Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk

Átírás

1 Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása k Hp.geom (N=20,M=10) Bomáls (p=0.5) Tulajdoságok Ha X dszkrét valószíőség változó, f :R R tetszıleges függvéy, akkor f (X) s dszkrét valószíőség változó. Példa: X a gyártott termék hossza mm-be. Tegyük fel, hogy P (X=18)= = =P (X=22)=1/5. T.f.h. az deáls a 20 mm. Ekkor a d= X-20 eloszlása: P (d=0)=1/5, P (d=1) = P (d=2) = 2/5. Teljes eseméyredszer Ha X dszkrét valószíőség változó, akkor az A ={ω:x(ω)= x } eseméyek teljes eseméyredszert alkotak., szmulácók Mtavétel Moty-Hall szmulácó Kocka-érme kísérlet X feltételes eloszlása A eseméyre voatkozóa: q :=P (X=x A). Ez s eloszlás: P( X = x A) = = ) = 1 q ( P X x A = P( A) Valószíőség változók függetlesége X és Y dszkrét valószíőség változók függetleek, ha P ({X = x } {Y = y k })=P (X = x )P (Y = y k ) teljesül mde,k értékre. (Azaz az X-hez és az Y-hoz tartozó teljes eseméyredszerek függetleek.) Megjegyzés: az elfajult eloszlású valószíőség változó mde valószíőség változótól függetle. Ömagától csak az elfajult eloszlású valószíőség változó függetle. 1

2 A matematka statsztka tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipar termelés Mezıgazdaság Szocológa (közvéleméykutatások) Természettudomáyok Meteorológa (pl. klímaváltozás) Geetka (chptechológa) Pézügy adatok stb. Törtéet Táblázatokat a bztosítók már többszáz éve haszálak Maga a tudomáy fatal tudomáy, alg 100 éves a múltja Agla mezıgazdaság alkalmazások voltak az elsık Fejlıdése felgyorsult az utóbb évtzedekbe (számítógépek jóvoltából) Populácó Az a sokaság, amek a jellemzıre kvácsak vagyuk. : Gyártmáyok Magyarország szavazópolgára A Ft/Euro árfolyam ap változása Legtöbbször cs mód teljes körő (100%-os) adatfelvételre. Mta A populácóból kválasztott részhalmaz, amelyre voatkozóa az adatok redelkezésre állak. Mvel a mtavétel véletle, ezért a mtaelemek valószíőség változók. Fotos szempot a reprezetatvtás. Gyakorlatba legtöbbször feltesszük, hogy a mtaelemek függetleek. Függetleek-e? A ap középhımérséklet Budapeste az dé október 2-á és jövıre lyekor A sajtóhbák száma egy köyv két külöbözı oldalá Két háztartás áramfogyasztása ugyaazo a apo Két beteg véryomása Egy beteg véryomása két külöbözı vzsgálatál Adatok Mtavétel a populácóból: eredméye a (statsztka) mta A mtavétel módja s léyeges (legegyszerőbb eset: bármelyk elem ugyaakkora valószíőséggel kerül a mtába) A mtavétel eredméye: (statsztka) mta: x 1,x 2,,x számsorozat, az X 1,X 2,,X valószíőség változó-sorozat realzácója. 2

3 Matematka statsztka helye a tudomáyok között Matematka tudomáy, mert a valószíőségszámítás eredméyere épül. Ugyaakkor a statsztka mdeap alkalmazása em mdg kellıe precíz (teljesülek-e a feltételek?) Ezért léyeges, hogy a valószíőségszámítás eredméyeket alkalmazva fogalmazzuk meg következtetéseket. (Párhuzamosa fogjuk taul a valószíőségszámítást.) 1. Egy hóapba 10 hurrkát fgyeltük meg. Mt godoluk, mey hurrká lesz jövıre ugyaebbe a hóapba? 2. Egy közvéleméykutatás sorá azt kaptuk, hogy 1000 emberbıl 400 választaá az adott pártot. Mások szert a párt 50%-ot fog kap. Elıfordulhat-e ez? Mekkora eséllyel? Statsztka elemzés lépése Tervezés (mt vzsgáluk, hogya győjtjük az adatokat) Adatgyőjtés Kódolás (ha szükséges) Elleırzés: leíró statsztkákkal Elemzés: matematka statsztka módszerevel Leíró statsztka Nem a véletle hatását vzsgálja, haem a kokrét mta megjeleítése, jellemzıek kszámítása a feladata. Adatok elredezhetık táblázatba (fotos: forrás feltütetése), lletve ábrázolhatók grafkusa. Adatok típusa (skálák) Nomáls: csak gyakorságot tuduk számol (pl. em, emzetség) Ordáls (redezett): pl. értékelés szavakkal (rossz-közepes-jó), sorred egyértelmő, kvatlsek számolhatók Itervallum (pl. hımérséklet: külöbség egyértelmő, de háyados em) Aráy (tt mde matematka mővelet értelmes), ez szerecsére a leggyakorbb Grafkus megjeleítés Ne legye túl Het forgalom, MFt, XXZZ áruház boyolult! : oszlopdagram X tegely: csoportok, 5 0 típusok S/R S/N T/R T/N Y tegely: Forgalom (Mo.Ft) gyakorságok, értékek S/N S/R T/N kördagram T/R 3

4 Potszámok grafkus ábrázolása Hsztogram Adatakat osztályokba soroljuk (mdegyket potosa egybe, pl. az -edk osztály: a x<a +1 ), a csoportok relatív gyakorsága megegyezek az osztály fölé rajzolt téglalap területével. Összterület:1 Túl sok osztály (ha az eloszlás alakjára vagyuk kvácsak) Túl kevés osztály (ha az eloszlás alakjára vagyuk kvácsak) Potszámok grafkus ábrázolása Jó osztályszám (ha az eloszlás alakjára vagyuk kvácsak) Ncs általáos érvéyő képlet az osztályok számára, általába 1/3 al lehet aráyos Potszámok grafkus ábrázolása Hallgató adatok Magasság cm Cpıméret Utazás apota Testsúly kg Taulás hetete óra Sörök hetete Fgyeljük meg az eloszlások alakját! Középértékek Mtaátlag: x x x: = ha az egyes értékek (l) gyakorsága (f) adottak: f1l fklk x: = Medá: a sorbaredezett mta középsı eleme (ha páros sok eleme va: a két középsı átlaga). Kvartlsek: egyedelıpotok (1/4-3/4, lletve 3/4-1/4 aráyba osztják fel a redezett mtát) Az átlag érzékey a kugró értékekre, a medá vszot em perc üveg 4

5 boxplot Hallgató adatok V1 V2 V3 V4 V5 M. :160.0 M. : M. :36.00 F:95 M. : st Qu.: st Qu.: st Qu.:41.00 N:17 1st Qu.: Meda :178.0 Meda : Meda :43.00 Meda : Mea :177.2 Mea : Mea :42.28 Mea : rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.: Max. :198.0 Max. : Max. :48.00 Max. : V6 V7 M. : 0.0 M. : st Qu.: st Qu.: Meda : 92.5 Meda : Mea :104.1 Mea : rd Qu.: rd Qu.: Max. :360.0 Max. : Az egyes dobozok az alsó kvartlstól a felsı kvartlsg tartaak. Középvoal a medá. Gam2 A voalak a teljes terjedelmet felölelk, ha ez T5 Norm U05 az egyes ráyokba em agyobb a kvartlsek között külöbség 1.5- szereséél. Ha eze kívül s vaak potok, azokat külö-külö jeleít meg Példa adatbázs: Nap középhımérséklet között Jauár 1- középhõmérsékletek A hallgató adatok emekét botásba Magasság Testsúly cm perc Cpıméret Utazás apota kg óra üveg Taulás hetete Sörök hetete Vajo melyk esetbe szgfkás az eltérés? Budapest Kompolt Becslések A mtából kszámolt értékek tekthetıek a vzsgált populácóra voatkozó közelítésekek. Ezek tulajdoságat (meyre potosak/megbízhatóak) a valószíőségszámítás eszközevel tudjuk vzsgál. Bomáls eloszlás alkalmazása Vsszatevéses mtavétel más realzácója: függetle kísérletek azoos körülméyek között. P(A)=p eseméy, végezzük (rögzített számú) függetle kísérletet. X: az A bekövetkezéséek gyakorsága (potosa háyszor jött k az A). X eloszlása bomáls (,p). X= X 1 + X 2 + X ahol X az -edk kísérletél az A eseméy dkátora. Ezek az dkátorok függetleek s! 5