Komputer statisztika

Átírás

1 Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6.

2 Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás Valószíűségi mező Véletle eseméy Valószíűség Valószíűségi változó Eloszlás- és sűrűségfüggvéy Várható érték, szóráségyzet Valószíűségi vektorváltozók Feltételes várható érték Függetle valószíűségi változók Kovariacia és korrelációs együttható Nevezetes eloszlások Diszkrét egyeletes eloszlás Karakterisztikus eloszlás Biomiális eloszlás Poisso-eloszlás Egyeletes eloszlás Expoeciális eloszlás Gamma-eloszlás Normális eloszlás Többdimeziós ormális eloszlás Khi-égyzet eloszlás t-eloszlás Cauchy-eloszlás F-eloszlás Nagy számok törvéyei Cetrális határeloszlási tétel A matematikai statisztika alapfogalmai 9.1. Mita és mitarealizáció Tapasztalati eloszlásfüggvéy Tapasztalati eloszlás, sűrűséghisztogram

3 .4. Statisztikák Potbecslések A potbecslés feladata és jellemzői Várható érték becslése Valószíűség becslése Szóráségyzet becslése Iformációs határ Potbecslési módszerek Mometumok módszere Maximum likelihood becslés Itervallumbecslések Az itervallumbecslés feladata Kofideciaitervallum a ormális eloszlás paramétereire Kofideciaitervallum az expoeciális eloszlás paraméterére Kofideciaitervallum valószíűségre Általáos módszer kofideciaitervallum készítésére Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálat feladata és jellemzői Null- illetve ellehipotézis Statisztikai próba terjedelme és torzítatlasága Próbastatisztika A statisztikai próba meete A ullhipotézis és az ellehipotézis megválasztása A próba erőfüggvéye és koziszteciája Paraméteres hipotézisvizsgálatok Egymitás u-próba Kétmitás u-próba Egymitás t-próba Kétmitás t-próba, Scheffé-módszer F-próba Khi-égyzet próba ormális eloszlás szórására Statisztikai próba expoeciális eloszlás paraméterére Statisztikai próba valószíűségre Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok

4 Tiszta illeszkedésvizsgálat Becsléses illeszkedésvizsgálat Függetleségvizsgálat Homogeitásvizsgálat Kétmitás előjelpróba Kolmogorov Szmirov-féle kétmitás próba Kolmogorov Szmirov-féle egymitás próba Regressziószámítás Regressziós görbe és regressziós felület Lieáris regresszió A lieáris regresszió együtthatóiak becslése Nemlieáris regresszió Poliomos regresszió Hatváykitevős regresszió Expoeciális regresszió Logaritmikus regresszió Hiperbolikus regresszió Irodalomjegyzék 118 3

5 Előszó Ez a taayag az egri Eszterházy Károly Főiskola komputer statisztika előadásaiból készült, melyet elsősorba programtervező iformatikus hallgatókak száuk. Az első fejezet em kerül ismertetésre a kurzus idejé. Célja a valószíűségszámítás olya fotos fogalmaiak összefoglalása, melyekre szükségük lesz a matematikai statisztika megértéséhez. Eek átismétlését az Olvasóra bízzuk. Az első fejezet másik célja, hogy a valószíűségszámítás és a statisztika szóhaszálatát és jelöléseit összehagoljuk. A jelöléseket külö is összegyűjtöttük. Ehhez a taayaghoz kapcsolódik Tómács Tibor: Komputer statisztika gyakorlatok című jegyzete, amely az előadáshoz kapcsolódó gyakorlati órák témáit dolgozza fel. Itt számítógéppel megoldható gyakorlatokat találuk. Ezt a széles körbe elterjedt Microsoft Office Excel 007 program magyar yelvű változatával végezzük. A statisztikába szokásos táblázatokat em mellékeljük, mert az ezekebe található értékeket a gyakorlato szité Excel segítségével fogjuk kiszámoli. 4

6 Jelölések Általáos N R R R + a, b [x] f 1 lim fx x a+0 A, A 1, det A a pozitív egész számok halmaza a valós számok halmaza R-ek ömagával vett -szeres Descartes-szorzata a pozitív valós számok halmaza redezett elempár vagy yílt itervallum közelítőleg egyelő az x valós szám egész része az f függvéy iverze az f függvéy a-beli jobb oldali határértéke az A mátrix traszpoáltja, iverze és determiása Valószíűségszámítás Ω, F, P PA E ξ Eξ η Eξ η = y D ξ, D ξ covξ, η corrξ, η ϕ Φ Γ I A Bir; p Expλ Normm; σ Norm d m; A valószíűségi mező az A eseméy valószíűsége ξ várható értéke feltételes várható érték feltételes várható érték ξ szórása illetve szóráségyzete kovariacia korrelációs együttható a stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéye a stadard ormális eloszlás eloszlásfüggvéye Gamma-függvéy az A eseméy idikátorváltozója az r-edredű p paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változók halmaza a λ paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változók halmaza az m várható értékű és σ szórású ormális eloszlású valószíűségi változók halmaza az m és A paraméterű d-dimeziós ormális eloszlású valószíűségi változók halmaza 5

7 Gammar; λ Khis ts Fs 1 ; s F V az r-edredű λ paraméterű gamma-eloszlású valószíűségi változók halmaza az s szabadsági fokú khi-égyzet eloszlású valószíűségi változók halmaza az s szabadsági fokú t-eloszlású valószíűségi változók halmaza az s 1 és s szabadsági fokú F-eloszlású valószíűségi változók halmaza Ha ξ valószíűségi változó, és V a ξ-vel azoos eloszlású valószíűségi változók halmaza, akkor ez azt jelöli, hogy F a V-beli valószíűségi változók közös eloszlásfüggvéye. Például Φ Norm0; 1. Matematikai statisztika Ω, F, P F ξ S, S S ξ,, Sξ, S, S Sξ,, S ξ, ξ1,..., ξ Cov ξ, η Corr ξ, η Θ P ϑ E ϑ D ϑ, D ϑ f ϑ, F ϑ I l L ϑ H 0 H 1 P H0 P H1 statisztikai mező tapasztalati eloszlásfüggvéy a ξ-re voatkozó mita átlaga mitaátlag tapasztalati szórás illetve szóráségyzet ξ-re voatkozó tapasztalati szórás illetve szóráségyzet korrigált tapasztalati szórás illetve szóráségyzet ξ-re voatkozó korrigált tapasztalati szórás illetve szóráségyzet redezett mita tapasztalati kovariacia tapasztalati korrelációs együttható paramétertér a ϑ paraméterhez tartozó valószíűség a ϑ paraméterhez tartozó várható érték a ϑ paraméterhez tartozó szórás illetve szóráségyzet a ϑ paraméterhez tartozó sűrűség- illetve eloszlásfüggvéy Fisher-féle iformációmeyiség likelihood függvéy loglikelihood függvéy a ϑ paraméter becslése ullhipotézis ellehipotézis H 0 eseté lehetséges valószíűségek halmaza H 1 eseté lehetséges valószíűségek halmaza 6

8 1. Valószíűségszámítás 1.1. Valószíűségi mező Véletle eseméy Egy véletle kimeetelű kísérlet matematikai modellezésekor azt tekitjük eseméyek, amelyről egyértelműe eldöthető a kísérlet elvégzése utá, hogy bekövetkezette vagy sem. Így az, hogy egy eseméy bekövetkezett, logikai ítélet. Ebből a logika és a halmazelmélet ismert kapcsolata alapjá az eseméyeket halmazokkal modellezhetjük. Ha egy kísérletbe az A és B halmazok eseméyeket modellezek, akkor az A B bekövetkezése azt jeleti, hogy A és B közül legalább az egyik bekövetkezik. Erről egyértelműe eldöthető a kísérlet elvégzése utá, hogy bekövetkezett-e, ezért ez is eseméyt modellez. Másrészt, ha A eseméy, akkor az A ellekezője is az. Jelöljük ezt A-val. Az A A biztosa bekövetkezik, ezért ezt biztos eseméyek evezzük és Ω-val jelöljük. Ebből látható, hogy A az A-ak Ω-ra voatkozó komplemetere, továbbá mide eseméy az Ω egy részhalmaza. Az adott kísérletre voatkozó eseméyek redszerét jelöljük F-fel, mely tehát az Ω hatváyhalmazáak egy részhalmaza. Ahhoz, hogy az eseméyeket megfelelőe tudjuk modellezi, em elég véges sok eseméy uiójáról feltételezi, hogy az is eseméy. Megszámlálhatóa végtele sok eseméy uiójáak is eseméyek kell leie. Tehát a következő defiíciót modhatjuk ki: 1.1. Defiíció. Legye Ω egy em üres halmaz és F részhalmaza az Ω hatváyhalmazáak. Tegyük fel, hogy teljesülek a következők: 1 Ω F; Ha A F, akkor A F, ahol A = Ω \ A; 3 Ha A i F i N, akkor A i F. Ekkor F-fet σ-algebráak, elemeit eseméyekek, illetve Ω-t biztos eseméyek evezzük Valószíűség A modellalkotás következő lépéséhez szükség va egy tapasztalati törvéyre az eseméyekkel kapcsolatosa, melyet Jacob Beroulli svájci matematikus publikált. Egy dobókockát dobott fel többször egymásutá. A hatos dobások számáak és az összdobások számáak aráyát, azaz a hatos dobás relatív gyakoriságát ábrázolta a dobások számáak függvéyébe: 7

9 Beroulli azt tapasztalta, hogy a hatos dobás relatív gyakorisága a dobások számáak övelésével egyre kisebb mértékbe igadozik 1 körül. Más véletle kimeetelű kísérlet eseméyeire is hasoló a tapasztalat, azaz a kísérletek számáak 6 övelésével a figyelt eseméy bekövetkezéséek relatív gyakorisága egyre kisebb mértékbe igadozik egy kostas körül. Ezt a kostast a figyelt eseméy valószíűségéek fogjuk evezi. A továbbiakba PA jelölje az A eseméy bekövetkezéséek valószíűségét. Köye látható, hogy PA 0 mide esetbe, a biztos eseméy valószíűsége 1, illetve egyszerre be em következő eseméyek uiójáak valószíűsége az eseméyek valószíűségeiek összege. Midezeket a következő defiícióba foglaljuk össze: 1.. Defiíció. Legye Ω, F mérhető tér és P: R [0, olya függvéy, melyre teljesülek a következők: 1 PΩ = 1; P A i = PA i, ha A i F párokét diszjuktak. Ekkor a P függvéyt valószíűségek, a PA számot az A eseméy valószíűségéek, illetve az Ω, F, P redezett hármast valószíűségi mezőek evezzük. Ha egy A F eseté PA = 1 teljesül, akkor azt modjuk, hogy A majdem biztosa teljesül. Ha Ω, F, P valószíűségi mező, akkor P = Valószíűségi változó 1.3. Defiíció. Legye Ω, F mérhető tér és ξ : Ω R olya függvéy, melyre teljesül, hogy { ω Ω : ξω < x } F mide x R eseté. Ekkor a ξ függvéyt valószíűségi változóak evezzük. A továbbiakba az { ω Ω : ξω < x } halmazt a mértékelméletből megszokottak szerit Ωξ < x vagy rövidebbe ξ < x módo fogjuk jelöli. Az ilye alakú halmazokat ξ ívóhalmazaiak is szokás evezi. Hasoló jelölést alkalmazuk < 8

10 helyett más relációk eseté is. A valószíűségi változó ekvivales a mértékelméletbeli mérhető függvéy fogalmával Eloszlás- és sűrűségfüggvéy A valószíűségi változó jellemzésére általáos esetbe jól haszálható az úgyevezett eloszlásfüggvéy: 1.4. Defiíció. Legye Ω, F, P valószíűségi mező és ξ : Ω R egy valószíűségi változó. Ekkor a ξ eloszlásfüggvéye F : R R, F x := Pξ < x Tétel. Legye F egy tetszőleges valószíűségi változó eloszlásfüggvéye. Ekkor teljesülek a következők: a F mooto övekvő; b F mide potba balról folytoos; c lim x F x = 1; d lim x F x = Tétel. Ha egy tetszőleges F : R R függvéyre teljesülek az a d tulajdoságok, akkor létezik olya valószíűségi változó, melyek F az eloszlásfüggvéye. Eze két tétel alapjá jogos a következő elevezés: 1.7. Defiíció. Az F : R R függvéyt eloszlásfüggvéyek evezzük, ha teljesülek rá az a d tulajdoságok Tétel. Ha F a ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye, akkor teljesülek a következők: 1 Pa ξ < b = F b F a mide a, b R, a < b eseté; lim x a+0 F x = F a + Pξ = a mide a R eseté; 3 Pξ = a = 0 potosa akkor, ha F az a R potba folytoos. Ha ξ diszkrét valószíűségi változó, azaz ha R ξ ξ értékkészlete megszámlálható, akkor az előző tétel potja alapjá a ξ eloszlásfüggvéye egyértelműe meghatározott a Pξ = k, k R ξ értékekkel. A k Pξ = k, k R ξ hozzáredelést ξ eloszlásáak evezzük. Az eloszlás elevezés más jeletésbe is előfordul: Két tetszőleges em feltétleül diszkrét valószíűségi változót azoos eloszlásúak evezzük, ha az eloszlásfüggvéyeik megegyezek. 9

11 Gyakorlati szempotból a diszkrét valószíűségi változók mellett az úgyevezett abszolút folytoos valószíűségi változók osztálya is agyo fotos Defiíció. A ξ valószíűségi változót abszolút folytoosak evezzük, ha létezik olya f : R [0, függvéy, melyre F x = x ft dt teljesül mide x R eseté, ahol F a ξ eloszlásfüggvéye. Ekkor f-fet a ξ sűrűségfüggvéyéek evezzük Tétel. Ha a ξ abszolút folytoos valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F és sűrűségfüggvéye f, akkor F folytoos következésképpe Pξ = x = 0, x R és Lebesgue-mérték szerit majdem mideütt differeciálható evezetese, ahol f folytoos, továbbá a differeciálható potokba F x = fx Tétel. Ha a ξ abszolút folytoos valószíűségi változó sűrűségfüggvéye f, akkor 1 Pa < ξ < b = b fx dx mide a, b R, a < b eseté; a fx dx = Tétel. Ha f : R [0, és fx dx = 1, akkor va olya abszolút folytoos valószíűségi változó, melyek f a sűrűségfüggvéye. Eze két tétel alapjá jogos a következő elevezés: Defiíció. Az f : R [0, függvéyt sűrűségfüggvéyek evezzük, ha fx dx = Várható érték, szóráségyzet Defiíció. Ha a ξ valószíűségi változó értékkészlete { x 1,..., x }, akkor a várható értéke legye E ξ := x i Pξ = x i. Tehát a várható érték a ξ lehetséges értékeiek az eloszlás szeriti súlyozott átlagát jeleti. A későbbiekbe tárgyalt Kolmogorov-féle agy számok erős törvéye mutatja, hogy bizoyos feltételekkel egy kísérletsorozatba egy ξ valószíűségi változó értékeiek számtai közepe várhatóa potosabba 1 valószíűséggel E ξ-hez kovergál. 10

12 1.15. Defiíció. Legye { x i R : i N } a ξ valószíűségi változó értékkészlete. ξ-ek létezik várható értéke, ha x i Pξ = x i <, továbbá ekkor E ξ := x i Pξ = x i Defiíció. Legye ξ abszolút folytoos valószíűségi változó, melyek f a sűrűségfüggvéye. ξ-ek létezik várható értéke, ha x fx dx <, továbbá ekkor E ξ = xfx dx Tétel. Ha ξ-ek létezik várható értéke és ξ = η majdem biztosa teljesül, akkor η-ak is létezik a várható értéke, továbbá megegyezik a ξ várható értékével Tétel. Ha ξ és η véges várható értékkel redelkező valószíűségi változók, akkor aξ + bη a, b R is az, továbbá Eaξ + bη = a E ξ + b E η. A valószíűségi változó értékeiek igadozását az átlag potosabba a várható érték körül, az úgyevezett szóráségyzettel jellemezzük, amely em más, mit az átlagtól való égyzetes eltérés átlaga Defiíció. A ξ valószíűségi változó szóráségyzete illetve szórása D ξ := Eξ E ξ, D ξ = Eξ E ξ. feltéve, hogy ezek a várható értékek létezek Tétel. Ha ξ-ek létezik a szóráségyzete, akkor 1 D ξ = E ξ E ξ; Daξ + b = a D ξ, ahol a, b R Valószíűségi vektorváltozók 1.1. Defiíció. Legyeek ξ 1,..., ξ d tetszőleges valószíűségi változók. Ekkor a ξ 1,..., ξ d redezett elem d-est d-dimeziós valószíűségi vektorváltozóak evezzük. 1.. Defiíció. A ξ := ξ 1,..., ξ d valószíűségi vektorváltozó eloszlásfüggvéye F : R d R, F x 1,..., x d := Pξ 1 < x 1,..., ξ d < x d. 11

13 ξ abszolút folytoos, ha létezik olya f : R d [0, függvéy, melyre F x 1,..., x d = x 1 x d ft 1,..., t d dt 1 dt d teljesül mide x 1,..., x d R eseté. Ekkor f-fet a ξ sűrűségfüggvéyéek evezzük Feltételes várható érték A feltételes várható értéket az egyszerűség kedvéért csak két speciális esetbe defiiáljuk. Az általáos defiíciót lásd például Mogyoródi J., Somogyi Á.: Valószíűségszámítás, Taköyvkiadó, Budapest, Defiíció. Legyeek az η, ξ 1,..., ξ k diszkrét valószíűségi változók értékkészletei redre R η, R ξ1,..., R ξk, tegyük fel, hogy E η véges, továbbá legye g : R ξ1 R ξk R, gx 1,..., x k := Pη = y i, ξ 1 = x 1,..., ξ k = x k y i. Pξ 1 = x 1,..., ξ k = x k y i R η Ekkor a gξ 1,..., ξ k valószíűségi változót η-ak ξ 1,..., ξ k -ra voatkozó feltételes várható értékéek evezzük, és Eη ξ 1,..., ξ k módo jelöljük. A gx 1,..., x k x i R ξi, i = 1,..., k értéket Eη ξ 1 = x 1,..., ξ k = x k módo jelöljük Defiíció. Legye az η, ξ 1,..., ξ k abszolút folytoos valószíűségi vektorváltozó sűrűségfüggvéye f, a ξ 1,..., ξ k sűrűségfüggvéye h, tegyük fel, hogy E η véges, továbbá legye g : R k R, gx 1,..., x k := y fy, x 1,..., x k hx 1,..., x k Ekkor a gξ 1,..., ξ k valószíűségi változót η-ak ξ 1,..., ξ k -ra voatkozó feltételes várható értékéek evezzük, és Eη ξ 1,..., ξ k módo jelöljük. A gx 1,..., x k x i R ξi, i = 1,..., k értéket Eη ξ 1 = x 1,..., ξ k = x k módo jelöljük. A feltételes várható értékre teljesülek a következők: E η = E Eη ξ 1,..., ξ k ; Eaξ + bη ξ 1,..., ξ k = a Eξ ξ 1,..., ξ k + b Eη ξ 1,..., ξ k majdem biztosa, mide a, b R eseté; E Eη ξ 1,..., ξ k ξ 1,..., ξ k = Eη ξ1,..., ξ k majdem biztosa; Eξη ξ 1,..., ξ k = ξ Eη ξ 1,..., ξ k majdem biztosa. 1 dy.

14 1.7. Függetle valószíűségi változók Az A és B eseméyek függetleek, ha PA B = PA PB. Valószíűségi változók függetleségét ívóhalmazaik függetleségével defiiáljuk Defiíció. A ξ 1,..., ξ valószíűségi változókat függetleekek evezzük, ha Pξ 1 < x 1,..., ξ < x = Pξ k < x k mide x 1,..., x R eseté teljesül. A ξ 1,..., ξ valószíűségi változók párokét függetleek, ha közülük bármely kettő függetle. Végtele sok valószíűségi változót függetleekek evezzük, ha bármely véges részredszere függetle. Szükségük lesz a valószíűségi vektorváltozók függetleségéek fogalmára is. Ehhez bevezetük egy jelölést. Legye ξ = ξ 1,..., ξ d egy valószíűségi vektorváltozó és x = x 1,..., x d R d. Ekkor a ξ < x eseméy alatt azt értjük, hogy a ξ k < x k eseméyek mide k = 1,..., d eseté teljesülek Defiíció. A ζ 1,..., ζ d-dimeziós valószíűségi vektorváltozókat függetleekek evezzük, ha mide x 1,..., x R d eseté Pζ 1 < x 1,..., ζ < x = Pζ k < x k teljesül. A ζ 1,..., ζ d valószíűségi vektorváltozók párokét függetleek, ha közülük bármely kettő függetle. Végtele sok valószíűségi vektorváltozót függetleekek evezzük, ha bármely véges részredszere függetle Tétel. Ha a ξ 1,..., ξ diszkrét valószíűségi változók függetleek, akkor Pξ 1 = x 1,..., ξ = x = Pξ k = x k k=1 k=1 k=1 teljesül mide x 1 R ξ1,..., x R ξ eseté Tétel. Legye ξ 1,..., ξ abszolút folytoos valószíűségi vektorváltozó. Ha a ξ 1,..., ξ valószíűségi változók függetleek, akkor fx 1,..., x = f k x k k=1 13

15 teljesül mide x 1,..., x R eseté, ahol f k a ξ k sűrűségfüggvéye, továbbá f a ξ 1,..., ξ sűrűségfüggvéye Tétel Kovolúció. Ha ξ és η függetle abszolút folytoos valószíűségi változók f illetve g sűrűségfüggvéyel, akkor ξ + η is abszolút folytoos, továbbá a sűrűségfüggvéye x R helye hx = ftgx t dt Tétel. Ha ξ és η függetle abszolút folytoos valószíűségi változók f illetve g sűrűségfüggvéyel, akkor ξη is abszolút folytoos, továbbá a sűrűségfüggvéye x R helye hx = x gtf t 1 t dt Tétel. Ha ξ és η függetle abszolút folytoos valószíűségi változók f illetve g sűrűségfüggvéyel, akkor ξ is abszolút folytoos, továbbá a sűrűségfüggvéye x R η helye hx = t gtfxt dt Kovariacia és korrelációs együttható 1.3. Defiíció. A ξ és η valószíűségi változók kovariaciája covξ, η := E ξ E ξη E η, feltéve, hogy ezek a várható értékek létezek. Köye belátható, hogy covξ, η = E ξη E ξ E η Tétel. Ha a ξ és η függetle valószíűségi változókak létezik a várható értékeik, akkor létezik a kovariaciájuk is és covξ, η = 0, azaz E ξη = E ξ E η Defiíció. A ξ 1,..., ξ valószíűségi változókat korrelálatlaokak evezzük, ha covξ i, ξ j = 0 mide i, j { 1,..., }, i j eseté Tétel. Ha a ξ 1,..., ξ valószíűségi változók eseté létezik covξ i, ξ j mide 14

16 i, j { 1,..., } eseté, akkor ξ i-ek létezik a szóráségyzete, továbbá D ξ i = 1 D ξ i + covξ i, ξ j. j=i Tétel. Ha a ξ 1,..., ξ párokét függetle valószíűségi változókak létezek a szóráségyzeteik, akkor a ξ i valószíűségi változóak is va szóráségyzete, továbbá D ξ i = D ξ i Defiíció. Ha ξ és η pozitív szórású valószíűségi változók, akkor a korrelációs együtthatójuk corrξ, η := covξ, η D ξ D η Tétel. Legye ξ pozitív szórású valószíűségi változó, továbbá η := aξ + b, ahol a, b R, a 0. Ekkor létezik ξ és η korrelációs együtthatója, és 1, ha a > 0, corrξ, η = -1, ha a < Tétel. Ha corrξ, η = 1, akkor létezek olya a, b R, a 0 kostasok, melyekre Pη = aξ + b = 1 teljesül Nevezetes eloszlások Diszkrét egyeletes eloszlás Defiíció. Legye { x 1,..., x r } a ξ valószíűségi változó értékkészlete és Pξ = x i = 1 r i = 1,..., r. Ekkor ξ-t diszkrét egyeletes eloszlásúak evezzük az { x 1,..., x r } halmazo Karakterisztikus eloszlás Defiíció. Az A eseméy idikátorváltozójáak az 1, ha ω A, I A : Ω R, I A ω := 0, ha ω A, 15

17 valószíűségi változót evezzük, továbbá az I A -t PA paraméterű karakterisztikus eloszlásúak evezzük Biomiális eloszlás 1.4. Defiíció. Legye { 0,1,..., r } a ξ valószíűségi változó értékkészlete és p 0,1. Ha mide k { 0,1,..., r } eseté Pξ = k = r p k 1 p r k, k akkor ξ-t r-edredű p paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változóak evezzük. Az ilye eloszlású valószíűségi változók halmazát Bir; p módo jelöljük. Egy tetszőleges A eseméy gyakorisága r kísérlet utá r-edredű PA paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változó. Az r = 1 redű p paraméterű biomiális eloszlás megegyezik a p paraméterű karakterisztikus eloszlással, vagyis a p paraméterű karakterisztikus eloszlású valószíűségi változók halmaza Bi1; p. Másrészt r darab függetle p paraméterű karakterisztikus eloszlású valószíűségi változó összege r-edredű p paraméterű biomiális eloszlású Tétel. ξ Bir; p eseté E ξ = rp és D ξ = rp1 p. r = 0 redű p = 0,5 paraméterű biomiális eloszlás voaldiagramja Poisso-eloszlás Defiíció. Legye { 0,1,,... } a ξ valószíűségi változó értékkészlete, λ R + és Pξ = k = λk k! e λ, k = 0,1,,

18 Ekkor ξ-t λ paraméterű Poisso-eloszlású valószíűségi változóak evezzük. λ = 3 paraméterű Poisso-eloszlás voaldiagramja Tétel. Ha ξ egy λ R + paraméterű Poisso-eloszlású valószíűségi változó, akkor E ξ = D ξ = λ Egyeletes eloszlás Defiíció. Legye ξ abszolút folytoos valószíűségi változó, a, b R és a < b. Ha ξ sűrűségfüggvéye 1, ha a x b, b a f : R R, fx = 0 egyébkét, akkor ξ-t egyeletes eloszlású valószíűségi változóak evezzük az [a, b] itervallumo Tétel. Ha ξ egyeletes eloszlású valószíűségi változó az [a, b] itervallumo, akkor ξ eloszlásfüggvéye továbbá E ξ = a+b és D ξ = b a 1. 0, ha x < a, F : R R, F x = x a, ha a x b, b a 1, ha x > b, 17

19 Expoeciális eloszlás Defiíció. Legye ξ abszolút folytoos valószíűségi változó, és λ R +. Ha ξ sűrűségfüggvéye 0, ha x 0, f : R R, fx = λe λx, ha x > 0, akkor ξ-t λ paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változóak evezzük. Az ilye valószíűségi változók halmazát Expλ módo jelöljük Tétel. ξ Expλ eseté E ξ = D ξ = 1, továbbá ξ eloszlásfüggvéye λ 0, ha x 0, F : R R, F x = 1 e λx, ha x > 0. λ = 1 paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változó sűrűségfüggvéye λ = 1 paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változó eloszlásfüggvéye 18

20 1.50. Defiíció. A ξ valószíűségi változót örökifjú tulajdoságúak evezzük, ha Pξ x + y = Pξ x Pξ y mide x, y R + eseté Tétel. Egy abszolút folytoos valószíűségi változó potosa akkor örökifjú tulajdoságú, ha expoeciális eloszlású Gamma-eloszlás A következőkbe szükségük lesz az úgyevezett gamma-függvéyre: Γ: R + R, Γx := Γ 1 = π illetve ha N, akkor Γ = 1!. 0 u x 1 e u du Defiíció. Legye r, λ R + és a ξ valószíűségi változó sűrűségfüggvéye 0, ha x 0, f : R R, fx := λ r x r 1 e λx, ha x > 0. Γr Ekkor ξ-t r-edredű λ paraméterű gamma-eloszlásúak evezzük. Az ilye valószíűségi változók halmazát Gammar; λ módo jelöljük. A defiíció következméye, hogy Expλ = Gamma1; λ Tétel. ξ Gammar; λ eseté E ξ = r λ és D ξ = r λ Tétel. Ha r N és ξ 1,..., ξ r azoos λ > 0 paraméterű expoeciális eloszlású függetle valószíűségi változók, akkor ξ ξ r Gammar; λ Normális eloszlás Defiíció. A ξ abszolút folytoos valószíűségi változót stadard ormális eloszlásúak evezzük, ha a sűrűségfüggvéye ϕ: R R, ϕx := 1 π e x. 19

21 Stadard ormális eloszlású valószíűségi változó sűrűségfüggvéye A stadard ormális eloszlású valószíűségi változó eloszlásfüggvéyét Φ-vel jelöljük, mely a sűrűségfüggvéy defiíciója szerit Φ: R R, Φx = 1 π x e t dt. Stadard ormális eloszlású valószíűségi változó eloszlásfüggvéye Φ-re ics zárt formula, közelítő értékeiek kiszámítására például a Taylor-sora haszálható: Φx = k π k k + 1k! xk+1. k=0 Megemlítjük még a Φx egy egyszerű közelítő formuláját. Johso és Kotz 1970-be bizoyították, hogy az 1 0,51 + ax + bx + cx 3 + dx 4 4 0

22 kifejezéssel x 0 eseté, él kisebb hibával közelíthető Φx, ahol a = 0,196854, b = 0,115194, c = 0,000344, d = 0, Mivel ϕ páros függvéy, ezért mide x R eseté Φ x = 1 Φx Tétel. Ha ξ stadard ormális eloszlású valószíűségi változó, akkor E ξ = 0 és D ξ = Defiíció. Legye η stadard ormális eloszlású valószíűségi változó, m R és σ R +. Ekkor a ση + m valószíűségi változót m és σ paraméterű ormális eloszlásúak evezzük. Az ilye valószíűségi változók halmazát Normm; σ módo jelöljük. Defiíció alapjá a stadard ormális eloszlású valószíűségi változók halmaza Norm0; Tétel. ξ Normm; σ eseté E ξ = m, D ξ = σ, továbbá ξ eloszlásfüggvéye F : R R, x m F x = Φ, σ illetve sűrűségfüggvéye f : R R, fx = 1 x m σ ϕ. σ Tétel. Ha ξ 1,..., ξ függetle, ormális eloszlású valószíűségi változók, akkor ξ ξ is ormális eloszlású Tétel. Ha ξ 1,..., ξ ormális eloszlású valószíűségi változók és mide i, j { 1,..., }, i j eseté covξ i, ξ j = 0, akkor ξ 1,..., ξ függetleek Többdimeziós ormális eloszlás Defiíció. Legyeek η 1,..., η d függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változók. Ekkor az η 1,..., η d valószíűségi vektorváltozót d-dimeziós stadard ormális eloszlásúak evezzük Defiíció. Ha η = η 1,..., η d d-dimeziós stadard ormális eloszlású valószíűségi vektorváltozó, A egy d d típusú valós mátrix és m = m 1,..., m d R d, akkor a ξ := ηa + m 1

23 valószíűségi vektorváltozót d-dimeziós ormális eloszlásúak evezzük. A ξ-vel azoos eloszlású valószíűségi vektorváltozók halmazát Norm d m; A módo jelöljük Tétel. Ha ξ = ξ 1,..., ξ d Norm d m; A, akkor m = E ξ 1,..., E ξ d, D := A A = covξ i, ξ j d d, továbbá ha det D 0, akkor ξ sűrűségfüggvéye f : R d R, fx = 1 πd det D exp 1 x md 1 x m Tétel. Legye ξ 1,..., ξ d Norm d m; A. Ekkor ξ 1,..., ξ d potosa akkor korrelálatlaok, ha függetleek Tétel. Ha ξ 1,..., ξ d Norm d m; A, akkor létezik a,..., a d R, hogy Eξ 1 ξ,..., ξ d = a ξ + + a d ξ d Khi-égyzet eloszlás Defiíció. Legyeek ξ 1,..., ξ s függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változók. Ekkor a ξ1 + + ξs valószíűségi változót s szabadsági fokú khiégyzet eloszlásúak evezzük. Az ilye eloszlású valószíűségi változók halmazát Khis módo jelöljük Tétel. Ha ξ Khis 1 és η Khis függetleek, akkor ξ + η Khis 1 + s Tétel. Khis = Gamma s ; 1, azaz ξ Khis sűrűségfüggvéye 0, ha x 0, f : R R, fx = s x s 1 e Γ x s, ha x > Következméy. ξ Khis eseté E ξ = s és D ξ = s Tétel. Legye A 1,..., A r egy teljes eseméyredszer azaz uiójuk a biztos eseméy és párokét diszjuktak. Jelölje ϱ i az A i eseméy gyakoriságát kísérlet

24 utá. Tegyük fel, hogy p i := PA i > 0 mide i { 1,..., r } eseté. Ekkor χ := r ϱ i p i p i eloszlása r 1 szabadsági fokú khi-égyzet eloszláshoz kovergál eseté. A gyakorlatba a tétel azt jeleti, hogy F Khir 1 jelöléssel Pχ < x F x. A közelítés már jóak tekithető, ha mi{ ϱ 1,..., ϱ r } t-eloszlás Defiíció. Ha ξ Norm0,1 és η Khis függetleek, akkor a ξ s η valószíűségi változót s szabadsági fokú t-eloszlásúak evezzük. Az ilye eloszlású valószíűségi változók halmazát ts módo jelöljük Tétel. Ha ξ ts, akkor a sűrűségfüggvéye f : R R, fx = Γ s+1 sπ Γ s 1 + x s Következméy. f x = fx és F x = 1 F x mide x R eseté, ahol f illetve F a ξ ts sűrűség- illetve eloszlásfüggvéye. s Cauchy-eloszlás Defiíció. Egy valószíűségi változót Cauchy-eloszlásúak evezük, ha a sűrűségfüggvéye f : R R, fx := 1 π1 + x Tétel. Cauchy-eloszlású valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F : R R, F x = 1 π arctg x Tétel. A Cauchy-eloszlás megegyezik az 1 szabadsági fokú t-eloszlással Következméy. Cauchy-eloszlású valószíűségi változóak em létezik várható értéke illetve szórása. 3

25 F-eloszlás Defiíció. Ha ξ 1 Khis 1 és ξ Khis függetleek, akkor az s ξ 1 s 1 ξ valószíűségi változót s 1 és s szabadsági fokú F-eloszlásúak evezzük. Az ilye eloszlású valószíűségi változók halmazát Fs 1 ; s módo jelöljük Tétel. Ha ξ Fs 1 ; s, akkor a sűrűségfüggvéye 0, ha x 0, f : R R, fx = Γ s 1 +s s s 1 1 s s x s 1 Γ s 1 Γ s s 1 x+s, ha x > 0. s 1 +s Tétel. Ha ξ Fs 1 ; s, akkor 1 ξ Fs ; s Tétel. Ha ξ ts, akkor ξ F1; s Nagy számok törvéyei 1.8. Tétel Csebisev-egyelőtleség. Ha ξ véges szórással redelkező valószíűségi változó, akkor mide ε R + tételt. eseté P ξ E ξ ε D ξ ε. Speciálisa, ha ξ relatív gyakoriságot jelet, akkor kapjuk a következő fotos Tétel Beroulli-féle agy számok törvéye. Legye ϱ gyakorisága kísérlet utá. Ekkor az A eseméy relatív ϱ P PA ε PA PA ε mide ε R + eseté. Tehát aak a valószíűsége, hogy az A eseméy relatív gyakorisága PA-ak az ε sugarú köryezeté kívül legye, az övelésével egyre kisebb, határértékbe 0. Ez potosa ráillik a Beroulli-féle tapasztalatra. A következő ábrá a hatos dobás relatív gyakoriságát láthatjuk szabályos kockával 10 dobássorozat utá, 3000-től 3500 dobásig. 4

26 A kék voal jelzi a hatos dobás valószíűségét, míg a zöld voalak aak ε = 0,01 sugarú köryezetét. Az ábrá láthatjuk, hogy a 10 dobássorozatból 8 eseté a relatív gyakoriság 0,01 potossággal megközelítette a valószíűséget a 3000-től 3500-ig terjedő itervallumo. A következő videóba az előző kísérletsorozatot vizsgáljuk többféle paraméterezéssel.../video/elm01.avi Az előző videóba haszált program elidítható ie:../valdem/valdem.exe A Beroulli-féle agy számok törvéye megfogalmazható valószíűségi változókkal is. Hajtsuk végre egy kísérletet -szer egymástól függetleül. Ha egy A eseméy az i-edik kísérletbe bekövetkezik, akkor a ξ i valószíűségi változó értéke legye 1, külöbe pedig 0. A ξ 1, ξ,..., ξ valószíűségi változók ekkor PA paraméterű karakterisztikus eloszlású párokét függetle valószíűségi változók, melyekek a számtai közepe az A relatív gyakorisága, másrészt ekkor E ξ 1 = PA és D ξ 1 = = PA PA. Így tehát bármely ε R + eseté 1 P ξ i E ξ 1 ε D ξ 1 ε. Más eloszlású valószíűségi változók számtai közepe is hasoló tulajdoságot mutat Tétel Nagy számok gyege törvéye. Legyeek ξ 1, ξ,..., ξ véges várható értékű és szórású, azoos eloszlású, párokét függetle valószíűségi változók. Ekkor 1 P ξ i E ξ 1 ε 5 D ξ 1 ε,

27 mide ε R + eseté. Tehát aak a valószíűsége, hogy a valószíűségi változók számtai közepe a várható érték ε sugarú köryezeté kívül legye, az övelésével egyre kisebb, határértékbe 0. A következő ábrá darab stadard ormális eloszlású párokét függetle valószíűségi változó számtai közepét láthatjuk függvéyébe = tól = = ig, 0 kísérletsorozat utá. A kék voal jelzi a várható értéket ez most 0, míg a zöld voalak aak ε = = 0,01 sugarú köryezetét. Az ábrá láthatjuk, hogy a 0 kísérletsorozatból 17 eseté a számtai közép 0,01 potossággal megközelítette a várható értéket a tól ig terjedő itervallumo. A következő videóba az előző kísérletsorozatot vizsgáljuk többféle eloszlás eseté.../video/elm0.avi Két függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változó háyadosa Cauchyeloszlású. Erről ismert, hogy ics várható értéke. Így erre em teljesül a agy számok gyege törvéye. Ezt szemlélteti a következő videó.../video/elm03.avi Tétel Nagy számok Kolmogorov-féle erős törvéye. ξ 1, ξ,... legyeek függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók és E ξ 1 R. Ekkor P lim 1 ξ i = E ξ 1 = 1. Ez a tétel az előzőél erősebb állítást fogalmaz meg. Etemadi 1981 és Petrov 1987 eredméyeiből kiderült, hogy a agy számok Kolmogorov-féle erős törvéyéek állítása párokéti függetleség eseté is igaz marad. 6

28 1.11. Cetrális határeloszlási tétel A valószíűségszámításba és a matematikai statisztikába közpoti szerepe va a stadard ormális eloszlásak. Eek okát mutatja a következő tétel Tétel Cetrális határeloszlási tétel. Legyeek ξ 1, ξ,... függetle, azoos eloszlású, pozitív véges szórású valószíűségi változók. Ekkor η := ξ i E ξ i D ξ i határeloszlása stadard ormális, azaz mide x R eseté. lim P η < x = Φx Speciálisa, ha ξ 1, ξ,... függetleek és p paraméterű karakterisztikus eloszlásúak, akkor ξ i egy -edredű p paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változó. Eek várható értéke p és szóráségyzete p1 p. Erre alkalmazva a cetrális határeloszlás tételét, kapjuk, hogy mide x R eseté lim P ξ i p < x = Φx. p1 p Ez az ú. Moivre Laplace-tétel. Ez ekvivales azzal, hogy x R és x > 0 eseté lim P x ξ i p < x + x = 1 x+ x p1 p π x e t dt. Így agy és kicsiy x eseté 1 x P x ξ i p < x + x 1 e x. p1 p π Legye k m egy p valószíűségű eseméy gyakorisága m kísérlet utá. Ábrázoljuk m függvéyébe a k m mp mp1 p mutatja p = 0,5 és = 1000 eseté. értékeket, ahol m = 1,,...,. A következő ábra ezt 7

29 A kísérletsorozatot megismételjük N-szer. A kék voalo ábrázoljuk a becsapódások számát voaldiagrammal. A következő ábrá ez látható N = 3000 eseté. Végül a voaldiagramot ormáljuk N-el és x-szel, mely már összehasolítható a stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéyével. A következő videóba az előző kísérletsorozatot folyamatába vizsgáljuk.../video/elm04.avi 8

30 . A matematikai statisztika alapfogalmai A valószíűségszámítás óráko tárgyalt feladatokba midig szerepel valamilye iformáció bizoyos típusú véletle eseméyek valószíűségére voatkozóa. Például: Mi a valószíűsége aak, hogy két szabályos kockával dobva a kapott számok összege 7? Itt a szabályosság azt jeleti, hogy a kocka bármely oldalára 1 valószíűséggel 6 eshet. Egy boltba az átlagos várakozási idő perc. Mi a valószíűsége, hogy 3 perce belül em kerülük sorra, ha a várakozási idő expoeciális eloszlású? Itt az adott iformációk alapjá 1 e x aak a valószíűsége, hogy a várakozási idő kevesebb mit x perc. Ha egy hasoló feladatba a megoldáshoz szükséges iformációk em midegyike ismert, akkor azokat ekük kell tapasztalati úto meghatározi. A matematikai statisztika ilye jellegű problémákkal foglalkozik. A statisztikai feladatokba tehát az eseméyek redszere, potosabba az Ω, F adott, de a valószíűség em. Legye P azo P: F R függvéyek halmaza, melyekre Ω, F, P valószíűségi mező. Ekkor az Ω, F, P redezett hármast statisztikai mezőek evezzük. Az ideális az lee, ha P-ből ki tudák választai az igazi P-t. Sok esetbe azoba erre ics is szükség. Például ha az A és B eseméyek függetleségét kell kimutatuk, akkor csak azt kell megvizsgáli, hogy az igazi P-re teljesül-e az a tulajdoság, hogy PA B = PA PB..1. Mita és mitarealizáció A statisztikába valószíűségi vektorváltozóra kell iformációkat gyűjtei. Jelöljük ezt ξ-vel. Az adatgyűjtések a statisztikába egyetle módja va, a ξ-t meg kell figyeli méri többször, egymástól függetleül. Az i-edik megfigyelés eredméyét jelölje ξ i, amely egy véletle érték, vagyis valószíűségi vektorváltozó..1. Defiíció. A ξ valószíűségi vektorváltozóra voatkozó elemű mita alatt a ξ-vel azoos eloszlású ξ 1,..., ξ függetle, valószíűségi vektorváltozókat értük. A ξ k -t k-adik mitaelemek, -et pedig a mitaelemek számáak evezzük. Természetese, ha több valószíűségi vektorváltozóra is szükségük va, akkor midegyikre kell megfigyeléseket végezi, így több miták is lesz. 9

31 A gyakorlatba em mitával dolgozuk, haem kokrét értékekkel, melyek a mitaelemek lehetséges értékei... Defiíció. Ha ξ 1,..., ξ a ξ valószíűségi vektorváltozóra voatkozó mita és ω Ω, akkor a ξ 1 ω,..., ξ ω értékeket ξ-re voatkozó mitarealizációak evezzük. Az olya x 1,..., x elem -esek halmazát, melyekre teljesül, hogy az x i bee va a ξ értékkészletébe i = 1,...,, mitatérek evezzük. Statisztikai feladatokba mitarealizáció alapjá számoluk. Az így meghozott dötés em biztos, hogy megfelel a valóságak, csak ayit modhatuk róla, hogy em mod ellet a mitarealizációak. Azaz az ilye dötés hibás is lehet, így a válaszukba azt is meg kell adi, hogy mi a valószíűsége eek a hibáak... Tapasztalati eloszlásfüggvéy Ebbe a részbe feltételezzük, hogy egy ξ valószíűségi változó tehát em vektorváltozó tulajdoságait kell megfigyeli. A legjobb az lee, ha az F eloszlásfüggvéyét sikerüle meghatározi. Valójába az előbb elmodottak miatt F -fet meghatározi a mitarealizáció alapjá em tudjuk, de becsüli ige. Egy rögzített x R eseté F x = Pξ < x. Tehát egy eseméy valószíűségét kell megbecsüli. A valószíűség defiícióját a relatív gyakoriság tulajdoságai sugallták, így az a sejtésük, hogy egy eseméy valószíűségét a relatív gyakoriságával lee érdemes becsüli. A ξ < x eseméy relatív gyakorisága a ξ-re voatkozó ξ 1,..., ξ mita alapjá köye megadható idikátorváltozókkal: 1 I ξ i <x. Itt I ξ i <x azo mitaelemek számát jeleti, melyek kisebbek x-él. A későbbiekbe láti fogjuk, hogy ez a becslés valóba megfelelő lesz számukra..3. Defiíció. Legye ξ 1,..., ξ egy ξ valószíűségi változóra voatkozó mita. Ekkor az x F x := 1 I ξi <x x R függvéyt a ξ-re voatkozó elemű mitához tartozó tapasztalati eloszlásfüggvéyéek evezzük. Az F x mide rögzített x R eseté egy valószíűségi változó. Ha a kísérletsorozatba az ω Ω elemi eseméy következett be, azaz a mitarealizáció ξ 1 ω,..., ξ ω, akkor az x F x ω = 1 I ξi <xω = 1 30 I ξi ω<x x R

32 hozzáredelés egy valós függvéy. Ezt a függvéyt a tapasztalati eloszlásfüggvéy egy realizációjáak evezzük, de a továbbiakba a rövidség kedvéért ezt is csak tapasztalati eloszlásfüggvéykét emlegetjük és F módo jelöljük. Példakét legye ξ egy dobókockával dobott szám, és a mitarealizáció 3, 4, 5, 3, 6,, 3, 3, 5,. Ekkor 0 ha x, 0, ha < x 3, 0,6 ha 3 < x 4, F10x = 0,7 ha 4 < x 5, 0,9 ha 5 < x 6, 1 ha x > 6. A következő ábrá egy Bi5; 0,-beli valószíűségi változóra voatkozó 0 elemű mitához tartozó tapasztalati eloszlásfüggvéyt láthatuk. A kék grafiko a valódi eloszlásfüggvéyt jeleti, a piros a tapasztalatit. Vegyük észre, hogy a tapasztalati eloszlásfüggvéy midig lépcsős függvéy, azaz az értékkészlete véges. Nevezetese elemű mita eseté az F maximálisa + 1 féle értéket vehet fel. Így felmerül a kérdés, hogy a lépcsős tapasztalati eloszlásfüggvéy hogya éz ki folytoos eloszlásfüggvéyű valószíűségi változó eseté. A következő ábrá egy Exp1-beli valószíűségi változóra voatkozó 10 elemű mitához tartozó tapasztalati eloszlásfüggvéyt láthatuk. 31

33 A kék grafiko itt is a valódi eloszlásfüggvéyt jeleti, a piros a tapasztalatit. A tapasztalati eloszlásfüggvéy megfelelő becslése-e a valódi eloszlásfüggvéyek? Az előző példákba, ahol a megfigyelések száma viszoylag kevés, elég agy eltéréseket láthatuk. De az övelésével javul-e ez a helyzet? A következő Glivekotól és Catellitől származó tétel erről ad iformációt..4. Tétel A matematikai statisztika alaptétele. Legye a ξ valószíűségi változó valódi eloszlásfüggvéye F és a ξ-re voatkozó elemű mitához tartozó tapasztalati eloszlásfüggvéy F. Ekkor P lim sup x R Fx F x = 0 = 1, azaz F egyeletese kovergál R-e F -hez majdem biztosa. Bizoyítás. Legye ε R + rögzített és m N olya, hogy 1 m < ε. Ha k { 1,..., m 1 }, akkor az F balról való folytoossága miatt az { x R : F x k m } halmazak létezik maximuma. Ezt a maximumot jelöljük x k -val. Legye továbbá x 0 := és x m :=. Ekkor Pξ < x k = F x k k m lim F x = Pξ x k x x k +0 k = 0,..., m. Így Pξ < x k k 1 m + 1 m Pξ x k m. Jeletse A k azt az eseméyt, hogy lim 1 I ξ i <x k = Pξ < x k, illetve B k azt, hogy lim 1 I ξ i x k = Pξ x k. A agy számok erős törvéye miatt 3

34 PA k = PB k = 1 k = 0,..., m. Ebből m m A := A k B l k=0 l=0 jelöléssel PA = 1 teljesül. Emiatt létezik N N, hogy mide > N egész szám és k = 0,..., m eseté az A- teljesül, hogy 1 I ξi <x k Pξ < x k < ε 1 és Legye x R rögzített. Ekkor létezik t { 1,..., m }, hogy I ξi x k Pξ x k < ε. x t 1 < x x t. Midezek alapjá mide > N egész eseté az A- teljesül, hogy F x F x = Pξ < x 1 Pξ < x t 1 I ξi <x I ξi <x 1 m + Pξ x t m + Pξ x t 1 1 I ξi <x Hasolóa teljesül mide > N egész eseté az A-, hogy F x F x = Pξ < x 1 I ξi x t 1 < 1 m + ε < ε. I ξi <x Pξ x t 1 1 I ξi <x 1 m + Pξ < x t 1 1 m + Pξ < x t 1 I ξi <x I ξi <x t > 1 m ε > ε. Így F x F x < ε teljesül az A-, ha > N. Ebből már következik a tétel. 33

35 Ebbe a tételbe fotos az egyeletes kovergecia. Ugyais ha csak potokéti lee, akkor a számegyees külöböző helyei más és más sebességű lehete. Így ebbe az esetbe a tapasztalati eloszlásfüggvéy alakjából a valódira em lehete következteti. A következő két ábrá egy Cauchy-eloszlású valószíűségi változóra voatkozó 00 illetve elemű mitáak a tapasztalati eloszlásfüggvéyét látjuk. Két függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változó háyadosát evezzük Cauchy-eloszlásúak. A kék grafiko a valódi eloszlásfüggvéyt jeleti, míg a piros a tapasztalatit. F 00 grafikoja F grafikoja Látható, hogy es mitaelemszám eseté már gyakorlatilag megegyezik a tapasztalati és a valódi eloszlásfüggvéy. Az utóbbi ábrá úgy tűhet, hogy a tapasztalati eloszlásfüggvéy em lépcsős. Természetese ez em igaz, pusztá arról va 34

36 szó, hogy egy lépcsőfok hossza olya kicsi, hogy az a rajz felbotása miatt csak egy potak látszik. A következő videóba többféle eloszlással vizsgáljuk a tapasztalati eloszlásfüggvéy kovergeciáját.../video/elm05.avi Az előző videóba haszált program elidítható ie:../valdem/valdem.exe.3. Tapasztalati eloszlás, sűrűséghisztogram Tapasztalati eloszlásfüggvéy helyett más lehetőség is va valószíűségi változók eloszlásáak vizsgálatára. Diszkrét valószíűségi változó eseté vizsgálhatjuk az úgyevezett tapasztalati eloszlást is, mely a valószíűségi változó egy lehetséges értékéhez hozzáredeli a kísérletsorozatbeli relatív gyakoriságát. Azaz, ha a ξ valószíűségi változó értékkészlete { x 1,..., x k } és a ξ-re voatkozó mita ξ 1,..., ξ, akkor a tapasztalati eloszlás az x t r t := 1 I ξi =x t t = 1,..., k hozzáredelés. Tehát r t a mitába az x t -vel egyelő elemek számát jeleti. Ha a kísérletsorozatba az ω Ω elemi eseméy következett be, azaz a mitarealizáció ξ 1 ω,..., ξ ω, akkor az x t r t ω := 1 I ξi =x t ω = 1 I ξi ω=x t t = 1,..., k hozzáredelést a tapasztalati eloszlás egy realizációjáak evezzük, de a továbbiakba a rövidség kedvéért ezt is csak tapasztalati eloszláskét emlegetjük. Ezt célszerű voaldiagrammal ábrázoli. Ez azt jeleti, hogy az x t,0 koordiátájú potot összekötjük az x t, r t ω pottal mide t-re. A következő képe egy Bi30; 0,3-beli valószíűségi változóra voatkozó 1000 elemű mitarealizációból számolt tapasztalati eloszlást láthatuk voaldiagrammal ábrázolva. 35

37 Ugyaeze az ábrá kékkel felrajzoljuk a valódi eloszlást is, mely jól mutatja a hasolóságot. Abszolút folytoos ξ valószíűségi változó eseté a sűrűséghisztogram vizsgálata is célravezető lehet a tapasztalati eloszlásfüggvéy mellett. Legye r N, x 0, x 1,..., x r R és x 0 < x 1 < < x r. Tegyük fel, hogy a ξ-re voatkozó ξ 1 ω,..., ξ ω mitarealizáció mide eleme bee va az x 0, x r itervallumba. Jelölje ϱ j a mita azo elemeiek a számát, amelyek az [x j 1, x j itervallumba esek, azaz ϱ j := I xj 1 ξ i <x j = Fx j Fx j 1, ahol j = 1,..., r. Ezutá mide [x j 1, x j itervallum fölé rajzoljuk egy ϱ j ω-val aráyos magasságú téglalapot úgy, hogy a téglalapok összterülete 1 legye, azaz a j-edik téglalap magassága ϱ j ω x j x j 1 = F x j Fx j 1 fx j. x j x j 1 Az így kapott oszlopdiagramot sűrűséghisztogramak evezzük, mert a valódi f sűrűségfüggvéyt közelíti. A sűrűséghisztogram megadása a mitarealizáció alapjá em egyértelmű, függ az osztópotok választásától. Az osztópotok felvételéhez csak ayi általáos iráyelv modható, hogy függetleek kell leie a mita értékeitől. 36

38 Az is fotos, hogy az osztópotok e helyezkedjeek el túl sűrű a mitarealizáció elemeihez képest, mert ekkor egy részitervallumba túl kevés mitaelem fog esi, s így agyo potatla lesz a becslés. Azaz ebbe az esetbe a sűrűséghisztogramból em lehet következteti a valódi sűrűségfüggvéy alakjára. Másrészt, ha az osztópotok túl ritkák, azaz a részitervallumok száma kevés, akkor a sűrűségfüggvéy becsült potjaiak száma túl kevés ahhoz, hogy a sűrűséghisztogramból következteti lehesse a valódi sűrűségfüggvéy alakjára. A következő ábrá stadard ormális eloszlású 1000 elemű mitára voatkozó sűrűséghisztogramot láthatuk r = 0, x 0 = 4, x 0 = 4 választással, továbbá a részitervallumok egyelő hosszúságúak. Összehasolításképpe a következő ábrá a stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéyét láthatjuk a [ 4,4] itervallumo..4. Statisztikák Tegyük fel, hogy egy ismeretle eloszlású ξ valószíűségi változó várható értékét kell meghatározi. Mivel az eloszlást em ismerjük, ezért a mita alapjá kell becslést adi. A későbbiekbe láti fogjuk, hogy bizoyos szempotból jó becslése a várható értékek a ξ-re voatkozó ξ 1,..., ξ mita elemeiek a számtai közepe, azaz 1 ξ ξ. Általáosa fogalmazva itt egy olya függvéyt defiiáltuk, amely egy valószíűségi változókból álló redezett -eshez egy valószíűségi változót redel. Az ilye függvéyeket statisztikáak evezzük, és a következőkbe kiemelt szerepük lesz. 37

39 .5. Defiíció. Legye ξ 1,..., ξ egy ξ valószíűségi változóra voatkozó mita, továbbá T : R R olya függvéy, melyre T ξ 1,..., ξ valószíűségi változó. Ekkor ezt a valószíűségi változót a mita egy statisztikájáak evezzük. Ha ξ 1 ω,..., ξ ω egy a ξ-re voatkozó mitarealizáció, akkor a T ξ 1 ω,..., ξ ω számot az előbbi statisztika egy realizációjáak evezzük..6. Defiíció. Legye ξ 1,..., ξ egy ξ valószíűségi változóra voatkozó mita. A következő evezetes statisztikákat defiiáljuk: mitaátlag ξ := 1 tapasztalati szóráségyzet S := 1 ξ i ξ tapasztalati szórás S := 1 ξ i ξ korrigált tapasztalati szóráségyzet S := 1 1 korrigált tapasztalati szórás S := k-adik tapasztalati mometum k N k-adik tapasztalati cetrált mometum k N tapasztalati ferdeség tapasztalati lapultság ξ i ξ i ξ 1 1 ξ k i ξ i ξ ξ i ξ k ξ i ξ 3 S 3 ξ i ξ 4 3 Ha több valószíűségi változót is vizsgáluk és hagsúlyozi szereték, hogy a tapasztalati illetve korrigált tapasztalati szórás a ξ-re voatkozik, akkor azokat S ξ, illetve Sξ, módo fogjuk jelöli. S 4 38

40 .7. Tétel Steier-formula. Bármely c R eseté S = 1 ξ i c ξ c. Bizoyítás. Legye c R tetszőlegese rögzített. Ekkor S = 1 = 1 = 1 ξ i ξ = 1 ξi c ξ c = ξ i c 1 ξ cξ i c + 1 ξ c = ξ i c ξ c + ξ c = 1 ξ i c ξ c..8. Defiíció. Legye ξ 1,..., ξ egy ξ valószíűségi változóra voatkozó mita, továbbá x 1,..., x R eseté jelölje r 1,..., r az 1,..., számok egy olya permutációját, melyre teljesül, hogy x r1 x r... x r. Legye T i : R R, T i x 1,..., x := x ri i = 1,...,. Ekkor a ξ i := T i ξ 1,..., ξ i = 1,..., valószíűségi változókat redezett mitáak evezzük. Vegyük észre, hogy ξ 1 = mi{ ξ 1,..., ξ } és ξ = max{ ξ 1,..., ξ }. A ξ ξ 1 statisztikát mitaterjedelemek evezzük. A ξ 1 +ξ az úgyevezett terjedelemközép. páros. A tapasztalati mediá legye ξ +1, ha páratla, illetve 1 ξ + ξ +1, ha Legye 0 t 1. A 100t%-os tapasztalati kvatilis legye ξ[t]+1, ha t N, illetve tξt+1 tξ t+1, ha t N. Vegyük észre, hogy az 50%-os tapasztalati kvatilis a tapasztalati mediáal egyelő. A 5%-os tapasztalati kvatilist tapasztalati alsó kvartilisek, illetve a 75%-os tapasztalati kvatilist tapasztalati felső kvartilisek evezzük. A tapasztalati módusz a mitaelemek között a leggyakrabba előforduló. Ha több ilye is va, akkor azok között a legkisebb. Ha a kísérletsorozatba az ω Ω elemi eseméy következett be, azaz a mi- 39

41 tarealizáció ξ 1 ω,..., ξ ω, akkor a ξω = 1 ξ iω számot is mitaátlagak evezzük. Hasolóa állapoduk meg mide evezetes statisztika eseté. Azaz például S ω-t is tapasztalati szórásak evezzük. A következőbe a statisztika fogalmát kiterjesztjük arra az esetre, amikor a mita elemei valószíűségi vektorváltozók..9. Defiíció. Legye ξ 1,..., ξ egy d-dimeziós ξ valószíűségi vektorváltozóra voatkozó mita, továbbá T : R d R olya függvéy, melyre T ξ 1,..., ξ valószíűségi változó. Ekkor ezt a valószíűségi változót a mita egy statisztikájáak evezzük. Ha ξ 1 ω,..., ξ ω egy a ξ-re voatkozó mitarealizáció, akkor a T ξ 1 ω,..., ξ ω számot az előbbi statisztika egy realizációjáak evezzük..10. Defiíció. Legye ξ = η, ζ kétdimeziós valószíűségi vektorváltozó, továbbá a rávoatkozó mita η 1, ζ 1,..., η, ζ. Eek a mitáak a tapasztalati kovariaciája Cov η, ζ := 1 η i ζ i 1 illetve tapasztalati korrelációs együtthatója η i 1 Corr η, ζ := Cov η, ζ S η, S ζ,. ζ i, 40

42 3. Potbecslések 3.1. A potbecslés feladata és jellemzői Tegyük fel, hogy a vizsgált ξ valószíűségi változóról tudjuk, hogy egyeletes eloszlású az [a, b] itervallumo, de az a és b paramétereket em ismerjük. Ekkor a vizsgáladó statisztikai mező leszűkül az Ω, F, P, P = { P ϑ : ϑ Θ } mezőre, ahol Θ = { a, b R : a < b } és P ϑ olya valószíűség az Ω, F tére, melyre P ϑ ξ < x = x a teljesül mide ϑ = a, b Θ és a < x < b eseté. b a A potbecslés feladata ebbe az esetbe az a illetve b valódi értékéek becslése. De em midig va szükség az összes ismeretle paraméterre. Például előfordulhat, hogy csak a ξ várható értékére vagyuk kívácsiak. Ekkor a feti esetbe az a+b valódi értékét kell megbecsüli. Az eljárás a ξ-re voatkozó ξ 1 ω,..., ξ ω mitarealizáció alapjá úgy fog törtéi, hogy bizoyos kritériumokat figyelembe véve megaduk egy statisztikát, melyek az ω helye vett realizációja adja a becslést. Most általáosítjuk az előzőeket. Legye v N, Θ R v az úgyevezett paramétertér. Feltesszük, hogy Θ. Jelöljö F ϑ eloszlásfüggvéyt mide ϑ = = ϑ 1,..., ϑ v Θ eseté. Feltesszük, hogy ϑ ϑ eseté F ϑ F ϑ. Ez az úgyevezett idetifikálható tulajdoság. Tegyük fel, hogy a vizsgált ξ valószíűségi változóról tudjuk, hogy az eloszlásfüggvéye az { F ϑ : ϑ = ϑ 1,..., ϑ v Θ } halmaz eloszláscsalád eleme, de a ϑ 1,..., ϑ v paraméterek valódi értékei ismeretleek. Ekkor a vizsgált statisztikai mező leszűkül az Ω, F, P, P = { P ϑ : ϑ Θ } mezőre, ahol P ϑ olya valószíűség az Ω, F tére, melyre P ϑ ξ < x = F ϑ x teljesül mide x R és ϑ Θ eseté. A továbbiakba midezt úgy fogalmazzuk meg, hogy legye ξ a vizsgáladó valószíűségi változó az Ω, F, P, P = { P ϑ : ϑ 41