I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó."

Átírás

1 I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető. A valószíűségszámítás kereté belül véletle tömegjeleségekkel foglalkozuk. Ilye például a kockadobás eredméye, radioaktív próbába bekövetkező bomlások között eltelt idő, stb. Elemi eseméy: egy adott kísérlet lehetséges kimeetelei (ω). Eze lehetséges kimeetelek értékét valószíűségi változóak evezzük. Eseméytér: adott kísérlet összes lehetséges kimeeteleiek halmaza (Ω). Eseméy: a kísérlettel kapcsolatba megfogalmazható bármely jeleség, az eseméytér valamely részhalmaza (lati agy betűvel jelöljük). Biztos eseméy: olya eseméy, amely a kísérlet sorá midig bekövetkezik. Lehetetle eseméy: olya eseméy, amely a kísérlet sorá soha em következik be. A valószíűség fogalma: Ha egy kísérlet A kimeeteléek valószíűsége p, akkor ha a kísérletet agyo sokszor elvégezzük, azt várjuk, hogy a kimeetelek p háyadába az A kimeetel valósul meg. Ez a valószíűség gyakorisággal (frekveciával) megadott értelmezése. I.. Valószíűségi változó. Eloszlásfüggvéy Diszkrét valószíűségi változó. Diszkrét eloszlásfüggvéy Legye X egy véletleszerű változó, amely adott kísérlet kimeeteléek értékét jeleti. Feltételezzük, hogy a kísérletek véges sok kimeetele lehetséges, tehát az Ω eseméytér diszkrét véges halmaz (X összes lehetséges értékeiek halmaza). Az X valószíűségi változó eloszlásfüggvéye egy Ω értelmezési tartomáyú valós értékkészletű m függvéy, amely eleget tesz az alábbi követelméyekek: 1. m ( ω) 0, ahol ω Ω. m ( ω) = 1. ω Ω Legye E egy tetszőleges részhalmaza Ω-ak, akkor az E eseméy valószíűsége E) szám úgy, hogy: E) = m(ω) ω E 115

2 Folytoos valószíűségi változó. Az eloszlásfüggvéy értelmezése Tekitsük a következő esetet: véletleszerűe rámutatuk egy X potra a [0, 1] itervallumból. Háyféle kimeetele lehet eek a kísérletek? Milye tulajdoságai vaak ebbe az esetbe az eseméytérek? Köye belátható, hogy a kísérletek megszámlálhatatla végtele sok kimeetele lehetséges, és az eseméytér éppe az Ω = [0, 1] valós itervallum. Látható tehát, hogy az X folytoos véletleszerű változó, eloszlásfüggvéyét ezért más godolatmeet alapjá kell megadi. Ebbe az esetbe em értelmezett a valószíűségek az a meghatározása, hogy egy adott kimeetel valószíűsége egyelő lee a kedvező esetek számáak és az összes próbálkozások számáak háyadosával. Az eloszlásfüggvéyt a következőképpe értelmezzük folytoos valószíűségi változók eseté: P ([ x, x + dx]) f ( x) dx, ahol [x, x+dx]) aak valószíűsége, hogy a változó az [x, x+dx] itervallumba essék, f(x) az eloszlásfüggvéy. Az eloszlásfüggvéy tulajdoságai: 1. f ( x) 0, x R b. P ( a X b) = f ( x) dx, a, b R a 3. f ( x) dx = 1 (az eloszlásfüggvéy egységre ormált). Ω 3. Műveletek eseméyekkel, összetett eseméyek Eseméyekkel úgy végzük műveleteket, mit halmazokkal, ezért a továbbiakba halmazelméleti jelöléseket foguk haszáli. Legye A és B két halmaz. Értelmezzük a következő műveleteket: A B = { x x A x B}, A B = { x x A x B}, A B = { x x A x B}, A = { x x Ω x A}. A1. ábra Halmazokkal végzett műveletek 116

3 Eseméyekkel végzett műveletek legfotosabb tulajdoságai: Legye Ω eseméytér, A, B eseméyek. 1. P ( A) 0, A Ω.. P ( Ω) = A B) = A) + B) A B) 4. A) = 1 A), A Ω Tekitsük a dobókockával való dobást mit véletleszerű folyamatot, és keressük az ezzel kapcsolatos külöböző eseméyek valószíűségét. Ebbe az esetbe az eseméytér véges, 6 elemet tartalmaz, az elemek a kocka lapjai levő potok számát jelölik.: Ω = {1,,3,4,5,6} Feltételezzük, hogy a dobókocka em cikelt, vagyis bármely lap ugyaolya valószíűséggel jeletkezik. Az eloszlásfüggvéy így: 1 m ( i) =, i = 1,,, 6. 6 Tekitsük azt az E eseméyt, hogy páros számot dobuk, vagyis E = {, 4, 6}. Ekkor P ( E) = m() + m(4) + m(6) = + + = Keressük aak valószíűségét, hogy e dobjuk egyest vagy hatost. Legye F = {1, 6}. 1 P ( F ) = 1 F) = 1 =. 3 3 Adjuk meg aak valószíűségét, hogy párost dobuk vagy hárommal oszthatót. Legye a két eseméy: E = {, 4, 6}, F = {3, 6}. Akkor: E F = {, 3, 4, 6}. Azoal belátható: P ( E F) =. 3 Elleőrizzük a 3. tulajdoság helyességét! 4. Fotos eloszlásfüggvéyek Egyeletes eloszlás Diszkrét egyeletes eloszlás: Legye Ω eseméytér számossága. Egyeletes eloszlást mutató véletleszerű változó eloszlásfüggvéye: 1 m ( i) =, i = 1,, K, Köye belátható, hogy ez eleget tesz az eloszlásfüggvéyek tulajdoságaiak. Folytoos egyeletes eloszlás: Legye Ω R eseméytér. Értelmezzük az egyeletes eloszlás eloszlásfüggvéyét: f(x) = c, ahol c R álladó, értéket a ormálási feltételből számítjuk ki: 117

4 Ω f ( x) dx = 1. Beroulli v. biomiális eloszlás Adott kísérletek kétféle kimeetele lehetséges: siker, kudarc. Legye a siker valószíűsége p, jelöljük q=1-p a kudarc bekövetkezési valószíűségét. Keressük aak valószíűségét, hogy próbálkozásból potosa k kimeetel sikeres. Egy siker bekövetkezési valószíűsége p, akkor k db siker valószíűsége p k. Hasolóa, a femaradó -k esetek kudarcak kell leie, eek valószíűsége q -k. Másrészt, k próbálkozás sorá C - féleképpe valósulhat meg k kedvező eseméy. Összegezve, aak valószíűsége, hogy próbálkozásból potosa k siker adódik, ha a siker valószíűsége p: k k k b(, p, k) = C p q Ez az összefüggés az ú. Beroulli vagy biomiális eloszlás. A. ábra Beroulli eloszlásra kapott szimulációs eredméyek Szükséges kimutati, hogy ez valóba eloszlásfüggvéy, vagyis, hogy: 1. 0 < b (, p, k) < 1, bármely k és 0 < p <1 eseté.. b(, p, k) = 1. Köye belátható, hogy ez az összeg em más, mit a (p + q) k= 1 kifejtése. Tudjuk viszot, hogy p + q = 1. Ezeel bebizoyítottuk, hogy a biomiális eloszlás eleget tesz az eloszlásfüggvéyre kiszabott követelméyekek. 118

5 Poisso eloszlás Tekitsük a következő esetet: adott eseméy véletleszerű időközökét következik be. Azt tudjuk, hogy egységyi idő alatt átlagosa λ = kostas bekövetkezés törtéik. (Például egy agyvárosi redőrségre véletleszerű időközökét érkezek telefohívások, és a sok éves tapasztalat azt mutatja, hogy átlagba 5 perc alatt 8 telefohívás érkezik.) Keressük a bekövetkezések eloszlását. Kiiduluk a biomiális eloszlából. Felosztjuk az adott időitervalumot egyelő hosszúságú alszakaszra úgy, hogy egy ilye rövid időszakba legfeebb egy bekövetkezés essék. Ilye módo, az a szakasz számít sikerek a biomiális eloszlás tekitetébe, amikor törtéik eseméy, a több szakasz üres, vagyis sikertele. Első lépésbe keressük a siker p valószíűségét. Egységyi idő alatt átlagosa λ siker következik be, haszálva a Beroulli eloszlás jelöléseit, ez em más, mit p. λ = p λ p = Felhaszálva a biomiális eloszlást, keressük a bekövetkezések (X) eloszlását: λ λ = = = X 0) b(, p,0) (1 p) = 1 e, ha agyo agy szám. Bármely rögzített k érték esete felírható: b(, p, k) λ ( k 1) p λ =, szité agy (tehát kis p) értékek eseté. b(, p, k 1) kq k Ilyeformá: P ( X = 1) λe λ, illetve általáosa: k λ λ X = k) e k! Ez utóbbi kifejezés a Poisso eloszlást szolgáltatja. Megadja aak valószíűségét, hogy egységyi idő alatt potosa k bekövetkezés törtéik. Gyakorlat! Mutassuk meg, hogy a Poisso eloszlás eleget tesz az eloszlásfüggvéyek tulajdoságaiak! Expoeciális eloszlás Az expoeciális eloszlás egyike a legfotosabb folytoos eloszlásfüggvéyekek. Szoros kapcsolatba áll a Poisso eloszlással. Tekitsük ismét véletleszerű időközökét bekövetkező eseméyt. Legye ez például egy rádioaktív próba eseté két egymás utái bomlás között eltelt idő. Keressük két egymás utái bekövetkezés között eltelt idő eloszlásfüggvéyét. Erre a célra gyakra alkalmas az ú. expoeciális eloszlásfüggvéy: x f ( x) = λe λ, ahol 0 x <. Az eloszlásfüggvéy a megevezett itervallumo kívül ulla értéket vesz fel. A kifejezésbe szereplő λ egy pozitív álladó. Jeletését megadjuk a későbbiekbe. Gyakorlatkét javasoljuk aak bizoyítását, hogy a feti expoeciális függvéy valóba egységre ormált eloszlásfüggvéy. 119

6 A3. ábra Expoeciális eloszlás külöböző paraméter-értékekre Az expoeciális eloszlás segítségével gyakra aduk választ olya típusú kérdésekre, hogy: Meyit kell vári, amíg Legye T expoeciális eloszlást követő valószíűségi változó λ paraméterrel. Mi a valószíűsége aak, hogy T x? F( x) x λt = T x) = λe dt = 1 0 e λx. Vizsgáljuk az expoeciális eloszlás egyik legfotosabb tulajdoságát, a memória hiáyát. Kiszámítjuk aak valószíűségét, hogy még kell vári s időt egy bekövetkezésre, ha már vártuk előzőleg r időt. Ez egy feltételes valószíűség. (A feltételes valószíűséget a következőképpe jelöljük és értelmezzük általaosa: E F) E F) =. F) Megadja aak valószíűségét, hogy bekövetkezik az E eseméy, ha tudjuk, hogy F eseméy már bekövetkezett.) Jele esetbe az expoeciális eloszlásál azt fogjuk megmutati, hogy igaz a következő egyelőség: P ( T > r + s T > r) = T > s) Eek igazolására kiszámítjuk az egyelőség két oldalá megjeleő valószíűségeket. A jobb oldalo: λs 1 F( s) = e, míg a baloldalo szereplő feltételes valószíűségre írhatjuk: λ ( r+ s) T > r + s) 1 F( r + s) e λs = = = e. λr T > r) 1 F( s) e Ie világosa látszik, hogy aak valószíűsége, hogy még s ideig vári kell egy bekövetkezésre függetle attól, hogy előzőleg már r ideig vártuk. Ez az expoeciális eloszlásra jellemző agyo fotos tulajdoság, a memória hiáya. 10

7 Normál- vagy Gauss-eloszlás A legfotosabb, természetbe leggyakrabba előforduló eloszlásfüggvéy a ormál- vagy Gauss-eloszlás. Alakja: f ( x) = későbbiekbe. 1 e π σ ( x= µ ) / σ, ahol µ és σ paraméterek, jeletésüket megadjuk a A4. ábra Normáleloszlás, µ = 0 Abba az esetbe, amikor a paraméterek µ = 0 és σ = 1 értéket veszek fel, stadard ormáleloszlásról beszélük. A ormáleloszlás hatalmas jeletőségét a valószíűségszámítás agyo fotos alaptétele, a közepes határeloszlás tétele fogalmazza meg. Ezt a tételt kijeletjük, de bizoyítása túllépi eze jegyzet kereteit, ezért em bizoyítjuk. (Bizoyítását lásd pl. Charles M. Gristead és J. Laurie Sell: Itroductio to Probability, 10.3 fejezet.) A közepes határeloszlás tétele kimodja, hogy agy számú, tetszőleges eloszlást követő valószíűségi változó összegére jellemző eloszlásfüggvéy a ormáleloszláshoz tart. Aak igazolása, hogy a ormáleloszlás valóba eleget tesz az eloszlásfüggvéyekkel szembe támasztott követelméyekek, em magától értetődő. Ki kell mutati, hogy 1 ( = ) / e x µ σ dx = 1. πσ Az elvégzedő itegrálál azt haszáljuk fel, hogy = x x e dx e dx = π 0 11

8 5. Várható érték (átlag), szórás, korreláció Várható érték Tekitsük a következő játékot: Dobókockával dobuk. Ameyibe páros számot dobuk, a számak megfelelő összeget veszítük, ha páratlat dobuk, yerük. Pl. ha kettest dobuk, veszítük kettőt, ha hármast dobuk, akkor yerük hármat. Fel kell méri, hogy érdemes-e játszai! Szereték tudi, hogy átlagosa meyi yereségre számíthatuk, és ezt a következőképpe számítjuk ki: µ = = A játék tehát em yereséges a játékos számára. A bevezető példa utá értelmezzük diszkrét valószíűségi változó eseté az átlagot (várható értéket): Legye X diszkrét valószíűségi változó, Ω eseméytérbe és m(x) eloszlásfüggvéyel. Ekkor: µ = E ( X ) = X = xm( x) x Ω Ameyibe a feti összeg em abszolút koverges, azt modjuk, hogy X-ek ics jól meghatározott várható értéke. Gyakorlat! Mutassuk meg, hogy a biomiális eloszlásra jellemző várható érték µ = p. Számítsuk ki a Poisso eloszlás várható értékét! Áttérük a folytoos eloszlású valószíűségi változók esetére, adott f(x) eloszlásfüggvéy. A várható értéket ekkor a következő kifejezés szolgáltatja: µ = E ( X ) = X = xf ( x) dx Vizsgáljuk az expoeciális eloszlás esetét. Arra akaruk választ adi, hogy átlagosa meyi idő telik el pl. két egymást követő radioaktív bomlás között. A várható érték defiíciója alapjá: 1 ( ) = = λ λ x E X X x e dx = 0 λ Ezeel értelmezi tudjuk az expoeciális eloszlásra jellemző λ paramétert, ami em más, mit az átlagérték reciproka. Radioaktív bomlás eseté bomlási álladóak evezzük, megadja, hogy egységyi idő alatt átlagosa háy bomlás törtéik. A Gauss-eloszlás µ paramétere szité az eloszlásra jellemző átlagérték. A számítások elvégzése léyegese köyebb a stadard alak felhaszálásával. Gyakorlatkét javasoljuk aak igazolását, hogy a stadard Gauss-eloszlás (µ = 0) eseté az átlagérték valóba 0. Ilyekor azt modjuk, hogy az eloszlás ullára cetrált, és a haraggörbe alakja szimmetrikus az Oy tegelyre ézve. 1

9 A várható érték tulajdoságai: Legye X és Y két valós véletleszerű változó, c álladó, akkor 1. E(X + Y) = E(X) + E(Y),. E(cX) = ce(x). Általáosa: E(c 1 X 1 + c X + + c X ) = c 1 E(X 1 ) + c E(X ) + +c E(X ). Legye X és Y egymástól függetle véletleszerű változó. Akkor: E(XY) = E(X)E(Y). Szóráségyzet (varaicia), szórás Legye X valós értékű valószíűségi változó, várható értéke E(X) = µ. Ekkor X szóráségyzete (variaciája): V ( X ) = σ = E(( X µ ) ) = E( X µ X + µ ) = E( X ) µ E( X ) + µ = E( X ) µ Ie azoal adódik a szórás vagy stadard deviáció kifejezése: D ( X ) = σ = V ( X ). A szóráségyzet tulajdoságai: 1. V(cX) = c V(X),. V(X + c) = V(X). 3. Ha X és Y függetleek: V(X+Y) = V(X) + V(Y). Gyakorlat! Elleőrizzük a feti állítások helyességét. A szóráségyzet kiszámítása Mideek előtt az E(X ) meyiséget kell kiszámítai a következőképpe: Diszkrét esetbe: E ( X ) = X = x m( x) x Ω Ie a szóráségyzetre kapjuk: V Folytoos esetbe: ( X ) = E( X ) ( E( X )) = X X E ( X ) = X = x f ( x) dx A diszkrét esethez hasolóa számítjuk a szóráségyzetet. A szóráségyzet jeletése: megadja a valószíűségi változóak az átlagtól való közepes égyzetes eltérését. Gyakorlat! Mutassuk meg, hogy a Beroulli eloszlás szóráségyzete σ = pq. A ormáleloszlás eseté a σ paraméter éppe a szóráségyzetet jeleti. A számításokat ismét köyebb elvégezi a stadard ormáleloszlás esetére, és elleőrizhető, hogy ha σ = 1 paraméterrel dolgozuk, akkor a szóráségyzetre is 1-et kapuk. Gyakorlat! Számítsuk ki a λ paraméterű expoeciális eloszlás szóráségyzetét! 13

10 Korreláció Legye X és Y két véletleszerű változó. Értelmezzük a két változó kovariaciáját: cov( X, Y ) = E(( X µ ( X ))( Y µ ( Y ))) A kovariacia tulajdoságai: 1. cov( X, Y ) = E( XY) E( X ) E( Y ). cov( X, Y ) = 0, ha X és Y egymástól függetleek. 3. V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) + cov( X, Y ) Éretlemezzük X és Y változók korrelációját: cov( X, Y ) ρ ( X, Y ) = és 1 ρ ( X, Y ) 1. V ( X ) V ( Y ) 6. A Stirlig képlet Végezetül megaduk egy redkívül haszos öszefüggést, amely agy számok faktoriálisára ad ige jó közelítést. Sok valószíûségi probléma eseté eek a haszálata jeletõse megköyití az aalitikus számolásokat:! π (Stirlig képlete) e Gyakra haszáljuk a feti Stirlig képlet logaritmusát: l(!) l 14

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

VII.Valószínűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak

VII.Valószínűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak VII.Valószíűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak VII..A valószíűségszámítás elemei A valószíűségszámítás a véletle tömegjeleségeket taulmáyozó, kb. 300 éves tudomáy. Véletle jeleség: em

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

1. gyakorlat - Végtelen sorok

1. gyakorlat - Végtelen sorok . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8. 6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak

Részletesebben

prob and stat Agoston Roth /3/15 10:21 page i #1 és statisztika laborfeladatok

prob and stat Agoston Roth /3/15 10:21 page i #1 és statisztika laborfeladatok prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page i # Róth Ágosto Valószíűség-számítás és statisztika laborfeladatok Presa Uiversitară Clujeaă Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 0 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0:

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44.

Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. Dr. Vincze Szilvia Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. tétel) Környezetünkben sok olyan jelenséget

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Random Club 2010 tavasz Advanced probabilistic calculus for engineers

Random Club 2010 tavasz Advanced probabilistic calculus for engineers Exercitatio artem parat (Tacitus) Radom Club 200 tavasz Advaced probabilistic calculus for egieers Mide jeleséget okok redszere hoz létre, amelyek midegyikét legtöbbször em tudjuk figyelembe vei, így a

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék

æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Mariaa, Matematika Itézet, Sztochasztika Taszék Leíró statisztika Ω, A, P) statisztikai mező, ahol a P mértékcsalád olya P eloszlásokból áll, melyekkel Ω, A, P) valószíűségi

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben