Valószínûség számítás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószínûség számítás"

Átírás

1 Valószíûség számítás

2 Adrea Glashütter Feller Diáa

3 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása: eljáráso, amelye sorá meghatározzu egy adott időpotbeli pézösszege r amatlábat feltételezve egy mási időpotra számított értéét. A. JÖVŐÉRTÉK SZÁMÍTÁSA: a jelebeli pézösszeg valamely jövőbei időpotra voatozó értéée a meghatározása. Kiszámítása a amatszámítás módszeré alapul. FV PV ( r) Kamattéyező: azt fejezi i, hogy a jövőbei érté háyszorosa egységyi mai pézösszege. Egyszerű amatozás: Hosszabb időre voatozó befetetés eseté mide periódusba csa a ezdő befetetés amatozi. Kamatos amatozás: Hosszabb időre voatozó befetetés eseté mide orábbi időszaba apott amat újra befetetésre erül és ez a övetező időszaba többletamatot eredméyez. FV r) PV (, ahol r: amatozási periódusra jutó amatláb : amatozási perióduso száma Ha adatai az éves amatlábról (p), az éveéti amatfizetése számáról (m) álla redelezésüre, aor a t éve eresztül amatoztatott pézü jövőértée: FV PV ( p m m t ) p Az előző éplettel összehasolítva általáosságba is elmodható, hogy r és m t. m Példa: 000 Ft-ot helyezü el baba. Az éves amatláb % és a amatjóváírás évete törtéi. Eor 5 év múlva a redelezésüre álló összeg: 0, 5 FV 000 ( ) 593, 74 Meora lee a jövőértée ee az összege, ha a amatjóváírás félévete törtéi? 0, 5 FV 000 ( ) 74, 08 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

4 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba B. JELENÉRTÉK SZÁMÍTÁSA: a jövőbe esedées péze jele időpotra voatozó értéée a meghatározása. Kiszámítása a diszotálás módszeré alapul, ami a amatszámítással elletétes művelet. Egy periódus eseté: Általáos ala: PV FV r PV FV, vagy ( r) p PV FV FV ( p m t m ( ) m -m t ) Diszotráta: a diszotálásál haszálatos amatláb. Diszottéyező: azt fejezi i, hogy a jeleérté háyszorosa valamely jövőbei időpotba esedées egységyi pézösszege. A amatláb érvéyességi időtartama: az az időtartam, amelyet időegysége teitee. Kamatozási periódus: a amat-jóváírási vagy amatfizetési idősza hosszát jelöli. Példa: 7%-os éves amatláb mellett meora összeget ell a baba teem, hogy egy év múlva $ álljo a redelezésemre: PV ($) 0, 07 ( ) C. ANNUITÁS: a meghatározott ideig esedées, periódusoét egyelő agyságú pézáramo sorozata. Szoásos auitás: a pézáramo idősza végé jeleteze. Esedées auitás: a pézáramo a perióduso elejé esedéese. Gyűjtőjáradé: Az auitáso jövőértéée számítása olya típusú érdésere ad választ, hogy ha C összeget befetetü (pl. baba teszü) mide év ( hóap, egyedév..) végé/elejé perióduso eresztül, és ha a befetetésü évi r % hozamot biztosít (a ba r % amatot fizet), meora összeggel redelezü az. periódus végé? A válasz a jövőérté-számítással oldható meg. 4 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

5 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba Szoásos auitáso jövőértée(idősza végé): S ( FVAN ) p m t ( ) ( r) C C m, r p m ahol C: pézáramo összege ( a többi jelölést lsd. fet) Levezetés: S C C amatozási perióduso száma. befizetés amatozási ideje. periódus végé a amatos amatoal övelt összeg C r - ( ) - ( ) C r M M M C r 0 C összes befizetése értée S az. periódus végé: - ( ) C( r) K C( r) C( r) ( r) K ( r) ( r) [ ] mértai sorozat összegéplete alapjá C ( r) r Esedées auitáso jövőértée (idősza elejé): Az előzőehez épest ayiba tér el az összegü, hogy itt mide egyes befizetett összeg egyel több perióduso eresztül amatozi. S ( r) C ( r) r ( FVAND ) Példa: 00 Ft-ot helyezü el mide hóap végé a baba. Az éves amatláb % és a amatjóváírás mide hóap végé törtéi. Meora az ily módo épzett 5 éves auitás jövőértée: C00 m p0, t5 S 0, 00 0, , 04 5 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

6 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba Törlesztőjáradé: Az auitáso jeleértée az perióduso eresztül, periódusoét egyelő agyságú pézáramláso (ifizetése vagy bevétele) sorozatáa jeleértée. Szoásos auitáso jeleértée (idősza végé): V ( r) ( r) C C, r r r ahol C: törlesztőrészlet ( PVAN ) Levezetés: V C C törlesztési perióduso száma. befizetés háy periódus múlva esedées jeleértée C( r) C r C( r) C r M M M C ( ) r C r C( r) C r - - ( ) ( r) ( r) ( r) C ( r) ( r) ( r) mértai sorozat összegéplete alapjá C ( r) K K C r összes befizetése értée az. periódus végé: ( r) ( r) C r ( ) ( ) ( ) V (felvett vagy ölcsöadott hitel összege) 6 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

7 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba Példa: Egy vállalozó 5 millió Ft hitelt vett fel 7 %-os amatláb mellett. A ölcsöt 4 év alatt egyelő összegebe ell visszafizetie. Az első törlesztés a ölcsö felvétele utá egy évvel esedées. a.) Meyi az éves törlesztőösszeg? V r0,7 (p0,7 és m) 4 (t4) C ( 0,7) 0,7 4 C (Ft) b.) Készítse el a törlesztő tervet? Év Törlesztő Feálló Kamatra Törlesztésre vége összeg tartozás Esedées auitáso jeleértée(idősza elejé): ( r) V ( PVAND ) C r 7 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

8 Valószíűségszámítás Kombiatoria II. Kombiatoria A. PERMUTÁCIÓ Ismétlés élüli permutáció: ülöböző elem sorba redezése. Az ülöböző elem permutációia száma: P! Ismétléses permutáció: elem sorba redezése, amelye özött megülöböztethetetlee (ismétlődő) is vaa. Az elem ismétléses permutációia száma: P (,,..., r )!!!...! ahol,,..., megülöböztethetetle elem va. B. VARIÁCIÓ Ismétlés élüli variáció: ülöböző elemből iválasztása és sorba redezése, ha mide elem csa egyszer választható. Az elem -ad osztályú ismétlés élüli variációia száma:! V ( )! Ismétléses variáció: ülöböző elemből iválasztása és sorba redezése, ha bármely elem többször is választható. Az elem -ad osztályú ismétléses variációia száma: (i) V C. KOMBINÁCIÓ Ismétlés élüli ombiáció: ülöböző elemből iválasztása, ha a sorred em számít és egy elemet csa egyszer választhatu. Az elem -ad osztályú ismétlés élüli ombiációia száma:! C!( )! 8 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

9 Valószíűségszámítás Kombiatoria Ismétléses ombiáció: ülöböző elemből iválasztása, ha a sorred em számít és bármely elem többször is választható. Az elem -ad osztályú ismétléses ombiációia száma: - C (i) D. BINOMIÁLIS TÉTEL Tétel: Tetszőleges éttagú ifejezés (biom) bármely emegatív egész itevőjű hatváya poliommá alaítható a övetező módo: ( ) b b a... b a a 0 b a R b a, N; ahol Az szimbólumot biomiális együtthatóa evezzü. Tulajdoságo: Szimmetria: Összeg: Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

10 Valószíűségszámítás Eseméyalgebra III. Eseméyalgebra VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: véletle tömegjelesége vizsgálata, törvéyszerűsége eresése. JELENSÉG: DETERMINISZTIKUS: (bolygó mozgása, szabadesés), előre meghatározott SZTOCHASZTIKUS : véletleszerű Sztochasztius a jeleség, ha a megfigyelt jelesége azoos örülméye özött többféle imeetele lehet. TÖMEGJELENSÉG: azoos örülméye özött aárháyszor megismételhető. VÉLETLEN KÍSÉRLET: a véletle tömegjeleség előidézése, megfigyelése. ESEMÉNY: a véletle jeleség valamely imeetele. Jelölés: A, B, C, stb. ESEMÉNYTÉR: eseméye összessége, halmaza. Jelölés: H Eseméy: ELEMI ESEMÉNY: csa egyféleéppe övetezhet be Példa: ocadobásál -est dobo ÖSSZETETT ESEMÉNY: többféleéppe is beövetezhet Példa: ocadobásál párosat dobo LEHETETLEN ESEMÉNY: ami az adott ísérletél em övetezhet be. Jele: ø Példa: ocával 7-est dobo BIZTOS ESEMÉNY: amely az adott ísérletél biztosa beövetezi. Tartalmazza az összes elemi eseméyt. Példa: ocával 7-él isebbet dobo Művelete eseméyeel MAGA UTÁN VONÁS: A B eseméy maga utá voja A-t, ha B beövetezésével A is beövetezi. Jelölés: B A Példa: A: párosat dobo ocával B: -est dobo ocával Eor B A 0 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

11 Valószíűségszámítás Eseméyalgebra KÉT ESEMÉNY EGYENLŐSÉGE: ha ét eseméy özül bármelyi beövetezi, az maga utá voja a mási beövetezését. Jelölés: A B Példa: A: 4-él isebb párosat dobo ocával B: -est dobo ocával Eor B A KOMPLEMENTER ESEMÉNY: Jelölés: A. A aor övetezi be, ha A em övetezi be. ÖSSZEADÁS: AB aor övetezi be, ha A és B özül legalább az egyi beövetezi. SZORZÁS: A B aor övetezi be, amior A és B egyszerre beövetezi. A ÉS B EGYMÁST KIZÁRÓ ESEMÉNYEK, ha egyszerre em övetezhete be. A ÉS B KÜLÖNBSÉGÉN azt értjü, amior A beövetezi, de B em. Jelölés: A-B Tulajdoságo: idempotecia: ommutatív: asszociatív: disztributív: AA A A A A AB BA A B B A (AB)C A(BC) (A B) C A (B C) A (BC) A BA C A(B C) (AB) (AC) Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

12 Valószíűségszámítás Eseméyalgebra További tulajdoságo: A H A AH H A ø ø Aø A A A ø A A H elyelési tulajdoság: AA B A A (AB) A de Morga azoosságo: A B A B A B A B TELJES ESEMÉNYRENDSZER: az A, A,..., A em lehetetle eseméye teljes eseméyredszert alota, ha bármely ét eseméy pároét izárjá egymást, valamit összegü a biztos eseméy. A A ø A i j A K A H Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

13 Valószíűségszámítás Klasszius valószíűség IV. Klasszius valószíűség RELATÍV GYAKORISÁG: Az A eseméyt vizsgálju. Végezzü el a ísérletet azoos örülméye özött -szer; a vizsgált A eseméy beövetezi A -szor. relatív gyaoriságáa, A -t az A eseméy gyaoriságáa evezzü. A -t az A eseméy VALÓSZÍNŰSÉG: A sztochasztiusa overgál egy számhoz, amely számot az A eseméy valószíűségée evezü. RELATÍV GYAKORISÁG TULAJDONSÁGAI: mivel 0 0 A A a biztos eseméy relatív gyaorisága Ha A, A,..., A eseméye pároét izárjá egymást, aor A A... A eseméye relatív gyaorisága az A, A,..., A eseméye relatív gyaoriságaia összegével egyezi meg. A VALÓSZÍNŰSÉG AXIÓMÁI A H eseméytér mide A eseméyéhez hozzáredelü egy P(A) számot, melyet az A eseméy valószíűségée evezü, és amely eleget tesz az alábbi axiómáa: mide A eseméy valószíűségére teljesül, hogy 0 P(A) a biztos eseméy valószíűsége : P(H) ha A és B egymást izáró eseméye, aor P(AB) P(A)P(B) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK: ha az A eseméy valószíűsége P(A), aor P( A) P(A) a lehetetle eseméy valószíűsége 0. ha az A, A,..., A eseméye teljes eseméyredszert alota, aor P(A )P(A )... P(A ) P(A-B) P(A)-P(A B) ha B maga utá voja A-t, azaz B A, aor P(A-B) P(A)-P(B) ha A és B tetszőleges eseméye, aor P(AB) P(A)P(B)-P(A B) KLASSZIKUS KÉPLET: Legye a H eseméytér elemi eseméyeie száma és tegyü fel, hogy midegyi egyelő valószíűséggel övetezi be. Ha az A eseméy potosa elemi eseméy összegeét írható fel, aor P(A) 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

14 Valószíűségszámítás Mitavétele V. Mitavétele Visszatevés élüli mitavétel: N elemű mitába va M számú itütetett. Egyszerre iválasztu számú elemet.(vagy egymás utá választu i db-ot úgy, hogy a iválasztottat félretesszü.) Meyi a valószíűsége, hogy számú itütetett lesz özte? Jelölje A azt az eseméyt, hogy az iválasztott elem özt itütetett va. Eor Visszatevéses mitavétel: P (A ) M N M N N elemű mitába va M számú itütetett. Kiválasztu számú elemet úgy, hogy bármelyiet újra választhatju. Meyi a valószíűsége, hogy számú itütetett lesz özte? Jelölje A azt az eseméyt, hogy az iválasztott elem özt itütetett va. Eor azaz P (A M ( N M ) M N M P (A ), N N N ahol az M N M p és q, azaz q p. N N ) p q 4 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

15 Valószíűségszámítás Mitavétele Példá:. Meyi a valószíűsége, hogy ötös lottó (a) legalább ét páros va a ihúzott számo özött? P(legalább ét páros) - P(evesebb, mit ettő páros) - ( P(0 db páros) P(db páros) ) , (b) va a számo özött öttel osztható? 7 5 P(va a számo özött öttel osztható) - P(ics a számo özött öttel osztható) - 0, A tapasztalato szerit egy beziúthoz érező autó 0%-a ülföldi. Meyi a valószíűsége, hogy a övetező 0 autó özül (a) em lesz ülföldi? 0 P(em lesz ülföldi) 0,8 0, 073 (b) legfeljebb ét ülföldi lesz? P(legfeljebb ét ülföldi lesz) P(0 vagy vagy ülföldi lesz) ,8 0, 0, 8 0, 0, 8 0, P(em lesz özte magyar) 0,, 0 0 (c) em lesz özte magyar? 5 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

16 Valószíűségszámítás Geometriai valószíűség VI. Geometriai valószíűség GEOMETRIAI VALÓSZÍNŰSÉGről va szó, ha a H eseméytér mérhető geometriai alazat, az A eseméy ee mérhető részhalmaza aa a valószíűsége, hogy egy véletle pot az A-ba esi, aráyos az A tartomáy mértéével. Ha A H P(A) A tartomáy mértée H tartomáy mértée Példá:. Egy futball labdát találomra eirúgu egy házfala, amely 0m hosszú és 5m magas. A házo ét, m x,5m-es abla va. Meyi aa a valószíűsége, hogy a labdát az ablaba rúgju? 6 P(a labdát az ablaba rúgju) 0, 50. Egy ember elfelejtette este felhúzi az óráját, és reggel 8:00-or vette észre, hogy az óra megállt. Meyi a valószíűsége, hogy a agymutató a hármas és a hatos özött állt meg? rπ P(a agymutató a hármas és a hatos özött állt meg) 4 0, 5 rπ 4 6 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

17 Valószíűségszámítás Feltételes valószíűség VII. Feltételes valószíűség Feltételes relatív gyaoriság: Elvégzü egy ísérletet -szer. Tegyü fel, hogy a B eseméy B -szer, az A B eseméy A B -szer övetezi be. Eor az A eseméy B feltétel melletti relatív gyaorisága megmutatja, hogy B beövetezésée háyadrészébe övetezett be A is. A B B Az A eseméy B feltétel melletti FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉGÉN értjü az A B eseméy valószíűségée és a B eseméy valószíűségée háyadosát (ha P(B) 0). Jelölés: P ( A B) A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉGRE IS ÉRVÉNYESEK AZ AXIÓMÁK: 0 P(A B) P(B B) Ha A, A,..., A egymást pároét izáró eseméye, aor P(A A...,A B) P(A B)P(A B)...P(A B). A VALÓSZÍNŰSÉG SZORZÁSI SZABÁLYA: P(A A... A ) P(A ) P(A A ) P(A 3 A A )... P(A A A... A - ) TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE: Ha B, B,..., B teljes eseméyredszert alot és A a H eseméytér valamely eseméye, aor P(A) P(B ) P(A B )P(B ) P(A B )...P(B ) P(A B ). BAYES-TÉTELE: Ha B, B,..., B teljes eseméyredszert alot és A a H eseméytér valamely eseméye, P(B ) P(A B ) aor P ( B A). P(B ) P(A B ) i i í 7 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

18 Valószíűségszámítás Feltételes valószíűség Példá:. 000 megvizsgált ember özül 5 szívaot találta. A megvizsgálta 3/5 része ő volt, a férfia /40 része szíva. Meyi a valószíűsége, hogy egy véletleszerűe iválasztott (a) ő szíva? (b) szíva férfi? (a) szíva) P( szíva ő) ő férfi szíva em szíva P(ő és szíva) 5 P(ő P( ő) 600 P(szíva és férfi) P( szíva férfi) P férfi szíva P(szíva) (b) ( ). Vegyszerrel szúyogirtást végeze. Az első permetezés utá a szúyogo 80%-a elpusztul, de az életbe maradottaba ayi elleálló épesség fejlődi i, hogy a másodi permetezésor már csa az életbe maradt szúyogo 40%-a pusztul el, a harmadi irtásál pedig csa a 0%-u. Meyi a valószíűsége, hogy (a) egy szúyog túléli midhárom permetezést? (b) ha egy szúyog túlélte a másodi permetezést, aor a harmadiat is túléli? (c) feltéve hogy elpusztult, a másodi permetezésél pusztult el? I. permetezés II.permetezés III. permetezés elpusztul 0,8 0,08 0,04 0,904 életbe marad 0, 0, 0,096 0, 0, (a) P(egy szúyog túléli midhárom permetezést) P( III.permetezést túléli) 0,096 (b) P(ha egy szúyog túlélte a P ( III - at túléli II - at túlélte) (c) P(feltéve hogy elpusztult, P P ( II - ál elpusztul és elpusztul) P( elpusztult) ( III at túléli és II - at túléli) P( II - at túlélte) 0 5 másodi permetezést, aor a harmadiat is a másodi permetezésél pusztult el) 0,08 0,904 0,088 túléli) 0,096 0,8 0, P ( II - ál elpusztul elpusztult) 8 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

19 Valószíűségszámítás Függetle ísérlete VIII. Függetle ísérlete Legye A és B a H eseméytér ét eseméye. Az A és B eseméyeet egymástól FÜGGETLENe (vagy sztochasztiusa függetlee) evezzü, ha P( A B) P( A) P( B) azaz aor, ha A és B együttes beövetezésése a valószíűsége a A és B eseméye valószíűségée szorzatával egyelő. Tétel: Ha az A és B eseméye függetlee, aor A és B, A és B, valamit A és B is függetlee. Defiíció: Egy eseméytér A, B, C eseméyét függetlee evezzü, ha a övetező összefüggése midegyie teljesül: P A B P A P B P P ( ) ( ) ( ) ( A C) P( A) P( C) ( B C) P( B) P( C) ( A B C) P( A) P( B) P( C) P Eor a három eseméyt teljese függetlee is szoás evezi. Defiíció: Teitsü számú ísérletet. Ha az első ísérletél az A eseméy előfordulásáa valószíűsége P(A ), a másodi ísérletél az A eseméy előfordulásáa valószíűsége P(A ),, az -di ísérletél az A eseméy előfordulásáa valószíűsége P(A ), és aa a valószíűsége, hogy az elsőél A, a másodiál A,, az -diél A övetezi be, egyelő az egyes valószíűsége szorzatával, azaz P( A A K A ) P( A ) P( A ) K P( A ) mide A, A,, A eseté, aor a ísérleteet FÜGGETLEN KÍSÉRLETEKe evezzü. Defiíció: Függetle megismételt ísérlete sorozatát BERNOULLI-KÍSÉRLETSOROZATa evezzü, ha az egyes ísérletee ét lehetséges imeetele va, az A és A, és eze valószíűsége a ísérletsorozat sorá változatla marad. Tétel: Aa a valószíűsége, hogy függetleül megismételt ísérlete hosszúságú sorozatába az A eseméy potosa -szor övetezi be P p q ahol pp(a) és q-pp( A ) Megjegyzés: Nem függetle ísérleteél a feltételes valószíűség általáos szorzási szabályát ell alalmazi. 9 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

20 Valószíűségszámítás Függetle ísérlete Példá:. Megfigyelése szerit az autóverseyző az esete /5 részébe éytelee motorhiba miatt iálli a verseyből. Mi a valószíűsége aa, hogy 7 autóverseyző özül a) seie sem ell iálli? 7 P seie sem ell iálli 0, 8 0, ( ) b) potosa hároma ell iálli? P potosa 3 - a ell iálli 0, 0, 8 0, 3 ( ) 46 c) legalább egye i ell álli? P legalább egye ell iálli P egye sem ell iálli 7 ( ) ( ) 0,8 0, 79 d) legfeljebb ettőe ell iálli? P legfeljebb ettő áll i 0, 0, 8 0, 0, 8 0, 0, 8 0, 0 ( ) 859. Ötös lottó mi a valószíűsége aa, hogy a) 5 héte eresztül egyszer sem lesz találatu? P ( 5 héte eresztül egyszer sem lesz találatu) 0, 35 b) az 5 hétből egyszer lesz találatu és a többi héte em lesz találatu? P az 5 hétbõl egyszer lesz találatu és a többi héte em lesz találatu ( ) , c) 4 héte eresztül em lesz találatu, és az ötödi héte lesz egy hármasu? P ( 4 héte eresztül em lesz találatu, és az ötödi héte lesz egy hármasu) 0, Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

21 Valószíűségszámítás Függetle ísérlete 3. Valai a céltábla 0-es, 0-as, 30-as, 50-es örgyűrűibe redre /3, /6, /6, /3 valószíűséggel talál bele. Mi a valószíűsége aa, hogy 5 lövésből 5 a 0-esbe, 3 a 0-asba, 4a a 30-asba, 3 az 50-esbe talál? ( ) az 50 - esbe talál 4 a 30 - asba, 0 - asba, 3 a P 5 lövésbõl5 a 0 - esbe, , Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

22 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői IX. Valószíűségi változó és jellemzői A H eseméytér mide elemi eseméyéhez redeljü hozzá egy valós számot. Az így értelmezett függvéyt a ξ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓa hívju. Jelölés: ξ Az elemi eseméyehez redelt számértéeről azt modju, hogy eze a ξ valószíűségi változó értéei. Ha a ξ valószíűségi változó lehetséges értéeie száma véges vagy megszámlálhatóa végtele, aor DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓról beszélü. Ha ξ diszrét valószíűségi változó lehetséges értéei x, x,..., x, aor a P(ξ x ), P(ξ x ),..., P(ξ x ) valószíűsége halmazát a ξ valószíűségi változó ELOSZLÁSáa evezzü. A ξ valószíűségi változó FOLYTONOS, ha lehetséges értéei egy vagy több itervallumot alota. A. ELOSZLÁSFÜGGVÉNY ÉS TULAJDONSÁGAI A ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye mide x valós számhoz hozzáredeli az x-él isebb értée felvételée valószíűségét. Jelölés: F(x) P(ξ < x) Az eloszlásfüggvéy tulajdoságai: mide eloszlásfüggvéy mooto ő mide eloszlásfüggvéy balról folytoos limf(x) 0 és lim F(x). Egy F(x) függvéy aor teithető egy ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéyée, ha MEGJEGYZÉS: mooto ő mide potjába balról folytoos limf(x) 0 és lim F(x) Ha F(x) a ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye és a < b, aor P(a ξ < b) F(b)-F(a). Ha a ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye folytoos az a potba, aor P(ξ a) 0. Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

23 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői B. SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY ÉS TULAJDONSÁGAI Ha a ξ folytoos valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F(x), aor f(x) F (x) függvéyt a ξ sűrűségfüggvéyée evezzü. A sűrűségfüggvéy tulajdoságai: f(x) 0 mide sűrűségfüggvéyre. f(x)dx mide sűrűségfüggvéyre. ha F(x) a ξ valószíűségi változó eloszlás-, f(x) x pedig sűrűségfüggvéye, aor F(x) f(t)dt. P(a ξ < b) F(b)-F(a) f(x)dx. b a C. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK PONTJELLEMZŐI Módusz Jelölés: mod(ξ) Diszrét eloszlás: ξ valószíűségi változó módusza a ξ legvalószíűbb értée, ha va. Folytoos eloszlás: ξ valószíűségi változó módusza a sűrűségfüggvéy maximumhelye. (Azt mutatja meg, hogy mely értéhez özeli értéeet vesz fel a legagyobb valószíűséggel.) Mediá Jelölés: med(ξ) Diszrét eloszlás:valamely ξ valószíűségi változó mediája az a valós szám, amelyre P(ξ < med(ξ)) 0,5 és P(ξ med(ξ)) 0,5. a) Ha az eloszlásfüggvéy átugorja a 0,5 értéet, aor az az érté lesz a mediá, amelyél átugrotta. α β b) Ha az eloszlásfüggvéy értée az (α;β] itervallumo 0,5, aor med(ξ) Folytoos eloszlás: Valamely ξ valószíűségi változó mediája az a valós szám, amelyre P(ξ < med(ξ)) 0,5 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

24 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői Kvatilis Jelölés: x q Diszrét eloszlás:legye 0 < q <. Azt a számot, amely eleget tesz a P(ξ < x q ) q, P(ξ x q ) q egyelőtlesége a ξ valószíűségi változó q-vatilisée evezzü. Folytoos eloszlás: Legye 0 < q <. Azt a számot, amely eleget tesz a P(ξ < x q ) q egyelete a ξ valószíűségi változó q-vatilisée evezzü. Várható érté Jelölés: M(ξ) Diszrét eloszlás: A ξ valószíűségi változó lehetséges értéei legyee x, x,..., x, aor ξ várható értée a x i p i összeg. i Folytoos eloszlás: Ha a ξ valószíűségi változó sűrűségfüggvéye f(x), aor ξ várható értée x f(x)dx. Várható értéel apcsolatos tétele:. Legye c tetszőleges valós szám. Eor M(c ξ) c M(ξ).. Legye pozitív egész. - Ha a ξ diszrét valószíűségi változó lehetséges értéei x, x,..., x, aor M(ξ ) x i pi. i - Ha ξ folytoos valószíűségi változó f(x) sűrűségfüggvéyel, aor M(ξ ) x f(x)dx, ha létezi. 3. M(a ξ a ξ... a ξ a 0 ) a M(ξ ) a M(ξ )... a M(ξ) a 0 Szórás Jelölés: D(ξ) Ha a ξ M(ξ) valószíűségi változó égyzetée létezi várható értée, aor ezt ξ szóráségyzetée evezzü. Ee égyzetgyöe a ξ valószíűségi változó szórása. Szórással apcsolatos tétele:. Ha a ξ valószíűségi változó égyzetée létezi várható értée, aor D (ξ) M(ξ )-M (ξ).. Ha a ξ valószíűségi változó szórása létezi, aor tetszés szeriti a és b valós számo eseté D (aξ b) a D (ξ). Példa: 4 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

25 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői Diszrét valószíűségi változóra: Egy útvoalo az autóat 3 lámpa állíthatja meg. Bármely időpotba midegyi 0,5-0,5 valószíűséggel jelez szabad vagy tilos utat. Legyee ξ valószíűségi változó értéei azo jelzőlámpá száma, amelye egy autóa az útvoalo tilosat mutata. Lehetséges imeetele: lehetséges imeetele: SSS SST STS TSS STT TST TTS TTT ξ: 0 3 valószíűség: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ξ eloszlása: P P P P ( ξ 0) 0,5 ( ξ ) 0,375 ( ξ ) 0,375 ( ξ 3) 0,5 mod(ξ) és ξ eloszlásfüggvéye: F F ( x) P( ξ < x) ( x) 0 0,5 0,5 0,875 x 0 0 < x < x < x 3 3 < x Mediá: med(ξ), 5 Alsó vartilis:, mert P( ξ < ) 0,5 0,5, de P( ξ ) 0,5 0,5 x 0,5 Felső vartilis:, mert P( ξ < ) 0, 5 0,75, de P( ξ ) 0,875 0,75 x 0,75 Várható érté: M ξ x p 0 0,5 0,375 0, ,5,5 () Szórás: i i 5 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

26 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői () M( ξ ) M () ξ 3 (, 5) 0, 866 ( ) x p 0 0,5 0,375 0, ,5 D ξ M ξ 3 i i Valószíűsége: P legalább tilosat ap az autó P ξ P ξ P ξ 3 0,375 0,5 P legfeljebb tilosat ap az autó P ξ P ξ 0 P ξ P ξ ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 5 0,375 0,375 0,875 6 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

27 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso X. Valószíűségi eloszláso D ISZKRÉT ELOSZLÁSOK K ARAKTERISZTIKUS ELOSZLÁS Legye A tetszés szeriti eseméy. Ha a valószíűségi változó csa a 0 és értéeet veheti fel, mégpedig, ha A beövetezi ξ 0, ha A em övetezi be, aor araterisztius valószíűségi változóról beszélü. Eloszlása: P(ξ ) p; P(ξ 0) - p q; ahol 0 p. M(ξ) p D (ξ) p q E GYENLETES ELOSZLÁS Ha ξ lehetséges értéei x,x,...,x, aor a P(ξ x i ) ; i,,..., valószíűségeloszlást egyeletes eloszlása evezzü. M(ξ) D (ξ) x i i i x i i x i 7 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

28 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso B INOMIÁLIS ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változót biomiális eloszlásúa modju, ha ξ lehetséges értéei a 0,,,..., és P(ξ ) p q ; ahol 0 < p < ; 0,,,..., és q - p. M(ξ) p D (ξ) p q mod(ξ) [() p] Alalmazás: visszatevéses mitavétel; függetle ísérlete; visszatevés élüli mitavétel ha M és N soal agyobb mit, valamit az N M aráy álladóa teithető a mitavétel sorá. Példa: A tapasztalato szerit egy főisolá a matematia szara jeletező 45%-a földrajz szaos is. Meyi a valószíűsége aa, hogy a főisolá egymás utá megszólított matematia szaos hallgató özül a) potosa 7-e földrajzot is taula; b) több, mit -e, de legfeljebb 5-e földrajz szaosa is? Megoldás: Legye ξ : a földrajzot tauló hallgató száma a) P( ξ ) 0, 45 0, 55 0, 8 b) P ( < ξ 5 ) P ( ξ 3 ) P ( ξ 4 ) P ( ξ 5 ) , 45 0, 55 0, 45 0, 55 0, 45 0, 55 0, Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

29 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso H IPERGEOMETRIKUS ELOSZLÁS A P(ξ ) N M N M 0,,,..., éplettel értelmezett eloszlást hipergeometrius eloszlása evezzü, ha az, M és N pozitív egész számora feáll, hogy M N. M(ξ) p D (ξ) N N q p mod(ξ) ( ) N M Alalmazás: visszatevés élüli mitavétel Példa: 5 üveg bor özött 0 üveg vörös és 5 üveg fehér bor található. Találomra ivesze 6 üveget úgy, hogy a már iválasztott üveget félreteszem. a) Meyi a valószíűsége, hogy üveg vörösbor va özte? b) Meyi a valószíűsége, hogy legalább 3, de evesebb, mit 5 fehérbor lesz özte? Megoldás: a) Legye ξ: vörösboros üvege száma. ( ) , ξ P b) Legye ξ: fehérboros üvege száma. ( ) ( ) ( ) , < ξ ξ ξ P P P 9 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

30 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso P OISSON- ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó Poisso eloszlású, ha lehetséges értéei a 0,,,...,,... számo és λ λ valószíűségeloszlása P(ξ ) e, ahol λ > 0 és 0,,,...,,...! M(ξ) λ D (ξ) λ [] λ, mod(ξ) λ és λ, ha ha λ λ em egész szám egész szám Alalmazása: potelhelyezedési problémá Példa: Az 5-ös főút egyi szaaszá átlagosa 5 apoét törtéi baleset. Mi a valószíűsége, hogy 0 ap alatt a) 3 baleset törtéi? b) legalább baleset törtéi? Megoldás: 5 ap baleset 0 ap? baleset λ4 Legye ξ : a 0 ap alatt törtét balesete száma a) P( ξ 3) e 0, 953 3! 0 4 0! 4 4 b) P( ξ ) P( ξ < ) ( P( ξ 0) P( ξ ) ) e e 0, ! 30 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

31 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso G EOMETRIAI ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó geometriai eloszlású, ha lehetséges értéei,,...,,... természetes számo és P(ξ ) q - p, ahol 0 < p <, q - p, és,,..,,... M(ξ) p D q (ξ) p mod(ξ) Alalmazás: aa a valószíűségét eressü, hogy a függetle ísérlete elvégzése sorá az A eseméy -adira övetezi be először Példa: Egy üveg csereszyebefőttbe 0,05 valószíűséggel találu magot. Megszámolju, háyadi üveg befőttbe találu magot először. a) Meyi a valószíűsége, hogy a hetedi üvegbe találu magot először? b) Várhatóa háyadi üvegbe találu magot először? Megoldás: Legye ξ : háyadi üvegbe találu magot először 6 a) P( ξ 7) 0, 95 0, 05 0, , 05 b) M ( ξ ) 0 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

32 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso F OLYTONOS ELOSZLÁSOK E GYENLETES ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó egyeletes eloszlású az ]a;b[ itervallumba, ha sűrűségfüggvéye, ha a < x < b f(x) b a 0, egyébét a b M(ξ) b a D(ξ) 3 0, x a F(x), b a, ha ha ha x a a < x b x > b E XPONENCIÁLIS ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változót expoeciális eloszlásúa evezzü, ha sűrűségfüggvéye λx λ e, ha x 0 f(x) 0, ha x < 0 M(ξ) D(ξ) λ e F(x) 0, λx, ha ha x 0 x < 0 Alalmazás: várható idő, eltelt idő (ét beövetezés özött eltelt idő), élettertam 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

33 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso Példa: Egy légodicioáló beredezés motorjáa élettartama átlagosa 5 év. Jelölje ξ expoeciális eloszlású valószíűségi változó a várható élettartamot évebe számítva. a) Mi a valószíűsége, hogy egy motort 3 éve belül i ell cseréli? b) Mi a valószíűsége, hogy egy motor 8 évél tovább fog műödi? Megoldás: M(ξ) 5 λ a) P( ξ < 3) F( 3) e 0, > 5 b) P( ξ 8) P( ξ 8) P( ξ < 8) F( 8) e 5 e 0, 09 N ORMÁLIS ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó ormális eloszlású, ha sűrűségfüggvéye f(x) e σ π ( x m) σ x R ahol m tetszőleges valós szám, σ > 0. M(ξ) m D(ξ) σ F(x) e σ π x m F(x) Φ σ Φ( x) Φ(x) x ( t m) σ dt x R Alalmazás: természet redjébe beövetező eseméye, forgalom, gyártás 33 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

34 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso Példa: Egy isolába a gyeree magasságát ormális eloszlású valószíűségi változó jellemzi 60 cm várható értéel és 30 cm szórással. Meyi a valószíűsége, hogy egy tetszőlegese iválasztott gyerme magassága a) evesebb 66 cm-él? b) 50 cm-él több, de 9 cm-él evesebb? Megoldás: Legye ξ : iválasztott gyere magassága m60 σ30 a) ( 66 ) ( 66) Φ Φ( 0, ) 0, 5793 b) P ξ < F P ( 50 < ξ < 75) F( 75) F( 50) Φ Φ Φ ( 0, 5) Φ( 0, 33) Φ( 0, 5) ( Φ( 0, 33) ) 0, 695 ( 0, 693) 0, Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

35 Valószíűségszámítás Tartalomjegyzé XI. Tartalomjegyzé I. Bevezetés a pézügyi számításoba... 3 II. Kombiatoria... 8 III. Eseméyalgebra... 0 IV. Klasszius valószíűség... 3 V. Mitavétele... 4 VI. Geometriai valószíűség... 6 VII. Feltételes valószíűség... 7 VIII. Függetle ísérlete... 9 IX. Valószíűségi változó és jellemzői... X. Valószíűségi eloszláso... 7 XI. Tartalomjegyzé Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Matematika III. Nagy Károly 2011

Matematika III. Nagy Károly 2011 Matematika III előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 20 . Kombinatorika.. Definíció. Adott n darab egymástól különböző elem. Ezeknek egy meghatározott sorrendjét az n elem

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya A PANNONLÍZING PÉNZÜGYI SZOLGÁLTATÓ RT. ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI FORINT (HUF ALAPON KAMATOZÓ KÖLCSÖNSZERZŐDÉSEKHEZ ÉRVÉNYES A 2002. MÁRCIUS 18-TÓL A VISSZAVONÁSÁIG KÖTÖTT SZERZŐDÉSEKRE A Paolízig

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

1. Kombinatorikai bevezetés példákkal, (színes golyók):

1. Kombinatorikai bevezetés példákkal, (színes golyók): 1. Kombinatoriai bevezetés példáal, (színes golyó: (a ismétlés nélüli permutáció (sorba rendezés: n ülönböz szín golyót hányféleépp állíthatun sorba? 10-et? n! 10! (b ismétléses permutáció: n 1 piros,

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK Eegeikai gazdasága MKEE. gyakola PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK A gyakola célja, hogy a hallgaók A. megismejék az alapveő közgazdaságai muaóka; B. egyszeű pojekéékelési számíásoka udjaak elvégezi. A. KÖZGAZDASÁGTANI

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek

Általános Szerződési Feltételek Általáos Szerződési Feltétele 2010 február 28-ig ötött Pézügyi Lízig Szerződésehez (Személygépjármű, Kishaszogépjármű, Motorerépár fiaszírozásához) Érvéyes pézügyi lízig szerződésere 2011.március 1. apjától,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projet eretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszéén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek

Általános Szerződési Feltételek Általáos Szerződési Feltétele 2010. júius 11-től ötött Pézügyi Lízigszerződésehez (Személygépjármű, Kishaszogépjármű, Motorerépár fiaszírozásához) Érvéyes pézügyi lízig szerződésere 2011. március 1. apjától,

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

Gazdasági Információs Rendszerek

Gazdasági Információs Rendszerek Gazdasági Információs Rendszerek 1. előadás Bánhelyi Balázs Alkalmazott Informatika Tanszék, Szegedi Tudományegyetem 2009 A pénz időértéke Mit jelent a pénz időértéke? Egy forint (dollár, euró, stb.) ma

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest Tameetjavaslat az NT-11580 ratári sú Matematia 5. taöyvhöz Otatásutató és Fejlesztő Itézet, Budapest A tameetjavaslat 144 órára lebotva dolgozza fel a taayagot. Ameyibe eél több idő áll a redelezésüre,

Részletesebben

Tartalom. Speciális pénzáramlások. Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 2010.10.19. 8. hét. Speciális pénzáramlások. Örökjáradék:

Tartalom. Speciális pénzáramlások. Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 2010.10.19. 8. hét. Speciális pénzáramlások. Örökjáradék: Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 8. hét 2010.10.26. 1 Tartalom Speciális pénzáramlások Örökjáradék: Olyan végtelen számú tagból álló pénzáramlás, amelynek minden eleme megegyezik. Növekvő örökjáradék:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Számítások. *Előadásanyagban nem szerepel. Kamat idővel egyenesen arányos. 1.3. Példa - Kamatos kamat egész évekre éven belül egyszerű kamat

Számítások. *Előadásanyagban nem szerepel. Kamat idővel egyenesen arányos. 1.3. Példa - Kamatos kamat egész évekre éven belül egyszerű kamat Számítások.Kamatszámítás..Péda - Kamatos kamat Számítsuk ki a visszafizetedő összeget az aábbi kostrukció eseté (kamatos kamatta számova), ha 2005.0.0-é köcsö adtuk 200.000 Ft- ot, 205.2.3-é kapjuk vissza

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

HosszútávúBefektetések Döntései

HosszútávúBefektetések Döntései VállalatgadaságtaII. HossútávúBefektetések Dötései Előadó: Koma Tímea Tatárgyfelelős: Dr. Illés B. Csaba 27. November 9. A hossútávúbefektetések sajátosságai Rövidebb időre sóló befektetés hossabb időtávra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Gazdasági matematika 2. tantárgyi kalauz

Gazdasági matematika 2. tantárgyi kalauz Hanich József Gazdasági matematika 2. tantárgyi kalauz Szolnoki Főiskola Szolnok 2005. Gazdasági matematika 2. tantárgyi kalauz A kalauz a következő 3 kiadványhoz készült: Dr. Csernyák László: Matematika

Részletesebben

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

1. A lehetséges finanszírozási források és azok ára

1. A lehetséges finanszírozási források és azok ára 3. kozultáció 1. A lehetséges fiaszírozási források és azok ára 1.1. A fiaszírozás belső forrásai 1.2. Külső fiaszírozási források 1.3. A fiaszírozási források ára 1.4. A pézügyi lehetőségek egy részéek

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika, 9 10. évfolyam

Valószínűségszámítás és statisztika, 9 10. évfolyam Valószíűségszámítás és statisztika, 9 0. évfolyam Hraskó Adrás 04. júius 8. 4 TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok. A statisztika alapjai............................... Kísérletek....................................

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó Előszó A Pézügyi számítások I. a Miskolci Egyetem közgazdász appali, kiegészítő levelező és posztgraduális kurzusai oktatott pézügyi tárgyak feladatgyűjteméyéek az első darabja. Tematikája elsősorba a

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Balogh Zsuzsanna Hana László BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Ebben a dolgozatban a Bayes-féle módszer alalmazási lehetőségét mutatju be a ocázatelemzés

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben