Ingatlanfinanszírozás és befektetés
|
|
- Etelka Gulyásné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı: Haros László jauár
2 2.1 Tartalomjegyzék 2. Gazdasági matematikai alapok Tartalomjegyzék Bevezetés A taulási egység célja A taayag elsajátítását követıe Ö képes lesz Az ayagba szereplı legfotosabb fogalmak, szakkifejezések Ajálott irodalom Sorozatok Kamatszámítás Jeleérték-számítás (diszkotálás) Járadék számítás Pézfolyamábrák Folytoos kamatos kamatozás Összefoglalás Elleırzı kérdések
3 2.2 Bevezetés A taulási egység célja A jele egység célja feleleveítei azokat az alapvetı matematikai ismereteket, melyek élkülözhetetleek ahhoz, hogy egy befektetést, vagy egy fiaszírozási lehetıséget elemezi tudjuk. Az itt taultak haszosak leszek majd az igatlaértékelés külööse a hozamelvő értékelési módszerek alkalmazása valamit az igatlavagyo-gazdálkodás tervezése, értékelése sorá is. Ameyibe az itt szereplı fogalmak, módszerek meglehetıse ismerısek tőek, esetleg a mukája sorá redszerese alkalmazza is azokat, akkor javaslom, hogy ugorja át ezt az egységet és kezdje a taulást a következı résszel. Ameyibe késıbb mégis valamilye godja támada a számítások elvégzésével, akkor yugodta térje vissza ehhez az egységhez, taulmáyozza az itt bemutatott fogalmakat és összefüggéseket, ill. a példatárba szereplı kidolgozott feladatokat, esetleg próbálja megoldai a gyakorló feladatokat, majd ezek utá térje vissza a taayag azo részéhez, ahol korábba elakadt A taayag elsajátítását követıe Ö képes lesz Felismeri azokat a gazdasági jellemzıket, melyek számtai, vagy mértai sorozatkét viselkedek, Alkalmazi az egyszerő és a kamatos kamatszámítást, A külöbözı idıpotokba jeletkezı pézösszegek értékét egy közös idıpotra átszámítai, Felismeri a járadék-szerőe viselkedı pézfolyamokat és ezek tulajdoságait a gyakorlati problémák megoldása sorá felhaszáli, A boyolultabb pézfolyamokat grafikusa is ábrázoli, ezáltal felismeri beük az esetleges szabályos viselkedést, A agyo sőrő jeletkezı pézáramlások (ú. folytoos pézfolyam) eseté a folytoos kamatos kamatozás alkalmazásával a pézfolyam jeleértékét potosa meghatározi. 3
4 2.2.3 Az ayagba szereplı legfotosabb fogalmak, szakkifejezések A taayagba törtéı köyebb tájékozódás érdekébe ebbe a potba megtalálhatók a legfotosabb fogalmak ABC szerit összegyőjtve. Auitás Diszkotálás Egyszerő kamatozás Folytoos kamatos kamatozás Gyüjtıjáradék Járadék Jeleérték-számítás Jövıérték-számítás Kamat Kamaterısség Kamatitezitás Kamatos kamat Mértai sorozat Növekvı tagú örökjáradék Örökjáradék Számtai sorozat Egy véges idıtartam alatt, azaoos idıközökét kifizetett (vagy megkapott) pézösszeg. Egy jövıbeli pézösszeg mai értékéek meghatározása. A kamatidıszak végé jóváírt kamat a következı idıszakba em kamatozik (em tıkésedik). Matematikailag végteleül kicsi kamatperiódust feltételezı kamatos kamatozás. Azoos iidıközökét, azoos összegő redszeres betétgyőjtés egy véges idıszakba. Azoos idıközökét kifizetett pézösszegek sorozata. Lsd. diszkotálás Egy jelebeli pézösszeg értékéek átszámítása egy jövıbeli idıpotra a kamatos kamatozás segítségével. Egységyi idıszakra kifizetett pézösszeg a tıke %-ába ( A péz ára ). Folytoos kamatláb, mely az éves kamatlábból származtatható. Lsd. kamaterısség A kamatidıszak végé jóváírt kamat a következı idıszakba a tıkével együtt kamatozik (tıkésedik). Olya számsorozat, melybe a szomszédos elemek háyadosa álladó. Olya örökjáradék, melybe az egyes idıszakokba kifizetett összeg em álladó, haem mértai sorozatkét viselkedik, azaz azoos %-kal ı, vagy csökke. Végtele hosszú idıszako keresztül, azoos idıközökét, redszerese kifizetett, azoos pézösszegek sorozata. Olya számsorozat, melybe a szomszédos elemek külöbsége álladó. 4
5 2.2.4 Ajálott irodalom Eperjesi Ferecé Jámbor Balázs: Gazdasági matematika, Nemzeti Taköyvkiadó, Budapest, Kis Istváé: Gazdasági matematika a felsıfokú szakképzésbe résztvevı hallgatók számára, Duaújvárosi Fıiskola, Duaújváros, Szalay Istvá: Gazdasági matematika, Szegedi Tudomáyegyetem, Szeged, Bíró Fatime Vicze Szilvia: A gazdasági matematika alapjai, Debrecei Egyetem, Debrece, Horváth Istvá Tóth Zoltá: Gazdasági matematika, Gödöllıi Agrártudomáyi Egyetem, Gyögyös, Sorozatok Az olya függvéyt, melyek értelmezési tartomáya a természetes számok halmaza (N), képhalmaza pedig a valós számok halmaza (R), számsorozatak (rövide sorozatak) evezzük. Az olya számsorozatot, melybe a két szomszédos elem külöbsége álladó, számtai sorozatak evezzük. A számtai sorozat elsı eleméek (a1) és külöbségéek (d) ismeretébe bármely elemét kiszámíthatjuk: a = a + ( 1) d 1 Számtai sorozat A számtai sorozat elsı eleméek összege: S ( a + a ) [2a1 = = 2 + ( 1) 2 1 d Az olya számsorozatot, melybe a szomszédos elemek háyadosa álladó, mértai sorozatak evezzük. A mértai sorozat. eleme a következıképpe írható fel az elsı elem és a háyados ismeretébe: ] Mértai sorozat a = a q 1 1 A mértai sorozat elsı eleméek összege: S = a1( q 1) q 1 5
6 2.4 Kamatszámítás Az általáos értelmezés szerit kamat alatt a péz árát (a péz haszálatáak díját) értjük. Matematikai értelembe a kamat egy idıaráyosa fizetedı pézösszeget jelet, melyet a tıke százalékába szoktuk kifejezi (kamatláb, r). természetese a számításaik sorá a kamatlábat em %-os formába, haem tizedestört alakjába helyettesítjük be az összefüggésekbe. Egyszerő kamatozás eseté a fizetedı kamat összegét (L) a tıkeösszeg (P), a kamatláb (r) és az idıszakok (pl.: évek) számáak () ismeretébe a következı összefüggéssel számíthatjuk ki: Kamat Egyszerő kamatozás L = P r Kamatos kamatozás eseté az egyes idıszakok végé a kamat összege melyet az idıszako belül az egyszerő kamatozás szabályai szerit határozuk meg hozzáadódik a tıkéhez (tıkésedik) és a következı idıszakba már a korábbi tıkével együtt kamatozik: Kamatos kamat Idıszak Tıke az idıszak elejé [a] Egyszerő kamat [b] Tıke az idıszak végé [a+b] 1. P0=PV P0r P1=P0+P0r=P0(1+r) 2. P0(1+r) P0(1+r)r P2= P0(1+r)+ P0(1+r)r= P0(1+r) 2. P0(1+r) -1 P0(1+r) -1 r P= P0(1+r) =FV Az elsı idıszak elejé P0-al jelölt tıkét a továbbiakba jeleértékek (PV) fogjuk evezi, míg az. idıszak végére felövekedett összeget (P) jövıértékek (FV) hívjuk. A kamatozás lehet éves kamatperiódusú, ekkor az idıszaki kamat jóváírása évete törtéik. Havi kamatozás eseté az általuk haszált összefüggések ayiba módosulak, hogy az idıszakok száma () helyére a hóapok számát kell behelyettesíteük, míg a kamatláb (r) helyére pedig az éves kamatláb 1/12-ed részét írjuk. Hasolóa járuk el egyedéves, féléves, vagy esetleg api kamatozás eseté is. Végezetül meg kell említeük, hogy a gyakorlatba általába ú. betét egyeértéke számoluk, ami azt jeleti, hogy a számításaik sorá mide hóapot 30 aposak tekitük, míg az évet 360 appal vesszük figyelembe. 6
7 2.5 Jeleérték-számítás (diszkotálás) A péz értéke idıbe változik. Ebbe természetese szerepe va az iflációak is, de azt kiküszöbölhetjük, ha a péz reálértékét tekitjük. Ebbe az esetbe még midig igaz az, hogy idıbe miél késıbb kapuk meg egy pézösszeget, aál kisebb értéket yerük, hisze ha korábba jutottuk vola hozzá eze összeghez, akkor az eltelt idıszakba azt befektethettük vola, azaz kamatozott vola számukra a kamatos kamatozás szabályai szerit. A gyakorlatba ige sokszor kell külöbözı idıpotokba jeletkezı pézösszegeket összehasolítauk. Ezt úgy tehetjük meg, hogy választuk egy közös idıpotot és mide pézösszeg értékét eze idıpotra számítjuk át. Matematikailag ez egyarát lehet egy jövıbeli idıpot, vagy a jelebeli idıpot. Ha jövıbeli idıpotot választuk, akkor a kamatos kamatozás összefüggéséek segítségével (jövıérték-számítás) dolgozuk. Ha közös idıpotak a jelet választjuk, akkor a kamatos kamat képletét a jeleértékre átredezve a következı összefüggéshez jutuk: FV = PV (1 FV PV = (1 Jövıérték Jeleérték A feti összefüggésbe ugyaazt a kamatlábat haszáltuk, amit a kamatos kamatozásál, azaz amivel a jeleértéket idıaráyosa övelve jutottuk el a jövıértékhez. Ha a jövıértékbıl szereték a jeleértékhez eljuti egy idıaráyos csökketéssel, akkor viszot egy másik százaléklábat, az ú. diszkotlábat (d) kell haszáluk. Ez esetbe a feti összefüggés a következıképpe módosul: PV = FV ( 1 d) mivel a kamatláb és a diszkotláb közötti összefüggés: d r = 1+ r A gyakorlatba a diszkotláb helyett általába a kamatlábat alkalmazzuk, de pl. a termıföldek hitelbiztosítéki értékelése sorá haszált összefüggések a diszkotláb segítségével fejezik ki a jeleértéket. Sok esetbe em egyetle jövıbeli pézösszeg jeleértékére vagyuk kívácsiak, haem egy pézösszeg sorozatot (ú. pézfolyamot) kell diszkotáluk. Ilyekor általáos esetbe úgy járuk el, hogy a pézfolyam egyes elemeit külö-külö diszkotáljuk, majd az egyes jeleértékeket összeadjuk. A pézfolyam egyes elemeit C-vel jelölve a jeleérték: PV = C t t t= 0 (1 7
8 2.6 Járadék számítás A befektetések vizsgálata sorá gyakra találkozuk olya pézfolyamokkal, melyek egy részébe, vagy akár egészébe valamifajta szabályos viselkedést figyelhetük meg. Ilye esetbe a járadékszámítás segítségével a pézfolyamot egyszerőbbe kezelhetjük a számításaik sorá. Járadék alatt az azoos idıközökét kifizetett pézösszegek sorozatát értjük. Mi a továbbiakba azzal az egyszerősítéssel élük, hogy eze pézösszegeket azoos agyságúak tekitjük. Ekkor auitásról (A) beszélük. Elsıkét vizsgáljuk meg, hogya mőködek a redszeres megtakarítások (pl.: egy társasház felújítási számlája). Képzeljük el egy számlát, ahová mide idıszak elejé befizetük egy azoos pézösszeget (A). A számlá lévı péz a kamatos kamatozás szabályai szerit kamatozik. A kérdés, hogy az utolsó befizetés utái egy idıszak múlva meyi péz lesz eze a számlá. Azért tekitjük az utolsó befizetés utái idıszakot, mert külöbe az utolsó befizetések már em lee értelme. Az ú. gyüjtıjáradék probléma megértéséhez tekitsük a következı ábrát: Gyüjtıjáradék S A A A A A A(1+r) A(1+r) 2.. A(1+r) -2 A(1+r) -1 A(1+r) Kezdjük el idıbe visszafelé vizsgáli, hogy mi törtét az egyes befizetésekkel. Az utolsó, az. idıszakba befizetett A összeg egy idıszako keresztül kamatozik, így aak jövıértéke A ( 1 lesz. Hasolóa az (-1). Idıszakba befizetett összeg 2 jövıértéke pedig A ( 1. Ahhoz, hogy megkapjuk a megtakarítás összegét (S) mide befizetett A összeg jövıértékét ki kell számítauk (ez látható az ábra jobb oldalá), majd ezeket összegezük kell. Ehhez azoba fel kell ismerük, hogy eze jövıértékek egy mértai sorozatot alkotak. A mértai sorozat összegképletét felhaszálva a megtakarítás tehát: 8
9 S = A(1 + A( A(1 (1 = A(1 r 2 1 A feti összefüggést gyüjtıjáradék-képletek evezzük. Ha a problémát megfordítjuk és modjuk egy hitel törlesztését vizsgáljuk, akkor törlesztıjáradékról beszélük. Tegyük fel, hogy felveszük egy P összegő kölcsöt és mide idıszakba A foritot törlesztük. Vizsgáljuk meg, hogya alakul a tartozásuk az. év végé (T): Törlesztıjáradék P A A A A A A A(1+r) A(1+r) 2.. A(1+r) -2 A(1+r) -1 P(1+r) Ameyibe em fizeték ki egyetle törlesztırészletet sem, akkor az. idıszak végére a tartozásuk éppe P ( 1 összegre övekede. Természetese a kifizetett törlesztırészletek utá a hátralévı idıbe már em kell kamatot fizetük, így ezek jövıértéke a feálló tartozásukat csökketi. Ha kiszámítjuk mide egyes kifizetett törlesztırészlet jövıértékét (lsd. az ábra jobb oldalá), akkor ismét észrevehetjük, hogy ezek mértai sorozatot alkotak, így a mértai sorozat összegképletét alkalmazva a feálló tartozásuk: T = P(1 (1 A r 1 Abba az esetbe, ha a kölcsöt az. idıszak végére teljese visszafizetjük: T = 0 P(1 (1 = A r 1 Ha a feti egyeletet P-re redezzük, akkor megkapjuk az auitás jeleértékét: P = A[(1 1] 1 1 = A r(1 r r(1 = PV Auitás 9
10 Ha a fetihez hasoló, ú. auitásos hitel törlesztırészletére vagyuk kívácsiak, akkor pedig az egyeletet A-ra kell redezük: r A = P(1 (1 1 Mid a győjtıjáradék, mid a törlesztıjáradék eseté egy véges számú idıszakot feltételeztük (). Ha azoba egy összegre redszerese, mide idıszakba a végteleségig számíthatuk, azaz, akkor a feti összefüggés émiképp leegyszerősödik: = r (1 A P(1 = P r (1 1 (1 1 (1 Ha, akkor lim = 1, így ezt a határértéket a feti egyeletbe (1 1 behelyettesítve: A A = P r P = = PV r A fetihez hasolóa viselkedı járadékot örökjáradékak hívjuk. Az Egyesült Királyságba létezek ú. örökjáradék-kötvéyek. Ezek olya államkötvéyek, melyek évértékét em fizetik vissza, viszot mide évbe örökjáradék formájába egy fix összegő jövedelmet ígérek. Hazákba ugya ics ilye állampapír, de az összefüggés mégis haszos lesz a számukra olya befektetések modellezésére, melyek egy hosszú idı keresztül évete azoos hozamot biztosítaak. A gyakorlatba láti fogjuk, hogy a valóságba em kell végtele hosszú idıszakot vizsgáluk, ugyais a feti függvéy ige gyorsa tart a határértékéhez, így sok esetbe elégséges, hogy az álladó összegő redszeres hozam 7-8 éve keresztül femaradjo. Ameyibe az évete esedékes összeg egy álladó ütemő (g %-os) övekedést mutat, akkor övekvı tagú örökjáradékról beszélük. Ez esetbe az örökjáradék jeleértéke: A1 PV =, ahol A1 az elsı évbe esedékes összeg. r g Örökjáradék Növekvı tagú örökjáradék 10
11 2.7 Pézfolyamábrák Az összetettebb, boyolultabb pézáramlások vizsgálatáál gyakra segít, ha azokat grafikusa is szemlélteti tudjuk, mert ebbe az esetbe az ábráról leolvasható, ha valamely idıszakba a pézfolyam valamilye szabályos viselkedést mutat és ez esetbe a jeleérték kiszámítása is leegyszerősödik, ahogy ezt a járadékszámításál már láttuk idı PÉNZFOLYAMÁBRA A pézfolyam egyes elemeit yilakkal ábrázoljuk. A bevételeket felfelé mutató, míg a kiadásokat lefelé mutató yilakkal jeleítjük meg. A yilak hosszáak elvileg aráyosak kell leie a pézösszeg agyságával, de ezt a feltételt em midig sikerül betartai, így a legjobb, ha a yilak mellé odaírjuk az összeget is. Fotos megjegyezi, hogy az ábra midig a készítıje szempotjait tükrözi, így például ha egy hitelfelvételt ábrázolák, akkor az más-más ábrát eredméyeze a bak és a hitelfelvevı szempotjából. Pézfolyamábra A vizsgálat kezdıidıpotja midig a jele, azaz a 0. év, így az ábráak ics egatív ága. Láti fogjuk, hogy a gyakorlatba általába ics is szükség arra, hogy a múltbeli pézáramlásokat ábrázoljuk, de ha mégis, akkor az ábrát el kell toli oly módo, hogy az a 0. potba kezdıdjö. Az ábrázolás sorá ekük kell megválasztai az ábra léptékét, azaz el kell döteük, hogy milye idıközökét ábrázoljuk. A gyakorlatba általába ics lehetıség arra, hogy egy boyolult és sok elemő pézfolyam mide egyes elemét feltütessük, mert ekkor az ábra gyakorlatilag folytoossá vála. Így egy-egy idıitervallumot egy-egy yíllal ábrázoluk oly módo, hogy az adott idıszak bevételeit és kiadásait összegezve, azok eredméyét jeleítjük meg. Ez esetbe általába az eredméyt az adott idıitervallum végé jeleítjük meg, ahogy ezt a feti ábrá is tettük. 11
12 2.8 Folytoos kamatos kamatozás A korábbiakba a kamatos kamatozással, ill. a diszkotálással kapcsolatba kimodatlaul is azt feltételeztük, hogy a kamat fizetése kamatperiódusokét egyösszegbe az adott periódus végé törtéik. Elméletileg elképzelhetı lee, hogy a kamat kifizetése a periódus folyamá egyeletese, tetszılegese kicsiy részletekbe, azaz folytoosa törtéik. Emlékezzük csak vissza mit modtuk, hogy mi változik az összefüggéseikbe modjuk havi kamatozás eseté: Az idıszakok száma () helyére a hóapok számát helyettesítjük, az éves kamatláb (r) helyére pedig aak 1/12-ed részét. Ha em havota, haem évete m alkalommal törtéik kamatfizetés, akkor a kamatos kamat összefüggése az elıbb elmodottak alapjá a következıképpe változik: r P 1 = P0 (1 + ) m m Folytoos kamatozás eseté m, így a zárójelbe lévı függvéyt r m r r helyettesíthetjük a határértékével. Mivel lim (1 + ) = e, így P1 P0 e m m = adódik, ahol e a természetes alapú logaritmus alapja (megközelítıleg 2,718). Ha a folytoos rt kamatozás t éve keresztül folytatódik, akkor = P e. Pt 0 Folytoos kamatos kamatozás Természetese a gyakorlatba em fordul elı olya befektetés, ami folytoosa kamatoza, de eek segítségével potosabb számításokat végezhetük olya befektetések eseté, ahol a pézáramlások em évete egy alkalommal, haem az év sorá apró részletekbe viszoylag folytoosa elosztva jeletkezek. Ilye lehet például egy agyobb szálloda, vagy egy agy bevásárlóközpot, amelybe sok kisbérlı található. Ahhoz, hogy az ilye, folytoos pézáramlások jeleértékét felírhassuk, be kell vezetük a kamatitezitás (kamaterısség, ri) fogalmát mely em más, mit a folytoos kamatláb. A folytoos kamatláb az éves kamatlábból származtatható: r i = l( 1+ r), ahol r az éves kamatláb. Kamatitezitás A fetebb levezetett összefüggés alapjá egy jövıbeli pézösszeg jeleértéke folytoos kamatozást feltételezve: FV PV = r i t e 12
13 Egy külöbözı elemekbıl álló pézfolyam jeleértéke: PV = t= 1 C e t ri t, ahol Ct a t. évbe törtét pézáramlások egyelege. Egy örökjáradékkét viselkedı pézáramlás jeleértéke: PV = Egy auitás-szerőe viselkedı pézfolyam jeleértéke: A r i PV = A r i t A (1 e ) r i t = ri ri e ri Végezetül szeretém megjegyezi, hogy a gyakorlatba sokszor megelégszük a jeleérték közelítı becslésével, így bár idokolt lee, mégsem haszáljuk feltétleül a folytoos kamatozást. A jeleértékszámításokál általába egy max. 5%-os hibát még el szoktuk fogadi és ha em túl magas kamatlábakkal kell dolgozuk, akkor a két eljárás közti eltérés belül marad eze a hibahatáro. Ez esetbe viszot valóba egyszerőbb az éves kamatozás haszálata. 2.9 Összefoglalás Eze egység taulmáyozása sorá Ö feleleveítette a sorozatokkal, azo belül is elsısorba a számtai és mértai sorozatokkal kapcsolatos legfotosabb tudivalókat. A számsorozatok ismerete elsısorba a boyolultabb pézáramlások modellezéséhez szükséges, mivel ha felismerjük, hogy egy pézfolyam valamely idıszakba hasolóképpe viselkedik, akkor azt egyszerőbbe kezelhetıvé tehetjük. Ahhoz, hogy a pézfolyam külöbözı idıpotokba jeletkezı elemeit össze tudjuk hasolítai, szükségük va egy olya módszerre, melyek segítségével mide pézösszeget egy közös idıpotra számíthatuk át. Ha közös idıpotak egy jövıbeli idıpotot választuk, akkor kamatos kamatszámításról (jövıérték-számításról), míg ha a közös idıpot a jele, akkor pedig jeleérték-számításról (diszkotálásról) beszélük. Járadékról akkor beszélük, ha azoos idıközökét redszerese azoos pézösszegek kifizetése, vagy befizetése törtéik. Ha egy pézfolyamba felismerjük a járadékszerő viselkedést, akkor aak jeleértékét a megtault összefüggések segítségével egyszerőe meg tudjuk határozi. A pézáramlások iráyától függıe győjtı-, vagy törlesztı-járadékról beszélhetük. Ha a járadék végtele hosszú idıszako keresztül jeletkezik, akkor azt örökjáradékak evezzük. 13
14 Persze ahhoz, hogy az esetleges szabályos viselkedést felismerjük, em árt ha ismerük valamilye grafikus módszert is a pézfolyam megjeleítésére. Potosa ezt a célt szolgálják az ú. pézfolyamábrák. A valóságba létezek olya befektetések, ahol a pézáramlások agyo sőrő követik egymást (a pézfolyamábra gyakorlatilag folytoossá válik). Ez esetbe a jeleértéket potosabba is kiszámíthatjuk, ha ú. folytoos kamatos kamatozást feltételezük Elleırzı kérdések 1. Mit evezük számtai sorozatak? 2. Mit evezük mértai sorozatak? 3. Mit értük kamat alatt? 4. Mit jelet az egyszerő kamatozás? 5. Mit evezük kamatos kamatak? 6. Mit jelet a péz idıértéke? 7. Hogya tudja kiszámítai egy pézösszeg jeleértékét? 8. Mi a külöbség a kamatláb és a diszkotláb között? 9. Hogya tudja kiszámítai egy pézfolyam jeleértékét? 10. Mit evezük járadékak? 11. Mi a győjtıjáradék? Hogya számítjuk ki? 12. Mi a törlesztıjáradék? Hogya számíthatjuk ki? 13. Mit értük auitás alatt? Hogya számítjuk ki a jeleértékét? 14. Mikor beszélük örökjáradékról? Hogya számítjuk ki a jeleértékét? 15. Mit értük övekvı tagú örökjáradék alatt? 16. Milye célt szolgálak a pézfolyamábrák? Milye koveciók szerit törtéik az ábrázolás? 17. Mit értük kamatitezitás (kamaterısség) alatt? 18. Folytoos kamatos kamatozást feltételezve hogya módosulak a jeleérték összefüggései? 14
A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:
A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenVillamos gépek tantárgy tételei
Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot
RészletesebbenA HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS
A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenAz új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása
Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanmenedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanfinanszírozás és befektetés 5. Befektetések értékelése, ingatlanbefektetések
RészletesebbenKAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn
A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója
RészletesebbenAz iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai
Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa
RészletesebbenI. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN
I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük
Részletesebben7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés
7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenHosszmérés finomtapintóval 2.
Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu
RészletesebbenA települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1
A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
RészletesebbenMérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető
11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i
Részletesebbenképzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve
RészletesebbenA logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai
Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai
Részletesebben3.3 Fogaskerékhajtások
PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT
ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii
RészletesebbenCIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1
csz12 elm filosz.qxd 2007. 06. 13. 14:53 Page 111 CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 Beszedics Otília Bevezetõ A 2003. augusztus 1. és 2007. február 28. közötti idõszakba a GPS
RészletesebbenVI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk
VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti
RészletesebbenAzonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága
Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba
RészletesebbenNagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise
Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanmenedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanfinanszírozás és befektetés 6. Befektetési portfóliók Szerzı:
Részletesebben10. évfolyam, harmadik epochafüzet
0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...
RészletesebbenSzakdolgozat. Pongor Gábor
Szakdolgozat Pongor Gábor Debrecen 2009 Debreceni Egyetem Informatikai Kar Egy kétszemélyes játék számítógépes megvalósítása Témavezetı: Mecsei Zoltán Egyetemi tanársegéd Készítette: Pongor Gábor Programozó
Részletesebbenn akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!
KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:
Részletesebbena legjobb kezekben K&H Csoport
a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,
RészletesebbenA teveszabály és alkalmazásai
A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is
RészletesebbenJelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját.
Jele taulmáy tartalma em feltétleül tükrözi az Európai Uió hivatalos álláspotját. TARTALOMJEGYZÉK 1 GEOTERMIKUS HŐHASZ OSÍTÁS LEHETŐSÉGEI... 4 1.1 Direkt hévíz haszosítási javaslat... 4 1.2 Hőszivattyús
Részletesebben2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI
2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs
RészletesebbenA pénz tartva tenyész, költögetve vész!
VÁLLALATI PÉNZÜGYEK I. A PÉNZ IDŐÉRTÉKE (12 óra) Összeállította: Naár János okl. üzemgazdász, okl. közgazdász-tanár A pénz tartva tenyész, költögetve vész! Dugonics András: Magyar példa beszédek és jeles
Részletesebben1. Az absztrakt adattípus
. Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenAZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI
AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg
RészletesebbenStatisztikai módszerek
Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai
RészletesebbenPélda: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
Részletesebben3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése
3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenPÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK. I. Kamatos kamat számítása
PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK I. Kamatos kamat számítása Kamat: a kölcsönök után az adós által időarányosan fizetendő pénzösszeg. Kamatláb: 100 pénzegység egy meghatározott időre, a kamatidőre vonatkozó kamata.
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
RészletesebbenDIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI
Koós Tamás Zríyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem koos.tamas@zme.hu DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Absztrakt A tériformatikai szoftverek egyre szélesebb köre képes
RészletesebbenTranziens káosz nyitott biliárdasztalokon
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom
RészletesebbenPÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László
PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés
RészletesebbenA pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata
6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az
RészletesebbenFANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu
FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha
RészletesebbenIngatlanvagyon értékelés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanfejlesztı 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanvagyon értékelés 6. A vállalatértékelési és az ingatlanértékelési
Részletesebbencsz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE
csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE WWW. CIVILSZEMLE.HU IV. ÉVFOLYAM 1. SZÁM csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 2 Szerkesztõbizottság/Editorial Board Bíró Edre, Belia Aa, Harsáyi
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
Részletesebben13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
RészletesebbenWalltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés
Walltherm redszer 5 év redszergaraciával Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Magyar termék WALLTHERM felületfûtés-hûtési redszer Egy fûtési- (hûtési) redszer kialakítása elôtt számtala
Részletesebben14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban
KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban 2005 1 Tartalom 1. Bevezetés. 3 2. Iskolatípusok szerinti teljesítmények.... 6 2. 1 Szakiskolák 6 2. 2 Szakközépiskolák. 9 2. 3 Gimnáziumok 11 2. 4 Összehasonlítások... 12
RészletesebbenOrosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel
Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást
RészletesebbenV E R S E N Y T A N Á C S
V E R S E N Y T A N Á C S Vj-139-044/2009. A Gazdasági Versenyhivatal Versenytanácsa a dr. G. Sz. J. ügyvéd (Dr. Giró Szász és Társa Ügyvédi Iroda) által képviselt Lyoness Hungary Kft. (Budapest) és Lyoness
RészletesebbenFüggetlen komponens analízis
Elektroiku verzió. Az eredeti cikk az ElektroNET (ISSN: 9-705X) 00 évf. 3 zám, 0 oldalá jelet meg. Függetle kompoe aalízi A függetle kompoe aalízi (Idepedet Compoet Aalyi, ICA) egy vizoylag új jelfeldolgozái
RészletesebbenTisztelt Olvasó! Minden Kedves oovasónknak Szeretetteljes Karácsonyi Ünnepeket és Boldog Új Esztendõt Kívánunk!
Tisztelt Olvasó! Semmilye szél em jó aak, kiek ics célul kiszemelt kikötõje. Motaige Carpe diem! (Haszáld ki a jelet!...) Horatius Még el sem kezdõdött a XXI. század, s máris elsõ évéek végé, 2001 decemberébe
RészletesebbenIngatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1
Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés
RészletesebbenTermészetes személyek részére
ALKALMASSÁGI ÉS MEGFELELÉSI TESZT Természetes személyek részére Ügyfél neve: Lakcíme: Adóazonosító jele:...... Szerzıdésének száma:. Jelen teszt (a továbbiakban: Teszt) célja, hogy a Strategon Értékpapír
Részletesebben6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK
6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben-- termıföld, amennyiben sem telepítményt, sem. - Konzultációs lehetıségek
A VII. MODUL SZAKMAI DOLGOZAT Budapest 2008. május 15. TARTALOM 1. VIZSGAKÖVETELMÉNYEK 2. A SZAKMAI DOLGOZAT TÉMÁJA 3. A SZAKMAI DOLGOZAT FORMAI KÖVETELMÉNYEI 4. TARTALMI KÖVETELMÉNYEK 5. A SZAKMAI DOLGOZAT
RészletesebbenHálózati transzformátorok méretezése
KÁLMÁN Telefogyár ISTVÁN Hálózati traszformátorok méretezése ETO 62.34.2.00.2 dolgozat célja olya számítási eljárás megadása, amelyek segítségével gyorsa és a gyakorlat igéyeit kielégítő potossággal lehet
RészletesebbenTartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése
3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés
RészletesebbenTENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel
TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe
RészletesebbenAz MKB Befektetési Alapkezelı zrt. hirdetménye. Nyilvános Ajánlattétel. Az MKB Bank Zrt., mint Forgalmazó nyilvános eladásra felkínálja az
Az MKB Befektetési Alapkezelı zrt. hirdetménye Nyilvános Ajánlattétel Az MKB Bank Zrt., mint Forgalmazó nyilvános eladásra felkínálja az MKB Magaslat II. Tıkevédett Származtatott Befektetési Alap befektetési
Részletesebben5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012
0 jó ok, hogy iért Liebherr készüléket válasszo. A tapasztalat, ai száít A Liebherr, it a hűtő-fagyasztó készülékek szakértője ár több it 50 éve következetese tervez és gyárt olya terékeket, aelyek új
RészletesebbenKecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba
Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/
RészletesebbenV E R S E N Y T A N Á C S
V E R S E N Y T A N Á C S Vj-49/2007/064. A Gazdasági Versenyhivatal Versenytanácsa a Citibank Zrt. Budapest a Shell Hungary Zrt. Budapest a Magyar Légiközlekedési Zrt. Budapest a Magyar Telekom Nyrt.
RészletesebbenA statisztika részei. Példa:
STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebbenű Ö ű ű Ú Ú ű
ű Ö ű ű Ú Ú ű Á Á Ö Ö Ö Ö Ö Ö Á Ö Á Á Á Ú Á Á Á Á Ö ű ű Á ű ű ű Ö Ö Á Á Á Á Á ű Ú Ö ű Ú Ú ű Ú Á Á ű ű ű ű ű ű Á ű ű Á Á Ő Á Á Á Á Á Á Ö Á ű ű Ö Ö ű Ú Ö Ú ű Ú ű ű ű ű ű Ö Á Ú ű Á Ö Á Ú Á Á Á Á Á Á Ö Ö Á
RészletesebbenDunaföldváron a régió legnagyobb máltai ünnepi rendezvénye
XIX. évfolyam 11. szám, 2015. ovember 195 Ft KÖZÉLETI LAP Duaföldváro a régió legagyobb máltai üepi redezvéye Október 10-é Duaföldvár adott otthot a Magyar Máltai Szeretetszolgálat legagyobb dél-duátúli
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenFELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz
FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33
RészletesebbenSpeciális ingatlanok értékelése
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanfejlesztı 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Speciális ingatlanok értékelése 5. Ipari ingatlanok értékelése Szerzı:
RészletesebbenSzolnoki Főiskola Üzleti Fakultás Szolnok. Az adós példák aktualizálása folyamatban van! Vállalati pénzügyek és adózási alapok Példatár
Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás Szolnok Az adós példák aktualizálása folyamatban van! Vállalati pénzügyek és adózási alapok Példatár Szolnok, 2007. augusztus Összeállította: Dr. Túróczi Imre Főiskolai
RészletesebbenTAKÁCS ANDRÁS Absztrakt Kulcsszavak 1. A vállalatértékelési módszerekrõl általában
19 TAKÁCS ANDRÁS Absztrakt A vállalatértékelés módszertana az értékelési eljárások igen széles körét kínálja a termelõ, szolgáltató illetve kereskedelmi vállalatok értékének megbecslésére. Ezzel szemben
RészletesebbenMKB PAGODA TİKEVÉDETT SZÁRMAZTATOTT ALAP TÁJÉKOZTATÓJA
MKB PAGODA TİKEVÉDETT SZÁRMAZTATOTT ALAP elnevezéső nyilvános nyílt végő értékpapír befektetési alap TÁJÉKOZTATÓJA Alapkezelı: MKB Befektetési Alapkezelı zártkörően mőködı Rt. 1056 Budapest, Váci utca
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenBalázs Ildikó* ELEKTRONIKUS KOMMUNIKÁCIÓ JÖVİNK KULCSAI
Balázs Ildikó* ELEKTRONIKUS KOMMUNIKÁCIÓ JÖVİNK KULCSAI AZ INFORMATIKA TÉRNYERÉSE A HÉTKÖZNAPI ÉLETBEN, AZ ÜZLETI FOLYAMATOKBAN A számítástechnika, a digitális számítógépek története minden más korábbi
RészletesebbenMIT FIZET A RÉVÉSZ? Bizalmas! Készítette: Dr. Nagy Miklós, ügyvezetı igazgató. 2008. május. Budapesti Vállalkozásfejlesztési Központ
Budapesti Vállalkozásfejlesztési Központ MIT FIZET A RÉVÉSZ? Bizalmas! Készítette: Dr. Nagy Miklós, ügyvezetı igazgató 2008. május 1072 Budapest VII., Rákóczi út 18. Levélcím: 1364 Budapest 4. Pf. 226.
RészletesebbenMŐSZAKI LEÍRÁS A MÓRICZ ZSIGMOND KÖRTÉRI MŐEMLÉKI VÉDETTSÉGŐ GOMBA ÉPÜLETÉNEK ÉPÍTÉSZETI ÉS HASZNOSÍTÁSI ÖTLETPÁLYÁZATA. 2009.
MŐSZAKI LEÍRÁS A MÓRICZ ZSIGMOND KÖRTÉRI MŐEMLÉKI VÉDETTSÉGŐ GOMBA ÉPÜLETÉNEK ÉPÍTÉSZETI ÉS HASZNOSÍTÁSI ÖTLETPÁLYÁZATA 2009. szeptember tartalomjegyzék koncepció problématérkép mőemlékvédelmi kérdések
RészletesebbenIngatlanvagyon értékelés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanfejlesztı 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanvagyon értékelés 4. A vagyon elemzése Szerzı: Harnos László
RészletesebbenInaktivitás és mezıgazdasági munkavégzés a vidéki Magyarországon
Lengyel I. Lukovics M. (szerk.) 2008: Kérdıjelek a régiók gazdasági fejlıdésében. JATEPress, Szeged, 167-173. o. Inaktivitás és mezıgazdasági munkavégzés a vidéki Magyarországon Czagány László 1 Fenyıvári
RészletesebbenFAIPARI ALAPISMERETEK
Faipari alapismeretek középszit 0821 ÉRETTSÉGI VIZSGA FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMTATÓ OKTATÁSI ÉS KLTRÁLIS MINISZTÉRIM Fotos tudivalók Az írásbeli
RészletesebbenTanúsítási módszer kidolgozása meglévı épületekre TANULMÁNY
COMFORT CONSULTING Mérnöki Tanácsadó Kft TANULMÁNY A meglévı épületek energetikai jellemzıinek energiafogyasztás alapján történı tanúsítási módszere Megbízó: VÁTI Magyar Regionális Fejlesztési és Urbanisztikai
RészletesebbenHipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
RészletesebbenB E S Z Á M O L Ó Körösladány Város 2010 évi közbiztonsági helyzetérıl
Száma: 04070/565-26/2011. ált. R E N D İ R K A P I T Á N Y S Á G S Z E G H A L O M 5520, Szeghalom Kossuth tér 1., PF:3 tel/fax: +36/66/371-555 Jóváhagyom: Szalai Zoltán r. alezredes kapitányságvezetı
RészletesebbenSorbanállási modellek
VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai
Részletesebbenü ű ö Á ö Ü Ú Ö Á Á ö ő ö ö ö ű ű ö ő ő ö ő ü Ú ú ü ö ö ő Ö ö ő ö ő ő ö ú ö ő ő ö ö ú ö ő ö ö ő ö ö ő ö ő ö Ö ö ö ö ő ö ő ö ö ö ü ű ö ö ő ö ö ű ö ő ö ö ű ö ü ö ö ö ő ö ö ő ű ö ö ü ű ö ö ő ö ö ü ő ő ő ő
RészletesebbenSzámtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint)
Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) (KSZÉV Minta (2) 2004.05/II/16) a) Egy számtani sorozat első tagja 9, különbsége pedig 4. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!
Részletesebben