Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből"

Átírás

1 Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek. 1. Nyuszika répatorta-gyára agyszerűe üzemel, viszot a piaco megjelet egy maufaktúra, amely kézműves répatortákat árusít, amelyek állításuk szerit sokkal fiomabbak Nyuszika tortáiál. Ezért Nyuszika közvéleméy-kutatást végez. Az utcá sétáló állatoktól megkérdezi, hogy ettek-e már az ő tortáiból, illetve, hogy ettek-e a kézműves tortákból, és kéri, hogy értékeljék ezeket -1-as skálá (1-as a legjobb). Nyuszika a kísérlet sorá em találkozott olyaal, aki midkét fajta tortából fogyasztott vola. A kapott potszámok alább olvashatók: Nyuszika tortája 78; 66; 75; 85; 73; 59 Kézműves torta 91; 83; 71 Nyuszika azt állítja, hogy ics külöbség a saját tortája és a kézműves torta fiomságába. a) Fogalmazzuk meg, hogy milye ullhipotézist kívá Nyuszika vizsgáli! A ullhipotézisek midig az eloszlás(ok) valamilye paraméterére kell voatkozia. Itt két eloszlásról beszélhetük, Nyuszika tortáira adott potszámok eloszlásáról, illetve a kézműves tortákra adott potszámok eloszlásáról. Mivel a ormális eloszlás korátsem egyértelmű (lásd f) kérdés), így ikább a mediáok egyelőségét érdemes ézi. e e H : 1 e e Ahol 1 Nyuszika tortáira adott potszámok mediája, pedig a kézműves tortákra adott potszámok mediája. Természetese a sokaságok mediájáról va szó. A gyakorlatba a javítás sorá maximális pottal fogadtam el, ha valaki magyarázat élkül csak a ullhipotézist írta le. Ezt legikább azért tettem, mert jellemzőe kevés potok születtek a ZHba. Szeritem egyébkét elvárható lee a magyarázó rész is. Ha valaki a mediá helyett várható értéket írt, 3 potot kapott a 4-ből. b) Végezzük el az elemzést kismitás módszerrel! Ragokat kell redeli a potszámokhoz, kapcsolt ragok icseek. A kézműves torták kapják a 9; 7; 3-as ragszámokat, Nyuszika tortái pedig a 8; 6; 5; 4; ; 1-es ragokat (a legagyobb potszámhoz redeltem a legagyobb ragot, természetese fordítva is lehet). Ha a ullhipotézis igaz, akkor a ragok teljese véletleszerűe oszlaak meg a két csoport között. Ez az előbbi modat em a ullhipotézis, tehát em jó válasz az a) kérdésre! 9 9! Ha ez igaz, akkor összese 84 külöböző, azoos valószíűségű kombiáció 3 6!3! lehetséges, így egy adott kombiáció valószíűsége 1,

2 Ahhoz, hogy a ullhipotézist elutasíthassuk, az kell, hogy a ragszám-összegek a legszélsőségesebb 5%-ba esseek. Itt most a kézműves torták ragszámait ézem, mert így kevesebb számot kell ézi.,5 4,, azaz ha a legszélsőségesebb - kombiációál utasítom el a ullhipotézist,,119 akkor az α valamivel 5% alatt lesz, ha a legszélsőségesebb 3-3 kombiációál utasítom el, akkor viszot már felette. Nézzük meg, hogy melyek a legszélsőségesebb kombiációk! Legagyobb ragszám-összegek: 9; 8; 7-él 4, 9; 8; 6-ál 3, 9; 8; 5-él és 9; 7; 6-ál. Legkisebb ragszám-összegek: 1; ; 3-ál 6, 1; ; 4-él 7, 1; ; 5-él és 1; 3; 4-él 8. Így tehát vagy 6, 7, 3 és 4-es ragszám-összeg eseté utasítom el a ullhipotézist, ekkor 4 8,48, vagy 6, 7, 8,, 3 és 4-esél, ekkor, A példába viszot a ragszám-összeg 19, tehát a ullhipotézist mideképp el kell fogadi. Nyilvá em vártam el, hogy a ZHba a megoldást ilye részletességgel fejtsük ki. Azaz az adatok em modaak ellet aak, hogy a két tortafajta egyformá fiom. Itt em vettem a szakmai választ agyo szigorúa, megitcsak azért, mert kevés pot jött össze a többi feladatból. Ezzel a módszerrel em kapuk p-értéket, de ics is rá szükség. Ahhoz, hogy p-értéket kapjuk, az kell, hogy leszámoljuk az összes olya kombiációt, ahol a ragszám-összeg 19, vagy eél szélsőségesebb. Ez ige hosszadalmas feladat, így ezt sekiek sem javasolám. c) Végezzük el az elemzést agymitás módszerrel! A agymitás módszer eseté a ragszám-összeget ormális eloszlással közelítjük. A ragszám-összeg várható értéke, és variaciája szerepelt a képletgyűjteméybe. Itt is a kézműves tortákra írom fel a megoldást, de természetese lehete Nyuszika tortáira is. Várható érték: N 1 31 E W 1 15 Variacia: 1 N Var W z 1,33 15 Az, 5 -höz tartozó z-kritikus érték 1, 96, így a ullhipotézist elfogadjuk. A d) kérdéshez szükség lesz p-értékre is, így azt is leolvashatjuk. 1,33-hoz a táblázatból,848 olvasható le, ez a tőle balra eső terület, a szélsőségesebb értékekhez tartozó terület 1,848 =,15. Mivel kétoldali próbáról va szó, így a p-érték eek a duplája, p,34, 5, azaz a ullhipotézist ez alapjá is elfogadjuk. Ez alapjá em utasíthatjuk el azt, hogy a torták fiomsága azoos. Ugyaaz él, mit amit a b) kérdésél leírtam a szakmai válasszal kapcsolatba. d) Elleőrizzük, hogy megalapozott volt-e a agymitás módszer haszálata! 1 N Akkor megalapozott, ha a p-érték (amit a agymitás módszerből kapuk) és N 1 N 1 közé esik. Ezek itt,1 és,9. Mivel a p, 34 ezek közé esik, így megalapozott volt a agymitás módszer haszálata.

3 e) Meyibe lee iformatívabb, ha Nyuszika olya állatokat kérdezett vola meg, akik midkét fajta tortából fogyasztottak? Miért? Ebbe az esetbe páros próbát lehete végezi, ami eseté az egyéek közötti igadozás em befolyásolja a próbastatisztikát, így megbízhatóbb (erősebb) következtetésük lehet. A kulcsszó a páros próba. Természetese ezzel ekvivales, más megfogalmazást is elfogadtam. f) Haszálhaták-e itt paraméteres próbát? Miért? A paraméteres próbához az kell, hogy az adatok ormális eloszlásból származzaak. Ha egy adat potozással jö létre, akkor arra első sorba úgy tekitük, hogy az sorredi skálá értelmezett, ami eseté em is merül fel a ormális eloszlás, azaz em végezhetük paraméteres próbát. Alapvetőe ezt a megoldást fogadtam el, ezzel az idoklással. Azoba ilye sok kategória eseté (-1), már ige jól közelíthető ormális eloszlással a sorredi skálá mért valószíűségi változó, így akár végezhetük is paraméteres próbát. Ha valaki ezt téylegese így megidokolta, azaz em csak ayit említett meg, hogy az adatok ormális eloszlásból származak (ami ugye pot, hogy em jellemző a potozással keletkezett adatokra), az is megkapta a maximális potot.. A Kisegér és Nagyegér a híreket olvassa az újságba. Azt írják, hogy az Egérkirály vizsgáli kívája, hogy az alkohol fogyasztása hatással va-e arra, hogy az alattvalói meyire köye szagolják ki a sajtot. Ehhez kísérletet végezek. Egy darab sajtot rejteek el a kísérleti területe, majd egyes egerekkel alkoholt itatak, egyesekkel pedig em, és vizsgálják, hogy 1 perce belül megtalálják-e a sajtot vagy sem. Az eredméyeket a kísérlet elvégzése utá x-es táblázatba gyűjtik, ez látható alább: megtalálta a sajtot em találta meg a sajtot alkoholt ivott 5 em ivott alkoholt a) Kisegér szerit itt a sorösszeg rögzített, Nagyegér szerit itt az oszlopösszeg rögzített. Melyikükek va igaza? Miért? Kisegérek va igaza, mert a sorösszeg rögzített. Ez a x-es táblázat cliical trial-típusú esete. A kísérlet sorá meghatározzák, hogy melyik egér fogyaszt alkoholt, és melyik em. b) Hogya kellett vola elvégezi a kísérletet, hogy a másik egérek legye igaza? Meyire reális ez az elképzelés? Ahhoz, hogy a másik egérek legye igaza, az kell, hogy az oszlopösszeg rögzített legye, a sorösszeg pedig em. Ez egy case-cotrol típusú vizsgálatot ada ilyekor. Ehhez az kell, hogy az adatokat utólagosa elemezzük. Egy lehetséges példa, hogy az egerekek hagyják, hogy ők dötsék el, hogy iszak-e alkoholt vagy sem, majd megkerestetik velük a sajtot. Az eredméyeket dokumetálják. Majd eze dokumetumok közül kiválasztaak valaháyat (fix számút), ahol az egér megtalálta a sajtot, és kiválasztaak megit csak fix számút, ahol em. Ezutá csak ezeket az adatokat elemzik. Ez yilvá em hatékoy, em reális elképzelés. Nem jó az a válasz, hogy mide egér maga döti el, hogy iszik-e alkoholt, majd vizsgálják az összes egérre, hogy megtalálta-e a sajtot vagy sem. Ugyais ilyekor csak a teljes összeg rögzített, az oszlopösszegek em. Mellesleg ez sokkal reálisabb elképzelés. Más, kreatív választ is elfogadtam, ha teljesült az, hogy az oszlopösszeg rögzített. Ezek még kevésbé reális elképzelések voltak.

4 c) Milye ullhipotézis írja le azt, amire az Egérkirály kívácsi? H : 1 Ahol 1 aak a valószíűsége, hogy az alkoholt fogyasztó egér megtalálja a sajtot, aak a valószíűsége, hogy az alkoholt em fogyasztó egér megtalálja a sajtot. Szeritem itt is elvárható lee, hogy a megoldásba bee legye a jelölések értelmezése, de em votam le most potot emiatt. d) Hogy dötük a ullhipotézisről? Mit modhatuk az Egérkirályak? Ezt többféle módo lehet megoldai. Haszálhatuk z-próbát, és χ -próbát is. Haszálhatuk folytoossági korrekciót. A z-próba eseté Wald, vagy score módszert kell haszáluk. Nyilvá akármelyik megoldás jó, és elég csak egyet elvégezi ˆ1,53, ˆ, Wald módszerrel:,53,7 z 1,93,531,53,71, Ez beleesik az, 5 -hoz tartozó 1, 96 itervallumba, tehát a ullhipotézist elfogadjuk. score módszerrel: Ha a ullhipotézis igaz, akkor a valószíűség a margiálisokból számítható: 5 33 ˆ, ,53,7 z 1,88 1 1,61, Ez beleesik az, 5 -hoz tartozó 1, 96 itervallumba, tehát a ullhipotézist elfogadjuk. χ -próbával, observed/expected táblázattal Ha a ullhipotézis igaz, akkor midkét sorba ˆ, 6 a valószíűsége az 1. oszlopba kerülések. Így a várt (expected) értékek táblázata így éz ki: 47,6 9,14 47,38 17, 86 46,6 8,5 46,38 17, 48 Így a próbastatisztika: 5 9,14 17, , ,48 9,14 17,86 8,5 17,48 17,14 17,14,7,7,588,96,74 1,148 3,4 9,14 17,86 8,5 17,48 Ez egy 1 szabadsági fokú χ -eloszlású valószíűségi változó. Aak elleére, hogy az eredeti ullhipotézis kétoldali próbát kívá, itt a égyzetre emelés miatt csak az eél agyobb értékek tekitedőek eél szélsőségesebbek (ugyaúgy, mit az ANOVA-ál), tehát felső kritikus értéket kell ézi. A táblázat alapjá a kritikus érték 3,841, a próbastatisztika eél kisebb, azaz a ullhipotézist elfogadjuk. Nem votam le potot akkor, ha valaki itt kétoldali kritikust ézett, azaz gyakorlatilag,5-ös szite dolgozott. A táblázatból em olvasható ki a p-érték, statisztikai szoftverrel megaphatjuk: p =,65

5 A ullhipotézist midegyik esetbe elfogadtuk, azaz az adatok em modaak ellet aak, hogy az alkohollal és alkohol élkül azoos valószíűséggel találják meg az egerek a sajtot. Itt a ullhipotézis em megfelelő megfogalmazása eseté levotam 1 potot. Például helytele megfogalmazás, hogy ez alapjá azoos valószíűséggel találják meg a sajtot az alkoholt ivó és em ivó egerek. (Vagy bármi más, amiből em látszik egyértelműe, hogy a ullhipotézis elfogadása em bizoyító erejű.) 3. A Bölcs Bagoly a Wald és score módszerekről mesél a tauli vágyó fiatal állatokak. A kicsik viszot em figyeltek oda, így em értették meg az összefüggéseket, így kérdéseik támadtak. Azoba a Bölcs Bagoly appal alszik, így ő em tud válaszoli a kérdésekre. Válaszoljuk mi a kérdésekre! a) Milye kismitás módszerek eseté va értelme Wald és score módszerről beszéli? A Wald és score módszerek úgy merülek fel, hogy amikor a biomiális eloszlást ormális eloszlással közelítjük, a evezőbe, a variacia kifejezésébe megjeleik az ismeretle valószíűség, és ezt kell valamivel helyettesítei. Eek következtébe SEMMILYEN kismitás módszerél ics értelme eze módszerekről beszéli, hisze ott ez a probléma em merül fel. b) Mit helyettesítük mivel, ha a Wald módszert alkalmazzuk? A valószíűség valódi értékét (π) a becsült értékkel (ˆ ) helyettesítjük. c) Mit helyettesítük mivel, ha a score módszert alkalmazzuk? A valószíűség valódi értékét (π) a ullhipotézis szeriti feltételezett értékkel ( ) helyettesítjük. Alapvetőe elvárható lett vola, hogy leírjuk azt is, hogy miért, meg hol kell ezt a helyettesítést meglépi, de ezek élkül is megadtam a maximális potot. A. feladat d) részébe részletese látható, hogy potosa hogya kell ezeket a módszereket alkalmazi. d) Haszálhatuk-e folytoossági korrekciót, ha a Wald, illetve a score módszert alkalmazzuk? A Wald és score módszerek haszálata em befolyásolja a folytoossági korrekció haszálhatóságát, illetve azo agymitás módszerek eseté, ahol felmerül a Wald és score módszerek alkalmazásáak szükségessége, ott lehetséges folytoossági korrekciót alkalmazi. Tehát, ige, haszálhatjuk midkét esetbe. 4. Az Országos Egyszarvú Taács kívácsi arra, hogy va-e összefüggés a között, hogy az egyszarvúk söréye szivárváyszíbe tüdököl-e, illetve hogy a patájuk arayszíbe csillámlik-e, miközbe vágtázak. Ezért kérdőíveket küldtek ki egyszarvúak, amelybe rákérdeztek ezekre. Összese 11 válasz érkezett, ezek eredméyei az alábbi x-es táblázatba szerepelek: csillámlik? szivárváyszíbe tüdököl? ige em ige em 7 34 a) Milye típusú x-es táblázat ez? (sorösszeg / oszlopösszeg / teljes összeg rögzített, páros vagy kétmitás) Miért? A táblázat páros mitát tartalmaz, és a teljes összeg rögzített, mert csak ayit tudtuk, hogy háy egyszarvú küldte meg a válaszát, és ők összetartozó két kérdésre adták meg a választ.

6 Nem jó megoldás az, hogy sem az oszlop- sem a sorösszeg em rögzített, ugyais ilye típusúból kétféle táblázat va, ahol a teljes összeg rögzített (ez), illetve az, ahol a teljes összeg sem rögzített. Utóbbi táblázat-típust másképpe kell kiértékeli. b) Milye ullhipotézist fogalmazhat meg az OET? Az ilye típusú táblázatokál kétféle szakmai kérdést lehet feltei, és eze múlik a kiértékelés módja. Mideképpe meg kell jegyezi azt, hogy e kettő közül melyik a helyes, azt csak a szakmai kérdés határozza meg, em a kísérlet elvégzéséek módja (ugyais az ugyaaz midkét esetbe). A kétféle kérdés, amit itt megfogalmazhatuk a függetleség, illetve a szimmetria. A függetleség azt jeleti, hogy egy kombiáció valószíűsége megegyezik a margiális valószíűségek szorzatával. A szimmetria azt jeleti, hogy az 1. kérdésre adott egyik válasz valószíűsége megegyezik a másik kérdésre adott valamelyik válasz valószíűségével. (Ez NEM jeleti azt, hogy bármelyik kérdésre adott két válasz valószíűsége megegyezik, azaz 5%.) A feladat szövege alapjá az OET arra volt kívácsi, hogy va-e összefüggés a két tulajdoság között, azaz itt függetleségvizsgálatot kell végezi. Eek ullhipotézise: H : ij i j Ahol ij aak a valószíűsége, hogy egy egyszarvú 1. kérdésre az i. és a. kérdésre a j. választ adja. i aak a valószíűsége, hogy egy egyszarvú az 1. kérdésre az i. választ adja. aak a valószíűsége, hogy egy egyszarvú a. kérdésre a j. választ adja. j A magyarázat szükségességére voatkozó megjegyzés itt is érvéybe va. c) Milye statisztikai próbát kell végezi? (χ vagy McNemar?) A függetleségvizsgálatot χ -próbával kell végezi. A szimmetria vizsgálatát a kérdésből magától értetődő módo McNemar-próbával kellee végezi. d) Végezzük el a próbát! Milye következtetésre juthat az OET ez alapjá? Először a margiálisokból kiszámítjuk a következő valószíűségek becslését: 34 7 ˆ1,545, ˆ 1,545, ˆ 1,455, ˆ 1,455, Ezek alapjá elkészíthetjük a várt (expected) értékek táblázatát:,455, ,78,455, ,,545, ,,455, , 78 Így a próbastatisztika: 34 7, , 7 33, 34 7,78 7,78 3, 33, 7,78 38,69 38,69 38,69 38,69 1,393 1,666 1,165 1,393 5,617 7,78 3, 33, 7,78 Ugyaazo megfotolások miatt, mit a. feladatál, ez is 1 szabadsági fokú χ -eloszlású valószíűségi változó, és a kritikus érték 3,841. Eél a próbastatisztika agyobb, így a ullhipotézist elutasítjuk.

7 Ahogy a. feladatál, itt sem votam le potot akkor, ha valaki em vette észre, hogy csak felső kritikus va. A p-érték csak statisztikai szoftverrel számítható: p =,18. Ezek alapjá va összefüggés a két tulajdoság között. A ullhipotézis elutasítása bizoyító erejű. Tehát itt az helytele megfogalmazás, hogy az adatok alapjá em tudjuk bizoyítai a függetleséget. Ha valaki McNemar-próbát végzett itt, akkor az erre a feladatrészre járó 8 potból maximum 4-et szerezhetett meg. Azt em tekitettem külö hibáak, így em is votam le érte potot, hogy a McNemar alapjá a függetleségre következtetett. Mide statisztikai próbát α =,5-ös szite kell elvégezi. Képletgyűjteméy: 1 Wilcoxo-Ma-Whitey: N 1 E W H ; Var W H Var W H R Wilcoxo matched pairs: E W H ; k Biomiális eloszlás: k p k 1 k Ek ; Var k 1 N (ha ics kapcsolt rag) O χ i Ei i -próba x táblázat eseté (O tapasztalt; E várt): Ei A χ -próbáak ez a formája olya szempotból jó, hogy a legáltaláosabb, és relatíve köye megjegyezhető. b c McNemar: z b c

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8. 6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet. 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudomáyegyetem Természettudomáyi és Iformatikai Kar horvath@if.u-szeged.hu. Mohó algoritmusok A mohó stratégia elemi 1. Fogalmazzuk meg az optimalizációs feladatot

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE WWW. CIVILSZEMLE.HU IV. ÉVFOLYAM 1. SZÁM csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 2 Szerkesztõbizottság/Editorial Board Bíró Edre, Belia Aa, Harsáyi

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben