8. tétel: Adatsokaságok jellemzıi, a valószínőségszámítás elemei

Átírás

1 Magyar Eszter Emelt szitő érettségi tétele 8. tétel: Adatsoaságo jellemzıi, a valószíőségszámítás elemei ADATSOASÁGO JELLEMZİI STATISZTIA: Statisztia: Tömegese elıforduló jelesége és folyamato számbavétele, az adato elemzése, vizsgálati módszere. Leíró statisztia: A leíró statisztia azzal foglalozi, hogy egy adott, meghatározott elemebıl álló iformációhalmazt iértéelje. Eze legtöbbször számo. Egy teljes, ismert csoportból győjtü adatoat. Matematiai statisztia: Ismert mitá alapjá öveteztetü a teljes csoportra. Vizsgált csoport: maga a statisztiai soaság. Egyedeie száma a statisztiai soaság mérete. Adatgyőjtés: - elsıdleges adat öálló győjtéssel: - teljes mitavétel - reprezetatív mita (amivel foglalozhat a matematiai statisztia) - másodlagos adat meglévı adatbázisból Adatfajtá: évleges adat (pl. em, hajszí); redezhetı adat (pl. verseyeredméy, osztályzat); mérhetı (meyiségi) adat (pl. tömeg, db, hossz, jövedelem) Gyaoriság: Az adat elıfordulásaia száma a soaságba. Az adatoat és gyaoriságaiat táblázatba foglalva megapju a gyaorisági eloszlást. Ha a özli értéeet egy csoportba sorolju, osztályoat apu, melyeet táblázatba redezve osztályözös gyaorisági eloszlást apu. Relatív gyaoriság: A gyaoriság és a méret háyadosa., ahol 0. A relatív gyaoriságot éha százaléba adjá meg. Adato ábrázolása: Az adato ábrázolásáál legtöbb esetbe az adathalmazba való elıfordulási aráyt szotá ábrázoli (relatív gyaoriság). Oszlopdiagram Voaldiagram ördiagram Sávdiagram Egyéb Hisztogram Az oszlopo magassága aráyos az adat agyságával (így lehet egatív is). Jó összehasolításhoz, idıbeli változáshoz. em jó, ha az adato özött szélsısége vaa, vagy ha agyo egyformá. Hisztogram: adato helyett a hozzáju tartozó gyaoriságot ábrázoljá Soszögvoal-diagram Az adato össze vaa ötve egy törtvoallal. A relatív gyaoriság a örci özéppoti szögével aráyos. 00%-360º. iemeli a változáso Jól látható a része mértéét, mert a egymáshoz- az meredeség domiál egészhez viszoyított értée. Megtévesztı is lehet, mert folytoosságot sugall. Trébeli változata a torta- diagram mely a perspetíva miatt mai-pulációra ad lehetıséget. Sávdiagram 0% 0% 40% 60% 80% 00% A részsávo hossza aráyos a megjeleített adat relatív gyaoriságáa agyságával. A rész és egész viszoya jól látszi, de a része egymáshoz épesti viszoya em.. Térbeli változatáál a perspetívaváltozás maipulációra ad lehetıséget. - úp - heger - piramis - pot - terület - felület - buboré - árfolyam - sugár - póháló - pitogram - artogram

2 Emelt szitő érettségi tétele Fotos a grafioészítésél az értétegelye helyes beállítása, a megfelelı típusválasztás, a szíezés ill. mita jó megválasztása, grafioa legye címe (rövid, hatásos). A téyezı helytele megválasztása ill. ülöbözı optiai csaláso maipulációra ada lehetıséget. Statisztiai mutató, özépértée: (adattömörítés reprezetatív számértéeel) Statisztiai mutató: Az adatábrázolásból apott, az adathalmazra jellemzı számo. özépértée: Összefoglaló eve a módusza, mediáa és az átlaga Módusz: A számsoaságba legtöbbször elıforduló számot a számsoaság móduszáa evezzü. Ha több ilye va, aor azo midegyie módusz. Tehát a leggyaoribb adat. Jele: M o A módusz aor haszálható, ha az adato özül iemel egyet, em szerecsés a haszálata, ha több adat is özel azoos gyaorisággal emeledi i a soaságból. Mediá: A agyságredi sorba redezett adato özül a özépsı (ha ét özépsı va, aor eze átlaga adja a mediát). Jele: M e. Látható, hogy ugyaayi adat em agyobb a mediáál, mit ameyi em isebb. Csa redezhetı adatoál haszálható. vartilise: alsó vartilis: a legisebb és a mediá özött özépe elhelyezedõ adat számértée a redezett mitába. Tehát a mediá alatti adato mediája. Jele: Q felsı vartilis: a mediá és a legagyobb adat özött elhelyezedı adat számértée a redezett mitába. Tehát a mediá felett adato mediája. Jele: Q A Q és Q 3 özötti tartomáy az itervartilis tartomáy. A vartilise a szóráshoz hasolóa az adato szóródásáról tájéoztata, elsõsorba ferde eloszlás eseté érdemes õet haszáli. (A vartilise mutatjá a ferdeséget, az szórás em). Számtai özép átlag (: A számsoaság összegét elosztju a számsoaság darabszámával, eor a számsoaság átlagát vagy számtai özepét apju. adato összege x + x + + x jele: X darabszám Csa mérhetı adatoa lehet átlaga. A iugró, szélsıséges adato agyo befolyásoljá. Egyéb jellemzı szóródási mutató: A özépértée megadása ömagába em elég. A szórás, szóródás azt adja meg, hogy az adato meyire tömörüle a özépértée örül miél isebb a szóródás, aál jobba jellemzıe a özépértée. Terjedelem: A mitába elıforduló legagyobb és legisebb adat ülöbsége ülöbsége (mérhetı adatoál). Tehát: t x max x mi. Ha ez icsi, aor gyaorlatilag bármelyi özépérté jól jellemzi az adathalmazt, ha pedig agy, aor em lehet eldötei, hogy mi meyi iformációt szolgáltat. A mási hibája, hogy agyo érzéey a iugró adatora. Az itervartilis terjedelem (it Q 3 Q ) viszot már em érzéey a szélsıségere.

3 Emelt szitő érettségi tétele Átlagos abszolút eltérés: Def.: Az egyi özépértétıl (Z) vett eltérése abszolútértéeie átlaga. x Z + x Z + + x Z éplet: X Z X Z miimális, ha Zmediá. Ha em modju meg mi a Z, aor azt a mediáa ell teitei. Átlagos égyzetes eltérés - szóráségyzet: Def.: Az egyi özépértétıl vett eltérése yégyzeteie átlaga. ( x Z) + ( x Z) + + ( x Z) éplet: σ Z σ Z miimális, ha a választott özépérté, Z a számtai özép. Ezért ez az általáos özépérté, ha szóráségyzetet számolu. Szórás: a szóráségyzet gyöe: σ Érzéey a iugró értéere σ ( x X) + ( x X) + + ( x X) Csebisev törvéy: Az átlagtól az adato legfeljebb 5%-a térhet el a szórás étszereséél, legfeljebb 0- %-a térhet el a szórás háromszorosáál, és 5-6%-a a szórás égyszereséél jobba (ú. ormális eloszlásál). Természetese maga a Csebisev-egyelıtleség durva becslése alapszi, ezért gyaorlatilag a szórás égyszereséél jobba em tére el az adato az átlagtól, de az 5-6%-ot biztosa modhatju bármilye adathalmaz eseté. Ez orét adathalmazora voatoztatva az úgyevezett empirius Csebisevtörvéy, vagy az átlag örüli szórás empirius törvéye. Alalmazáso (teljes tételhez) - adatsoaságo jellemzése - mérési eredméye iértéelése (pl. sport: BA, vagy fiziai, émiai méréseél) - isolai statisztiá észítése: jegye átlaga, osztályo átlaga, hiáyzáso száma - statisztiá, grafioo, folyamato elemzése - özvéleméyutatáso, utatáso iértéelése - relámo hatéoyságát öveli egy belerajzolt grafio - szavazáso - szerecsejátéo (lottó, totó, tippmix) - biztosításo - idıjáráselırejelzés - betegségehez való teszte - alatrésze élettartamáa becslése (tartaléolási problémá)

4 Emelt szitő érettségi tétele A VALÓSZÍŐSÉGSZÁMÍTÁS ELEMEI: Defiíció: - Véletle jeleség: Olya folyamat, melye imeetelét az adott örülméye özött em tudju meghatározi. - Valószíőségszámítás: Véletle tömegjelesége matematiai modellezése. - ísérlet: Olya folyamat melye imeetele véletleszerő. - Eseméytér: Egy ísérlet összes lehetséges imeetele. Jele: Ω. Példa: Ω érmedobás {fej; írás} ; Ω ocadobás {;;3;4;5;6} - Elemi eseméy: Az eseméytér egy eleme, a ísérlet egy imeetele. Jelü általába agy bető: A; B stb. Példa: A{} -est dobtu a dobóocával. - Eseméytér számossága: háy darab elemi eseméybıl áll. Példa: Ω ocadobás 6. - Eseméy: Az eseméytér egy részhalmaza. Példa: Apárosat dobu egy ocával{;4;6}. Tehát A Ω ocadobás. Az eseméy aor övetezi be, ha a ísérlet végeredméye bee va ebbe a részhalmazba ( Ω Ω és Ø Ω - mide halmaza részhalmaza ömaga és az üreshalmaz ). Biztos eseméy: ha az egész eseméyteret felsorolju. Példa: Ω ocadobás {;;3;4;5;6} Lehetetle eseméy: Ø{ } - Eseméye összessége: Az összes részhalmaz száma. Jele: A (írott agy A bető). Példa: - Ω érmedobás {I;F} A érmedobás {Ø; {I}; {F}; {I;F}} - Ω ocadobás {;;3;4;5;6} A ocadobás 6 64 Általáosa: Ω + A Tétel: elemő halmaza darab részhalmaza va. Mővelete eseméyeel eseméy algebra:. omplemeter: Ā beövetezi, ha A em övetezi be. Jele: ĀΩ\A. Tulajdoságo: Ω ; Ω Ø ; A A. Uió: ét eseméy uiója (összege) beövetezi, ha legalább az egyi beövetezi. Jele: A B ; A+B 3. Metszet: ét eseméy metszete beövetezi, ha midét eseméy beövetezi. Jele: B ; A B 4. ülöbség: ét eseméy ülöbsége beövetezi, ha az egyi beövetezi, de a mási em (pl. ha A beövetezi, aor B em övetezi be). Jele: A\B ; A B (ebbe az esetbe A beövetezi, de B em). Mőveletei tulajdoságo (tö ugyaaz, mit a halmazoál):. Az uió- és metszetépzés ommutatív és asszociatív mővelete.. Eseméye ülöbsége em ommutatív mővelet: A\B B\A. 3. Mővelete lehetetle eseméyel: A ØA ; Ø Ø ; A\ØA ; Ø\AØ 4. Eseméy ömagával: A AA ; AA ; A\AØ 5. Mővelete biztos eseméyel: A ΩΩ ; Ω A ; A\ΩØ ; Ω\AĀ 6. De Morga azoosságo: A B B B A B

5 Emelt szitő érettségi tétele olmogorov-féle valószíőségi modell: Adott Ω (eseméytér) és A (eseméye részhalmazaia összessége). Mide A beli eseméyhez redeljü hozzá egy valós számot ez az eseméy valószíősége melyre az alábbia teljesüle: Axiómá:. 0 A A (bármely eseméy valószíősége emegatív). Ω) (a biztos eseméy valószíősége ) 3. A + ha A;B eseméye diszjut, azaz B Ø (tehát ét eseméy diszjut, ha metszetü üreshalmaz, ics özös elemü). Tétele:. Ø)0 ( 3. ax) Bizoyítás: A Ø) + Ø) + Ø) 0 Ø). Ā) 3. Szita-formula: A + A B C)++C)--C)-B C)+B C) lasszius ombiatorius valószíőségi mezı /modell: Az Ω (eseméytér) véges so eseméybıl áll és eze valószíőség megegyezi. edvezı esete száma A lasszius modelleél: P (. összes eset száma Ω Csa aor alalmazható, ha az elemi eseméye valószíőségei egyelı (ülöbe ugye jö Brad Pitt) Geometriai valószíőség: A lassziu ombiatorius valószíőségi modell em alalmazható, ha például Ω (az eseméytér számossága végtele). Geometriai valószíőség: Tetszıleges A síidomba esés valószíősége aráyos az A síidom területével (egy dimezióba a hosszal). T( - Példá:. céllövölde P ( A ba lı) T( Ω). x: véletleül választott szám [ b] d c a c d b c< x< d) b a 3. Bertrad paradoxo (örbe választott húr 4. Példa: midei fél órát a vár a másira a; -ból Teljes eseméy redszer: A ; A ; ; A telje eseméy redszer, ha A A A Ω és A i A j Ø i; j. Példa: ocadobás: A {;}, A {3}, A 3 {4;5;6}.

6 Emelt szitő érettségi tétele Eseméye függetlesége: - Def.: A és B eseméy függetle, ha metszetü valószíősége az eseméye valószíőségée szorzata: P ( P (. - Példa: A: ocával 6-ost dobu ; B: érmével fejet dobu. Ez a ét eseméy függetle. Feltételes valószíőség: - Def.: Meora A eseméy valószíősége, ha B biztosa beövetezi. A - Ha A és B függetle eseméye, aor: P ( A - Példá: Szőrıvizsgálatos valószíősége; mitavételi feladato. Teljes valószíőség tétel: B ; B ; ; B az összes esetet lefedı, egymást izáró eseméye Bi B j 0 Azaz: TER UBi B B B Ω i Adott B ; B ; ; B teljes eseméy redszer és A Ω eseméy. Eor: B ) + B ) + + B ) B ) A B ) + B ) A B ) + + B ) A B ) Bayes-tétel: Thomas Bayes: 7. századi agol pap. Tétel: A B ) B B ) A B ) B számláló: A B -el együtt teljesül evezı: A összes valószíősége ) A B ) Eloszláso: - Az eseméytér összes elemét felsorolju a hozzáju tartozó valószíőséggel - Jele: ξ (szí) vagy η (éta). - Példa: ξ: érmedobás (0-fej; -írás) x i p i 0 ½ ½ - ξ (eloszlás) várható értée (átlaga): E(ξ) M(ξ) x p + x p + + x p Σx i p i Szórás: Def. - Szóráségyzet: D ξ) E( ξ E( ξ) ) Tétel [ ] E( ξ ) [ E( ) ] ( ξ - Szórás: D ( ξ ) a szóráségyzet gyöe

7 Emelt szitő érettségi tétele evezetes eloszláso:. Idiátorváltozó: ξ: egy p valószíőségő eseméy beövetezi (-beövtvi; 0-em öv. be) E(ξ) 0 (-p) + p p x i p i 0 -p D(ξ) p ( p) p. Diszrét egyeletes eloszlás: x i 3 p i / / / / E(ξ) + 3. Biomiális eloszlás: ξ: függetle ísérletbıl háyszor övetezi be egy p val-ő eseméy. x i p i 0 ( p) - számít a sorred - általáosa: p ( p) ξ ) p ( p), ahol 0 és Z p ( p) E(ξ) p ; D(ξ) p ( p) M M p példa: Visszatevéses mitavétel: dologból jó visszatevéssel húzu darabot. Mi a valószíősége, hogy darab jó öztü? ( ) ( ) ( ) P db jó Ha p, aor megapju a biomiális eloszlás épletét Visszatevéses mitavételél, és orét értéét em szüséges ismerü, csa aráyu ell. 4. Poisso-eloszlás: Adott idı alatt beövetezett eseméye számát özelíthetjü ezzel. λ λ éplet: ξ ) e, ahol : aháyszor beövetezi az eseméy és! + λ R a paraméter. Eor: E(ξ) λ D(ξ) λ Példa: óra alatt átlagosa 3 hívás érezi. Meyi aa a valószíősége, hogy hívás fog érezi óra alatt? Eor: λ 3 és, ezeet ell a épletbe behelyettesítei.