Valószínűségszámítás

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószínűségszámítás"

Átírás

1 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 18 Valószíűségi változók jellemzői 184 Feladatok 187 NEVEZETES ELOSZLÁSOK 187 Egyeletes eloszlás 187 Biomiális eloszlás 188 Geometriai eloszlás 190 Hipergeometriai eloszlás 191 Poisso-eloszlás 193 Normális eloszlás 194 Eloszlások számítógépe 196 Feladatok 198 ALKALMAZÁSOK 198 Becslés 198 Hipotézisvizsgálatok 0 Korreláció és regresszió 08 Állapotmódszer 1 Feladatok 14 ÖSSZEFOGLALÁS 14 Elleőrző kérdések 17

2 Hogy a valószíűszíűségszámítás igazá gyakorlati tudomáy, az kialakulásáak törtéetéből is kiviláglik, hisze gyökerei a matematikáak a szerecsejátékokba törtéő alkalmazásáig yúlak vissza. Feljegyzések szerit Toscaa hercege fordult Galileo Galileihez a következő kérdéssel: Hogya lehetséges, hogy három kockát feldobva, az összeg gyakrabba lesz 10 mit 9, miközbe midkét szám hat módo állhat elő kocka-számok összegekét? Összeg: 9 Összeg: De Méré lovag Pascalt kereste meg szité egy kockajáték kapcsá felmerülő kérdéssel: A játékos egy kockával játszik a bak elle. A bak yer, ha a játékos égy dobásból legalább egy hatost dob. A kérdés az, hogy ez a feltétel kifizetődik-e a bakak? A szerecsejátékok törvéyszerűségeiek megfigyeléséből vált yilvávalóvá, hogy az eseméyek egymáshoz viszoyított (relatív) gyakoriságai agy számú kísérlet eseté stabilitást mutatak. A yerési esélyek kiszámítása azt a gyakorlati alapo yugvó godolatot sugallta, hogy egy eseméy valószíűségéek defiícióját az eseméy bekövetkezéséek relatív gyakoriságára építsék. Például a 3 lapos (magyar) kártyacsomagból a piros ász kiválasztásáak valószíűsége 1/3, ha feltételezzük, hogy egyelő eséllyel választhatjuk bármely lapot. (A valószíűségek ez a most említett defiíciója korlátozott érvéyű mit a későbbiekbe részletese kitérük rá csak az ú. klasszikus valószíűségi mező eseté érvéyes.) A valószíűség elméletéek tudomáyos megalapozása két 17. századi matematikus, Pascal és Fermat evéhez fűződik. A valószíűségelmélet matematikailag egzakt, axiomatikus felépítését elsőek A. N. Kolmogorov valósította meg A valószíűségszámítás alapfogalmai című, 1933-ba megjelet művébe. 1. példa J. E. Salk amerikai bakteriológus 1953-ra fejezte be a II. világháborút követő évek egyik legszöryűbb betegsége, a járváyos gyermekbéulás ellei vakcia kifejlesztését. Az ezt követő évekbe az évszázad legagyobb kísérlete zajlott le a hatékoyság tesztelésére. Az oltóayagot iskolás gyermekeke próbálták ki, a gyermekek egy része a kezelési, a másik a kotroll csoportot alkotta. Összese közel millió kísérleti személyt votak be a vizsgálatba. A vizsgálat célja természetese az volt, hogy az eredméyekből az egész épességre voatkozó következtetést lehesse levoi. A betegség előfordulási aráya a kotroll csoportba 0,057-ek, a beoltott csoportba 0,016-ak adódott. Elegedő alapot yújt-e ez a külöbség ahhoz, hogy az oltóayagot széles körbe bevezessék? A külöbség az oltóayagak köszöhető-e, vagy a véletle igadozás megyilváulása? Tekitettel arra, hogy az 1947 és 195 közötti évekbe a gyermekbéulásos megbetegedések száma évete főtől főig terjedt, a kísérlet idejé tapasztalt csökkeés adódhatott véletleül is. Arra a kérdésre, hogy egy új gyógyszer hatásos-e, a valószíűségelmélete alapuló matematikai statisztika adhatja meg a választ.. példa Az úgyevezett véletle számok (melyeket valamilye módszerrel véletleszerűe választaak) számtala helye alkalmazhatók. Például: a) Szimuláció. Ha egy számítógépet valamilye természeti jeleség utázására akaruk haszáli, akkor véletle számokra va szükség ahhoz, hogy a folyamatok a valóságak

3 megfelelőe működjeek. Szimulációra sok helye lehet szükség, pl. a ukleáris fizika vizsgálatáál (amikor az egyes részecskék véletleszerűe ütközek egymással), vagy az operációkutatásba (ahol, modjuk, az emberek véletle időközökbe érkezek egy bakfiókba). b) Mitavétel. Egy termék-sorozatba gyakra lehetetle mide darabot egyekét megvizsgáli. Ilyekor egy véletle mita segíthet a teljes tétel miőségéek megítélésébe. c) Számítógép-programozás. Számítógép-algoritmusok hatékoyságát, működését jól elleőrizhetjük, ha adatforrásak véletle számokat választuk. d) Szórakozás. Kockázás, kártyázás, rulettezés stb. sokak számára élvezetes időtöltés. A véletle számok eze felhaszálása sugallta a Mote Carlo-módszer elevezést mide olya eljárásra, amely véletle számokkal dolgozik. A téma számítástechikai fotosságát jelzi, hogy D. E. Kuth A számítógép-programozás művészete című alapművébe többszáz oldalt szetel a véletle számok előállításáak, elleőrzési módjaiak. Eseméyek A valószíűségszámítás a véletle folyamatokak azo alapvető sajátosságát ragadja meg, hogy egyetle véletle eseméy kimeetele sem jósolható meg, de vaak olya tulajdoságai, amelyek viszoylag álladóak. A épességből egyetle embert kiválasztva semmit sem modhatuk előre testmagasságáak agyságáról, de ha az egész épesség testmagasságáak eloszlása ismert, akkor eek alapjá adott magassághatárok közötti egyéek aráya potosa megadható. Vizsgálódásuk sorá véletle tömegjeleségekre szorítkozuk. Véletle tömegjeleségekek azokat a véletle jeleségeket evezzük, amelyek agy számba megfigyelhetők, megismételhetők léyegébe azoos körülméyek között. Véletle tömegjeleség például a lottóhúzás. A valószíűségelmélet alapvető, defiiálatla alapfogalma az eseméy. Az eseméy a véletle kísérlet, jeleség lehetséges kimeeteleiek egyike. A lottóhúzás kapcsá beszélhetük például arról a véletle eseméyről, hogy a jövő heti számok midegyike páros lesz. A bevezetőbe említett három kocka problémája eseté egy eseméy, hogy a dobott számok összege 10. E példák is mutatják, hogy az eseméyek egy része több módo is megvalósulhat, hisze a 10-es összeg kijöhet 1+4+5, de módo is; a páros lottószámokat megkaphatjuk a, 4, 6, 8, 10, vagy például a 3, 46, 50, 80, 90 sorozattal is. Emiatt célszerű megkülöböztetük az elemi és az összetett eseméyeket. Az elemi eseméy fogalmára formális defiíció em adható. Nagyjából úgy fogalmazhaták, hogy az elemi eseméy egyike azokak a lehetőségekek, amelyekbe végződhet a kísérlet. Az összetett eseméy elemi eseméyekből áll. Az elemi eseméy fogalma megragadásáak ehézségére mutat rá a három kocka példája. Toscaa hercege vélhetőe arra godolt ha em is ezzel a szóhaszálattal, hogy a kísérletbe az elemi eseméy a 1,,..., 6 számokból álló redezetle számhármasok előfordulása. Ez felel meg aak, amit három teljese egyforma kocka feldobásakor megfigyelhetük. Vele szembe Galilei a redezett számhármasokat tekitette elemi eseméyekek. (Ez aak az esetek felel meg, hogy a kockák akkor is külöbözek, ha mi

4 em tudjuk megkülöbözteti őket.) Ezért Galileiél például a összeg em egy, haem 6 elemi eseméyt jelet, s a összeg 3 elemi eseméyt képvisel. (Miért?) Általába egy kokrét véletle jeleség elemi eseméyeit úgy célszerű megadi, hogy azok a lehető legegyszerűbb eseméyek legyeek. Midig ki kell azoba elégíteiük három feltételt: 1. A véletle jeleség megfigyelése utá bármelyik elemi eseméyről egyértelműe eldöthető, hogy bekövetkezett-e vagy sem.. Semelyik kettő elemi eseméy sem következhet be egyidejűleg. 3. Az elemi eseméyek közül egy midig bekövetkezik. A véletle tömegjeleségek leírásakor általába em célszerű valameyi elemi eseméyt felsoroli. El kell döteük, hogy melyek azok az elemi eseméyek, melyek számukra egyforma következméyel járak, s azokat valamilye közös jelöléssel látjuk el. Az így kialakult összetett eseméyeket a továbbiakba a véletle jeleség, kísérlet kimeeteleiek fogjuk evezi. (A kimeetelekek természetese szité ki kell elégíteiük a feti három feltételt.) Így a három kocka problémájáál kimeetelek tekithetjük a dobott számok összegét, tehát a kimeetelek halmazát a 3, 4,..., 18 számok alkotják. Eseméyek formális leírása, műveletek Az eseméyeket a továbbiakba agybetűkkel jelöljük: A eseméy, B 1, B eseméyek stb. Az elemi eseméyek halmaza a H eseméytér. Az összetett eseméy fogalma rávilágít arra, hogy az eseméy halmaz, az eseméytér egy részhalmaza. Az elemi eseméyekek az eseméytér egyelemű részhalmazai felelek meg, az összetett eseméyekek a többelemű részhalmazok. Mivel az eseméyek halmazok, ez utóbbiak ábrázolásába bevált Vediagramokkal az eseméyek közötti kapcsolatok is megjeleíthetők. Az eseméyeke végrehajtható műveletek szabályai, az eseméyalgebra tehát egyeértékű egy halmazalgebrával. Az A eseméy maga utá voja B-t, ha az A-ak megfelelő halmaz részhalmaza B-ek. Jelölése: AB. Például kockával egy páros szám dobása (A eseméy) egybe azt is jeleti, hogy egyél agyobb számot dobtuk (B eseméy). A biztos eseméy olya eseméy, amely a kísérlet elvégzésekor mide alkalommal bekövetkezik, tulajdoképpe azoos az eseméytérrel. (Szokásos jelölése: I.) Nevezzük A eseméyek, hogy a 3 lapos magyar kártyából pirosat húzuk. Ekkor az A kiegészítő, elletett vagy komplemeter eseméye a zöld, tök, vagy makk húzása, azaz a em A (jele: A') eseméy. A bevezetőbe említett, de Méré lovag evéhez fűződő példába szereplő eseméy (a játékos égy dobásból legalább egy hatost dob) komplemeter eseméye, hogy egyetle hatost sem fog dobi. A biztos eseméy elletett eseméye a lehetetle eseméy, melyek jele:. Az A+B eseméy legalább az egyik eseméy (vagy az A, vagy a B, vagy midkettő) bekövetkezését jeleti. Haszálatos még a műveletre az AB jelölés is. Legye az A eseméy az, hogy kockával páros számot dobuk, a B eseméy pedig az, hogy égyél agyobb számot dobtuk. Ekkor az A+B eseméyt a, 4, 5, 6 számok egyikéek dobása jeleti. Az AB=AB (halmazelméleti jelöléssel AB) jeleti az A és B eseméyek együttes bekövetkezését. Legye az A eseméy, hogy a magyar kártyából pirosat húzuk, a B pedig az ász húzása. Ekkor az AB eseméy yilvá a piros ász kihúzását jeleti. Az eseméyalgebrába tehát két művelet va, melyek tulajdoságait az alábbi táblázatba foglaljuk össze:

5 Összeadás Szorzás Elevezés A+B=B+A AB=BA kommutativitás (A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC) asszociativitás A(B+C)=AB+AC disztributivitás A+A=A AA=A idempotecia A+A'=I AA'= A+I=I AI=A A+=A A= Kéyelmi okok miatt szokás defiiáli eseméyek külöbségét is: A B=AB'. (Tehát az A B eseméyről akkor beszélük, ha az A eseméy bekövetkezik, de a B em.) Legye az A eseméy az, hogy kockával páros számot dobuk, a B eseméy pedig az, hogy égyél agyobb számot dobtuk. Ekkor az A B eseméyt a, 4 számok egyikéek dobása jeleti. Ha a két eseméy szorzata a lehetetle eseméy, (AB=) akkor azt modjuk, hogy a két eseméy kölcsööse kizárja egymást, azaz az egyik eseméy bekövetkeztével egyidőbe a másik em fordulhat elő. Nyilvá kizáró eseméypár például egy eseméy és az elletettje. Több eseméy is lehet (párokét) kölcsööse kizáró, például vércsoport meghatározásáál az A, B, AB, 0 vércsoportba tartozás eseméye. Ha az egymást kizáró eseméyek együtt az egész eseméyteret kitöltik, az eseméyeket együtt teljes eseméyredszerek evezzük. (Például magyar kártyából törtéő húzás eseté a piros, zöld, tök, makk lap húzása kimeetelek együtt teljes eseméyredszert alkotak). Másképpe: Defiíció: Az A 1, A,..., A eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, ha a) egyikük biztosa bekövetkezik, azaz i1 A i I, és ha b) egymást párokét kizárják, azaz A A i j (ij) Az eseméytér összes lehetséges elemi eseméye teljes eseméyredszert alkot. Feladatok 8.1. Jeletse A azt az eseméyt, hogy egy pakli magyar kártyából kihúzott lap piros, B jeletse azt, hogy figura (alsó, felső, stb.). Mit jelet az A+B, AB, A B eseméy? 8.. Jeletse A azt az eseméyt, hogy egy dobókocka a páros oldalára esik, B azt, hogy égyesél kisebbre, C azt, hogy ötösre. Mit jelet A+B+C? 8.3. Bizoyítsuk be, hogy bármely A, B, C eseméyekre a) (A B) C = (A C) (B C) b) AB C = (A C)(B C) c) A BC = (A B)+(A C) 8.4. A jeletse azt az eseméyt, hogy a kockával prímszámot dobuk; B azt, hogy 3-ál em agyobbat. Mit jeleteek az A+B, A B, B A, AB eseméyek?

6 8.5. Két szabályos játékkockával egyszerre dobuk. Jeletse A azt az eseméyt, hogy az egyik kockával páros számot dobtuk; B azt, hogy midkét kockával ugyaazt a számot. Mit jeleteek az A+B, A B, AB, (A+B)B eseméyek? További gyakorló feladatok találhatók az Összefoglaló feladatgyűjteméy"-be ( ) A valószíűség fogalma Valamely kísérlettel kapcsolatos eseméy bekövetkezéseiek számát a kísérlet -szeri megismétlése sorá megszámoljuk. Jelöljük a vizsgált eseméyt A-val és tegyük fel, hogy a kísérletsorozatba az A eseméy k-szor következett be. Képezzük a k/ háyadost, az A eseméyek a kísérletsorozatra jellemző relatív gyakoriságát. A tapasztalat azt mutatja, hogy ha egyre több kísérletből álló sorozatból határozzuk meg az A eseméy relatív gyakoriságát, akkor a kapott relatív gyakoriságok egyre kisebb mértékbe igadozak egy rögzített szám körül. Szemléletük azt sugallja, hogy ezt a számot vola érdemes az A eseméy valószíűségéek evezi. Ha egy kísérletek, véletle jeleségek csak véges sok elemi kimeetele lehet, és az elemi eseméyekek azoos a valószíűségük, akkor a kísérlettel kapcsolatos eseméyek és ezek valószíűségei együtt ú. klasszikus (más éve kombiatorikus) valószíűségi mezőt alkotak. Ebbe a modellbe az eseméyek valószíűségéek kiszámítási módját a következő defiició adja meg: kedvező elemi esemé yek száma valószíűség ö sszes elemi esemé y száma A valószíűség rövid jelölésére a lati probabilitas (=valószíűség) szó kezdőbetűjét haszáljuk. Legye A a kísérlettel kapcsolatos eseméy. Defiíció: Ha az A eseméy a kísérlet egyelőe valószíű elemi eseméye közül k k külöböző elemi eseméy összegéből áll, akkor valószíűsége PA. Tehát itt az összes (egyelőe valószíű) lehetséges elemi eseméy másképpe az összes eset száma, k pedig az A eseméy bekövetkezése szempotjából kedvező elemi eseméyek vagyis a kedvező esetek száma. Határozzuk meg például aak a valószíűségét, hogy egy szabályos dobókockával páros számot dobuk! Kockadobás sorá a kimeetelek, vagyis az összes esetek száma = 6. Ezek szabályos kocka haszálata esetébe egyelőe valószíűek. Most a kedvező eseteket tekitjük. Ilye most három va (k = 3), hisze a, 4, 6 eredméyű dobások a kedvezőek. Ha az eseméyt A-val jelöljük, akkor P(A) = k/ = 3/6 = 1/. Egy másik példa: legye egy dobozba 4 fehér, 1 piros és 5 kék golyó. Egy golyót találomra kiveszük. Határozzuk meg aak a valószíűségét, hogy fehéret húzuk! Midegyik golyót azoos valószíűséggel választhatjuk, és az összes lehetőségek száma = 10. Jelöljük A-val azt az eseméyt, hogy a kihúzott golyó fehér. Eek az eseméyek a szempotjából a kedvező esetek száma: k = 4. Így P(A) = k/ = 4/10 = 0,4. Tehát 0,4 valószíűséggel húzuk fehér golyót a dobozból. Nem véletleül evezik ezt a modellt klasszikusak. A feti defiició gyakorlatilag Laplace-tól származik, aki már egy 181-be megjelet mukájába így fogalmazott:

7 A valószíűségszámítás em más, mit egyelőe valószíű esetek megszámlálása. Ha egy eseméy valószíűségét akarjuk meghatározi, akkor meg kell keresük az összes olya esetet, amelyek ezt az eseméyt eredméyezik. Ezek a kedvező esetek. Az eseméy valószíűségét a kedvező esetek számáak és az összes esetek számáak háyadosa adja meg. De a véletle jeleségek matematikai eszközökkel törtéő vizsgálatáak igéye már Pascal mukásságába is megjeleik. Egy 1654-be írott levelét ezekkel a godolatokkal zárja: Ily módo összekapcsolva a matematikai bizoyítások szabatosságát a véletle bizoytalaságával, és ezeket a látszólag homlokegyeest ellekező dolgokat egymással kibékítve, e ta joggal tarthat igéyt a következő, midkét elletétes alkotóelem evét kölcsövevő, valóba meghökkető elevezésre: a véletle matematikája. A valószíűség tulajdoságai A klasszikus modellbe a valószíűség a következő köye belátható tulajdoságokkal redelkezik: 1. Egy tetszőleges A eseméy valószíűsége emegatív és legfeljebb 1, azaz 0P(A) l. Az állítás igaz, hisze a feti defiícióba szereplő tört evezője pozitív, számlálója pedig emegatív. A kedvező kimeetelek száma em lehet agyobb mit az összes kimeeteleké, így a tört értéke legfeljebb 1.. A lehetetle eseméy valószíűsége 0, a biztos eseméyé 1, azaz P() = 0, P(I) = Aak a valószíűsége, hogy két egymást kizáró eseméy közül legalább az egyik bekövetkezik, egyelő az eseméyek valószíűségeiek összegével. Rövidebbe: Ha AB =, akkor P(A+B) = P(A)+P(B). Ha k a -val jelöljük az A, k b -vel a B eseméy bekövetkeztét jelető kedvező eseteket, akkor a két eseméy kizáró volta miatt a k a+b = k a +k b összefüggés teljesül. Ez viszot a defiíció miatt a tétel állításáak érvéyesülését jeleti. Érdemes észrevei, hogy hasoló összefüggéssel már találkoztuk: metszet élküli síkidomok területére, szakaszok hosszára ugyaezt az állítást fogalmazhatjuk meg. Az állítást általáosabba is kimodhatjuk: 3a. Ha az A 1, A,..., A eseméyek párokét kizárják egymást, akkor P(A 1 +A +...+A ) = P(A 1 )+P(A )+...+P(A ) Az állítást a 3. tulajdoság alapjá teljes idukcióval lehet bizoyítai. A fetiekből következek az alábbi összefüggések: 4. Ha A 1, A,..., A teljes eseméyredszert alkotak, akkor P(A 1 )+P(A )+...+P(A ) = 1. Mivel a teljes eseméyredszer defiíciója szerit a bee szereplő eseméyek párokét kizárják egymást, együtt viszot a biztos eseméyt adják ki, az állítás a 3a. tulajdoság egyszerű következméye. Eze tétel speciális esetekét kapjuk: 5. Ha valamely kísérlet egy eseméye A és eek elletettje A', akkor P(A) + P(A') = 1. Egy eseméy és elletettje defiíció szerit kizárják egymást, s alkotják együtt a biztos eseméyt, így valóba alkalmazható a 4. tétel. 6. Ha az A eseméy maga utá voja a B eseméyt, azaz AB, akkor P(A)P(B). Jelölje C azt az eseméyt, amely akkor következik be, amikor a B ige, de az A em, azaz legye C=B A. Ekkor P(B)=P(A)+P(C). De mivel P(C)0, ezért P(A)P(B)

8 7. Legye A és B egy kísérlet egymást em feltétleül kizáró két eseméye, akkor P(A+B) = P(A)+P(B) P(AB). Legye C 1 az az eseméy, hogy A bekövetkezik, de B em, C az az eseméy, hogy B bekövetkezik, de A em, C 3 az az eseméy, hogy A és B egyidejűleg bekövetkezik (C 3 =AB). Nyilvá C 1 +C +C 3 =A+B, tehát P(A+B)=P(C 1 +C +C 3 ). Viszot C 1, C, C 3 párokét kizárják egymást, így P(C 1 +C +C 3 ) = P(C 1 )+P(C )+P(C 3 ). Továbbá P(A)= P(C 1 +C 3 )=P(C 1 )+P(C 3 ) és P(B)= P(C +C 3 )= P(C )+P(C 3 ). Tehát: P(A+B)= P(C 1 )+P(C )+P(C 3 )= (P(C 1 )+P(C 3 ))+ (P(C )+P(C 3 )) P(C 3 )= P(A)+P(B) P(AB). Az összefüggés több eseméyre is érvéyes. Például ha A, B, C egy kísérlet három eseméye, akkor: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(AC) P(BC)+P(ABC). Érdemes észrevei, hogy ha azt kérdezzük, hogy mi a valószíűsége egy eseméyek, akkor válaszkét egy számot váruk, amely a kérdéses eseméyhez va redelve. A valószíűség tehát egy függvéy, amelyek értelmezési tartomáyát eseméyek, értékkészletét számok alkotják. A fetiek szerit a valószíűség egy olya függvéy, amely a H eseméytér mide részhalmazához (az eseméyekhez) egy 0 és 1 közötti számot redel hozzá úgy, hogy a biztos eseméyhez az 1-et redeli, és véges vagy végtele sok, párokét kizáró eseméy egyesítéséhez pedig az egyes eseméyek valószíűségeiek összegét. Formálisa: a valószíűség az a függvéy, amely az A eseméyhez azt a p(a) számot redeli hozzá, amely teljesíti a következő Kolgomorov-féle axiómákat: 1) 0p(A)1 ) p(i) = 1 3) ha A i egymást párokét kizáró eseméyek, akkor p(a k ) = p(a k ) Mitapéldák Az eddigiek gyakorlásaképpe oldjuk meg a bevezetőbe említett, szerecsejátékokkal kapcsolatos feladatokat példa. De Méré lovag Pascalt kereste meg egy kockajáték kapcsá felmerülő kérdéssel: A játékos egy kockával játszik a bak elle. A bak yer, ha a játékos égy dobásból legalább egy hatost dob. A kérdés az, hogy ez a feltétel kifizetődik-e a bakak? A játék a bak számára yilvá akkor kifizetődő, ha a legalább egy hatos eseméy valószíűsége meghaladja az 1/-et. Feladatuk tehát az eseméy valószíűségéek meghatározása. Legegyszerűbbe akkor jutuk el célukhoz, ha felhaszáljuk az elletett eseméyek valószíűségére voatkozó (5.) állítást. A legalább egy hatos eseméy elletettje a ics hatos. Tehát: P(legalább egy hatos)=1 P(ics hatos). A ics hatos eseméy csak egyféle módo következhet be: ha mid a égyszer em hatost dobuk. Eek valószíűsége: P( ics hatos),

9 Tehát a keresett valószíűség: 5 P(legalá bb egy hatos) = , példa. Toscaa hercege fordult Galileo Galileihez a következő kérdéssel: Hogya lehetséges, hogy három kockát feldobva, az összeg gyakrabba lesz 10, mit 9, miközbe midkét szám hat módo állhat elő kocka-számok összegekét? Mit azt az elemi eseméyek kapcsá említettük, a probléma megoldásakor Galilei a redezett számhármasokat tekitette elemi eseméyekek. Elképzelhetjük ezt úgy is, hogy három külöböző szíű kockát dobuk fel (feketét, fehéret, kéket), s a dobott számokat is midig ebbe a sorredbe jegyezzük fel. Az összes kimeetelek száma ebbe a modellbe yilvá 6 3 =16. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy ezek mid egyelőe valószíűek. Végezzük el a következő Vacsó Ödötől származó godolatkísérletet: Vegyük három teljese egyforma dobókockát, és fessük be őket feketére, fehérre, kékre. Adjuk őket oda egy emberek, és dobáltassuk fel a kockákat. Segítők meg tudja külöbözteti a kockákat egymástól, hisz azok külöböző szíűek. Sok kísérlet végrehajtása utá kap valamiféle relatív gyakoriságot a lehetséges értékekre. Ezutá kössük be mukatársuk szemét, aki számára most a három kocka teljese egyforma, hisze em látja a szíüket. Most is yilvávalóa ugyaazt az eredméyt kell kapia az egyes értékek relatív gyakoriságára, hisze a kockák em tudják, hogy most éppe egy vak dobál velük, tehát yilvávalóa ugyaúgy viselkedek, mit eddig. Vegyük le ezutá a szíezést a kockákról, és a kedőt segítők szeméről. A kockák ismét ugyaúgy kell viselkedjeek, mit az előbb, hisze a kockák arról sem tudak, hogy be vaak-e szíezve. Ebből az következik, hogy a megkülöböztető jellel ellátott kockák ugyaúgy viselkedek, mit a em megkülöböztethető kockák. Tehát a sorredet figyelembe kell veük a dobott értékekél. Vizsgáljuk most meg, hogy a beüket érdeklő összegek háyféle kimeetel révé valósulhatak meg (az esetszámok meghatározását em részletezzük, az Olvasó kombiatorikai ismeretei alapjá elleőrizi tudja az eredméyt): Összeg: 9 Összeg: 10 Felbotás Esetszám Felbotás Esetszám Összese 5 Összese 7 A táblázat eredméyeit felhaszálva: 5 P , és P10 7 0, példa. Egy pakli magyar kártyából kihúzuk találomra 10 lapot. Mi a valószíűsége, hogy legalább 6 piros lesz a kihúzott lapok között? A megoldás kulcsa az eseméy felbotása egymást kizáró eseméyekre, hisze ekkor alkalmazhatjuk a 3. tételt. Tehát: P(legalább 6 piros)=p(potosa 6 piros)+p(potosa 7 piros)+p(potosa 8 piros) Most már csak eze kimeetelek valószíűségét kell meghatározuk

10 Az összes lehetőségek száma (lévé egy kiválasztási problémáról szó): A 10 lap közé k darab pirosat valószíűség: Számítógép segítségével k -féle módo húzhatuk. Így a keresett 10 k P( k 6) 0, a feti példák végeredméyei ige köye meghatározhatók. Természetese a modellek felállításába em számíthatuk a gép támogatására, de aál ikább a kokrét, umerikus értékek meghatározásába. Ismét csak a már tárgyalt táblázatkezelő programokra hivatkozuk. (A kokrét leírások a MS Excel 5.0-ra igazak, de természetese más táblázatkezelő programokba is megtalálhatók esetleg más éve, más szitaxissal ezek a függvéyek.) Faktoriális Szitaxis: FAKT(szám), ahol szám egy em egatív szám, melyek a faktoriálisát keressük. Ha szám em egész, akkor a függvéy egésszé csokítja. Például: FAKT(1) = 1, FAKT(5) = 10 Kombiációk Szitaxis: KOMBINÁCIÓK(szám; kiválasztott), ahol szám az objektumok száma kiválasztott az objektumok száma az egyes kombiációkba. Például: KOMBINÁCIÓK(8; ) = 8 Variációk Szitaxis: VARIÁCIÓK(szám; kiválasztott), ahol szám az objektumok száma. kiválasztott az egy-egy alkalommal kiválasztott objektumok száma. Például: VARIÁCIÓK(100; 3) = Feladatok 8.6. Meyi aak a valószíűsége, hogy egy találomra kitöltött lottószelvéyel ötös találatot érük el? 8.7. Meyi aak a valószíűsége, hogy egy találomra kitöltött lottószelvéyel a) égyes; b) legalább égyes találatot érük el? 8.8. Egy szabályos játékkockát egymás utá hatszor feldobuk. Meyi a valószíűsége aak, hogy az 1,, 3, 4, 5, 6 számok midegyike előfordul a dobott számok között?

11 8.9. Egy pakli magyar kártyából kihúzuk találomra 4 lapot. Meyi a valószíűsége aak, hogy legalább ász lesz a kihúzott lapok között? Meyi aak a valószíűsége, hogy egy találomra választott 7 jegyű telefoszám jegyei mid külöbözek? alma közül 10 kukacos. Kiveszük az almák közül válogatás élkül ötöt. Meyi a valószíűsége aak, hogy lesz közötte férges? 8.1. Meyi aak a valószíűsége, hogy ha valakiek az 5 lapos fracia kártyából 13 lapot kiosztaak, akkor legfeljebb 3 ásza lesz? Meyi aak a valószíűsége, hogy ha két szabályos kockával dobuk, a dobott potok összege legfeljebb 4 lesz? További gyakorló feladatok találhatók az Összefoglaló feladatgyűjteméy"-be ( ) Valószíűségi változók Az eddig tárgyalt, haszált klasszikus valószíűségi modell mit láttuk számos kérdés eseté ige hatékoya haszálható. Azoba ige köye megfogalmazhatók olya gyakorlati problémák, melyek eze modellel em tárgyalhatók, hisze em határozhatók meg matematikai úto (a szimmetria-elv segítségével), az egyes elemi eseméyekhez, kimetelekhez tartozó valószíűségek. Például semmiféle elméleti megfotolás alapjá em tuduk válaszoli arra a kérdésre, hogy egy cipőboltba betérő vásárló milye valószíűséggel vásárol 4-es méretű cipőt. A kérdés pedig életbevágóa fotos a cipőgyárak és a kereskedők számára. A probléma megoldásához statisztikai eszközökkel meg kell határozi a épesség lábméretéek eloszlását, méghozzá lehetőleg emekét és korcsoportokét, hisze egy divatos lábbeli ikább a fiatalok körébe adható el, míg egy kozervatívabb fazoú cipőt ikább az idősebbek fogak megvásároli. A megoldás tehát az, hogy megadjuk a lehetséges kimeeteleket példákba a cipőméreteket, méghozzá úgy, hogy azok kizáróak legyeek és legalább egy midig bekövetkezze közülük, továbbá a hozzájuk tartozó valószíűségeket. Ezzel eljutottuk a valószíűségi változó fogalmához. Potosabba: Defiíció: Ha az eseméytér elemeihez egy-egy számértéket redelük, az így kapott véletletől (véletle elemi eseméyektől) függő változót valószíűségi változóak (véletle, sztochasztikus változóak) evezzük. Vegyük észre, hogy a három kocka problémáját végeredméybe valószíűségi változóval oldottuk meg! Hisze vettük a lehetséges kimeetelek halmazát, s megadtuk a hozzájuk tartozó valószíűségeket. Tekitsük át most már mide esetre kitérve a feladatot. Az alábbi táblázat tartalmazza a kimeeteleket és a hozzájuk tartozó valószíűségeket. kimeetel valószíűség 1/16 3/16 6/16 10/16 15/16 1/16 5/16 7/16 kimeetel valószíűség 7/16 5/16 1/16 15/16 10/16 6/16 3/16 1/

12 Ha a táblázatba szereplő valószíűségeket összeadjuk, potosa 1-et kapuk, tehát valószíűségeik kielégítik a valószíűségeloszlás defiícióját: Defiíció: A emegatív p 1, p,..., p számokat valószíűségeloszlásak (vagy rövide eloszlásak) evezzük, ha összegük 1. A kapott eloszlás természetese grafikoo is ábrázolható. A mellékelt ábrá a három kocka problémáját leíró véges valószíűségi változó eloszlása látható. 0,140 0,10 0,100 0,080 0,060 0,040 0,00 0, Kimeetelek A feti táblázattal egybe példát is láttuk a véges valószíűségi változóra, illetve aak egy lehetséges megadási módjára. Defiíció: Egy valószíűségi változót végesek evezük, ha lehetséges értékeiek halmaza véges. Általába egy X véges valószíűségi változót úgy aduk meg, hogy megadjuk, milye értékeket, milye valószíűséggel vehetek fel. Ezt az alábbiak szerit írhatjuk le: x1 x L x X: P x P x P x 1 L (Szokás a valószíűségi változókat a görög (kszí) betűvel is jelöli.) Tekitsük a következő egyszerű kísérletet: egy kockával addig dobáluk, míg hatost em kapuk. Hogya tudjuk leíri ezt a kísérletet? Jelöljük P(i)-vel aak a valószíűségét, hogy az i-edik dobásra dobuk először hatost. Ekkor yilvá P1, P, P3 Pi , K, 6 6, K 6 i1 A kísérlet érdekessége az, hogy a lehetséges kimeetelek halmazáak icse vége, hisze bármilye agy természetes számot is aduk meg, elképzelhető igaz kicsiy valószíűséggel olya dobássorozat, melybe az adott határig em sikerül hatost dobuk. A példát leíró

13 k 1 X: k Pk, k N valószíűségi változó az úgyevezett diszkrét valószíűségi változók 0,00 0,150 0,100 0,050 csoportjába tartozik. 0, Kimeetelek Defiíció: Ha egy valószíűségi változó értékei legfeljebb megszámlálhatóa végtele halmazt alkotak, akkor a valószíűségi változó diszkrét. A valószíűségi változók még egy csoportját kell megemlíteük. A gyakorlatba sokszor előfordulak olya jeleségek, melyek kimeetelei tetszőleges valós értéket felvehetek, legalábbis egy itervallumo belül. Ilye változóval va dolguk például, ha egy termék élettartamát kívájuk vizsgáli, a Dua vízállásáak magasságát szereték megjósoli, és így tovább. Ezeket a valószíűségi változókat folytoos valószíűségi változókak evezzük. Ezek a változók tehát meghatározott határok között tetszőleges értékeket vehetek fel. Ilye lehet például az valószíűségi változó, melyek értékét úgy kapjuk, hogy egy egységyi szakasz valamely potjára rábökük véletleszerűe, és eek távolságát vesszük az egyik végpottól. Itt yilvá a keletkezett távolság 0 és 1 között mide valós értéket felvehet. Az ilye folytoos eloszlású valószíűségi változók eseté em tudjuk megadi azt, hogy egy adott értéket mekkora valószíűséggel vesz fel, hisze a klasszikus modell em működik: az összes esetek száma végtele, a jó esetek száma pedig 1, tehát egy elemi eseméy valószíűsége 0 lee, viszot az eseméyek végtele sok elemi eseméyből állhatak, és végteleszer 0 ics értelmezve. Itt tehát egy új problémával álluk szembe, amelyek megoldására még visszatérük. Valószíűségi változók jellemzői A leíró statisztikáról szóló fejezetbe láttuk, hogy a megfigyelések, kísérletek általába agy elemszámú statisztikai sokaságot eredméyezek. Az e sokaságokat leíró gyakorisági eloszlások jellemzésére bevezettük éháy statisztikai mutatót (átlag, mediá, módus, szórás, stb.), melyek csak a relatív gyakoriságoktól függtek. A valószíűséget eleve úgy defiiáltuk, hogy alkalmas legye a relatív gyakoriságok előrejelzésére, jóslására. Így em meglepő, hogy a jeleségeket leíró valószíűségszámítási modelltől azt is elvárjuk, hogy a statisztikai mutatókra jó előrejelzést adjo. Ehhez értelmezük kell az egyes statisztikai mutatók megfelelőit a valószíűségi változókra. Tehát a x1 x L x X: P x P x P x 1 L általáos alakba megadott valószíűségi változó jellemzőit úgy adjuk meg, hogy a megfelelő statisztikai mutatók defiíciójába a relatív gyakoriságot a valószíűséggel helyettesítjük. Defiíció: Valószíűségi változó módusza az az x i érték, amelyek P(x i ) valószíűsége a legagyobb. Ha több ilye va, akkor a móduszok halmazáról beszélük

14 Defiíció: Az X valószíűségi változó mediája az az M(X) szám, amelyre teljesül, hogy P X MX 1 és P X M X 1 Ha több ilye szám va, akkor legye a az a legkisebb szám, amelyre PX a az a legagyobb szám, amelyre PX b 1 Defiíció: Az X valószíűségi változó várható értéke az súlyozott számtai közép.. Ekkor a mediá: M X a b. 1 1 K E X x P x x P x x P x 1 és b Defiíció: Az X valószíűségi változó várható abszolút eltérése az X E(X) valószíűségi változó várható értéke: x 1 E(X) P(x 1 )+ x E(X) P(x ) x E(X) P(x ). Defiíció: Az X valószíűségi változó szóráségyzete az (X E(X)) valószíűségi változó várható értéke, amit D (X)-szel jelölük: D (X)=(x 1 E(X)) P(x 1 )+ (x E(X)) P(x )+... +(x E(X)) P(x ). A szóráségyzetre hasolóa a számsokaságok szóráségyzetéél látottakhoz levezethető egy számolásra sokkal alkalmasabb összefüggés is. Eszerit: D (X)=E(X ) E (X) Defiíció: Az X valószíűségi változó szórása a szóráségyzet pozitív égyzetgyöke, melyet D(X)-szel jelölük. Érdemes visszalapozi a statisztikai mutatókhoz: téyleg csak behelyettesítés törtét. Most ézzük meg egy egyszerű mitapéldá a kiszámítási módokat. (Megjegyezzük, hogy a jelölések haszálata az egyes szakköyvekbe eltérő: így például a várható érték esetébe találkozhatuk a M(x), m, jelekkel; a szórást pedig több helye -val, vagy s-sel jelölik.) 8.4. példa. Dobjuk fel egyszerre öt kockát. Legye a kísérlet kimeetele a legkisebb dobott szám. Adjuk meg a valószíűségi változót és jellemzőit! A lehetséges kimeetelek az 1,,..., 6 számok leszek. Meghatározzuk, háyféleképpe kaphatjuk meg az egyes kimeeteleket, a kockákat megkülöböztethetőkek tekitve. Az összes esetek száma yilvá 6 5. Legegyszerűbbe azt az esetet tudjuk megszámoli, mikor a legkisebb dobott szám a hatos, hisze ez csak egyetle módo jöhet létre, mikoris mide kockával hatost dobuk. A legkisebb dobott szám akkor lesz 5, ha mide szám legalább 5 és em midegyik agyobb mit 5. A mide szám legalább 5 eseméy úgy következhet be, hogy az 1. kockával is, a. kockával is, stb., az 5, 6 számok egyikét dobjuk, tehát eze eseméy 5 számú módo következhet be. Ebből a számból le kell vouk a mide szám agyobb mit 5 eseméyek számát, ami 1. Tehát az 5 mit legkisebb szám 5 1 esetet jelet. Teljese hasolóa a legkisebb dobott szám akkor lesz 4, ha mide szám legalább 4 és em midegyik agyobb mit 4. A mide szám legalább 4 eseméy úgy következhet be,

15 hogy az 1. kockával is, a. kockával is, stb., a 4, 5, 6 számok egyikét dobjuk, tehát eze eseméy 3 5 számú módo következhet be. Ebből a számból le kell vouk a mide szám agyobb mit 4 eseméyek számát, ami 5. Tehát az 5 mit legkisebb szám esetet jelet. A godolatmeetet ismételve megkapjuk tehát a valószíűségeket: kimeetel valószíűség közelítő érték 0,598 0,70 0,100 0,07 0,004 0,000 A táblázatból rögtö megállapítható, hogy a változó módusza 1. Mivel P(X=1)>0,5, így a mediá is 1, azaz M(X)=1. A várható érték kiszámítása: EX , A várható abszolút eltérést a valószíűségek közelítő értékeivel számoljuk ki: 1 1,57 0,598+ 1,57 0, ,57 0, ,57 0, ,57 0, ,57 0,0000,68 A szóráségyzet meghatározásához is a közelítő értékeket haszáljuk: D =(1 1,57) 0,598+( 1,57) 0,7+(3 1,57) 0,1+(4 1,57) 0,07+(5 1,57) 0,004++(6 1,57) 0,00,655 Ebből a szórás: D0,81. A statisztikai sokaságok jellemzéséél haszos mérőszámak bizoyult az átlag és a szórás. Láttuk, hogy az adatok legalább 75%-a az [átlag kétszeres szórás; átlag + kétszeres szórás] itervallumba esik. Ez természetese akkor is igaz, ha a statisztikai sokaság véletle jeleségek megfigyeléséből származik. A valószíűségszámítási modellek segítségével a véletle jeleségek kimeeteleire szereték előrejelzést adi. Ilye előrejelzés lehet az, hogy ha agyszámú megfigyelést végzük. Ekkor az adatok többsége egy jól meghatározott itervallumba esik, azaz agyszámú függetle megfigyelés eseté az átlag agy valószíűséggel közel lesz a várható értékhez. Potosabba: Tétel: Legye A egy kísérlet egyik kimeetele. Ismételjük meg a kísérletet -szer egymástól függetleül, és h A () jelölje az A eseméy relatív gyakoriságát ebbe a kísérletsorozatba. Ekkor tetszőleges kis és pozitív számokhoz található olya, csak -tól és -tól függő N, hogy N eseté P ha P A 1. Ezt a tételt melyet bizoyítás élkül közlük szokás a agy számok törvéyéek evezi. Elsőkét Jacob Beroulli modta ki Ars coiectadi (A találgatás művészete) című művébe. A szerzőjéek halála utá, 1713-ba megjelet köyvbe találkozhatuk először a valószíűség szóval, bár még potos defiíció élkül

16 Feladatok Egy kockával addig dobuk, amíg valamelyik, már korábba dobott szám ismételte előfordul. A szükséges dobások száma a kísérlet kimeetele. Adjuk meg a valószíűségi változót, jellemzőit! Mi a lottó kihúzott öt szám közül a legkisebbek az eloszlása? Két kockát dobuk fel, a kimeetel a dobott számok összege. Adjuk meg a valószíűségi változót! Két kockával dobva, meyi a dobott számok a) maximumáak; b) miimumáak várható értéke? Határozzuk meg a lottótalálatok számáak várható értékét egy találomra kitöltött szelvéy eseté! Érmével dobuk addig, amíg először fordul elő, hogy két egymás utái dobás azoos. Meyi a szükséges dobások számáak várható értéke? 8.0. Egy urába 4 piros és 6 fehér golyó va. Kihúzuk 5 golyót a) visszatevés élkül; b) visszatevéssel. Határozzuk meg a kihúzott piros golyók számáak várható értékét és szórását! 8.1. Egy pakli magyar kártyából találomra kihúzuk egy lapot. Határozzuk meg a kihúzott lap értékéek várható értékét és szórását! ( Számos lap értéke a rajta lévő szám, a figurás lapok értékei:, 3, 4, 11.) Nevezetes eloszlások A következőkbe éháy a gyakorlati alkalmazások szempotjából kiemelt fotosságú eloszlást veszük tüzetesebbe szemügyre: azaz megadjuk a valószíűségi változókat, várható értéküket, szórásukat. Egyeletes eloszlás Kísérlet: Dobjuk fel egy szabályos dobókockát. A kimeetel legye a dobott szám. Az egyes kimeetelek egyelőe valószíűek, így a kísérletet leíró valószíűségi változó: X: , 0,15 0,1 0, Kimeetelek Defiíció: Egy véges eloszlást egyeletesek evezük, ha kimetelei egyelőe valószíűek, azaz

17 P X xk 1, ahol k = 1,,...,. Határozzuk meg az egyeletes eloszlás várható értékét, szórását! Példákba: EX x1 x K x x1 x K x 1 E , 5 xi Az eredméyből is látható, hogy a várható érték jeletése em az, hogy ha kockával dobuk, akkor 3,5-et foguk dobi, haem az, hogy elegedőe sok kísérletet végezve a kapott adatok átlaga a várható érték köryéké lesz. A szórás kiszámítására az átalakított összefüggést haszáljuk: Példákba: D X x i E X , 3, 5, D 3 5 tehát a szórás: D1,71. Az egyeletes eloszlás kiemelt fotosságú a véletle számokál. A számítógépes programok véletle szám geerátoraival szembe gyakorlatilag egyetle követelméy merül fel: ez pedig az általuk előállított számok eloszlásáak egyeletessége. Kuth már említett művéből kiderül, hogy ezt az egyszerűek látszó követelméyt meglehetőse ehéz teljesítei. Biomiális eloszlás Kísérlet: Tegyük egy urába darab piros és 8 darab fehér golyót. Húzzuk az urából 0-szor egy-egy golyót úgy, hogy az egyes húzások utá feljegyezzük a golyó szíét, majd visszatesszük. Legye a kísérlet kimeetele a kihúzott piros golyók száma. A lehetséges kimeetelek yilvá a 0, 1,,..., 0 számok. Valószíűségeiket a klasszikus modellt felhaszálva határozzuk meg. Tegyük fel, hogy a golyók meg vaak számozva, s az első darab a piros. Így a húzások leírására egy olya modellt tuduk haszáli, amelyek a kimeetelei az 1,,.., 10 számokból álló 0 hosszúságú sorozatok. Ezek száma 10 0, melyek előfordulási valószíűsége egyelőek tekithető. Most már csak azt kell megszámoluk, hogy háy olya sorozat va, melybe az 1, számok k-szor fordulak elő. Ezek száma a kombiatorikába taultak felhaszálásával Így a keresett valószíűség: Pk 0 k 8 0 k k. k k 0 0 8, amit akár így is felírhaták: 0 k

18 Pk k k k ,5 0, 0,15 0,1 0, Kimeetelek Ezek a számok eloszlást alkotak, hisze emegatívok, továbbá összegük a biomiális tétel szerit 1. Ezt az eloszlást biomiális eloszlásak evezzük. A feti kísérlet az úgyevezett visszatevéses mitavételek egy kokrét példája. Próbáljuk meg tehát felismerésüket általáosítai. A legtöbb véletle eseméy modellezésére alkalmas az úgyevezett ura-modell. Legye K egy adott eseméy bekövetkezéséek valószíűsége p. Tegyük egy urába K darab N fehér, és N K darab fekete golyót, és húzzuk ki egy golyót az urából. Ekkor az eseméy bekövetkezése megfelel a fehér golyó húzásak, az eseméy be em következése a fekete golyó húzásak. Tétel: Aak a valószíűsége, hogy függetle kísérlet sorá a p valószíűségű A eseméy k-szor, az (1 p) valószíűségű A' eseméy k-szor következze be k k p p P X k k 1. Az ilye eloszlású X változót biomiális eloszlásúak evezük. Paraméterei: és p. Jelölése: B(; p). A feti ábrá tehát a B(0; 0,) biomiális eloszlást ábrázoltuk. A várható érték meghatározásához szükségük lesz arra a kombiatorikába tault ismeretre, hogy k Eek felhaszálásával a várható érték: k 1 k 1, azaz k k 1 k 1. E k p p k k k k p p k k 1 p k 1 k 1 k 1 1 p p p k 1 1 i 1 k 1 ( 1) ( k 1) i ( 1) i 1 p 1 p De itt az összeadadók a ( 1; p) paraméterű biomiális eloszlás tagjai, összegük tehát 1. Ezért a várható érték: E p i

19 A szórásra kapott eredméyt bizoyítás élkül közöljük: Példákba tehát E =00, = 4, D 1,79 Geometriai eloszlás D p 1 p. Kísérlet: Tegyük egy urába darab piros és 8 darab fehér golyót. Húzzuk az urából visszatevéssel egy-egy golyót midaddig, amíg piros golyót sikerül húzuk. Legye a kísérlet kimeetele a szükséges húzások száma. A kimeetelek tehát a pozitív egész számok lehetek, de elképzelhető az is, hogy soha em húzuk piros golyót. Ezért a valószíűségi változó értelmezési tartomáya megszámlálhatóa végtele számosságú halmaz. Vezessük be az alábbi eseméyeket: A k : a szükséges húzások száma potosa k, B k : az első k húzás között ics piros. Tekitsük a következő eseméyeket mide rögzített k-ra: B' k-1 A k B k az első k 1 húzás között va piros az első k 1 húzás között ics piros, de a k-dik piros az első k húzás egyike sem piros Ezek az eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, tehát P(B' k 1 )+ P(A k )+P(B k ) = 1. Hasolóa: P(B' k 1 )+ P(B k 1 ) = 1. Tehát azt kapjuk, hogy P(A k ) = P(B k 1 ) P(B k ). Vegyük észre, hogy a P(B ) valószíűségeket már az előbb kiszámoltuk, a B eseméy akkor következik be, ha egymás utá kihúzott golyó között ics piros. Ez éppe a biomiális eloszlás első tagja, tehát: P B p p p k k k PAk p p p1 p 4 5 5, tehát k1, k = 1,,

20 0, 0,18 0,16 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Kimeetelek Ha a P(A k ) valószíűségeket a végtele geometriai sor tault összegzési szabálya szerit összeadjuk, akkor eredméyül 1-et kapuk. Ez azt jeleti, hogy ahhoz az eseméyhez, hogy soha em húzuk piros golyót, csak a 0 valószíűséget redelhetjük. Tétel: Ha egy kísérlet két lehetséges kimeetele a p valószíűségű A eseméy és az 1 p valószíűségű A' eseméy, akkor aak valószíűsége, hogy a kísérlet ismételt elvégzései sorá az A eseméy először a k-adik alkalommal következik be 1 k1 P X k p p, ahol k =1,,... Az eloszlást p paraméterű geometriai eloszlásak evezzük. Bizoyítás élkül közöljük a geometriai eloszlás várható értékét és szóráségyzetét. Tétel: A p paraméterű geometriai eloszlás várható értéke és szóráségyzete: EX 1, illetve D X Példákba E(X) = 5; D (X) = 0, tehát a szórás: D 4,47 Hipergeometriai eloszlás p 1 p. p Kísérlet: Tegyük egy urába 6 darab piros és 4 darab fehér golyót. Húzzuk ki az urából egyszerre 4 golyót. Legye a kísérlet kimeetele a kihúzott piros golyók száma. Kombiatorikai ismereteik alapjá oldhatjuk meg a feladatot. Összese mita va. Ezek közül valószíűség tehát: Pm 10 -féle 4 elemű darab tartalmaz potosa m pirosat. A keresett m 4 m 6 4 m 4 m, ahol m = 0; 1; ;...;

21 0,5 0,4 0,3 0, 0, Kimeetelek Tétel: Ha egy N elemet tartalmazó halmazból, amelybe M darab a megjelölt (pl. selejtes) elemek száma, elemű mitát veszük visszatevés élkül, akkor aak a valószíűsége, hogy m darab megjelölt elemet kiválasztottuk P X m M N M m m, ahol m = 0; 1; ;...; mi(m;) N A feti eloszlást (N; M; ) paraméterű hipergeometriai eloszlásak evezzük. Bizoyítás élkül közöljük a hipergeometriai eloszlás várható értékét és szóráségyzetét. Tétel: A (N; M; ) paraméterű hipergeometriai eloszlás várható értéke és szóráségyzete: Példákba: EX, illetve M N EX ,, illetve D X D X M M N N N , A gyakorlati életbe sokszor alkalmazzuk a visszatevés élküli mitavételt. Godoljuk például arra, ha egy közvéleméykutatásál megkérdezük embereket, akkor ügyelük arra, hogy ugyaazt az embert kétszer e kérdezzük meg. A visszatevés élküli mitavétel a hipergeometrikus eloszlásra vezet, ez azoba agy elemszámú halmazokba, kis elemszámú mitavétel eseté közelíthető a biomiális eloszlással, evezetese: K N K k k p( x k) N K N K k N N A feti egyelőség szemléletese is megmagyarázható: ha sok elem va az urába, és keveset húzuk, akkor egy kihúzott elemet kicsi valószíűséggel húzák ki mégegyszer az urából, tehát em okoz jeletős eltérést, ha em is tesszük vissza; másrészt pedig egy kihúzott elemmel em csökke léyegese az elemek száma, tehát egy elem kihúzásáak valószíűsége csak agyo kicsivel változik a visszatevéses esethez képest. A feti közelítés csak a modott feltételek teljesülése eseté áll fe (N agy, kicsi ). k k

22 Poisso-eloszlás Kísérlet: Redelkezésükre áll =4000 golyó, továbbá N=1000 ura. A golyókat véletleszerűe szétosztjuk az urákba. Meyi a valószíűsége aak, hogy egy találomra kiválasztott ura potosa k golyót tartalmaz? Mivel az egyes golyók elhelyezkedései egymástól függetleek és bármelyik golyó N helyre egyforma eséllyel kerülhet, aak a valószíűsége, hogy egy urába éppe k golyó legye, a biomiális eloszlás képlete szerit PX k k k N N k, k = 0, 1,,... Ha azoba a példába adott számértékekkel ki akarák számoli a valószíűségeket, komoly ehézségekbe ütközék, a hatalmas agyságredek miatt. Itt em részletezhető módo levezethető a keresett valószíűség ige agy számokra is alkalmazható alakja: P X k k (ahol e a természetes logaritmus alapszáma, közelítő értéke:,71) Ezt a számsorozatot evezzük paraméterű Poisso-eloszlásak. * Várható értékét és szórását a paramétere határozza meg: EX, és k! e DX. Ezek szerit jeletése a feti példába em más, mit az egy urára jutó golyók átlagos száma, esetükbe 4. Tehát a Poisso-eloszlást a biomiális eloszlás határesetekét, a kísérletek számáak övelésével kaphatjuk meg úgy, hogy az A eseméy valószíűsége övelésével egyre csökke, miközbe az p= szorzat álladó marad. A két eloszlás közötti igecsak szoros rokoi kapcsolatot mutatja a (=4 paraméterű) Poisso-eloszlás grafikoja is., 0,5 0, 0,15 0,1 0, Kimeetelek A Poisso-eloszlás jeletőségét az adja, hogy ige sok gyakorlati feladatba találkozuk ilye eloszlású változókkal. Általába a potok tér- vagy időbeli elhelyezkedése akkor követi a Poisso-eloszlást, ha azok egymástól függetleül és mide tér- vagy időrészbe egyformá valószíűe oszolhatak el. Ilye eloszlást mutat többek között a vérsejtek száma a mikroszkóp látóterébe, az egy útszakaszo bizoyos idő alatt áthaladó gépkocsik * Simeo Deis Poisso ( ) fracia matematikus alkotta meg eze eloszlást

23 száma, valamely radioaktív ayag adott idő alatt elbomló atomjaiak száma, a sajtóhibák száma egy köyvoldalo, stb. Az eloszlás paramétere aráyos lesz a vizsgált térrész vagy időszakasz agyságával. Például egy üzletbe a vásárlók véletle időpotokba érkezek az üzlet yitásától (t = 0) kezdődőe. A t időpotig az üzletbe érkező vásárlók számát jelölje X t. Az X t valószíűségi változó eloszlására vagyuk kívácsiak, vagyis arra, hogy mi aak a valószíűsége, hogy valamely t időpotig potosa k (k = 0, 1,,...) vásárló érkezik az üzletbe. Feltételeik a következőek: 1. A külöböző időszakaszokba érkező vásárlók száma függetle egymástól.. Két egyelő hosszúsági időitervallumba azoos valószíűségekkel érkezek a vásárlók. 3. Egyszerre csak egy vásárló érkezik. Végeredméykét azt modhatjuk, hogyha az üzletbe a vásárlók véletleszerűe érkezek, de úgy, hogy a három feltétel teljesül és az egységyi idő alatt érkező vásárlók átlagos száma, akkor aak a valószíűsége, hogy egy t hosszúságú időszakaszba k vásárló érkezze P X t k t Potosa ugyaez az összefüggés adja meg aak a valószíűségét, hogy egy t hosszúságú időitervallumba éppe k atom bomoljék el. Ebbe az esetbe az illető ayag ú. bomlási álladója. Normális eloszlás Mit említettük, a folytoos eloszlású valószíűségi változók esetébe a klasszikus valószíűségi modell em haszálható. A probléma megoldására egy lehetőség, hogy azt adjuk meg, milye valószíűséggel vesz fel a valószíűségi változó egy adott értékél kisebb értéket. Tehát F( x) p( a x) lesz az a valószíűségi változó eloszlásfüggvéye. A folytoos eloszlású valószíűségi változó sűrűségfüggvéye (ha létezik ilye) az a függvéy, melyek grafikoja alatti terület a míusz végteletől egy adott x-ig a valószíűségi változó eloszlásfüggvéyéek értékével egyezik meg. A folytoos eloszlások közül feltétleül a legfotosabb, a statisztikába közpoti szerepet játszó eloszlástípus a ormális eloszlás. A ormális eloszlás szité a biomiális eloszlás határesetekét származtatható oly módo, hogy övekedése közbe a p k k paraméter álladó marad. Végeredméybe tehát a p p k 1 valószíűségeket közelítjük itt em levezethető módo az f x k! 1 e k e t x m sűrűségfüggvéy x = k helye felvett értékeivel, ahol az álladók jeletése: m p, p 1 p. Az f(x) sűrűségfüggvéy által leírt eloszlást evezzük ormális eloszlásak. Görbéje mit látható haraghoz hasolít, csúcsa lekerekített; sem lapos, sem hegyes em lehet. Lelapuló

24 ágai midkét oldalo agyo messze elyúlak, de már a csúcshoz aráylag közel a vízszites tegely közelébe kerülek. 0,5 0, 0,15 0,1 0, Bebizoyítható, hogy E(x) = m, D(x) = azaz a N(m,) ormális eloszlás várható értéke az m, szórása a paraméter. A tapasztalat szerit a ormális eloszlás ige gyakori a természetbe, társadalmi jeleségekbe. Ez a tapasztalat elméletileg is alátámasztható. Léyegébe arról va szó, hogy ha valamely értéket sok apró, egymástól függetle hatás együttese alakít ki, akkor ez az érték ormális eloszlású lesz, függetleül attól, hogy maguk a hatások ha elszigetelte megvizsgáljuk őket milye eloszlásúak. A ormális eloszlás harag alakú, sima görbéjét egyetle mita gyakorisági eloszlása sem veheti fel, hisze ehhez véges számú pot em elegedő. A ormális eloszlás görbéje megközelíthető kísérleti úto is, az úgyevezett Galto-deszkával. A Galto-deszka sorba szabályosa elredezve szögeket tartalmaz, a k-adik sorba éppe k darabot. A deszká legördülő golyót mide sorba egy szög 1/ valószíűséggel jobbra vagy balra téríti el. Az utolsó sor alatt +1 tartályba gyűlek össze a golyók. Ha a deszká elegedőe sok golyót gurítuk le, akkor a tartályokba a golyókak egy a Gauss-görbéhez hasoló eloszlása rajzolódik ki. (Potosabba egy 1/ paraméterű biomiális eloszlást kapuk, azoba elég agy -re ez jól közelíti a ormális eloszlást.) A valószíűségszámítás gyakorlati alkalmazásaiba (becslésekél, hipotézisvizsgálatokba, egyszóval a matematikai statisztikába) kitütetett szerep jut az ú. stadard ormális eloszlásak, melyek várható értéke 0 (azaz m = 0), szórása 1 ( = 1). A stadard ormális eloszlású valószíűségi változó sűrűségfüggvéye ( z) 1 e Gyakra lesz majd szükségük eze eloszlású változó eloszlásfüggvéyére is: z 1 ( z) e dt Ez sajos a középiskolába megismert elemi függvéyekkel em írható le, ezért értékeit általába táblázatba adják meg. (A táblázat a függelékbe megtalálható, de mit később láti fogjuk, számítógép segítségével is meghatározhatók a szükséges értékek.) Ismerkedjük meg a stadard ormális eloszlású valószíűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvéyéek grafikojával. z t

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

VII.Valószínűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak

VII.Valószínűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak VII.Valószíűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak VII..A valószíűségszámítás elemei A valószíűségszámítás a véletle tömegjeleségeket taulmáyozó, kb. 300 éves tudomáy. Véletle jeleség: em

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika, 9 10. évfolyam

Valószínűségszámítás és statisztika, 9 10. évfolyam Valószíűségszámítás és statisztika, 9 0. évfolyam Hraskó Adrás 04. júius 8. 4 TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok. A statisztika alapjai............................... Kísérletek....................................

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III. ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben