kritikus érték(ek) (critical value).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "kritikus érték(ek) (critical value)."

Átírás

1 Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása vagy cáolata. Nullhipotézisek (ull hypothesis) (H) evezzük azt a hipotézist, amelyet pillaatyilag ics okuk megkérdőjelezi, amely a tudomáy jelelegi álláspotja szerit elogadható, amelyet, ha a kísérlet/elmérés semmi újat em hoz, továbbra is etartuk, amely helyett ekük már jobb elméletük va, és a kísérletet éppe eek a bizoyítására (egybe a régi megcáolására) szájuk. Ellehipotézisek (alterative hypothesis) (H) evezzük azt a hipotézist, amelyek bizoyítását a kísérlettől várjuk (az új elmélet ). Megszoktuk, hogy általába valamely külöbség, hatás, korreláció meglétét, azaz emulla voltát szereték bizoyítai, tehát azt a hipotézist szoktuk H-ak választai, hogy az illető dolog (külöbség, stb.) egyelő ullával. Teszt-statisztika (test statistic), próbastatisztika, próbaüggvéy: az a mitából számított meyiség, amelyek értéke alapjá a dötést hozzuk. A teszt-statisztika mivel a mitából számítjuk véletle változó. Olya meyiségek kell leie, amelyek eloszlása lehetőleg miél jobba eltér a H és a H eállása eseté, például kisebb értékekre számíthatuk H, agyobbakra H eseté. Elutasítási vagy kritikus tartomáy (rejectio regio): a dötési szabályt meghatározó számhalmaz, ha a teszt-statisztika értéke ide esik, a ullhipotézist elvetjük, ha em, megtartjuk. A kritikus tartomáy kiegészítő halmazát elogadási tartomáyak is evezik. E két tartomáyt elválasztó érték(ek) az úgyevezett kritikus érték(ek) (critical value). Elsőajú hiba valószíűsége (Type I error rate), α, aak a valószíűsége, hogy H-t elvetjük, pedig igaz. Az elsőajú hiba, hogy a teszt-statisztika értéke a kritikus tartomáyba esik, bár a H igaz. α a teszt-statisztika ull-eloszlásától * (ull distributio) és a kritikus tartomáy megválasztásától ügg. Szokásosa a kritikus tartomáyt úgy választjuk, hogy α = 5% (vagy %, esetleg.%) legye. Példa: Ha arra vagyuk kívácsiak, hogy egy pézérme szabályos-e, akkor H: az érme szabályos, azaz P(ej)=P(írás)=.5 H: az érme em szabályos Mita: 6 dobás eredméye (csak a példa egyszerűsége kedvéért ilye kicsi) Teszt-statisztika: a ejek száma a 6-ból Null-eloszlás: (a ejek számáak eloszlása H eállása, azaz az érme szabályossága eseté): biomiális eloszlás = 6 és p =.5 paraméterrel, azaz érték valószíűség Dötési szabály: vagy 6 ej eseté elvetjük H-t. Az első ajú hiba valószíűsége: =.3 Mivel a tesztek evüket általába a ull-eloszlás utá kapják, ezt biomiális tesztek evezik. Másodajú hiba (Type II error) : ha a H-t megtartjuk, pedig H igaz. Valószíűségét β-val jelöljük, (-β) a teszt ereje power. * a teszt-statisztika eloszlása H eállása eseté

2 Egy- és kétoldali ellehipotézis A céljaiktól üggőe a legtöbb tesztbe két ajta ellehipotézissel dolgozhatuk. Az első esetbe az elogadási tartomáy midkét oldalá va elutasítási tartomáy. Az eredméy értékelésekor a eltételezett értéktől való midkét iráyú eltérés érdekes. Ez a kétoldali ellehipotézis. H: p=p H: p p Időkét az egyik iráyú eltérés érdektele a kísérlet szempotjából, például ha egy új eljárást vizsgáluk a vércukorszit csökketésére, akkor érdektele az, hogy az érték ő vagy változatla marad, csak a csökkeést va értelme kimutati. Ez az egyoldali ellehipotézis. H: p p H: p>p, vagy H: p p H: p<p Figyeljük meg, hogy a ullhipotézisbe midig va egyelőség. Az, hogy számukra a ullhipotézis elutasítása vagy megtartása a kedvező, midig a kísérleti elredezéstől ügg. Normális eloszlású változó várható értékére voatkozó próbák egy mita eseté z-próba vagy u-próba (u-test) Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált változó populációátlaga egy eltételezett µ érték? Feltétel: ormális eloszlású változó, valamit (ismert σ szórás, vagy 3-ál agyobb elemszám). Próba-statisztika: z x µ u= σ =, ahol Z ~ N(,) Nullhipotézis: H : µ = µ Ellehipotézis: H : µ µ,45,4,35,3,5,,5,,5 a/ a/ -zkrit zkrit Kritikus tartomáy: K :{ z > } z krit Nullhipotézis: H : µ µ Ellehipotézis: H : µ > µ,45,4,35,3,5,,5,, zkrit 58 6 Kritikus tartomáy: K :{ z > } z krit a egymitás t-próba (oe sample t-test) Feltétel: ormális eloszlású változó (robosztus, elég ha szimmetrikus és uimodális) Próba-statisztika: x µ =, s t mely Studet éle t eloszlású változó, - szabadsági okkal Mide más megegyezik a z-próbával. Az egyetle külöbség, hogy a szórás ismert, vagy a mitából kell becsüli. A t-próba értelemszerűe kevésbé hatékoy, hisze eggyel több becsült paramétert haszál. Ha a mitaelemszám elég agy (>3), akkor haszálható a z-próba is. A z-próbát csak a kézzel, táblázatból törtéő muka eseté preeráljuk. A számítógépes programokkal yugodta haszálhatjuk a t-próbát.

3 Normális eloszlású változó várható értékére voatkozó próbák két mita eseté z-próba vagy u-próba Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált változók átlaga megegyezik a két populációba? Feltétel: üggetle, ormális eloszlású változók, valamit (ismert szórások, vagy 3-ál agyobb elemszámok). Próba-statisztika: z Nullhipotézis: H : µ = µ x x = u =, ahol Z ~ N(,) σ σ + Mide más ugyaúgy megy, mit az egymitás esetbe. Kétmitás t-próba (two sample t-test) Feltétel: üggetle, ormális eloszlású változók ismeretle, de vélhetőe azoos szórással. x x Próba-statisztika: t=, ahol s = s + Szaadsági okok száma: + Nullhipotézis: H : µ = µ ( ) s + ( ) + Ha a két szórás em egyezik meg, akkor vagy megpróbáljuk traszormáli a mitákat, vagy közelítő próbát alkalmazuk. (Welch-próba) s Welch-próba (Welch-test) Feltétel: üggetle, ormális eloszlású változók. Próba-statisztika: t = x x Szabadsági okok száma: s s + W = ( )( ) ( ) + ( )( ) c c, ahol c s = s + s Nagy mitákra (midkét elemszám agyobb, mit 3) a szórások jól becsülhetőek és a z-eloszlás kritikus értékei elég közel vaak a t-eloszlás kritikus értékeihez, ezért a z- próba haszálható a mitából becsült szórások eseté is. A t-próbát és a Welch-próbát kis mitákra haszáljuk attól üggőe, hogy a szórásokat azoosak godoljuk-e. Ha em tudjuk, haszálhatjuk az F-próbát a szórások tesztelésére. A statisztikusok egy része ezt em ogadja el, szeritük a két szórás sosem tekithető azoosak. A Welch-próba is csak közelítő eredméyt ad, de haszálata széles körbe elogadott. A eti módszerekkel em csak az átlagok egyelősége tesztelhető, haem a köztük levő eltérés is. A számítógépes programok általába csak a t-próbát ismerik, a Welch-próbát is abba építik be.

4 Várható értékre voatkozó próba két összeüggő mita eseté Páros t-próba (paired t-test) Ha a két mita összeügg (például ugyaazo egyedeke végeztük a mérést a kezelés előtt és a kezelés utá, vagy ikerpároko mérük, ), akkor a kétmitás t-próbáál jóval erősebb a páros t-próba (paired t-test). Techikailag egy mitát képzük, kiszámolva mideütt a két változó értékéek külöbségét, és arra egymitás t-próbát alkalmazuk. Feltétel: a mérések ugyaazo az egyedeke, vagy más módo párosítható mitáko törtétek (a miták em üggetleek), valamit a két változó külöbsége ormális eloszlású (a változók em kell, hogy azok legyeek). Nullhipotézis: H : µ d = µ d µ Próba-statisztika: t= sd Megjegyzések: A páros t-próba azért erősebb, mert iormációt hordoz, hogy melyik mérés melyikkel áll párba. A kapott külöbségek szórása jóval kisebb lehet, mit a kétmitás próbába előálló szórás. Ha kezelés előtti és utái eredméyeik vaak, akkor a külöbséget célszerű úgy képezi, hogy a későbbi mérés eredméyéből vojuk ki a korábbiét, ez esetbe ugyais a pozitív eredméy jeleti a övekedést. Variaciaaalízis (ANOVA) Kettőél több mita eseté aak a ullhipotézisek a tesztelésére szolgál, hogy valameyi részpopulációba, amelyekből a miták származak, ugyaaz a várható érték. Az ellehipotézis, hogy va olya (egy vagy több) részpopuláció, melybe a várható érték eltér. A próba eltétele a változók ormalitása és a szórásuk azoossága, valamit az adatok üggetlesége. Számtala módo előordulhat az, hogy a ullhipotézis em teljesül! z-próba Populációba egy tulajdoság aráyára voatkozó próba Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált tulajdoság előordulási valószíűsége a populációba a eltételezett p érték? Feltétel: mivel a próba a biomiális eloszlás közelítésé alapul, hagyomáyosa akkor tekitik elogadhatóak, ha 5 ˆ p 5, ahol pˆ a mitabeli relatív gyakoriság. Nullhipotézis: H : p= p Próba-statisztika: z= pˆ p p ( p ) Ha a eltételek em teljesülek, akkor egzakt biomiális próbát kell csiáli. (Lásd koidecia-itervallum meghatározás )

5 Két valószíűség összehasolítása Származhat-e a két üggetle mita adott tulajdoságra voatkozóa azoos előordulási valószíűségű populációból? Nullhipotézis: H : p = p pˆ pˆ Próbastatisztika: z=, ahol p ( p ) p + = p + + p p Két valószíűség összehasolítása homogeitás vizsgálatkét, törtéhet. χ -próbával is χ -próba Egy változó variaciájára voatkozó próba Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált változó populációbeli variaciája egy eltételezett σ érték? Feltétel: a vizsgált változó ormális eloszlású. σ σ Nullhipotézis: H :σ = vagy H :σ vagy Próba-statisztika: χ Szabadsági ok: - ( ) s = σ Kritikus tartomáy: H :σ σ eseté χ : χ χ + p vagy χ χ p H :σ < σ eseté χ : χ χ + p F-próba (F-test) Két változó variaciájáak összehasolítása Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált változók variaciája megegyezik a két populációba? Feltétel: ormális eloszlású(!) üggetle változók, s σ σ s (sorszámozás kérdése ) Nullhipotézis: H :σ = vagy H :σ (harmadik em lehet s s Próba-statisztika: F = s Szabadsági ok: - a számlálóba, - a evezőbe Kritikus tartomáy: { F : F F p } illetve { F : F F p} A ormalitás agy mitaelemszám eseté is kell. s miatt)

6 Nemparaméteres próbák Ha az eddig megismert paraméteres próbák em alkalmazhatóak, mert em teljesülek a eltételeik, akkor emparaméteres próbákat kell alkalmazi. Ezek általába sokkal egyszerűbbek, mit a paraméteres próbák, sokkal megegedőbbek (eltételek), viszot jóval kisebb az erejük. A paraméteres és a emparaméteres próbák összehasolítása Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Nagyjából üggetleek a változó eloszlásától. Feltételezik, hogy ismert a változó DE: azért em mide eloszlásra, csak egy eloszlása: (leggyakrabba) ormális, tágabb körre. Feltételeket elleőrizi kell. expoeciális, biomiális, stb. Mediáok összehasolítása. Gyakoriságok elemzésére alkalmas. Származtatott adatok elemzésére is jó, pl. aráyok. Átlagok és variaciák összehasolítása. A gyakoriságokat általába traszormáli kell előtte. Származtatott adatokat először traszormáli kell. Előjelpróba (sig test) Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált változó mediája egy eltételezett med érték? Feltétel: a vizsgált változó eloszlása olytoos. 6< < 3 Nullhipotézis: H : med = med Próba-statisztika: a med hipot -ál agyobb mitaelemek száma., ha xi > med δ i =, B= δ i, ha xi < med i= Vigyázat! -be azokat em számoljuk bele, ahol x i = med! Kritikus tartomáy: a ull-eloszlás biomiális, =mitaelemszám, p=.5. A kritikus tartomáy H -től üggőe egy- vagy kétoldali. Megjegyzések: A próbát azért hívják előjelpróbáak, mert eredetileg a mediá(x) = hipotézis tesztelésére találták ki, és ekkor a próbához a mitabeli értékekek csupá az előjelét haszáljuk. Két párosított mita eseté a külöbségekre alkalmazható. Feltételkét az eloszlás olytoossága helyett elegedő ayi is, hogy P(med ) =. Nagy mitára a biomiális eloszlást a szokásos módo közelíthetjük Poissoal vagy ormálissal. Ugyaígy megy mediá helyett tetszőleges kvatilisre. Wilcoxo-éle előjeles rag-próba (Wilcoxo siged rak test) Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált változó mediája egy eltételezett med érték? Feltétel: a vizsgált változó eloszlása olytoos és szimmetrikus Szimmetrikus eloszlás eseté a mediá és az átlag egybeesik, ezért midegy, melyikkel ogalmazzuk meg a hipotéziseket. Csak hagyomáy-tiszteletből írjuk el mediáal. Nullhipotézis: H : med = med Próba-statisztika: a megigyelt értékek med -tól való eltéréseit abszolút értékük agysága szerit sorba redezzük, és ragszámokat redelük hozzájuk. A statisztika a pozitív eltérésekhez tartozó ragok összege. Párosított miták eseté a külöbségre alkalmazható.

7 Példa: elemű mita: med = 9 Eltérések: Ragszámok: 9 8 6* 6* * * Egyelő abszolút eltérést adó értékek (ties) eseté midegyikük az összese rájuk jutó ragok átlagát kapja (kapcsolt ragok, tied raks). A pozitív eltérések ragösszege: T + = 9.5 Kritikus tartomáy: K { T } : + T krit. A ull-eloszlást kis mitaelemszámokra kiszámolták, a kritikus értékeket táblázatba oglalták. (Csak akkor érvéyes, ha icseek kapcsolt ragok!) ( +) ( + )( + ) Nagyobb mitákra a ull-eloszlás a µ =, σ = paraméterű 4 4 ormálissal közelíthető, a kritikus értékek ebből számolhatók. Ma-Whitey-éle U-teszt (vagy: Wilcoxo-éle ragösszeg-teszt) Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált X és Y változókra igaz a P(X<Y)=P(X>Y) egyelőség (azaz ha midkét változót megigyeljük, azoos esély va arra, hogy az egyik, illetve a másik lesz agyobb)? Feltétel: a változók eloszlása olytoos, sűrűségüggvéyeik azoos alakúak (eltolással egymásba átvihetők, variaciák megegyezek); a két változóra két üggetle miták va. Nullhipotézis: H : a változók eloszlása megegyezik, azaz az eltolás. Ellehipotézis: H : az eltolás (ez kétoldali ellehipotézis, de megogalmazható egyoldali is) Ellehipotézis: H : F( X ) / F(Y) Kolmogorov-Smirov próba Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált X és Y változók eloszlása azoos? A kétmitás t-próba megelelője em egyező variaciák esetére. Feltételek: Ordiális vagy olytoos változók, üggetle miták, azoos alakú eloszlások. Nullhipotézis: H : F( X ) F( ) Y Próbastatisztika: A két eloszlásüggvéy közötti maximális dierecia. Nagyo kevéssé hatékoy teszt. Mediá (Mood) próba Tartható-e az az álláspot, hogy a két mita ugyaakkora mediáú populációból származik? Nullhipotézis: H : med= med Számítás meete: Kiszámítjuk az összes adat közös mediáját. Készítük belőle egy -es kotigecia táblázatot, és abból kiszámítjuk az alábbi χ értéket: Próba-statisztika:. mita. mita > Közös mediá Közös mediá χ = ( + )( + )( + )( + )

8 Kritikus tartomáy: H : med med eseté { χ : χ χ α / vagy χ χ α / }, H : med < med eseté { χ : χ χ α }, H : med > med eseté { χ : χ χ α }, ahol α az elsőajú hiba megegedett szitje, χ α, χ α / és χ α / pedig az - szabadsági okú χ -eloszlás megelelő kritikus értékei. Megjegyzés: Sokkal gyegébb teszt, mit a kétmitás t-próba, illetve a M-W teszt, ha azok is alkalmazhatók. Ha éháy gyakoriság agyo kicsi, akkor a Fischer-éle egzakt teszt alkalmazadó. Példa: X-re 8 elemű mita:, 3, 7, 8, 9, 5, 6, 7 Y-re elemű mita: 5, 6, 8,,, 5, 8,, 3, 5 Összevot mita:, 3, 5, 6, 7, 8, 8, 9,,, 5, 5, 6, 7, 8,, 3, 5 Közös mediá = χ =. mita. mita > Közös mediá =3 =6 Közös mediá =5 =4 ( + )( + )( + )( + ) = ( 3+ 5)( 6+ 5)( 3+ 6)( 5+ 4) 8 9 = =, 45< χ, 5 = 3, H -t em vetjük el Kruskal-Wallis-éle H teszt (Kruskal-Wallis H-test) Több mit két mita eseté haszáljuk, hasolóa az ANOVA-hoz. Feltétel: a változók eloszlása olytoos, sűrűségüggvéyeik azoos alakúak (eltolással egymásba átvihetők); k változóra k üggetle miták va. Nullhipotézis: H : mid a k változó eloszlása megegyezik Ellehipotézis: H : em mid azoos eloszlásúak Próba-statisztika: boyolult (lásd lejjebb) Kritikus tartomáy: a ull-eloszlás aszimptotikusa χ (k szabadsági okkal), ebből kaphatjuk a kritikus értékeket Példa: Egy biológus 4 mező (A, B, C, D) 5-5 véletleszerűe kiválasztott kvadrátba számolja az orchideákat. Va-e külöbség bármelyik két mező között az orchideák számát tekitve? meg/mező A B C D 7 () 48 (6) (6) 44 (5) 4 (7) 8 (9,5) () 7 (9) 3 8 (4,5) 3 (3) 3 () 8 () 4 8 (9,5) 5 (7) 5 (8) 55 (8) 5 7 (3) () 8 (4,5) 39 (4) A Kruskal-Wallis próba meete: Készítsük el a eti táblázatot. Oszlopokét vaak a miták, zárójelbe a megigyelések ragja (összes mitaelemre együtt kiszámítva). Számítsuk ki mitákét a darabszámokat ( i ) és adjuk össze: N. Számítsuk ki mitákét a ragösszeget: R i. Emeljük égyzetre: R i.

9 Ri Osszuk el a mitaelemszámmal és adjuk össze:. A próbastatisztika ( χ eloszlású): Ri K = 3 N+ i N( N+ ) Hasolítsuk össze K-t a megelelő χ krit (4-=3).χ krit = K krit i ( ) értékkel. A szabadsági ok: a miták száma- >χ elutasítjuk a H -t. Ezek szerit az orchideák számát tekitve a mezők em tekithetők egyormákak. Csak azt tudjuk, hogy valamelyik kettő között biztos va külöbség. Biztos, hogy a Ri legagyobb és a legkisebb átlagos ragszámú külöbözik, jele példába a C és i D mezők. Megjegyzések: Két mita eseté ugyaaz mit a Ma-Whitey próba. Szigiikacia eseté em tudjuk megmodai, hogy téylegese melyikek külöbözek (legkisebb-legagyobb biztos). Ha a H : med = med =... = medk hipotézis szereték teszteli, a mediá próba kiterjeszthető több mita esetére. Nem üggetle miták eseté a Friedma teszt haszálható. Gyakoriságok elemzése Leszámolásos mitákra alkalmazható próbák. Klasszikus módszer: χ próba. Alkalmazzák homogeitás, véletleszerűség, üggetleség és illeszkedésvizsgálatra. Alapelv: megigyelt gyakoriságokat összehasolítása ullhipotézis alapjá várt gyakoriságokkal. Ha az eltérés egy bizoyos kritikus értékél agyobb, akkor elutasítjuk a ullhipotézist. Léyeg: hogya számítsuk ki a várt gyakoriságokat? Illeszkedés vizsgálat (goodess-o-it, GOF) Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált változó populációbeli eloszlása (eloszlásüggvéye) egy eltételezett F hipot eloszlás (eloszlásüggvéy)? χ -próba Feltételek: a próbához a változó értékkészletét osztályokba kell soroli és mide osztályra meghatározi az e i ú. várt gyakoriságot (a gyakoriság illeszkedés eseté várható értékét): a mitaelemszámot meg kell szorozi aak az i. osztályak a eltételezett eloszlás szeriti valószíűségével. Akkora mitával kell dolgozi, vagy az osztályokat úgy megválasztai, hogy az e i -k e legyeek 3-ál kisebbek, és 5-él kisebbek is legeljebb az osztályok %-ába. H : : F F H F F P χ

10 Próba-statisztika: ( i e i), ahol i a megigyelt gyakoriság, ei a várt χ k = i= ei gyakoriság, k pedig az osztályok száma. Kritikus tartomáy: K: { χ χkrit} megelelőe kell kikeresi. >. A kritikus értéket a szigiikacia szitek Tiszta illeszkedésvizsgálat: A eltételezett eloszlás típusa és paraméterei is ismertek. Szabadsági ok: k -. Becsléses illeszkedésvizsgálat: Csak az eloszlás típusa ismert, a paramétereit becsüljük. Szabadsági ok: k--(becsült paraméterek száma). Normalitást is ezzel a próbával vizsgálhatuk. d = eseté szokták az ú. Yates korrekciót alkalmazi: χ = k ( i ei.5), i= ei de erről a statisztikusok véleméye külöbözik, azt a módszert kell haszáli, amely a tudomáyterülete, vagy az adott olyóiratba szokásos. Példa: Kockadobás. Az az elképzelésük (modellük), hogy a kocka szabályos, azaz mide szám egyorma (/6) valószíűséggel ordulhat elő. A modell teszteléséhez dobáljuk a kockát, számoljuk az egyes előordulások gyakoriságát, majd elvégezzük a χ -próbát. Formálisa elírva a hipotéziseket: H : A kocka szabályos H : Nem szabályos ( i e i), ahol i a megigyelt gyakoriság, χ k = i= ei ei a várt gyakoriság, k pedig az osztályok száma. Behelyettesítve a képletbe: ( 8 ) ( 6 ) ( 4 ) 4 χ = = = 4.. > χ krit =. 7 elutasítjuk a ullhipotézist! érték megigyelt ( i ) várt (e i ) gyakoriság Kolmogorov-Szmirov próba Az eloszlásüggvéyek legagyobb abszolút eltérését veszi csak igyelembe. Példa: Házi rövidszőrű macskák étkezési preereciáiak tesztelése. Ugyaaz a táp 5 éle edvességtartalommal. 35 éhes macskát letettek egyekét az 5 táptól ugyaolya távolságra. Melyiket választják? H : A macskákak ics edvesség preereciája H : Legalább egyélét preerálak Próba-statisztika: d max =7 Táblázatból: d krit(.5, 5, 35) =7 K:{d max d krit } H -t elutasítjuk. Nedves száraz táp i e i kum i kum e i d i Függetleségvizsgálat khi-égyzet próba Tartható-e az az álláspot, hogy a két vizsgált változó üggetle egymástól? A próbához midkét változó értékkészletét osztályokba kell soroli (em eltétleül ugyaayi osztályba!) és mide osztály-kombiációra (cellára) meghatározi az ú. várt gyakoriságot (e ij ) az alábbi képlettel: e ij I ( ij )( ij ) i= j= = I J J ij i= j=, ahol I és J az egyik, illetve másik változó szeriti osztályok száma, ij pedig az i,j-edik cella mitabeli gyakorisága J-ik osztály Feltételek: Akkora mitára va szükség, hogy az e ij várt gyakoriságok e legyeek 3- ál kisebbek, és 5-él kisebbek is legeljebb a cellák %-ába.... I-ik oszt. ez a (, 3)-ik

11 Nullhipotézis: H: a két vizsgált változó üggetle egymástól Ellehipotézis: H: em üggetleek ( ) Próba-statisztika: = I J ij eij χ, ahol ij a megigyelt, e ij a várt gyakoriság az i= j= eij i,j-edik cellába, I és J pedig az egyik, illetve a másik változó szeriti osztályok száma. Elutasítási tartomáy: {χ :χ χ α}, ahol χ -eloszlás megelelő kritikus értéke. χ α az (I )(J ) szabadsági okú Ha em üggetle két változó, akkor hogya tudjuk méri a kapcsolat erősségét? kotigecia táblázatok (omiális változók eseté) pl. asszociációs mértékekkel, ordiális skálák eseté pl. ragkorrelációval, itervallum skála eseté pl. a korrelációs együtthatóval. Homogeitásvizsgálat Tartható-e az az álláspot, hogy a vizsgált változó eloszlása (eloszlásüggvéye) azoos a két populációba? Függetleségvizsgálat A vizsgálatot visszavezethetjük üggetleségvizsgálatra egy új változó segítségével, amelyek értéke mide mitaelemre aak a populációak a sorszáma, amelyből a mitaelem származik ( vagy ). Az, hogy a vizsgált változó ugyaolya eloszlást követ a két populációba, ekvivales azzal, hogy a vizsgált változó üggetle ettől a sorszám-változótól. A sorszám-változóak természetese két osztálya va, a vizsgált változó értékeit pedig a üggetleségvizsgálat eltételeiek megelelőe kell osztályokba soroli. osztály (populáció) 3... J-ik osztály Feltételek: lásd a üggetleségvizsgálatál. Nullhipotézis: H: F =F, ahol F és F az ismeretle eloszlásüggvéyek. Ellehipotézis: H: F F Próba-statisztika: lásd a üggetleségvizsgálatál. Elutasítási tartomáy: lásd a üggetleségvizsgálatál. Ezzel a módszerrel kettőél több populációra is végezhető homogeitásvizsgálat. Ha em lett vola érthető: midkét mitát osztályokba soroljuk, azoos határokkal. A táblázat első sorába az első mitából, a második sorába a második mitából írjuk be a megigyelt gyakoriságokat. Így az első sor az első mitára, a második a második mitára voatkozik. Ha a két sorba az eloszlás azoos, az ugyaazt jeleti, mitha a két mita üggetle lee.

12 Fisher egzakt teszt x-es kotigecia táblázatokra Ha túl kicsik a gyakoriságaik, akkor a χ próba em ad helyes eredméyt (csak közelítés, agy mitákra működik jól.) A Fisher egzakt teszt azt számítja ki, hogy az adott margiális eloszlások mellett mekkora az adott, illetve aál extrémebb táblázatok valószíűsége, ha eltételezzük a változók üggetleségét. Ha ez a valószíűség kicsi (<5%), akkor em ogadjuk el a ullhipotézist. Példa: Va 4 betegük, akik részbe pszichotikusok, részbe eurotikusok, illetve részbe érezek ögyilkossági hajlamot, részbe em. Ögyilkossági pszichotikus eurotikus Összes hajlam Ige 6 8 Nem Összes 4 Egy adott táblázat valószíűségét a hipergeometrikus eloszlás adja meg: Az adott margiálisok mellett a táblázat valószíűsége: Mit jelet az, hogy extrémebb? Kiválasztjuk azt az átlót, amelybe a gyakoriságok összege agyobb, és azt még tovább öveljük (az adott iráyú összeüggés iráyába megyük tovább.) Itt úgy tűik, mitha a eurotikusok kicsit hajlamosabbak leéek az ögyilkosságra, mit a pszichotikusok. Megézzük, hogy mi a helyzet, ha még jobba eltoljuk ebbe az iráyba a táblázatot: Ögyilkossági pszichotikus eurotikus Összes hajlam Ige 7 8 Nem Összes 4 Ögyilkossági pszichotikus eurotikus Összes hajlam Ige 8 8 Nem 3 Összes 4 A példabeli táblázat valószíűsége, illetve a ála extrémebbeké: Összese: Következtetés. A két tüet üggetleek tekithető.

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testing) A statisztikának egyik célja lehet a populáció tulajdonságainak, ismeretlen paramétereinek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8. 6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS Összefüggésvizsgálat, paraméterbecslés A kísérletek sorá a redszer állapotát ellemző paraméterek kapcsolatát vizsgáluk. A yert adatok alapá felállítuk a redszer matematikai

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálat során a rendelkezésre álló adatok (statisztikai

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Kísérletek tervezése és értékelése

Kísérletek tervezése és értékelése STATISZTIKAI ALAPOK I. STATISZTIKAI ALAPOK Adatok ábrázolása Yogi Berra: "You ca observe a lot by watchig." I. STATISZTIKAI ALAPOK Mérési adatok ábrázolása: Pot ábrázolás (Dotplot) Dotplot for Y 9 3 Y

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 TARTALOMJEGYZÉK 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin).... 7 2. téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 3. téma Összefüggések vizsgálata, korrelációanalízis (Dr. Molnár Tamás)... 73 4. téma Összefüggések

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között. Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3.

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3. Nemparametrikus tesztek 2014. december 3. Nemparametrikus módszerek Alkalmazásuk: nominális adatok (gyakoriságok) esetén, ordinális adatok esetén, metrikus adatok esetén (intervallum és arányskála), ha

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik)

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) 5.4: 3 különböző talpat hasonlítunk egymáshoz Varianciaanalízis. hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) hipotézis: Létezik olyan μi, amely nem egyenlő a többivel (Van

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet. 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak

Részletesebben