PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László
|
|
|
- Alexandra Pappné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012
2 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8
3 Bevezetés Ez a rövid leírás a Statisztika c. tatárgy számítógépes vizsgáztató redszeréhez készült. Az elmélet megtalálható a Statisztika taköyvbe. A továbbiakba a számítási feladatok éháy típusát tekitjük át. A feladat megoldások sorá a kiadott Képletgyűjteméy agyba segíti a helyes eredméyek meghatározását. A tesztbe a számítási feladatok öt témakört ölelek fel: viszoyszámok, átlagok, szóródási mutatók, idexek és furfagos kérdések. A számítások sorá em érdemes kerekítei, a végeredméyt egytizedes potossággal kell megadi. A számítógépes iput ablakba, ahová a helyes eredméyt várja a program, mértékegység élkül kell beíri az eredméyt. A tizedes elválasztóra em érzékey, lehet vessző és pot is. A megoldásra összese 50 perc áll redelkezésre. Viszoyszámok 1. feladat A magyarországi búzatermések alapjá határozza meg a változás üteméek átlagát. (Az eredméyt százalékba, egy tizedes potossággal adja meg.) Év Termés (ezer t) Legelőször a változás ütemét kell meghatározi évekét. Ezt a lácviszoyszámok mutatják. Mide termés értéket el kell osztai a megelőző év termésével. Az első évbe ics lácviszoyszám, mivel ics évi termés. Év Lácviszoyszámok ics / / /4913 A számítások elvégzése utá: Év Lácviszoyszámok ics , , , Ezutá meg kell határozi a lácviszoyszámok átlagát az alábbi képlet alapjá Lácviszoyszámok mértai átlagáak képlete: V L = 1 V L2 V L3 V L = 1 i=2 V Li 1
4 Az összes lácviszoyszámot össze kell szorozi, és ayiadik gyököt kell voi, aháy adatuk va. 3 0,275 4,321 0,234=0,653 A lácviszoyszámok átlaga tehát 0,653. Fejezzük ki százalékba. 0,653*100=65,3%. Ezt az eredméyt kell beíri a számítógépes teszt iput ablakába, de százalékjel élkül, máskülöbe hibát jelez a program. Tehát: 65,3 a helyes eredméy. Középértékek (átlagok) 1. feladat Számítsa ki a gazdaság kukoricaterméséek átlagát. Tábla Méret (ha) Termésmeyiség (t) T T T T T Öt szátóföldi tábláak meg vaak adva a tábla méretei és a tábláról betakarított összes termései. A gazdaság átlag kukoricatermése az összes termés és az összes terület háyadosa =4, A mértékegység t/ha. A számítógépes teszt iput ablakába tehát 4,15 kerül. 2. feladat Számítsa ki a gazdaság kukoricaterméséek átlagát. Tábla Méret (ha) Termésátlag (t/ha) T1 29 2,345 T5 48 3,938 T ,267 T ,314 T ,927 Öt szátóföldi tábláak meg vaak adva a tábla méretei és a tábláról betakarított termésátlagok. A gazdaság átlag kukoricatermése ebbe az esetbe is az összes termés és az összes terület háyadosa. Hogya kapjuk meg az összes termést? A termésátlagokat megszorozzuk a tábla agyságával, és összeadjuk őket. A gazdaság méretét a táblák összege adja meg. Ez egy súlyozott számtai átlag. A súlyozott számtai átlag képlete: X = f i x i f i Az f a súlyzó téyező, ebbe a példába a tábla agysága, x a kukorica termésátlaga. 2
5 Tábla f i x i f i x i T1 29 2, T5 48 3, T , T , T , Összese Végezzük el osztást, illetve helyettesítsük be a súlyozott számtai átlag képletébe az összegeket. X = =4,15 A gazdaság kukorica termésátlaga tehát 4,15 t/ha. A teszt iput ablakába tehát 4,15 t kell íri, mértékegység élkül. 3. feladat Számítsa ki a gazdaság kukoricaterméséek átlagát. Tábla Termésátlag Termésmeyiség (t/ha) (t) T1 2, T5 3, T10 21, T11 2, T12 2, Öt szátóföldi tábláak meg vaak adva tábláról betakarított termésátlagok és termésmeyiségek. A gazdaság átlag kukoricatermése ebbe az esetbe is az összes termés és az összes terület háyadosa. Itt em ismerjük az összes területet. Hogya kapjuk meg az összes területet? A termésmeyiséget elosztjuk a termésátlaggal, és összeadjuk őket. Ez egy súlyozott harmoikus átlag. A súlyozott harmoikus átlag képlete: X h = f i f i 1 x i Tábla x i f i f i *1/x i T1 2, T5 3, T10 21, T11 2, T12 2, Összese
6 Végezzük el osztást, illetve helyettesítsük be a súlyozott harmoikus átlag képletébe az összegeket. X = =4,15 A gazdaság kukorica termésátlaga tehát 4,15 t/ha. A teszt iput ablakába tehát 4,15 t kell íri, mértékegység élkül. 4. feladat Határozza meg az alábbi váltakozó feszültség átlagát (effektív értékét). Feszültség (V) A égyzetes átlag képlete: X q = i =1 x i 2 X q = ( 3132 )+1 2 +( )+( 1 2 ) =182,83 7 A egatív értékek égyzetre emelés utá pozitívak leszek. A tesztbe 182,8 t kell íri. Szóródási mutatók 1. feladat Határozza meg az alábbi mita középértékéek a 99% os megbízhatósági itervallum alsó határát A megbízhatósági itervallum más éve kofidecia itervallum meghatározásához ki kell számítai a mita számtai átlagát és stadard hibáját. A számtai átlag képlete: X = x i 4
7 =43 A stadard hiba képlete: s x = s A stadard hiba képletéek számlálójába a mit szórása áll, tehát először ezt kell kiszámítai. A szórás képlete: s= (x i x) 2 1 A képlet számlálójába az eltérés égyzetösszeg áll. Mide adatbók ki kell voi a számtai átlagot, majd égyzetre kell emeli. Ezeket a égyzeteket kell majd összegezi. adatok átlag adatok átlag (adatok átlag) Összese: 4314 A evezőbe a megfigyelések míusz egy áll. A szórás tehát: s= =32,84 Ezt helyettesítsük be a stadard hiba képletébe. s x = 32,84 5 =14,69 Ezek birtokába már meghatározhatjuk a számtai átlag megbízhatósági tartomáyáak alsó határát. A leti képlet a kétoldali szimmetrikus határokat mutatja. Ebbe a példába csak a műtől balra eső részt kell haszáli. A számtai átlag megbízhatósági tartomáya: P( x z α / 2 s x μ x+z α /2 s x )=1 α A z érték 99% hoz tartozó értéke 2,58. Ez megtalálható a kiadott képletgyűjteméybe. Tehát a kofideciaitervallum alsó határa: 43 2,58*14,69=5,17 A tesztbe 5,17 lesz a helyes eredméy. 5
8 2. feladat Határozza meg az alábbi mita variációs együtthatóját más éve variációs koefficiesét Jelölése: V r vagy CV. Képlete: V r =CV = s x 100 Tehát a szórást és a számtai átlagot kell hozzá ismeri. Ezeket az 1. feladatba már meghatároztuk. Helyettesítsük be a képletbe. V r =CV = 32, =76,37% A tesztbe 76,37 a helyes eredméy. 3. feladat Határozza meg az alábbi mita relatív variációs koefficiesét Relatív variációs koefficies: V r (%)= s/ x 100=100 s x Ehhez ismeri kell a mita szórását, számtai átlagát és a megfigyelések számát. Az 1. feladatba ezeket már kiszámoltuk. Most ezt fogjuk haszáli. V r (%)= 32,84/43 100=34,16% 5 A tesztbe 34,16 a helyes eredméy. 4. feladat Határozza meg az alábbi mita középértékéek a 95% os megbízhatósági itervallum felső határát
9 A számtai átlag megbízhatósági tartomáya: P( x z α / 2 s x μ x+z α /2 s x )=1 α Az átlagot és stadard hibát az 1. feladatba már meghatároztuk. A 95% hoz tartozó z érték 1,96. Mivel a megbízhatósági tartomáy felső szélét kell meghatározi, ezért csak műtől jobbra eső részt kell haszáli. 43+1,96*14,69=71,79 A számítógépes vizsgáztató program eredméyablakába 71,8 t kell íri. Idexek 1. feladat Határozza meg a bolt Fisher féle áridexét. Értékesített meyiség (kg) Értékesítési ár (Ft/kg) 2008.év 2009.év 2008.év 2009.év Az értékesített meyiségeket q val, az árakat p vel jelöljük. A bázisidőszak (2008.) jele 0, a tárgyidőszaké 1, ezek alsó idebe kerülek. A jelöléseket haszálva a táblázat így alakul. q 0 q 1 p 0 p év 2009.év 2008.év 2009.év Képezzük a p és q keresztszorzatait. q 0 p 0 q 1 p 0 q 0 p 1 q 1 p év 2009.év 2008.év 2009.év 226*57 882*57 226*57 882*67 613* * * *767 A szorzás elvégzése utá az alábbi táblázatot kapjuk. q 0 p 0 q 1 p 0 q 0 p 1 q 1 p Összeg
10 A Fisher féle áridex: I p F = I p 0 I p 1 A gyökjelt alatt az első tag a bázisidőszaki súlyozású áridex. A bázisidőszaki súlyozású áridex képlete: I p 0 = q 0 p 1 q 0 p 0 A gyökjel alatt a második tag tárgyidőszaki áridex. A tárgyidőszaki súlyozású áridex képlete: Határozzuk meg az első tagot. I p 0 = =1,65 Utáa a másodikat. I p 1 = =1,63 Számítsuk ki a égyzetes átlagát. I p F = 1,65 1,63=1,6375 I p 1 = q 1 p 1 q 1 p 0 Százalékba kifejezve 1,6375*100=163,75%. A tesztbe egy tizedesre kerekítve kell az eredméyt beíri, tehát 163,8 kerül. 2. feladat Határozza meg a bolt értékidexét. Értékesített meyiség (kg) Értékesítési ár (Ft/kg) 2008.év 2009.év 2008.év 2009.év
11 Furfagos kérdések 1. feladat A piros fűyíró egy óra alatt 8 ha, a kék 4 ha és a sárga 4 ha gyepet vág le. Együtt dolgozva háy óra alatt vágják le a 100 ha os golfpályát, ha egyszerre kezdeek? Mivel a megadott teljesítméy mutatók egyees mutatók, pl. 8 ha/óra, ezért a három teljesítméy összeadódik =16 Tehát hárma órákét 16 ha gyepet vágak le. A 100 ha os területtel tehát 100/16=6,25 óra alatt végezek. 2. feladat A piros kombáj 1 óra alatt, a kék 3 óra és a sárga 30 óra alatt takarítja be az őszi búzát. Együtt dolgozva háy óra alatt végezek, ha egyszerre kezdeek? A megadott teljesítméy mutatók fordított mutatók: óra/terület, ezért az átlagteljesítméy kiszámításakor harmoikus átlagot kell számítai. 3 X h = =2, A harmoikus átlag képlete: X h = 1 = 1 1 x i x i A három gép átlagteljesítméye tehát 2,195 óra. Mivel három gép dolgozik egyszerre, egyharmad idő alatt végezek, tehát 2,195/3=0,732. A tesztbe 0,7 a helyes eredméy. 3. feladat A dolgozók mukabére év között 129% os mértékbe változott. Meyi volt a változás átlagos éves üteme? Ebbe a feladatba a bázisviszoyszámból kell meghatározi a változás üteméek éves átlagát. A változás üteméek átlaga: V L = 1 V B Összese hat év va év között, tehát =6. A változás mértéke 129%. A számításokat em a százalékos értékekkel végezzük, tehát a 129% helyett 1,29 t haszáluk. V L = 6 1 1,29=1,052 Százalékba kifejezve 105,2%. A vizsgáztató programba 105,2 fog kerüli. 9
12 4. feladat A dolgozók mukabére évbe az első két hóapba havota 1,8% kal, szeptemberig havota 1,2% kal és az utolsó égy hóapba havota 5% kal változott. Háy százalékkal változott a fizetés havi átlagba? A változás mértéke az első két hóapba 100 1,8=98,2%. Szeptemberig 100 1,2=98,8%. Az utolsó égy hóapba 100+5=105%. Ezekek kell meghatározi a havi átlagát. Ez egy súlyozott geometriai átlag, ahol a súlyzótéyező a hóap. A számításokat itt is em a százalékos értékkel kell elvégezi. Ahol: : az x adatok száma f i : az x hez tartozó időszakok száma A súlyozott geometria átlag képlete: X g = Helyettesítsük be a feti képletbe az adataikat. X g = , , ,05 4 =1,00722 f i Százalékos formába 100,722%. A változás havi üteme tehát 100,722% volt, tehát a fizetések havota 0,722% kal őttek. A teszt eredméyablakába tehát 0,7 kerül, ez adja a helyes eredméyt. x i f i 10
7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés
7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció
Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
A statisztika részei. Példa:
STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,
(arcsin x) (arccos x) ( x
ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c
Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
ö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö
ő Ö ő ó ő ó ő ő ó ő ő ő ó ő ú ó ő ú ő ú ő ő ú ó ő ő ú ő ő ő ú ú ű ú ő ó ő ű ó ő ő ú ő ő ő ú ú ő ó ű ő ő Ö úú ő ó ú Ö ó ó ő ő Ö ó ú ő ő ő ú ő ó ő ó Ö ó ú Ű ő ő ó ő ő ó ő ú Ö ú Ö ő ő ú ú ő ő ú ú ó ó ő ó
Ú Ó ö Ő ö Ú Ú Ó Á Á ü ő ö Ú Ú Ó ű ő ő ő ő ü Á ö ü ö ö ő Ó Á Á ő Á Ú ö Ó Ű Ú Ó ű Á ő ő ő ö Ú ö ű ö ö ö ő Ó Á Á ű ű ö ü ű ü Á Á ű ű ö ü ű ü ü ö ü ő ü Ó Ó ő ő ő ő ű ö ő ű ü Á Á ő ü ő Ú Ó ü ö ő ő ö ő ö ö ő
ő ő Ü ü Á ú ú ü ú ú ü ú ü ú ú ü ő ú Á ü ú Á ü ü ü ú Á Á Ó Ü ő ü ú ú ú ü ű ú Ü ü ű Ü ú Á ú Ó ő ü Ú ú Á ő ő ú ű Á ú ü ő Á ú ú Á ú Á ú Ü Á Ö ú ú ő ő ú ű ü ő Á ő Ú ü Ö Á Á Á Á ő Ü Ö ü Ú Ö Á Á ú ő Ú Á Á ü
ú ú ú Ú ú ú ő ő ú ű ú ő ő ú ő ú ő ő Ó Ó ő ű ő ő ú ő Ó Ó ú ú ú Ú ü ú ú ő Ü ü ő ü ő ő ú ú ő ő ú ő ő ü ü ú ő ű ü ő ő Ü ű ű ű ű ú ü ü ő ú Ö ű ű ő ú Ü ú ü ő ú ő ü ő ű Á Ü Ó Ó ű ü Ü ü ú Ü ő ő ő ő ő ő ő ü Ü ü
ű ú ü ö ö ü ö ö ö ú ü ü ö ö ö ú ö ö ü ű ö ö ö ö ü ö ö ü ö ö ú ö ü ö ü ü ü ú ö ö ü ö ü ü ö Ó ü ű ö ö ü ö ü ö ú ö ö ö ö ű ú ú ű ö ö ü ö ö ö ö ü ú ö ü ö ü ü ö ú ü ü ü ű ú ö ü ö ö ö ü ö ü ú ö ö ö ü Ú ű ü ö
Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk
VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti
ü ő Á Á ü ő Ö Á Á Á Á ü Á Á ő ő Á Á Á Ó Á Á Á Á Á Á Á ü ő Á Á Ö ü ü ő ő ü ü Á
ü ü ő Á Á ü ő Ö Á Á Á Á ü Á Á ő ő Á Á Á Ó Á Á Á Á Á Á Á ü ő Á Á Ö ü ü ő ő ü ü Á Á Ó ü ü ű ü ü ő ő ő ő ü ő ő ü ő ű ő ü ő ű ő ő ű ü Ö Á ő ő ü ő ü ő ü ü ő ő ü ő ü Í ü ű ü ü ű ü ü ő ő ü ő ő ő ő ü Í ü ő ü
Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása
Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató
ö É ö ö ő ő ö ó ó ú ő ó ö ö ő ő ö ö ó ű ű ó ú ó ő ő ö ű ó ő ö ö ű ű ó ú ő ó ó ö ű ó ő ö ö ű ű ó ő ő ö Ü Ü ö ű ó ő ö ö ű ű ó ő ó Ü Ü ó ő ő ű ö ö ű ű ű ű ő ö ó ű ó ö ű ö ó ö ó ö ő ó ö ö ő ó ö ö ö ű Ö ö ö
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
É É Á É É ó ó ö ű ó ó ó ű ó ö ö ű ó ó ő ö ű ó ó ű ú ö ű ó ó ó ó ö ű ó ó ó ö ű ő ő ő ó ö ű ú ö ó ó ó ú ő ő ü ó ó ó ö ű ű ö ő ó ú ó ö ü ö ű ó ó ö ő ö ó ö ö ő ő ö ó ő ö ő ó ő ó ő ú ú ö ű ó ú ö ő ű ö ó ó ó
Á Á É É É ö É Ó ú Á ú Á Á Á Á ö Á ő ű ú ö ö ú ű ú É ő ö ú ú ű ö ű ő Ú Ú ú ő ö ö ő ö ö Á ö Á ö ú ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ő ö ö ö ö ő ö Á ö ő ö ö ő ú ú ö ö ő ö ö ö ö ú ö ú ö ő ú ö ö ö ö ö ú ö ú ú ö Ú ő ű ő ö
Á Ó Ö Á É É É É Ő ű Á Ó ű Ö ű ű ű Ó ű Ö Ú Ö Ú ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű Ü Á ű ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű Ö ű ű Ü ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű ű ű ű ű Á Á ű É ű ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű Ó Ü Á É Ű ű ű ű ű Á ű ű ű Á É ű Ú Ó
ü Ü ö ö ö Á ő ö ö ö ü ú ö ő Á ő ö ő ü ú ő ő ő ö ö ö ő ú ő ő ő ö ő ö ű ő ő ő Ú ö ü ő ő ú ú ö ő ö ő ú ú ő ú ö ö ő ú ő ü Ü ö ő É ő ő ü ö ő ú ő ö ű ő ő ü ő Ú ű Ö ü ő ú ő ő ő ú Ú ü ö ő ő ú ő ű ő ö ö ü ö ö ő
ó á á á á á ó á ó Á ö é á ó Ú á á á ó Á ö é á á á ó ó ó á á ó á ó Ú á é á ó ü é ü é á á á á ó é é á ú á ó á é ó á ó Ó é á ó é á ó ó á Ó Ö é á ó á ó é é é ü é ó á Ó é é é ó ó ó á ó é é ó á ü ó é á ó é é
ö ő ö Ö ö ó ő ő ő ú ö ö ő ó ü ö ö ő ő ő ő ő ö ő ö ő ó ő ö ő ő ő ú ó ő ö ó ö ő ó ö ő ő ő ó ő ő ő ő ö ö ő ö ő ó ú ö ö ő ő ó ő ő ú ő ü ő ó ö ö ő ő ő ü ö ö ő ó ó ö ő ő ö ő ö ö ö ö ő ő ő ü ű ö ö ő ő ó ö ö ö
Á Á ó ő ő ó Ő ó ó ó Ó Ó Ó ó Ó Ó Ó Ó ó ő ó ó Ő Ó Ó Ó Ó ó Ó Ó Ó Á Ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó Ó ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ó Ó ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ó Á Ó ó ó Ő ó ó ó Ó ó Ú ó Ó Ó ó Ó Ó Ő ó Ó ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó ó ó Ó ó ó ó Ó Ú Ó Ó ó ó ő ö Ó
Á ő ő ő ö ö Ó ő ú ö Á É É ü Ö ő ö ő ő ö Ó ö Ú Ó ő ő ő ö Ö Ú Ú ő Ö ú ö ő ú ú ú Ó ö Ó Ó Ú Ú Ú Ú Ö Ó ő ő ú ő ű ü ő ö ö ö ő ü Ó Ó ő ő Ó ö Ó Ó ü ő ő Ó ő ö ő ő Ó ő ő ő Ú ö ő Ó Ó ő Ó ő Ö ő ö ő ü ü ű ö ö ö Ó ö
ő Á ú ő ú ő ú ú ú ő ő ő ű ú ű ő ő ú ő ő ő ú Á ő ú ő ő ú ő ő É É ú ő ő Ú ő É ú ú ő ő ő ő ő É ő ő ú É ű ű ű ú ő ő É ő ű ő ő É ú É ú ő ő ű ú ű ő ő ú ú Ú ú Ü ő ű ú ő ű ő ő ú ő ő ő ő ú ő ő ú ú ő ú ő ú ű ű É
Ú ő É ő ű ő ű Á É ő Ó Á Á ő ű ű Á ű Ú É ő É Ú Ö ő ő Á ő ő Á É É Á ő ő ő ő ő ő Á Ó Á É Ú Á Á Á ő Á Á Á Á Á É ő ő ű ő ő É ő ő Á Á Ó Ü Á É Á ő Á ő ő ő Á É Ü ő Á Á ő Ö ő ő Á É ő ő ű ő Ö Á Á Ú Á Á Á É É ő ű
É Ó Ö Á ú Á ú ú ú ú Ó ú ú ú ú ű ú Á ÁÉ Á ű ű ú ú É ú É É ű ű É ű Ú ű Ü ú ű ú Ö Ú ű Ö Ö ú Ő ú ű Ö ú ú Ú Ó ú ú ű ú Ö Ú Ü Á Á Á É Ü ű Ü Ö É Á Ü Ó É Ö É ű Ü Á Á Á ú Ü Ö Á É Ü Á ú Ö Ö ú Ö Á ú É É Ö É Á Á Á
Á É ö ö ő ő ő Ú Ü ö ö ő ő ö ú ő ö ő ö ú ü ö Ü Ó ö ö ö ö ö ő ö ú ú ö ü Ü ö ö ö ö ö ö ő ö ö ő ö ü ő ö ő ü Ü Ó Ó ö ö ő Ü Ó ö ő ő ő ő Á ő ő Ü ő ö ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő É ü É ö ö É Ó ő ő ő ő Ü É ő Ó ő ő
ú Ö ó ú ó ú Ö ő ü ú ő ó ü ú ő ü ú ő ó ó ó ó Ö ő ü ü ü ü ő ú ű ü ú Ö ő ü ő ó ü ü ü ő ő ő ü ó ő ü ú ő ü ő ő ő ó ó ő ó ó ü ő ó ü ó ó ü ú ó ó ő ú Ö ó ü ó ő ó ő ó ő ó ó ü ó ó ó ó ú ő ü ó ü ú ó ő ü ó ő ő ő ü
ű É ű Á Ü É É ű ű Ű ÓÓ Ü É Ü Ú Ú ű Ú Ö Ö Ü ű ű Ű Ú Ö Ü Ö Ú Ó Ó Á É Ú Ű Ú Ú Ú Ú Ú ű Ú Ű Ú ű ű Ú ű ű Ú Ú É Á Ú Ú É É ű ű ű Ú ű ű Ú ű Ú Ó É Ű Ó ű Ú ű ű ű Á ű ű Ú ű ű É ű ű ű ű Ó Ú Á Ú ű Á ű Á Ú Ó ű ű Á ű
Ú ű Ú ű ű ű Á ű Ö Á ű ű ű ű ű ű Ö ű Á ű ű Á ű ű ű ű ű Á ű Ú Ü Ü ű ű Ü Ü Ö ű ű ű ű ű Ú Ü ű ű ű ű ű Ú Ó ű ű ű Á É ű ű ű Ű ű ű ű É Á Á Á Á Ó Ó ű Ü Ú Ú Ö Ú ű Ö Ő Ú Ú ű Ó Ő Ú Ö Ö Ő Ű É ű Ó É Á Á ű ű Ú Á É É
Ó Ú Ö Ú É Ö É Á ű ű ű ű ű ű ű ű Á ű Á Ú ű Ü ű ű Ü ű Ó ű ű Ú ű Ö Ö ű ű ű ű Á É Ó ű ű Ü Ö ű ű Ü Ú É ű ű ű ű É Ü Ü Ü É Ü Ü Ü Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú É ű ű ű ű É Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű Ö ű Ü ű ű ű ű É ű Ó ű ű É
Á ú ő ú Ú ü Ö ú Á Ó ú ü ő ő ő ú Ö ú É ú ű ü É ü ú ő ő ő ú ú ü ü Ö Ö ú ő ő ű É ü ü ü ú ő ő ú ü ü ő ő ő ú ü ő Ö ű ő ü ő ü ő ő Á É ő ü ő ü ú ú ő ü ü ü ő ü ő Ó ü ü ü ü ú É ő ü ü ü ú ő ü Ó ü ü ő ú ő ő ü ü ú
ú ú ű ú ú Ú É É Ó ű ű ü ú ü ű ü ú ú ü ü ü ú ü ú ü ü ü ü ú ű ü ü ú ű ü ü ü Á ű ű ú ű ü ü ú ű ü ű ú ü ü ü ú ű ü ü ü ű ú ü ú ü ü ü ű ű ú ü ú ű Ö ú ü ü ü ü ü ú ű Ö ü Ú É ú ú ü ü ü ü ü ü ü ü ü ú ü ú ü ú ü ü
ö ű ö ö ö ö ü ö ö ü ö ö ö ö ö ö ű ö ü ú ö ö ö ö ű ü ü Ö ü ö ű ű ű ö ú Ü Á Á Á ö ö ú ü ú Ü ö ö ö ö ö ú Ü Ü ö ö Ü ö ü ö ú ö ü ö ü ü Ü ü ű ö ü ö Ü Ú Ü ü Ü ü Ü ú Ü ö ö ü ö ö ű ű ü ö ű Á ö ü ö ö ú ö Ü Á Ü Ő
Á Á é é ő ö ó é é é é é ő é é é ő ő ő é ü ő ó ó ó ö ö é é ő é ő é ő ö é é é é é é é ő é ű ő é é é é é ó ő ö é ú ö é ö é é ö ő ó ő ó é ő é ő ő é ő ó ó é ő ő é é ü ő é ó é ö ő é ő é ó ő é é ő é é ő é é é
É É É É É Ö Á Á É Ő ű ű ű Ü ű ű ű Ú Á ű Ö ű Ú Á Ú ű Ó Ú Ú Ú Ú ű Ú Ú ű É ű ű É É É ű É É Ü ű ű É Á ű Á Á Ü Á Ü É Ú Á Ú Ó Ü Ü Ú ű ű Ú Ü Ü ű Ú É Ö ű ű Ü Ó Á Ö Ö ű Ö É É ű ű É ű ű ű Ú ű Ö É Ó ű Ú Ú Ú É Ú Ú
ö Á É É ö ö Ö ö ű ö ő ö ő ö ú ü ö Ü ö ö ö ö ü ö ú ö ő ü ö Ú ü ü ö Ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ő ö ú ö ö ü ö ö ö ö ő ő ö ű ö ö ű ö ö ő Ü ö Ü ö ü Ü ö ö ö ú Ó ö ö ö ö ö ő ö ö ú ö ő ö ö ő ő ö ö ö ü ö ö É ö
Ó Á É Ő É ő ő ő ó ó ó ó ó ő Ö ó ő ó ü ő ó ő ű ó ó ó ő ő ő ő ő ű ő ó ü ó ő ő ő ő ó ü ó ó ó ű ő ó ő ó ő ú ő ő ü ő ó ü ó ő ő ő ü ó ó ő ő ü ő ó ő ó ő ű ő ő ű ő ó ó ó ó ó ó ő ő ó ó ó ő ó ő ü ó ű ő ő Á ó ó Ó
Statisztikai programcsomagok
Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés
ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ő ű Ö ő Ö ő ő ő ő ő ő ő ő ü Ö ő ő ü É ő ő ü ő Ú üü ő ő Á Á É É Á ü Ú ő Ó ű ő É ő ű ő ő ő ő ő ű É Ö ű Ú Ö É ő ű ü ő ü É É É É É ő É ü ű ő ü űú ű ü ű Ú É ü ű É É É ő Ó ő ű Á ÚÚ ő ő É
ö ö ö ő ő ó ő ö ö ü ő Á ó ő ö ö ő ő ö ö ő ü ü ű ű ó ü ü ó ő ü ü ő Ü Ü ó ö ű ó ő ö ö ü ü ü ű ű ó ü ü ó ő ü ü ő ü Ü ó ö ö ű ö ö ü ü ű ű ó ü ü ő ő ü ü ő ü ü ö ó ó ö ö ű ó ű ű ű ű ő ö ó ű ó ö ű Ú ö Í ö ó ü
Á ű Ú ÚÉ Á Á Ü Ü ű Ü Ü Ü Ú Ü Ü Ü É Ú Ü ű Ü Ü Ö ű ű Ü Ü Ü Ü Ü ű ű ű Ú ű ű Ú ű ű ű ű Á Ú É Á ű Á É Á Ú ű Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á ű Á Á Á Á Á É ű Ü ű Á ű ű ű Á ű Ú Ó Á Á ű Ú ű Ü ű Ü Á Á ű ű É
É Ú ú Á Ú Ú Á Á Ú ú ú ú Ú ú Á Ú Ü Ü ű ű ú ú ú ú Ü ú Ü Ú ú ű ú É ú Ü ű ú ú Ú É É Á Á Á Á Ü ú Á Á É Ú É ú Á Ü É Ü Ü Ü Ü Á Á ű ú ű ú Ü ű Á ú ű ű ú ű ű ű ú ű ű ű ű ú Ü É ű ú ű Ü ű ú ű Ü Ü Ü ú Ú ú ú ú ű ú ű
ú ő ü ő ő ü ő ű ű ő ü ü ő ő Ü Á ő ü ő ő ü ő ő ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ü ő ü ő ő ű ű ő ü ő ő ő ü ő ü ő ű ő ü ő ő ő ő ü ü ü ő ő ű ú ü ü ő ő ő ő ü ü ő ő ő ü ő ő ő ő ű ő ú ő ő ü ő ő ü ő ő ő ű ő ő ű ü ü ő
É ú ú ú ú ú ú ú ú ú É É ú ű ú ű ú Ú Ü ú ú ú ú ű ú ú ű ú ú ú ú ú ú ű ú ú ű Ü ű ű ú É É ű É ű É ú ú ú ű É ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ű ú ú ű Á ú É ű ű ú ú ú ú ű ű ű ú ű ú ú ú ú ú ú ű ú ú Ú ű ú ű ű ú ú ű Ü ú ű
ú Á ö ü ö ú ű ü ü ö ö ű ö ö ö ü ö ü ö ű ü ö ú ú ü ü ü ú ö ö ö ű ű ü ú ű ü ö ö Á ö ü ű ö ö ü ö ü ö ö ü ö ö ü ö ö ö Á ü ú ö ö ü ö ö ö ú ö ü ö ö ú ú ü ö ű ö ö ö úö ö ö ö ö ö ű ö ú ö ö ö ü ü ö ú ö ö ú ö ö
É Á Á ű ű É ű ű Á ű Ó Ő Á Á Á Ő Á ű Á Í É Ö ű ű É Ö Ö Á Á Ö Á ű É Ö É Á Ö Á É É Á ű Ö É Í Á Á ű Á ű ű É Á Á Á ű ű É Ü Ő Á Á Á ű Á ű Á ű Ö ű ű Á Á Ö Ö Á ű Ö ű ű Í ű Á Á ű Á É Í Á Á Ó ű ű Á ű Á Á Á Á É Á
ö ü ö ú ú ö Á Ú ü ö ö ü ű É ú ü ü ű ö ö ö ö ö ö ö ö ű ú ü ö ü ü ű ö ö ö ö ö ö ö ü ö ű ű ú ö ü ö ö ö ű ö ű ö ö ü ú ü ö ü ö ü ü ö ö ö ö ö ü ö ű ü ö ö ű ö ö ö ö ü ú É ö ö ö ö ö ö ö ú ú ö ö ö ö ö ö ú ú ú ú
É ú ú Á É ú É ű Á Ú ú ú ú ű ú É ű ú ú ű ú ú ű ú ú ű ú ú ú ú ú ú ű ű ű ú Á Á ű É É ú ú ú ú ú ú ű Ü ű ű ű Ö Ú ú Ú ú ű ú ú ű ú ű ű ú ú Ö ű ú ú ú ű ű ű ű ú ú É É ű ű É É ú ú ű Á ú ú ú É Ú ű ú ú ű ú ú ú Ü ú
Á ö ü ö ő ö ű ö ú ú ö ú ő ő Á ő ő ö ú ü ő ő ú ő ő ő ő ö ü ő ő ú ő ö ö ü ü ő ö ü ü ö ő ú ő ő ő ö ú ú ö ö ú ő ü ü Ü ő ö ő ű ü ö ú ú ú ö ő ö ő ö ú ö ű ő ő ö ő ö ü ö É É É É Ú É É É É É öö É É ő É ö É
ö ÍÍ ö Ü Í ó ö ú ö ú Á ö ő ö Ú ö Ú ó ő ö ó ő ö ú ó ó ö ű ö ű ő ő ö ú ö Ú ú ű ő ö ö ú ö ú Á ó Ö Ú Ő ó ó ö ő ö ú ű ö Í ő ó ó ó ű ó ü ö ó ó ö ú ó ő ü Ü Ü Ü ü ő ó Ö Á ó ó Ü ő ü ő ó ö Ü Ö ó ü ő ó ü ó ő ó ó
É Ő É é ö í é í é í í Ú é é é í í ő ö ö é É Ó É Á í é ő é í í í Í Í í í É É É í é é í Í é Íő é í é í é í í Í ú é é ű í í é í í Í ö ö ő é ö ö é é í Á ő é é é í é Í ö é é é é é é ö Í ö é é é í í é ö í í
á Ó Ó Í Ő Ő Ő Ő Ű Ő ö Ő Ő Ő Ő Ú Ú Ő Ő Ű ó Í Ú Ő Í Ő Ú Í á ö á á á ó á ö ű Í á ó ő ö ü ő ő ő ó ó ó ű ó őá á á ő á ó ő ő ó ü ő Í ú ő á ö ő ő ő á ó Ú ó Í ó á Í ó ü ó á ö ü ó ö ö ó á ó á á Í á ü ó Ó Ü á ó
Í Í í ő Í Ö Ú Á ó Á Á ő ó Á ü Ó ő ő ő Ö ú ő í ö ú ü Í í Ó ó Ó ú Í ó Ó Í Ú Ó Ő Ó ö Ó Őí ö ö í í ó Á őí ő ó ő í ú Í ó ó ó Í ö ő Ő í Ó ő Ó í Ó Ó ö ú ö ú ö ú ő Í í ó Ó Ó Úú ö Ő ö Ó ú ó ó ó Á í ó ó ö ú ö Ó
ő ö ő ő ó ő ö ő ő ó ő ő ő Ü ő ő Ü ő ő ö ü ő ó í ó ő ő í ő Ü ó ö ő ő ö ö ó ö ü í ő ő ö ó ö ó ó ó ó ö Ü Ü ő ö ó ö ö ö ű ó ő ő ő ú ő ö ö ő ö ö ő ö Ü í í ó Ü ű ő ő í ó ö í ó ó Ü ö ö í ö ó ö ő ó ö ö í ö ú ö
Ü Ö ó ó Í Ő Ü Í Á ó Á Ü Ü ó Ö Ű Á Í Ö ó ö ó Í Í Í ó ó ó ó Ő Ü Ö Ö Ü ó ó Ú Í Í Á Í Í Í Í Ö ó ó Í Ü Ü ó Í ó Ú Í Í ó Ú ó Ú Í Á Ü Ú Á ó Ö ö ó ó ó Í ü Á ó Ü ö ó Ö Ú Ö Í ó Í Ü ó Ú Í Í ö ó Ú Í Í ó ö Í ó Í ó
ő ö ü ó ő ő ő ü ó ó ü ő Ü ó ő ő ó ó ó ő ő ő ő ó ő ő ő ő Í ú ö ö ü ó ő ü ü ó ő ő Ó ő ü ó ó ő ő ö ű ó ő ő ő ő ő ö ő ó ő ő ó ó ü ő ő Á ó ő ő ú ő ü ü ü ú ó ő ő Ö ő ü ó ü ó ő ő ö Ó ő Ü Ú ö ó ö ú ü ő ő ű ő ő
í ő ú ó ü ő Á í ó ö ű ó ő Í ő ó ó í ó í ó í ó ó ó í ó ó ü ő í ü ó ó ő ő ü í ü ö ö í ó í ó ő ö ő ó ó ö ÁÍ Í ö ö ó ö ó ó ö ő ü ő ö Ő ó Í Í ő ö í ö ö í ó ő ö ö í ú í í ó ő ü ö ö í í ó í ő ó ü ő í ö ó í í
ó Ü Ú Á ó ú ó ú ó ó ú ó ő ó ó ó ó ő ő ú ó ó ú ő ü ő Ö ó ó Ó Á Ö Ü ó ő ó ó Ö Ö Ü Ö Ö Ö ő Ö Ö Á Í Ö Á Ö ő ő Ö Ú Ú ÁÍ Ó Á Á Ü Ó ő ú ú ű ó ó ó ó ő ú ú ő ó ó ó Ú Ö ú ű ü ű ü ú ú ű ü ű ü ó ő ó ú ó ű Í Í ó óí
Ö Á ü ű ü ű ü ü ü ü ü Á ü ü ü ü Á ü ü ü ü ü ü ü ű ü ü ű ü ü ü ü Ü ü ü ü ü Ó ü ü ü ű ü ü Á ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ű ü ű Á ü Á Á ü ü ü ü ü ü ü ü ű ű ü ü Ú Ü ü ü ü ű ü Ú ü ü Ü Ü Ö Ú ü ü Ü Ü ü ü ü Ú Á Ú ü Ú Á
ú ű Í Í Í Ö Ő Ö Ú Ű Á Ó Á ő ő Í Í Á Á Í Í Ú Ö Á Á Í Á Á Ö Ö ÍÁ Ó Ö Ú Ó Á Á Á Ú Á Ú Á Ú Á Á Ö ő ő Í Ö Ü Ó Á Ö Ú Í ú Ü Í Í Í Ú ú Í Ö Í ú Ú ú Í úí ű Í Í ÍÓ Í ú Í Í ú Í Í Í Í Á Ű Á Ó Á Ú Ó Í Í Á Ü Í Í Ö Á
Á ö Ó ű ö Ő Ö ö ű í í í ö Ó ó ó ú í ö Ó ú ö ó ö í ö Ó í ö ó í í í ö Ó ó ó ó ö í í ö Ó ó í í í í ó Ó í í í ó ó í í ü í ü ö ó ó ö ó ó ö í ö ö ó ó ó í í ó í í ö í ú ö ö ó ú ű í í ú ó ö Ó ú ö ó ú ú ö ö ó í
ó í ő ő Á ő ó í ő ű ő ó ö í ő ő ő ó í ő ó ü ö ü ö ü ő ü ö ű ő ó ö ö ö ő ü ü ő ö ü í ő ú í í ó ó í ö í ü ö ü ő ő ó ő ő ü ó ö ö ó ő ü ű ö ú Ó ő ő ü ü ő
í í ú í í Ö Ű Ö Ő Ó ö ő ü ü ö ú ú ő ő ő ő ő ő ö ö ú í ö ö ú ő Á ő ö ő ő ó ö ö í ő ü ő ő ő ő ü ű ö ő ó ő ő ő ü ü ö ő ü ö ő ő í ó í ő ő Á ő ó í ő ű ő ó ö í ő ő ő ó í ő ó ü ö ü ö ü ő ü ö ű ő ó ö ö ö ő ü ü
Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
ü ö Ö ü ó ü ö ö Ö ü ü ö Ö ü ö ó ü ö ó í ó ö ö ó í ű ü ü í ó ö ü ö í ü ö ó ö ü ü ó ö í ö í ü Ő ö ű ü ö Ö ü ó ü ö
ö ü ü ö ü ó ü ü í ü ó ó ö ó ó ö ö ü ö ö ü í ü ü ü ö ó ü ö ü ú ö ö ö Ö ü ó ó ü ü ó ó ó ü ö Ö ü ó ü ö ö Ö ü ü ö Ö ü ö ó ü ö ó í ó ö ö ó í ű ü ü í ó ö ü ö í ü ö ó ö ü ü ó ö í ö í ü Ő ö ű ü ö Ö ü ó ü ö ö Ö
ö Ö ü ö Ü Ö Ö í ó ü ü ö ö ö ö í ó Ö ö ö ö í í í ó Ő ü Ö í ö ü í í ó Ö Ö ü í ó í ü í ó ó ó ü ó ö ü óű ű ö ü ö ű ö ü ó Ü ö ö ú ü ö í ó ó ö ö í Ü ú Ú ü í í í ü ó ö ö í ú ó ó í ó ü ö Ö ö í Ő í ö ö ü ó ó í
ö ö ö ó ö ó ó ó ő ö ó ü ü ö ő ö í ő ü ü í Í ö ó Í ó ö ö ö ő ő í ó ö ü ő ő ó ú ü ó ö ú ú ü ó ü ó ó ó ö ü ü ó ö ő ó ö ó ő ő ö ü ó ó ü ú ő ó ú ö ö ú ö ö í ü ö ő í í ö ó ű ő ó ö ö ü ő ü ö ő ö ő ú ő ö ö ő ő
Á Á Í Ő Í Ó Í Á Í Á Á ű ú Ő Ő Í ű Á Ó Ó ú ű ű Í ű ú Ú ú Á Á ú Í ű ú ű Á ú Ü Í ú Í ú ű ú Ú ú ű ú ú ú ú Á Á Á Ü Ö Á Á ú ú Á ú Á ú Á ú ű ú ú ű Á ú Í ú ú ű Ö Á Á Í ú ú ú Ú ú ú Í Á Á Í ú Á ú úí Á Á ú ú ú ú
ó ü ó ó ó ü ó ó ó ó ó ó ó ó Á ó Ö ó ú ó ó ó ó ó ü ű ó ó ü ü ó ü ó ó ó ó í ó ó í ó ü ü ű í ó ó ó íí í í ó ü ó í ó í í í ó ó ó í ó ó í ó ó ü ó ó ü ó ó ó ű ü ó ű ü Ő í í ü í ü ú ű ó í ü ó í ó ü ó í í ó Ö
ő ő ü ú ó ü ő ü ó ó Ö ő ő ó ő ő ó ó ó ő Á ó ü ó ő ő ő ó ó ó ő ó ó í ó ő ő í ő í ő ó í í ú ó ó ó í ó ó ü í ú ő í ü ü í í ó ű ű ó ü ü í ő í ü í ó ő ő ü ű ű ű ó ü ő í ó ó ő í ú ü ő ú í ő í ő ő ó ó Ö Ö í ú
Á ü ö ű ü Ő Ó ú ü ö ö ö í ö ú ű í í í í öú í í ű í í ü í ú ö ö Á Á Á í ö ö ű í Ű í ű ö í ö ü ö Ő ü í ö ö ö í í ü ö ö í ü Á ö ú í ű Á ü í í ö Á í ö ű ö ö Á ű ö ü Á ö í í ö ö í ú Ú ö ö í í í í í í í í í
ú í ú ö í ö í ö í í ö í ű ű ö ü ü í ö ű ű ö ö ö ü ü ö ö í ú ö í ö ö ö í ü í ű ö ö í ű ö í ü ö ö ö ö ü í Í í ö ö í ö ű ö ö ü í ű ö í ö ú ű ö ű ű í ű ö ö ú ö ö ü ö ü ö ű ö ö ö ö ö ö í ö ö í ö ö í ö ö í ü
ő Ö Ú Ó Ö Á Á ö ő ő ű ő ö ő ő í Í ő ő ő ő í ö ö Á ő Í ö ü ö ő ő í ű Í ü ö ő í í Ö Á ö ö ű ö ő Ö Á ő ö ö ö í í ű ö ű í í ö Í ö ö í ö ü ő ö ö ő í í ü ö ö í ö í ü ö ö í í ö ö í ö í í í ö ö í ö ő ő ö ő ú í
Ö Ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ú ö ö ö ű ö Í Í ö ö ö Í ú ú ö ú ö ö ú ö Í ú ú ú ö ú ö ú ö ö Í ö Ü ú Ö ö Ü ú Á ú ú ö ú ú ö ú ú ú ö ö ö ű ű ö ö ö ú ö ö ö ö ú ú ú ú ú ú ö ű ö ö ö ú ö ú ú ö ö ú ú ö ú ö ú ö ú ö ú ú
Í ú Ú Í Í Á Ú Á Á Ü Á ő Ö Á Ö ő ú ú ú ü ú ő ő ő ő Á Ü ő Ö ő Á Ő Ú Á Ú Á Ú ő Á Ö ű ű ú ú ú Í ú ú ű ő ő ő ő Ó ú Ü ú ú ű Í ő ú ú ő ü ő ú Í ú ű ü ű ü ú Í ű Í Í ü ű ü úí Í ő Í Í ú Á Í ű ő ű ú ú Ü ő ő Á Á Á
Ö ü ö ü ö Ö ü ö ö Ö í í ö ú ö ö í ö ö ö í ö ü ö ö ö í í í í ü ö í í ö ö ö Ö ö í ú Ü ö Ö ö Ü ü ü í ö í í ö í ö Ö ű ö ü í í í ö Ö ö ü ö ö í ö í ú ö Ő ö ö ü í ö ö í ö ö ü ö ö ö ö í í ü í ö ü ü ö Ő ö ö í ü
BSI. Gerendapapucs belső rögzítéssel Háromdimenziós perforált lemez horganyzott szénacélból BSI - 01 HATÉKONY KIFORDÍTÁS DISZKRÉT JÓVÁHAGYOTT
SI Geredapapucs belső rögzítéssel áromdimeziós perforált lemez horgayzott széacélból ATÉKONY Szabváyosítot, hiteles, gyors és olcsó redszer ALKALMAZÁSI TERÜLET Fa-fa yírókötés, mid derékszögbe mid kifordítva
Ingatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
ű ű ű Í Í ű ű Í ű Í ű Ö Í Í Í Í Í Í ű Í Í Í ű Á Ü ű ű ű Í Ü Í ű Ú ű Í Ü Ü Í Í Á ű ű ű Ó Í Í Í Í ű Í Ü Á Ü Ú ű Ü Ü Á Ü Í Ü Á ű Í Í Í Í Ü Í ű ű Ü ű ű ű Í Ú ű Ü Í Ü Í ű Í Í Í Í Á Ü Ü Á ű Í Í Í Í ű Í Ú Á Ű
Á Á Á Ó ő ő ő í ő ö í ő ő ó í ó í ö ú ű í ó í ö ö őí ö ö ó í ő Á Á ö ö ű ö ö ö ö ö í ö ő ő ö ö í ő ö Ö Ú É Á őí í ö ö ö ö ö ő ö ő ő Ó ú ö ö ó Á ö ö ö í ö í ö í ű ö ö ű ö É ö ú ö í ö ú ű ö ű ö ö ő ű Ö ő