7. el adás Becslések és minta elemszámok fejezet Áttekintés
|
|
- Oszkár Varga
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció variaciájáak becslése Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 1. oldal Áttekités Ebbe a fejezetbe elkezdjük a következtetı (iduktív) statisztika tárgyalását. A következtetı statisztika két legfotosabb alkalmazása, amikor a mita adatokat arra haszáljuk hogy (1) megbecsüljük a populáció valamelyik paraméteréek értékét, illetve hogy () teszteljük valamilye a populációra voatkozó állítást (hipotézist). Módszereket mutatuk be a populáció legfotosabb paramétereiek becslésére: aráy, átlag és variacia. Meghatározzuk azokat a mita elemszámokat, amelyek szükségesek eze paraméterek becsléséhez. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 3. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT. oldal 7-. fejezet A populáció aráy becslése Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 4. oldal Kulcsfogalmak Ebbe a fejezetbe bemutatjuk, hogy a populáció aráyt hogya becsülhetjük a mita aráyból, és hogya adhatjuk meg a kofidecia itervallumot. Bemutatjuk azt is, hogy a becsléshez mekkora mita elemszám szükséges. A populáció aráy becsléséek feltételei 1. A mita egy egyszerő véletle mita.. A biomiális eloszlás feltételei feállak. 3. Va legalább 5 sikeres és 5 sikertele eset (a biomiálisál bevezetett értelembe). Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 5. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 6. oldal
2 p = Jelölések populáció aráy p = x mita aráy az x sikerek egy elemő mitába (kimodva p-kalap ) q = 1 -p = mita aráy a sikertele esetekek egy elemő mitába Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 7. oldal Egy potbecslés egy számérték (vagy pot), amivel a populáció paraméter értékét becsüljük. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 8. oldal A mita aráy p a legjobb potbecslése a populáció aráyak p. Példa: Eergia átadás kézzel (Emily Rosa, 9 éves, A close look at the therapeutic touch, Joural of the America Medical Associatio, Vol. 79, No. 13) 1 terapeuta, 80 kísérlet, 13 siker. Általába egy terapeuta milye aráyba találja el a helyes kezet? Mivel a mita aráy a legjobb potbecslés a populáció aráyra, ezért a legjobb potbecslésük p=13/80=0.44. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 9. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 10. oldal A kofidecia itervallum (vagy itervallumbecslés) egy tartomáya (vagy itervalluma) az értékekek, amivel a populáció paraméteréek értékét becsüljük. (KI-vel rövidítjük éha.) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 11. oldal A kofidecia szitje az az 1- α valószíőség (gyakra százalékba megadva), ami megadja, azo esetek aráyát, aháyszor a kofidecia itervallum valójába tartalmazza a populáció paraméter értékét, ha a becslést sokszor megismételjük. (A kofidecia szitet a megbízhatóság fokáak vagy szitjéek is evezik.) A leggyakoribb értékek 90%, 95% és 99%. (α = 10%), (α = 5%), (α = 1%) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 1. oldal
3 Példa: Adjuk meg az elızı példáál azt a 95%-os kofidecia itervallumot, amibe a populáció aráy beleesik. 95%-ba biztosak vagyuk abba, hogy a tıl ig itervallum tartalmazza a p igazi értékét. Ez azt jeleti, hogy ha sok külöbözı 80 elemő mitát választaák, és megkostruálák hozzájuk a kofidecia itervallumokat, akkor 95%-uk tartalmazá a p igazi értékét. 1. Tudjuk, hogy bizoyos feltételek mellett (közpoti határeloszlás tétel) az aráy mita eloszlását ormális eloszlással lehet közelítei, mit ahogy azt a következı 7-. ábrá látjuk.. A mita aráyak kicsi az esélye arra, hogy a 7-. ábrá a piros részbe esse. 3. Aak a valószíősége, hogy bármelyik farok részbe esik a mita aráy, összese α. Kritikus érték Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 13. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 14. oldal Kritikus érték Kritikus érték z α/ 4. Aak a valószíősége, hogy a mita aráy a zöld, belsı részére esik 1-α a 7-. ábrá. 5. Azt a z értéket, ami elválasztja a jobb farok részt z α / -val jelöljük és kritikus értékek evezzük, mivel azo a határo va, ami elválasztja a valószíőés a emvalószíő értékeket. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 15. oldal 7-. ábra Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 16. oldal A z α/ meghatározása a 95%-os kofidecia szithez α = 5% α/ =.5% =.05 A z α/ meghatározása a 95%-os kofidecia szithez - folyt α = z α/ z α/ z α/ α/ = Kritikus értékek Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 17. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 18. oldal
4 α Néháy fotosabb kritikus érték Kofidecia szit Kritikus érték zα/ 90% % % Amikor egy egyszerő véletle mitából becsüljük a populáció aráyt (p-t), a hiba, amit E-vel jelölük, a maximális eltérés ( 1 α valószíőséggel) a megfigyelt p aráy és az igazi populációs aráy (p) között. A hibát (E-t) a becslés maximális hibájáak is evezik. Értékét a kritikus érték és az aráy szórásáak szorzatakét kapjuk a következı 7-1. képlet szerit. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 19. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 0. oldal A p becsléséek hibája E = 7-1. képlet z α / p q Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 1. oldal A populáció aráy kofidecia itervalluma p E < p < p + E, E = ahol z α / p q Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT. oldal A populáció aráy kofidecia itervalluma p E < p < p + E p + E (p E, p + E) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 3. oldal A p-re voatkozó kofidecia itervallum megkostruálása 1. Elleırizd, hogy a szükséges feltevések teljesülek-e. (A mita egyszerő véletle mitavételezéső, a biomiális feltételei feállak, a ormális eloszlás haszálható a mita aráyra, mivel p 5 és q 5 is feáll.). A ormális eloszlás táblázata segítségével határozzuk meg a z / α kritikus értéket. p q 3. Számítsd ki a hibát E = Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 4. oldal
5 A p-re voatkozó kofidecia itervallum megkostruálásafolyt 4. Felhaszálva a hiba E értékét és a mita aráyt p, határozd meg p E és p + E értékeit. Helyettesítsd be ıket az általáos kofidecia itervallum képletbe: p E < p < p + E Példa: ugyaaz a) Keresd meg az E hibát 95%-os kofidecia szitél. Elleırizzük a feltételeket. p = 13 5, és q = Aztá kiszámítjuk. Azt találtuk, hogy p = 0.44, q = = 0.56, z α/ = 1.96, és = 80. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 5. oldal E = 1.96 E = (0.44)(0.56) 80 Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 6. oldal Példa: ugyaaz Példa: ugyaaz b) Határozzuk meg a 95%-os kofidecia itervallumot a populáció aráyra p. Behelyettesítve az elızı értékeket: < p < , < p < c) Eek alapjá mit modhatuk a módszer hatásosságáról? A kísérlet alapjá 95%-os biztosággal modhatjuk, hogy a 38.1% és a 49.7% közti itervallum tartalmazza azt az aráyt, ami eseté az eergiaátvitelt a terapeuták érzékelik. Ez rosszabb, mit amit a véletle próbálgatással (50%) kapák. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 7. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 8. oldal Mita elemszám Tegyük fel, hogy adatokat győjtük aak érdekébe, hogy a populáció valamilye tulajdoságát meghatározzuk. Kérdés, hogy háy mitát kell ehhez összegyőjtei? Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 9. oldal A mita elemszám meghatározása E = z α / (oldjuk meg -re) ( Z α / ) p q = E p q Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 30. oldal
6 Az p aráy meghatározásához szükséges mitaszám Ha va elızetes becslés p-re : ( zα α / ) p q = E Ha ics elızetes becslés p-re: ( zα α / ) 0.5 = E 7-. képlet 7-3. képlet Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 31. oldal Example: Meg akarjuk határozi, hogy háy háztartásak va Iteret hozzáférése Magyarországo. Háy háztartást kell megkérdezi, ha 95%-os biztosággal 4%-ál kisebb hibával akarjuk ezt meghatározi? a) Korábbi eredméy felhaszálása: 004 decemberébe, a háztartások 17%-ba volt Iteret hozzáférés. = [z a/ ] p q E = [1.96] (0.17)(0.83) 0.04 = 338 háztartás Ha 95%-os biztosággal igaz lesz, hogy a 338 háztartás megkérdezésével keletkezı aráy a valódi aráytól em tér el jobba mit 4%. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 3. oldal Potbecslés készítése a kofidecia itervallumból A p potbecslése: p = (felsı határ ) + (alsó határ ) Hiba: E = (felsı határ) (alsó határ) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 33. oldal Összefoglalás Ebbe a fejezetbe megvitattuk: Potbecslést. Kofidecia itervallumot. Kofidecia szitet. Kritikus érték. Hiba. Mita elemszám meghatározása. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 34. oldal 7-3. fejezet Populáció átlag becslés: σ ismert Kulcsfogalmak Ebbe a fejezetbe a populáció átlag potbecslésére és kofidecia itervallumáak meghatározása aduk módszert. Ebbe a fejezetbe feltesszük, hogy a populáció szórása ismert. (Ez a feltétel em valószerő!) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 35. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 36. oldal
7 Feltevések 1. A mita egyszerő véletle mitavételezéssel lett kiválasztva. (Mide ugyaolya hosszúságú mita kiválasztásáak egyelı az esélye.). A populáció σ szórása ismert. A populáció átlag potbecslése A mita átlag x a populáció átlag µ legjobb potbecslése. 3. Egyik vagy midkét alábbi feltétel igaz: A populáció ormális eloszlású vagy > 30. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 37. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 38. oldal Mita átlag 1. Mide populáció eseté a mita átlag x torzítatla becslése a populáció átlagak µ, ami azt jeleti, hogy a µ populáció átlag körül csoportosul a mita átlagok eloszlása külöbözımiták eseté. Példa: Egy vizsgálatba megvizsgálták 106 felıtt testhımérsékletét. A mita átlag fok a szórás 0.34 fok volt. Keresd meg a populáció átlag µ legjobb potbecslését! Mivel a mita átlag x a legjobb potbecslése a populáció átlagak µ, ezért a legjobb potbecslés o C.. Sok populáció eseté a mita átlag x kozisztesebb (kisebb a változékoysága) mit más mita statisztikákak. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 39. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 40. oldal A hiba a mita átlag x és a populáció átlag µ valószíő eltéréseiek maximuma és E-vel jelöljük. E = z α/ Képlet Hiba σ 7-4. képlet Az átlag hibája (ismertσ-t feltételezve) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 41. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 4. oldal
8 A µ populáció átlag kofidecia itervalluma (ismert σ szórás eseté) vagy vagy x E < µ < x + E x + E (x E, x + E) Az x E és x + E értékeket kofidecia itervallum határokak hívjuk. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 43. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 44. oldal A µ kofidecia itervallumáak megkostruálása (ismert σ) 1. Elleırizd, hogy a feltételek teljesülek-e.. A ormális eloszlás táblázatából határozd meg a z α/ kritikus értéket. 3. Számítsd ki a hibát E = z α/ σ/. 4. Keresd meg az x E és x + E értékeket. Helyettesítsd be az általáos képletbe: x E < µ < x + E Példa: ugyaaz. Keressük meg a hibát E és a 95%-os kofidecia itervallumot a µ-re. = 106 x = o s = 0.34 o α = 0.05 α / = 0.05 z α/ = 1.96 E = z α/ σ = = x E < < x + E o < µ < o o < µ < o Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 45. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 46. oldal A µ populációs átlag meghatározásához szükséges mita elemszám Ahol = (z α/ ) σ E 7-5. képlet zα/ = a kofidecia szithez tartozó kritikus z érték E = megkívát hiba σ= a populáció szórása Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 47. oldal Példa: Tegyük fel, hogy meg akarjuk határozi a fizika professzorok átlagos IQ értékét. Háy fizika professzort kell véletleül kiválasztai a vizsgálatba ahhoz, hogy ha 95%-os biztosággal és IQ pot potossággal akarjuk az értéket meghatározi? Tegyük fel, hogy σ = 15, ugyaúgy, mit az általáos populációba. α = 0.05 = = = 17 α / = 0.05 z α/ = 1.96 E = Egy 17 véletle egyszerő σ = 15 mitavételezett fizika professzor IQ tesztjébıl 95%-os biztosággal IQ pot hibával meg tudjuk határozi az igazi populáció átlagot, µ-t. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 48. oldal
9 Összefoglalás Ebbe a fejezetbe megbeszéltük a: Hibát. Ismert σeseté a kofidecia itervallumot. A meghatározásához szükséges mita elemszámot fejezet A populáció átlag becslése: σ em ismert Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 49. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 50. oldal Kulcsfogalmak Feltevésekσismeretle esetbe Ebbe a fejezetbe módszert aduk a kofidecia itervallum becslésére abba az esetbe ha a populáció szórása em ismert. Haσem ismert, akkor a Studet t eloszlást kell haszáluk, bizoyos feltételek teljesülése eseté. 1) A mita véletle egyszerő. ) A mita vagy ormális populációból származik, vagy > 30. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 51. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 5. oldal A Studet t eloszlás Kritikus t értékek táblázata Ha a populáció eloszlása léyegébe ormális, akkor a következı meyiség eloszlását t = x - µ s a Studet t eloszlás adja meg elemszámú miták eseté. Gyakra t eloszlásak hívják és kritikus értékeit t jelöli. α/ Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 53. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 54. oldal
10 A szabadsági fokok számát egy mita adataira voatkozóa azo adatok száma adja, amelyek szabado változhatak, miközbe az adatok összességéek valamilye feltételek eleget kell teiük (ilye pl. az hogy átlaguk legye egy megadott érték). szabadsági fokok száma = 1 ebbe a fejezetbe képlet Az E hiba (σem ismert) E = t α/ s ahol t α/ 1 szabadsági fokkal redelkezik s a mita szórása Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 55. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 56. oldal Kofidecia itervallum -re (σem ismert) x E < µ < x + E ahol E = t α/ s Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 57. oldal A µ kofidecia itervallumáak megkostruálása (σismeretle) 1. Elleırizzük, hogy a feltételek teljesülek.. Az - 1 szabadsági fokhoz keressük ki a Studet eloszlás táblázatából a kritikus t α/ értéket a kívát kofidecia szithez. 3. Számítsd ki a hibát E = t α/ s /. 4. Keresd meg az x - E és x + E értékeket. Helyettesítsük be a kofidecia itervallum általáos képletébe: x E < µ < x + E Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 58. oldal Példa: A testhımérséklet példába határozzuk meg a µ 95%-os kofidecia itervallumát. = 106 x = o s = 0.34 o α = 0.05 α / = 0.05 t α/ = E = t α/ s = = x E < µ < x + E o < µ < o A Studet t eloszlás tulajdoságai 1. A Studet t eloszlás más-más külöbözımita elemszámokra.. A Studet t eloszlás szimmetrikus és harag szerő görbe, de sokkal agyobb variabilitása va, mit a ormális eloszlásak kis mita számok eseté. 3. A Studet t eloszlás átlaga t = 0 (ugyaúgy, mit a stadard ormális eloszlás eseté az átlag z = 0). 4. A Studet t eloszlás szórása változik a mita elemszámmal és agyobb mit 1 ( elletétbe a stadard ormális eloszlással, ahol σ = 1). 5. A mita elemszám övelésével egyre agyobb lesz, és a Studet t eloszlás egyre közelebb kerül a ormál eloszláshoz. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 59. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 60. oldal
11 Studet t eloszlás = 3 és = 1 Összefoglalás Ebbe a fejezetbe tárgyaltuk: A Studet t eloszlást. A szabadsági fokok számát. A hibát. A kofidecia itervallumát ismeretleσ eseté ábra Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 61. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 6. oldal 7-5. fejezet A populáció variacia becslése Kulcsfogalmak Ebbe a fejezetbe módszereket mutatuk be a (1) kofidecia itervallum meghatározására a populáció szórására és variaciájára () a szükséges mita elemszám meghatározására. Bevezetjük a χ -égyzet (khí égyzet, chisquare) eloszlást, ami a kofidecia itervallum meghatározásához kell σill.σ eseté. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 63. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 64. oldal Feltételek Khí-égyzet eloszlás 1. A mita legye egyszerő véletle.. A populációak ormális eloszlásúak kell leie (em elég, hogy a mita agy legye). ahol χ = ( 1) s σ 7-7. képlet = mita elemszám s = mita variacia σ = populáció variacia Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 65. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 66. oldal
12 A khi-égyzet statisztika tulajdoságai 1. A khi-égyzet eloszlás em szimmetrikus, elletétbe a ormál és a Studet eloszlásssal. A szabadsági fokok számáak övekedésével egyre szimmetrikusabb lesz. Khi-égyzet táblázat 7-8. ábra Khi-égyzet eloszlás 7-9. ábra Khi-égyzet eloszlás df = 10 és df = 0 Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 67. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 68. oldal A khi-égyzet statisztika tulajdoságai- folyt. A khi-égyzet eloszlás értékei em lehetek egatív számok. 3. A khi-égyzet eloszlás külöbözik mide szabadsági fokra, amely df = 1 ebbe a fejezetbe. A szabadsági fokok övelésével megközelíti a ormális eloszlást. Példa: Határozzuk meg χ kritikus értékeit, amelyekhez midkét farokba 0.05 terület tartozik. Legye a mita elemszáma 10, és a szabadsági fokok száma 10 1=9. α = 0.05 α/ = α/ = Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 69. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 70. oldal A khi-égyzet statisztika kritikus értékei A variacia becslései A mita variacia s a legjobb potbecslése a populáció variaciájáak σ ábra Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 71. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 7. oldal
13 Kofidecia itervallum (vagy itervallum becslés) a populáció variaciára σ ( 1)s ( 1)s < σ < χ χ R L Jobb-farok kritikus érték Kofidecia itervallum a σ -ra ( 1)s ( 1)s < σ < χ R χ Bal-farok kritikus érték Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 73. oldal L A σ vagy σ re voatkozó kofidecia itervallum kostruálása 1. Elleırizzük, hogy a feltételek feállak-e.. 1 szabadsági fok eseté a táblázatból keressük meg a kritikus értékeket χ R és χ L, amely a kívát kofidecia szithez tartozik. 3. Az alábbi képlettel határozzuk meg a kofidecia itervallumot: ( 1)s < σ < χ R ( 1)s χ L 4. σ kofidecia itervalluma ugyaez, csak gyököt kell voi. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 74. oldal Példa: A testhımérsékletes példába keressük meg a 95%- os kofidecia itervallumot σ-ra. A mita elemszám meghatározása = 106 x = o s = 0.34 o α = 0.05 α / = α / = χ R = , χ L = 74. (106 1)(0.34) < σ < (106 1)(0.34) < σ < < σ < %-ba bizoyosak vagyuk, hogy a 0.30 C és 0.40 C itervallum tartalmazza a σ igazi értékét. 95%-os biztosággal állíthatjuk, hogy az egészséges emberek testhımérsékletéek szórása 0.30 C és 0.40 C között va. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 75. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 76. oldal Példa: Szereték σ értékét meghatározi a testhımérsékletekre. 95% biztosággal szereték tudi, legfeljebb 10% hibával a σ igazi értékét. Mekkoráak kell leie a mitáak. Tegyük fel, hogy a populáció ormális eloszlású. A 7-. táblázat szerit, 95% kofideciával 10% hiba 191-es mitához tartozik. Összefoglalás Ebbe a fejezetbe megvitattuk: A khi-égyzet eloszlást. A táblázatát. A szórás és a variacia kofidecia itervallumait. A mita elemszám meghatározását. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 77. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 78. oldal
Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
RészletesebbenA statisztika részei. Példa:
STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenStatisztikai programcsomagok
Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenPÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László
PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenI. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN
I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenMinőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.
Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:
RészletesebbenAz új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása
Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató
RészletesebbenKontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.
Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenMérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető
11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i
RészletesebbenSTATISZTIKA. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% hektolitertömege 80 kg. u = = = = Tesztelhetjük, hogy a valósz. konfidencia intervallum nagyságát t is.
Egymiá u-róba STATISZTIKA 0. Előad adá Köéérék-öehaolíó eek Teelhejük, hogy a való íűégi váloók éréke megegyeik-e e egy kokré érékkel. Megválahajuk a kofidecia iervallum agyágá i. H 0 : µ µ 0 Feléel: el:
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
Részletesebbenképzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve
RészletesebbenHosszmérés finomtapintóval 2.
Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenKevei Péter. 2013. november 22.
Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR
védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció
RészletesebbenStatisztika I. 6. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 6. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE szorosan kapcsolódik a szóródás elemzéshez, elméleti
RészletesebbenA PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:
A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,
RészletesebbenAz iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai
Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa
RészletesebbenTerületi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében
Lukovics Miklós (szerk.) 204: Taulmáyok Legyel Imre professzor 60. születésapja tiszteletére. SZTE Gazdaságtudomáyi Kar, Szeged, 5-24. o. Területi kocetráció és bolyogás Legyel Imre publikációs tevékeységébe
RészletesebbenA HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS
A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása
RészletesebbenAZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI
AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg
RészletesebbenKAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn
A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója
Részletesebben10. évfolyam, harmadik epochafüzet
0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...
RészletesebbenVariancia-analízis (folytatás)
Variancia-analízis (folytatás) 6. elıadás (11-12. lecke) Szórás-stabilizáló transzformációk (folyt.), t-próbák 11. lecke További variancia-stabilizáló transzformációk Egy-mintás t-próba Szórás-kiegyenlítı
Részletesebben2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI
2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs
Részletesebben3.3 Fogaskerékhajtások
PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás
RészletesebbenIngatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1
Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés
RészletesebbenStatisztikai módszerek
Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenTisztelt Olvasó! Minden Kedves oovasónknak Szeretetteljes Karácsonyi Ünnepeket és Boldog Új Esztendõt Kívánunk!
Tisztelt Olvasó! Semmilye szél em jó aak, kiek ics célul kiszemelt kikötõje. Motaige Carpe diem! (Haszáld ki a jelet!...) Horatius Még el sem kezdõdött a XXI. század, s máris elsõ évéek végé, 2001 decemberébe
RészletesebbenFANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu
FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha
RészletesebbenA kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.
Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat
RészletesebbenVillamos gépek tantárgy tételei
Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot
RészletesebbenTENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel
TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenDefiníció. Definíció. 2. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása. 2-5. fejezet. A variabilitás mér számai 3.
. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása -1 Áttekintés - Gyakoriság eloszlások -3 Az adatok vizualizációja -4 A centrum mérıszámai -5 A szórás mérıszámai -6 A relatív elhelyezkedés
RészletesebbenTranziens káosz nyitott biliárdasztalokon
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom
Részletesebben13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenCsapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2
ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.9 Csapágyak üzem közbei vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 Gergely Mihály okl. gépészmérök, Acceleratio Bt. Budapest Tóbis Zsolt doktoradusz, Miskolci Egyetem Gépelemek
Részletesebbencsz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE
csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE WWW. CIVILSZEMLE.HU IV. ÉVFOLYAM 1. SZÁM csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 2 Szerkesztõbizottság/Editorial Board Bíró Edre, Belia Aa, Harsáyi
RészletesebbenJelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját.
Jele taulmáy tartalma em feltétleül tükrözi az Európai Uió hivatalos álláspotját. TARTALOMJEGYZÉK 1 GEOTERMIKUS HŐHASZ OSÍTÁS LEHETŐSÉGEI... 4 1.1 Direkt hévíz haszosítási javaslat... 4 1.2 Hőszivattyús
RészletesebbenIII. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
RészletesebbenKutatói pályára felkészítı modul
Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI
Részletesebbenkonfidencia-intervallum Logikai vektorok az R-ben 2012. március 14.
Valószínűség, pontbecslés, konfidencia-intervallum Logikai vektorok az R-ben 2012. március 14. Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra
RészletesebbenA logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai
Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai
Részletesebben3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése
3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenPélda: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
RészletesebbenÁltalánosítás. Többdimenziós normális eloszlás. Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak
Matematikai statisztika elıadás. éves elemzı szakosokak 0. elıadás Többdimeziós ormális eloszlás Kétdimeziós ormális eloszlás sőrőségfüggvéye ( ( x µ ) ρ ( y ν ) f x, y) ex + ( x µ )( y ν ) ) πσς ρ σ σς
RészletesebbenANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT
ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii
RészletesebbenSorbanállási modellek
VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai
RészletesebbenGEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET
ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(
RészletesebbenNagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise
Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu
Részletesebben2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1
Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel
RészletesebbenA települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1
A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa
Részletesebben1. Az absztrakt adattípus
. Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenSZENT ISTVÁN EGYETEM YBL MIKLÓS ÉPÍTÉSTUDOMÁNYI KAR EUROCODE SEGÉDLETEK A MÉRETEZÉS ALAPJAI C. TÁRGYHOZ
SZENT ISTVÁN EGYETEM YBL MIKLÓS ÉPÍTÉSTUDOMÁNYI KAR EUROCODE SEGÉDLETEK A MÉRETEZÉS ALAPJAI C. TÁRGYHOZ A segédlet nem helyettesíti az építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezésére vonatkozó
RészletesebbenTETÔPONT. e ég e t t v é d e l
TETÔPONT m a g a z i A C r e a t o H u g a r y K f t. i d ô s z a ko s h í r m a g a z i j a 2 012. m á r c i u s A védelem, amely tűzbe születik A kerámia egób tetőcserépbe égetett védelemről az egób
RészletesebbenWalltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés
Walltherm redszer 5 év redszergaraciával Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Magyar termék WALLTHERM felületfûtés-hûtési redszer Egy fûtési- (hûtési) redszer kialakítása elôtt számtala
RészletesebbenFelhasználói kézikönyv
dyadock W10 computers.toshiba-europe.com Tartalom Bevezetés...13 Jellemzők...13 A doboz tartalma...14 Számítógépes követelméyek...14 Gyors ismertető...15 Összeszerelés és csatlakoztatás...20 A dyadock
RészletesebbenFüggetlen komponens analízis
Elektroiku verzió. Az eredeti cikk az ElektroNET (ISSN: 9-705X) 00 évf. 3 zám, 0 oldalá jelet meg. Függetle kompoe aalízi A függetle kompoe aalízi (Idepedet Compoet Aalyi, ICA) egy vizoylag új jelfeldolgozái
RészletesebbenMexikó Általános Tájékoztató
Mexikó Általáos Tájékoztató Mexikói Egyesült Államok Államforma: szövetségi köztársaság Határai: észako az USA, yugato a Csedes Óceá, Kelete a Karib teger, déle Belize és Guatemala. Terület 1.972 547 égyzetkilométer
RészletesebbenUJJLENYOMATOK FELISMERÉSE
Babeş Bolyai Tudomáyegyetem Matematia Iformatia ar Iformatia sza UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Uleyomatépe feldolgozása, osztályozás euroális hálóal, azoosítási célú összehasolítás Vezetőtaár: Dr. Soós Aa
Részletesebbenm & w = száraz _ szilárd nedvesség m = nedvesség szilárd _ száraz SZÁRÍTÁS I. A nedves (szárítandó) anyag:
SZÁRÍTÁS Szárításo azt a űveletet értjük, ely sorá valailye edves ilárd ayag tartalát csökketjük, vagy eltávolítjuk elárologtatás vagy kigőzölögtetés által. Esetükbe a árítadó ayag ecsés (darabos), a legtöbbör
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenHŐTAN Oktatási segédanyag
Eergeikai Géek és Redszerek aszék HŐAN Okaási segédayag Kézira Szerkeszee: dr. Zsebik Albi Faluskai Norber Budaes, 003. jauár Hoa_.do.do Eergeikai Géek és Redszerek aszék aralojegyzék. Alafogalak.....
RészletesebbenVirág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz
RészletesebbenCIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1
csz12 elm filosz.qxd 2007. 06. 13. 14:53 Page 111 CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 Beszedics Otília Bevezetõ A 2003. augusztus 1. és 2007. február 28. közötti idõszakba a GPS
RészletesebbenAzonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága
Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenDr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások
Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Bevezetés A magas mérési szintű változók adataiból számolhatunk átlagot, szórást. Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott paramétereknek
Részletesebbenbiometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat
Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke
RészletesebbenA pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata
6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az
RészletesebbenFOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor
FLYADÉKKRISTÁLY-TLVÍZIÓK Éber Nádor A 21. SZÁZAD KÉPRNYÔI MTA SZFKI, Budapest A szerezetü és tulajdoságai alapjá a folyadéo és a szilárd ayago özött sajátos átmeetet épezô folyadéristályo felfedezésü (1888)
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
RészletesebbenFELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz
FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33
Részletesebben2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;
Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:
RészletesebbenGAZDASÁGI STATISZTIKA
GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenFAIPARI ALAPISMERETEK
Faipari alapismeretek középszit 0812 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. október 17. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók
RészletesebbenCsődvalószínűségek becslése a biztosításban
Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenSzámítógépi képelemzés
Számítógépi képelemzés Elıadás vázlat Szerzık: Dr. Gácsi Zoltán, egyetemi tanár Dr. Barkóczy Péter, egyetemi docens Lektor: Igaz Antal, okl. gépészmérnök a Carl Zeiss technika kft. Ügyvezetı igazgatója
RészletesebbenKidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből
Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Részletesebben