Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Statisztikai hipotézisvizsgálatok"

Átírás

1 Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy töltőgép megfelelőe va-e beállítva; a cigarettába levő kátráy alatta marad-e az előírt értékekek. Ezekbe az esetekbe azt vizsgáltuk, hogy az adott mita származhat-e egy adott paraméterű sokaságból, illetve, hogy a mita egyik paramétere azoos-e egy elméleti értékkel. A sokaság adott tulajdoságát em mérhetjük le közvetleül, haem csak a sokaságból vett mita alapjá becsülhetjük. A becslés azoba véletle hibákkal terhelt, ezért számszerű eltérés a mitából számított érték (pl. átlag) és az adott érték között em szükségszerűe jeleti azt, hogy a sokaságra jellemző érték is eltér az adott értéktől. Más esetekbe két sokaság valamely paraméterét hasolítjuk össze: két populáció jövedelmi viszoyai azoosak tekithető-e; tovább élek-e a ők, mit a férfiak. Amikor dötést akaruk hozi, feltételezéseket fogalmazuk meg, melyek lehetek igazak vagy hamisak, ezeket hívjuk statisztikai hipotézisekek. Dötésüket a mita alapjá kalkulált érték segítségével tudjuk meghozi. Mivel a mitavételt a véletle befolyásolja, ezek a számolt statisztikai mutatók valószíűségi változók leszek. A statisztikai próbáak evezzük azt az eljárást, amiek a segítségével eldöthetjük, hogy az adott hipotézis elfogadható-e vagy sem. A módszer alkalmazása sorá összehasolítuk két számot: a számított próbastatisztika értékét és egy táblázatbeli (kritikus) értéket. A ullhipotézis a feltételezésük matematikai megfogalmazása. Alakja egyelőség, két érték azoosságát állítja. (Nevét oa kapta, hogy e két érték külöbsége ulla.) Például: a sokaság várható értéke (µ) megegyezik egy előre rögzített értékkel (m 0 ). H 0 : µ m 0. Ezzel szembe álló másik állítás az alteratív hipotézis. Az alteratív hipotézis lehet kétoldali alteratív hipotézis vagy egyoldali alteratív hipotézis. Az előző példáál maradva: Kétoldali alteratív hipotézis: H : µ m 0. Egyoldali alteratív hipotézis: H : µ < m 0 (baloldali) H : µ > m 0 (jobboldali). Megbízhatósági szit (kofidecia szit) (-α) a ullhipotézis elfogadására voatkozó dötés helyességéek valószíűségét fejezi ki, ameyibe a ullhipotézis igaz. A szigifikacia szit (α) a hibás dötés valószíűsége ugyacsak igaz ullhipotézis eseté. Empirikus szigifikacia szit (P érték) aak a valószíűsége, hogy a próbastatisztika a mitából kiszámított értéket veszi fel. Az empirikus szigifikaciával a statisztikai szoftverek alkalmazásáál találkozhatuk. Miél kisebb a P érték, aál agyobb a valószíűsége hogy a H 0 hipotézis hamis. A próbastatisztika értéke a ullhipotézis érvéyességétől, a kritikus érték agysága a megbízhatósági szittől függ. Mivel a mita a véletletől függ, ezért soha em lehetük biztosak abba, hogy a hipotézis igaz vagy sem. A statisztikai dötés sorá kétféle hibát követhetük el. Első fajú hiba (α) eseté a ullhipotézist elutasítjuk, pedig igaz. Az első fajú hiba elkövetéséek valószíűsége a szigifikacia szittel megegyezik. A hiba agysága a szigifikacia szit csökketésével csökkethető. Másodfajú hiba (β) eseté a ullhipotézist elfogadjuk, pedig em igaz. A hiba agysága csökke, ha öveljük a szigifikacia szitet. Ha öveljük a kritikus értéket, akkor az esetek többségébe csökketjük α-t, és egyúttal öveljük β-t. Ha

2 csökketjük a kritikus értéket, akkor β_ csökke, de α ő. Az α-t általába 5%-ak szokás megadi. Eze hibák együttes csökketése csak a mita elemszám övelésével érhető el. H 0 hipotézis Igaz Hamis Elfogadás Helyes következtetés Másodfajú hiba (β) Elvetés Első fajú hiba (α) Helyes következtetés Elfogadási : az az itervallum ahová ha a próbastatisztika értéke kerül, a ullhipotézist elfogadjuk. Kritikus : az az itervallum ahová ha a próbastatisztika értéke kerül, a ullhipotézist elvetjük. Kritikus érték: az a szám, amivel a próbastatisztika értékét összehasolíthatjuk, és döthetük, hogy az elfogadási vagy a kritikus ba esik. Kritikus és elfogadási egyoldali alteratív hipotézis eseté: kritikus elfogadási kritikus α/ -α α/ Kritikus és elfogadási baloldali alteratív hipotézis eseté: kritikus elfogadási α -α Kritikus és elfogadási jobboldali alteratív hipotézis eseté: elfogadási kritikus -α α A statisztikai próba algoritmusa:

3 A kérdés megfogalmazása, a próbastatisztika kiválasztása. A ullhipotézis és az alteratív hipotézis felállítása. A szigifikacia szit (α) megválasztása. A próbastatisztika értékéek kiszámítása. A (táblázatbeli) kritikus érték meghatározása. A dötés meghozatala a ullhipotézis elfogadásáról vagy elvetéséről. A következtetések levoása. Paraméteres statisztikai próbák Ha az eloszlás jellege ismert, és a ullhipotézisük az eloszlás valamely paraméterére voatkozik, paraméteres próbáról, ellekező esetbe emparaméteres próbáról beszélük. A paraméteres próbák alkalmazása omiális és ordiális változóko em ajálott. Középértékekre voatkozó próbák (z-próba; t-próba) Egy mitás próbák: A ullhipotézis a következő lehet: származhatott-e a mita egy adott középértékű sokaságból? z-próba (vagy u próba): Akkor haszáljuk, ha a sokaság ormális eloszlású, az alapsokaság szórása ismert vagy tetszőleges eloszlású sokaság, de a mita elemszám kellőe agy. A próbastatisztika kiszámítása: x µ z, ahol x a mita átlaga, µ a sokaság átlaga, a sokaság szórása, a mita elemszáma. Elfogadási : z < z emp krit t-próba: ormális eloszlású sokasá g eseté haszálható, amikor a szórás em ismert valamit a mita elemszám kicsi ( < 30). x µ t, a szabadsági fok száma: -, ahol s x a mita átlaga, µ a sokasági átlag, s a sokaság becsült szórása, a mita elemszáma. Elfogadási : t < t emp krit Példa: Egy kísérletbe egy új gyógyszer testtömegre gyakorolt hatását szereték leelleőrizi. Egereke tesztelik az új vegyületet. A laboratóriumi populációba geerációról geerációra az

4 egerek adott idős korukra 0 grammosak voltak, tömegük szórása,5 g volt. Feltételezhetjük, hogy az egerek tömege ormális eloszlású µ 0 g átlaggal és,5 g szórással. A vizsgálathoz kiválasztaak egy véletle mitát 0 egeret, és megézik, hogy mekkora lesz az adott korba a tömegük. Azt tapasztalják, hogy a 0 egér átlagosa grammosok lettek. Véletleek vagy a vegyületek köszöhető-e a változás? Felmerül a kérdés, hogy a mitavételezési hibát figyelembe véve a 0 egér tömegéek legalább mekkoráak kell leie ahhoz, hogy az új vegyületet hatásosak lehesse yilváítai. Nullhipotézis: a vegyület em okozott változást. Alteratív hipotézis: a vegyület hatással va a testtömegre. Vagyis: H 0 : µ 0; H : µ 0. Ez egy kétoldali alteratív hipotézis. A hipotézis elfogadásáról vagy elvetéséről egy ismert eloszlású ú. próbastatisztika segítségével dötük. 0 x µ zemp,6,5 0 A dötési szabályuk az, hogy H 0 -t elfogadjuk, ha a z emp kisebb, mit a,5%-hoz tartozó kritikus érték (azaz,96), elutasítjuk, ha z emp meghaladja ezt az értéket. Ez 5%-os szigifikacia szitet jelet, hisze kétoldali alteratív hipotézisük va, hisze,5% esélyt aduk aak, hogy helyteleül dötsük a pozitív effektusról, és,5%-ot aak, hogy helyteleül dötsük a egatív effektusról. Esetükbe z emp < z krit, tehát elfogadhatjuk a ullhipotézist, miszerit a vegyület em okozott változást. Megjegyzés: Mi va akkor, ha em ismerjük a szórást? Nyilvá becslést kell aduk rá. Ha agy mitából becsüljük, akkor feltételezhetjük, hogy a becslés elegedőe potos, és alkalmazhatjuk az eddig leírtakat. Ha a populáció eloszlása ormális, akkor kis mita eseté a t-eloszlás haszálatával korrigálhatjuk a módszert. Eek az lesz a hatása, hogy a kritikus értékek távolabb fogak esi a H 0 -ba feltételezett µ 0 átlagértéktől. Például, ha az egértömegek eseté em ismerjük a szórást, csak becsültük a 0 elemű mitából, és az,5-ek adódott, akkor egyoldali próba eseté a kritikus érték: 0 x µ t emp,6 s,5 0 A t krit. értéket a t-táblázat alapjá határozzuk meg. A szabadsági fok - 9, a szigifikacia szit 0,05. A kritikus értéket a táblázat α/ 0,05 részéél kell keresi a kétoldali alteratív hipotézis miatt. Így t krit.,6. Kétmitás próbák: Előző példákba azt vizsgáltuk, hogy egy új vegyület hatására változak-e az egértömegek az előző geerációk adatai alapjá megállapított, elméleti értékhez képest. Nagyo gyakra azoba em áll redelkezésükre ilye elméleti érték. Ilye esetekbe célszerű egy másik (kotroll) csoporthoz viszoyítauk az eredméyeiket. Szite midig ez az eljárás gyógyszer-hatás vizsgálatál. Gyakra előfordul az is, hogy egyszerűe csak két csoportot (populációt) szereték összehasolítai. Például, szereték megtudi, hogy vajo a doháyosok rövidebb ideig élek-e, mit a em doháyosok, a Holstei-Frízek tejtermelése agyobb-e Németországba, mit áluk A két összehasolítadó csoportak em tudjuk a populáció átlagait, csak a belőlük kiválasztott

5 miták átlagait tudjuk összehasolítai, és azt vizsgáljuk, hogy a kettő szigifikása külöbözik-e. A ullhipotézis a következő lehet: két mita középértéke azoosak tekithető-e? H 0 : x x z-próba: Akkor haszáljuk, ha mid a két sokaság ormális eloszlású, az alapsokaságok szórásai ismertek vagy a miták elemszámai kellőe agyok. x x z + t-próba: Normális eloszlású sokaságok eseté, amikor a szórások em ismertek, de közel azoosak. x x t, a szabadsági fok száma: + - Sp + S p ( ) s + ( ) + Példa: Két halastóból származó halak zsírtartalmát szereték összehasolítai. Az egyik tóból elemű miták va, a mita átlaga 7%, szórása 4%. A másik esetbe 5 elemű mita alapjá az átlagos zsírtartalom 4%, szórása 3%. A számok alapjá úgy tűik, hogy az első tó eseté agyobb a zsírtartalom. Kérdés, hogy ez a külöbség szigifikás-e, vagy csak a mitavételi hiba okozta a külöbséget? Nullhipotézis: ics külöbség a két zsírtartalom között H 0 : µ µ. Alteratív hipotézis: va külöbség a két zsír-tartalom között H : µ µ. Ha a mitáik elég agyok, akkor a mitaátlagok ormális eloszlásúak leszek. (Nem túl agy miták eseté, az egymitás esethez hasolóa, itt is a t-eloszlást kell haszáli a ormális eloszlás helyett.) Mitaátlag Várható értéke Szórása x µ s x µ Ha a miták függetleek, akkor a mitaátlagok külöbsége is ormális eloszlású. Ha a szórásukat ismerjük, akkor x - x várható értéke µ -µ, szórása x eloszlása N(0, (.04) ). +. Példákba x -

6 z emp x x + 0,7 0,4 0, , ,03,886 0,00008 z krit,96 a t eloszlás táblázatáak szabadsági fok sora és α/ 0,05 oszlopából, mivel kétoldali alteratív hipotézisük va. (Ez 5%-os szigifikacia szitet jelet. Esetükbe z emp > z krit, tehát elutasítjuk a ullhipotézist, az eltérés em a véletleek köszöhető. Példa: Egy vizsgálatba arra kerestek választ, hogy vajo a városi vagy a falvakba lakó kismamák maradak-e tovább ottho gyermekeikkel. Egy agyvárosba véletleszerűe 0 kismamát kérdeztek meg, a köryéke levő kisebb településeke pedig 40-et. A városiak átlagosa 6 hóapig, 3 hóap szórással, a falvakba pedig átlagosa 30 hóapig 4 hóap szórással. Szigifikás-e a külöbség a tapasztalt értékek között? Nullhipotézis: H 0 : µ falusi µ városi ; H : µ falusi > µ városi. x x A megoldáshoz a t-próbát alkalmazhatjuk: t, ahol Sp + ( ) s + ( ) s S p és a szabadsági fok száma: S p ( ) s + ( ) t emp + s x x 30 6 Sp + 3, ,945 3,70 A szabadsági fok száma 58, és a 95%-os megbízhatósági szithez t krit,67 érték tartozik. Mivel t emp > t krit, tehát elutasítjuk a ullhipotézist, a kisebb településeke tovább maradtak ottho a kismamák. Páros t-próba Tegyük fel, hogy egy mitá vizsgáljuk valamilye kezelések a hatását. Ilye esetekbe em a mitaátlagokat hasolítjuk össze, haem a kezelés előtti és utái érték külöbségéről állapítjuk meg, hogy szigifikása külöbözik-e ullától. Példa. Egy lázcsillapító gyógyszer hatásosságát vizsgáljuk. A betegek hőmérsékletét kétszer, a lázcsillapító bevétele előtt illetve utá mérjük meg. A mért értékeket és a változást a következő táblázat tartalmazza. Lázcsillapítás Külöbség előtt utá 39, 38,6 0,6 38,7 37,,5 37,9 36,8, 38,8 37,9 0,9

7 39,4 38,, 38, 38,0 0, 38,6 36,9,7 38,8 37,8,0 39,0 37,9, 38,5 37,6 0,9 A hipotéziseket formálisa felírva: H 0 : µ d 0, H : µ d 0. A külöbségek átlaga: d, 0, szórása s d 0,4. Vagyis a ullhipotézis szerit a gyógyszer hatástala. Ettől kezdve midet úgy kell csiáluk, mit az egymitás próba eseté. Ezek szerit az x d mitaátlag eloszlása ormális, várható értéke 0. A szabadsági fok esetükbe - 9, az ehhez és a 95%-os valószíűséghez tartozó t érték,6. Ha igaz a ullhipotézis, akkor t emp < t krit. x µ,0 0 t emp 7,68 s 0,4 0 Ez em teljesül, ezért elutasítjuk a ullhipotézist. Tehát azt modhatjuk, hogy a lázcsillapító gyógyszer hatásos. Szórásokra, variaciákra voatkozó próbák (F-próba.) A t-próba tárgyalásáál már volt arról szó, hogy a próbát másképp kell elvégezi, ha a két sokaság szórása (szóráségyzete) megegyezik, és másképp akkor, ha em. Felmerül a kérdés, hogy hogya lehet eldötei, hogy a szóráségyzetek megegyezek-e. Legye az első, a második populáció variaciája (szóráségyzete). Ekkor a ull- és az alteratív hipotézisek a következők leszek: H 0 :, H :. Ha H 0 igaz, akkor a két populáció szóráségyzetéek háyadosa. Két mita alapjá s becsüljük ezt a háyadost. A becslést F-statisztikáak evezzük, ahol F, és s az első, s s a második mita korrigált tapasztalati szóráségyzete, ahol s > s. Ha ez az F érték elég közel va -hez, akkor azt modhatjuk, hogy az eltérést csupá a véletle mitavételből származó hiba okozta, így elfogadhatjuk a H 0 -t, egyébkét pedig elutasítjuk. Miél agyobbak a mitáik, aál jobba megközelíti a miták szóráségyzete a sokaság szóráségyzetét. Ilye esetekbe az -től csak kis eltérést egedük meg. Ha a mitáik viszoylag kicsik, akkor pedig még agyobb eltérés eseté is elfogadjuk a ullhipotézist. Az is előfordulhat, hogy az egyik mita kicsi, a másik pedig agy. Ebből is kitűik, hogy mid a két mita elemszámától függ, hogy az körüli mekkora itervallumba fogadjuk el a H 0 hipotézist. Az F-statisztika eloszlása külöböző mita elemszámok eseté más és más lesz. Hasolóa a t-statisztikához, itt is a szabadsági fok mutatja meg, hogy melyik F-eloszlást kell választauk. A két mita szabadsági foka ( -, - ), ahol az első mita, pedig a második mita elemszáma. A táblázatokat általába 5%-os szigifikacia szitre közlik a külöböző statisztika köyvek. Példa:

8 A jövedelmek differeciálódásával kapcsolatos felmérés alapjá azt találták hogy egy adott régióba az 000 egyéi vállalkozó adóbevallása alapjá a jövedelmek szórása Ft volt. A következő évbe ugyaitt, egy 5 elemű véletle mita alapjá már 9 00 Ft volt. Igazolható-e statisztikailag a jövedelmek differeciálódásáról szóló elmélet? H 0 :, vagyis a szórások (szóráségyzetek) megegyezek. H :, külöbözőek a szóráségyzetek. s 900 F emp,538, a számláló szabadsági foka 4, a evezőé pedig 999. F s krit, Mivel F emp > F krit így a ullhipotézist elvethetjük, a jövedelmek valóba differeciálódtak. Megállapításukat 95%-os megbízhatósági szite tettük. Felhaszált irodalom Baráth Cs. Ittzés A. Ugrósdy Gy.: Biometria. Mezőgazda Kiadó 996 Kiss A. Maczel J. Pitér L. Varga K.: Statisztikai módszerek alkalmazása a mezőgazdaságba. Mezőgazdasági Kiadó 983 Kovács Istvá: Statisztika. Szet Istvá Egyetem Gazdálkodási és Mezőgazdasági Főiskolai Kar jegyzete. Gyögyös 000 Kriszt Varga Keyeres: Általáos statisztika II. Nemzeti taköyvkiadó 997. Fodor Jáos: Biomatematika Meszéa György Zierma Margit: Valószíűségelmélet és matematikai statisztika Közgazdasági és Jogi Köyvkiadó 98 Murray R. Spiegel: Statisztika. Elmélet és gyakorlat. Paem McGraw Hill 995 Szűcs Istvá: Alkalmazott statisztika. Agroiform Kiadó 00

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának?

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának? Statisztika 2015. május 08. D csoport Név Neptun kód 1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik pályázatnál 320 pályázóból 42 nyert, a másik pályázatnál

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik)

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) 5.4: 3 különböző talpat hasonlítunk egymáshoz Varianciaanalízis. hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) hipotézis: Létezik olyan μi, amely nem egyenlő a többivel (Van

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

Kísérletek tervezése és értékelése

Kísérletek tervezése és értékelése STATISZTIKAI ALAPOK I. STATISZTIKAI ALAPOK Adatok ábrázolása Yogi Berra: "You ca observe a lot by watchig." I. STATISZTIKAI ALAPOK Mérési adatok ábrázolása: Pot ábrázolás (Dotplot) Dotplot for Y 9 3 Y

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)

Részletesebben

Esetelemzés az SPSS használatával

Esetelemzés az SPSS használatával Esetelemzés az SPSS használatával A gepj.sav fileban négy különböző típusú, összesen 80 db gépkocsi üzemanyag fogyasztási adatai találhatók. Vizsgálja meg, hogy befolyásolja-e az üzemanyag fogyasztás mértékét

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testing) A statisztikának egyik célja lehet a populáció tulajdonságainak, ismeretlen paramétereinek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/

REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/ 5 öveli a traszformátorok öveli a traszformátorok A techológia előyei A költségek csökketéseek folyamatos kéyszere és a zavartala eergiaellátás ehézségei szükségessé teszik a traszformátorok tervezett

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra Vörös Zsuzsanna NÉBIH RFI tervezési referens 2013. április 17. Egy kis felmérés nem kor Következtetések: 1. a jelenlevők nemi megoszlása:

Részletesebben

A válaszadó-vezérelt mintavétel megbízhatóságának vizsgálata szimulációs módszerekkel 1

A válaszadó-vezérelt mintavétel megbízhatóságának vizsgálata szimulációs módszerekkel 1 Szociológiai Szemle 23(2): 72 88. válaszadó-vezérelt mitavétel megbízhatóságáak vizsgálata szimulációs módszerekkel 1 Kmetty Zoltá Simo Dávid zkmetty@yahoo.com; dr.david.simo@gmail.com Beérkezés: 2013.

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

STATISZTIKA PÉLDATÁR

STATISZTIKA PÉLDATÁR STATISZTIKA PÉLDATÁR www.matektanitas.hu www.matektanitas.hu info@matektanitas.hu 1 Minden feladat csak szöveges válasszal együtt ad teljes értékű megoldást! Becslés 1. feladat Az alábbi táblázat megadja

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Nemzetközi részvény befektetési lehetõségek Közép- és Kelet-Európa új európai uniós tagállamainak szemszögébõl

Nemzetközi részvény befektetési lehetõségek Közép- és Kelet-Európa új európai uniós tagállamainak szemszögébõl Közgazdasági Szemle, LII. évf., 2005. júius (576 598. o.) BUGÁR GYÖNGYI UZSOKI MÁTÉ Nemzetközi részvéy befektetési lehetõségek Közép- és Kelet-Európa új európai uiós tagállamaiak szemszögébõl Taulmáyuk

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Centura Szövegértés Teszt

Centura Szövegértés Teszt Centura Szövegértés Teszt Megbízhatósági vizsgálata Tesztfejlesztők: Megbízhatósági vizsgálatot végezte: Copyright tulajdonos: Bóka Ferenc, Németh Bernadett, Selmeci Gábor Bodor Andrea Centura Kft. Dátum:

Részletesebben

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3.

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3. Nemparametrikus tesztek 2014. december 3. Nemparametrikus módszerek Alkalmazásuk: nominális adatok (gyakoriságok) esetén, ordinális adatok esetén, metrikus adatok esetén (intervallum és arányskála), ha

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet):

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet): . Egy átrium-hidroxidot és átrium-acetátot tartalmazó mita 50,00 cm 3 -es részletée megmérjük a ph-t, ami,65-ek adódott. 8,65 cm 3 0, mol/dm 3 kocetrációjú sósavat adva a mitához, a mért ph 5,065. Meyi

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

IKT eszközök használata az oktatásban

IKT eszközök használata az oktatásban IKT eszközök haszálata az oktatásba CZÉDLINÉ BÁRKÁNYI Éva Szegedi Tudomáyegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Kar, Szeged czedli@jgypk.u-szeged.hu Tíz éve már, hogy a mitegy egyed százados közoktatási gyakorlat

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Napjainkban többféle álláspont támasztja alá, vagy vonja kétségbe a kvalitatív

Napjainkban többféle álláspont támasztja alá, vagy vonja kétségbe a kvalitatív Iskolakultúra 202/3 Sátha Kálmá Kodoláyi Jáos Főiskola Neveléstudomáyi Taszék Numerikus problémák a kvalitatív megbízhatósági mutatók meghatározásáál A taulmáy a kvalitatív vizsgálatok megbízhatósági problémáiak

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Hanthy László Tel.: 06 20 9420052

Hanthy László Tel.: 06 20 9420052 Hanthy László Tel.: 06 20 9420052 Néhány probléma a gyártási folyamatok statisztikai szabályzásával kapcsolatban Miben kellene segíteni az SPC alkalmazóit? Hanthy László T: 06(20)9420052 Megválaszolandó

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Egyszerő kémiai számítások

Egyszerő kémiai számítások Egyszerő kéiai száítások z egyes fizikai, illetve kéiai eyiségek közötti összefüggéseket éréssel állapítjuk eg. hhoz, hogy egy eyiséget éri tudjuk, a eyiségek valaely rögzített értékét (értékegység) kell

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

S atisztika 2. előadás

S atisztika 2. előadás Statisztika 2. előadás 4. lépés Terepmunka vagy adatgyűjtés Kutatási módszerek osztályozása Kutatási módszer Feltáró kutatás Következtető kutatás Leíró kutatás Ok-okozati kutatás Keresztmetszeti kutatás

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

kiértékelésének technikája

kiértékelésének technikája 1 H NMR titrálások felvételéek és kiértékeléséek techikája Midazokak, akik elıször próbálkozak NMR titrálásokkal. Készítette: Dr. Lázár Istvá DE Szervetle és Aalitikai Kémiai Taszék Debrece, 2006. jauár

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Korreláció és Regresszió

Korreláció és Regresszió Korreláció és Regresszió 9. elıadás (17-18. lecke) Korrelációs együtthatók 17. lecke Áttekintés (korreláció és regresszió) A Pearson-féle korrelációs együttható Korreláció és Regresszió (témakörök) Kapcsolat

Részletesebben

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról 8 Sztakó Péter 00 Eticitás Körösszakálo. Szakdolgozat. DENIA (Debrecei Néprajzi Itézet Adattára) Vermeule, Has Govers, Cora (ed.) 99 The Atropology of Ethicity. Beyod Ethic Groups ad Boudaries. Amsterdam:

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben