Valószínûség számítás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószínûség számítás"

Átírás

1 Valószíûség számítás

2 Adrea Glashütter Feller Diáa

3 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása: eljáráso, amelye sorá meghatározzu egy adott időpotbeli pézösszege r amatlábat feltételezve egy mási időpotra számított értéét. A. JÖVŐÉRTÉK SZÁMÍTÁSA: a jelebeli pézösszeg valamely jövőbei időpotra voatozó értéée a meghatározása. Kiszámítása a amatszámítás módszeré alapul. FV PV ( r) Kamattéyező: azt fejezi i, hogy a jövőbei érté háyszorosa egységyi mai pézösszege. Egyszerű amatozás: Hosszabb időre voatozó befetetés eseté mide periódusba csa a ezdő befetetés amatozi. Kamatos amatozás: Hosszabb időre voatozó befetetés eseté mide orábbi időszaba apott amat újra befetetésre erül és ez a övetező időszaba többletamatot eredméyez. FV r) PV (, ahol r: amatozási periódusra jutó amatláb : amatozási perióduso száma Ha adatai az éves amatlábról (p), az éveéti amatfizetése számáról (m) álla redelezésüre, aor a t éve eresztül amatoztatott pézü jövőértée: FV PV ( p m m t ) p Az előző éplettel összehasolítva általáosságba is elmodható, hogy r és m t. m Példa: 000 Ft-ot helyezü el baba. Az éves amatláb % és a amatjóváírás évete törtéi. Eor 5 év múlva a redelezésüre álló összeg: 0, 5 FV 000 ( ) 593, 74 Meora lee a jövőértée ee az összege, ha a amatjóváírás félévete törtéi? 0, 5 FV 000 ( ) 74, 08 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

4 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba B. JELENÉRTÉK SZÁMÍTÁSA: a jövőbe esedées péze jele időpotra voatozó értéée a meghatározása. Kiszámítása a diszotálás módszeré alapul, ami a amatszámítással elletétes művelet. Egy periódus eseté: Általáos ala: PV FV r PV FV, vagy ( r) p PV FV FV ( p m t m ( ) m -m t ) Diszotráta: a diszotálásál haszálatos amatláb. Diszottéyező: azt fejezi i, hogy a jeleérté háyszorosa valamely jövőbei időpotba esedées egységyi pézösszege. A amatláb érvéyességi időtartama: az az időtartam, amelyet időegysége teitee. Kamatozási periódus: a amat-jóváírási vagy amatfizetési idősza hosszát jelöli. Példa: 7%-os éves amatláb mellett meora összeget ell a baba teem, hogy egy év múlva $ álljo a redelezésemre: PV ($) 0, 07 ( ) C. ANNUITÁS: a meghatározott ideig esedées, periódusoét egyelő agyságú pézáramo sorozata. Szoásos auitás: a pézáramo idősza végé jeleteze. Esedées auitás: a pézáramo a perióduso elejé esedéese. Gyűjtőjáradé: Az auitáso jövőértéée számítása olya típusú érdésere ad választ, hogy ha C összeget befetetü (pl. baba teszü) mide év ( hóap, egyedév..) végé/elejé perióduso eresztül, és ha a befetetésü évi r % hozamot biztosít (a ba r % amatot fizet), meora összeggel redelezü az. periódus végé? A válasz a jövőérté-számítással oldható meg. 4 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

5 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba Szoásos auitáso jövőértée(idősza végé): S ( FVAN ) p m t ( ) ( r) C C m, r p m ahol C: pézáramo összege ( a többi jelölést lsd. fet) Levezetés: S C C amatozási perióduso száma. befizetés amatozási ideje. periódus végé a amatos amatoal övelt összeg C r - ( ) - ( ) C r M M M C r 0 C összes befizetése értée S az. periódus végé: - ( ) C( r) K C( r) C( r) ( r) K ( r) ( r) [ ] mértai sorozat összegéplete alapjá C ( r) r Esedées auitáso jövőértée (idősza elejé): Az előzőehez épest ayiba tér el az összegü, hogy itt mide egyes befizetett összeg egyel több perióduso eresztül amatozi. S ( r) C ( r) r ( FVAND ) Példa: 00 Ft-ot helyezü el mide hóap végé a baba. Az éves amatláb % és a amatjóváírás mide hóap végé törtéi. Meora az ily módo épzett 5 éves auitás jövőértée: C00 m p0, t5 S 0, 00 0, , 04 5 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

6 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba Törlesztőjáradé: Az auitáso jeleértée az perióduso eresztül, periódusoét egyelő agyságú pézáramláso (ifizetése vagy bevétele) sorozatáa jeleértée. Szoásos auitáso jeleértée (idősza végé): V ( r) ( r) C C, r r r ahol C: törlesztőrészlet ( PVAN ) Levezetés: V C C törlesztési perióduso száma. befizetés háy periódus múlva esedées jeleértée C( r) C r C( r) C r M M M C ( ) r C r C( r) C r - - ( ) ( r) ( r) ( r) C ( r) ( r) ( r) mértai sorozat összegéplete alapjá C ( r) K K C r összes befizetése értée az. periódus végé: ( r) ( r) C r ( ) ( ) ( ) V (felvett vagy ölcsöadott hitel összege) 6 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

7 Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba Példa: Egy vállalozó 5 millió Ft hitelt vett fel 7 %-os amatláb mellett. A ölcsöt 4 év alatt egyelő összegebe ell visszafizetie. Az első törlesztés a ölcsö felvétele utá egy évvel esedées. a.) Meyi az éves törlesztőösszeg? V r0,7 (p0,7 és m) 4 (t4) C ( 0,7) 0,7 4 C (Ft) b.) Készítse el a törlesztő tervet? Év Törlesztő Feálló Kamatra Törlesztésre vége összeg tartozás Esedées auitáso jeleértée(idősza elejé): ( r) V ( PVAND ) C r 7 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

8 Valószíűségszámítás Kombiatoria II. Kombiatoria A. PERMUTÁCIÓ Ismétlés élüli permutáció: ülöböző elem sorba redezése. Az ülöböző elem permutációia száma: P! Ismétléses permutáció: elem sorba redezése, amelye özött megülöböztethetetlee (ismétlődő) is vaa. Az elem ismétléses permutációia száma: P (,,..., r )!!!...! ahol,,..., megülöböztethetetle elem va. B. VARIÁCIÓ Ismétlés élüli variáció: ülöböző elemből iválasztása és sorba redezése, ha mide elem csa egyszer választható. Az elem -ad osztályú ismétlés élüli variációia száma:! V ( )! Ismétléses variáció: ülöböző elemből iválasztása és sorba redezése, ha bármely elem többször is választható. Az elem -ad osztályú ismétléses variációia száma: (i) V C. KOMBINÁCIÓ Ismétlés élüli ombiáció: ülöböző elemből iválasztása, ha a sorred em számít és egy elemet csa egyszer választhatu. Az elem -ad osztályú ismétlés élüli ombiációia száma:! C!( )! 8 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

9 Valószíűségszámítás Kombiatoria Ismétléses ombiáció: ülöböző elemből iválasztása, ha a sorred em számít és bármely elem többször is választható. Az elem -ad osztályú ismétléses ombiációia száma: - C (i) D. BINOMIÁLIS TÉTEL Tétel: Tetszőleges éttagú ifejezés (biom) bármely emegatív egész itevőjű hatváya poliommá alaítható a övetező módo: ( ) b b a... b a a 0 b a R b a, N; ahol Az szimbólumot biomiális együtthatóa evezzü. Tulajdoságo: Szimmetria: Összeg: Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

10 Valószíűségszámítás Eseméyalgebra III. Eseméyalgebra VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: véletle tömegjelesége vizsgálata, törvéyszerűsége eresése. JELENSÉG: DETERMINISZTIKUS: (bolygó mozgása, szabadesés), előre meghatározott SZTOCHASZTIKUS : véletleszerű Sztochasztius a jeleség, ha a megfigyelt jelesége azoos örülméye özött többféle imeetele lehet. TÖMEGJELENSÉG: azoos örülméye özött aárháyszor megismételhető. VÉLETLEN KÍSÉRLET: a véletle tömegjeleség előidézése, megfigyelése. ESEMÉNY: a véletle jeleség valamely imeetele. Jelölés: A, B, C, stb. ESEMÉNYTÉR: eseméye összessége, halmaza. Jelölés: H Eseméy: ELEMI ESEMÉNY: csa egyféleéppe övetezhet be Példa: ocadobásál -est dobo ÖSSZETETT ESEMÉNY: többféleéppe is beövetezhet Példa: ocadobásál párosat dobo LEHETETLEN ESEMÉNY: ami az adott ísérletél em övetezhet be. Jele: ø Példa: ocával 7-est dobo BIZTOS ESEMÉNY: amely az adott ísérletél biztosa beövetezi. Tartalmazza az összes elemi eseméyt. Példa: ocával 7-él isebbet dobo Művelete eseméyeel MAGA UTÁN VONÁS: A B eseméy maga utá voja A-t, ha B beövetezésével A is beövetezi. Jelölés: B A Példa: A: párosat dobo ocával B: -est dobo ocával Eor B A 0 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

11 Valószíűségszámítás Eseméyalgebra KÉT ESEMÉNY EGYENLŐSÉGE: ha ét eseméy özül bármelyi beövetezi, az maga utá voja a mási beövetezését. Jelölés: A B Példa: A: 4-él isebb párosat dobo ocával B: -est dobo ocával Eor B A KOMPLEMENTER ESEMÉNY: Jelölés: A. A aor övetezi be, ha A em övetezi be. ÖSSZEADÁS: AB aor övetezi be, ha A és B özül legalább az egyi beövetezi. SZORZÁS: A B aor övetezi be, amior A és B egyszerre beövetezi. A ÉS B EGYMÁST KIZÁRÓ ESEMÉNYEK, ha egyszerre em övetezhete be. A ÉS B KÜLÖNBSÉGÉN azt értjü, amior A beövetezi, de B em. Jelölés: A-B Tulajdoságo: idempotecia: ommutatív: asszociatív: disztributív: AA A A A A AB BA A B B A (AB)C A(BC) (A B) C A (B C) A (BC) A BA C A(B C) (AB) (AC) Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

12 Valószíűségszámítás Eseméyalgebra További tulajdoságo: A H A AH H A ø ø Aø A A A ø A A H elyelési tulajdoság: AA B A A (AB) A de Morga azoosságo: A B A B A B A B TELJES ESEMÉNYRENDSZER: az A, A,..., A em lehetetle eseméye teljes eseméyredszert alota, ha bármely ét eseméy pároét izárjá egymást, valamit összegü a biztos eseméy. A A ø A i j A K A H Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

13 Valószíűségszámítás Klasszius valószíűség IV. Klasszius valószíűség RELATÍV GYAKORISÁG: Az A eseméyt vizsgálju. Végezzü el a ísérletet azoos örülméye özött -szer; a vizsgált A eseméy beövetezi A -szor. relatív gyaoriságáa, A -t az A eseméy gyaoriságáa evezzü. A -t az A eseméy VALÓSZÍNŰSÉG: A sztochasztiusa overgál egy számhoz, amely számot az A eseméy valószíűségée evezü. RELATÍV GYAKORISÁG TULAJDONSÁGAI: mivel 0 0 A A a biztos eseméy relatív gyaorisága Ha A, A,..., A eseméye pároét izárjá egymást, aor A A... A eseméye relatív gyaorisága az A, A,..., A eseméye relatív gyaoriságaia összegével egyezi meg. A VALÓSZÍNŰSÉG AXIÓMÁI A H eseméytér mide A eseméyéhez hozzáredelü egy P(A) számot, melyet az A eseméy valószíűségée evezü, és amely eleget tesz az alábbi axiómáa: mide A eseméy valószíűségére teljesül, hogy 0 P(A) a biztos eseméy valószíűsége : P(H) ha A és B egymást izáró eseméye, aor P(AB) P(A)P(B) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK: ha az A eseméy valószíűsége P(A), aor P( A) P(A) a lehetetle eseméy valószíűsége 0. ha az A, A,..., A eseméye teljes eseméyredszert alota, aor P(A )P(A )... P(A ) P(A-B) P(A)-P(A B) ha B maga utá voja A-t, azaz B A, aor P(A-B) P(A)-P(B) ha A és B tetszőleges eseméye, aor P(AB) P(A)P(B)-P(A B) KLASSZIKUS KÉPLET: Legye a H eseméytér elemi eseméyeie száma és tegyü fel, hogy midegyi egyelő valószíűséggel övetezi be. Ha az A eseméy potosa elemi eseméy összegeét írható fel, aor P(A) 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

14 Valószíűségszámítás Mitavétele V. Mitavétele Visszatevés élüli mitavétel: N elemű mitába va M számú itütetett. Egyszerre iválasztu számú elemet.(vagy egymás utá választu i db-ot úgy, hogy a iválasztottat félretesszü.) Meyi a valószíűsége, hogy számú itütetett lesz özte? Jelölje A azt az eseméyt, hogy az iválasztott elem özt itütetett va. Eor Visszatevéses mitavétel: P (A ) M N M N N elemű mitába va M számú itütetett. Kiválasztu számú elemet úgy, hogy bármelyiet újra választhatju. Meyi a valószíűsége, hogy számú itütetett lesz özte? Jelölje A azt az eseméyt, hogy az iválasztott elem özt itütetett va. Eor azaz P (A M ( N M ) M N M P (A ), N N N ahol az M N M p és q, azaz q p. N N ) p q 4 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

15 Valószíűségszámítás Mitavétele Példá:. Meyi a valószíűsége, hogy ötös lottó (a) legalább ét páros va a ihúzott számo özött? P(legalább ét páros) - P(evesebb, mit ettő páros) - ( P(0 db páros) P(db páros) ) , (b) va a számo özött öttel osztható? 7 5 P(va a számo özött öttel osztható) - P(ics a számo özött öttel osztható) - 0, A tapasztalato szerit egy beziúthoz érező autó 0%-a ülföldi. Meyi a valószíűsége, hogy a övetező 0 autó özül (a) em lesz ülföldi? 0 P(em lesz ülföldi) 0,8 0, 073 (b) legfeljebb ét ülföldi lesz? P(legfeljebb ét ülföldi lesz) P(0 vagy vagy ülföldi lesz) ,8 0, 0, 8 0, 0, 8 0, P(em lesz özte magyar) 0,, 0 0 (c) em lesz özte magyar? 5 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

16 Valószíűségszámítás Geometriai valószíűség VI. Geometriai valószíűség GEOMETRIAI VALÓSZÍNŰSÉGről va szó, ha a H eseméytér mérhető geometriai alazat, az A eseméy ee mérhető részhalmaza aa a valószíűsége, hogy egy véletle pot az A-ba esi, aráyos az A tartomáy mértéével. Ha A H P(A) A tartomáy mértée H tartomáy mértée Példá:. Egy futball labdát találomra eirúgu egy házfala, amely 0m hosszú és 5m magas. A házo ét, m x,5m-es abla va. Meyi aa a valószíűsége, hogy a labdát az ablaba rúgju? 6 P(a labdát az ablaba rúgju) 0, 50. Egy ember elfelejtette este felhúzi az óráját, és reggel 8:00-or vette észre, hogy az óra megállt. Meyi a valószíűsége, hogy a agymutató a hármas és a hatos özött állt meg? rπ P(a agymutató a hármas és a hatos özött állt meg) 4 0, 5 rπ 4 6 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

17 Valószíűségszámítás Feltételes valószíűség VII. Feltételes valószíűség Feltételes relatív gyaoriság: Elvégzü egy ísérletet -szer. Tegyü fel, hogy a B eseméy B -szer, az A B eseméy A B -szer övetezi be. Eor az A eseméy B feltétel melletti relatív gyaorisága megmutatja, hogy B beövetezésée háyadrészébe övetezett be A is. A B B Az A eseméy B feltétel melletti FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉGÉN értjü az A B eseméy valószíűségée és a B eseméy valószíűségée háyadosát (ha P(B) 0). Jelölés: P ( A B) A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉGRE IS ÉRVÉNYESEK AZ AXIÓMÁK: 0 P(A B) P(B B) Ha A, A,..., A egymást pároét izáró eseméye, aor P(A A...,A B) P(A B)P(A B)...P(A B). A VALÓSZÍNŰSÉG SZORZÁSI SZABÁLYA: P(A A... A ) P(A ) P(A A ) P(A 3 A A )... P(A A A... A - ) TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE: Ha B, B,..., B teljes eseméyredszert alot és A a H eseméytér valamely eseméye, aor P(A) P(B ) P(A B )P(B ) P(A B )...P(B ) P(A B ). BAYES-TÉTELE: Ha B, B,..., B teljes eseméyredszert alot és A a H eseméytér valamely eseméye, P(B ) P(A B ) aor P ( B A). P(B ) P(A B ) i i í 7 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

18 Valószíűségszámítás Feltételes valószíűség Példá:. 000 megvizsgált ember özül 5 szívaot találta. A megvizsgálta 3/5 része ő volt, a férfia /40 része szíva. Meyi a valószíűsége, hogy egy véletleszerűe iválasztott (a) ő szíva? (b) szíva férfi? (a) szíva) P( szíva ő) ő férfi szíva em szíva P(ő és szíva) 5 P(ő P( ő) 600 P(szíva és férfi) P( szíva férfi) P férfi szíva P(szíva) (b) ( ). Vegyszerrel szúyogirtást végeze. Az első permetezés utá a szúyogo 80%-a elpusztul, de az életbe maradottaba ayi elleálló épesség fejlődi i, hogy a másodi permetezésor már csa az életbe maradt szúyogo 40%-a pusztul el, a harmadi irtásál pedig csa a 0%-u. Meyi a valószíűsége, hogy (a) egy szúyog túléli midhárom permetezést? (b) ha egy szúyog túlélte a másodi permetezést, aor a harmadiat is túléli? (c) feltéve hogy elpusztult, a másodi permetezésél pusztult el? I. permetezés II.permetezés III. permetezés elpusztul 0,8 0,08 0,04 0,904 életbe marad 0, 0, 0,096 0, 0, (a) P(egy szúyog túléli midhárom permetezést) P( III.permetezést túléli) 0,096 (b) P(ha egy szúyog túlélte a P ( III - at túléli II - at túlélte) (c) P(feltéve hogy elpusztult, P P ( II - ál elpusztul és elpusztul) P( elpusztult) ( III at túléli és II - at túléli) P( II - at túlélte) 0 5 másodi permetezést, aor a harmadiat is a másodi permetezésél pusztult el) 0,08 0,904 0,088 túléli) 0,096 0,8 0, P ( II - ál elpusztul elpusztult) 8 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

19 Valószíűségszámítás Függetle ísérlete VIII. Függetle ísérlete Legye A és B a H eseméytér ét eseméye. Az A és B eseméyeet egymástól FÜGGETLENe (vagy sztochasztiusa függetlee) evezzü, ha P( A B) P( A) P( B) azaz aor, ha A és B együttes beövetezésése a valószíűsége a A és B eseméye valószíűségée szorzatával egyelő. Tétel: Ha az A és B eseméye függetlee, aor A és B, A és B, valamit A és B is függetlee. Defiíció: Egy eseméytér A, B, C eseméyét függetlee evezzü, ha a övetező összefüggése midegyie teljesül: P A B P A P B P P ( ) ( ) ( ) ( A C) P( A) P( C) ( B C) P( B) P( C) ( A B C) P( A) P( B) P( C) P Eor a három eseméyt teljese függetlee is szoás evezi. Defiíció: Teitsü számú ísérletet. Ha az első ísérletél az A eseméy előfordulásáa valószíűsége P(A ), a másodi ísérletél az A eseméy előfordulásáa valószíűsége P(A ),, az -di ísérletél az A eseméy előfordulásáa valószíűsége P(A ), és aa a valószíűsége, hogy az elsőél A, a másodiál A,, az -diél A övetezi be, egyelő az egyes valószíűsége szorzatával, azaz P( A A K A ) P( A ) P( A ) K P( A ) mide A, A,, A eseté, aor a ísérleteet FÜGGETLEN KÍSÉRLETEKe evezzü. Defiíció: Függetle megismételt ísérlete sorozatát BERNOULLI-KÍSÉRLETSOROZATa evezzü, ha az egyes ísérletee ét lehetséges imeetele va, az A és A, és eze valószíűsége a ísérletsorozat sorá változatla marad. Tétel: Aa a valószíűsége, hogy függetleül megismételt ísérlete hosszúságú sorozatába az A eseméy potosa -szor övetezi be P p q ahol pp(a) és q-pp( A ) Megjegyzés: Nem függetle ísérleteél a feltételes valószíűség általáos szorzási szabályát ell alalmazi. 9 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

20 Valószíűségszámítás Függetle ísérlete Példá:. Megfigyelése szerit az autóverseyző az esete /5 részébe éytelee motorhiba miatt iálli a verseyből. Mi a valószíűsége aa, hogy 7 autóverseyző özül a) seie sem ell iálli? 7 P seie sem ell iálli 0, 8 0, ( ) b) potosa hároma ell iálli? P potosa 3 - a ell iálli 0, 0, 8 0, 3 ( ) 46 c) legalább egye i ell álli? P legalább egye ell iálli P egye sem ell iálli 7 ( ) ( ) 0,8 0, 79 d) legfeljebb ettőe ell iálli? P legfeljebb ettő áll i 0, 0, 8 0, 0, 8 0, 0, 8 0, 0 ( ) 859. Ötös lottó mi a valószíűsége aa, hogy a) 5 héte eresztül egyszer sem lesz találatu? P ( 5 héte eresztül egyszer sem lesz találatu) 0, 35 b) az 5 hétből egyszer lesz találatu és a többi héte em lesz találatu? P az 5 hétbõl egyszer lesz találatu és a többi héte em lesz találatu ( ) , c) 4 héte eresztül em lesz találatu, és az ötödi héte lesz egy hármasu? P ( 4 héte eresztül em lesz találatu, és az ötödi héte lesz egy hármasu) 0, Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

21 Valószíűségszámítás Függetle ísérlete 3. Valai a céltábla 0-es, 0-as, 30-as, 50-es örgyűrűibe redre /3, /6, /6, /3 valószíűséggel talál bele. Mi a valószíűsége aa, hogy 5 lövésből 5 a 0-esbe, 3 a 0-asba, 4a a 30-asba, 3 az 50-esbe talál? ( ) az 50 - esbe talál 4 a 30 - asba, 0 - asba, 3 a P 5 lövésbõl5 a 0 - esbe, , Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

22 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői IX. Valószíűségi változó és jellemzői A H eseméytér mide elemi eseméyéhez redeljü hozzá egy valós számot. Az így értelmezett függvéyt a ξ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓa hívju. Jelölés: ξ Az elemi eseméyehez redelt számértéeről azt modju, hogy eze a ξ valószíűségi változó értéei. Ha a ξ valószíűségi változó lehetséges értéeie száma véges vagy megszámlálhatóa végtele, aor DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓról beszélü. Ha ξ diszrét valószíűségi változó lehetséges értéei x, x,..., x, aor a P(ξ x ), P(ξ x ),..., P(ξ x ) valószíűsége halmazát a ξ valószíűségi változó ELOSZLÁSáa evezzü. A ξ valószíűségi változó FOLYTONOS, ha lehetséges értéei egy vagy több itervallumot alota. A. ELOSZLÁSFÜGGVÉNY ÉS TULAJDONSÁGAI A ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye mide x valós számhoz hozzáredeli az x-él isebb értée felvételée valószíűségét. Jelölés: F(x) P(ξ < x) Az eloszlásfüggvéy tulajdoságai: mide eloszlásfüggvéy mooto ő mide eloszlásfüggvéy balról folytoos limf(x) 0 és lim F(x). Egy F(x) függvéy aor teithető egy ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéyée, ha MEGJEGYZÉS: mooto ő mide potjába balról folytoos limf(x) 0 és lim F(x) Ha F(x) a ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye és a < b, aor P(a ξ < b) F(b)-F(a). Ha a ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye folytoos az a potba, aor P(ξ a) 0. Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

23 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői B. SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY ÉS TULAJDONSÁGAI Ha a ξ folytoos valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F(x), aor f(x) F (x) függvéyt a ξ sűrűségfüggvéyée evezzü. A sűrűségfüggvéy tulajdoságai: f(x) 0 mide sűrűségfüggvéyre. f(x)dx mide sűrűségfüggvéyre. ha F(x) a ξ valószíűségi változó eloszlás-, f(x) x pedig sűrűségfüggvéye, aor F(x) f(t)dt. P(a ξ < b) F(b)-F(a) f(x)dx. b a C. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK PONTJELLEMZŐI Módusz Jelölés: mod(ξ) Diszrét eloszlás: ξ valószíűségi változó módusza a ξ legvalószíűbb értée, ha va. Folytoos eloszlás: ξ valószíűségi változó módusza a sűrűségfüggvéy maximumhelye. (Azt mutatja meg, hogy mely értéhez özeli értéeet vesz fel a legagyobb valószíűséggel.) Mediá Jelölés: med(ξ) Diszrét eloszlás:valamely ξ valószíűségi változó mediája az a valós szám, amelyre P(ξ < med(ξ)) 0,5 és P(ξ med(ξ)) 0,5. a) Ha az eloszlásfüggvéy átugorja a 0,5 értéet, aor az az érté lesz a mediá, amelyél átugrotta. α β b) Ha az eloszlásfüggvéy értée az (α;β] itervallumo 0,5, aor med(ξ) Folytoos eloszlás: Valamely ξ valószíűségi változó mediája az a valós szám, amelyre P(ξ < med(ξ)) 0,5 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

24 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői Kvatilis Jelölés: x q Diszrét eloszlás:legye 0 < q <. Azt a számot, amely eleget tesz a P(ξ < x q ) q, P(ξ x q ) q egyelőtlesége a ξ valószíűségi változó q-vatilisée evezzü. Folytoos eloszlás: Legye 0 < q <. Azt a számot, amely eleget tesz a P(ξ < x q ) q egyelete a ξ valószíűségi változó q-vatilisée evezzü. Várható érté Jelölés: M(ξ) Diszrét eloszlás: A ξ valószíűségi változó lehetséges értéei legyee x, x,..., x, aor ξ várható értée a x i p i összeg. i Folytoos eloszlás: Ha a ξ valószíűségi változó sűrűségfüggvéye f(x), aor ξ várható értée x f(x)dx. Várható értéel apcsolatos tétele:. Legye c tetszőleges valós szám. Eor M(c ξ) c M(ξ).. Legye pozitív egész. - Ha a ξ diszrét valószíűségi változó lehetséges értéei x, x,..., x, aor M(ξ ) x i pi. i - Ha ξ folytoos valószíűségi változó f(x) sűrűségfüggvéyel, aor M(ξ ) x f(x)dx, ha létezi. 3. M(a ξ a ξ... a ξ a 0 ) a M(ξ ) a M(ξ )... a M(ξ) a 0 Szórás Jelölés: D(ξ) Ha a ξ M(ξ) valószíűségi változó égyzetée létezi várható értée, aor ezt ξ szóráségyzetée evezzü. Ee égyzetgyöe a ξ valószíűségi változó szórása. Szórással apcsolatos tétele:. Ha a ξ valószíűségi változó égyzetée létezi várható értée, aor D (ξ) M(ξ )-M (ξ).. Ha a ξ valószíűségi változó szórása létezi, aor tetszés szeriti a és b valós számo eseté D (aξ b) a D (ξ). Példa: 4 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

25 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői Diszrét valószíűségi változóra: Egy útvoalo az autóat 3 lámpa állíthatja meg. Bármely időpotba midegyi 0,5-0,5 valószíűséggel jelez szabad vagy tilos utat. Legyee ξ valószíűségi változó értéei azo jelzőlámpá száma, amelye egy autóa az útvoalo tilosat mutata. Lehetséges imeetele: lehetséges imeetele: SSS SST STS TSS STT TST TTS TTT ξ: 0 3 valószíűség: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ξ eloszlása: P P P P ( ξ 0) 0,5 ( ξ ) 0,375 ( ξ ) 0,375 ( ξ 3) 0,5 mod(ξ) és ξ eloszlásfüggvéye: F F ( x) P( ξ < x) ( x) 0 0,5 0,5 0,875 x 0 0 < x < x < x 3 3 < x Mediá: med(ξ), 5 Alsó vartilis:, mert P( ξ < ) 0,5 0,5, de P( ξ ) 0,5 0,5 x 0,5 Felső vartilis:, mert P( ξ < ) 0, 5 0,75, de P( ξ ) 0,875 0,75 x 0,75 Várható érté: M ξ x p 0 0,5 0,375 0, ,5,5 () Szórás: i i 5 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

26 Valószíűségszámítás Valószíűségi változó és jellemzői () M( ξ ) M () ξ 3 (, 5) 0, 866 ( ) x p 0 0,5 0,375 0, ,5 D ξ M ξ 3 i i Valószíűsége: P legalább tilosat ap az autó P ξ P ξ P ξ 3 0,375 0,5 P legfeljebb tilosat ap az autó P ξ P ξ 0 P ξ P ξ ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 5 0,375 0,375 0,875 6 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

27 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso X. Valószíűségi eloszláso D ISZKRÉT ELOSZLÁSOK K ARAKTERISZTIKUS ELOSZLÁS Legye A tetszés szeriti eseméy. Ha a valószíűségi változó csa a 0 és értéeet veheti fel, mégpedig, ha A beövetezi ξ 0, ha A em övetezi be, aor araterisztius valószíűségi változóról beszélü. Eloszlása: P(ξ ) p; P(ξ 0) - p q; ahol 0 p. M(ξ) p D (ξ) p q E GYENLETES ELOSZLÁS Ha ξ lehetséges értéei x,x,...,x, aor a P(ξ x i ) ; i,,..., valószíűségeloszlást egyeletes eloszlása evezzü. M(ξ) D (ξ) x i i i x i i x i 7 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

28 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso B INOMIÁLIS ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változót biomiális eloszlásúa modju, ha ξ lehetséges értéei a 0,,,..., és P(ξ ) p q ; ahol 0 < p < ; 0,,,..., és q - p. M(ξ) p D (ξ) p q mod(ξ) [() p] Alalmazás: visszatevéses mitavétel; függetle ísérlete; visszatevés élüli mitavétel ha M és N soal agyobb mit, valamit az N M aráy álladóa teithető a mitavétel sorá. Példa: A tapasztalato szerit egy főisolá a matematia szara jeletező 45%-a földrajz szaos is. Meyi a valószíűsége aa, hogy a főisolá egymás utá megszólított matematia szaos hallgató özül a) potosa 7-e földrajzot is taula; b) több, mit -e, de legfeljebb 5-e földrajz szaosa is? Megoldás: Legye ξ : a földrajzot tauló hallgató száma a) P( ξ ) 0, 45 0, 55 0, 8 b) P ( < ξ 5 ) P ( ξ 3 ) P ( ξ 4 ) P ( ξ 5 ) , 45 0, 55 0, 45 0, 55 0, 45 0, 55 0, Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

29 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso H IPERGEOMETRIKUS ELOSZLÁS A P(ξ ) N M N M 0,,,..., éplettel értelmezett eloszlást hipergeometrius eloszlása evezzü, ha az, M és N pozitív egész számora feáll, hogy M N. M(ξ) p D (ξ) N N q p mod(ξ) ( ) N M Alalmazás: visszatevés élüli mitavétel Példa: 5 üveg bor özött 0 üveg vörös és 5 üveg fehér bor található. Találomra ivesze 6 üveget úgy, hogy a már iválasztott üveget félreteszem. a) Meyi a valószíűsége, hogy üveg vörösbor va özte? b) Meyi a valószíűsége, hogy legalább 3, de evesebb, mit 5 fehérbor lesz özte? Megoldás: a) Legye ξ: vörösboros üvege száma. ( ) , ξ P b) Legye ξ: fehérboros üvege száma. ( ) ( ) ( ) , < ξ ξ ξ P P P 9 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

30 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso P OISSON- ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó Poisso eloszlású, ha lehetséges értéei a 0,,,...,,... számo és λ λ valószíűségeloszlása P(ξ ) e, ahol λ > 0 és 0,,,...,,...! M(ξ) λ D (ξ) λ [] λ, mod(ξ) λ és λ, ha ha λ λ em egész szám egész szám Alalmazása: potelhelyezedési problémá Példa: Az 5-ös főút egyi szaaszá átlagosa 5 apoét törtéi baleset. Mi a valószíűsége, hogy 0 ap alatt a) 3 baleset törtéi? b) legalább baleset törtéi? Megoldás: 5 ap baleset 0 ap? baleset λ4 Legye ξ : a 0 ap alatt törtét balesete száma a) P( ξ 3) e 0, 953 3! 0 4 0! 4 4 b) P( ξ ) P( ξ < ) ( P( ξ 0) P( ξ ) ) e e 0, ! 30 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

31 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso G EOMETRIAI ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó geometriai eloszlású, ha lehetséges értéei,,...,,... természetes számo és P(ξ ) q - p, ahol 0 < p <, q - p, és,,..,,... M(ξ) p D q (ξ) p mod(ξ) Alalmazás: aa a valószíűségét eressü, hogy a függetle ísérlete elvégzése sorá az A eseméy -adira övetezi be először Példa: Egy üveg csereszyebefőttbe 0,05 valószíűséggel találu magot. Megszámolju, háyadi üveg befőttbe találu magot először. a) Meyi a valószíűsége, hogy a hetedi üvegbe találu magot először? b) Várhatóa háyadi üvegbe találu magot először? Megoldás: Legye ξ : háyadi üvegbe találu magot először 6 a) P( ξ 7) 0, 95 0, 05 0, , 05 b) M ( ξ ) 0 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

32 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso F OLYTONOS ELOSZLÁSOK E GYENLETES ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó egyeletes eloszlású az ]a;b[ itervallumba, ha sűrűségfüggvéye, ha a < x < b f(x) b a 0, egyébét a b M(ξ) b a D(ξ) 3 0, x a F(x), b a, ha ha ha x a a < x b x > b E XPONENCIÁLIS ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változót expoeciális eloszlásúa evezzü, ha sűrűségfüggvéye λx λ e, ha x 0 f(x) 0, ha x < 0 M(ξ) D(ξ) λ e F(x) 0, λx, ha ha x 0 x < 0 Alalmazás: várható idő, eltelt idő (ét beövetezés özött eltelt idő), élettertam 3 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

33 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso Példa: Egy légodicioáló beredezés motorjáa élettartama átlagosa 5 év. Jelölje ξ expoeciális eloszlású valószíűségi változó a várható élettartamot évebe számítva. a) Mi a valószíűsége, hogy egy motort 3 éve belül i ell cseréli? b) Mi a valószíűsége, hogy egy motor 8 évél tovább fog műödi? Megoldás: M(ξ) 5 λ a) P( ξ < 3) F( 3) e 0, > 5 b) P( ξ 8) P( ξ 8) P( ξ < 8) F( 8) e 5 e 0, 09 N ORMÁLIS ELOSZLÁS A ξ valószíűségi változó ormális eloszlású, ha sűrűségfüggvéye f(x) e σ π ( x m) σ x R ahol m tetszőleges valós szám, σ > 0. M(ξ) m D(ξ) σ F(x) e σ π x m F(x) Φ σ Φ( x) Φ(x) x ( t m) σ dt x R Alalmazás: természet redjébe beövetező eseméye, forgalom, gyártás 33 Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

34 Valószíűségszámítás Valószíűségi eloszláso Példa: Egy isolába a gyeree magasságát ormális eloszlású valószíűségi változó jellemzi 60 cm várható értéel és 30 cm szórással. Meyi a valószíűsége, hogy egy tetszőlegese iválasztott gyerme magassága a) evesebb 66 cm-él? b) 50 cm-él több, de 9 cm-él evesebb? Megoldás: Legye ξ : iválasztott gyere magassága m60 σ30 a) ( 66 ) ( 66) Φ Φ( 0, ) 0, 5793 b) P ξ < F P ( 50 < ξ < 75) F( 75) F( 50) Φ Φ Φ ( 0, 5) Φ( 0, 33) Φ( 0, 5) ( Φ( 0, 33) ) 0, 695 ( 0, 693) 0, Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

35 Valószíűségszámítás Tartalomjegyzé XI. Tartalomjegyzé I. Bevezetés a pézügyi számításoba... 3 II. Kombiatoria... 8 III. Eseméyalgebra... 0 IV. Klasszius valószíűség... 3 V. Mitavétele... 4 VI. Geometriai valószíűség... 6 VII. Feltételes valószíűség... 7 VIII. Függetle ísérlete... 9 IX. Valószíűségi változó és jellemzői... X. Valószíűségi eloszláso... 7 XI. Tartalomjegyzé Készítette: Glashütter Adrea és Feller Diáa

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A valószínűségszámítás alapjai

A valószínűségszámítás alapjai A valószíűségszámítás alapjai Kombiatoria Permutáció (ismétlés élül): elem összes lehetséges sorredje: P = (-)(-) =!!- fatoriális Variáció ismétlés élül elem -ad osztályú ismétlés élüli variációja - elemből

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél

1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél Valószíűségszámítás előadás formata BSC/ szaosoa és matemata elemző BSC-see 2015/2016 1. félév Zemplé drás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Környezet statisztika

Környezet statisztika Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás European Virtual Laboratory of Mathematics Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436 Európai Virtuális Matematikai Laboratórium Árvai- Homolya Szilvia Valószínűségszámítás EVML e-könyvek Miskolc 2008 Sorozat

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

A pénz időértéke. Vállalati pénzügyek III.-IV. előadások. A pénz időértéke (Time Value of Money)

A pénz időértéke. Vállalati pénzügyek III.-IV. előadások. A pénz időértéke (Time Value of Money) Vállalati pénzügyek III.-IV. előadások A pénz időértéke A pénz időértéke (Time Value of Money) Egységnyi mai pénz értékesebb, mint egységnyi jövőbeli pénz. A mai pénz befektethető, kamatot eredményez A

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév Diszkrét matematika I. legfotosabb tételek/defiíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév 1. Előszó A jegyzet a Diszkrét matematika I. (DE IK PTI, tárgykód: INDK101-K5, Dr. Burai Pál) tatárgy 2014/2015.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

m,p) binomiális eloszlás.

m,p) binomiális eloszlás. A Valószíűségszámítás I. előadássorozat hatodi témája. Néháy fotos diszrét eloszlás. Ismertetem éháy fotos diszrét eloszlás defiicióját, és tárgyalom eze legfotosabb tulajdoságait. Az eloszláso bevezetés

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

Matematika III. Nagy Károly 2011

Matematika III. Nagy Károly 2011 Matematika III előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 20 . Kombinatorika.. Definíció. Adott n darab egymástól különböző elem. Ezeknek egy meghatározott sorrendjét az n elem

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya A PANNONLÍZING PÉNZÜGYI SZOLGÁLTATÓ RT. ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI FORINT (HUF ALAPON KAMATOZÓ KÖLCSÖNSZERZŐDÉSEKHEZ ÉRVÉNYES A 2002. MÁRCIUS 18-TÓL A VISSZAVONÁSÁIG KÖTÖTT SZERZŐDÉSEKRE A Paolízig

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben