Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Ingatlanfinanszírozás és befektetés"

Átírás

1 Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı: Haros László jauár

2 2.1 Tartalomjegyzék 2. Gazdasági matematikai alapok Tartalomjegyzék Bevezetés A taulási egység célja A taayag elsajátítását követıe Ö képes lesz Az ayagba szereplı legfotosabb fogalmak, szakkifejezések Ajálott irodalom Sorozatok Kamatszámítás Jeleérték-számítás (diszkotálás) Járadék számítás Pézfolyamábrák Folytoos kamatos kamatozás Összefoglalás Elleırzı kérdések

3 2.2 Bevezetés A taulási egység célja A jele egység célja feleleveítei azokat az alapvetı matematikai ismereteket, melyek élkülözhetetleek ahhoz, hogy egy befektetést, vagy egy fiaszírozási lehetıséget elemezi tudjuk. Az itt taultak haszosak leszek majd az igatlaértékelés külööse a hozamelvő értékelési módszerek alkalmazása valamit az igatlavagyo-gazdálkodás tervezése, értékelése sorá is. Ameyibe az itt szereplı fogalmak, módszerek meglehetıse ismerısek tőek, esetleg a mukája sorá redszerese alkalmazza is azokat, akkor javaslom, hogy ugorja át ezt az egységet és kezdje a taulást a következı résszel. Ameyibe késıbb mégis valamilye godja támada a számítások elvégzésével, akkor yugodta térje vissza ehhez az egységhez, taulmáyozza az itt bemutatott fogalmakat és összefüggéseket, ill. a példatárba szereplı kidolgozott feladatokat, esetleg próbálja megoldai a gyakorló feladatokat, majd ezek utá térje vissza a taayag azo részéhez, ahol korábba elakadt A taayag elsajátítását követıe Ö képes lesz Felismeri azokat a gazdasági jellemzıket, melyek számtai, vagy mértai sorozatkét viselkedek, Alkalmazi az egyszerő és a kamatos kamatszámítást, A külöbözı idıpotokba jeletkezı pézösszegek értékét egy közös idıpotra átszámítai, Felismeri a járadék-szerőe viselkedı pézfolyamokat és ezek tulajdoságait a gyakorlati problémák megoldása sorá felhaszáli, A boyolultabb pézfolyamokat grafikusa is ábrázoli, ezáltal felismeri beük az esetleges szabályos viselkedést, A agyo sőrő jeletkezı pézáramlások (ú. folytoos pézfolyam) eseté a folytoos kamatos kamatozás alkalmazásával a pézfolyam jeleértékét potosa meghatározi. 3

4 2.2.3 Az ayagba szereplı legfotosabb fogalmak, szakkifejezések A taayagba törtéı köyebb tájékozódás érdekébe ebbe a potba megtalálhatók a legfotosabb fogalmak ABC szerit összegyőjtve. Auitás Diszkotálás Egyszerő kamatozás Folytoos kamatos kamatozás Gyüjtıjáradék Járadék Jeleérték-számítás Jövıérték-számítás Kamat Kamaterısség Kamatitezitás Kamatos kamat Mértai sorozat Növekvı tagú örökjáradék Örökjáradék Számtai sorozat Egy véges idıtartam alatt, azaoos idıközökét kifizetett (vagy megkapott) pézösszeg. Egy jövıbeli pézösszeg mai értékéek meghatározása. A kamatidıszak végé jóváírt kamat a következı idıszakba em kamatozik (em tıkésedik). Matematikailag végteleül kicsi kamatperiódust feltételezı kamatos kamatozás. Azoos iidıközökét, azoos összegő redszeres betétgyőjtés egy véges idıszakba. Azoos idıközökét kifizetett pézösszegek sorozata. Lsd. diszkotálás Egy jelebeli pézösszeg értékéek átszámítása egy jövıbeli idıpotra a kamatos kamatozás segítségével. Egységyi idıszakra kifizetett pézösszeg a tıke %-ába ( A péz ára ). Folytoos kamatláb, mely az éves kamatlábból származtatható. Lsd. kamaterısség A kamatidıszak végé jóváírt kamat a következı idıszakba a tıkével együtt kamatozik (tıkésedik). Olya számsorozat, melybe a szomszédos elemek háyadosa álladó. Olya örökjáradék, melybe az egyes idıszakokba kifizetett összeg em álladó, haem mértai sorozatkét viselkedik, azaz azoos %-kal ı, vagy csökke. Végtele hosszú idıszako keresztül, azoos idıközökét, redszerese kifizetett, azoos pézösszegek sorozata. Olya számsorozat, melybe a szomszédos elemek külöbsége álladó. 4

5 2.2.4 Ajálott irodalom Eperjesi Ferecé Jámbor Balázs: Gazdasági matematika, Nemzeti Taköyvkiadó, Budapest, Kis Istváé: Gazdasági matematika a felsıfokú szakképzésbe résztvevı hallgatók számára, Duaújvárosi Fıiskola, Duaújváros, Szalay Istvá: Gazdasági matematika, Szegedi Tudomáyegyetem, Szeged, Bíró Fatime Vicze Szilvia: A gazdasági matematika alapjai, Debrecei Egyetem, Debrece, Horváth Istvá Tóth Zoltá: Gazdasági matematika, Gödöllıi Agrártudomáyi Egyetem, Gyögyös, Sorozatok Az olya függvéyt, melyek értelmezési tartomáya a természetes számok halmaza (N), képhalmaza pedig a valós számok halmaza (R), számsorozatak (rövide sorozatak) evezzük. Az olya számsorozatot, melybe a két szomszédos elem külöbsége álladó, számtai sorozatak evezzük. A számtai sorozat elsı eleméek (a1) és külöbségéek (d) ismeretébe bármely elemét kiszámíthatjuk: a = a + ( 1) d 1 Számtai sorozat A számtai sorozat elsı eleméek összege: S ( a + a ) [2a1 = = 2 + ( 1) 2 1 d Az olya számsorozatot, melybe a szomszédos elemek háyadosa álladó, mértai sorozatak evezzük. A mértai sorozat. eleme a következıképpe írható fel az elsı elem és a háyados ismeretébe: ] Mértai sorozat a = a q 1 1 A mértai sorozat elsı eleméek összege: S = a1( q 1) q 1 5

6 2.4 Kamatszámítás Az általáos értelmezés szerit kamat alatt a péz árát (a péz haszálatáak díját) értjük. Matematikai értelembe a kamat egy idıaráyosa fizetedı pézösszeget jelet, melyet a tıke százalékába szoktuk kifejezi (kamatláb, r). természetese a számításaik sorá a kamatlábat em %-os formába, haem tizedestört alakjába helyettesítjük be az összefüggésekbe. Egyszerő kamatozás eseté a fizetedı kamat összegét (L) a tıkeösszeg (P), a kamatláb (r) és az idıszakok (pl.: évek) számáak () ismeretébe a következı összefüggéssel számíthatjuk ki: Kamat Egyszerő kamatozás L = P r Kamatos kamatozás eseté az egyes idıszakok végé a kamat összege melyet az idıszako belül az egyszerő kamatozás szabályai szerit határozuk meg hozzáadódik a tıkéhez (tıkésedik) és a következı idıszakba már a korábbi tıkével együtt kamatozik: Kamatos kamat Idıszak Tıke az idıszak elejé [a] Egyszerő kamat [b] Tıke az idıszak végé [a+b] 1. P0=PV P0r P1=P0+P0r=P0(1+r) 2. P0(1+r) P0(1+r)r P2= P0(1+r)+ P0(1+r)r= P0(1+r) 2. P0(1+r) -1 P0(1+r) -1 r P= P0(1+r) =FV Az elsı idıszak elejé P0-al jelölt tıkét a továbbiakba jeleértékek (PV) fogjuk evezi, míg az. idıszak végére felövekedett összeget (P) jövıértékek (FV) hívjuk. A kamatozás lehet éves kamatperiódusú, ekkor az idıszaki kamat jóváírása évete törtéik. Havi kamatozás eseté az általuk haszált összefüggések ayiba módosulak, hogy az idıszakok száma () helyére a hóapok számát kell behelyettesíteük, míg a kamatláb (r) helyére pedig az éves kamatláb 1/12-ed részét írjuk. Hasolóa járuk el egyedéves, féléves, vagy esetleg api kamatozás eseté is. Végezetül meg kell említeük, hogy a gyakorlatba általába ú. betét egyeértéke számoluk, ami azt jeleti, hogy a számításaik sorá mide hóapot 30 aposak tekitük, míg az évet 360 appal vesszük figyelembe. 6

7 2.5 Jeleérték-számítás (diszkotálás) A péz értéke idıbe változik. Ebbe természetese szerepe va az iflációak is, de azt kiküszöbölhetjük, ha a péz reálértékét tekitjük. Ebbe az esetbe még midig igaz az, hogy idıbe miél késıbb kapuk meg egy pézösszeget, aál kisebb értéket yerük, hisze ha korábba jutottuk vola hozzá eze összeghez, akkor az eltelt idıszakba azt befektethettük vola, azaz kamatozott vola számukra a kamatos kamatozás szabályai szerit. A gyakorlatba ige sokszor kell külöbözı idıpotokba jeletkezı pézösszegeket összehasolítauk. Ezt úgy tehetjük meg, hogy választuk egy közös idıpotot és mide pézösszeg értékét eze idıpotra számítjuk át. Matematikailag ez egyarát lehet egy jövıbeli idıpot, vagy a jelebeli idıpot. Ha jövıbeli idıpotot választuk, akkor a kamatos kamatozás összefüggéséek segítségével (jövıérték-számítás) dolgozuk. Ha közös idıpotak a jelet választjuk, akkor a kamatos kamat képletét a jeleértékre átredezve a következı összefüggéshez jutuk: FV = PV (1 FV PV = (1 Jövıérték Jeleérték A feti összefüggésbe ugyaazt a kamatlábat haszáltuk, amit a kamatos kamatozásál, azaz amivel a jeleértéket idıaráyosa övelve jutottuk el a jövıértékhez. Ha a jövıértékbıl szereték a jeleértékhez eljuti egy idıaráyos csökketéssel, akkor viszot egy másik százaléklábat, az ú. diszkotlábat (d) kell haszáluk. Ez esetbe a feti összefüggés a következıképpe módosul: PV = FV ( 1 d) mivel a kamatláb és a diszkotláb közötti összefüggés: d r = 1+ r A gyakorlatba a diszkotláb helyett általába a kamatlábat alkalmazzuk, de pl. a termıföldek hitelbiztosítéki értékelése sorá haszált összefüggések a diszkotláb segítségével fejezik ki a jeleértéket. Sok esetbe em egyetle jövıbeli pézösszeg jeleértékére vagyuk kívácsiak, haem egy pézösszeg sorozatot (ú. pézfolyamot) kell diszkotáluk. Ilyekor általáos esetbe úgy járuk el, hogy a pézfolyam egyes elemeit külö-külö diszkotáljuk, majd az egyes jeleértékeket összeadjuk. A pézfolyam egyes elemeit C-vel jelölve a jeleérték: PV = C t t t= 0 (1 7

8 2.6 Járadék számítás A befektetések vizsgálata sorá gyakra találkozuk olya pézfolyamokkal, melyek egy részébe, vagy akár egészébe valamifajta szabályos viselkedést figyelhetük meg. Ilye esetbe a járadékszámítás segítségével a pézfolyamot egyszerőbbe kezelhetjük a számításaik sorá. Járadék alatt az azoos idıközökét kifizetett pézösszegek sorozatát értjük. Mi a továbbiakba azzal az egyszerősítéssel élük, hogy eze pézösszegeket azoos agyságúak tekitjük. Ekkor auitásról (A) beszélük. Elsıkét vizsgáljuk meg, hogya mőködek a redszeres megtakarítások (pl.: egy társasház felújítási számlája). Képzeljük el egy számlát, ahová mide idıszak elejé befizetük egy azoos pézösszeget (A). A számlá lévı péz a kamatos kamatozás szabályai szerit kamatozik. A kérdés, hogy az utolsó befizetés utái egy idıszak múlva meyi péz lesz eze a számlá. Azért tekitjük az utolsó befizetés utái idıszakot, mert külöbe az utolsó befizetések már em lee értelme. Az ú. gyüjtıjáradék probléma megértéséhez tekitsük a következı ábrát: Gyüjtıjáradék S A A A A A A(1+r) A(1+r) 2.. A(1+r) -2 A(1+r) -1 A(1+r) Kezdjük el idıbe visszafelé vizsgáli, hogy mi törtét az egyes befizetésekkel. Az utolsó, az. idıszakba befizetett A összeg egy idıszako keresztül kamatozik, így aak jövıértéke A ( 1 lesz. Hasolóa az (-1). Idıszakba befizetett összeg 2 jövıértéke pedig A ( 1. Ahhoz, hogy megkapjuk a megtakarítás összegét (S) mide befizetett A összeg jövıértékét ki kell számítauk (ez látható az ábra jobb oldalá), majd ezeket összegezük kell. Ehhez azoba fel kell ismerük, hogy eze jövıértékek egy mértai sorozatot alkotak. A mértai sorozat összegképletét felhaszálva a megtakarítás tehát: 8

9 S = A(1 + A( A(1 (1 = A(1 r 2 1 A feti összefüggést gyüjtıjáradék-képletek evezzük. Ha a problémát megfordítjuk és modjuk egy hitel törlesztését vizsgáljuk, akkor törlesztıjáradékról beszélük. Tegyük fel, hogy felveszük egy P összegő kölcsöt és mide idıszakba A foritot törlesztük. Vizsgáljuk meg, hogya alakul a tartozásuk az. év végé (T): Törlesztıjáradék P A A A A A A A(1+r) A(1+r) 2.. A(1+r) -2 A(1+r) -1 P(1+r) Ameyibe em fizeték ki egyetle törlesztırészletet sem, akkor az. idıszak végére a tartozásuk éppe P ( 1 összegre övekede. Természetese a kifizetett törlesztırészletek utá a hátralévı idıbe már em kell kamatot fizetük, így ezek jövıértéke a feálló tartozásukat csökketi. Ha kiszámítjuk mide egyes kifizetett törlesztırészlet jövıértékét (lsd. az ábra jobb oldalá), akkor ismét észrevehetjük, hogy ezek mértai sorozatot alkotak, így a mértai sorozat összegképletét alkalmazva a feálló tartozásuk: T = P(1 (1 A r 1 Abba az esetbe, ha a kölcsöt az. idıszak végére teljese visszafizetjük: T = 0 P(1 (1 = A r 1 Ha a feti egyeletet P-re redezzük, akkor megkapjuk az auitás jeleértékét: P = A[(1 1] 1 1 = A r(1 r r(1 = PV Auitás 9

10 Ha a fetihez hasoló, ú. auitásos hitel törlesztırészletére vagyuk kívácsiak, akkor pedig az egyeletet A-ra kell redezük: r A = P(1 (1 1 Mid a győjtıjáradék, mid a törlesztıjáradék eseté egy véges számú idıszakot feltételeztük (). Ha azoba egy összegre redszerese, mide idıszakba a végteleségig számíthatuk, azaz, akkor a feti összefüggés émiképp leegyszerősödik: = r (1 A P(1 = P r (1 1 (1 1 (1 Ha, akkor lim = 1, így ezt a határértéket a feti egyeletbe (1 1 behelyettesítve: A A = P r P = = PV r A fetihez hasolóa viselkedı járadékot örökjáradékak hívjuk. Az Egyesült Királyságba létezek ú. örökjáradék-kötvéyek. Ezek olya államkötvéyek, melyek évértékét em fizetik vissza, viszot mide évbe örökjáradék formájába egy fix összegő jövedelmet ígérek. Hazákba ugya ics ilye állampapír, de az összefüggés mégis haszos lesz a számukra olya befektetések modellezésére, melyek egy hosszú idı keresztül évete azoos hozamot biztosítaak. A gyakorlatba láti fogjuk, hogy a valóságba em kell végtele hosszú idıszakot vizsgáluk, ugyais a feti függvéy ige gyorsa tart a határértékéhez, így sok esetbe elégséges, hogy az álladó összegő redszeres hozam 7-8 éve keresztül femaradjo. Ameyibe az évete esedékes összeg egy álladó ütemő (g %-os) övekedést mutat, akkor övekvı tagú örökjáradékról beszélük. Ez esetbe az örökjáradék jeleértéke: A1 PV =, ahol A1 az elsı évbe esedékes összeg. r g Örökjáradék Növekvı tagú örökjáradék 10

11 2.7 Pézfolyamábrák Az összetettebb, boyolultabb pézáramlások vizsgálatáál gyakra segít, ha azokat grafikusa is szemlélteti tudjuk, mert ebbe az esetbe az ábráról leolvasható, ha valamely idıszakba a pézfolyam valamilye szabályos viselkedést mutat és ez esetbe a jeleérték kiszámítása is leegyszerősödik, ahogy ezt a járadékszámításál már láttuk idı PÉNZFOLYAMÁBRA A pézfolyam egyes elemeit yilakkal ábrázoljuk. A bevételeket felfelé mutató, míg a kiadásokat lefelé mutató yilakkal jeleítjük meg. A yilak hosszáak elvileg aráyosak kell leie a pézösszeg agyságával, de ezt a feltételt em midig sikerül betartai, így a legjobb, ha a yilak mellé odaírjuk az összeget is. Fotos megjegyezi, hogy az ábra midig a készítıje szempotjait tükrözi, így például ha egy hitelfelvételt ábrázolák, akkor az más-más ábrát eredméyeze a bak és a hitelfelvevı szempotjából. Pézfolyamábra A vizsgálat kezdıidıpotja midig a jele, azaz a 0. év, így az ábráak ics egatív ága. Láti fogjuk, hogy a gyakorlatba általába ics is szükség arra, hogy a múltbeli pézáramlásokat ábrázoljuk, de ha mégis, akkor az ábrát el kell toli oly módo, hogy az a 0. potba kezdıdjö. Az ábrázolás sorá ekük kell megválasztai az ábra léptékét, azaz el kell döteük, hogy milye idıközökét ábrázoljuk. A gyakorlatba általába ics lehetıség arra, hogy egy boyolult és sok elemő pézfolyam mide egyes elemét feltütessük, mert ekkor az ábra gyakorlatilag folytoossá vála. Így egy-egy idıitervallumot egy-egy yíllal ábrázoluk oly módo, hogy az adott idıszak bevételeit és kiadásait összegezve, azok eredméyét jeleítjük meg. Ez esetbe általába az eredméyt az adott idıitervallum végé jeleítjük meg, ahogy ezt a feti ábrá is tettük. 11

12 2.8 Folytoos kamatos kamatozás A korábbiakba a kamatos kamatozással, ill. a diszkotálással kapcsolatba kimodatlaul is azt feltételeztük, hogy a kamat fizetése kamatperiódusokét egyösszegbe az adott periódus végé törtéik. Elméletileg elképzelhetı lee, hogy a kamat kifizetése a periódus folyamá egyeletese, tetszılegese kicsiy részletekbe, azaz folytoosa törtéik. Emlékezzük csak vissza mit modtuk, hogy mi változik az összefüggéseikbe modjuk havi kamatozás eseté: Az idıszakok száma () helyére a hóapok számát helyettesítjük, az éves kamatláb (r) helyére pedig aak 1/12-ed részét. Ha em havota, haem évete m alkalommal törtéik kamatfizetés, akkor a kamatos kamat összefüggése az elıbb elmodottak alapjá a következıképpe változik: r P 1 = P0 (1 + ) m m Folytoos kamatozás eseté m, így a zárójelbe lévı függvéyt r m r r helyettesíthetjük a határértékével. Mivel lim (1 + ) = e, így P1 P0 e m m = adódik, ahol e a természetes alapú logaritmus alapja (megközelítıleg 2,718). Ha a folytoos rt kamatozás t éve keresztül folytatódik, akkor = P e. Pt 0 Folytoos kamatos kamatozás Természetese a gyakorlatba em fordul elı olya befektetés, ami folytoosa kamatoza, de eek segítségével potosabb számításokat végezhetük olya befektetések eseté, ahol a pézáramlások em évete egy alkalommal, haem az év sorá apró részletekbe viszoylag folytoosa elosztva jeletkezek. Ilye lehet például egy agyobb szálloda, vagy egy agy bevásárlóközpot, amelybe sok kisbérlı található. Ahhoz, hogy az ilye, folytoos pézáramlások jeleértékét felírhassuk, be kell vezetük a kamatitezitás (kamaterısség, ri) fogalmát mely em más, mit a folytoos kamatláb. A folytoos kamatláb az éves kamatlábból származtatható: r i = l( 1+ r), ahol r az éves kamatláb. Kamatitezitás A fetebb levezetett összefüggés alapjá egy jövıbeli pézösszeg jeleértéke folytoos kamatozást feltételezve: FV PV = r i t e 12

13 Egy külöbözı elemekbıl álló pézfolyam jeleértéke: PV = t= 1 C e t ri t, ahol Ct a t. évbe törtét pézáramlások egyelege. Egy örökjáradékkét viselkedı pézáramlás jeleértéke: PV = Egy auitás-szerőe viselkedı pézfolyam jeleértéke: A r i PV = A r i t A (1 e ) r i t = ri ri e ri Végezetül szeretém megjegyezi, hogy a gyakorlatba sokszor megelégszük a jeleérték közelítı becslésével, így bár idokolt lee, mégsem haszáljuk feltétleül a folytoos kamatozást. A jeleértékszámításokál általába egy max. 5%-os hibát még el szoktuk fogadi és ha em túl magas kamatlábakkal kell dolgozuk, akkor a két eljárás közti eltérés belül marad eze a hibahatáro. Ez esetbe viszot valóba egyszerőbb az éves kamatozás haszálata. 2.9 Összefoglalás Eze egység taulmáyozása sorá Ö feleleveítette a sorozatokkal, azo belül is elsısorba a számtai és mértai sorozatokkal kapcsolatos legfotosabb tudivalókat. A számsorozatok ismerete elsısorba a boyolultabb pézáramlások modellezéséhez szükséges, mivel ha felismerjük, hogy egy pézfolyam valamely idıszakba hasolóképpe viselkedik, akkor azt egyszerőbbe kezelhetıvé tehetjük. Ahhoz, hogy a pézfolyam külöbözı idıpotokba jeletkezı elemeit össze tudjuk hasolítai, szükségük va egy olya módszerre, melyek segítségével mide pézösszeget egy közös idıpotra számíthatuk át. Ha közös idıpotak egy jövıbeli idıpotot választuk, akkor kamatos kamatszámításról (jövıérték-számításról), míg ha a közös idıpot a jele, akkor pedig jeleérték-számításról (diszkotálásról) beszélük. Járadékról akkor beszélük, ha azoos idıközökét redszerese azoos pézösszegek kifizetése, vagy befizetése törtéik. Ha egy pézfolyamba felismerjük a járadékszerő viselkedést, akkor aak jeleértékét a megtault összefüggések segítségével egyszerőe meg tudjuk határozi. A pézáramlások iráyától függıe győjtı-, vagy törlesztı-járadékról beszélhetük. Ha a járadék végtele hosszú idıszako keresztül jeletkezik, akkor azt örökjáradékak evezzük. 13

14 Persze ahhoz, hogy az esetleges szabályos viselkedést felismerjük, em árt ha ismerük valamilye grafikus módszert is a pézfolyam megjeleítésére. Potosa ezt a célt szolgálják az ú. pézfolyamábrák. A valóságba létezek olya befektetések, ahol a pézáramlások agyo sőrő követik egymást (a pézfolyamábra gyakorlatilag folytoossá válik). Ez esetbe a jeleértéket potosabba is kiszámíthatjuk, ha ú. folytoos kamatos kamatozást feltételezük Elleırzı kérdések 1. Mit evezük számtai sorozatak? 2. Mit evezük mértai sorozatak? 3. Mit értük kamat alatt? 4. Mit jelet az egyszerő kamatozás? 5. Mit evezük kamatos kamatak? 6. Mit jelet a péz idıértéke? 7. Hogya tudja kiszámítai egy pézösszeg jeleértékét? 8. Mi a külöbség a kamatláb és a diszkotláb között? 9. Hogya tudja kiszámítai egy pézfolyam jeleértékét? 10. Mit evezük járadékak? 11. Mi a győjtıjáradék? Hogya számítjuk ki? 12. Mi a törlesztıjáradék? Hogya számíthatjuk ki? 13. Mit értük auitás alatt? Hogya számítjuk ki a jeleértékét? 14. Mikor beszélük örökjáradékról? Hogya számítjuk ki a jeleértékét? 15. Mit értük övekvı tagú örökjáradék alatt? 16. Milye célt szolgálak a pézfolyamábrák? Milye koveciók szerit törtéik az ábrázolás? 17. Mit értük kamatitezitás (kamaterısség) alatt? 18. Folytoos kamatos kamatozást feltételezve hogya módosulak a jeleérték összefüggései? 14

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanmenedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanfinanszírozás és befektetés 5. Befektetések értékelése, ingatlanbefektetések

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 csz12 elm filosz.qxd 2007. 06. 13. 14:53 Page 111 CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 Beszedics Otília Bevezetõ A 2003. augusztus 1. és 2007. február 28. közötti idõszakba a GPS

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

a legjobb kezekben K&H Csoport

a legjobb kezekben K&H Csoport a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

A pénz tartva tenyész, költögetve vész!

A pénz tartva tenyész, költögetve vész! VÁLLALATI PÉNZÜGYEK I. A PÉNZ IDŐÉRTÉKE (12 óra) Összeállította: Naár János okl. üzemgazdász, okl. közgazdász-tanár A pénz tartva tenyész, költögetve vész! Dugonics András: Magyar példa beszédek és jeles

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját.

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját. Jele taulmáy tartalma em feltétleül tükrözi az Európai Uió hivatalos álláspotját. TARTALOMJEGYZÉK 1 GEOTERMIKUS HŐHASZ OSÍTÁS LEHETŐSÉGEI... 4 1.1 Direkt hévíz haszosítási javaslat... 4 1.2 Hőszivattyús

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanmenedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanfinanszírozás és befektetés 6. Befektetési portfóliók Szerzı:

Részletesebben

Szakdolgozat. Pongor Gábor

Szakdolgozat. Pongor Gábor Szakdolgozat Pongor Gábor Debrecen 2009 Debreceni Egyetem Informatikai Kar Egy kétszemélyes játék számítógépes megvalósítása Témavezetı: Mecsei Zoltán Egyetemi tanársegéd Készítette: Pongor Gábor Programozó

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Koós Tamás Zríyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem koos.tamas@zme.hu DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Absztrakt A tériformatikai szoftverek egyre szélesebb köre képes

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK. I. Kamatos kamat számítása

PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK. I. Kamatos kamat számítása PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK I. Kamatos kamat számítása Kamat: a kölcsönök után az adós által időarányosan fizetendő pénzösszeg. Kamatláb: 100 pénzegység egy meghatározott időre, a kamatidőre vonatkozó kamata.

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg

Részletesebben

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE WWW. CIVILSZEMLE.HU IV. ÉVFOLYAM 1. SZÁM csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 2 Szerkesztõbizottság/Editorial Board Bíró Edre, Belia Aa, Harsáyi

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Független komponens analízis

Független komponens analízis Elektroiku verzió. Az eredeti cikk az ElektroNET (ISSN: 9-705X) 00 évf. 3 zám, 0 oldalá jelet meg. Függetle kompoe aalízi A függetle kompoe aalízi (Idepedet Compoet Aalyi, ICA) egy vizoylag új jelfeldolgozái

Részletesebben

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Walltherm redszer 5 év redszergaraciával Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Magyar termék WALLTHERM felületfûtés-hûtési redszer Egy fûtési- (hûtési) redszer kialakítása elôtt számtala

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Hálózati transzformátorok méretezése

Hálózati transzformátorok méretezése KÁLMÁN Telefogyár ISTVÁN Hálózati traszformátorok méretezése ETO 62.34.2.00.2 dolgozat célja olya számítási eljárás megadása, amelyek segítségével gyorsa és a gyakorlat igéyeit kielégítő potossággal lehet

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Természetes személyek részére

Természetes személyek részére ALKALMASSÁGI ÉS MEGFELELÉSI TESZT Természetes személyek részére Ügyfél neve: Lakcíme: Adóazonosító jele:...... Szerzıdésének száma:. Jelen teszt (a továbbiakban: Teszt) célja, hogy a Strategon Értékpapír

Részletesebben

Tisztelt Olvasó! Minden Kedves oovasónknak Szeretetteljes Karácsonyi Ünnepeket és Boldog Új Esztendõt Kívánunk!

Tisztelt Olvasó! Minden Kedves oovasónknak Szeretetteljes Karácsonyi Ünnepeket és Boldog Új Esztendõt Kívánunk! Tisztelt Olvasó! Semmilye szél em jó aak, kiek ics célul kiszemelt kikötõje. Motaige Carpe diem! (Haszáld ki a jelet!...) Horatius Még el sem kezdõdött a XXI. század, s máris elsõ évéek végé, 2001 decemberébe

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Az MKB Befektetési Alapkezelı zrt. hirdetménye. Nyilvános Ajánlattétel. Az MKB Bank Zrt., mint Forgalmazó nyilvános eladásra felkínálja az

Az MKB Befektetési Alapkezelı zrt. hirdetménye. Nyilvános Ajánlattétel. Az MKB Bank Zrt., mint Forgalmazó nyilvános eladásra felkínálja az Az MKB Befektetési Alapkezelı zrt. hirdetménye Nyilvános Ajánlattétel Az MKB Bank Zrt., mint Forgalmazó nyilvános eladásra felkínálja az MKB Magaslat II. Tıkevédett Származtatott Befektetési Alap befektetési

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

Dunaföldváron a régió legnagyobb máltai ünnepi rendezvénye

Dunaföldváron a régió legnagyobb máltai ünnepi rendezvénye XIX. évfolyam 11. szám, 2015. ovember 195 Ft KÖZÉLETI LAP Duaföldváro a régió legagyobb máltai üepi redezvéye Október 10-é Duaföldvár adott otthot a Magyar Máltai Szeretetszolgálat legagyobb dél-duátúli

Részletesebben

Ingatlanvagyon értékelés

Ingatlanvagyon értékelés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanfejlesztı 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanvagyon értékelés 6. A vállalatértékelési és az ingatlanértékelési

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

V E R S E N Y T A N Á C S

V E R S E N Y T A N Á C S V E R S E N Y T A N Á C S Vj-139-044/2009. A Gazdasági Versenyhivatal Versenytanácsa a dr. G. Sz. J. ügyvéd (Dr. Giró Szász és Társa Ügyvédi Iroda) által képviselt Lyoness Hungary Kft. (Budapest) és Lyoness

Részletesebben

-- termıföld, amennyiben sem telepítményt, sem. - Konzultációs lehetıségek

-- termıföld, amennyiben sem telepítményt, sem. - Konzultációs lehetıségek A VII. MODUL SZAKMAI DOLGOZAT Budapest 2008. május 15. TARTALOM 1. VIZSGAKÖVETELMÉNYEK 2. A SZAKMAI DOLGOZAT TÉMÁJA 3. A SZAKMAI DOLGOZAT FORMAI KÖVETELMÉNYEI 4. TARTALMI KÖVETELMÉNYEK 5. A SZAKMAI DOLGOZAT

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012

5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012 0 jó ok, hogy iért Liebherr készüléket válasszo. A tapasztalat, ai száít A Liebherr, it a hűtő-fagyasztó készülékek szakértője ár több it 50 éve következetese tervez és gyárt olya terékeket, aelyek új

Részletesebben

Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás Szolnok. Az adós példák aktualizálása folyamatban van! Vállalati pénzügyek és adózási alapok Példatár

Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás Szolnok. Az adós példák aktualizálása folyamatban van! Vállalati pénzügyek és adózási alapok Példatár Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás Szolnok Az adós példák aktualizálása folyamatban van! Vállalati pénzügyek és adózási alapok Példatár Szolnok, 2007. augusztus Összeállította: Dr. Túróczi Imre Főiskolai

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

V E R S E N Y T A N Á C S

V E R S E N Y T A N Á C S V E R S E N Y T A N Á C S Vj-49/2007/064. A Gazdasági Versenyhivatal Versenytanácsa a Citibank Zrt. Budapest a Shell Hungary Zrt. Budapest a Magyar Légiközlekedési Zrt. Budapest a Magyar Telekom Nyrt.

Részletesebben

Balázs Ildikó* ELEKTRONIKUS KOMMUNIKÁCIÓ JÖVİNK KULCSAI

Balázs Ildikó* ELEKTRONIKUS KOMMUNIKÁCIÓ JÖVİNK KULCSAI Balázs Ildikó* ELEKTRONIKUS KOMMUNIKÁCIÓ JÖVİNK KULCSAI AZ INFORMATIKA TÉRNYERÉSE A HÉTKÖZNAPI ÉLETBEN, AZ ÜZLETI FOLYAMATOKBAN A számítástechnika, a digitális számítógépek története minden más korábbi

Részletesebben

ű Ö ű ű Ú Ú ű

ű Ö ű ű Ú Ú ű ű Ö ű ű Ú Ú ű Á Á Ö Ö Ö Ö Ö Ö Á Ö Á Á Á Ú Á Á Á Á Ö ű ű Á ű ű ű Ö Ö Á Á Á Á Á ű Ú Ö ű Ú Ú ű Ú Á Á ű ű ű ű ű ű Á ű ű Á Á Ő Á Á Á Á Á Á Ö Á ű ű Ö Ö ű Ú Ö Ú ű Ú ű ű ű ű ű Ö Á Ú ű Á Ö Á Ú Á Á Á Á Á Á Ö Ö Á

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapismeretek középszit 0812 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. október 17. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók

Részletesebben

TETÔPONT. e ég e t t v é d e l

TETÔPONT. e ég e t t v é d e l TETÔPONT m a g a z i A C r e a t o H u g a r y K f t. i d ô s z a ko s h í r m a g a z i j a 2 012. m á r c i u s A védelem, amely tűzbe születik A kerámia egób tetőcserépbe égetett védelemről az egób

Részletesebben

Tanodakutatás 2013. A tanoda monitoring-program fı eredményeinek a bemutatása. XII. Pedagógiai Értékelési Konferencia, 2014, Szeged

Tanodakutatás 2013. A tanoda monitoring-program fı eredményeinek a bemutatása. XII. Pedagógiai Értékelési Konferencia, 2014, Szeged Tanodakutatás 2013 A tanoda monitoring-program fı eredményeinek a bemutatása Németh Szilvia Lannert Judit XII. Pedagógiai Értékelési Konferencia, 2014, Szeged 1 Monitoring program célja 1. A Roma Education

Részletesebben

14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban

14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban 2005 1 Tartalom 1. Bevezetés. 3 2. Iskolatípusok szerinti teljesítmények.... 6 2. 1 Szakiskolák 6 2. 2 Szakközépiskolák. 9 2. 3 Gimnáziumok 11 2. 4 Összehasonlítások... 12

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor FLYADÉKKRISTÁLY-TLVÍZIÓK Éber Nádor A 21. SZÁZAD KÉPRNYÔI MTA SZFKI, Budapest A szerezetü és tulajdoságai alapjá a folyadéo és a szilárd ayago özött sajátos átmeetet épezô folyadéristályo felfedezésü (1888)

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

ü ű ö Á ö Ü Ú Ö Á Á ö ő ö ö ö ű ű ö ő ő ö ő ü Ú ú ü ö ö ő Ö ö ő ö ő ő ö ú ö ő ő ö ö ú ö ő ö ö ő ö ö ő ö ő ö Ö ö ö ö ő ö ő ö ö ö ü ű ö ö ő ö ö ű ö ő ö ö ű ö ü ö ö ö ő ö ö ő ű ö ö ü ű ö ö ő ö ö ü ő ő ő ő

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

MKB PAGODA TİKEVÉDETT SZÁRMAZTATOTT ALAP TÁJÉKOZTATÓJA

MKB PAGODA TİKEVÉDETT SZÁRMAZTATOTT ALAP TÁJÉKOZTATÓJA MKB PAGODA TİKEVÉDETT SZÁRMAZTATOTT ALAP elnevezéső nyilvános nyílt végő értékpapír befektetési alap TÁJÉKOZTATÓJA Alapkezelı: MKB Befektetési Alapkezelı zártkörően mőködı Rt. 1056 Budapest, Váci utca

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

MIT FIZET A RÉVÉSZ? Bizalmas! Készítette: Dr. Nagy Miklós, ügyvezetı igazgató. 2008. május. Budapesti Vállalkozásfejlesztési Központ

MIT FIZET A RÉVÉSZ? Bizalmas! Készítette: Dr. Nagy Miklós, ügyvezetı igazgató. 2008. május. Budapesti Vállalkozásfejlesztési Központ Budapesti Vállalkozásfejlesztési Központ MIT FIZET A RÉVÉSZ? Bizalmas! Készítette: Dr. Nagy Miklós, ügyvezetı igazgató 2008. május 1072 Budapest VII., Rákóczi út 18. Levélcím: 1364 Budapest 4. Pf. 226.

Részletesebben

HIRDETMÉNY. A Polgári Takarékszövetkezet (a továbbiakban Polgári Takarék) hivatalos tájékoztatója a lakossági hitelek esetén alkalmazott kondíciókról

HIRDETMÉNY. A Polgári Takarékszövetkezet (a továbbiakban Polgári Takarék) hivatalos tájékoztatója a lakossági hitelek esetén alkalmazott kondíciókról HIRDETMÉNY A Polgári Takarékszövetkezet (a továbbiakban Polgári Takarék) hivatalos tájékoztatója a lakossági hitelek esetén alkalmazott kondíciókról Érvényes: 2013. február 25. A Hirdetmény közzététele:

Részletesebben

1995. évi CXVII. törvény. a személyi jövedelemadóról ELSİ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK. I. Fejezet ALAPELVEK

1995. évi CXVII. törvény. a személyi jövedelemadóról ELSİ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK. I. Fejezet ALAPELVEK Az adóbevételek biztosítása érdekében, az állampolgárok közterhekhez való hozzájárulásának alkotmányos kötelezettségébıl kiindulva az Országgyőlés a következı törvényt alkotja: ELSİ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK

Részletesebben

MŐSZAKI LEÍRÁS A MÓRICZ ZSIGMOND KÖRTÉRI MŐEMLÉKI VÉDETTSÉGŐ GOMBA ÉPÜLETÉNEK ÉPÍTÉSZETI ÉS HASZNOSÍTÁSI ÖTLETPÁLYÁZATA. 2009.

MŐSZAKI LEÍRÁS A MÓRICZ ZSIGMOND KÖRTÉRI MŐEMLÉKI VÉDETTSÉGŐ GOMBA ÉPÜLETÉNEK ÉPÍTÉSZETI ÉS HASZNOSÍTÁSI ÖTLETPÁLYÁZATA. 2009. MŐSZAKI LEÍRÁS A MÓRICZ ZSIGMOND KÖRTÉRI MŐEMLÉKI VÉDETTSÉGŐ GOMBA ÉPÜLETÉNEK ÉPÍTÉSZETI ÉS HASZNOSÍTÁSI ÖTLETPÁLYÁZATA 2009. szeptember tartalomjegyzék koncepció problématérkép mőemlékvédelmi kérdések

Részletesebben