18. Differenciálszámítás

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "18. Differenciálszámítás"

Átírás

1 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke az A szám, ha f értelmezve va az valamely köryezetébe (kivéve esetleg magát az potot), és teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: mide -hoz tartó számsorozatra, ahol, teljesül, hogy a függvéyértékek f ( ) számsorozata A-hoz tart. D f és bármely ε > -hoz va olya δ >, hogy mide δ Jelölés: f = A. < < eseté f A < ε. Defiíció: Az f függvéy végtelebe vett határértéke az A szám, ha f értelmezve va a + (illetve a ) egy köryezetébe (azaz valamilye K számra a ] K ; + [, illetve a ] ; K[ itervallumo), és teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: mide + -hez (illetve -hez) tartó számsorozatra teljesül, hogy a függvéyértékek f ( ) számsorozata A-hoz tart. bármely ε > -hoz va olya N küszöbérték, hogy mide > N eseté ( -re mide N f A < ε. < eseté) Jelölés: f = A, illetve f = A. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke + (illetve ), ha f értelmezve va az valamely köryezetébe (kivéve esetleg magát az potot), és teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: mide -hoz tartó számsorozatra, ahol D és, teljesül, hogy a függvéyértékek f ( ) számsorozata + -hez (illetve -hez) tart. bármely K -hez va olya δ >, hogy mide δ < K ). eseté f Jelölés: f =, illetve f =. f < < eseté f > K (

2 Defiíció: Az f függvéy + végtelebe vett határértéke + (illetve ), ha f értelmezve va a + egy köryezetébe, és teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: f számsoro- mide + -hez tartó zata + -hez (illetve -hez) tart. számsorozatra teljesül, hogy a függvéyértékek bármely K -hez va olya N küszöbérték, hogy mide > N eseté f > K (illetve eseté f < K ). Jelölés: f =, illetve f =. Defiíció: Az f függvéy végtelebe vett határértéke + (illetve ), ha f értelmezve va a egy köryezetébe, és teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: f számsoro- mide -hez tartó zata + -hez (illetve -hez) tart. számsorozatra teljesül, hogy a függvéyértékek bármely K -hez va olya N küszöbérték, hogy mide < N eseté f > K (illetve eseté f < K ). Jelölés: f =, illetve f =. Tétel: si =. Folytoos függvéyek Defiíció: Az f függvéy folytoos az potba, ha f értelmezve va az valamely köryezetébe, és teljesül az alábbi három (ekvivales) feltétel bármelyike: mide -hoz tartó számsorozatra, ahol számsorozata f ( )-hoz tart. f f ( ) =. bármely ε > -hoz va olya δ >, hogy mide δ D, teljesül, hogy a függvéyértékek f ( ) f < eseté f f < ε. Megjegyzés: Ha tehát az f függvéy folytoos az D potba, akkor ott szükségképpe va határértéke is, és a határértéke éppe f ( ). ; potba folytoos. Az f függvéy folytoos, ha értelmezési tartomáyáak mide potjába folytoos. Defiíció: Az f függvéy folytoos az ] a; b [ itervallumo, ha mide ] a b[ Megjegyzés: Az f függvéy folytoosságát kiterjeszthetjük zárt [ a; b ] itervallumra is, ekkor a vég- f

3 potokba csak egyoldali folytoosságról beszélük: a-ba jobboldali, b-be baloldali folytoosságról. Az előbbi eseté mide a, > a számsorozatra, az utóbbi eseté mide b, < b számsorozatra ( D f ) követeljük meg, hogy f ( ) a, illetve f ( ) b teljesüljö. Defiíció: Az f függvéyek szakadási helye va az D potba, ha ott értelmezve va, de em folytoos. f Tétel: Legye f ( ) és g is folytoos az Df Dg potba. Ekkor az potba a következő függvéyek is folytoosak: f + g, f g, f g c f (ahol c ). Tétel (az összetett függvéy folytoossága): Legye, f ( ) folytoos a g( ) D potba. Ekkor ( f g) = f ( g ) g f g( ) (ha g ), illetve g folytoos az D potba, továbbá is folytoos az potba. Tétel: A következő függvéyek folytoosak (a teljes értelmezési tartomáyuko): poliomfüggvéyek ( f = a + a a + a ), illetve ezek háyadosai trigoometrikus alapfüggvéyek ( si, cos, tg, ctg ) epoeciális és logaritmusfüggvéyek Tétel: Legye f ( ) egy zárt [ ; ] következők: a b itervallumo értelmezett folytoos függvéy. Ekkor igazak a az f függvéyek létezik miimuma és maimuma [ a; b] - (tehát f korlátos) az f függvéy az [ a; b] - mide f ( a ) és f ( b ) közötti értéket felvesz (speciálisa: ha f ( a ) és f ( b ) értéke elletétes előjelű, akkor f-ek va zérushelye [ ; ] f a b -) Differeciálható függvéyek Defiíció: Az f függvéy a D potjához tartozó külöbségiháyados-függvéye (vagy differeciaháyados-függvéye) a \ { } f f D a, f ( a) f függvéy. a Defiíció: Az f függvéy differeciálható (vagy deriválható) az a D potba, ha létezik és vé- f f a ges a határérték. Ekkor ezt az értéket az f függvéy a-beli differeciálháyadosáak (vagy deriváltjáak) a a evezzük. f Jelölés: f f ( a) = f '( a) a a.

4 Defiíció: Az f függvéy differeciálható az ] a; b [ itervallumo, ha mide ] a b[ potba ; differeciálható. Az f függvéy differeciálható, ha értelmezési tartomáyáak mide potjába differeciálható. Defiíció: Az f függvéy differeciálháyados-függvéye (vagy deriváltfüggvéye) az az f függvéy, amely azokba az a D f ' a. potokba értelmezett, ahol f differeciálható, és ott értéke f Defiíció: Ha az f deriváltfüggvéy deriválható, akkor az f '' ( f ')' = függvéyt az f második deriváltfüggvéyéek evezzük. Ha az f függvéy -edik deriváltfüggvéye is deriválható + ( ), akkor az f-et -szer deriválhatóak evezzük, az -edik deriváltfüggvéyt f jelöli. Tétel: Ha az f függvéy differeciálható az a D potba, akkor f folytoos is a-ba. f Differeciálási szabályok Tétel: Legyeek f és g differeciálható függvéyek. Ekkor igazak a következők ( Df Dg ): ( c f)( ' ) c f ' = (ahol c ) ( f + g) ' = f ' + g' ( f g)( ' ) = f ' g' ( f g)( ' ) = f ' g + f g' f f ' g f g = g g ' (ahol g ) lácszabály : ( ) Tétel (az alapfüggvéyek deriváltjai): f ( ) f g ' = f g ' = f ' g g' (ahol Dg = c (ahol c ) deriváltja f '( ) = f = (ahol \{ } ) deriváltja ' f = si deriváltja ' f = cos deriváltja ' f = cos f = si f ' = cos f = tg deriváltja si f = ctg deriváltja f ' = f = g D ) és f + f = a (ahol a \{ } ) deriváltja f ' = a la ( ' f e f e = = ) 4

5 l a = = ) + f = log a (ahol a \{ } ) deriváltja f ' = ( f ( ) l f ' ( ) Függvéygörbe éritőjéek meghatározása Tétel: Legye f differeciálható az D potba. Ekkor az ; f ( ) potba az f függvéy grafikojához húzott éritőegyees meredeksége éppe ' y= f ' + f. f f. Ekkor az éritő egyeeséek egyelete: Differeciálható függvéyek vizsgálata Tétel: Legye f differeciálható az ] a; b [ itervallumo. Ekkor igazak a következők: f akkor és csak akkor mooto övekvő ] a; b[ -, ha mide ] a; b[ eseté Ha mide ] a; b[ eseté f '( ) >, akkor az f függvéy ] ; [ a b - szigorúa mooto övekvő. f '. f akkor és csak akkor mooto csökkeő ] a; b[ -, ha mide ] a; b[ eseté Ha mide ] a; b[ eseté f '( ) <, akkor az f függvéy ] ; [ a b - szigorúa mooto csökkeő. Tétel: Legye f differeciálható az ] a; b [ itervallumo és ] a b[ Ha az (szükséges feltétel). Ha ; f '.. Ekkor igazak a következők: potba f-ek szigorú lokális miimuma vagy maimuma va, akkor f ' = f ' = és f az -ba előjelet vált, akkor f-ek -ba szigorú lokális szélsőértéke va, a következők szerit (elégséges feltétel): o Ha f '( ) = és f az ε > mide ] ε; [ eseté f '( ) < és mide ] ; + ε[ eseté f ' > ), akkor f-ek -ba szigorú lokális miimuma va. -ba egatívból pozitívba vált (azaz létezik olya, hogy o Ha f '( ) = és f az mide ] ε; [ eseté f '( ) > és mide ] ; + ε[ eseté f ' < ), akkor f-ek -ba szigorú lokális maimuma va. Ha f '( ) = és -ba szigorú lokális szélsőértéke va, a következők szerit (elégséges feltétel): o Ha f '( ) = és o Ha f '( ) = és -ba pozitívból egatívba vált (azaz létezik olya ε >, hogy f '', akkor f-ek f '' >, akkor f-ek -ba szigorú lokális miimuma va. f '' <, akkor f-ek -ba szigorú lokális maimuma va. 5

6 Defiíció: Legye f egy tetszőleges (yílt, zárt, illetve félig yílt félig zárt) I itervallumo értelmezett függvéy. Ha tetszőleges a I, b I, a b a; b -re < eseté mide ] [ a függvéygörbe ( ; f ( )) potja az ( a; f ( a )) és ( ; ) b f b potokat összekötő húr alatt vagy a húro található, akkor az f-et az I itervallumo (alulról) kove függvéyek evezzük. a függvéygörbe ( ; f ( )) potja az ( a; f ( a )) és ( ; ) b f b potokat összekötő húr felett vagy a húro található, akkor az f-et az I itervallumo (alulról) kokáv függvéyek evezzük. Ha a vizsgált ( ; ) f potok egyike sem lehet rajta a húro (csak végig alatta vagy végig felette), akkor az f-et az I itervallumo (alulról) szigorúa kove (kokáv) függvéyek evezzük. Tétel: Legye f kétszer differeciálható az ] a; b [ itervallumo. Ekkor igazak a következők: f akkor és csak akkor kove az ] a; b[ -, ha mide ] a; b[ eseté f ''. Ha mide ] a; b[ eseté f ''( ) >, akkor az f függvéy szigorúa kove ] ; [ f akkor és csak akkor kokáv az ] a; b[ -, ha mide ] a; b[ eseté f ''. a b -. Ha mide ] a; b[ eseté f ''( ) <, akkor az f függvéy szigorúa kokáv ] ; [ a b -. Defiíció: Legye f kétszer differeciálható az D f pot valamely köryezetébe. Az f-ek ifleiós potja va -ba, ha teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: f az -ba görbületet vált (koveből kokávba vagy kokávból kovebe), vagyis vaak olya a< < b értékek, hogy f az [ a; ]-o kove és az [ b] - kokáv (vagy fordítva). ; f '' = és f '' az -ba előjelet vált (egatívból pozitívba vagy pozitívból egatívba). Tétel: Legye f háromszor differeciálható az f ''', akkor f-ek ifleiós potja va és D pot valamely köryezetébe. Ha f ''( ) = f -ba (elégséges feltétel). Fizikai alkalmazások Ha egy test egyees voalú mozgást végez, és a kezdőpottól mért előjeles távolságát t idő elteltével az s() t függvéy írja le, akkor a pillaatyi sebesség eze s függvéy első deriváltja, vagyis vt () = s' () t, míg a t időpotba a test gyorsulása a függvéy második deriváltja, vagyis at () s'' () t A fizikába haszálatosak még a vt = st és az at () = st () jelölések is. =. 6

7 II. Kidolgozott feladatok. Számítsuk ki a következő függvéyhatárértékeket (ha létezek)! a) + 5 b) ( ) 7 c) 4 d) [ ] e) f) Megoldás: a) Az függvéy értelmezési tartomáya: \ ;. Ez a függvéy értelmezve va a + egy köryezetébe, és ott folytoos is. A számlálót és a evezőt is -tel vé gigosztva az = alakhoz jutuk, amelyre alkalmazhatjuk a határérték műveleti tu- 5 5 lajdoságait: = = =. 5 5 b) Az mide valós számra értelmezett folytoos függvéy, amelyek = 7 -beli határértéke megegyezik az 7 = 7 =. c) Az 4 = -be felvett függvéyértékkel, így függvéy értelmezési tartomáya: \{ }, tehát ez a függvéy ics értelmezve a vizsgált = helye. Az ( + )( ) 4 = = + átalakítást alkalmazva meg- állapíthatjuk, hogy a függvéy képe megegyezik az \{ } amely egy majdem teljes ( = -be em értelmezett) egyees: 7, + függvéy képével, 7

8 4 = + = + = 4 sorozatra a függvéyértékek f ( ) sorozata 4-hez tart. Így a keresett határérték ( ) d) Az f : [ ], hisze mide = -höz tartó mide valós számra értelmezett függvéy, amely azoba em folytoos, az helyeke szakadási potja va. Eek a függvéyek az = -ba icse határértéke, hisze például a = és b = + eseté f ( a ) = =, de f ( b ) = + =. Ekkor f ( a ) = és f ( b ) =, de a határérték defiíciója alapjá e két (-hoz tartó) számsorozat meté a függvéyértékekek közös határértékhez kellee tartaia, ami jele esetbe em létezik. em teljesül. Tehát [ ] (Megjegyzés: ha a kétoldaliság követelméyétől eltekitük, és csak az egyik oldalról közelítjük a vizsgált helyet, akkor tágabb értelembe modhatjuk azt, hogy az f : [ ] függvéyek = -ba a baloldali határértéke, a jobboldali határértéke pedig.) e) Az f : függvéy értelmezési tartomáya: \{ }, tehát ez a függvéy ics értelmezve a vizsgált = helye. Mivel például az b = sorozatra f ( b ) a = sorozatra f ( a ) =, továbbá a =, ezért e két (-hoz tartó) számsorozat meté a függvéyértékek határértéke külöböző (hisze f ( a ) = és f ( b ) = ), így (csupá bal- és jobboldali határértéket tudák külö-külö értelmezi). f) Az 5+ 6 ( )( ) = függvéy értelmezési tartomáya: \{ ;5} 7+ ( )( 5) ez a függvéy ics értelmezve a vizsgált = helye. Az átalakítást alkalmazva a függvéy eseté megegyezik az em létezik, tehát = = folytoos függ- 8

9 véyel, így a keresett határérték 5+ 6 = = + = Folytoosak-e az alábbi függvéyek? (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) = b a ( ) =,ha c = 5, ha = = { } e = ctg f d Megoldás:, ha =, ha \ a) Az a = függvéy értelmezési tartomáya: \{ }. Mivel bármilye, eseté a( ) = = = a( ) teljesül, ezért a függvéy folytoos, hisze értelmezési tartomáyáak mide potjába folytoos. (Úgy is idokolhatuk, hogy a megadott függvéy a folytoos és függvéyek háyadosa.) b) A b eseté = b értéke megegyezik a folytoos függvéy értékével, ezért a függvéy folytoos. c) A c függvéy értelmezési tartomáya:. Mivel bármilye eseté c ( ),ha = 5, ha = c függvéy értelmezési tartomáya: \{ }. Mivel bármilye =, így = =, viszot c 5 c =, ezért a függvéy em folytoos az = potba, ott szakadási helye va. Tehát a függvéy em folytoos. 9

10 k = függvéy értelmezési tartomáya:. Mivel az = ; k helyeke a függvéyek szakadási helye va (ezekbe a potokba a függvéyek ics határértéke), ezért a függvéy em folytoos. (Úgy is idokolhatuk, hogy például = eseté az a = + és a b = -hoz tartó sorozatok választásával d( a ) = és d( b ) =, tehát -ba a d függvéyek ics határértéke, így ott em is lehet folytoos.) d) A d { } π e) Az e = ctg függvéy értelmezési tartomáya: \ k k. A függvéy értel- mezési tartomáyáak mide potjába folytoos (hisze az és az ctg függvéyek folytoosak, így ezek összetétele is folytoos), tehát ez a függvéy folytoos., ha f) Az f = függvéy (az úgyevezett Dirichlet-függvéy) értelmezési tartomáya:. Mivel bármely itervallumba található racioális és irracioális szám is, ezért, ha \ bármely szám tetszőleges köryezetébe végtele sok racioális és irracioális szám va, így ez a függvéy mide itervallumo végtele sokszor felveszi az -et és a -t is, vagyis semelyik potba em folytoos. Tehát ez a függvéy em folytoos. = függvéyt. Ez egy folytoos függvéy, amely ics értelmezve = -be. Hogya lehete kiterjesztei az értelmezési tartomáyát = -re is úgy, hogy a függvéy továbbra is folytoos maradjo?. Tekitsük az f ( )( + + ), ezért mide eseté f ( ) értéke megegye- Megoldás: Mivel = zik az + + függvéy értékével. Tehát f ( ) = + + =. Ha f-et folytoosa szereték kiterjesztei = -re, akkor az = -beli függvéyértékek meg kell egyezie az = -beli függvéyhatárértékkel, így a kiterjesztett függvéyek = -be -at kell felveie. Vagyis a függvéy folytoos kiterjesztése az,,ha függvéy., ha = 4. Írjuk fel az alábbi függvéyek = pothoz tartozó differeciaháyados-függvéyét és differeciálháyadosát! = b = c a = Megoldás: a) A differeciaháyados-függvéy: = = = ( { ; } ( ) ).

11 A differeciálháyados értéke: a' () = =. ( ) ( ) b) A differeciaháyados-függvéy: ( ). A számláló tovább = =. Elvégezve az alakítva: ( ) ( ) ( ) = egyszerűsítést, a differeciálháyados értéke a következő: b' = = =. () c) A differeciaháyados-függvéy: gyökteleítő) = = + ( ) ( + ) átalakítást, a differeciálháyados ér- téke: c' () = = =. + + ( és ). Elvégezve a (számlálót 5. Igaz-e midig, hogy ha egy függvéy folytoos valamely potba, akkor ott differeciálható is? Megoldás: Nem, hisze például az f f f = függvéy folytoos = -ba, de ott em differeciálható. Ugyais = lee, de az függvéyek icse határértéke = -ba (hisze egatív -ekre -et, pozitív -ekre + -et vesz fel). 6. Deriváljuk az alábbi függvéyeket! (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) = + b = cos = + l a si( e ) d si c e = e = f = log ( ) Megoldás: a' = +. a) 7 b) Mivel b' = si = si. =, ezért c) Mivel ' d) Mivel ( e )' = és ( l ) ' =, ezért = e, ezért d' = cos( e ) e. c' = e + l+ = e + l+.

12 e) Mivel f) Mivel si ' = cos és ' =, ( )' cos si cos si = =. =, ezért e' = és ( ( )) log7 ' = l7, ezért ( ) f ' = ( log 7 ) =. l7 log l7 ( ) ( ( )) ( ) 7 7. Az y = egyeletű parabola mely potjába húzott éritő lesz merőleges az egyeletű egyeesre? Írjuk fel az éritő egyeletét! y= + 5 Megoldás: A parabola ( ; ) potjába húzott éritő meredeksége egyelő a parabola derivált- jáak adott potbeli értékével. Mivel az f = függvéy deriváltja ( ; ) f ' =, ezért az potba az éritő meredeksége. A megadott y= + 5 egyees meredeksége m =, a rá merőleges egyees meredeksége m = =, így =. Tehát a keresett m 4 9 pot a ; 4 6, az éritő egyelete pedig: 9 9 y= 4 + = Jellemezzük az f :, f = 5+ 4 függvéyt mootoitás, szélsőértékek, koveitás és ifleiós pot szempotjából! Megoldás: A függvéy vizsgálatát az első és a második derivált segítségével végezzük el. f ' = 4 5, amelyek zérushelyei = és 5 parabola, ezért f '( ) >, ha < vagy > 5, illetve Tehát f meete a következő: f szigorúa mooto övekvő, ha < vagy > 5 f szigorúa mooto csökkeő, ha < < 5 =. Mivel f ' képe egy felfelé yíló f ' <, ha < < 5. f-ek szigorú lokális maimuma va = -be, szigorú lokális miimuma = 5 -be f-ek icseek abszolút szélsőértékei, ugyais f = és f f '' 4 ezért f ''( ) >, ha >, illetve + =+ =, amelyek zérushelye =. Mivel f '' képe egy pozitív meredekségű egyees, Tehát f görbülete a következő: f szigorúa kove, ha > f '' <, ha <.

13 f szigorúa kokáv, ha < f-ek ifleiós potja va = -be Midezt a következő táblázatba is összefoglalhatjuk: < = < < = < < 5 = 5 > 5 f ' + + f lok. ma. lok. mi. f '' f kokáv ifl. pot kove 9. A cm területű téglalapok közül melyikek miimális a kerülete? Megoldás: Jelölje a téglalap egyik oldalát cetiméterbe mérve, ekkor a másik oldal hossza cetiméterbe mérve, a téglalap kerülete +, ahol <. Vagyis keressük a + + k :, k = + függvéy miimumát. Mivel a k függvéy a teljes értelmezési tartomáyá deriválható, és k' =, ezért a szélsőérték létezéséek szükséges feltételekét a = egyeletet kell megvizsgáluk, amelyek pozitív megoldása =. Mivel 4 4 k'' =, így k '' = >, vagyis k-ak valóba szigorú lokális (és abszolút) miimuma

14 va = -be. Ekkor =, tehát a vizsgált téglalapok közül a miimális kerületű a cm oldalú égyzet (amelyek kerülete 4 cm).. Egy potszerű test egy egyees voalú pályá mozog az s() t 5 ( 5 t)( t) = kitérési szabály szerit a időpottól egésze addig, amíg a sebessége ullává em válik. Mekkora utat tesz meg ezalatt? Megoldás: A test pillaatyi sebességét az s '( t ) függvéy határozza meg. Mivel () s t 5 5 8t t t 8t = + = +, így s' () t = t+ 8, ami akkor lesz, ha t = 4. Ekkor s ( 4) = 5 ( 5 4) ( 4) = 5+ = 6, tehát a test 6 egységyi utat tesz meg a vizsgált időszakba.. Határozzuk meg a [ ; ] itervallumo értelmezett f = függvéy szélsőértékeit! Megoldás: A függvéy zárt itervallumo értelmezett, viszot deriváli csak belső potokba, vagyis a ] ; [ yílt itervallum potjaiba tudjuk (hisze a külöbségiháyados-függvéy határértékét bármely potba midkét oldalról kell tuduk közelítei). Ezekbe a potokba f ' =, amelyek zérushelyei = és =. Az ' f függvéy -be pozitívból egatívba, -be egatívból pozitívba vált, emiatt szigorú lokális maimumhely, pedig szigorú lokális miimumhely. Mivel a függvéy a ; és a ; itervallumoko szigorúa mooto ő, továbbá a ; itervallumo szigorúa mooto csökke, ezért az abszolút miimumhely csak a szigorú lokális miimumhely ( ) vagy az értelmezési tartomáy bal végpotja ( = ) lehet. Ugyaígy az abszolút maimumhely csak a szigorú lokális maimumhely ( ) vagy az értelmezési tartomáy jobb végpotja ( = ) lehet. 8 Mivel f =,9 7 =. és f ( ) = 8+ 4= 4, ezért az abszolút miimumhely Mivel =. 8 f = +,9 7 és f () = =, ezért az abszolút maimumhely 8 Tehát a függvéy miimumértéke 4, maimumértéke +,9. 7 4

15 III. Ajálott feladatok. Számítsuk ki a következő függvéyhatárértékeket (ha létezek)! a) 9 + b) c) d) e) f) tg. Adjuk meg olya függvéyt, amelyek va határértéke az = helye, de ott em folytoos!. Folytoosak-e az alábbi függvéyek? (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) tg = b = si + c a 4. Legye f + = 4, ha \ =. Mely potba folytoos a függvéy?, ha 5. Adjuk meg olya függvéyt, amely mideütt értelmezve va, és az = helye em folytoos! 6. Írjuk fel az f si = függvéy differeciálháyadosát! Számítsuk ki a differeciálháyados (a-tól függő) értékét! = a pothoz tartozó differeciaháyados-függvéyét és 5

16 7. Adjuk meg olya f : = potokba em differeciálható! 8. Adjuk meg azokat a helyeket, ahol az f :, f = 5+ függvéy differeci- álháyadosa! folytoos függvéyt, amely csak az =, az = és az 9. Deriváljuk az alábbi függvéyeket! (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) = si( + ) b = ( 5) c = log a = si e d. Az y 5 + = 4 f = = + 4 parabola mely potjához tartozó éritő megy át a P ( ; 4) poto?. Írjuk fel az f cos egyeletét! π = függvéy grafikojához a abszcisszájú potjába húzható éritő. Va-e ifleiós potja az a = si, b = cos, c tg potokba? = függvéyekek? Ha ige, mely. Jellemezzük az f :, f = és a g :, g = si + cos függvéyt mootoitás, szélsőértékek, koveitás és ifleiós pot szempotjából! = egye- 4. Határozzuk meg, hogy mely itervallumoko kove, illetve kokáv az letű görbe! 5 y 5. Milye hosszúak az élei aak a égyzetes hasábak, amelyek térfogata cm, és felszíe miimális? 6. Határozzuk meg a cm sugarú körbe írt téglalapok közül a legagyobb területűt! 6+ 5 = függvéyek e legye + 4+ m lokális szélsőértéke? ( f -et a valós számhalmaz lehető legbővebb részhalmazá értelmezzük.) 7. Milye értéket kell aduk m-ek ahhoz, hogy az f 8. Egy pot az [ ] ; 5 időitervallumba egyees pályá mozog, az st () = t + t+ 5 kitérési szabályak megfelelőe (az időt másodpercbe, a kitérést méterbe mérjük). Mekkora a mozgás átlagsebessége? Va-e olya t [ ; 5] időpot, amelybe a pillaatyi sebesség egyelő az átlagsebességgel? 9. A [ ; T ] időitervallumba folyó harmoikus rezgőmozgás kitérés-időfüggvéye a következő: f :; [ T], f () t A si( ωt) g t gyorsulásfüggvéyét, majd igazoljuk, hogy mide t [ ; T] =, ahol A az amplitúdót, ω a körfrekveciát jelölő kostas. Határozzuk meg a mozgás () eseté () ω f () t g t =! 6

17 . Egy duatlo versey rajtja egy egyees tegerparto va, célja pedig a vízbe. Az egyik lehetőség a táv teljesítésére, hogy először 4 km-t futuk közvetleül a parto, majd 9 -kal elfordulva km-t úszuk a tegerbe. Azoba megegedett bármikor letéri a futópályáról, és úszi kezdei a cél felé. A rajtvoaltól mérve mekkora távolságra érdemes beugrai a vízbe ahhoz, hogy miél hamarabb célba érjük, ha a tegerparto 6 km/h, a vízbe pedig km/h a sebességük? Az ajálott feladatok megoldásai. Számítsuk ki a következő függvéyhatárértékeket (ha létezek)! a) 9 + b) c) d) e) f) tg Megoldás: a) ( )( + ) 9 = = ( ) = b) + 7 = em létezik, mert például az a = + sorozat meté a függvéyértékek sorozata + -hez, a b = sorozat meté -hez tart. c) = = = d) 7 = = (mivel = = ). + + ( )( + ) e) = = ( + ) = + =. f) tg si si si = = = = =. cos cos cos. Adjuk meg olya függvéyt, amelyek va határértéke az = helye, de ott em folytoos! Megoldás: Jó megoldás például mide olya { } \ folytoos függvéy, amely egy folytoos függvéy leszűkítéséből ( ) adódik. Ilyeek például: ( ) vagy 7

18 . Ezek az = helye em értelmezettek, így ott em is lehetek folytoosak, viszot va határértékük: = és =. ( ) Szité jó megoldás bármely olya de mide más helye folytoos. Ilye például az = -ba em folytoos, továbbá f függvéy, amelyek az = pot szakadási helye,, ha = f = függvéy. Ez, ha \{ } =.. Folytoosak-e az alábbi függvéyek? (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) tg = b = si + c a Megoldás: Az a függvéy folytoos (értelmezési tartomáya [ ; + [ ). = A b függvéy is folytoos, mert folytoos függvéyek összege és összetétele is folytoos (értelmezési tartomáya a tagesfüggvéy miatt \ π π + k k ). 4 A c függvéy szité folytoos, értelmezési tartomáya \{ }, és ott c 4. Legye f Megoldás: + 4, ha \ =. Mely potba folytoos a függvéy?, ha =. 8

19 A függvéy folytoos mide em egész potba, továbbá azo egész potokba, amelyekre ( + ) =. Az ( \ ; ) 4 + 4= egyelet megoldásai = és =, így az f függvéy az { } potokba folytoos. 5. Adjuk meg olya függvéyt, amely mideütt értelmezve va, és az = helye em folytoos! Megoldás: Bármilye olya függvéy megfelelő, amelyek = -beli határértéke vagy em létezik, vagy em egyezik meg az ott felvett függvéyértékkel. Néháy lehetséges példa: [ ], { } (ezekek ics határértéke = -be), f, ha = =, ha \ { } (eek va határértéke = -be, de f f = = ). = függvéy differeciálháyadosát! Számítsuk ki a differeciálháyados (a-tól függő) értékét! 6. Írjuk fel az f si = a pothoz tartozó differeciaháyados-függvéyét és si si a Megoldás: A differeciaháyados-függvéy:. A differeciálháyados eek a si si a + a a határértéke = a -ba, vagyis. Mivel si si a= cos si, így a a + a a a cos si si si si a a + a = = cos cos cos a a a a a a = = a. Va- gyis az a potba a differeciálháyados értéke cos a. (Ezzel levezettük a si' = cos összefüggést.) 7. Adjuk meg olya f : = potokba em differeciálható! Megoldás: Az f folytoos függvéyt, amely csak az =, az = és az = függvéy em differeciálható a -ba (mivel a differeciaháyadosfüggvéy határértéke balról közelítve, jobbról közelítve + lee, vagyis em létezik). Ezek alapjá jó megoldás például mide olya f : folytoos függvéy, amely az =, az = és az = potokba megtörik, például az f = függvéy. További megfelelő függvéyeket készíthetük szakaszokéti megadással, ameyibe ezek a végpotokba külöböző meredekségű éritőkkel csatlakozak. Erre példa a következő függvéy: g =, ha < +, ha <., ha <, ha 9

20 8. Adjuk meg azokat a helyeket, ahol az f :, f = 5+ függvéy differeci- álháyadosa! Megoldás: Az f függvéy helye vett differeciálháyadosa fel értéket, ha = 6 vagy = + 6. f ' = 5, ez akkor vesz 9. Deriváljuk az alábbi függvéyeket! (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) = si( + ) b = ( 5) c = log a = si e d 5 + = 4 f = Megoldás: a' = cos +. = ( ) = ( ), vagy a b' b b' = (természetese a két végeredméy ugyaaz). c' = = l l = alakból kiidulva, vagy a c = log+ log alakból kiidulva c ' = + l. d' = ( l) si + cos = l si + cos. e' f + + = = ( 4) ( 4) = esetébe em alkalmazhatjuk sem a hatváy-, sem az epoeciális függvéy deriválási szabályát, hisze az változó a hatváy alapjába és kitevőjébe is szerepel. Azoba az l l l = e átalakítással f ( e ) e = =, így f ' = e l+ = ( l+ ) l..

21 . Az y = + 4 parabola mely potjához tartozó éritő megy át a P ( ; 4) poto? Megoldás: Mivel az f = + 4 függvéy deriváltja ( ; ) y potjába az éritő meredeksége m= + 4. Mivel f ' = + 4, így a parabola y = + 4, ezért az ( 4 ) y y y + éritőegyees egyelete (behelyettesítve az m = képletbe): + 4= Ha az éritő átmegy a P ( ; 4) poto, akkor ( ) = másodfokú egyelet, amelyből ( ) = 4 és y 4 = + összefüggésből ( y ) = és 4 parabola ( 4; 4) és ( 4; 4) P ( ; 4) poto. teljesül. Ez -ra egy = + 4 adódik. Ezekhez az y = + 4 tartozik. Vagyis a + + potjához tartozó éritők meek át a.. Írjuk fel az f cos egyeletét! Megoldás: Mivel ' meredeksége. Mivel y f ( ) π = függvéy grafikojához a abszcisszájú potjába húzható éritő π f = si, így az = -ba π π f ' = si = az éritő π = = cos =, így az éritő egyelete (behelyettesítve az y= m + y képletbe): π π+ y= + = +.. Va-e ifleiós potja az a = si, b = cos, c tg potokba? = függvéyekek? Ha ige, mely Megoldás: A függvéyek második deriváltjaiak zérushelyeit vizsgáljuk előjelváltás szempotjából. = si, eek zérushelyei: { k π k } a'' második derivált itt előjelet vált.. Ezek mid ifleiós potok, ugyais a b'' = cos, eek zérushelyei: a második derivált itt előjelet vált. π + k π k. Ezek mid ifleiós potok, ugyais '' ' si c = = cos, eek zérushelyei: { k π k }. Ezek mid ifleiós potok, cos ugyais a második derivált itt előjelet vált (a számláló előjelet vált, a evező em).,, si cos. Jellemezzük az f : f = és a g : g = + függvéyt mootoitás, szélsőértékek, koveitás és ifleiós pot szempotjából!

22 f ' = + 8 5, eek zérushelyei = és = 5. A két zérushely között f ' pozitív, az -él kisebb és az -él agyobb helyeke egatív. Tehát f szigorúa mooto Megoldás: csökke a ] ;] és [ 5; + [ itervallumoko, illetve szigorúa mooto ő az [ ; 5 ] itervallumo. A függvéyek szigorú lokális miimuma va ). Abszolút szélsőértékei icseek, ugya- = -be (itt f ( ) = is f =+ és f =. ), illetve szigorú lokális maimuma va 5 + = -be (itt f ( ) = = +, eek zérushelye =. Az helyeke '' f '' empozitív. Tehát f kove a ] ;] itervallumo, illetve kokáv a [ [ f '' 6 8 f emegatív, az helyeke ; + itervallumo. A függvéyek ifleiós potja va = -ba. Táblázatba összefoglalva: < = < < = < < 5 = 5 > 5 f ' f lok. mi. lok. ma. f '' f kove ifl. pot kokáv

23 g' = cos si = cos si si = si si +. Ez a kifejezés si -be másodfokú és egatív főegyütthatójú, zérushelyeire si = és si = teljesül. π π Az első esetbe = + kπ ( k ), a második esetbe = + kπ ( k ), illetve 6 5π = + kπ ( k ). Tudjuk, hogy g' ( ) > potosa akkor teljesül, ha < si <, vagyis 5π k π 6 k π + π< < + π+ π + kπ, k 6 6, illetve g' ( ) < potosa akkor π teljesül, ha si >, vagyis 5 π + kπ< < + kπ ( k ). Tehát g szigorúa mooto 6 6 π csökke a ; 5 π + kπ + kπ ( k ) itervallumoko, illetve szigorúa mooto ő az 6 6 5π π + kπ; + kπ ( k ) itervallumoko. A függvéyek szigorú lokális miimuma va π 6 az = + kπ ( k ) helyeke (itt g = ), szigorú lokális maimuma va az π = + kπ ( k ) helyeke (itt g( ) = ). Mivel a g függvéy mide valós számra 6 értelmezett periodikus függvéy (periódusa π ), ezért a szigorú lokális szélsőértékek egybe abszolút szélsőértékek is, tehát a függvéy abszolút miimuma π szélsőértékhelyek.) (Az = + kπ ( k ) helyeke, abszolút maimuma. g' =, de a derivált em vált előjelet, így ezek em g'' = 4si cos cos = cos 4si +, eek zérushelyeire cos = és si 4 = teljesül. Az első esetbe kπ ( k ) + π ( ), illetve π kπ ( k ) π = +, a második esetbe, 5 k k =,95 +. Midhárom zérushelye g '' előjelet váltva, tehát az,, helyeke g-ek ifleiós potja va. g'', ha cos itervallu- π mok teszek eleget, eze itervallumoko g kove. és 4si +, illetve cos és 4si +. Ezekek feltételekek a + kπ;,5+ kπ ( k ) és a + kπ;,95+ kπ ( k ) g'', ha cos π itervallu- π mok teszek eleget, eze itervallumoko g kokáv. és 4si +, illetve cos és 4si +. Ezekek a feltételekek a, 5 + kπ; + kπ ( k ) és a,95 + kπ; + kπ ( k ) π

24 = egye- 4. Határozzuk meg, hogy mely itervallumoko kove, illetve kokáv az letű görbe! 5 y 5 Megoldás: Az f = függvéy második deriváltja f '' =. és f '', ha. Tehát az eredeti függvéy kokáv a ] ;] f '', ha itervallumo, illetve kove a [ ; + [ itervallumo (továbbá -ba a függvéyek ifleiós potja va). 5. Milye hosszúak az élei aak a égyzetes hasábak, amelyek térfogata cm, és felszíe miimális? Megoldás: Legye a hasáb alapéléek hossza (cetiméterbe mérve) a, ekkor a magassága (cetiméterbe mérve) a. A test felszíe a függvéyébe: 8 Aa= a + 4a = a +, ahol a a a >. Az A függvéy a teljes értelmezési tartomáyá deriválható, továbbá a deriváltja 8 A' ( a) = 4a, eek zérushelye 56 a =. Mivel A'' ( a) = 4 +, így A '' >, tehát a a A-ak valóba szigorú lokális (és abszolút) miimuma va a = -be. Így a keresett hasáb egy cm élhosszúságú kocka (amelyek felszíe 6 cm ). 6. Határozzuk meg a cm sugarú körbe írt téglalapok közül a legagyobb területűt! Megoldás: Legye a téglalap egyik oldaláak hossza (cetiméterbe mérve) a. Mivel a téglalap átlója a kör átmérője (vagyis cm hosszú), ezért a Pitagorasz-tétel alapjá a téglalap másik ol- 4

25 daláak hossza ekkor 4 a. < <, hisze midkét oldal biztosa rövidebb az átmérőél. A T függvéy a teljes értelmezési tartomáyá deriválható, és a a T' ( a) = 4 a + a = 4 a 4 a 4 a, eek zérushelyeit az a = A terület a függvéyébe: T( a) = a 4 a, ahol a egyelet megoldásai adják, amiből az értelmezési tartomáy miatt a = adódik. A deriváltfüggvéy közös evezőre hozva T' ( a) 4 a = 4 a alakú. Eek evezője < a < eseté biztosa pozitív, számlálója pedig egy lefelé yíló parabola, amely < a < eseté pozitív, < a < eseté egatív. Így a T ' függvéy a = -be pozitívból egatívba váltva, ezért a T függvéyek valóba szigorú lokális (és abszolút) maimuma va a = eseté, ekkor a másik oldal is cm hosszúságú. Tehát a legagyobb területű téglalap egy cm oldalhosszúságú égyzet, amelyek területe cm. T a = a 4 a függvéy < a < eseté pozitív, így maimumát ugyaott veszi fel, ahol a égyzete, vagyis F a T a a 4 a F ' a = 4a + 8a, Megjegyzés: A szélsőérték egyszerűbbe is meghatározható, ugyais a az így a = = függvéy. Ekkor a deriválás rövidebb: a a = egyelet megoldásait ( a =, a, =± ) az értelmezési tartomáyyal összevetve szité a = lesz a maimumhely (igazolható, hogy itt F ' valóba pozitívból egatívba vált). Természetese a maimum értékét em a vizsgált F, haem az eredeti T függvéybe helyettesítve kapjuk = függvéyek e legye + 4+ m lokális szélsőértéke? ( f -et a valós számhalmaz lehető legbővebb részhalmazá értelmezzük.) 7. Milye értéket kell aduk m-ek ahhoz, hogy az f Megoldás: Ha az f függvéyek icse lokális szélsőértéke, akkor deriváltja sehol em vált előjelet, tehát az f ' függvéy végig azoos előjelű (a érték is megegedett). A derivált: f ' m m m = = + 4+ m + 4+ m , 5

26 amely értelmezve va az f függvéy teljes értelmezési tartomáyá. Mivel a evező biztosa pozitív (esetleges zérushelyei f sicse értelmezve), így f ' előjelét a számláló előjele határozza meg. A számláló egy másodfokú függvéy, amely akkor és csak akkor em vált előjelet, ha legfeljebb egy gyöke va, vagyis diszkrimiása empozitív ( vagy egatív). Tehát D= m + 4 6m+ = 4m + m+ 9, amely m-be másodfokú, pozitív főegyütthatójú kifejezés, gyökei m = 45 és m = 5. A kifejezés a két gyök között egatív, így a keresett m értékek a [ 45; 5] itervallumba találhatóak. Mide más esetbe a derivált előjelet vált, ekkor az eredeti függvéyek lokális szélsőértéke lee. Vagyis az f függvéyek 45 m 5 eseté icse lokális szélsőértéke. 8. Egy pot az [ ] ; 5 időitervallumba egyees pályá mozog, az st () = t + t+ 5 kitérési szabályak megfelelőe (az időt másodpercbe, a kitérést méterbe mérjük). Mekkora a mozgás átlagsebessége? Va-e olya t [ ; 5] időpot, amelybe a pillaatyi sebesség egyelő az átlagsebességgel? Megoldás: Mivel s' () t = 4t+ >, ha t [ ; 5], ezért a kitérésfüggvéy a megadott itervallumba szigorúa mooto övő, így a pot folyamatosa egy iráyba halad (távolodik) a pályá. Így a megtett út Δ s= s() 5 s() = 7 = 6 méter, az eltelt idő Δ t = 5 = 4 másodperc. Emiatt a mozgás átlagsebessége vátl = = = 5, amely megfelel az s() t függvéygrafiko- Δs 6 m m Δt 4s s o a mozgás kezdő- és végpotját összekötő szakasz meredekségéek. vt = s' t = 4t+, ez a 4t + = 5 egyelet alapjá a t = időpotba lesz egyelő az átlagsebességgel. A pillaatyi sebesség értéke () () Megjegyzés: A megoldásból megkaptuk, hogy az s() t görbe ( ; ) potbeli éritője párhuzamos a görbe ( ; ) és ( 5; 7 ) potjai átmeő szelővel. 6

27 9. A [ ; T ] időitervallumba folyó harmoikus rezgőmozgás kitérés-időfüggvéye a következő: f :; [ T], f () t A si( ωt) g t gyorsulásfüggvéyét, majd igazoljuk, hogy mide t [ ; T] =, ahol A az amplitúdót, ω a körfrekveciát jelölő kostas. Határozzuk meg a mozgás () eseté () ω f () t g t =! Megoldás: f '() t = A cos( ωt) ω és f ''() t A ω ( si( ωt) ) ω a második deriválttal, így g() t f ''() t ω A si( ωt) ω f () t =. Mivel a gyorsulás megegyezik = = =.. Egy duatlo versey rajtja egy egyees tegerparto va, célja pedig a vízbe. Az egyik lehetőség a táv teljesítésére, hogy először 4 km-t futuk közvetleül a parto, majd 9 -kal elfordulva km-t úszuk a tegerbe. Azoba megegedett bármikor letéri a futópályáról, és úszi kezdei a cél felé. A rajtvoaltól mérve mekkora távolságra érdemes beugrai a vízbe ahhoz, hogy miél hamarabb célba érjük, ha a tegerparto 6 km/h, a vízbe pedig km/h a sebességük? Megoldás: Jelölje a parto megtett távolság hosszát kilométerbe mérve, ahol 4. Ekkor a vízbe megtett út egy olya derékszögű háromszög átfogója, amelyek befogói és 4 hosszúságúak, így a teljes megtett út hossza km. Tudjuk, hogy egyees voalú egyeletes mozgásál az eltelt idő a megtett út és a sebesség háyadosa. Így a futás és az úszás együttes ideje t = + = óra, ezt a t függvéyt szereték miimalizáli a vizsgált [ ; 4 ] itervallumo (itt a gyökös kifejezés valóba értelmezve va). Az itervallum végpotjaiba t =, illetve ( 4) A deriváltfüggvéy t' 7 7 t =. 6 8 = , eek zérushelyeit az 8 + = = alakját 4-gyel elosztva, egyelet megoldásai adják. Az egyelet majd égyzetre emelve a = 8+ 7 másodfokú egyeletet kapjuk, amelyek gyökei = 4 és = 4 +. Ezek közül valóba megoldás, viszot ics az 4 4 értelmezési tartomáyba. Mivel a második derivált t'' =, amely -be 8+ 7 pozitív, így -be a t függvéyek valóba szigorú lokális miimuma va, és ott t 4 + = 4. Ez kisebb a t és ( 4) t értékekél, így a t függvéy az értelmezési 7

28 tartomáyá az abszolút miimumát = 4,65-be veszi fel. Vagyis a rajttól mérve kb. 4,65 km megtétele utá érdemes beugrai a vízbe. Másképpe: Megtehetjük, hogy em távolságot, haem szöget választuk ismeretleek. Jelölje az ábrá megadott szöget α, ahol < α < 9. Ekkor a vízbe megtett út hossza szárazföldö megtett út hossza pedig 4 tgα. cosα, a Az előző megoldásba leírtak alapjá most a t( α) 4 tgα = + függvéy miimumát 6 cosα siα keressük a < α < 9 yílt itervallumo. A deriváltfüggvéy t '( α) = 6cos α + cos α, eek zérushelyét siα = eseté kapjuk. Itt a derivált egatívról pozitívra vált, tehát valóba miimumot kapuk. Továbbá cosα =, így tg α = = 4, amiből a szárazföldö megtett útszakasz hosszára szité 4 km-t kapuk. 4 IV. Elleőrző feladatok. Számítsuk ki a következő függvéyhatárértékeket (ha létezek)! a) + b) c) si. Folytoosak-e a következő függvéyek az = potba? a + 6 = + b +, ha < =, ha c + =. Legye f legye! + 6, ha =. Adjuk meg b értékét úgy, hogy a függvéy folytoos + b,ha> 4. Soroljuk fel az összes olya értéket, amely potokba az f : függvéy em differeciálható!, f = 8

29 5. Deriváljuk az alábbi függvéyeket! (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) ( ) a = + b = si cos c ( si cos) = cos e = d = 8 f = e + 6. Határozzuk meg az y= + 5 egyeletű görbe azo potjait, amelyekhez tartozó éritők párhuzamosak az tegellyel! 7. Mely potokba va ifleiós potja az f : 8. Határozzuk meg k értékét úgy, hogy az, f = si függvéyek? f = k l ( > ) függvéy = koordiátájú potjába húzott éritőjéek meredeksége legye! Írjuk fel az éritő egyeletét! Jellemezzük az f :, f = + 7 függvéyt mootoitás, szélsőértékek, 4 koveitás és ifleiós pot szempotjából!. Osszuk fel a 4-et két pozitív részre úgy, hogy az első rész égyzetéek és a második rész köbéek az összege miimális legye! Az elleőrző feladatok megoldásai. Számítsuk ki a következő függvéyhatárértékeket (ha létezek)! a) + b) c) si Megoldás: a) = = ( 5) ( 5) b) = =, ami em létezik, hisze az , míg a b a = 5 + sorozatra = 5 sorozatra lee a felvett függvéyértékek sorozatáak határértéke. c) si si si = = =. 9

30 . Folytoosak-e a következő függvéyek az = potba? a + 6 = + Megoldás: b +, ha < =, ha c + = a em folytoos = -ba, mivel ott icse értelmezve. b em folytoos = -ba, mivel b ( ) = = 6 + =. c folytoos = -ba, mivel [ ] csak az egész helyeke szakad, mide más helye folyto- k os, így c szakadási potjai: k, viszot a em ilye alakú.. Legye f legye! + 6, ha =. Adjuk meg b értékét úgy, hogy a függvéy folytoos + b,ha> Megoldás: ( + b) = + b, a folytoosság eseté f f = = + =, vagyis + b =, ahoa b =. 4. Soroljuk fel az összes olya értéket, amely potokba az f : függvéy em differeciálható! Megoldás: Függvéytraszformációk segítségével ábrázolhatjuk f-et: 6, f =

31 Az ábráról leolvasható, hogy a függvéygrafikohoz em húzható éritő az { ; ; ; 4; 6} helyeke, így a keresett értékek: ; ; ; 4; Deriváljuk az alábbi függvéyeket! (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) ( ) a = + b = si cos c ( si cos) = cos e = d Megoldás: = 8 f = e = ( + ) ( + ), vagy a' 5 4 a' = b' cos si c' d' =, vagy b si ( 8) ( 8) ( 4) = = = si =. cos a = alapjá = alapjá b' = cos= ( cos si ).. ( si cos) e' = l si cos cos + si, a átalakítás alapjá e ( si cos ) ' = 4 cos4 l. cos si = cos ( ) f ' = e + e l= e + l. 6. Határozzuk meg az y= + 5 egyeletű görbe azo potjait, amelyekhez tartozó éritők párhuzamosak az tegellyel! Megoldás: Az f = + 5 függvéy deriváltja f ' = 4+. Az tegellyel párhuzamos egyeesek meredeksége, így f '( ) = alapjá f egy- f ( ) = és f ( ) = 5, ezért a keresett két pot: ; be a függvéy lokális szélsőértékei is.) 7. Mely potokba va ifleiós potja az f : Megoldás: f ' si cos si = és =. Mivel és ( ; 5). ( f és, f = si függvéyek? = = és f '' = cos si = cos, eek

32 π π zérushelyei: + k k. Ezekbe 4 ifleiós pot. f '' előjelet váltva, így ezek midegyike valóba f = k l ( > ) függvéy = koordiátájú potjába húzott éritőjéek meredeksége legye! Írjuk fel az éritő egyeletét! 8. Határozzuk meg k értékét úgy, hogy az Megoldás: f ' = k, így az = -beli éritő meredeksége f ' () = 6k. A feltételből 6k =, ie k =. A vizsgált pot y koordiátája l =,5 l, így az éritő egyelete: y= +,5 l=,5 l Jellemezzük az f :, f = + 7 függvéyt mootoitás, szélsőértékek, 4 koveitás és ifleiós pot szempotjából! = + =, eek zérushelyei = és = =. f ' Megoldás: f ' 4 4 ( ) egatív, ha <, továbbá f ' pozitív, ha < < vagy <. Tehát f szigorúa mooto csökke a ] ;] itervallumo, illetve szigorúa mooto ő a [ ; + ] itervallumo. A függvéyek szigorú lokális miimuma va = -ba (ez egybe abszolút miimum is), lokális maimuma icse. f '' = 8+ 4, eek zérushelyei = és =. f '', ha vagy, továbbá f '', ha. Tehát f kove a ; és a [ ; + [ itervallumo, illetve kokáv a ; itervallumo. A függvéyek ifleiós potja va = -ba és = -be. Táblázatba összefoglalva: < = < < = < < = > f ' f lok. mi. f '' f kove ifl. pot kokáv ifl. pot kove Az f, f ' és f '' függvéyek grafikoja a következő ábrá látható.

33 . Osszuk fel a 4-et két pozitív részre úgy, hogy az első rész égyzetéek és a második rész köbéek az összege miimális legye! Megoldás: Jelölje az első részt, így a keresett kifejezést az f = + ( 4 ) függvéy írja le, ahol < < 4. Ekkor f = , amely a teljes értelmezési tartomáyá deriválható, és 8 f ' = , amelyek zérushelyei = és = 6. Ezek közül csak esik a ] ; 4 [ itervallumba, és itt f ' előjele egatívból pozitívba vált, vagyis ez valóba 8 szigorú lokális miimumhely. Mivel a ; itervallumo f szigorúa mooto csökke, valamit a 8 8 ;4 itervallumo f szigorúa mooto ő, így = a megadott (yílt) értelmezési tartomáyo egybe abszolút miimumhely is. Tehát az első rész 8, a második pedig =, a vizsgált összeg miimuma + = + = Az f és f ' függvéyek grafikoja a következő ábrá látható.

34 4

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 8/9. tanévi FIZIKA Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Többváltozós függvények Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós

Részletesebben

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk.

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk. Villams Gépek Gyakrlat 1. 1.S = 100 kva évleges teljesítméyű egyfázisú, köpey típusú traszfrmátr (1. ábra) feszültsége U 1 /U = 5000 / 400 V. A meetfeszültség effektív értéke U M =4,6 V, a frekvecia f=50hz.

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

Az Európai Unió Tanácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. en)

Az Európai Unió Tanácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. en) Az Európai Uió Taácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. e) 7383/16 ADD 1 ENER 97 FEDŐLAP Küldi: az Európai Bizottság Az átvétel dátuma: 2016. március 22. Címzett: Biz. dok. sz.: Tárgy: a Taács Főtitkársága

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

Fogaskerék hajtások I. alapfogalmak

Fogaskerék hajtások I. alapfogalmak Fogaskeék hajtások I. alapfogalmak A fogaskeekek csopotosítása A fogaskeékhajtást az embeiség évszázadok óta használja. A fogazatok geometiája má a 8-9. században kialakult, de a geometiai és sziládsági

Részletesebben

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Távvezetékek és síkhullám Reichardt András 2015. április 23. ra (evt/hvt/bme) Emt2015 6. alkalom 2015.04.23 1 / 60 1 Távvezeték

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés

Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés 6. MENETMEGMUNKÁLÁSOK A csavarfelületek egyrészt gépelemek összekapcsolására (kötő menetek), másrészt mechanizmusokban mozgás átadásra (kinematikai menetek) szolgálnak. 6.1. Gyártási eljárások a) Öntés

Részletesebben

Hálózati transzformátorok méretezése

Hálózati transzformátorok méretezése KÁLMÁN Telefogyár ISTVÁN Hálózati traszformátorok méretezése ETO 62.34.2.00.2 dolgozat célja olya számítási eljárás megadása, amelyek segítségével gyorsa és a gyakorlat igéyeit kielégítő potossággal lehet

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest Tameetjavaslat az NT-11580 ratári sú Matematia 5. taöyvhöz Otatásutató és Fejlesztő Itézet, Budapest A tameetjavaslat 144 órára lebotva dolgozza fel a taayagot. Ameyibe eél több idő áll a redelezésüre,

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben