Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2."

Átírás

1 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs december 2.

2 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések Általáosa Példa 2 Paraméteres próbák Kiidulási példa Várható érték tesztelése, ha a szórás ismert Várható érték tesztelése, ha a szórás ismeretle 3 Hipotézisek fajtái Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák 4 Nemparaméteres próbák Khi égyzet eloszlás Illeszkedés vizsgálat Homogeitás vizsgálat Függetleség vizsgálat

3 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Általáosa Példa Itervallumbecslések Egy érték helyett egy itervallumot aduk a paraméter becslésére. Az itervallumbecslés a hipotézisvizsgálat alapja.

4 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Általáosa Példa Itervallumbecslések Adott P θ, θ Θ eloszlás család. Adott egy X = (X 1, X 2,...,X ) függetle mita a P θ eloszlásból. Adott a paraméter egy függvéye ψ(θ). Defiíció A (T 1 (X), T 2 (X)) statisztika párral defiiált itervallum legalább 1 ε szitű kofidecia itervvalum a ψ(θ) paraméterre, ha P θ (T 1 (X) < ψ(θ) < T 2 (X)) 1 ε θ Θ, ahol ε > 0 kicsi szám. 1 ε eve kofideciaszit. Ha a P θ -k folytoos eloszások, akkor lehet potosa 1 ε szitű kofideciaitervallumról beszéli: P θ (T 1 (X) < ψ(θ) < T 2 (X)) = 1 ε θ Θ,

5 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Általáosa Példa Kofideciaitervallum jeletése Legye most ψ(θ) = θ, tehát a paraméterre kostruáluk egy 95% szitű kofideciaitervallumot: P θ (T 1 (X) < θ < T 2 (X)) = 0, 95 θ Θ, Vegyük agyo sok, modjuk M darab, elemű mitát. Midegyikhez készítsük el a (T 1 (x), T 2 (x)) itervallumot. Ez M darab itervallum. Fotos téy 95%-os kofideciaszit jeletése: az adatsorok 95%-ba (0, 95 M esetbe) θ (T 1 (x), T 2 (x)) viszot az adatsorok 5%-ba θ / (T 1 (x), T 2 (x)).

6 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Általáosa Példa Kofideciaitervallum Példa Adott egy 30 elemű mita N(m, 20) eloszlásból: 281, 308, 300, 285, 294, 272, 302, 301, 306, 297, 279, 286, 302, 316, 286, 296, 293, 291, 297, 301, 311, 293, 286, 286, 297, 305, 278, 300, 301, 300. Szerkesszük az ismeretle várható értékre 95% szitű kofideciaitervallumot.

7 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Általáosa Példa Kofideciaitervallum A ormális eloszlás várható értékére ismert szórás eseté Legye X 1,...,X N(m, σ 0 ) függetle mita. σ 0 ismert, m ismeretle. Az ismeretle várható értékre szereték 1 ε szitű kofideciaitervallumot szerkesztei. Tudjuk, hogy X torzítatla, kozisztes becslése a várható értékek, m-ek. Mivel a ormális eloszlás szimmetrikus a várható értékre, ezért az itervallumot ) (X r ε, X + r ε alakba keressük. Az 1 ε szit azt jeleti, hogy P m (X r ε < m < X + r ε ) = 1 ε. Alakítsjuk az eseméyt: P m (X ( r ε < m < X + r ε ) = P m ( r ε < X m < r ε ) = P rε m σ 0 < X m σ 0 < r ε ) σ0 = X m σ 0 = X 1 + +X m σ 0 = (X 1 + +X ) m σ0 N(0, 1) ( =Φ rε ) ( σ 0 Φ rε ) ( σ 0 = 2Φ rε ) σ 0 1 = 1 ε Φ ( r ε σ 0 ) = 1 ε 2. Így u ε/2 := Φ 1 ( 1 ε 2 1 ε szitű kofidecia itervallum: ). rε = u ε/2σ 0, tehát az ( ) X u ε/2σ 0, X + u ε/2σ 0

8 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Általáosa Példa Kofideciaitervallum Példa Adott egy 30 elemű mita N(m, 20) eloszlásból: 281, 308, 300, 285, 294, 272, 302, 301, 306, 297, 279, 286, 302, 316, 286, 296, 293, 291, 297, 301, 311, 293, 286, 286, 297, 305, 278, 300, 301, 300. Szerkesszük az ismeretle ( várható értékre 95% szitű ) kofideciaitervallumot. X u ε/2σ 0, X + u ε/2σ 0 = 30, ε = 0, 05, σ 0 = 20 X = 295, r ε = σ 0 Φ 1 ( 1 2) ε = Φ 1 (0, 975) 7, 16 Tehát: (x 30 r 0,05, x 30 + r 0,05 ) = (295 7, 16, , 16) = (287, 84, 302, 16). A kofideciaitervallum jeletése: a 30 hosszú adatsorok 95%-ába az igazi paraméter beleesik a kofideciaitervallumba, 5%-ába pedig em.

9 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések Általáosa Példa 2 Paraméteres próbák Kiidulási példa Várható érték tesztelése, ha a szórás ismert Várható érték tesztelése, ha a szórás ismeretle 3 Hipotézisek fajtái Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák 4 Nemparaméteres próbák Khi égyzet eloszlás Illeszkedés vizsgálat Homogeitás vizsgálat Függetleség vizsgálat

10 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Feladat kitűzése, hipotézisek kostruálása Kiidulási példa Egy fejlesztő azt állítja, hogy új, eergiatakarékos, akkumulátoros fűyírót kostruált, amelyek 5 óráig (300 perc) képesek futi. Eek elleőrzésére 30 tesztet végeztük a futási idők hosszúságára (percbe): 281, 308, 300, 285, 294, 272, 302, 301, 306, 297, 279, 286, 302, 316, 286, 296, 293, 291, 297, 301, 311, 293, 286, 286, 297, 305, 278, 300, 301, 300. Azt feltételezzük, hogy a futási idők ormális eloszlásúak valamilye, ismeretle várható értékkel. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a szórás ismert, σ 0 = 20 perc. A fejlesztő állítása: a ormális eloszlás várható értéke 300. Azt a hipotézist szereték teszteli, hogy az igazi várható érték, m 300-zal egyelő: H 0 : m = m 0, ahol m 0 := 300. Ha H 0 em igaz, akkor az alteratív hipotézis (vagy más éve ellehipotézis) igaz: H 1 : m m 0 H 0 és H 1 lefedik az összes lehetséges esetet.

11 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Dötések, dötések értelmezése Kiidulási példa, kokréta A 30 elemes mita alapjá kell döteük, hogy H 0 igaz, vagy H 1. A dötésél a cél: Ha H 0 -t elutasítjuk, akkor aak jó oka legye. Következésképpe, aak va bizoyító ereje, ha H 0 -t elutasítjuk, és H 1 -et fogadjuk el.

12 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Kiidulási példa Legye X 1, X 2,...,X egy függetle mita N(m,σ 0 ) eloszlásból, ahol σ 0 ismert, és m ismeretle paraméter. Miket az m paraméter igazi értéke érdekel. Legye x 1, x 2,..., x a mita megvalósulása. Jelölés: X = (X 1, X 2,...,X ), x = (x 1, x 2,...,x ). Kiválasztuk egy m 0 értéket, és veszük egy elemű mita megvalósulását, x-et az N(m,σ 0 ) eloszlásból. Azt szereték eldötei az x megvalósulás alapjá, hogy az igazi paraméter, m amelyikből a mita geerálódott megegyezik-e m 0 -al az általuk adott értékkel.

13 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Dötések, dötések értelmezése Kiidulási példa, kokréta A 30 elemes mita alapjá kell döteük, hogy H 0 igaz, vagy H 1. A dötésél a cél: Ha H 0 -t elutasítjuk, akkor aak jó oka legye. Következésképpe, aak va bizoyító ereje, ha H 0 -t elutasítjuk, és H 1 -et fogadjuk el.

14 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Dötés Módszer: 1. lépés: Vegyük egy torzítatla, és kozisztes becslését az m paraméterek. Az x mitaátlag egy ilye becslés. 2. lépés: Kostruáljuk eköré egy 95% szitű kofideciaitervallumot: (x u 95%, x + u 95% ). Ha m 0 (x u 95%, x + u 95% ), akkor elfogadjuk H 0 -t 95%-os szite. Ha m 0 / (x u 95%, x + u 95% ), akkor mit dötsük? Tudjuk, hogy a kofideciaitervallum olya, hogy az x miták 95%-ba az igazi paraméter beleesik, és 5%-ba, pedig em. Ezért két opciók va m 0 /... értelmezésére: 1 Az x miták 5%-ba azért az igazi paraméter em esik bele a kof. itervallumba elképzelhető, hogy m 0 az igazi paraméter, de véletleül em esett bele. 2 m 0 em az igazi paraméter, következésképpe H 0 em igaz. Mivel 1. ige valószíűtle, csak az esetek 5%-ba fordul elő, ezért a 2. potot vesszük következtetések. Tehát: Ha m 0 / (x u 95%, x + u 95% ), akkor elvetjük H 0 -t 95%-os szite.

15 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Dötések értelmezése, dötési hibák Eze dötési eljárás alapjá, ha H 0 -t elutasítjuk, akkor aak jó oka va. Következésképpe, aak va bizoyító ereje, ha H 0 -t elutasítjuk, azaz H 1 -et fogadjuk el. Így ha valamit bizoyítai szereték, akkor azt az állítást H 1 -be kell tei. H 0 elfogadásáak ics bizoyító ereje. Lehet, hogy csak azért fogadtuk el H 0 -t, mert ics elég adat. Két hibázás lehet: 1 H 0 teljesül, de elvetjük, ez az elsőfajú hiba, eek valószíűsége ε = 1 (szigifikacia szit). 95%-os szigifikacia szit eseté 5%. 2 H 0 em teljesül, de elfogadjuk, ez a másodfajú hiba.

16 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Feladat kitűzése, hipotézisek kostruálása Kiidulási példa megoldása Egy fejlesztő azt állítja, hogy új, eergiatakarékos, akkumulátoros fűyírót kostruált, amelyek 5 óráig (300 perc) képesek futi. Eek elleőrzésére 30 tesztet végeztük a futási idők hosszúságára (percbe): 281, 308, 300, 285, 294, 272, 302, 301, 306, 297, 279, 286, 302, 316, 286, 296, 293, 291, 297, 301, 311, 293, 286, 286, 297, 305, 278, 300, 301, 300. Azt feltételezzük, hogy a futási idők ormális eloszlásúak valamilye, ismeretle várható értékkel. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a szórás ismert, σ 0 = 20 perc. A fejlesztő állítása: a ormális eloszlás várható értéke 300. Azt a hipotézist szereték teszteli, hogy az igazi várható érték, m 300-zal egyelő: H 0 : m = m 0, ahol m 0 := 300. Ha H 0 em igaz, akkor az alteratív hipotézis (vagy más éve ellehipotézis) igaz: H 1 : m m 0 H 0 és H 1 lefedik az összes lehetséges esetet.

17 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle A példa megoldása Hipotézisek H 0 : m = m 0, ahol m 0 := 300. H 1 : m m 0 Kofideciaitervallum szerkesztése. Tegyük fel, hogy H 0 teljesül, ekkor X 1,..., X eloszlása N(m 0,σ 0 ). A kofideciaszit 1 ε. = 30, σ 0 = 20, 1 ε = 0, 95 ε = 0, 05. Korábbról tudjuk, hogy a ormális eloszlásra szerkesztett kofideciaitervallum sugara r := σ 0 Φ 1 ( 1 ε 2 ) = Φ 1 (0, 975) 7, 16. A megadott adatok átlaga 295. Tehát a kofideciaitervallum: (x 30 r, x 30 + r) = (295 7, 16, , 16) = (287, 84, 302, 16). Eek eleme m 0 = 300, így H 0 -t em tudjuk elutasítai, azaz el kell fogadi a fejlesztő állítását.

18 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Formalizálva, teszt statisztikával Legye X 1, X 2,...,X egy függetle mita N(m, σ 0 ) eloszlásból, ahol σ 0 ismert, és m ismeretle paraméter. m 0 adott paraméter. A hipotézisek: H 0 : m = m 0 H 1 : m m 0 Ha H 0 teljesül, azaz X 1, X 2,..., X egy függetle mita N(m 0, σ 0 ) eloszlásból. Ekkor H 0 -t elfogadjuk ( 1 ε szite m 0 X σ 0 Φ ( 1 1 2) ε, X + σ 0 Φ ( ) ) 1 1 ε 2 Φ ( 1 1 2) ε < X m 0 σ 0 < Φ ( ) 1 1 ε 2 X m 0 σ 0 eve: teszt statisztika. Ha H 0 teljesül, akkor X m 0, tehát X m 0 σ 0 értéke 0-hoz közeli. Ha H 0 em teljesül, azaz m m 0, akkor X m m 0 tehát, X m 0 σ 0 értéke -ehz, vagy -hez tart, ha ő. Így egy fix -re akkor utasítjuk el H 0 -t, ha X m 0 σ 0 a teszt statisztika értéke túl agy abszolút értékbe. A határ pot Φ ( 1 1 2) ε.

19 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Várható érték tesztelése, ha a szórás ismeretle Legye X 1, X 2,...,X egy függetle mita N(m, σ) eloszlásból, ahol σ és m ismeretle paraméterek. Miket az m paraméter igazi értéke érdekel. Azt szereték teszteli, hogy m az megegyezik-e egy adott m 0 értékkel. A hipotézisek: H 0 : m = m 0 H 1 : m m 0 Ismert szórás eseté X m 0 σ 0 a teszt statisztika. Most a szórás ismeretle. Becsüljük a szórást, vegyük egy torzítatla, kozisztes becslését a szórásak: s = 1 1 i=1 (X i X ) 2. Tekitsük a X m 0 s statisztikát. Ez lesz a teszt statisztika. Ha H 0 teljesül, akkor X m 0, tehát X m 0 s értéke 0-hoz közeli. Ha H 0 em teljesül, azaz m m 0, akkor X m m 0, tehát X m 0 s értéke végtelehez tart, ha ő. Így egy fix -re akkor utasítjuk el H 0 -t, ha X m 0 s a teszt statisztika értéke túl agy abszolút értékbe. Mi az elutasítás határa, a kritikus érték?

20 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Várható érték tesztelése, ha a szórás ismeretle t eloszlások Tekitsük a X m 0 s statisztikát. Ez lesz a teszt statisztika. Mi az elutasítás határa, a kritikus érték? Állítás Ha X 1,..., X függetle, azoos, N(m 0, σ) eloszlású (m 0!), akkor X m 0 eloszlásáak eve: s t eloszlás 1 szabadsági fokkal. Mide t eloszlás szimmetrikus. Az eloszlásfüggvéyére, ) X T : x P( m 0 s < x =: T (x) függvéyre táblázat va. 1 ε szigifikacia szitre a kritikus érték, κ kiszámolása: P( κ < X m 0 s < κ) = 1 ε. Tehát a b.o. = T 1 (κ) T 1 ( κ) =, mivel a t eloszlás szimmetrikus, = T 1 (κ) (1 T 1 (κ)) = 2T 1 (κ) 1 = 1 ε. Átredezve: T 1 (κ) = 1 ε/2. κ = T 1 1 (1 ε/2). ÁBRA! Így H 0 -t elfogadjuk 1 ε szite κ < X m 0 s < κ

21 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Táblázat t eloszlások farok valószíűségére

22 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Példa 6 darab csapágy belső gyűrűjéek átmérőjét mérjük az A és a B mérőműszere. A következő mérési eredméyeket kapjuk: csapágy A műszer 6,0 10,1 8,0 13,0 12,0 9,2 B műszer 6,2 9,9 8,0 12,9 11,7 9,0 (Az adatokat ormális eloszlásból származóak feltételezzük.) Teszteljük, mutat-e a két műszere mért érték 95%-os szite szigifikás eltérést. A külöbségek: -0,2; 0,2; 0; 0,1; 0,3; 0,2. A feladat szerit az szigifikás, ha eltérek. Tehát az eltérést kell a H 1 -be raki. Tehát tegyük fel, hogy a külöbségek N(m, σ) eloszlásból vett függetle miták, ahol σ ismeretle. Így a hipotézisek: H 0 : m = 0 H 1 : m 0

23 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Példa (x 1 ;... ; x 6 ) = (-0,2; 0,2; 0; 0,1; 0,3; 0,2). A teszt statisztika t 5 = 6 X 6 0 (m 0 = 0) s 6 x 6 = 0, 1, s6 = 0, Tehát t 5 = 1, 369. Ezt kell összehasolítai a 95%-os szigifikacia szithez tartozó κ kritikus értékkel: H 0 -t elfogadjuk t 5 < κ. 95% szigifikacia szit eseté ε = 0, 05. Korábbi dia: a kritikus érték κ = T (1 ε/2) = T5 (0, 975). Így az 5 szabadságfokú t eloszlás 0,025 valószíűségű farkát keressük. A táblázatból T 1 5 (0, 975) = 2, 571. Mivel t 5 = 1, 369 < 2, 571 = κ, ezért em tudjuk elutasítai H 0 -t, azaz em tudjuk bizoyítai, hogy az A és a B gépek külöböző potossággal működéek.

24 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Táblázat t eloszlások farok valószíűségére

25 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Kiidulás σ ismert σ ismeretle Példa (x 1 ;... ; x 6 ) = (-0,2; 0,2; 0; 0,1; 0,3; 0,2). A teszt statisztika t 5 = 6 X 6 0 (m 0 = 0) s 6 x 6 = 0, 1, s6 = 0, Tehát t 5 = 1, 369. Ezt kell összehasolítai a 95%-os szigifikacia szithez tartozó κ kritikus értékkel: H 0 -t elfogadjuk t 5 < κ. 95% szigifikacia szit eseté ε = 0, 05. Korábbi dia: a kritikus érték T (1 ε/2) = T5 (0, 975). Így az 5 szabadságfokú t eloszlás 0,025 valószíűségű farkát keressük. A táblázatból T 1 5 (0, 975) = 2, 571. Mivel t 5 = 1, 369 < 2, 571 = κ, ezért em tudjuk elutasítai H 0 -t, azaz em tudjuk bizoyítai, hogy az A és a B gépek külöböző potossággal működéek.

26 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések Általáosa Példa 2 Paraméteres próbák Kiidulási példa Várható érték tesztelése, ha a szórás ismert Várható érték tesztelése, ha a szórás ismeretle 3 Hipotézisek fajtái Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák 4 Nemparaméteres próbák Khi égyzet eloszlás Illeszkedés vizsgálat Homogeitás vizsgálat Függetleség vizsgálat

27 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Egyoldali és kétoldali ellehipotézis 1. példa. 6 darab csapágy belső gyűrűjéek átmérőjét mérjük az A és a B mérőműszere. A következő mérési eredméyeket kapjuk: csapágy A műszer 6,0 10,1 8,0 13,0 12,0 9,2 B műszer 6,2 9,9 8,0 12,9 11,7 9,0 (Az adatokat ormális eloszlásból származóak feltételezzük.) Teszteljük, mutat-e a két műszere mért érték 95%-os szite szigifikás eltérést. 2. példa. Az alábbi két mita 5 autó fogyasztási adatait tartalmazza. Az első sorba a szerviz előtti, a második sorba a szerviz utái értékek találhatók. szerviz előtt 7,9 8,1 8,8 7,2 6,0 szerviz utá 7,5 7,5 8,1 7,2 5,7 Dötsük 95%-os szigifikacia szite, hogy a szerviz csökketette-e a fogyasztást.

28 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Kétoldali ellehipotézis 1. példa. 6 darab csapágy belső gyűrűjéek átmérőjét mérjük az A és a B mérőműszere. A következő mérési eredméyeket kapjuk: csapágy A műszer 6,0 10,1 8,0 13,0 12,0 9,2 B műszer 6,2 9,9 8,0 12,9 11,7 9,0 (Az adatokat ormális eloszlásból származóak feltételezzük.) Teszteljük, mutat-e a két műszere mért érték 95%-os szite szigifikás eltérést. Mérések külöbségéről feltételezzük, hogy N(m, σ) eloszlású, ahol m és σ ismeretleek. A hipotézisek: H 0 : m = 0 H 1 : m 0. κ κ Dötés: H 0 -t elfogadjuk t 5 < κ, azaz H 1 -t elfogadjuk κ < t 5 vagy t 5 < κ. kritikus elfogadás kritikus

29 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Egyoldali ellehipotézis 2. példa. Az alábbi két mita 5 autó fogyasztási adatait tartalmazza. Az első sorba a szerviz előtti, a második sorba a szerviz utái értékek találhatók. szerviz előtt 7,9 8,1 8,8 7,2 6,0 szerviz utá 7,5 7,5 8,1 7,2 5,7 Dötsük 95%-os szigifikacia szite, hogy a szerviz csökketette-e a fogyasztást. Mérések külöbségéről (utá előtt), -0,4-0,6-0,7 0-0,3 feltételezzük, hogy N(m, σ) eloszlású, ahol m és σ ismeretleek. A hipotézisek: H 0 : m 0 H 1 : m < 0. Szigifikás: a fogyasztás csökket. Dötés: H 0 -t elfogadjuk κ < t 4, kritikus azaz H 1 -t elfogadjuk t 4 < κ. κ elfogadás

30 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Egyoldali ellehipotézis A 2. példa megoldása Mivel a szórás ismeretle, t-próbát kell alkalmazi. A próbastatisztika értéke t 4 = 5 x 5 s 5 = 5 0, 4 = 3, 27. 0, 075 A 4 szabdságfokú t eloszlás 95%-os szigifikacia értékhez (= ε = 0, 05 farok valószíűséghez) tartozó kritikus értéke κ = 2, 132. dh Tehát t 4 = 3, 27 < 2, 132 = κ. Így elutasítjuk H 0 -t, azaz a szerviz javított a fogyasztáso. Figyeljük meg, hogy 97,5%-os szite is szigifikás a szerviz hatása, viszot 99%-os szite már em.

31 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Egyoldali ellehipotézis A 2. példa megoldása

32 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Egyoldali ellehipotézis A 2. példa megoldása Mivel a szórás ismeretle, t-próbát kell alkalmazi. A próbastatisztika értéke t 4 = 5 x 5 s 5 = 5 0, 4 = 3, 27. 0, 075 A 4 szabadságfokú t eloszlás 95%-os szigifikacia értékhez (= ε = 0, 05 farok valószíűséghez) tartozó kritikus értéke κ = 2, 132. κ kritikus elfogadás Tehát t 4 = 3, 27 < 2, 132 = κ. Így elutasítjuk H 0 -t, azaz a szerviz javított a fogyasztáso. Figyeljük meg, hogy 97,5%-os szite is szigifikás a szerviz hatása, viszot 99%-os szite már em.

33 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Egyoldali ellehipotézis A 2. példa megoldása, 97,5%, 99% szigifikacia szitek t 4 = 3, 27

34 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Egymitás és kétmitás próbák A példa. Az alábbi két mita 5 autó fogyasztási adatait tartalmazza. Az első sorba a szerviz előtti, a második sorba a szervíz utái értékek találhatók. szerviz előtt 7,9 8,1 8,8 7,2 6,0 szerviz utá 7,5 7,5 8,1 7,2 5,7 Dötsük 95%-os szigifikacia szite, hogy a szerviz csökketette-e a fogyasztást. B példa. Az alábbi két mita két külöböző gyáregységbe tapasztalt selejt-aráyra voatkozik (ezrelékbe). Állítható-e 95%-os szigifikacia szite, hogy az A gyáregység jobba dolgozott? A 11,9 12,1 12,8 12,2 12,5 11,9 12,5 11,8 12,4 12,9 B 12,1 12,0 12,9 12,2 12,7 12,6 12,6 12,8 12,0 13,1

35 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Egymitás próbák A példa. Az alábbi két mita 5 autó fogyasztási adatait tartalmazza. Az első sorba a szerviz előtti, a második sorba a szervíz utái értékek találhatók. szerviz előtt 7,9 8,1 8,8 7,2 6,0 szerviz utá 7,5 7,5 8,1 7,2 5,7 Dötsük 95%-os szigifikacia szite, hogy a szerviz csökketette-e a fogyasztást. Egymitás, hisze egy miták va a külöbségekre, -0,4-0,6-0,7 0-0,3 N(m, σ) eloszlásból.

36 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Kétmitás próbák B példa. Az alábbi két mita két külöböző gyáregységbe tapasztalt selejt-aráyra voatkozik (ezrelékbe). Állítható-e 95%-os szigifikacia szite, hogy az A gyáregység jobba dolgozott? A 11,9 12,1 12,8 12,2 12,5 11,9 12,5 11,8 12,4 12,9 B 12,1 12,0 12,9 12,2 12,7 12,6 12,6 12,8 12,0 13,1 Az első mita: X 1, X 2,..., X 1 az N(m 1,σ 1 ) eloszlásból. A második mita: Y 1, Y 2,..., Y 2 az N(m 2,σ 2 ) eloszlásból. m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretle paraméterek. Tegyük fel, hogy σ 1 = σ 2 és X i -k függetleek Y j -ktől. A hipotézisek kétoldali ellehipotézis eseté: H 0 : m 1 = m 2 H 1 : m 1 m 2 A hipotézisek egyoldali ellehipotézis eseté (ez kell a B-be): H 0 : m 1 m 2 H 1 : m 1 < m 2 (A-ba kevesebb a selejt)

37 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Kétmitás próbák Feltettük, hogy a két mita függetle és a szórásuk ugyaaz. A teszt statisztika X 1 Y 2 t = 1 2 ( ) ( 1 1)sX 2 + ( 2 1)sY Állítás Ha H 0 teljesül, azaz X i -k és Y j -k ugyaabból az N(m,σ) eloszlásból valók (m = m 1 = m 2 ), akkor t t eloszlású szabadsági fokkal.

38 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Kétmitás próbák, egy- és kétoldali ellehipotézissel t = q ( 1 1)s 2 X X 1 Y 2 + ( 2 1)s 2 Y r 1 2 ( ) Kétoldali ellehipotézis eseté: Ha H 0 teljesül (m 1 = m 2 ), akkor X 1 Y 2, tehát t értéke 0-hoz közeli. Ha H 0 em teljesül, azaz m 1 m 2, akkor X 1 Y 2 tehát, t értéke végtelehez tart, ha ő. Így egy fix -re akkor utasítjuk el H 0 -t, ha t a teszt statisztika értéke túl agy abszolút értékbe. Tehát: H 0 -t elfogadjuk t < κ Egyoldali ellehipotézis eseté: Ha H 0 teljesül (m 1 m 2 ), akkor X 1 Y 2, tehát t értéke > κ. Ha H 0 em teljesül, azaz m 1 < m 2, akkor X 1 Y 2 tehát, t értéke -hez tart, ha ő. Így egy fix -re akkor utasítjuk el H 0 -t, ha t a teszt statisztika értéke túl kicsi, azaz < κ. Tehát H 0 -t elfogadjuk κ < t

39 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Kétmitás próba egyoldali ellehipotézissel A B példa megoldása B példa. Az alábbi két mita két külöböző gyáregységbe tapasztalt selejt-aráyra voatkozik (ezrelékbe). Állítható-e 95%-os szigifikacia szite, hogy az A gyáregység jobba dolgozott? A 11,9 12,1 12,8 12,2 12,5 11,9 12,5 11,8 12,4 12,9 B 12,1 12,0 12,9 12,2 12,7 12,6 12,6 12,8 12,0 13,1 Az első mita: X 1, X 2,...,X 10 az N(m 1, σ 1 ) eloszlásból. A második mita: Y 1, Y 2,..., Y 10 az N(m 2, σ 2 ) eloszlásból. A hipotézisek: H 0 : m 1 m 2 H 1 : m 1 < m 2 (A-ba kevesebb a selejt) Kétmitás t próba kell. Feltehető-e, hogy a szórások egyezőek? Ugyais ez feltétele a t-próbáak. Erre F-próbát végzük, az jö ki, elfogadható, hogy a szórások megegyezek. t 18 = X 1 Y 2 (1 1)sX 2+( 2 1)sY ( ) = X 10 Y 10 9(s 2 X +s 2 Y ) 90 = 1, 13 A kritikus érték 95%-os szigifikacia szithez(= 0,05 elsőfajú hibavalószíűséghez) 18 szabadságfokhoz κ = 1, 734. Mivel κ = 1, 734 < t 18 = 1, 13, ezért H 0 -t em tudjuk elveti.

40 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Egyoldali ellehipotézis A 2. példa megoldása, 97,5%, 99% szigifikacia szitek

41 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák Kétmitás próbák egyoldali ellehipotézissel A B példa megoldása B példa. Az alábbi két mita két külöböző gyáregységbe tapasztalt selejt-aráyra voatkozik (ezrelékbe). Állítható-e 95%-os szigifikacia szite, hogy az A gyáregység jobba dolgozott? A 11,9 12,1 12,8 12,2 12,5 11,9 12,5 11,8 12,4 12,9 B 12,1 12,0 12,9 12,2 12,7 12,6 12,6 12,8 12,0 13,1 Az első mita: X 1, X 2,...,X 10 az N(m 1, σ 1 ) eloszlásból. A második mita: Y 1, Y 2,..., Y 10 az N(m 2, σ 2 ) eloszlásból. A hipotézisek: H 0 : m 1 m 2 H 1 : m 1 < m 2 (A-ba kevesebb a selejt) Kétmitás t próba kell. Feltehető-e, hogy a szórások egyezőek? Ugyais ez feltétele a t-próbáak. Erre F-próbát végzük, az jö ki, elfogadható, hogy a szórások megegyezek. t 18 = X 1 Y 2 (1 1)sX 2+( 2 1)sY ( ) = X 10 Y 10 9(s 2 X +s 2 Y ) 90 = 1, 13 A kritikus érték 95%-os szigifikacia szithez(= 0,05 elsőfajú hibavalószíűséghez) 18 szabadságfokhoz κ = 1, 734. Mivel κ = 1, 734 < t 18 = 1, 13, ezért H 0 -t em tudjuk elveti.

42 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések Általáosa Példa 2 Paraméteres próbák Kiidulási példa Várható érték tesztelése, ha a szórás ismert Várható érték tesztelése, ha a szórás ismeretle 3 Hipotézisek fajtái Egy- és kétoldali ellehipotézis Egymitás és kétmitás próbák 4 Nemparaméteres próbák Khi égyzet eloszlás Illeszkedés vizsgálat Homogeitás vizsgálat Függetleség vizsgálat

43 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Nemparaméteres próbák 3 fajta feladatot olduk meg: Illeszkedés vizsgálat: egy X 1,...,X mitát veszük egy eloszlásból, amely em ismert számukra. Igaz-e, hogy a mita egy általuk adott eloszlásból geerálódott? (Modjuk Expoeciális 2,3 paraméterrel.) Homogeitás vizsgálat: két miták va egy-egy eloszlásból: X 1,..., X és Y 1,..., Y m. Igaz-e, hogy a két eloszlás megegyezik? Függetleség vizsgálat: adott egy kétdimeziós mita (X 1, Y 1 ),...,(X, Y ) egy kétdimeziós véges értékű valószíűségi változóból. Igaz-e, hogy a margiálisok, X és Y függetleek?

44 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Khi égyzet eloszlás Adott egy véges diszkrét eloszlás p 1, p 2...,p r az {1, 2,...,r} értékeke. Adott egy X 1, X 2,... függetle mita ebből az eloszlásból. Mideek az alapja a következő: Tétel Legye N () i = #{j : 1 j, X j = i} = háyszor fordult elő az i érték az első kísérletbe. (Ugye r i=1 N() i =.) Ekkor ( ) r N () 2 i p i χ 2 r 1 p i i=1 amit. χ 2 k k szabadságfokú khi-égyzet eloszlás. χ 2 r 1 eloszlása megegyezik X X X 2 r 1 eloszlásával, ahol X 1, X 2,..., X r 1 függetle stadard ormális, N(0, 1), eloszlásúak.

45 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Khi égyzet eloszlás, táblázat

46 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Khi égyzet eloszlás Biom(; p i ), így EN () i = p, Var(N () ) i ) = p i (1 p i ).,..., N() r Poliomialis(; p 1, p 2...,p r ) N () ( i N () 1, N() 2 A tétel bizoyítása r = 2-re: Legye r = 2, azaz az eloszlásuk p 1 = p és p 2 = 1 p. Ekkor N () 1 p 2 p + N () 2 (1 p) 2 (1 p) összeget vizsgáljuk. Hozzuk közös evezőre, és haszáljuk, hogy N () 2 = N () (1 p) = N () 2 1 (1 p) p(1 p) = (1 p) N () 1 p 2+p N () 1 p 2 p(1 p) = ( ) 2 N () 1 p p(1 p) 1 : 2+p N () 1 p N () 2 1 +p) p(1 p) A de Moivre-Laplace tétel szerit (= cetrális-határeloszlás N tétel spec. esete): () 1 p X,, p(1 p) ahol X N(0, 1). Ezért a égyzet eloszlása X 2 = χ

47 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Illeszkedésvizsgálat Példa ε = 0, 05 elsőfajú hibavalószíűség mellet dötsük arról a hipotézisről, hogy az alábbi megfigyelés-sorozat szabályos kockával dobva adódott. értékek gyakoriságok H 0 : mide oldal valószíűsége 1 6 H 1 : em mide oldal valószíűsége 1 6

48 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Illeszkedésvizsgálat Adott egy r 2 pozitív egész. A háttérbe adott egy π = (π 1,π 2,...,π r ) eloszlás, amit mi em ismerük. Nevezzük ezt igazi eloszlásak. Ekkor veszük egy függetle mitát ebből az eloszlásból: X 1, X 2,..., X. Megaduk egy p = (p 1, p 2,..., p r ) eloszlást. Azt szereték teszteli, hogy az igazi eloszlás megegyezik-e az általuk adottal. Így a hipotézisek: H 0 : π = p H 1 : π p Tesztelés: a teszt statisztika χ 2 r 1 := r (N i p i ) 2 i=1 p i. Miért? Ha H 0 teljesül, akkor N i p i mide i-re. Ezért a számlálók 0-hoz közeliek, így χ 2 r 1 0-hoz közeli. Ha H 0 em teljesül, akkor valamelyik i-re N i π i p i, így (N i p i ) 2 p i tart -hez, tehát χ 2 r 1 tart -hez, ha Tehát fix -re: H 0 -t elfogadjuk χ 2 r 1 < κ.

49 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Illeszkedésvizsgálat Tehát fix -re: H 0 -t elfogadjuk χ 2 r 1 < κ. Potosabba: 1 ε szite elfogadjuk H 0 -t, ha κ-ra teljesül: P ( χ 2 r 1 < κ) = 1 ε. Ehhez szükség va χ 2 r 1 = r (N i p i ) 2 i=1 p i eloszlására, ha H 0 teljesül, azaz X 1,...,X a p 1,..., p r eloszlásból vett függetle mita. A feti tétel szerit, ha H 0 teljesül, azaz π = p, azaz X 1,...,X a p 1,...,p r eloszlásból vett függetle mita, akkor r (N i p i ) 2 i=1 p i aszimptotikusa χ 2 r 1 eloszlású. Így ahogy CHT-t alkalmazó közelítésekél, fix -re is tekitsük a r i=1 (N i p i ) 2 p i valváltozót χ 2 r 1 eloszlásúak.

50 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Illeszkedés vizsgálat, a példa megoldása ε = 0, 05 elsőfajú hibavalószíűség mellet dötsük arról a hipotézisről, hogy az alábbi megfigyelés-sorozat szabályos kockával dobva adódott. értékek gyakoriságok H 0 : mide oldal valószíűsége 1 6 (π 1,...,π 6 ) = ( 1 6,..., 1 6 ) H 1 : H 0 em teljesül (π 1,...,π 6 ) ( 1 6,..., 1 6 ) A teszt statisztika értéke χ 2 5 = χ2 6 1 = 6 i=1 (N i p i ) 2 p i = = 8, 72. Az 5 szabadságfokú χ 2 eloszláshoz és 0, 95 szigifikacia szithez tartozó kritikus érték κ = 11, 07. Mivel χ 2 5 < κ ezért em tudjuk elutasítai H 0-t, így a mita tekithető szabályos kockából származóak.

51 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Khi égyzet eloszlás, táblázat

52 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Illeszkedés vizsgálat, a példa megoldása ε = 0, 05 elsőfajú hibavalószíűség mellet dötsük arról a hipotézisről, hogy az alábbi megfigyelés-sorozat szabályos kockával dobva adódott. értékek gyakoriságok H 0 : mide oldal valószíűsége 1 6 (π 1,...,π 6 ) = ( 1 6,..., 1 6 ) H 1 : H 0 em teljesül (π 1,...,π 6 ) ( 1 6,..., 1 6 ) A teszt statisztika értéke χ 2 5 = χ2 6 1 = 6 i=1 (N i p i ) 2 p i = = 8, 72. Az 5 szabadságfokú χ 2 eloszláshoz és 0, 95 szigifikacia szithez tartozó kritikus érték κ = 11, 07. Mivel χ 2 5 < κ ezért em tudjuk elutasítai H 0-t, így a mita tekithető szabályos kockából származóak.

53 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Illeszkedés vizsgálat, másik példa Megoldás élkül Amikor az embereket megkérdezik, hogy mekkora a tömegük, gyakra modaak a valóságosál kisebb értékeket. Szereték eldötei az alábbi adathalmazról, hogy igazi mérésből származik, vagy az emberek megkérdezéséből yerték. Azt a téyt fogjuk haszáli, hogy mérés eseté az utolsó számjegyek eloszlásáak egyeletesek kell leie a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} halmazo. Dötsük 0, 95 szite arról a hipotézisről, hogy mérésből származak az adatok. utosló számjegy mérések száma

54 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Homogeitás vizsgálat, példa Két dobókockával dobva az alábbi gyakoriságokat figyeltük meg: értékek I. kocka II. kocka α = 0, 05 elsőfajú hibavalószíűség mellet dötsük arról, hogy tekithető-e a két eloszlás azoosak. H 0 : a két eloszlás azoos H 1 : a két eloszlás külöböző

55 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Homogeitás vizsgálat Adott két háttér eloszlás az {1, 2,...,r} halmazo: p = (p 1, p 2,...,p r ) és q = (q 1, q 2,..., q r ). Ezek em ismertek. A p eloszlásból veszük egy mitát: X 1, X 2,...,X A q eloszlásból veszük egy mitát: Y 1, Y 2,..., Y m H 0 : q = p H 1 : q p Legye N i = #{j : 1 j, X j = i} = kísérletből az i értékek száma az első mitába. Legye M i = #{j : 1 j, Y j = i} = kísérletből az i értékek száma az első mitába. ( ) 2 Ni r M i m A teszt statisztika T = m. (H 0 melletti eloszlása N i + M i i=1 ismert.) Ha H 0 teljesül, akkor mide j-re N j p j = p j és M j m mp j m = p j, tehát a számlálók 0-hoz közeliek, így az egész szumma 0-hoz közeli. Ha H 1 teljesül, akkor valamely j-re az egyik tört -hez tart. Így fix -re akkor fogadjuk el H 1 -t, ha T elég agy, κ < T.

56 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Homogeitás vizsgálat Állítás Ha X 1, X 2,...,X és Y 1, Y 2,...,Y m két függetle mita ugyaabból az eloszlásból az {1, 2,..., r} értékeke, akkor ( ) 2 Ni r M i m m χ 2 r 1, ha. N i + M i i=1 Fix eseté úgy vesszük, hogy m r i=1 χ 2 r 1. Tehát a dötés: H 0 -t 1 ε szigifikacia szite elfogadjuk m r i=1 Ni M i m 2 Ni M 2 i m N i +M i N i +M i < κ, ahol P(χ 2 r 1 < κ) = 1 ε. eloszlása

57 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Homogeitás vizsgálat, példa megoldása Két dobókockával dobva az alábbi gyakoriságokat figyeltük meg: értékek I. kocka II. kocka α = 0, 05 elsőfajú hibavalószíűség mellet dötsük arról, hogy tekithető-e a két eloszlás azoosak. H 0 : a két eloszlás azoos H 1 : a két eloszlás külöböző Ni M i m 2 χ 2 5 = m r i=1 N i +M i = 2, 2 0,95 szigifikacia szithez és 5 szabadsági fokhoz tartozó kritikus érték κ = 11, 07 Mivel χ 2 5 < κ, H 0-t em tudjuk elveti, tehát elfogadjuk, hogy a két dobókocka azoosak tekithető.

58 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Khi égyzet eloszlás, táblázat

59 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Homogeitás vizsgálat, példa megoldása Két dobókockával dobva az alábbi gyakoriságokat figyeltük meg: értékek I. kocka II. kocka α = 0, 05 elsőfajú hibavalószíűség mellet dötsük arról, hogy tekithető-e a két eloszlás azoosak. H 0 : a két eloszlás azoos H 1 : a két eloszlás külöböző Ni M i m 2 χ 2 5 = m r i=1 N i +M i = 2, 2 0,95 szigifikacia szithez és 5 szabadsági fokhoz tartozó kritikus érték κ = 11, 07 Mivel χ 2 5 < κ, H 0-t em tudjuk elveti, tehát elfogadjuk, hogy a két dobókocka azoosak tekithető.

60 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Függetleség vizsgálat, Példa Az alábbi három táblázat három a TV-be külöböző itezitással reklámozott fogkrém fogyasztására voatkozó adatokat tartalmaz a TV-ézés idejéek függvéyébe: Fogkrém fajtája A B C TV ézés hetete 1 óra reklám 5 perc reklám 0 perc reklám < 5 óra óra > 15 óra Va-e összefüggés a kedvelt fogkrém márkája és a TV ézés időtartama között? A cellákba az eladott meyiség áll az adott kategóriából. H 0 : a reklám időtartama és a TV ézés függetleek H 1 : va közöttük összefüggés

61 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Függetleség vizsgálat Adott egy kétdimeziós véges értékű valváltozó, (X, Y). X értékei {1, 2,...,r}, Y értékei {1, 2,...,s}. Teszteli szereték, hogy X függetle-e Y -tól. Ehhez veszük egy elemű mitát: (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 )...,(X, Y ). 1 2 j s sor 1 N 11 N 12 N 1j N 1s N 1 2 N 21 N 22 N 2j N 2s N 2. i N i1 N i2 N ij N is N i. r N r1 N r2 N rj N rs N r oszlop N 1 N 2 N j N s r s i=1 j=1 N ij =. A teszt statisztika: χ 2 (r 1)(s 1) = r s i=1 j=1 ( Nij N i N i N j ) 2 N j

62 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Függetleség vizsgálat A teszt statisztika: χ 2 (r 1)(s 1) = r s i=1 j=1 ( Nij N i N i N j ) N 2 j Ha H 0 teljesül, azaz X és Y függetleek, akkor P(X = i, Y = j) = P(X = i)p(y = j). Továbbá tudjuk, hogy ekkor N ij P(X = i, Y = j), N i P(X = i), és N j P(Y = j). Tehát a szummába felsorolt törtek 0-hoz tartaak. Így H 0 -t elfogadjuk, ha χ 2 (r 1)(s 1) 0-hoz közeli. Ha H 1 teljesül, akkor valamilye (i, j) párra N ij N i N j c 0, így -es szorzó miatt χ 2 (r 1)(s 1), ha. Fix -re, H 0 -t elfogadjuk, ha χ 2 (r 1)(s 1) elég kicsi, azaz ha < κ, valamilye kappára. χ 2 (r 1)(s 1)

63 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Függetleség vizsgálat χ 2 (r 1)(s 1) = r s i=1 j=1 ( Nij N i N i N j ) N 2 j, ha tart végtelehez, akkor χ 2 eloszlású (r 1)(s 1) szabadságfokkal. Azaz ha H 0 teljesül, a határeloszlás ismert. (aszimptotikusa...) Dötés: H 0 -t elfogadjuk 1 ε szite χ 2 (r 1)(s 1) < κ, ahol κ az (r 1)(s 1) szabadságfokú χ 2 eloszlás ε valószíűséghez tartozó farok eloszlása, azaz P(χ 2 (r 1)(s 1) > κ) = ε (ez ugye azt jeleti, hogy P(χ 2 (r 1)(s 1) < κ) = 1 ε)

64 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Függetleség vizsgálat, a példa megoldása Az alábbi három táblázat három a TV-be külöböző itezitással reklámozott fogkrém fogyasztására voatkozó adatokat tartalmaz a TV-ézés idejéek függvéyébe: Fogkrém fajtája A B C TV ézés hetete 1 óra reklám 5 perc reklám 0 perc reklám < 5 óra óra > 15 óra Va-e összefüggés a kedvelt fogkrém márkája és a TV ézés időtartama között? Dötsük 0,95%-os szite. r = s = 3 χ 2 4 = r i=1 s j=1 Nij N i N i N j «2 N j = 6 A 4 szabadságfokú 0,05 farokvalószíűséghez tartozó érték a χ 2 eloszlásba κ = Mivel χ 2 4 < κ, elfogadjuk H 0-t.

65 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Khi égyzet eloszlás, táblázat

66 Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres χ 2 Illeszkedés Homogeitás Függetleség Függetleség vizsgálat, a példa megoldása Az alábbi három táblázat három a TV-be külöböző itezitással reklámozott fogkrém fogyasztására voatkozó adatokat tartalmaz a TV-ézés idejéek függvéyébe: Fogkrém fajtája A B C TV ézés hetete 1 óra reklám 5 perc reklám 0 perc reklám < 5 óra óra > 15 óra Va-e összefüggés a kedvelt fogkrém márkája és a TV ézés időtartama között? Dötsük 0,95%-os szite. r = s = 3 χ 2 4 = r i=1 s j=1 Nij N i N i N j «2 N j = 6 A 4 szabadságfokú 0,05 farokvalószíűséghez tartozó érték a χ 2 eloszlásba κ = Mivel χ 2 4 < κ, elfogadjuk H 0-t.

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8. 6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék

æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Mariaa, Matematika Itézet, Sztochasztika Taszék Leíró statisztika Ω, A, P) statisztikai mező, ahol a P mértékcsalád olya P eloszlásokból áll, melyekkel Ω, A, P) valószíűségi

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Matematikai statisztika gyakorlatok összefoglaló

Matematikai statisztika gyakorlatok összefoglaló Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Matematikai statisztika gyakorlatok összefoglaló Eger, 2012 Tartalomjegyzék Jelölések 2 1. Összefoglaló 4 1.1. Eloszlások geerálása...........................

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. : Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Kísérletek tervezése és értékelése

Kísérletek tervezése és értékelése STATISZTIKAI ALAPOK I. STATISZTIKAI ALAPOK Adatok ábrázolása Yogi Berra: "You ca observe a lot by watchig." I. STATISZTIKAI ALAPOK Mérési adatok ábrázolása: Pot ábrázolás (Dotplot) Dotplot for Y 9 3 Y

Részletesebben

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS Összefüggésvizsgálat, paraméterbecslés A kísérletek sorá a redszer állapotát ellemző paraméterek kapcsolatát vizsgáluk. A yert adatok alapá felállítuk a redszer matematikai

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Segédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 1.

Segédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 1. Segédayag a Leíró és matematikai statisztika tatárgyhoz 06 március Közgazdasági értelembe a statisztika a valóság tömör, számszer jellemzésére szolgáló tudomáyos módszerta, illetve gyakorlati tevékeység

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

K oz ep ert ek es variancia azonoss ag anak pr ob ai: t-pr oba, F -pr oba m arcius 21.

K oz ep ert ek es variancia azonoss ag anak pr ob ai: t-pr oba, F -pr oba m arcius 21. Középérték és variancia azonosságának próbái: t-próba, F -próba 2012. március 21. Hipotézis álĺıtása Feltételezés: a minta egy adott szempont alapján más populációhoz tartozik, mint b minta. Nullhipotézis

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos: A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

V. Gyakorisági táblázatok elemzése

V. Gyakorisági táblázatok elemzése V. Gyakorisági táblázatok elemzése Tartalom Diszkrét változók és eloszlásuk Gyakorisági táblázatok Populációk összehasonlítása diszkrét változók segítségével Diszkrét változók kapcsolatvizsgálata Példák

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben