Valószín ségszámítás (jegyzet)

Átírás

1 Valószí ségszámítás (jegyzet) Csiszár Vill 9. február 8.. Valószí ségi mez Két bevezet példa: ) Osztozkodási probléma (494, helyes megoldás több, mit évvel kés bb, Pascal, Fermat): Két játékos fej-írás játékot játszik, az yer, aki el bb ér el 6 potot. Azoba a játék 5 : 3-as állásál félbeszakad. Kérdés: milye aráyba osztozzaak a yereméye? Válasz: ha a yerési esélyek aráyába tartjuk igazságosak az osztozást, akkor 7 : aráyba kell osztoziuk. )Körbever kockák: Három kockára felírjuk az 8 számokat az alábbiak szerit: I. 3 4 II III A játék a következ. El ször A választhat egy kockát, majd B választhat a maradék kett b l. Ezutá midkette feldobják a kockájukat, és az yer, aki agyobbat dob. Kiek el yös a játék? Válasz: B-ek el yös, mert a kockák körbeverik egymást: I-él jobb II, II-él jobb III, III-ál jobb I. Tehát akármit választ A, aál tud B jobbat választai. Tekitsük egy véletle kísérletet: Jelölje a lehetséges kimetelek halmazát Ω, eek eve eseméytér. Az eseméytér elemeit jelölje ω Ω, ezek az elemi eseméyek. Az eseméytér (bizoyos) A Ω részhalmazai az eseméyek. ω A, akkor az A eseméy bekövetkezett Ha a kísérlet kimeetele ω, és ω / A, akkor az A eseméy em következett be.. Példa. Feldobuk egy dobókockát. Ω {,, 3, 4, 5, 6} (mit dobuk) Legye A {, 4, 6} az az eseméy, hogy "páros számot dobuk" Ha 4-est dobtuk, azaz ω 4, akkor az A eseméy bekövetkezett. Ha 5-öst dobtuk, azaz ω 5, akkor az A eseméy em következett be. Eseméyek: techikai okokból sokszor em lesz az eseméytér mide részhalmaza (meggyelhet ) eseméy. Jelölje az eseméyek családját A Ω, err l a következ tulajdoságokat követeljük meg: ) Ω A: Ω eve biztos eseméy ) A A A A: ha A eseméy, akkor a komplemetere is 3) A, A, A 3,... A A i A: megszámlálható sok eseméy uiója is eseméy Mj.: Az ),),3) feltételekek elget tev A halmazredszert σ-algebráak hívjuk. Azt, hogy eseméyek metszete is eseméy legye, azért em követeljük meg, mert az már következik a ) és 3) feltételekb l, felhaszálva, hogy i A i i A i. Valószí ség: Mide eseméyek va valószí sége, az A eseméy valószí ségét P (A) jelöli, ahol P a probability szóból származik. Azaz P egy A R függvéy. P -r l a következ tulajdoságokat követeljük meg:

2 ) P (A) : mide valószí ség emegatív ) P (Ω) : a biztos eseméy valószí sége 3) Ha A, A,... A párokét diszjukt eseméyek, akkor P ( A i ) P (A i ) Mj.: Az ),),3) feltételekek elget tev P függvéyt valószí ségi mértékek hívjuk. Ezek a követelméyek a relatív gyakoriság tulajdoságaiból származtathatók. Ugyais azt szereték, ha egy eseméy valószí sége azt fejezé ki, hogy a kísérletekek kb. háyad részébe következik be az eseméy. Tegyük fel, hogy egy kísérletet egymástól függetleül -szer elvégzük, és jelölje k A, hogy háyszor következett be A. Ekkor k A az A gyakorisága, r A k A / pedig az A eseméy relatív gyakorisága. Köye elle rizhet, hogy a relatív gyakoriságra teljesülek a feti )-3) követelméyek megfelel i: ) r A ) r Ω 3) r A B r A + r B, ha A B.. Deíció. Az (Ω, A, P ) hármast Kolmogorov-féle valószí ségi mez ek hívjuk, ahol Ω emüres halmaz, A σ-agebra, P pedig valószí ségi mérték. Néháy egyszer állítás: ) P ( ) : P (Ω) P (Ω ) P (Ω) + P ( ) + P ( ). ) Mide A eseméyre P (A). P (Ω) P (A A) P (A) + P (A) P (A). S t, kijött, hogy P (A) P (A). 3) A B P (A) P (B). 4) Tetsz leges A, B A eseméyekre P (A B) P (A)P (B) 4.. Klasszikus valószí ségi mez Akkor beszélük klasszikus valószí ségi mez r l, ha az eseméytér elemszáma véges, az eseméytér mide részhalmaza eseméy, és mide elemi eseméy egyformá valószí. Azaz: Ω és ω Ω-ra P (ω) Legye A Ω. Ekkor P (A) A kedvez esetek száma összes esetek száma. i i.. Példa. (demère lovag esete) 3 kockával dobuk, a -es vagy a -es összeg valószí sége agyobb? Lehet ségek: : : Azoba ha egyformá valószí lehet ségekkel akaruk dolgozi, akkor a sorredet is gyelembe kell vei! Azaz Ω 6 3, és P ( ) ez a valószí bb 63 P ( ) Példa klasszikus valószí ségi mez re: Mitavételezés Tegyük fel, hogy egy gyár egy adott apo N terméket gyártott, melyb l M selejtes, azaz a selejtaráy p M/N. A termékekb l elem mitát veszük. Ha visszatevés élkül vesszük a mitát, akkor ( M ) ( k N M ) k P (k db selejtes) ( N. ) Ha visszatevéssel vesszük a mitát, akkor P (k db selejtes) ( k ) M k (N M) k N ( ) p k ( p) k. k

3 Visszatevés élküli mitavételél tegyük fel, hogy N, és a p selejtaráy rögzített. Nézzük meg, hová tart a korábba kiszámolt valószí ség! M! k!(m k)! (N M)! ( k)!(n M + k)! N!!(N )! ( ) k k db k db {}}{ M(M )(M ) (M k + ) (N M)(N M ) (N M + k + ) N(N ) (N + ) db 3. A szita (Poicaré) formula és a Jordá formula ( ) p k ( p) k. k Legyeek A,..., A eseméyek. Ha em diszjuktak, akkor a P (A A ) valószí ség kiszámítása ehéz lehet. Erre ad módszert a szita formula. 3.. Tétel. (Szita formula) Legyeek A,..., A eseméyek. Ekkor P (A A ) ( ) k S k, k ahol S k P (A i A i A ik ). i <...<i k (A A ) + P (A A 3 ) + P (A A + (A A Speciálisa, 3-ra a következ t kapjuk: : P (A A ) P (A ) + P (A ) P (A A ) 3 : P (A A A 3 ) P (A ) + P (A ) + P (A 3 ) (P } {{ 3 )) } P } A {{ 3 ) } S S A formula bizoyítása (vázlat): az eseméy az eseméyteret a következ részre partícioálja: Ω Ω Ω Ω (A A ) (A A ) (A A ) (A A A A ) (A A A A ) (A A A A ). ez tag Úgy kapjuk a tagot, hogy mide tagba midegyik i-re vagy A i, vagy A i szerepel. A tagok közül csak A A A ics bee az A A eseméybe. k db komplemeter élkül Vegyük egy olya tagot, amelybe eseméy szerepel k db komplemeterrel és k(. ) Azt ( kell ) megmutati, ( ) hogy ezt( a részt ) potosa egyszer számoltuk le a szita formulába: k k k k k ( ) k (k ). 3 4 k 3.. Tétel. (Jordá formula) Legyeek A,..., A eseméyek. Ekkor r ( ) k + r P (Az eseméyb l potosa r teljesül) ( ) k S k+r, r ahol S k ugyaaz, mit a szita formulába. 3.. Példa. (Névjegy probléma) Tegyük fel, hogy ember véletleszer e összekeveri a évjegyét. Jelölje B azt az eseméyt, hogy seki sem a sajátját kapja. k S 3 3

4 P (B) P (B) P (A A ), ahol A i az i.-edik ember a sajátját kapja. Alkalmazzuk a szita formulát! ( ) ( k)! ( k)! P (A i A ik ) S k! k! k!. Tehát P (B) ( )! ( ) k k! ( ) k k! e mivel x k ex k!. k k A Jordá formula segítségével azt is kiszámolhatjuk, hogy meyi az esélye, hogy potosa r ember kapja a saját évjegyét. 3.. Példa. (Születésapok) Va N ember. k P (va hóap, amelybe seki sem született) P (A A ), ahol A i az az eseméy, hogy az i.-dik hóapba em született seki, i,...,. ( ) N ( k)n k P (A i A ik ) N, ( ) ( ) N k S k. k 3.3. Példa. (Vezetékszakadás) A beszámozott vezetékek midegyike vagy vezet, vagy em, / / valószí séggel Tekitsük a következ égy eseméyt: A :, vezet, A :, 5, 4 vezet A 3 : 3, 5, vezet, A 4 : 3, 4 vezet. P (ég a lámpa) P (A A A 3 A 4 ). Most P (A i A ik ) em írható fel általáosa. S P (A ) + P (A ) + P (A 3 ) + P (A 4 ) S P (A A ) + P (A A 3 ) + P (A A 4 ) + P (A A 3 ) + P (A A 4 ) + P (A 3 A 4 ) S 3 P (A A A 3 ) + P (A A A 4 ) + P (A A 3 A 4 ) + P (A A 3 A 4 ) S 4 P (A A A 3 A 4 ) 3 P (ég a lámpa) Feltételes valószí ség 4.. Deíció. Legye A, B A és P (B) >. Az A eseméy valószí sége, feltéve hogy B bekövetkezett P (A B) (A feltételes valószí sége a B eseméyre ézve) P (A B) P (B) Ω A B 4

5 4.. Példa. Egy urába jó és selejtes csavar va, kétszer húzuk. Legye A els re jó csavart húzuk, B másodikra selejtes csavart húzuk. a) Visszatevéssel húzuk: P (A B) P (A B) P (A) B bekövetkezése em változtat A valószí ségé. P (B) 4 4 P (A B) 4 P (B A) P (A) P (B) A bekövetkezése em változtat B valószí ségé. b) Visszatevés ékül húzuk: P (A B) 4 3 P (B A) P (A) 3 > P (B) A bekövetkezése öveli B valószí ségét. P (B) P (A B) midkett selejt {}}{ P (A B) P (B) 4 els jó, második selejt 3 {}}{ 3 > P (A) B bekövetkezése öveli A valószí ségét. Mj.: Egy urába N jó és M selejtes termék va. Egymás utá, visszatevés élkül, midet kihúzzuk. Bizoyítsuk be, hogy P (k-adikra selejteset húzuk l-edikre jót húzuk), mide k l párra. M N+M 4.. Tétel. Legye A B {A B : A A} A. Ekkor A B σ-algebra B-, és (B, A B, P ( B)) valószí ségi mez. Bizoyítás. A B σ-algebra B-, mivel ) B B Ω A B ) A B A B B \ (A B) A B A B 3) A i B A B i (A i B) ( i A i ) B A B P ( B)valószí ségi mérték B-, mivel ) általáosabba: A A : P (A B P (B B) ) P (B B) P (B B) P (B) P (B) P (B) 3) általáosabba: A, A,... A : A i A j (i j) P ( A i B) P (A i B) i P ( i i A i B) P (( i A i) B) P (B) (A i B) (A j B) mivel A j, A i diszjuktak (i j) P ( i (A i B)) P (Ai B) def P (A i B) P (B) P (B) 4.. Deíció. B, B,... A teljes eseméyredszer (TER), ha ) P (B i ) > ) i B i Ω (elég, ha P ( B i ) ) 3) B i B j (i j) B B B i Ω A 4.. Tétel. (Teljes valószí ség tétele) Legye A A tetsz leges eseméy, és B, B,... TER. Ekkor P (A) P (A B i ) P (B i ). Bizoyítás. P (A) P (A Ω) P (A ( B i )) P ( (B i A)) diszj i P (B i A) P (B i ) P (B i ) P (A B i ) P (B i ). i i P (B i A) i 5

6 4.. Példa. Egy dobókockával addig dobuk, amíg hatost em kapuk. Meyi aak a valószí sége, hogy em dobuk közbe ötöst? Legye B : -edikre dobuk el ször hatost (,, 3,...). Ekkor B, B,... TER, és P (B ) 5 6. Legye még A: em dobuk ötöst közbe. A feti tétel szerit P (A) P (A B ) P (B ). Itt Visszahelyettesítve, P (A B ) P (A B ) P (B ) P (A) ( ) Tétel. (Bayes tétele) Legye A A eseméy, és B, B,... teljes eseméyredszer. Ekkor P (B k A) P (A B k ) P (B k ) P (A. Bi ) P (B i ) i Bizoyítás. A jobboldal számlálója P (A B k) P (B k ) P (A B k ), a jobboldal evez je pedig éppe P (B k ) P (A) a teljes valószí ség tétele szerit Példa. Tegyük fel, hogy egy hallgató a feltett kérdésre 3 4 valószí séggel tudja a választ. Ha em tudja, akkor tippel, és 3 valószí séggel találja el a helyes választ. a) Meyi az esélye, hogy a hallgató helyese válaszol? b) Ha a hallgató helyese válaszolt, meyi a valószí sége, hogy tudta is a választ? Legye A: a hallgató helyese válaszol, B : tudja a választ, B : em tudja a választ. Ekkor B, B TER, P (B ) 3 4, P (B ) 4, P (A B ), P (A B ) 3. Ebb l a) P (A) P (A B ) P (B ) + P (A B ) P (B ) P (A B ) P (B ) b) P (B A) P (A B ) P (B ) + P (A B ) P (B ) Eseméyek függetlesége Deíció. Az A és B eseméyek függetleek, ha P (A B) P (A) P (B). Mj.: Ha P (B) >, akkor az azzal ekvivales, hogy P (A B) P (A). 5.. Deíció. a) Az A,..., A eseméyek függetleek, ha i < < i k választásra P (A i A i A ik ) P (A i ) P (A i ) P (A ik ). b) Az A,..., A eseméyek párokét függetleek, ha i j-re A i és A j függetleek Deíció. Az A, A,... végtele sok eseméy függetle, ha közülük bármely véges sok eseméy függetle. 6

7 5.. Példa. Egy kockával -szer dobuk. Legye A: az. dobás páros, B: a. dobás páratla, C: a két dobás összege páros. Ekkor A, B, C párokét függetleek, mivel P (A) P (B) P (C) és de em fóggetleek, mivel P (A B C). P (A B) P (A C) P (B C) 4, 5.. Tétel. Függetle eseméyek közül tetsz leges sokat kicserélve a komplemeterére, függetle eseméyeket kapuk. Bizoyítás. Elég beláti, hogy egy eseméyt ki lehet cseréli a komplemeterére. Feltehetjük, hogy A - et cseréljük A -re. Az új eseméyek metszetére voatkozó szorzási szabály csak abba az esetbe szorul bizoyításra, ha az A, A,..., A k eseméyek lettek kiválasztva. Azt kell tehát beláti, hogy B P (B) {}}{ P (A A A k ) P (A ) P (A ) P (A k ). Ez viszot köy : P (A B) P (B) P (A B) P (B) P (A )P (B) ( P (A ))P (B) P (A )P (B). 5.. Tétel. Legye P (A) vagy, és B tetsz leges eseméy. Ekkor A és B függetleek. Bizoyítás. a) Legye el ször P (A). Ekkor P (A) P (B), valamit A B A miatt P (A B). b) A P (A) eset az el z tételb l következik. 6. Valószí ségi változók 6.. Deíció. Egy X : Ω R függvéyt valószí ségi változóak evezük, ha teljesül rá, hogy mide a < b valós számpárra {ω Ω : a X(ω) < b} A. Mj.: A feltétel azért kell, hogy a P (X B) valószí ségek értelmesek legyeek a szép B R halmazokra. 6.. Példa. Feldobuk két dobókockát, evezzük ket egyes és kettes kockákak. Láttuk, hogy a kísérlethez tartozó eseméytér 36 elem, Ω {(ω, ω ) : ω, ω 6}. Ha a két kockát em tudjuk megkülöbözteti, akkor Ω em mide részhalmaza eseméy, csak az olyaok, melyekre ha (ω, ω ) A, akkor (ω, ω ) A is teljesül. Ezért az az X : Ω R függvéy, melyre X((ω, ω )) ω (azaz az egyes kockával dobott érték) em valószí ségi változó, hisze pl. { X < } {X } {(, ω ) : ω 6} A. Ilye függvéyel em lee érdemes foglalkozi, hisze az értékét em tudjuk meggyeli. 6.. Deíció. Az X valószí ségi változó diszkrét, ha értékkészlete megszámlálható (véges vagy végtele). Ha X diszkrét, akkor lehetséges értékei felsorolhatók: x, x,.... Továbbá a valószí ségi változóra tett feltétel miatt i : { ω } X(ω) xi A azaz a P (X xi ) valószí ség értelmes. Jelölje p i P (X x i ). Ekkor a p i számok emegatívak, és p i, ui. az {X x i } eseméyek párokét diszjuktak és az egyesítésük Ω. i 6.3. Deíció. a) A p (p, p,...) (véges vagy végtele) sorozatot diszkrét valószí ségeloszlásak evezzük, ha p i és p i. i b) Az X diszkrét valószí ségi változó eloszlása az (x i, p i ) i,... párok sorozata, ahol x i -k az X lehetséges értékei, és p i P (X x i ). 7

8 6.. Nevezetes diszkrét eloszlások Biomiális eloszlás Jelölje X, hogy függetle kísérletb l háyszor következik be egy p valószí ség A eseméy. Ekkor X eloszlása biomiális, az eloszlás redje, paramétere p. Jelölésbe: X Bi(, p). X eloszlása: (k, p k ) k,,...,, ahol p k ( k) p k ( p) k. A p k valószí ség levezetése: legye A i : az i. kísérletbe bekövetkezik az A eseméy. Ekkor {X k} ɛ: ɛika ɛ Aɛ, ahol ɛ (ɛ,..., ɛ ) {, }, és A i A i, A i A i. Mivel az uió diszjukt, és a metszet tagjai függetleek: P (X k) ɛ: ɛ ik P (A ɛ ) P (Aɛ ) ɛ: ɛ ik p k ( p) k ( ) p k ( p) k. k 6.. Példa. a) Egy urába M piros és N M fekete golyó va, -szer húzuk visszatevéssel. Jelölje X, hogy háyszor húzuk pirosat. Ekkor X Bi(, M/N). b) Jelölje X, hogy hallgatóból háya születtek októberbe. Ekkor X Bi(, /). c) Egy teszte 5 kérdés va, midehol 4 válaszlehet ség. Véletleszer e töltöm ki a tesztet. Jelölje X a helyes válaszok számát. Ekkor X Bi(5, /4). Mj.: Az red biomiális eloszlás másik eve idikátor eloszlás, jelölésbe Bi(, p) Id(p). Hipergeometriai eloszlás Egy urába N golyóból M jelölt. Jelölje X, hogy visszatevés élküli húzásból háyszor húzuk jelölt golyót. Ekkor X eloszlása hipergeometriai, az eloszlás paraméterei N, M,. Jelölésbe: X Hipgeo(N, M, ). ( M )( N M ) k k X eloszlása: (k, p k ) k,,...,, ahol p k ( N. ) Geometriai (Pascal) eloszlás Jelölje X, hogy háyadik függetle kísérletbe következik be el ször egy p valószí ség A eseméy. Ekkor X eloszlása geometriai, az eloszlás paramétere p. Jelölésbe: X Geo(p). X eloszlása: (k, p k ) k,,..., ahol p k ( p) k p. A p k valószí ség levezetése: legye A i : az i. kísérletbe bekövetkezik az A eseméy. Ekkor a függetleség miatt tehát {X k} A A k A k, p k P (A ) P (A k )P (A k ) ( p) k p Példa. a) Jelölje X, hogy háyadik kockadobásra kapuk el ször 6-ost. Ekkor X Geo(/6). b) Jelölje X, hogy háy hallgatót kell végigkérdezi, mire az els Skorpiót megtalálom. Ekkor X Geo(/). Negatív biomiális eloszlás Jelölje X, hogy háyadik függetle kísérletbe következik be r-edszer egy p valószí ség A eseméy. Ekkor X eloszlása egatív biomiális, az eloszlás redje r, paramétere p. Jelölésbe: X N egbi(r, p). X eloszlása: (k, p k ) kr,r+,..., ahol p k ( k r ) p r ( p) k r. 8

9 A p k valószí ség levezetése: legye A i : az i. kísérletbe bekövetkezik az A eseméy. Ekkor {X k} ɛ: ɛir A ɛ Aɛ k k A k, ahol ɛ (ɛ,..., ɛ k ) {, } k, és A i A i, A i A i. Az uió most is diszjukt, a metszet tagjai pedig függetleek, tehát ugyaúgy számolhatuk tovább, mit a biomiális eloszlásál. Mj.: Az r red egatív biomiális eloszlás éppe a geometriai, azaz Negbi(, p) Geo(p). Poisso eloszlás λ λk Ha X eloszlása (k, p k ) k,,..., ahol p k e k!, akkor X Poisso eloszlású. Az eloszlás paramétere a λ > szám. Jelölésbe: X P oisso(λ). Mivel a p k valószí ségeket most em egy modellb l számoltuk ki, meg kell mutati, hogy a p k sorozat valószí ségeloszlás: λ k k! e λ e λ λ k. k! k k e λ A Poisso eloszlás a gyakorlatba felbukkaó, fotos eloszlás. A következ tétel mutatja, hogy agy red biomiális eloszlás jól közelíthet Poisso eloszlással. 6.. Tétel. Tegyük fel, hogy és p λ, azaz p λ. Ekkor ( lim )p k( p ) k λ λk e k k!. Bizoyítás. Itt ( ) ( k + ) k! ( ) k ( λ λ ) k ( λk ( ) ( k + ) k! k ) λ ( ) λ k. ( ( ) ( k + ) k ) ( k ) ha, továbbá ( λ ) e λ és ( λ ) k. Mj.: A tétel feltételei mellett az is igaz, hogy ( )p k( p ) k λk k k k! e λ Példa. A gyakorlatba Poisso eloszlásúak tekithet például a sajtóhibák száma egy oldalas szövegbe, a telitalálatos szelvéyek száma egy adott heti lottóhúzáso, vagy a magyarországi autóbalesetek száma egy apo. 6.. Eloszlásfüggvéy, s r ségfüggvéy 6.4. Deíció. Az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye az F : R [, ] függvéy, ahol F (x) P (X < x) (x R). Az eloszlásfüggvéy segítségével kiszámolhatók a P (X B) valószí ségek. A legegyszer bb eset, ha B (esetleg elfajult) itervallum vagy félegyees. Szükség lesz a következ lemmára. 6.. Lemma. (Folytoossági lemma) Legye B B B 3 eseméyek mooto csökke sorozata, és B i. Ekkor P (B i ) ha i. i 9

10 Bizoyítás. Tekitsük a B eseméy következ diszjukt felbotását: B (B \ B ) (B \ B 3 ). A valószí ség additivitása miatt tehát P (B ) P (B i \ B i+ ) (P (B i ) P (B i+ )) lim i i Ebb l adódik, hogy lim P (B + ). i (P (B i ) P (B i+ )) lim (P (B ) P (B + )) P (B ) lim P (B +). 6.. Feladat. (Folytoossági lemma átfogalmazása) Legye B B és i B i B. Bizoyítsuk be, hogy lim i P (B i ) P (B). Visszatérve a félegyeesek és itervallumok valószí ségére: a) P (X < b) F (b). b) P (a X < b) P (X < b) P (X < a) F (b) F (a). c) P (X a) F (a). d) P (X b) lim x b F (x) F (b + ): legye ugyais x b (azaz x x x 3, x x), és B {b < X < x }. Ezekre teljesül B B B 3 és B i, így a lemma szerit P (B ). Továbbá F (x ) P (X < x ) P (X b) + P (B ), így P (X b) lim F (x ) F (b + ). e) P (X > a) F (a + ). f) P (a < X < b) F (b) F (a + ). g) P (a X b) F (b + ) F (a). h) P (X b) F (b + ) F (b). 6.. Tétel. Legye F egy X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye. Ekkor ) F mooto emcsökke, azaz a < b-re F (a) F (b). ) lim F (x) és lim F (x). x x 3) F balról folytoos, azaz ha x x, akkor F (x ) F (x). Bizoyítás. ) a < b-re {X < a} {X < b}, így F (a) F (b). ) Az els höz: Legye x és B {X < x }. A B sorozatra alkalmazható a lemma, tehát F (x ) P (B ). A másodikhoz: Legye x és B {X x }. A B sorozatra alkalmazható a lemma, tehát F (x ) P (B ). 3) Legye B {x X < x}, ezekre alkalmazható a lemma, tehát F (x) F (x ) P (B ). Mj.: Ha egy F függvéyre teljesülek a feti feltételek, akkor létezik hozzájuk X valószí ségi változó, melyek eloszlásfüggvéye éppe F. Milye kapcsolatba áll egymással egy X diszkrét valószí ségi változó eloszlása és eloszlásfüggvéye? Köy láti, hogy az (x i, p i ) eloszlású diszkrét valószí ségi változó eloszlásfüggvéye lépcs s, azaz az x i értékekbe szakadása va, az ugrás agysága éppe p i, és két szomszédos x i érték között az eloszlásfüggvéy kostas. 6.. Feladat. Rajzoljuk fel a következ diszkrét valószí ségi változók eloszlásfüggvéyét! a) X egy dobókockával dobott érték. b) X három érmedobásból a fejek száma. Diszkrét valószí ségi változók esetébe kéyelmesebb az eloszlással dolgozi, mit az eloszlásfüggvéyel. Az F függvéy ikább a folytoos változók esetébe haszos Deíció. a) X folytoos valószí ségi változó, ha az F eloszlásfüggvéy (midehol) folytoos. Ez azzal ekvivales, hogy P (X x) mide x-re. b) X abszolút folytoos valószí ségiváltozó, ha va olya f függvéy, melyre F (x) az f függvéyt az X s r ségfüggvéyéek evezzük. i x f(t) dt. Ekkor

11 A gyakorlatba haszált valószí ségi változók majdem midig vagy diszkrétek, vagy abszolút folytoosak. Abszolút folytoos esetbe F (majdem midehol) diereciálható, és f(x) F (x) Tétel. Legye f egy X valószí ségi változó s r ségfüggvéye. Ekkor ) f(x). ) f(x) dx. Bizoyítás. ) Mivel F mooto öv, így deriváltja emegatív. y ) f(x) dx lim f(x) dx lim F (y). y y Mj.: Ha egy f függvéyre teljesülek a feti tulajdoságok, akkor létezik hozzájuk X valószí ségi változó, melyek s r ségfüggvéye éppe f. A s r ségfüggvéy segítségével is kiszámolhatók a P (X B) valószí ségek. A legegyszer bb eset megit az, amikor B itervallum (vagy félegyees). Most P (a < X < b) P (a X b) F (b) F (a) A helyzet tehát egyszer bb, mivel < és között ics külöbség Nevezetes abszolút folytoos eloszlások Egyeletes eloszlás b a f(x)dx. Az X egyeletes eloszlású az (a, b) itervallumo, ha s r ségfüggvéye: f(x) Elle rzés: f(x) dx X eloszlásfüggvéye: F (x) b a x b a f(t) dt Jelölésbe: X E(a, b). dx. x a f(t) dt x a, ha a x b. b a { b a ha a < x < b, egyébkét. Továbbá P (c < X < d) d c, azaz egy szakasz valószí sége a hosszával aráyos. Ezért az egyeletes b a eloszlás aak felel meg, hogy az (a, b) itervallumból véletleszer e választuk egy potot. Expoeciális eloszlás Az X expoeciális eloszlású λ > paraméterrel, ha s r ségfüggvéye: f(x) Elle rzés: f(x) dx λ X eloszlásfüggvéye: F (x) x Jelölésbe: X Exp(λ). e λx dx. f(t) dt x λe λt dt [ e λt] x eλx +, ha x. { λe λx x x < Tétel. (Expoeiális eloszlás örökifjú tulajdosága) Legye X Exp(λ). Ekkor mide x és z pozitív számra teljesül, hogy Bizoyítás. P (X > x + z X > x) P (X > z). P (X > x + z X > x) P (X > x + z) P (X > x) F (x + z) F (x) e λ(x+z) e λx e λz F (z) P (X > z).

12 Az örökifjú tulajdoság azt jeleti, hogy az id mide pillaatba újrakezd dik, a múlt ics hatással a jöv beli eseméyekre. Megmutatható, hogy a folytoos eloszlások közül csak az expoeciális eloszlás redelkezik ezzel a tulajdosággal. Eek alapjá a következ valószí ségi változók modellezhet k pl. ezpoeciális eloszlással: a) Mikor fut be az els hívás egy telefoközpotba. b) Mikor szakad el el ször a szál a szöv széke. c) Meyit kell vária az autóstopposak, amíg felveszik Feladat. Mutassuk meg, hogy a diszkrét eloszlások közül a geometriai eloszlás örökifjú tulajdoságú. Normális eloszlás Az X stadard ormális eloszlású, ha s r ségfüggvéye: φ(x) π e x (x R). Jelölésbe: X N(, ). Vegyük észre, hogy a feti s r ségfüggvéyt most φ-vel jelöltük. Ezt a speciális jelölést a stadard ormális eloszlás fotossága idokolja. Most em olya köy elle rizi, hogy φ itegrálja, mivel a primitív függvéy em adható meg zárt alakba Tétel. φ(x) s r ségfüggvéy. Bizoyítás. Kell: φ(x) dx. Trükk: az itegrál égyzetét fogjuk kiszámoli: [ φ(x) dx] φ(x) dx φ(y) dy π π e r π e x +y dx dy (a) r dρdr r e r dr [ e r (a) itegráltraszformációval: x r cos ρ ; y r si ρ ; x + y r dx dx dr dρ cos ρ r si ρ cos ρ r cos ρ ( r si ρ si ρ) r. si ρ r cos ρ dy dr dy dρ A stadard ormális eloszlás eloszlásfüggvéye: Φ(x) x ]. φ(t) dt. Ez em adható meg zárt alakba, értékeit pozitív x-ekre táblázatba foglalták, egatív x-ekre pedig a Φ( x) Φ(x) összefüggésb l kapjuk az értékeket Feladat. Mutassuk meg, hogy φ páros függvéy, egyetle lokális maximumhelye a -ba va, iexiós potjai pedig a ±. Vezessük le továbbá a Φ( x) Φ(x) összefüggést. Mj.: Legye X N(, ). Ekkor P ( X < ).7, P ( X < ).95 P ( X < 3).99. Az X ormális eloszlású m R és σ > paraméterekkel, ha s r ségfüggvéye { } exp. πσ f(x) σ φ(x m ) σ (x m) σ Ez azzal ekvivales, hogy X σy + m alakú, ahol Y N(, ). Jelölésbe: X N(m, σ). Mj.: Ha Y N(, ), és X σy +m, ahol σ <, akkor Y N(m, σ), mert ha Y stadard ormális, akkor Y is az.

13 Láttuk tehát, hogy az általáos ormális eloszlást a stadard ormális eloszlásból származtatjuk lieáris traszformációval. Általába is megkérdezhet, hogy ha az abszolút folytoos eloszlású X eloszlásfüggvéye F, s r ségfüggvéye pedig f, akkor az Y ax + b (a ) lieáris traszformáltak hogya számolhatjuk ki G eloszlásfüggvéyét és g s r ségfüggvéyét. A választ a következ számolás adja meg: { P (X < x b G(x) P (Y < x) P (ax + b < x) a ) F ( x b a ) ha a >, P (X > x b a ) F ( x b a ) ha a <. g(x) G (x) ( ) x b a f. a 6.5. Feladat. a) Adjuk meg Y ax + b eloszlását (a ), ha i) X E(c, d), ii) X Exp(λ). b) Legye X N(, ). Adjuk meg Y X eloszlás- és s r ségfüggvéyét! 7. Valószí ségi vektorváltozók Gyakra em csak egy valószí ségi változó érdekel miket, haem szereték több valószí ségi változó együttes viselkedését taulmáyozi. 7.. Deíció. Az X (X,..., X ) : Ω R függvéy valószí ségi vektorváltozó (vvv), ha teljesül rá a következ : a i < b i (i... ) valós számokra { ω Ω X(ω) X [a i, b i ) } A. i Mj.: A feti deíció biztosítja, hogy X i valószí ségi változó mide i-re. 7.. Deíció. Az X vvv eloszlásfüggvéye az F : R [, ] függvéy, melyre F (x) F (x, x,..., x ) P (X < x, X < x,..., X < x ). 7.. Tétel. Legye X vvv, eloszlásfüggvéye F. Ekkor ) F midegyik változójába mooto emcsökke, azaz mide i-re, ha a i < b i, akkor F (a,..., a ) F (a,..., a i, b i, a i+,..., a ). ) teljesül, hogy lim F (x,..., x ), mi x i lim F (x,..., x ). mi x i 3) F midegyik változójába balról folytoos. 4) mide a i < b i (i,..., ) számpárra ( ) i ɛi F (c,..., c ), ahol ɛ (ɛ,..., ɛ ) {, }, és c i ɛ i a i + ( ɛ i )b i. ɛ Bizoyítás. Az )-3) tulajdoságokat ugyaúgy bizoyíthatjuk, mit egy dimezióba. A 4) tulajdoság oa következik, hogy az F (c,..., c ) meyiségek feti összege éppe a P X X i [a i, b i ) valószí ség(ezt a szita formula segítségével lehet bizoyítai), és így emegatív. Nézzük meg speciálisa az esetet! A 4) tulajdoság kiírva: F (b, b ) F (b, a ) F (a, b ) + F (a, a ) (a < b, a < b ). ha x + y Legye F (x, y) x + y ha < x + y < ha x + y Erre teljesül )-3), viszot F (, ) F (, ) F (, ) + F (, ) +, így F em lehet eloszlásfüggvéy. Mj.: Ha F redelkezik az ()-(4) tulajdoságokkal, akkor létezik X vvv, melyek eloszlásfüggvéye éppe F. 3

14 7.. Tétel. (Peremeloszlásfüggvéy) Jelölje az X vvv eloszlásfüggvéyét F, és legye F i az X i koordiáta eloszlásfüggvéye. Ekkor F i (x i ) lim F (x x j,..., x ). j i Bizoyítás. Válasszuk tetsz legese x N j, j i sorozatokat, x i pedig legye x. Legye még {X < x N,..., X i < x N i, X i < x i, X i+ < x N i+,..., X < x N } B N. Köye látszik, hogy a B N eseméyek b vülek, uiójuk pedig a B {X i < x i } eseméy. A folytoossági lemma átfogalmazása szerit tehát F (x N,..., x N i, x i, x N i+,..., x ) P (B N ) P (B) F i (x i ). Mj.: az (X,..., X ) vektor tetsz leges részvektoráak eloszlásfüggvéyét úgy kapjuk a teljes vektor eloszlásfüggvéyéb l, hogy a felesleges változókkal végtelehez tartuk. A vektorváltozókak is két f típusuk va, a diszkrétek és az abszolút folytoosak Deíció. Az X (X,..., X ) vvv diszkrét, ha megszámlálható sok értéket vehet fel. Ekkor X eloszlása megadható az (x i, p i ) i,,... sorozatokkal, ahol x i R a lehetséges értékek, és p i P (X x i ). 7.. Példa. (Poliomiális eloszlás) Tegyük fel, hogy egy kísérletek r lehetséges kimeetele lehet, A,..., A r, és P (A i ) p i. A kísérletet -szer elvégezve (egymástól függetleül), jelölje X i, hogy háyszor következett be az A i eseméy. Ekkor X (X,..., X r ) eloszlása red, p (p,..., p r ) paraméter poliomiális eloszlás. Képlettel kifejezve P (X k,..., X r k r )! k! k r! pk pkr r, ha k i és r i k i, egyébkét pedig. Pl.: egy dobókockával -szor dobuk, legye X (X,..., X 6 ), ahol X i jelöli a dobott i-esek számát. Ekkor X poliomiális eloszlású, redje, paramétere p (/6,..., /6). 7.. Példa. Egy pakli magyar kártyából kivesszük a 4 királyt és a 4 ászt. Ebb l a 8 lapból kihúzuk kett t visszatevés élkül. Legye X a kihúzott pirosak száma, Y a kihúzott ászok száma. Adjuk meg (X, Y ) eloszlását! Ha az eloszlás két dimeziós, és a felvett értékek száma kevés, legegyszer bb táblázattal megadi az eloszlást. Klasszikus valószí ségi mez k va. Összes eset száma: ( 8 ) 8 Az eloszlás táblázata: X/Y X illetve Y eloszlását peremeloszlásak evezzük, mivel a táblázat peremére írhatók, pl.: P (X ) P (X, Y ) + P (X, Y ) + P (X, Y ) Általába, diszkrét vektorváltozó részvektoráak eloszlását (valószí ségeit) úgy kapjuk meg, ha a felesleges változók szerit összegzük: P (X i x i,..., X ik x ik ) P (X x,..., X x ) x i:i / {i,...,i k } 4

15 7.4. Deíció. Az X (X,..., X ) vvv eloszlása abszolút folytoos, ha F el áll itegrál-alakba, azaz va olya -változós f függvéy, melyre x x F (x,..., x ) f(t,..., t ) dt dt. Ekkor f az X (együttes/-dimeziós) s r ségfüggvéye Tétel. ) Ha (X,..., X ) abszolút folytoos, akkor F (x,..., x ) folytoos ) Ott, ahol f folytoos, F -ek az -szeres vegyes parciális deriváltja, és F (x,..., x ) f(x,..., x ) x x 3) f, és f(x,..., x ) dx dx 4) Mide, a gyakorlatba el forduló -dimeziós B halmazra: P ((x,..., x ) B) B f(x,..., x ) dx dx Spec: B X [a, b i ), akkor i b b P ((X,..., X ) X [a i, b i ]) f(x,..., x ) dx dx a i a 5) Az (X i,..., X ik ) részvektor s r ségfüggvéye f i,...,i k (x i,..., x ik ) f(x,..., x ) dx j dx j k ahol {,..., } {i,..., i k } {j,..., j k }, azaz a felesleges változók szerit itegráluk. diszjukt uió { B ha (x,..., x ) B Példa: (X,..., X ) egyeletes eloszlású egy B halmazo, ha f(x,..., x ) ha (x,..., x ) / B ahol B a B halmaz dimeziós térfogata: B dx dx B P ((X,..., X ) A) f(x,..., x ) dx dx A A B B dx A B dx { B ha x, y és x + y Példa: Legye (X, Y ) egyeletes eloszlású a B háromszögö. f(x, y) egyébkét + x X s r ségfüggvéye f X (x) f(x, y) dy dy ( x) ( x ) x x x X eloszlásfüggvéye f X (t) dt ( t) dt x x Y eloszlása ugyaaz, mit X-é (szimmetria miatt) X eloszlásfüggvéye: F X (x) P (X < x)? A {(s, t) s < x} P (X < x) P ((X, Y ) A) A B B ( x) ( x) ( x + x ) x x 8. Függetleség - valószí ségi változókra 8.. Deíció. X,..., X függetle valószí ségi változók, ha P (X < x,..., X < x ) P (X < x ) P (X < x ) x,..., x -re, azaz F (x,..., x ) F (x ) F (x ) Belátható, hogy diszkrét esetbe, azaz ha (X,..., X ) diszkrét, akkor ezzel ekvivales: 5

16 P (X x,..., X x ) P (X x ) P (X x ) x,..., x -re. Példa: 4 ász, 4 király: X és Y em függetle P (X, Y ) P (X ) P (Y ) Keresük olya (X, Y ) párt, amelyek a margiálisai ugyaazok, de X és Y függetle. Y X Kihúzuk két lapot. X: pirosak száma. Visszatesszük, és megit húzuk két lapot. Y : ászok száma Tétel. Ha (X,..., X ) abszolút folytoos, akkor: X,..., X függetleek f(x,..., x ) f (x ) f (x ) Biz.: : F (x,..., x ) F (x ) F (x ) F f(x,..., x ) f (x ) f (x ) x x : F (x,..., x ) x x f (t ) f (t ) dt dt x f (t ) dt x f (t ) dt F (x ) F (x ) Példa: (X, Y ) egyeletes - { ha x, y és x + y f(x, y) { egyébkét ( x) ha x f X (x) { egyébkét ( y) ha y f Y (y) egyébkét Tehát: f(x, y) f X (x) f Y (y) y Keressük olya kétváltozós s r ségfüggvéyt, melyek margiálisai ugyaezek, de a két kooridáta függetle! { Válasz: 4( x)( y) ha x, y h(x, y) egyébkét x 8.. Tétel. ) ha X,..., X függetleek, és g,..., g : R R függvéyek, akkor g (X ),..., g (X ) is függetleek ) ha X,..., X függetleek, és g : R k R függvéy, akkor g(x,..., X k ) ; X k+,..., X is függetleek Biz. élk. 9. Kovolúció 9.. Deíció. X,..., X függetleek, X i eloszlása (eloszlásfüggvéye) F i. Ekkor X + + X H eloszlása az F i eloszlások kovolúciója, jel. H F F. 6

17 9.. Diszkrét eset 9.. Tétel. Tegyük fel, hogy X és Y függetleek és emegatív egész érték ek, továbbá Z X + Y. Ekkor k k P (Z k) P (X j, Y k j) P (X j) P (Y k j) Példa: j X Poisso(λ) Y Poisso(µ) függetleek, és Z X + Y k P (Z k) e λ λj e (λ+µ) k! j j! e µ k ( ) k λ j µ k j j j (λ+µ) k j µ k j (k j)! e (λ+µ) (λ + µ)k k! Z Poisso(λ + µ) Példa: X Biom(, p) Y Biom(m, p) függetleek, és Z X + Y k ( ) ( ) m P (Z k) p j ( p) j p k j ( p) m (k j) j k j j k ( )( ) m p k ( p) (+m) k Z Biom( + m, p) j k j j ( +m k ) Példa: X Geom(p) Y Geom(p) függetleek, és Z X + Y NegBi(, p) Példa: X NegBi(r, p) Y NegBi(s, p) függetleek, és Z X + Y NegBi(r + s, p) 9.. Abszolút folytoos eset 9.. Tétel. Legye Ekkor H(z) X: F(x),f(x) Y: G(x),g(x) g(y)f (z y)dy és h(z) Biz: H(z) P (Z < z) P (X + Y < z) P ((X, Y ) B) f(x)g(y) dx dy z y B f(x)g(y) dx dy g(y)f (z y) dy h(z) H (z) függetleek, és ZX+Y. g(y)f(z y) dy g(y) ( z y g(y)f(z y)dy ) f(x) dx dy (X, Y ) s r ségfüggvéye f(x)g(y) a függetleség miatt z z B 7

18 Példa: N N(m, σ ) N N(m, σ ) függetleek N σ X + m N σ X + m N N + N σ X + σ X +m + m Z v σ X s r ségfüggvéye: f(v) e σ πσ σ X s r ségfüggvéye: g(y) y e σ πσ ahol X, X N(, ) és függetleek Ekkor h(z) g(y)f(z y) dy π(σ + σ ) e (σ + σ ) Z N(, σ + σ ) és N N(m + m, σ + σ ) z Példa: X, Y E(, ) függetleek, és Z X + Y y kell: y z ; y z ; z z y z. Várható érték h(z) f(y)g(z y) dy mi(,z) dy max(,z ) z h(z) dy z ha z dy z ha z X x, x,..., x k lehetséges értékek p, p,..., p k valószí ségek kísérletet végzük a kapott értékek átlaga: i : háyszor kaptuk x i értéket x + x + + k x k k i i x i p x + p x + + p k x k.. Deíció. Az X diszkrét valószí ségi változó várható értéke: E(X) i x i p i, feltéve, hogy a sor abszolút koverges. Példa: Kockadobás várható értéke X : E(X) , 5 8

19 .. Várható érték tulajdoságai ) Ha X korlátos, akkor E(X) létezik Biz: x i K x i p i Kp i K p i K K a sor absz.kov. i i i ) Ha a X b, akkor a E(X) b Biz: E(X) x i p i bp i b i i 3) Ha X kostas, azaz P (X c), akkor E(X) c c 4) Ha E(X) létezik, akkor E(cX) is létezik, és E(cX) c E(X) cx, cx,... Biz: p, p,... E(cX) (cx i )p i c x i p i ce(x) i i 5) Legyeek X,..., X valószí ségi változók és g : R R függvéy. Ekkor E(g(X,..., X )) g(x, x,..., x ) P (X x, X x,..., X x ) (x,...,x ) ha a jobb oldali sor abszolút koverges 6) Ha E(X) és E(Y ) létezik, akkor E(X + Y ) is létezik, és E(X + Y ) E(X) + E(Y ) Biz: E(X) + E(Y ) x i p i + y j q j i j x i P (X x i, Y y j ) + y j P (X x i, Y y j ) i j j i (x i + y j )P (X x i, Y y j ) 5) E(X + Y ) ; (g(x, y) x + y) i,j Példa: E(aX + b) 6) E(aX) + E(b) 3) E(aX) + b 4) ae(x) + b Példa: tfh X Y E(X) E(Y ) X Y ) E(X Y ) E(X + ( )Y ) E(X) + E(( )Y ) E(X) + ( )E(Y ) E(X) E(Y ) 7) Ha X és Y függetleek E(X Y ) E(X) E(Y ) Biz: E(X)E(Y ) fgl x i p i y j q j x i y j P (X x i, Y y j ) E(XY ) i,j i,j Megj.: fordítva em igaz, azaz E(XY ) E(X)E(Y ) X és Y függetleek.. Deíció. Legye X diszkrét valószí ségi változó, A eseméy, melyre P (A) >. X feltételes várható értéke A-ra ézve: E(X A) x i P (X x i A), i ha a sor abszolút koverges... Tétel. A teljes várható érték tétele. Legye X diszkrét valószí ségi változó, A k pedig teljes eseméyredszer. Ekkor E(X) E(X A k )P (A k ). k 9

20 .. Nevezetes diszkrét eloszlások várható értéke ) X Bi(, p) x i i ; i,..., ; p i ( ) i p i ( p) i ( ) E(X) i p i ( p) i! i i i!( i)! pi ( p) i i i ( ) p i i i :j ( ) ( p) p p j ( p) ( ) j p i j i j { ha az i. kísérletre bekövetkezett az eseméy másik módszer: X X + + X ; X i egyébkét X i Id(p) E(X i ) p E(X + + X ) E(X ) + E(X ) p + + p p ) X Hipgeo(N, M, ) Hipergeometriai eloszlás X : x i,..., ) ( M )( N M i i p i ( N ) { ha az i. kísérletre bekövetkezett az eseméy X X + + X ; X i egyébkét X i Id( M N ) P (i. jó) M (N ) ( )! ( N ) M! N E(X + + X ) E(X ) + E(X ) M N + + M N M N 3) X Poisso(λ) X : x i,,... E(X) p i e λ λi i! i e λ λi i! λ e λ λi (i )! i 4) X Geo(p) X : x i,,... p i ( p) i p tfh.: i X lehetséges értékei,,... p, p,... E(X) p + p + 3 p 3 + p P (X > ) p p P (X > ) p 3 p 3 p 3 P (X > ) i :j λ e λ P (X > i) i e λ {}}{ j λ j j! λ P (X > i) ( p) i E(X) ( p) i ( p) p i Másik módszer: teljes várható érték tételével. A { az els kísérletre bekövetkezett az eseméy }. E(X) E(X A)P (A) + E(X A)P (A) p + ( + E(X))( p) ebb l E(X) /p.

21 5) X NegBi(r, p) X : x i r, r +,... p i ( ) i r p r ( p) i r X X + X + + X r X j j. bekövetkezés utá háyadjára következett be j.-szer X j Geo(p) E(X) r p r p 6) Névjegykártya { ha az i. hallgató a sajátját kapta X X + + X ; X i egyébkét ( )! P (X i )! E(X i ) E(X).3. Abszolút folytoos eset X s r ségfüggvéye f(x).3. Deíció. X várható értéke E(X) a diszkrét esettel: x lehetséges érték f(x) "valószí ség" x f(x), ha ez az itegrál abszolút koverges. Aalógia Köy láti, hogy a tulajdoságok közül igaz marad ),),4),5'),6),7), ahol 5') (X,..., X ) absz. folyt., f(x,..., x ) s r ségfüggvéy, g : R R függvéy. Ekkor E(g(X,..., X )) g(x,..., x )f(x,..., x )dx dx.4. Nevezetes abszolút folytoos eloszlások várható értéke ) X E(a, b) E(X) b a x b a dx b a [ x ] b a ( ) b b a a a + b a a+b b ) X Exp(λ) { λe λx ha x > f(x) ha x E(X) x λe λx dx [ x ( e λx ) ] + : u x ; v e λx v e λx 3) X N(m, σ) Y N(, ) E(Y ) x e x dx π páratla függvéy X σy + m E(X) σ E(Y ) + m σ + m m e λx dx ] [ e λx λ λ

22 . Szórás, szóráségyzet.. [ Deíció. E (X E(X)) ] D (X) az X szóráségyzete D(X) D (X) az X szórása Megj.: D (X) véges E(X ) véges.. Szóráségyzet tulajdoságai ) D (X) E(X ) E(X) Biz.: D (X) E [ (X E(X)) ] E [ X XE(X) + E(X) ] E(X ) E(X E(X)) + E(E(X) ) E(X ) E(X) E(X) ) D (X) P (X c) (azaz kostasfüggvéy) Biz.: : X E(X) c c valószí séggel (X E(X)) valószí séggel E [ (X E(X)) ] : E[(X E(X)) ] (X E(X)) valószí séggel X E(X) valószí séggel X E(X) c 3) D (X + b) D (X) Biz.: (X + b) E(X + b) (X + b) (E(X) + b) X E(X) 4) D (ax) a D (X) D(aX) a D(X) Biz.: E [ (ax E(aX)) ] E [ a (X E(X)) ] a D (X) 5) D (X + Y ) D (X) + D (Y ) + cov(x, Y ) ahol cov(x, Y ) E [(X E(X))(Y E(Y ))] az X és az Y kovariaciája elevezés: X és Y korrelálatlaok, ha cov(x, Y ) spec.: X, Y függetleek, akkor korrelálatlaok is, mivel cov(x, Y ) E [XY E(X)Y E(Y )X + E(X)E(Y )] E(XY ) E(X)E(Y ) Biz.: D (X + Y ) E[((X + Y ) E(X + Y )) ] (X E(X))+(Y E(Y )) E[(X E(X)) + (Y E(Y )) + (X E(X))(Y E(Y ))] 5') D (X + + X ) D (X i ) + i i<j cov(x i, X j )

23 .. Nevezetes eloszlások szóráségyzete ) X Idikátor(p) E(X) p ; E(X ) p mert X X ( ; ) D (X) p p p( p) ) X Biom(, p) X X + + X X i Idikátor(p) és függetleek D (X) D (X ) + + D (X ) p( p) 3) X HipGeom(N, M, ) X X + + X X i Idikátor ( ) M N D (X) D (X i ) + cov(x i, X j ) i M N ( M N i<j ) + ( ) ( M N M N ahol cov(x i, X{ j ) E(X i X j ) E(X i )E(X j ) ha Xi és X X i X j j egyébkét M (M ) E(X i X j ) P (X i X j ) N (N ) cov(x i, X j ) M N M N M N M N 4) X Geom(p) ( ) ) M N E(X) p E(X ) k ( p) k p k q k k q k q q k k k ((k + ) k )q k kq k + q k q p k k k k k+ D (X) q + p p p q + p p q q p p p M ( M N N ) N N kq k p + q q p + p q + p p 3

24 5) X NegBi(r, p) X X + + X r X i Geom(p) és függetleek D (X) r i D (X i ) r p p 6) X Poisso(λ) k k(k ) + k E(X ) k e λ λk k! λ λk k(k )e D (X) k k e λ k λ k (k )! + λ k :j e λ λ E(X ) E(X) λ k! + j λ j j! e λ λ λk k e k! k E(X)λ +λ λ + λ 7) X Egyeletes(a, b) b [ E(X ) x a b a dx x 3 ] b b3 a 3 3(b a) a 3(b a) b + ab + a 3 D (X) b + ab + a ( ) a + b 4b + 4ab + 4a 3a 6ab 3b 3 8) X N(m, σ) X σy + m ahol Y N(, ) (b a) D (Y ) E(Y ) x e x π x e x dx π + } {{ } x π xe x dx e x π ez stadard ormális s r ségfüggvéy ahol u x ; v xe x v e x π π D (X) σ D (Y ) σ 9) X Exp(λ) E(X ) x λe λx dx [ x ( e λx)] + ahol u x ; v λe λx v e λx D (X) λ λ λ xe λx dx xλe λx dx λ λ E(X) λ Exp(λ) 4

25 . Korreláció, kovariacia ) cov(x, Y ) E[(X E(X))(Y E(Y ))] ) cov(x, Y ) cov(y, X) 3) cov(x, b) 4) cov(x, X) D (X) 5) cov(x, Y + Z) cov(x, Y ) + cov(x, Z) 6) cov(ax, Y ) a cov(x, Y ).. Deíció. X és Y korrelációs együtthatója: R(X, Y ) cov(x, Y ) D(X)D(Y ) Ha D(X) vagy D(Y ) akkor R(X, Y ).. Tétel. R(X, Y ) Biz.: E[(U λv ) ] E(U ) λe(uv ) + λ E(V ) λ R ( E(UV )) 4E(V )E(U ) E(UV ) E(U )E(V ) E(UV ) E(U )E(V ) cov(x, Y ) D (X) D (Y ) D(X)D(Y ) másodfokú egyelet λ-ba ics mo.: diszkrimiás (b 4ac).. Deíció. X stadardizáltja: X X E(X). Erre E(X ) ; D(X ). D(X) R(X, Y ) E(X Y ) köv.: R(aX + b, cy + d) ±R(X, Y ) Megj.: R(X, Y ) abszolút értéke a függ ség er sségét mutatja el jele pedig a függ ség iráyát mutatja.. Tétel. R(X, Y ) Y ax + b valószí séggel (a ; b R) és R + ha a > és R ha a < 5

26 D (X) cov(x, ax + b) Biz.: : R(X, Y ) R(X, ax + b) D(X)D(aX + b) a cov(x, X) + a D(X) a D(X) a ± : tfh. R(X, Y ) (D (X ) E(X ) E(X ) ) E[(X Y ) ] E(X ) + E(Y ) E(X Y ) (X Y ) valószí séggel Példa: X E(X) D(X) X Y Y E(Y ) D(Y ) valószí séggel Y D(Y ) D(X) a ha R(X, Y ) akkor E[(X + Y ) ] X + E(Y ) D(Y ) D(X) E(X) b kockadobás X: 6-osok száma Y : páratlaok száma cov(x, Y )? D(X) X Biom(, 6 ) D(Y ) Y Biom(, ) { ha az i. dobás 6-os X X i X i egyébkét i { ha a j. dobás páratla Y Y j Y j egyébkét (páros) j cov(x, Y ) cov X i, Y j cov(x i, Y j ) 6 { cov(x i, Y j ) i j i j ha i j, mert X i és Y j ilyekor függetleek cov(x i, Y i ) ha i j E(X i )E(Y i ) 6 cov(x i, Y i ) E(X i, Y i ) R(X, Y ) Példa: X, Y függetleek, azoos eloszlásúak D (X) D (Y ) R(X, X + Y ) cov(x, X + Y ) D(X)D(X + Y ) 3. A Nagy Számok Törvéyei 3.. Tétel. Markov egyel tleség: Legye X valószí ségi változó ; {}}{ cov(x, X) + cov(x, Y ) D(X) D (X) + D (Y ) E(X) létezik. Ekkor P (X K) E(X) K. { K ha X K Biz.: X egyébkét X X ; E( X) E(X) E(X) E( X) K P ( X K) + P ( X ) K P (X K) 3.. Tétel. Csebisev-egyel tleség: Legye X tetsz. valószí ségi változó ; D (X) D(X) D(X) E(X), D(X) létezik. Ekkor P ( X E(X) K) D (X) K. 6

27 Biz.: Példa: P ( (X E(X)) K ) Markov E[ (X E(X)) ] K pézérme; jelöljük dobásból a fejek számát: S P (S, 6)-t szereték becsüli. a) Markov:P (S, 6) E(S ), 6, 5, 83., 6 D (X) b) Csebisev:P (S, 6) P (S, 5, ) P ( S, 5, ) (, ) 8 itt -es szorzó: szimmetria, dobásból 5-at vagy 48-at u.a. valószí séggel dobhatok c) Még jobb: P (S, 6) P ( (, 5) S (, 5),6 ) E(, ( ) 5 4) 5S, 5,6 (, 5,6, 98 ) ahol E(, 5 S ) E(, 5 X+ +X ) E(, 5 X, 5 X ) fgtl { ha az i. fej X i egyébkét E(, 5 Xi ), 5 : P (S 6) Markov:, 83 Cseb.: ös:, 68 9 Példa: +, 5 5 4, 5 Legye X Exp() eloszlású valószí ségi változó. Tekitsük a P (X K) valószí séget, illetve becsléseit: K 4 5 K E(, 5 X ) E(, 5 X ) Markov 5, 5 Csebisev,, 4, 4 4 Igazság, 4 4, 5 5, 9 3, 7 44 ( ) Deíció. Az X valószí ségi változók sorozata tart X-hez sztochasztikusa, ha ε > : P ( X X > ε) Tétel. Nagy számok Beroulli-féle törvéye: Legye egy p valószí ség A eseméy gyakorisága függetle kísérletb l S. Ekkor S p sztochasztikusa ( ). Biz.: S Biom(, p) P ( S p > ε) P ( S p > ε) Cseb p( p) p( p) ε ε 3.4. Tétel. Nagy számok gyege törvéye: Legyeek X i -k függetle, azoos eloszlású valószí ségi változók, továbbá legye E(X i ) m ; D(X i ) σ (tehát létezek). Ekkor S X + + X S Biz.: P ( S m > ε) Cseb σ m sztochasztikusa ( ) ε σ ε cost E( S ) E(X + X ) (E(X ) + + E(X )) m } {{ } cost D ( S ) D (X + + X ) fgtl (D (X ) + + D (X )) σ σ 7

28 3.5. Tétel. Nagy számok gyege törvéye, általáosabb alak: Legye X, X,... párokét korrelálatla valószí ségi változók, E(X i ) m i, D (X i ) σi, és jelölje ϑ i σ i. Ha i m i m, és ϑ /, akkor S / m sztochasztikusa. Biz.: Vegyük észre, hogy E(S /) i m i, és D (S /) ϑ /. Mide ɛ > -hoz va olya N, hogy N eseté m i m < ɛ/. Ezért, ha N, akkor i P ( S / m > ɛ) P ( S / E(S /) > ɛ/) ϑ / (ɛ/) Tétel. Nagy számok gyege törvéye, Berstei-féle alak: Legyeek X, X,... valószí ségi változók, és haszáljuk az el z tétel jelöléseit. Legye még R(X i, X j ) R ij. Tegyük fel, hogy i m i m, és ϑ K valamilye K kostasra. Tegyük még fel, hogy R ij B( i j ), ahol B : N R olya függvéy, melyre B(), és k B(k). Ekkor S / m sztochasztikusa. Biz.: Az el z tétel bizoyítása m ködik most is, csak azt kell beláti, hogy D (S /). D (S /) Ebb l i,j cov(x i, X j ) i,j ϑ + i<j σ i σ j R ij Felhaszálva a Cauchy-Schwarz egyel tleséget, kapjuk, hogy k ( i k σ i σ i+k ) ( σ i σ j B( i j ) (ϑ + i σ i )( ik+ σ i ) ϑ 4. ) D (S /) (ϑ + ϑ B(k) K + K Példa: Legye X Id(/), és X + k { X 3/4 valószí séggel X /4 valószí séggel. k B(k). k k B(k) i σ i σ i+k ) Ezek em korrelálatlaok, de kiszámítható, hogy E(X i ) /, D (X i ) /4, és R(X i, X i+k ) / k, azaz teljesülek az el z tétel feltételei. 3.. Deíció. Legyeek X, X, X,... valószí ségi változók. Azt modjuk, hogy X tart X-hez valószí séggel (vagy majdem mideütt), ha P ({ω : X (ω) X(ω)}) Tétel. Ha X tart X-hez valószí séggel, akkor sztochasztikusa is. Biz.: Legye ɛ, δ > rögzített. Be kell láti, hogy elég agy -re P ( X X < ɛ) δ. Legye A {ω : X (ω) X(ω)}, és A {ω : X m (ω) X(ω) < ɛ m }. Ezek b vül halmazsorozatot alkotak. Továbbá, ha ω A, akkor va olya, hogy ω A. Ezért A A, azaz P (A) P ( A ) lim N). N. 8

29 Tehát va olya N, hogy m N-re P (A m ) δ, és ezekre az m-ekre P ( X m X < ɛ) P (A m ) δ. Mj. Visszafelé em igaz az állítás. Legye pl. Ω [, ] az eseméytér, P (A) A hossza, és X +k(x), ha k/ < x < (k + )/, egyébkét pedig. Ez a sorozat sztochasztikusa -hoz tart, de P (X ) Tétel. Nagy számok er s törvéye. Legye X, X,... függetle, azoos eloszlású valószí ségi változók, melyekre E(X) m létezik. Ekkor S / m valószí séggel. 4. Cetrális határeloszlástétel X 4.. Deíció. Legye X eloszlásfüggvéye F (x) valószí ségi változók sorozata, X eloszlásfüggvéye F (x). Ekkor azt modjuk hogy X tart X-hez eloszlásba (vagy gyegé), ha F (x) F (x) x-re, ahol F (x) folytoos. 4.. Tétel. Ha X tart X-hez sztochasztikusa, akkor eloszlásba is. Biz.: Legye F folytoos az x potba, és ɛ > adott. Ekkor va olya δ, hogy F (y) F (x) < ɛ, ha y x δ. F (x) P (X < x) P (X < x, X X > δ) + P (X < x, X δ X X + δ). Itt az els tag ullához tart, a másodikra pedig és P (X < x, X δ X X + δ) P (X < x + δ, X δ X X + δ), P (X < x, X δ X X + δ) P (X < x δ, X δ X X + δ). Ha, akkor a fels becslés F (x + δ)-hoz, az alsó F (x δ)-hoz tart. Mj. Az állítás fordítva em igaz, hisze az eloszlásbeli kovergecia csak a valószí ségi változók eloszlásáak közelségér l szól. Ha pl. va két kockák, az egyiket végtele sokszor (X i ), a másikat csak egyszer (Y ) dobjuk fel, akkor X eloszlásba megegyezik Y -al, de sztochasztikusa em tart hozzá. Példa: Biomiális eloszlás tart a Poissohoz eloszlásba. Legye X Bi(, p), ahol p λ, és X Poisso(λ). X eloszlásfüggvéye lépcs s, tehát a természetes számokba em folytoos. Ha j < x < j +, akkor j j F (x) P (X k) P (X k) F (x). k Példa: Legyeek Y i E(, ) függetleek, és X mi(y,..., Y ). Ekkor X eloszlásba az paraméter expoeciális eloszláshoz tart. 4.. Tétel. Cetrális határeloszlástétel: Legyeek X i -k függetleek, azoos eloszlásúak, E(X i ) m, D(X i ) σ > létezek, S X + X. Ekkor S m σ N(, ) eloszlásba. ( ) k Példa: dobás egy érmével. Meyi lesz a fejek száma az esetek 75%-ba? S X + + X ; X i Idikátor(p) ; E(X i ) p ; D (X i ) p( p) ; m ; σ { ha az i. fej X i egyébkét S, 5 N(, ), 5 ( S 5.75 P ( S 5 K) P K ) Φ(K/5) Φ( K/5) Φ(K/5). 5 5 Tehát Φ(K/5).875, amib l K/5.5, azaz K

30 4.3. Tétel. Ljapuov tétele. Legyeek X, X,... függetle valószí ségi változók, haszáljuk a korábbi jelöléseket. Legye még E( X i m i 3 ) Hi 3 véges, és K 3 i H3 i. Ha K /ϑ, akkor eloszlásba. S i m i ϑ N(, ) Mj.: A feltételek biztosa teljesülek, ha X i m i C és ϑ. 3