7. el adás Becslések és minta elemszámok fejezet Áttekintés

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés"

Átírás

1 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció variaciájáak becslése Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 1. oldal Áttekités Ebbe a fejezetbe elkezdjük a következtetı (iduktív) statisztika tárgyalását. A következtetı statisztika két legfotosabb alkalmazása, amikor a mita adatokat arra haszáljuk hogy (1) megbecsüljük a populáció valamelyik paraméteréek értékét, illetve hogy () teszteljük valamilye a populációra voatkozó állítást (hipotézist). Módszereket mutatuk be a populáció legfotosabb paramétereiek becslésére: aráy, átlag és variacia. Meghatározzuk azokat a mita elemszámokat, amelyek szükségesek eze paraméterek becsléséhez. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 3. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT. oldal 7-. fejezet A populáció aráy becslése Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 4. oldal Kulcsfogalmak Ebbe a fejezetbe bemutatjuk, hogy a populáció aráyt hogya becsülhetjük a mita aráyból, és hogya adhatjuk meg a kofidecia itervallumot. Bemutatjuk azt is, hogy a becsléshez mekkora mita elemszám szükséges. A populáció aráy becsléséek feltételei 1. A mita egy egyszerő véletle mita.. A biomiális eloszlás feltételei feállak. 3. Va legalább 5 sikeres és 5 sikertele eset (a biomiálisál bevezetett értelembe). Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 5. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 6. oldal

2 p = Jelölések populáció aráy p = x mita aráy az x sikerek egy elemő mitába (kimodva p-kalap ) q = 1 -p = mita aráy a sikertele esetekek egy elemő mitába Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 7. oldal Egy potbecslés egy számérték (vagy pot), amivel a populáció paraméter értékét becsüljük. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 8. oldal A mita aráy p a legjobb potbecslése a populáció aráyak p. Példa: Eergia átadás kézzel (Emily Rosa, 9 éves, A close look at the therapeutic touch, Joural of the America Medical Associatio, Vol. 79, No. 13) 1 terapeuta, 80 kísérlet, 13 siker. Általába egy terapeuta milye aráyba találja el a helyes kezet? Mivel a mita aráy a legjobb potbecslés a populáció aráyra, ezért a legjobb potbecslésük p=13/80=0.44. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 9. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 10. oldal A kofidecia itervallum (vagy itervallumbecslés) egy tartomáya (vagy itervalluma) az értékekek, amivel a populáció paraméteréek értékét becsüljük. (KI-vel rövidítjük éha.) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 11. oldal A kofidecia szitje az az 1- α valószíőség (gyakra százalékba megadva), ami megadja, azo esetek aráyát, aháyszor a kofidecia itervallum valójába tartalmazza a populáció paraméter értékét, ha a becslést sokszor megismételjük. (A kofidecia szitet a megbízhatóság fokáak vagy szitjéek is evezik.) A leggyakoribb értékek 90%, 95% és 99%. (α = 10%), (α = 5%), (α = 1%) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 1. oldal

3 Példa: Adjuk meg az elızı példáál azt a 95%-os kofidecia itervallumot, amibe a populáció aráy beleesik. 95%-ba biztosak vagyuk abba, hogy a tıl ig itervallum tartalmazza a p igazi értékét. Ez azt jeleti, hogy ha sok külöbözı 80 elemő mitát választaák, és megkostruálák hozzájuk a kofidecia itervallumokat, akkor 95%-uk tartalmazá a p igazi értékét. 1. Tudjuk, hogy bizoyos feltételek mellett (közpoti határeloszlás tétel) az aráy mita eloszlását ormális eloszlással lehet közelítei, mit ahogy azt a következı 7-. ábrá látjuk.. A mita aráyak kicsi az esélye arra, hogy a 7-. ábrá a piros részbe esse. 3. Aak a valószíősége, hogy bármelyik farok részbe esik a mita aráy, összese α. Kritikus érték Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 13. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 14. oldal Kritikus érték Kritikus érték z α/ 4. Aak a valószíősége, hogy a mita aráy a zöld, belsı részére esik 1-α a 7-. ábrá. 5. Azt a z értéket, ami elválasztja a jobb farok részt z α / -val jelöljük és kritikus értékek evezzük, mivel azo a határo va, ami elválasztja a valószíőés a emvalószíő értékeket. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 15. oldal 7-. ábra Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 16. oldal A z α/ meghatározása a 95%-os kofidecia szithez α = 5% α/ =.5% =.05 A z α/ meghatározása a 95%-os kofidecia szithez - folyt α = z α/ z α/ z α/ α/ = Kritikus értékek Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 17. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 18. oldal

4 α Néháy fotosabb kritikus érték Kofidecia szit Kritikus érték zα/ 90% % % Amikor egy egyszerő véletle mitából becsüljük a populáció aráyt (p-t), a hiba, amit E-vel jelölük, a maximális eltérés ( 1 α valószíőséggel) a megfigyelt p aráy és az igazi populációs aráy (p) között. A hibát (E-t) a becslés maximális hibájáak is evezik. Értékét a kritikus érték és az aráy szórásáak szorzatakét kapjuk a következı 7-1. képlet szerit. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 19. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 0. oldal A p becsléséek hibája E = 7-1. képlet z α / p q Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 1. oldal A populáció aráy kofidecia itervalluma p E < p < p + E, E = ahol z α / p q Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT. oldal A populáció aráy kofidecia itervalluma p E < p < p + E p + E (p E, p + E) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 3. oldal A p-re voatkozó kofidecia itervallum megkostruálása 1. Elleırizd, hogy a szükséges feltevések teljesülek-e. (A mita egyszerő véletle mitavételezéső, a biomiális feltételei feállak, a ormális eloszlás haszálható a mita aráyra, mivel p 5 és q 5 is feáll.). A ormális eloszlás táblázata segítségével határozzuk meg a z / α kritikus értéket. p q 3. Számítsd ki a hibát E = Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 4. oldal

5 A p-re voatkozó kofidecia itervallum megkostruálásafolyt 4. Felhaszálva a hiba E értékét és a mita aráyt p, határozd meg p E és p + E értékeit. Helyettesítsd be ıket az általáos kofidecia itervallum képletbe: p E < p < p + E Példa: ugyaaz a) Keresd meg az E hibát 95%-os kofidecia szitél. Elleırizzük a feltételeket. p = 13 5, és q = Aztá kiszámítjuk. Azt találtuk, hogy p = 0.44, q = = 0.56, z α/ = 1.96, és = 80. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 5. oldal E = 1.96 E = (0.44)(0.56) 80 Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 6. oldal Példa: ugyaaz Példa: ugyaaz b) Határozzuk meg a 95%-os kofidecia itervallumot a populáció aráyra p. Behelyettesítve az elızı értékeket: < p < , < p < c) Eek alapjá mit modhatuk a módszer hatásosságáról? A kísérlet alapjá 95%-os biztosággal modhatjuk, hogy a 38.1% és a 49.7% közti itervallum tartalmazza azt az aráyt, ami eseté az eergiaátvitelt a terapeuták érzékelik. Ez rosszabb, mit amit a véletle próbálgatással (50%) kapák. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 7. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 8. oldal Mita elemszám Tegyük fel, hogy adatokat győjtük aak érdekébe, hogy a populáció valamilye tulajdoságát meghatározzuk. Kérdés, hogy háy mitát kell ehhez összegyőjtei? Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 9. oldal A mita elemszám meghatározása E = z α / (oldjuk meg -re) ( Z α / ) p q = E p q Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 30. oldal

6 Az p aráy meghatározásához szükséges mitaszám Ha va elızetes becslés p-re : ( zα α / ) p q = E Ha ics elızetes becslés p-re: ( zα α / ) 0.5 = E 7-. képlet 7-3. képlet Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 31. oldal Example: Meg akarjuk határozi, hogy háy háztartásak va Iteret hozzáférése Magyarországo. Háy háztartást kell megkérdezi, ha 95%-os biztosággal 4%-ál kisebb hibával akarjuk ezt meghatározi? a) Korábbi eredméy felhaszálása: 004 decemberébe, a háztartások 17%-ba volt Iteret hozzáférés. = [z a/ ] p q E = [1.96] (0.17)(0.83) 0.04 = 338 háztartás Ha 95%-os biztosággal igaz lesz, hogy a 338 háztartás megkérdezésével keletkezı aráy a valódi aráytól em tér el jobba mit 4%. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 3. oldal Potbecslés készítése a kofidecia itervallumból A p potbecslése: p = (felsı határ ) + (alsó határ ) Hiba: E = (felsı határ) (alsó határ) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 33. oldal Összefoglalás Ebbe a fejezetbe megvitattuk: Potbecslést. Kofidecia itervallumot. Kofidecia szitet. Kritikus érték. Hiba. Mita elemszám meghatározása. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 34. oldal 7-3. fejezet Populáció átlag becslés: σ ismert Kulcsfogalmak Ebbe a fejezetbe a populáció átlag potbecslésére és kofidecia itervallumáak meghatározása aduk módszert. Ebbe a fejezetbe feltesszük, hogy a populáció szórása ismert. (Ez a feltétel em valószerő!) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 35. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 36. oldal

7 Feltevések 1. A mita egyszerő véletle mitavételezéssel lett kiválasztva. (Mide ugyaolya hosszúságú mita kiválasztásáak egyelı az esélye.). A populáció σ szórása ismert. A populáció átlag potbecslése A mita átlag x a populáció átlag µ legjobb potbecslése. 3. Egyik vagy midkét alábbi feltétel igaz: A populáció ormális eloszlású vagy > 30. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 37. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 38. oldal Mita átlag 1. Mide populáció eseté a mita átlag x torzítatla becslése a populáció átlagak µ, ami azt jeleti, hogy a µ populáció átlag körül csoportosul a mita átlagok eloszlása külöbözımiták eseté. Példa: Egy vizsgálatba megvizsgálták 106 felıtt testhımérsékletét. A mita átlag fok a szórás 0.34 fok volt. Keresd meg a populáció átlag µ legjobb potbecslését! Mivel a mita átlag x a legjobb potbecslése a populáció átlagak µ, ezért a legjobb potbecslés o C.. Sok populáció eseté a mita átlag x kozisztesebb (kisebb a változékoysága) mit más mita statisztikákak. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 39. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 40. oldal A hiba a mita átlag x és a populáció átlag µ valószíő eltéréseiek maximuma és E-vel jelöljük. E = z α/ Képlet Hiba σ 7-4. képlet Az átlag hibája (ismertσ-t feltételezve) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 41. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 4. oldal

8 A µ populáció átlag kofidecia itervalluma (ismert σ szórás eseté) vagy vagy x E < µ < x + E x + E (x E, x + E) Az x E és x + E értékeket kofidecia itervallum határokak hívjuk. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 43. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 44. oldal A µ kofidecia itervallumáak megkostruálása (ismert σ) 1. Elleırizd, hogy a feltételek teljesülek-e.. A ormális eloszlás táblázatából határozd meg a z α/ kritikus értéket. 3. Számítsd ki a hibát E = z α/ σ/. 4. Keresd meg az x E és x + E értékeket. Helyettesítsd be az általáos képletbe: x E < µ < x + E Példa: ugyaaz. Keressük meg a hibát E és a 95%-os kofidecia itervallumot a µ-re. = 106 x = o s = 0.34 o α = 0.05 α / = 0.05 z α/ = 1.96 E = z α/ σ = = x E < < x + E o < µ < o o < µ < o Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 45. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 46. oldal A µ populációs átlag meghatározásához szükséges mita elemszám Ahol = (z α/ ) σ E 7-5. képlet zα/ = a kofidecia szithez tartozó kritikus z érték E = megkívát hiba σ= a populáció szórása Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 47. oldal Példa: Tegyük fel, hogy meg akarjuk határozi a fizika professzorok átlagos IQ értékét. Háy fizika professzort kell véletleül kiválasztai a vizsgálatba ahhoz, hogy ha 95%-os biztosággal és IQ pot potossággal akarjuk az értéket meghatározi? Tegyük fel, hogy σ = 15, ugyaúgy, mit az általáos populációba. α = 0.05 = = = 17 α / = 0.05 z α/ = 1.96 E = Egy 17 véletle egyszerő σ = 15 mitavételezett fizika professzor IQ tesztjébıl 95%-os biztosággal IQ pot hibával meg tudjuk határozi az igazi populáció átlagot, µ-t. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 48. oldal

9 Összefoglalás Ebbe a fejezetbe megbeszéltük a: Hibát. Ismert σeseté a kofidecia itervallumot. A meghatározásához szükséges mita elemszámot fejezet A populáció átlag becslése: σ em ismert Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 49. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 50. oldal Kulcsfogalmak Feltevésekσismeretle esetbe Ebbe a fejezetbe módszert aduk a kofidecia itervallum becslésére abba az esetbe ha a populáció szórása em ismert. Haσem ismert, akkor a Studet t eloszlást kell haszáluk, bizoyos feltételek teljesülése eseté. 1) A mita véletle egyszerő. ) A mita vagy ormális populációból származik, vagy > 30. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 51. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 5. oldal A Studet t eloszlás Kritikus t értékek táblázata Ha a populáció eloszlása léyegébe ormális, akkor a következı meyiség eloszlását t = x - µ s a Studet t eloszlás adja meg elemszámú miták eseté. Gyakra t eloszlásak hívják és kritikus értékeit t jelöli. α/ Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 53. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 54. oldal

10 A szabadsági fokok számát egy mita adataira voatkozóa azo adatok száma adja, amelyek szabado változhatak, miközbe az adatok összességéek valamilye feltételek eleget kell teiük (ilye pl. az hogy átlaguk legye egy megadott érték). szabadsági fokok száma = 1 ebbe a fejezetbe képlet Az E hiba (σem ismert) E = t α/ s ahol t α/ 1 szabadsági fokkal redelkezik s a mita szórása Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 55. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 56. oldal Kofidecia itervallum -re (σem ismert) x E < µ < x + E ahol E = t α/ s Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 57. oldal A µ kofidecia itervallumáak megkostruálása (σismeretle) 1. Elleırizzük, hogy a feltételek teljesülek.. Az - 1 szabadsági fokhoz keressük ki a Studet eloszlás táblázatából a kritikus t α/ értéket a kívát kofidecia szithez. 3. Számítsd ki a hibát E = t α/ s /. 4. Keresd meg az x - E és x + E értékeket. Helyettesítsük be a kofidecia itervallum általáos képletébe: x E < µ < x + E Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 58. oldal Példa: A testhımérséklet példába határozzuk meg a µ 95%-os kofidecia itervallumát. = 106 x = o s = 0.34 o α = 0.05 α / = 0.05 t α/ = E = t α/ s = = x E < µ < x + E o < µ < o A Studet t eloszlás tulajdoságai 1. A Studet t eloszlás más-más külöbözımita elemszámokra.. A Studet t eloszlás szimmetrikus és harag szerő görbe, de sokkal agyobb variabilitása va, mit a ormális eloszlásak kis mita számok eseté. 3. A Studet t eloszlás átlaga t = 0 (ugyaúgy, mit a stadard ormális eloszlás eseté az átlag z = 0). 4. A Studet t eloszlás szórása változik a mita elemszámmal és agyobb mit 1 ( elletétbe a stadard ormális eloszlással, ahol σ = 1). 5. A mita elemszám övelésével egyre agyobb lesz, és a Studet t eloszlás egyre közelebb kerül a ormál eloszláshoz. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 59. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 60. oldal

11 Studet t eloszlás = 3 és = 1 Összefoglalás Ebbe a fejezetbe tárgyaltuk: A Studet t eloszlást. A szabadsági fokok számát. A hibát. A kofidecia itervallumát ismeretleσ eseté ábra Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 61. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 6. oldal 7-5. fejezet A populáció variacia becslése Kulcsfogalmak Ebbe a fejezetbe módszereket mutatuk be a (1) kofidecia itervallum meghatározására a populáció szórására és variaciájára () a szükséges mita elemszám meghatározására. Bevezetjük a χ -égyzet (khí égyzet, chisquare) eloszlást, ami a kofidecia itervallum meghatározásához kell σill.σ eseté. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 63. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 64. oldal Feltételek Khí-égyzet eloszlás 1. A mita legye egyszerő véletle.. A populációak ormális eloszlásúak kell leie (em elég, hogy a mita agy legye). ahol χ = ( 1) s σ 7-7. képlet = mita elemszám s = mita variacia σ = populáció variacia Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 65. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 66. oldal

12 A khi-égyzet statisztika tulajdoságai 1. A khi-égyzet eloszlás em szimmetrikus, elletétbe a ormál és a Studet eloszlásssal. A szabadsági fokok számáak övekedésével egyre szimmetrikusabb lesz. Khi-égyzet táblázat 7-8. ábra Khi-égyzet eloszlás 7-9. ábra Khi-égyzet eloszlás df = 10 és df = 0 Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 67. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 68. oldal A khi-égyzet statisztika tulajdoságai- folyt. A khi-égyzet eloszlás értékei em lehetek egatív számok. 3. A khi-égyzet eloszlás külöbözik mide szabadsági fokra, amely df = 1 ebbe a fejezetbe. A szabadsági fokok övelésével megközelíti a ormális eloszlást. Példa: Határozzuk meg χ kritikus értékeit, amelyekhez midkét farokba 0.05 terület tartozik. Legye a mita elemszáma 10, és a szabadsági fokok száma 10 1=9. α = 0.05 α/ = α/ = Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 69. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 70. oldal A khi-égyzet statisztika kritikus értékei A variacia becslései A mita variacia s a legjobb potbecslése a populáció variaciájáak σ ábra Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 71. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 7. oldal

13 Kofidecia itervallum (vagy itervallum becslés) a populáció variaciára σ ( 1)s ( 1)s < σ < χ χ R L Jobb-farok kritikus érték Kofidecia itervallum a σ -ra ( 1)s ( 1)s < σ < χ R χ Bal-farok kritikus érték Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 73. oldal L A σ vagy σ re voatkozó kofidecia itervallum kostruálása 1. Elleırizzük, hogy a feltételek feállak-e.. 1 szabadsági fok eseté a táblázatból keressük meg a kritikus értékeket χ R és χ L, amely a kívát kofidecia szithez tartozik. 3. Az alábbi képlettel határozzuk meg a kofidecia itervallumot: ( 1)s < σ < χ R ( 1)s χ L 4. σ kofidecia itervalluma ugyaez, csak gyököt kell voi. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 74. oldal Példa: A testhımérsékletes példába keressük meg a 95%- os kofidecia itervallumot σ-ra. A mita elemszám meghatározása = 106 x = o s = 0.34 o α = 0.05 α / = α / = χ R = , χ L = 74. (106 1)(0.34) < σ < (106 1)(0.34) < σ < < σ < %-ba bizoyosak vagyuk, hogy a 0.30 C és 0.40 C itervallum tartalmazza a σ igazi értékét. 95%-os biztosággal állíthatjuk, hogy az egészséges emberek testhımérsékletéek szórása 0.30 C és 0.40 C között va. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 75. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 76. oldal Példa: Szereték σ értékét meghatározi a testhımérsékletekre. 95% biztosággal szereték tudi, legfeljebb 10% hibával a σ igazi értékét. Mekkoráak kell leie a mitáak. Tegyük fel, hogy a populáció ormális eloszlású. A 7-. táblázat szerit, 95% kofideciával 10% hiba 191-es mitához tartozik. Összefoglalás Ebbe a fejezetbe megvitattuk: A khi-égyzet eloszlást. A táblázatát. A szórás és a variacia kofidecia itervallumait. A mita elemszám meghatározását. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 77. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 78. oldal

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között. Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

STATISZTIKA. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% hektolitertömege 80 kg. u = = = = Tesztelhetjük, hogy a valósz. konfidencia intervallum nagyságát t is.

STATISZTIKA. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% hektolitertömege 80 kg. u = = = = Tesztelhetjük, hogy a valósz. konfidencia intervallum nagyságát t is. Egymiá u-róba STATISZTIKA 0. Előad adá Köéérék-öehaolíó eek Teelhejük, hogy a való íűégi váloók éréke megegyeik-e e egy kokré érékkel. Megválahajuk a kofidecia iervallum agyágá i. H 0 : µ µ 0 Feléel: el:

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Statisztika I. 6. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 6. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 6. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE szorosan kapcsolódik a szóródás elemzéshez, elméleti

Részletesebben

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében Lukovics Miklós (szerk.) 204: Taulmáyok Legyel Imre professzor 60. születésapja tiszteletére. SZTE Gazdaságtudomáyi Kar, Szeged, 5-24. o. Területi kocetráció és bolyogás Legyel Imre publikációs tevékeységébe

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 6. elıadás (11-12. lecke) Szórás-stabilizáló transzformációk (folyt.), t-próbák 11. lecke További variancia-stabilizáló transzformációk Egy-mintás t-próba Szórás-kiegyenlítı

Részletesebben

Tisztelt Olvasó! Minden Kedves oovasónknak Szeretetteljes Karácsonyi Ünnepeket és Boldog Új Esztendõt Kívánunk!

Tisztelt Olvasó! Minden Kedves oovasónknak Szeretetteljes Karácsonyi Ünnepeket és Boldog Új Esztendõt Kívánunk! Tisztelt Olvasó! Semmilye szél em jó aak, kiek ics célul kiszemelt kikötõje. Motaige Carpe diem! (Haszáld ki a jelet!...) Horatius Még el sem kezdõdött a XXI. század, s máris elsõ évéek végé, 2001 decemberébe

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30. Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

Definíció. Definíció. 2. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása. 2-5. fejezet. A variabilitás mér számai 3.

Definíció. Definíció. 2. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása. 2-5. fejezet. A variabilitás mér számai 3. . El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása -1 Áttekintés - Gyakoriság eloszlások -3 Az adatok vizualizációja -4 A centrum mérıszámai -5 A szórás mérıszámai -6 A relatív elhelyezkedés

Részletesebben

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE WWW. CIVILSZEMLE.HU IV. ÉVFOLYAM 1. SZÁM csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 2 Szerkesztõbizottság/Editorial Board Bíró Edre, Belia Aa, Harsáyi

Részletesebben

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.9 Csapágyak üzem közbei vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 Gergely Mihály okl. gépészmérök, Acceleratio Bt. Budapest Tóbis Zsolt doktoradusz, Miskolci Egyetem Gépelemek

Részletesebben

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját.

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját. Jele taulmáy tartalma em feltétleül tükrözi az Európai Uió hivatalos álláspotját. TARTALOMJEGYZÉK 1 GEOTERMIKUS HŐHASZ OSÍTÁS LEHETŐSÉGEI... 4 1.1 Direkt hévíz haszosítási javaslat... 4 1.2 Hőszivattyús

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

TETÔPONT. e ég e t t v é d e l

TETÔPONT. e ég e t t v é d e l TETÔPONT m a g a z i A C r e a t o H u g a r y K f t. i d ô s z a ko s h í r m a g a z i j a 2 012. m á r c i u s A védelem, amely tűzbe születik A kerámia egób tetőcserépbe égetett védelemről az egób

Részletesebben

konfidencia-intervallum Logikai vektorok az R-ben 2012. március 14.

konfidencia-intervallum Logikai vektorok az R-ben 2012. március 14. Valószínűség, pontbecslés, konfidencia-intervallum Logikai vektorok az R-ben 2012. március 14. Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra

Részletesebben

SZENT ISTVÁN EGYETEM YBL MIKLÓS ÉPÍTÉSTUDOMÁNYI KAR EUROCODE SEGÉDLETEK A MÉRETEZÉS ALAPJAI C. TÁRGYHOZ

SZENT ISTVÁN EGYETEM YBL MIKLÓS ÉPÍTÉSTUDOMÁNYI KAR EUROCODE SEGÉDLETEK A MÉRETEZÉS ALAPJAI C. TÁRGYHOZ SZENT ISTVÁN EGYETEM YBL MIKLÓS ÉPÍTÉSTUDOMÁNYI KAR EUROCODE SEGÉDLETEK A MÉRETEZÉS ALAPJAI C. TÁRGYHOZ A segédlet nem helyettesíti az építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezésére vonatkozó

Részletesebben

Felhasználói kézikönyv

Felhasználói kézikönyv dyadock W10 computers.toshiba-europe.com Tartalom Bevezetés...13 Jellemzők...13 A doboz tartalma...14 Számítógépes követelméyek...14 Gyors ismertető...15 Összeszerelés és csatlakoztatás...20 A dyadock

Részletesebben

Független komponens analízis

Független komponens analízis Elektroiku verzió. Az eredeti cikk az ElektroNET (ISSN: 9-705X) 00 évf. 3 zám, 0 oldalá jelet meg. Függetle kompoe aalízi A függetle kompoe aalízi (Idepedet Compoet Aalyi, ICA) egy vizoylag új jelfeldolgozái

Részletesebben

Általánosítás. Többdimenziós normális eloszlás. Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak

Általánosítás. Többdimenziós normális eloszlás. Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak Matematikai statisztika elıadás. éves elemzı szakosokak 0. elıadás Többdimeziós ormális eloszlás Kétdimeziós ormális eloszlás sőrőségfüggvéye ( ( x µ ) ρ ( y ν ) f x, y) ex + ( x µ )( y ν ) ) πσς ρ σ σς

Részletesebben

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Babeş Bolyai Tudomáyegyetem Matematia Iformatia ar Iformatia sza UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Uleyomatépe feldolgozása, osztályozás euroális hálóal, azoosítási célú összehasolítás Vezetőtaár: Dr. Soós Aa

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

m & w = száraz _ szilárd nedvesség m = nedvesség szilárd _ száraz SZÁRÍTÁS I. A nedves (szárítandó) anyag:

m & w = száraz _ szilárd nedvesség m = nedvesség szilárd _ száraz SZÁRÍTÁS I. A nedves (szárítandó) anyag: SZÁRÍTÁS Szárításo azt a űveletet értjük, ely sorá valailye edves ilárd ayag tartalát csökketjük, vagy eltávolítjuk elárologtatás vagy kigőzölögtetés által. Esetükbe a árítadó ayag ecsés (darabos), a legtöbbör

Részletesebben

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Walltherm redszer 5 év redszergaraciával Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Magyar termék WALLTHERM felületfûtés-hûtési redszer Egy fûtési- (hûtési) redszer kialakítása elôtt számtala

Részletesebben

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 csz12 elm filosz.qxd 2007. 06. 13. 14:53 Page 111 CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 Beszedics Otília Bevezetõ A 2003. augusztus 1. és 2007. február 28. közötti idõszakba a GPS

Részletesebben

HŐTAN Oktatási segédanyag

HŐTAN Oktatási segédanyag Eergeikai Géek és Redszerek aszék HŐAN Okaási segédayag Kézira Szerkeszee: dr. Zsebik Albi Faluskai Norber Budaes, 003. jauár Hoa_.do.do Eergeikai Géek és Redszerek aszék aralojegyzék. Alafogalak.....

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások

Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Bevezetés A magas mérési szintű változók adataiból számolhatunk átlagot, szórást. Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott paramétereknek

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor FLYADÉKKRISTÁLY-TLVÍZIÓK Éber Nádor A 21. SZÁZAD KÉPRNYÔI MTA SZFKI, Budapest A szerezetü és tulajdoságai alapjá a folyadéo és a szilárd ayago özött sajátos átmeetet épezô folyadéristályo felfedezésü (1888)

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Mexikó Általános Tájékoztató

Mexikó Általános Tájékoztató Mexikó Általáos Tájékoztató Mexikói Egyesült Államok Államforma: szövetségi köztársaság Határai: észako az USA, yugato a Csedes Óceá, Kelete a Karib teger, déle Belize és Guatemala. Terület 1.972 547 égyzetkilométer

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

GAZDASÁGI STATISZTIKA

GAZDASÁGI STATISZTIKA GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapismeretek középszit 0812 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. október 17. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása JUMO Meß- ud Regelgeräte GmbH A-1232 Wie, Pfarrgasse 48 Magyarországi Kereskedelmi Képviselet Telefo: 00-43-1 / 61-061-0 H-1147 Budapest Öv u. 143. Fax: 00-43-1 / 61-061-59 Telefo/fax: 00-36-1 / 467-0835,

Részletesebben

Alapfogalmak áttekintése. Pszichológiai statisztika, 1. alkalom

Alapfogalmak áttekintése. Pszichológiai statisztika, 1. alkalom Alapfogalmak áttekintése Pszichológiai statisztika, 1. alkalom Hipotézisek Milyen a jó null hipotézis?? H0: Léteznek kitőnı tanuló diszlexiások.? H1: Nem léteznek. Sokkal inkább: H0: Nincs diszlexiás kitőnı

Részletesebben

Váltakozóáramú hajtások Dr. TARNIK István 2006

Váltakozóáramú hajtások Dr. TARNIK István 2006 AUTOMATIZÁLT VILLAMOS HAJTÁSOK Válakozóáramú hajások Pollack Mihály Műszaki Kar Villamos Hálózaok Taszék Dr. TARNIK Isvá doces Válakozó áramú hajások 1. Aszikro gépek elvi felépíése. 1.1. Az aszikro gépek

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS Összefüggésvizsgálat, paraméterbecslés A kísérletek sorá a redszer állapotát ellemző paraméterek kapcsolatát vizsgáluk. A yert adatok alapá felállítuk a redszer matematikai

Részletesebben