24. Kombinatorika, a valószínűségszámítás elemei

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "24. Kombinatorika, a valószínűségszámítás elemei"

Vilmos Molnár
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 4. Kombiatoria, a valószíűségszámítás elemei Kombiatoria A véges halmazoal foglalozó tudomáyterület. Idő hiáyába csa a evezetes összeszámolásoal foglalozu. a) Sorbaállításo (ermutáció) alafeladat: ülöböző dolgot (valamely halmaz elemeit) háyféleée rahatu ba? TÉTEL: ismétlés élüli ermutáció: P bizoyítás: teljes iducióval -re! -re! ét ülöböző elemet étféleée rahatu ba, éldául a,b és b,a Tegyü fel, hogy -ra igaz az állítás, azaz ülöböző elem ermutációia száma!, ahol > egész. Bizoyítsu be, hogy -re is igaz! Válasszu i elem egy ermutációját. A ()-edi elemet helyre helyezhetjü el, így db ermutációt au. Mivel eleme! ermutációja ( )! volt és midegyiből db lett, ezért ermutációt au. ( )! ( )! az állítás igaz változat: dolog, melye -félé, és az egyes osztályoba tartozó em megülöböztethetőe: ( ) háyféleée raható ba? TÉTEL:!!!, ismétléses ermutáció: ; ;; P bizoyítás: visszavezetés az alafeladatra seciális eset: >, i i, i! ( i)! i DEF: ülöböző elem egy redjét az elem egy ermutációjáa evezzü, ahol N b) Variáció: DEF: Ha ülöböző elemből iválasztu elemet úgy, hogy midet elemet legfeljebb egyszer választu i és számít a iválasztott eleme redje, aor elem egy -ad osztályú ismétlés élüli variációját aju. (, N és ) alafeladat: ülöböző dologból iválasztva dolgot, háyféleée raható ba? TÉTEL: ismétlés élüli variáció: V ( )! bizoyítás: Az elemet -féleée választhatju i, a. elemet (-)-féleée választhatju i, a 3. elemet (-)-féleée választhatju i, a. elemet -(-)-féleée választhatju i V ( )( ) ( )

2 bővítve ( )! -sal: ( )( ) ( )( )! V ( )! ( )! változat: a ülöböző dologból visszatevéssel iválasztu db-ot, ez háyféleée lehetséges? TÉTEL: ismétléses variáció: i V c) Kombiáció DEF: Ha ülöböző elemből iválasztu elemet úgy, hogy mide elemet legfeljebb egyszer választu i, és em számít a iválasztott eleme redje, aor elem -ad osztályú ismétlés élüli ombiációját aju. (, N és ) alafeladat: elemű halmaz elemű részhalmazaia száma ( db elem iválasztása, ha a red em számít) TÉTEL: ismétlés élüli ombiáció: C!( )! bizoyítás: ( )( ) ( ) figyelembe veszi a redet ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )!!!! ( ) ( )! TÉTEL: biomiális tétel, ismétléses ombiáció: C i (ismétléses ombiáció: többször is választhatju azt az elemet, amelyet már ihúztu) ( ) a b a b 0 A biomiális tétel bizoyítása: ( a b) ( a b)( a b) ( a b) db téyező A szorzást a övetezőée végezzü: - a -es tagot úgy au, ha db téyezőből választu a-t és 0 db téyezőből b-t. Ez -féleée lehet. Tehát a lesz a b-s tagot úgy au, ha - db téyezőből választu a-t és db téyezőből b-t. Ez -féleée lehet. Tehát a b-s lesz - a b -es tagot úgy au, ha - db téyezőből választu a-t és db téyezőből b-t. Ez -féleée lehet. Tehát a b lesz. -a b - -es tagot úgy au, ha db téyezőből választu a-t és - db téyezőből b-t. Ez -féleée lehet. Tehát a b - lesz. -b -es tagot úgy au, ha 0 db téyezőből választu a-t és db téyezőből b-t.

3 Ez -féleée lehet. Tehát b lesz. Ezeet összeadva állítás. Fotos összefüggése:. bizoyítás: -féle. -féle Pascal-háromszög: TÉTEL: : az összes részhalmazo száma 0 bizoyítás: lásd a halmazoál.valószíűségszámítás elemei lasszius élet (Lalace):

4 edvező imeetele ( esete) összesimeetele ( esete) alafogalma: véges so lehetséges imeetel eseté elemi eseméye: az összes lehetséges imeetele éldául: érme eseté a valóságot az a modell írja le helyese, ahol 4 elemi eseméy va f-f, í-í, f-í, í-f (megülöböztetjü az érméet) A valószíűségszámítás szemléletes fogalma: : háyszor végezzü el a ísérletet : gyaoriság: egy adott imeetel háyszor övetezi be : relatív gyaoriság: ha ísérlet eseté valamely ísérlet -szor övetezi be Ha övelésével egy adott szám örül igadozi úgy, hogy az igadozás stabilitás mutat, aor ez a szám az adott eseméy valószíűsége. (eseméy: valaháy elemi eseméy adja meg) eseméytér: az összes elemi eseméye halmaza A valószíűség matematiai fogalma: P egy függvéy, ami az eseméytére értelmezett és ielégíti a övetező axiómáat: (Kolmogorov-axiómá) 0. ( biztos eseméy) 3. A és B egymást izáró : A B 0 ( A B) ( A) ( B) Fotos eredméye: A A a) ( ) ( ) ( A) : omlemeter eseméy, (lehetetle eseméy)0 A eseté ( A) ( B) b) B

$c) ( A \ B) ( A) ( A B) Ha véges so lehetséges imeetel midegyie egyeértéű, aor lesz a lasszius élet haszálható { A, A, } A, A i ( A) ( A A A ) ( A ) ( A ) edvező esete száma összes esete száma i i$

5 c) ( A \ B) ( A) ( A B) Ha véges so lehetséges imeetel midegyie egyeértéű, aor lesz a lasszius élet haszálható { A, A, } A, A i ( A) ( A A A ) ( A ) ( A ) edvező esete száma összes esete száma i i teljes eseméyredszer: egymást ároét izáró eseméye, melye valószíűségée összege: i ( ) A i A, A,, eloszlás: (valószíűségi változó) A ( A ), ( A ),, ( A ), (biomiális eloszlás, geometriai eloszlás) Alalmazáso: - lottó, totó, szerecsejáté - geometriai valószíűsége: π becslése (Buffo-féle tűrobléma) - mitavétel, özvéleméy-utatás, miőség-elleőrzés - a yereméy igazságos szétosztása félbeszaadt játé eseté - ietius gázelmélet (fizia) - domiás-recesszív öröléselmélet (biológia)

Hasonló dokumentumok

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor