,096 0,8 0, P ( II - ál elpusztul elpusztult) 8 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

19 Valószíűségszámítás Függetle ísérlete VIII. Függetle ísérlete Legye A és B a H eseméytér ét eseméye. Az A és B eseméyeet egymástól FÜGGETLENe (vagy sztochasztiusa függetlee) evezzü, ha P( A B) P( A) P( B) azaz aor, ha A és B együttes beövetezésése a valószíűsége a A és B eseméye valószíűségée szorzatával egyelő. Tétel: Ha az A és B eseméye függetlee, aor A és B, A és B, valamit A és B is függetlee. Defiíció: Egy eseméytér A, B, C eseméyét függetlee evezzü, ha a övetező összefüggése midegyie teljesül: P A B P A P B P P ( ) ( ) ( ) ( A C) P( A) P( C) ( B C) P( B) P( C) ( A B C) P( A) P( B) P( C) P Eor a három eseméyt teljese függetlee is szoás evezi. Defiíció: Teitsü számú ísérletet. Ha az első ísérletél az A eseméy előfordulásáa valószíűsége P(A ), a másodi ísérletél az A eseméy előfordulásáa valószíűsége P(A ),, az -di ísérletél az A eseméy előfordulásáa valószíűsége P(A ), és aa a valószíűsége, hogy az elsőél A, a másodiál A,, az -diél A övetezi be, egyelő az egyes valószíűsége szorzatával, azaz P( A A K A ) P( A ) P( A ) K P( A ) mide A, A,, A eseté, aor a ísérleteet FÜGGETLEN KÍSÉRLETEKe evezzü. Defiíció: Függetle megismételt ísérlete sorozatát BERNOULLI-KÍSÉRLETSOROZATa evezzü, ha az egyes ísérletee ét lehetséges imeetele va, az A és A, és eze valószíűsége a ísérletsorozat sorá változatla marad. Tétel: Aa a valószíűsége, hogy függetleül megismételt ísérlete hosszúságú sorozatába az A eseméy potosa -szor övetezi be P p q ahol pp(a) és q-pp( A ) Megjegyzés: Nem függetle ísérleteél a feltételes valószíűség általáos szorzási szabályát ell alalmazi. 9 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

20 Valószíűségszámítás Függetle ísérlete Példá:. Megfigyelése szerit az autóverseyző az esete /5 részébe éytelee motorhiba miatt iálli a verseyből. Mi a valószíűsége aa, hogy 7 autóverseyző özül a) seie sem ell iálli? 7 P seie sem ell iálli 0, 8 0, ( ) b) potosa hároma ell iálli? P potosa 3 - a ell iálli 0, 0, 8 0, 3 ( ) 46 c) legalább egye i ell álli? P legalább egye ell iálli P egye sem ell iálli 7 ( ) ( ) 0,8 0, 79 d) legfeljebb ettőe ell iálli? P legfeljebb ettő áll i 0, 0, 8 0, 0, 8 0, 0, 8 0, 0 ( ) 859. Ötös lottó mi a valószíűsége aa, hogy a) 5 héte eresztül egyszer sem lesz találatu? P ( 5 héte eresztül egyszer sem lesz találatu) 0, 35 b) az 5 hétből egyszer lesz találatu és a többi héte em lesz találatu? P az 5 hétbõl egyszer lesz találatu és a többi héte em lesz találatu ( ) , c) 4 héte eresztül em lesz találatu, és az ötödi héte lesz egy hármasu? P ( 4 héte eresztül em lesz találatu, és az ötödi héte lesz egy hármasu) 0, Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

21 Valószíűségszámítás Függetle ísérlete 3. Valai a céltábla 0-es, 0-as, 30-as, 50-es örgyűrűibe redre /3, /6, /6, /3 valószíűséggel talál bele. Mi a valószíűsége aa, hogy 5 lövésből 5 a 0-esbe, 3 a 0-asba, 4a a 30-asba, 3 az 50-esbe talál? ( ) az 50 - esbe talál 4 a 30 - asba, 0 - asba, 3 a P 5 lövésbõl5 a 0 - esbe, , Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

22 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői IX. Valószíűségi változó és jellemzői A H eseméytér mide elemi eseméyéhez redeljü hozzá egy valós számot. Az így értelmezett függvéyt a ξ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓa hívju. Jelölés: ξ Az elemi eseméyehez redelt számértéeről azt modju, hogy eze a ξ valószíűségi változó értéei. Ha a ξ valószíűségi változó lehetséges értéeie száma véges vagy megszámlálhatóa végtele, aor DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓról beszélü. Ha ξ diszrét valószíűségi változó lehetséges értéei x, x,..., x, aor a P(ξ x ), P(ξ x ),..., P(ξ x ) valószíűsége halmazát a ξ valószíűségi változó ELOSZLÁSáa evezzü. A ξ valószíűségi változó FOLYTONOS, ha lehetséges értéei egy vagy több itervallumot alota. A. ELOSZLÁSFÜGGVÉNY ÉS TULAJDONSÁGAI A ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye mide x valós számhoz hozzáredeli az x-él isebb értée felvételée valószíűségét. Jelölés: F(x) P(ξ < x) Az eloszlásfüggvéy tulajdoságai: mide eloszlásfüggvéy mooto ő mide eloszlásfüggvéy balról folytoos limf(x) 0 és lim F(x). Egy F(x) függvéy aor teithető egy ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéyée, ha MEGJEGYZÉS: mooto ő mide potjába balról folytoos limf(x) 0 és lim F(x) Ha F(x) a ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye és a < b, aor P(a ξ < b) F(b)-F(a). Ha a ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye folytoos az a potba, aor P(ξ a) 0. Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

23 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői B. SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY ÉS TULAJDONSÁGAI Ha a ξ folytoos valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F(x), aor f(x) F (x) függvéyt a ξ sűrűségfüggvéyée evezzü. A sűrűségfüggvéy tulajdoságai: f(x) 0 mide sűrűségfüggvéyre. f(x)dx mide sűrűségfüggvéyre. ha F(x) a ξ valószíűségi változó eloszlás-, f(x) x pedig sűrűségfüggvéye, aor F(x) f(t)dt. P(a ξ < b) F(b)-F(a) f(x)dx. b a C. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK PONTJELLEMZŐI Módusz Jelölés: mod(ξ) Diszrét eloszlás: ξ valószíűségi változó módusza a ξ legvalószíűbb értée, ha va. Folytoos eloszlás: ξ valószíűségi változó módusza a sűrűségfüggvéy maximumhelye. (Azt mutatja meg, hogy mely értéhez özeli értéeet vesz fel a legagyobb valószíűséggel.) Mediá Jelölés: med(ξ) Diszrét eloszlás:valamely ξ valószíűségi változó mediája az a valós szám, amelyre P(ξ < med(ξ)) 0,5 és P(ξ med(ξ)) 0,5. a) Ha az eloszlásfüggvéy átugorja a 0,5 értéet, aor az az érté lesz a mediá, amelyél átugrotta. α β b) Ha az eloszlásfüggvéy értée az (α;β] itervallumo 0,5, aor med(ξ) Folytoos eloszlás: Valamely ξ valószíűségi változó mediája az a valós szám, amelyre P(ξ < med(ξ)) 0,5 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

24 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői Kvatilis Jelölés: x q Diszrét eloszlás:legye 0 < q <. Azt a számot, amely eleget tesz a P(ξ < x q ) q, P(ξ x q ) q egyelőtlesége a ξ valószíűségi változó q-vatilisée evezzü. Folytoos eloszlás: Legye 0 < q <. Azt a számot, amely eleget tesz a P(ξ < x q ) q egyelete a ξ valószíűségi változó q-vatilisée evezzü. Várható érté Jelölés: M(ξ) Diszrét eloszlás: A ξ valószíűségi változó lehetséges értéei legyee x, x,..., x, aor ξ várható értée a x i p i összeg. i Folytoos eloszlás: Ha a ξ valószíűségi változó sűrűségfüggvéye f(x), aor ξ várható értée x f(x)dx. Várható értéel apcsolatos tétele:. Legye c tetszőleges valós szám. Eor M(c ξ) c M(ξ).. Legye pozitív egész. - Ha a ξ diszrét valószíűségi változó lehetséges értéei x, x,..., x, aor M(ξ ) x i pi. i - Ha ξ folytoos valószíűségi változó f(x) sűrűségfüggvéyel, aor M(ξ ) x f(x)dx, ha létezi. 3. M(a ξ a ξ... a ξ a 0 ) a M(ξ ) a M(ξ )... a M(ξ) a 0 Szórás Jelölés: D(ξ) Ha a ξ M(ξ) valószíűségi változó égyzetée létezi várható értée, aor ezt ξ szóráségyzetée evezzü. Ee égyzetgyöe a ξ valószíűségi változó szórása. Szórással apcsolatos tétele:. Ha a ξ valószíűségi változó égyzetée létezi várható értée, aor D (ξ) M(ξ )-M (ξ).. Ha a ξ valószíűségi változó szórása létezi, aor tetszés szeriti a és b valós számo eseté D (aξ b) a D (ξ). Példa: 4 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

25 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői Diszrét valószíűségi változóra: Egy útvoalo az autóat 3 lámpa állíthatja meg. Bármely időpotba midegyi 0,5-0,5 valószíűséggel jelez szabad vagy tilos utat. Legyee ξ valószíűségi változó értéei azo jelzőlámpá száma, amelye egy autóa az útvoalo tilosat mutata. Lehetséges imeetele: lehetséges imeetele: SSS SST STS TSS STT TST TTS TTT ξ: 0 3 valószíűség: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ξ eloszlása: P P P P ( ξ 0) 0,5 ( ξ ) 0,375 ( ξ ) 0,375 ( ξ 3) 0,5 mod(ξ) és ξ eloszlásfüggvéye: F F ( x) P( ξ < x) ( x) 0 0,5 0,5 0,875 x 0 0 < x < x < x 3 3 < x Mediá: med(ξ), 5 Alsó vartilis:, mert P( ξ < ) 0,5 0,5, de P( ξ ) 0,5 0,5 x 0,5 Felső vartilis:, mert P( ξ < ) 0, 5 0,75, de P( ξ ) 0,875 0,75 x 0,75 Várható érté: M ξ x p 0 0,5 0,375 0, ,5,5 () Szórás: i i 5 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

26 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői () M( ξ ) M () ξ 3 (, 5) 0, 866 ( ) x p 0 0,5 0,375 0, ,5 D ξ M ξ 3 i i Valószíűsége: P legalább tilosat ap az autó P ξ P ξ P ξ 3 0,375 0,5 P legfeljebb tilosat ap az autó P ξ P ξ 0 P ξ P ξ ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 5 0,375 0,375 0,875 6 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

27 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso X. Valószíűségi eloszláso D ISZKRÉT ELOSZLÁSOK K ARAKTERISZTIKUS ELOSZLÁS Legye A tetszés szeriti eseméy. Ha a valószíűségi változó csa a 0 és értéeet veheti fel, mégpedig, ha A beövetezi ξ 0, ha A em övetezi be, aor araterisztius valószíűségi változóról beszélü. Eloszlása: P(ξ ) p; P(ξ 0) - p q; ahol 0 p. M(ξ) p D (ξ) p q E GYENLETES ELOSZLÁS Ha ξ lehetséges értéei x,x,...,x, aor a P(ξ x i ) ; i,,..., valószíűségeloszlást egyeletes eloszlása evezzü. M(ξ) D (ξ) x i i i x i i x i 7 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

28 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso B INOMIÁLIS ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változót biomiális eloszlásúa modju, ha ξ lehetséges értéei a 0,,,..., és P(ξ ) p q ; ahol 0 < p < ; 0,,,..., és q - p. M(ξ) p D (ξ) p q mod(ξ) [() p] Alalmazás: visszatevéses mitavétel; függetle ísérlete; visszatevés élüli mitavétel ha M és N soal agyobb mit, valamit az N M aráy álladóa teithető a mitavétel sorá. Példa: A tapasztalato szerit egy főisolá a matematia szara jeletező 45%-a földrajz szaos is. Meyi a valószíűsége aa, hogy a főisolá egymás utá megszólított matematia szaos hallgató özül a) potosa 7-e földrajzot is taula; b) több, mit -e, de legfeljebb 5-e földrajz szaosa is? Megoldás: Legye ξ : a földrajzot tauló hallgató száma a) P( ξ ) 0, 45 0, 55 0, 8 b) P ( < ξ 5 ) P ( ξ 3 ) P ( ξ 4 ) P ( ξ 5 ) , 45 0, 55 0, 45 0, 55 0, 45 0, 55 0, Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

29 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso H IPERGEOMETRIKUS ELOSZLÁS A P(ξ ) N M N M 0,,,..., éplettel értelmezett eloszlást hipergeometrius eloszlása evezzü, ha az, M és N pozitív egész számora feáll, hogy M N. M(ξ) p D (ξ) N N q p mod(ξ) ( ) N M Alalmazás: visszatevés élüli mitavétel Példa: 5 üveg bor özött 0 üveg vörös és 5 üveg fehér bor található. Találomra ivesze 6 üveget úgy, hogy a már iválasztott üveget félreteszem. a) Meyi a valószíűsége, hogy üveg vörösbor va özte? b) Meyi a valószíűsége, hogy legalább 3, de evesebb, mit 5 fehérbor lesz özte? Megoldás: a) Legye ξ: vörösboros üvege száma. ( ) , ξ P b) Legye ξ: fehérboros üvege száma. ( ) ( ) ( ) , < ξ ξ ξ P P P 9 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

30 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso P OISSON- ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó Poisso eloszlású, ha lehetséges értéei a 0,,,...,,... számo és λ λ valószíűségeloszlása P(ξ ) e, ahol λ > 0 és 0,,,...,,...! M(ξ) λ D (ξ) λ [] λ, mod(ξ) λ és λ, ha ha λ λ em egész szám egész szám Alalmazása: potelhelyezedési problémá Példa: Az 5-ös főút egyi szaaszá átlagosa 5 apoét törtéi baleset. Mi a valószíűsége, hogy 0 ap alatt a) 3 baleset törtéi? b) legalább baleset törtéi? Megoldás: 5 ap baleset 0 ap? baleset λ4 Legye ξ : a 0 ap alatt törtét balesete száma a) P( ξ 3) e 0, 953 3! 0 4 0! 4 4 b) P( ξ ) P( ξ < ) ( P( ξ 0) P( ξ ) ) e e 0, ! 30 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

31 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso G EOMETRIAI ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó geometriai eloszlású, ha lehetséges értéei,,...,,... természetes számo és P(ξ ) q - p, ahol 0 < p <, q - p, és,,..,,... M(ξ) p D q (ξ) p mod(ξ) Alalmazás: aa a valószíűségét eressü, hogy a függetle ísérlete elvégzése sorá az A eseméy -adira övetezi be először Példa: Egy üveg csereszyebefőttbe 0,05 valószíűséggel találu magot. Megszámolju, háyadi üveg befőttbe találu magot először. a) Meyi a valószíűsége, hogy a hetedi üvegbe találu magot először? b) Várhatóa háyadi üvegbe találu magot először? Megoldás: Legye ξ : háyadi üvegbe találu magot először 6 a) P( ξ 7) 0, 95 0, 05 0, , 05 b) M ( ξ ) 0 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

32 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso F OLYTONOS ELOSZLÁSOK E GYENLETES ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó egyeletes eloszlású az ]a;b[ itervallumba, ha sűrűségfüggvéye, ha a < x < b f(x) b a 0, egyébét a b M(ξ) b a D(ξ) 3 0, x a F(x), b a, ha ha ha x a a < x b x > b E XPONENCIÁLIS ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változót expoeciális eloszlásúa evezzü, ha sűrűségfüggvéye λx λ e, ha x 0 f(x) 0, ha x < 0 M(ξ) D(ξ) λ e F(x) 0, λx, ha ha x 0 x < 0 Alalmazás: várható idő, eltelt idő (ét beövetezés özött eltelt idő), élettertam 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

33 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso Példa: Egy légodicioáló beredezés motorjáa élettartama átlagosa 5 év. Jelölje ξ expoeciális eloszlású valószíűségi változó a várható élettartamot évebe számítva. a) Mi a valószíűsége, hogy egy motort 3 éve belül i ell cseréli? b) Mi a valószíűsége, hogy egy motor 8 évél tovább fog műödi? Megoldás: M(ξ) 5 λ a) P( ξ < 3) F( 3) e 0, > 5 b) P( ξ 8) P( ξ 8) P( ξ < 8) F( 8) e 5 e 0, 09 N ORMÁLIS ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó ormális eloszlású, ha sűrűségfüggvéye f(x) e σ π ( x m) σ x R ahol m tetszőleges valós szám, σ > 0. M(ξ) m D(ξ) σ F(x) e σ π x m F(x) Φ σ Φ( x) Φ(x) x ( t m) σ dt x R Alalmazás: természet redjébe beövetező eseméye, forgalom, gyártás 33 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

34 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso Példa: Egy isolába a gyeree magasságát ormális eloszlású valószíűségi változó jellemzi 60 cm várható értéel és 30 cm szórással. Meyi a valószíűsége, hogy egy tetszőlegese iválasztott gyerme magassága a) evesebb 66 cm-él? b) 50 cm-él több, de 9 cm-él evesebb? Megoldás: Legye ξ : iválasztott gyere magassága m60 σ30 a) ( 66 ) ( 66) Φ Φ( 0, ) 0, 5793 b) P ξ < F P ( 50 < ξ < 75) F( 75) F( 50) Φ Φ Φ ( 0, 5) Φ( 0, 33) Φ( 0, 5) ( Φ( 0, 33) ) 0, 695 ( 0, 693) 0, Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

35 Valószíűségszámítás Tartalomjegyzé XI. Tartalomjegyzé I. Bevezetés a pézügyi számításoba... 3 II. Kombiatoria... 8 III. Eseméyalgebra... 0 IV. Klasszius valószíűség... 3 V. Mitavétele... 4 VI. Geometriai valószíűség... 6 VII. Feltételes valószíűség... 7 VIII. Függetle ísérlete... 9 IX. Valószíűségi változó és jellemzői... X. Valószíűségi eloszláso... 7 XI. Tartalomjegyzé Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa