Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Ketskeméty László
|
|
- Amanda Jónás
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Valószíűségszámítás és matematka statsztka Ketskeméty László Budapest, 996
2 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 4. Kombatorka alapfogalmak 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 7. A valószíűségszámítás alapfogalma és axómaredszere 0 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 5 3. A klasszkus valószíűség mező 8 Gyakorló feladatok 9 4. Geometra valószíűség mező Gyakorló feladatok 4 5. A feltételes valószíűség és az eseméyek függetlesége 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok A valószíűség változó és az eloszlásfüggvéy fogalma Dszkrét valószíűség változók Folytoos valószíűség változók 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok Vektor valószíűség változók, valószíűség változók együttes eloszlása 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok Várható érték, szórás, szóráségyzet, magasabb mometumok, kovaraca és a korrelácós együttható Nevezetes eloszlások várható értéke és szóráségyzete 63 Dszkrét eloszlások 63 Folytoos eloszlások 65 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok A agy számok törvéye és a cetráls határeloszlás tételek 7 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 76 II. fejezet MATEMATIKAI STATISZTIKA 76. A matematka statsztka alapfogalma 79. Becsléselmélet 80. Potbecslések 8. Itervallumbecslések 9 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 94. Hpotézselmélet 96. Paraméteres próbák 97.. Egymtás u-próba 97.. A kétmtás u-próba Az egymtás t-próba A kétmtás t-próba Az F-próba A Welch-próba 03. Nemparaméteres próbák 03.. χ -próbák 04 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok
3 3. Regresszóaalízs 4 3. Leárs regresszó két változó között 5 3. Polomáls regresszó Leársra vsszavezethető kétparaméteres regresszós összefüggések keresése 8 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 4 FÜGGELÉK 7 Válaszok és megoldások 8 Táblázatok 40 A ormáls eloszlás 4 A Studet eloszlás 45 A Fsher eloszlás 48 A χ eloszlás 50 3
4 I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 4
5 . Kombatorka alapfogalmak A véges elemszámú halmazok tulajdoságaval foglakozk a kombatórka. Az alábbakba egy elemű halmazból képezhető egyéb halmazok elemszámáak meghatározásával foguk foglalkoz. A képzett halmazok számosságához, azaz elemeek száma meghatározásához közvetett módszereket foguk megtaul. Eredméyeket majd a valószíűség klasszkus kszámítás módjáál fogjuk felhaszál. Defícó: külöböző elemből álló halmaz ömagára való kölcsööse egy-egyértelmű (bjektív) leképezéset smétlés élkül permutácókak evezzük. A permutácó em más, mt az külöböző elem egy sorredje. Két permutácó külöbözk egymástól, ha valamelyk sorszámú helyeke más-más elemek állak. Tétel: Egy smétlés élkül permutácót egyértelműe megaduk, ha az,,..., természetes számok valamlye sorredjét vesszük. Tétel: Az összes külöböző smétlés élkül permutácók száma!=.... (! - faktoráls.) Bzoyítás: Amkor elkészítük egy sorredet, az első helyre elem közül választhatuk, a másodkra (mvel az első helyre egyet már választottuk) - közül. Az első két helyet tehát (-) féleképpe képezhetjük. A harmadk helyre már csak - lehetőségük marad: eyféleképp folytathatjuk a permutácó felírását, stb. Tehát, ha már elemet elredeztem a sorredbe, - féleképpe folytathatom a sort. Ebből már következk az állítás. Példa: Amkor egy 3 lapos magyar kártyát megkeverük, a kártyacsomag egy permutácóját képezzük. Összese 3!~ sorred lehetséges. Defícó: Ha az elemű halmazba k, k, L, k m darab azoosak tektett elem va, ( k + k + + k = ) L akkor a halmaz ömagára való bjektív leképezése smétléses permutácók leszek. m Tétel: Az összes külöböző smétléses permutácók száma! k! k! Lk m!. Bzoyítás: Ha egy adott smétléses permutácóba az azoos elemeket külöbözőkek tekteék, az azoos elemek egymás között sorredjéből más és más smétlés élkül permutácók leéek készíthetők, összese k! k! L k m! darab. 5
6 Példa: Egy 04 darabszámú dupla fraca kártyacsomagba mde lapból két példáy va. 04! Ezért tt az összes megkülöböztethető permutácók száma:. (! ) 5 Defícó: külöböző elemből álló halmaz egy k elemszámú részhalmazáak egy smétlés élkül permutácóját, az elem egy k-adosztályú smétlés élkül varácójáak evezzük. Tétel: elem összes külöböző k-adosztályú smétlés élkül varácóak száma: ( ) L ( k +! ) = = k ( k)! k! Bzoyítás: Ha egy k-adosztályú varácót elkészítük, az első helyet -féleképpe, a másodkat (-)-féleképpe, stb. a k-adk helyet (-k+)-féleképp választhatjuk. Példa: A magyar 8 tagú labdarúgó bajokságból csak három csapat dulhat a emzetköz kupákért. Elvleg 8 7 6= 4896 varácó képzelhető el. Defícó: Tektsük egy olya k elemű halmazt ahol külöböző elemből redre k darabot azoosak veszük. Eze halmaz összes k elemszámú részhalmazaak smétléses permutácó az külöböző elem k-adosztályú smétléses varácó. ( k> s lehet! ) Tétel: elem összes külöböző k-adosztályú smétléses varácóak száma k. Bzoyítás: Amkor egy lye smétléses varácót elkészítük, a k hely mdegykére az külöböző elem bármelykét tehetjük. Példa: Amkor egy totó szelvéyt ktöltük, az,,x elemekből álló 3 elemű halmazak egy k=4 elemű smétléses varácóját képezzük. Összese tehát 3 4 = ktöltés varácó lehetséges. Defícó: külöböző elemből álló halmaz egy k elemű részhalmaza, az elem egy k- adosztályú smétlés élkül kombácója. Tétel: Az elem összes külöböző k-adosztályú smétlés élkül kombácóak száma : k =! k! ( k)!. 6
7 Bzoyítás: Az elem smétlés élkül varácó, és kombácó között az a külöbség, hogy a kombácóál a k-elemű részhalmaz elemeek sorredjet em képezzük. Tehát, egy adott k-adredű kombácóból, az elemek sorredjéek felcserélésével k! külöböző k-adosztályú varácó képezhető, am már gazolja az állítást. Példa: Amkor egy hagyomáyos (ötöt a klecveből azaz ötös-) lottószelvéyt ktöltük, a 90 szám egy 5-ödosztályú smétlés élkül kombácóját képezzük. Az összes ktöltés 90 kombácók száma: = Defícó: Tektsük egy olya k elemű halmazt ahol külöböző elemből redre k darabot azoosak veszük. Eze halmaz k elemszámú részhalmazat az külöböző elem k- adosztályú smétléses kombácóak evezzük. ( k> s lehet! ) Tétel: Az külöböző elem összes külöböző k-adosztályú smétléses kombácóak + k száma:. k Bzoyítás: Megmutatjuk, hogy +k- külöböző elem k-adosztályú smétlés élkül kombácó és külöböző elem k-adosztályú smétléses kombácó között kölcsööse egy-egyértelmű (bjektív) leképezés adható meg, am már gazolja az állítást. Tektsük a sorszámozott +k- külöböző elem egy tetszőleges k-adosztályú smétlés élkül kombácója elemeek sorszámat természetes sorredbe: < <...< k ( α β és α {,,..., + k }). Ha most végrehajtjuk a j ( ) α = α α traszformácót, k darab olya sorszámot kapuk, amellyel egyértelműe azoosíthatjuk külöböző elem egy k-adosztályú smétléses kombácóját: j j L jk ahol bármely dexél jα = jβ lehet és jα {,,... }. Mvel a végrehajtott traszformácó bjektív, az állításukat bebzoyítottuk. Példa: Egy aaltkus háromváltozós függvéyek elvleg vegyes parcáls dervált függvéye lehet = darab ötödredű 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Háy külöböző sorredje lehet elemek?. Mt evezük elem k-adosztályú smétlés élkül kombácójáak? 3. Mey elem k-adosztályú smétléses varácóak száma? 4. Hogya számoljuk k az! ( faktoráls) számot? 7
8 . Hogya számoljuk k az bomáls együtthatót? k. Mt értük elem k-adosztályú smétléses varácójá? 7. Dötse el, az alább állítások közül melyk gaz, melyk hams! a. Amkor elem k-adosztályú smétléses kombácójáról beszélük, k> s lehet. b. Az elem k-adosztályú smétléses kombácóak száma több, mt a k-adosztályú smétléses varácók száma. c. A lottóhúzások számát smétlés élkül kombácóval lehet meghatároz. d. Ha egy kombácóba két elemet felcserélük, egy másk kombácót kapuk. e. Ha egy smétléses varácóba két külöböző elemet felcserélük, egy másk smétléses varácót kapuk. f. Az elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a száma megegyezk az (-k)-adosztályú smétlés élkül kombácóak a számával. (k -k). g. Az elem k-adosztályú smétlés élkül varácóak a száma megegyezk az (-k)- adosztályú smétlés élkül varácóak a számával. (k -k). h. Az elem k-adosztályú smétléses kombácóak a száma megegyezk -k+ elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a számával.. Az elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a száma megegyezk, az olya elemű smétléses permutácók számával, ahol k lletve -k elem azoos. j. A keószelvéy ktöltésekor egy smétlés élkül kombácót aduk meg. k. A totószelvéy ktöltésekor egy smétlés élkül varácót aduk meg. 8. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS szó betűből háy külöböző húszkarakteres betűsorozat képezhető? 9. Háy külöböző háromtalálatos szelvéy képzelhető el elvleg a ötös lottószelvéyek között? 0. Háy külöböző 0 találatos szelvéy képzelhető el a 3+ mérkőzéses totószelvéyek között?. A Morse ABC t (.) és tá (-) jeleből mey külöböző legfeljebb 0 hosszúságú jel kódolható?. Háyféleképpe lehet elhelyez 5 külöböző postaládába a. két külöböző levelet? b. két azoos reklámcédulát? (Az s lehetséges, hogy mdkét levél lletve reklámcédula ugyaabba a postaládába kerül.) 3. Tíz számozott dobozba háyféleképpe helyezhetek el három külöböző szíű golyót? (Egy dobozba több golyó s kerülhet, a dobozo belül a sorredet em lehet megállapíta.) 4. Tíz egyforma játékkockával dobva, háy külöböző eredméyt kaphatuk? 5. Öt szíből háy trkolór (háromszíű) vízsztes sávos zászló készíthető? 6. Feladatuk, hogy óraredet készítsük. A hét első öt apjáak első hat órájába lehetek csak taórák. A het óraszámok: matematka 5, magyar 4, testevelés, bológa, földrajz, fzka, törtéelem, éek, rajz, osztályfőök. Háyféleképpe lehet elvleg elkészíte az óraredet, ha lyukasóra s elképzelhető? 7. Igazolja, hogy a L + = 8
9 b. ( ) L + = c. ( ) ( ) 0 + L + = 9
10 . A valószíűségszámítás alapfogalma és axómaredszere Az alapfogalmak a szemléletből eredő, magától értetődő fogalmakat jeleteek, amelyeket egyszerűbb fogalmak segítségével em lehet defál, haem csupá körülír lehet őket, lletőleg példákat lehet mutat rájuk. Hasolóa, az axómák bzoyítás élkül elfogadott tételek, amelyek ayra ylvávalóak, hogy csupá a szemléletből vezetjük le őket. Alapfogalom: Véletle kísérlete (K) olya folyamatot, jeleséget értük, amelyek kmeetele előre bzoyosa meg em modható, de az ge, hogy elvleg mlye módo fejeződhet be, azaz előre tudható, hogy mlye végállapotok lehetek. A véletle kísérletet azoos feltételek mellett, függetleül meg lehet fgyel, vagy végre lehet hajta akárháyszor. Példa: a.) Egy szabályos játékkockát feldobuk. Nem tudjuk előre megmoda az eredméyt, de azt állíthatjuk, hogy az,,3,4,5,6 érték közül valamelyket kapjuk. b.) Egy csomagból véletleszerűe khúzuk 8 lapot. A véletletől függ, hogy melyk lesz az a 8 lap, de azt tudjuk, hogy a 3 lap összes smétlés élkül kombácója közül lehet csak valamelyk. c.) Egy telefokészüléket fgyelve mérjük két hívás között eltelt dőt. A lehetséges kmeetelek a [ 0, ) tervallum potja. d.) Egy jutalomsorsoláso khúzott személy kora szté a véletletől függ. Előre csak ay állítható, hogy a kor ylvá pl. 00-ál ksebb szám lesz. e.) Addg dobáluk egy szabályos játékkockát, amíg 6-ost em kapuk. Azt persze em lehet előre bztosa megmoda, hogy a hatoshoz háy dobásra lesz szükség, de azt bztosa tudjuk, hogy a 0,,,... (emegatív egész) számok valamelyke fog bekövetkez. Alapfogalom: A K véletle kísérlettel kapcsolatos eseméyek evezük mde olya logka állítást, melyek gaz vagy hams értéke egyértelműe megállapítható a kísérlet befejeződésekor. Az eseméy bekövetkezk, ha az állítás gaz értéket kap a kísérlet végé, és em következk be, ha a logka érték hams. Az eseméyeket az abc agybetűvel fogjuk jelöl: A,B,C,... Példa: a.)a kockadobás kísérletével kapcsolatos eseméy a párosat dobuk. Nem tekthető eseméyek vszot a Frad yer a bajokságot logka állítás. b.)a kártyahúzás kísérlethez tartozó eseméy pl. az, hogy va égy pros a lapok között, de em eseméy a megyerhető a pros ult állítás. c.)a telefohívások között dőtartamra voatkozó kísérlethez tartozó eseméy az öt perce belül csege fog, de em eseméy a Psta fog telefoál állítás. d.)a jutalomsorsoláso a yertes fatalabb mt 0 eseméy, a yertes szép ember pedg em eseméy. e.)a em kell 0 dobásál több a hatoshoz állítás eseméy, míg a a kocka em szabályos állítás em eseméy. 0
11 Defícó: Az A eseméy maga utá voja a B eseméyt, ha az A eseméy bekövetkezéséből, már a B eseméy bekövetkezése s következk. Jelölés: A B. Példa: a.)kockadobásál a hatosat dobuk eseméy maga utá voja a párosat dobuk eseméyt.b.) A yolc prosat húzuk eseméy maga utá voja a khúzott lapok között lesz a pros ász s eseméyt. c.) Az öt perce belül megszólal a telefo eseméy maga utá voja a a tíz perce belül megszólal a telefo eseméyt. d.) A khúzott személy 60 év felett eseméy maga utá voja a ksorsolt személy elmúlt 0 éves eseméyt. e.) A tíz dobáso belül dobok hatost eseméy maga utá voja a húsz dobáso belül hatost dobuk eseméyt. Defícó: Az A és B eseméyek ekvvalesek, ha A B és B A egyszerre. Ekvvales eseméyek között em teszük külöbséget. Defícó: Lehetetle eseméyek evezzük azt a -val jelölt eseméyt, amely a K bármely végrehajtása sorá soha sem következk be, lletőleg elvleg sem következhet be.( A kostas hams állítás.) Defícó: Bztos eseméyek evezzük azt az Ω-val jelölt eseméyt, amelyk a K bármely végrehajtása sorá mdg bekövetkezk, mert elvleg s mdg bekövetkezk. (A kostas gaz állítás). Példa: a.) A kockadobásál a 0-él ksebb értéket dobuk eseméy az Ω-val, a egatív értéket dobuk eseméy pedg -val ekvvales. b.) A zöld, makk, tök vagy pros szíű lapok közül lesz a leosztott yolc között eseméy bztos eseméy, yolc pros szíű lapom és két ászom s lesz pedg lehetetle eseméy lesz. c.) Negatív szám lesz az eltelt dő lehetetle, míg az eltelt dő emegatív lesz eseméy bztos. d.) 00 év alatt személy yer a sorsolást bztos eseméy, a 00-ál öregebb yer lehetetle. e.) Egyszer valaha foguk hatost dob bztos eseméy, soha sem foguk hatost dob lehetetle.
12 Defícó: A K véletle kísérlet egy A eseméyét elem eseméyek evezzük, ha cs olya B eseméy, amely A-t maga utá voá. Azaz B ( és A) olya hogy B A. Az elem eseméyeket, - a több ú.. összetett eseméytől való megkülöböztetésül - ω-val vagy ω -vel fogjuk jelöl. Defícó: A K véletle kísérlet összes elem eseméyéek halmazát eseméytérek evezzük. Megjegyzés: Mutá az összetett eseméyek elem eseméyek - mt állítások - dszjukcójából állak, az összetett eseméyeket úgy s felfoghatjuk, mt a megfelelő elem eseméyek halmazát. Ebből a szempotból, az eseméytér éppe az Ω bztos eseméy lesz. Pl. kockadobásál az ω = értéket dobok (=,,3,4,5,6) eseméyek az elem eseméyek, az A= 3-al osztható számot dobok eseméy az A = { ω 3 ω 6 } Ω= { ω ω ω ω ω ω }, halmaz,,, 3, 4, 5, 6 pedg a bztos eseméy (eseméytér). Tehát, az eseméyek az eseméytér részhalmazakét s elképzelhetőek. Defícó: Egy A eseméy elletett eseméye az az A-val jelölt eseméy, am potosa akkor következk be, amkor A em következk be. A az A-ak az Ω-ra voatkoztatott komplemeter halmaza. Az A és B eseméyek összegé azt az A+B-vel jelölt eseméyt értjük, amely potosa akkor következk be, ha A és B közül legalább az egyk bekövetkezk. (A+B az A és B eseméyek uója). Az A és B eseméyek szorzatá azt az A B-vel jelölt eseméyt értjük, amely potosa akkor következk be, amkor A s és B s egydejűleg bekövetkezk. ( A B az A és B eseméyek metszete). Az A és B eseméyek külöbségé azt az A\B -vel jelölt eseméyt értjük, am potosa akkor következk be, amkor A bekövetkezk, de B em. (A\ B A B). Mvel az eseméyek között műveletek a logka állítások között dszjukcó és kojukcó lletve a egácó segítségével voltak értelmezve, és ott gazak a Boole algebra összefüggése, ezért azok tt s érvéyesek. A következő tételbe összefoglaljuk az eseméyek műveleteek legfotosabb tulajdoságat.
13 Tétel: Tetszőleges A,B és C eseméyekre gazak az alábbak: a.) A+B=B+A b.) (A+B)+C=A+(B+C) c.) A+A=A d.) A B=B C e.) (A B) C=A (B C) f.) A A=A g.) A (B+C)=(A B)+(A C) h.) A+(B C)=(A+B) (A+C).) A = A j.) A+ B= A B k.) A B= A + B l.) A A = m.) A+ A = Ω.) A Ω=A o.) A+Ω=Ω p.) A = r.) A+ =A Defícó: Az A és B eseméyek egymást kzáróak, ha A B=, azaz szorzatuk a lehetetle eseméy. Egymást kzáró eseméyek egydejűleg em következhetek be. Defícó: Az A, A, K, A, K(em feltétleül véges elemszámú) eseméyek redszere teljes eseméyredszert alkot, ha j -re A A = (párokét egymást kzárják) és A =Ω teljesül. j Megjegyzés: A K véletle kísérlet egy végrehajtása sorá a teljes eseméyredszer eseméye közül csak egykük fog bztosa bekövetkez. Példa: A fraca kártyacsomagból való húzásál az A = kört húzok, A = kárót húzok, A 3 = pkket húzok és A 4 = treffet húzok eseméyek teljes eseméyredszert alkotak. Axómák: A K véletle kísérlettel kapcsolatos összes eseméyek I redszere kelégít az alább tulajdoságokat: Ω I. Ha A I A I s. 3 Ha A, A, K, A, K I A I s. 3
14 Megjegyzés: a.) I em feltétleül esk egybe Ω összes részhalmazaak halmazredszerével. I-be csak a kísérlettel kapcsolatba hozható ú.. megfgyelhető eseméyek vaak. Nem zárjuk k, hogy lehetek Ω-ak olya A részhalmaza, amelyeket em tuduk redese megfgyel, azaz lehet olya kmeetel, am végé em tudjuk megmoda, hogy A bekövetkezett-e vagy sem. Az axómákkal éppe az lye kétes A eseméyeket akarjuk kzár a tovább vzsgálatakból. b.) Az axómák ylvávaló tulajdoságokat fogalmazak meg. Az potba azt követeljük meg, hogy a bztos eseméy megfgyelhető legye. A -be azt állítjuk, hogyha az A eseméyt meg tudjuk fgyel, akkor az elletettjét s meg tudjuk. A 3 -ba pedg az az állítás, hogyha eseméyekek egy redszerét egyekét meg tudjuk fgyel, akkor azt az eseméyt s meg fogjuk tud fgyel, amely akkor következk be, ha a felsorolt eseméyek közül legalább egy bekövetkezk. Tétel: Az axómákból levezethetők I-ek az alább tulajdosága: a.) I, azaz a lehetetle eseméy s megfgyelhető. b.) Ha A, B I A+B I s, azaz a 3 axóma véges sok esetre s gaz. c.) Ha A,B I A B I s, azaz megfgyelhető eseméyek szorzata s megfgyelhető. d.) Ha A, A,, A, K K I A I s gaz, azaz megfgyelhető eseméyek együttes bekövetkezése s megfgyelhető. e.) Ha A, B I A\B I és B\A I, azaz megfgyelhető eseméyek külöbsége s megfgyelhetőek. Axómák: Adott egy P: I 0, függvéy, melyet valószíűségek evezük. A P függvéy kelégít az alább tulajdoságokat: P(Ω) = Ha A, A, K, A, K I párokét egymást kzárják, azaz j -re A A =, akkor P( A ) = P( A ). j Megjegyzés: a.) A axómába megfogalmazott tulajdoságot a valószíűség σ-addtvtás (szgma addtvtás) tulajdoságáak evezzük. b.) A megfgyelhető eseméyek valószíűséget smertek tételezzük fel. A P(A) érték az A eseméy bekövetkezéséek mértéke, esélye. Az eseméyek valószíűsége az eseméyek objektíve, fzkalag létező jellemzője, olya mt pl. a testekek a tömege vagy térfogata. Attól, hogy egy adott esetbe em tudjuk megmoda egy eseméy valószíűségét, em következk, hogy az eseméyek cs, vagy em egyértelmű a valószíűsége. Ha egy test tömegét em smerjük, vagy rosszul becsüljük a agyságát, abból még em lehet azt a következtetést levo, hogy a testek cs tömege, vagy az em egyértelmű. Ugyaez gaz a valószíűségre s. Ráadásul a P függvéy redelkezk azokkal a tulajdoságokkal, amkkel mde más mérték s redelkezk (pl. hossz, terület, térfogat, tömeg stb.) A axóma azt állítja, hogy egymást át em fedő eseméyek összegéek valószíűsége az eseméyek valószíűségeek összege, mt ahogy pl. egymást át em fedő részekből álló síkdom területe egyelő a részek területeek összegével. Az axóma azt posztulálja, hogy legye a bztos eseméy valószíűsége, és ehhez képest jellemezzük a több eseméy bekövetkezéséek esélyét. A fzka meységekhez mérőműszerek szerkeszthetők, hogy az 4
15 adott test egy fzka jellemzőjéek elmélet értékét agy potossággal megbecsülhessük. Ilye műszer a hosszmérésre a méterrúd, tömegre a karos mérleg. Ugyaúgy, mt más mértékél, a valószíűség eseté s szerkeszthető mérőműszer, amvel az elmélet valószíűség számértéke jól becsülhető lesz. Ez a mérőműszer a később értelmezedő relatív gyakorság lesz. (Lásd az 5. potot!) Tétel: A valószíűség axómaredszeréből levezethetőek a valószíűség alább tulajdosága: a.) P( A) = PA ( ) b.) P( )=-P(Ω) c.) Ha A, A, K, A, K I eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, akkor P( A ) = d.) Ha A B akkor P(A) P(B) e.) P(A\B)=P(B)-P(A B) f.) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) A következő evezetes tétel az előbb tétel f.) állításáak általáosítása kettőél több eseméy esetére. Tétel: ( Pocare tétel) + Ha A, A, K, A I tetszőlegesek, akkor P( A) = ( ) S, ahol = = S = P( Aj Aj L Aj ). j< j<... < j Tétel: (Boole- egyelőtleség) Legye (Ω,I,P) Kolmogorov-féle valószíűség mező. Akkor mde A, A, K, A I eseté a.) P( A ) P( A ) és = = b.) P( A ) P( A ). = = Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Mt értük eseméyek összegé?. Mt értük eseméyek szorzatá? 3. Mk a valószíűség axómá? 4. Mt állít a Pocare tétel? 5. M a teljes eseméyredszer fogalma? 6. Mkor modjuk azt, hogy az A eseméy maga utá voja a B eseméyt? 7. Tektsük azt a véletle kísérletet, hogy khúzuk egy kártyalapot a 3 lapos magyar kártyacsomagból. Az alábbak közül melyk eseméy? 5
16 A A khúzott lap szíe makk B Nagy értékű a khúzott kártya C Nem krály a khúzott lap D Szép fgurájú a khúzott lap E A khúzott lap a treff kettes F A khúzott lap em a treff kettes 8. Melyk eseméy voja maga utá a máskat? A Szabályos kockával párosat dobuk B Legalább 4-est dobuk C 6-ost dobuk D Prímszámot dobuk 9. Mely eseméyek zárják k egymást? A Két szabályos kockával dobva az összeg páros B A két dobott érték közül legalább az egyk páros C Az egyk legalább osztható hárommal D A dobott értékek szorzata páratla E A két dobott érték közül az egyk égyszerese a máskak 0. Dötse el, az alább állítások közül melyk gaz, melyk hams! a. Bármely két eseméy közül az egyk maga utá voja a másk bekövetkezését. b. Két eseméy szorzata olya eseméy, amely a két kompoes eseméy mdegykét maga utá voja. c. Az eseméyek szorzata felcserélhető (kommutatív). d. Az eseméyek összeadása átzárójelezhető (asszocatív) e. Egy eseméy az elletettjével teljes eseméyredszert alkot. f. Egy eseméy és az elletettje em egymást kzáró eseméyek. g. Az eseméyek összege akkor következk be, ha a kompoes eseméyek valamelyke bekövetkezk. h. Az eseméyek szorzata akkor következk be, ha a kompoes eseméyek valamelyke bekövetkezk.. Az eseméyek valószíűsége lehet akár 000 %-os s. j. Az eseméyek valószíűsége a véletle kísérlet mde egyes végrehajtásakor más és más. k. Az elletett eseméy valószíűsége mdg agyobb mt az eseméy valószíűsége. l. Az elletett eseméy valószíűségéek és az eseméy valószíűségéek összege mdg. m. Az eseméyek szorzatáak a valószíűsége em lehet agyobb bármely kompoes eseméy valószíűségéél.. Az eseméyek összegéek a valószíűsége em lehet agyobb bármely kompoes eseméy valószíűségéél. o. A függetle eseméyek kzárják egymást. p. A függetle eseméyek em zárják k egymást. q. Két olya függetle eseméy, melyek közül egyk sem lehetetle vagy bztos eseméy, em zárhatják egymást k. r. Függetle eseméyek szorzatáak valószíűsége egyelő az eseméyek valószíűségeek szorzatával. s. Függetle eseméyek szorzatáak valószíűsége egyelő az eseméyek valószíűségeek összegével. 6
17 t. Egymást kzáró eseméyek szorzata a lehetetle eseméy. u. Ha két eseméy szorzatáak valószíűsége ulla, akkor a két eseméy kzárja egymást. v. Egymást kzáró eseméyek összegéek valószíűsége a kompoes eseméyek valószíűségeek összege. w. A lehetetle és a bztos eseméyek mde eseméytől függetleek. x. Egy eseméy em lehet függetle a komplemeterétől.. A próbagyártás sorá két szempotból vzsgálják a késztermékeket. Az A eseméy azt jelet, hogy egy véletleszerűe kválasztott mtadarab ayaghbás, a B pedg az az eseméy, hogy a kválasztott gyártmáy mérethbás. Tudjuk, hogy P(A)=0,5, P(B)=0,3 és P(AB)=0,08. Mey aak a valószíűsége, hogy valamelyk termék hbátla?. Mey PAB ( ), ha P(A)=0,6, P(B)=0,5 és P(A+B)=0,8? 3. Egy fekete és fehér golyókat tartalmazó urából khúzuk db golyót. Jeletse A azt az eseméyt, hogy az -edekek khúzott golyó fehér ( ). Fejezzük k az A eseméyek segítségével az alább eseméyeket: A Mdegyk golyó fehér B Legalább egy golyó fehér C Potosa egy golyó fehér D Mdegyk golyó ugyaolya szíű 4. Bzoyítsa be, hogy tetszőleges A,B eseméyekre ( PAB ( )) + ( PAB ( )) + ( PAB ( )) + ( PAB ( )) 05,. 5. Kette sakkozak. Az A eseméy akkor következk be, ha a vlágossal játszó yer, a B eseméy akkor, ha a sötéttel játszó másk, remél pedg a C eseméy következk be. Fogalmazzuk meg szavakba, mt jeleteek az alább eseméyek: a. AB+ A B b. AB c. A+C 6. Egy céltábla tíz kocetrkus körből áll és a sugarakra feáll az R < R < L < R0 relácó. A k azt az eseméyt jelet, hogy egy lövés az R k sugarú körbe esk. Fogalmazzuk meg szavakba, mt jeleteek az alább eseméyek: B= A + A3 + A6 C= AA4A6A8 D= ( A + A3) A6 7. Tegyük fel, hogy A és B olya eseméyek, melyre P(A)=P(B)=0,5. Bzoyítsa be, hogy ekkor PAB ( ) = PAB ( )! 8. Bzoyítsa be, hogy PAB ( + AB) = PA ( ) + PB ( ) PAB ( ) 9. Ha az A és B eseméyek közül az egyk feltétleül bekövetkezk, PAB ( ) =, PBA ( ) =, mey a P(A) és P(B) valószíűség? Legye PA ( ) =, PAB ( ) =, PBA ( ) =. Határozza meg a P(A+B) és PAB ( ) valószíűségeket! 7
18 3. A klasszkus valószíűség mező Ekkor az eseméytér véges elemszámú elem eseméy halmaza: Ω= { ω, ω,, ω } K, az I eseméyosztály Ω összes részhalmazaak redszere, és mdegyk elem eseméy P( ) P( ) P( ). Mvel az összes elem eseméyek redszere teljes eseméyredszert alkot, ezért = P( Ω) = P( { ω }) = P( { ω} p = P( { ω} ) = -re. = k A Így, ha A Ω tetszőleges eseméy, akkor PA ( ) = P( { ω} ) = =, ahol k ω A ω A A az A eseméy számossága. Vagys az eseméyek valószíűsége lyekor úgy számítható, hogy az eseméy bekövetkezése szempotjából kedvező elem eseméyek számát osztjuk a kísérlettel kapcsolatos összes elem eseméyek számával. Klasszkus valószíűség mezővel modellezhető a kockadobás, a pézfeldobás, a rulettezés, a kártyahúzás, a lottóhúzás, a totótppelés stb. bekövetkezéséek egyforma a valószíűsége: { ω } = { ω } = L = { ω } Feladat (De Méré lovag feladváya) Melyk eseméyek agyobb a valószíűsége: hogy egy kockával égyszer dobva legalább egyszer hatost dobuk (A), vagy aak, hogy két kockával huszoégyszer dobva legalább egyszer két hatosuk lesz (B)? Megoldás: Két külöböző valószíűség mezőről va szó. Az elsőbe egy szabályos kockát égyszer feldobuk. Az összes elem eseméyek száma = 6 4. A vzsgált A eseméy elletettje az az eseméy, hogy egyszer sem dobuk hatost. Ilye eset összese 5 4 lehet, vagys az elletett eseméy valószíűsége: P( A)= 5 4. Így az A eseméy valószíűsége: , A másodk vzsgált eseméy egy egésze más kísérlethez és eseméytérhez tartozk. Most a véletle kísérlet az, hogy két szabályos kockát dobuk fel 4- szer. Az összes elem eseméy most sokkal több: A másodk eseméy elletettje most az, hogy a dobássorozatba egyszer sem dobuk duplá hatost. Eek a valószíűsége PB ( )= A másodk eseméy valószíűsége így P(B)=- 0, Látható, hogy az A eseméy valószíűsége a agyobb. Megjegyzés: A feladatot De Méré lovag adta fel Blase Pascal fraca matematkusak, ak ebből kdulva jutott el a valószíűségszámítás első komoly eredméyehez. A feladatba egyébkét első pllatásra az tűk fel, hogy mdkét eseméy esetébe a dobások számáak és a lehetséges kmeetelek számáak aráya azoos: A-ál 4:6, a B-él 4:36. Feladat Egy urából, ahol fehér és fekete golyók vaak, véletleszerűe kveszük vsszatevéssel két golyót. Bzoyítsuk be, hogy aak a valószíűsége, hogy a golyók ugyaolya szíűek, em lehet ksebb mt 0,5. 8
19 Megoldás: Legye a fehér golyók száma, a feketéké m (,m ). Ekkor a véletle kísérlet elem eseméyeek száma ( + m), a kedvező eseteké pedg + m. A keresett valószíűség: p= m +. Mvel ( m) 0, így + m + m + m, azaz p 0,5. ( + m) Feladat (Pólya-féle uramodell) Egy ura r darab fekete és s darab fehér golyót tartalmaz. Véletleszerűe khúzuk egy golyót. A khúzott golyót és még plusz c darab ugyaolya szíű golyót vsszateszük az urába. Mey a valószíűsége aak, hogy az -edk húzás utá α-szor húztuk k a fekete, és β-szor a fehér golyót? (α+β=). Megoldás: Pl. aak az eseméyek a valószíűsége, hogy az első α húzáskor mdg fekete és az utolsó β húzáskor pedg csupa fehér golyót foguk húz: r( r+ c)( r+ c)( r+ 3c) L( r+ ( α ) c) s( s+ c)( s+ c) L( s+ ( β ) c). De mde más olya ( r+ s)( r+ s+ c)( r+ s+ c)( r+ s+ 3c) L( r+ s+ ( ) c) húzássorozatak, ahol α-szor húztuk k a fekete, és β-szor a fehér golyót s ugyaekkora a valószíűsége. A külöböző kmeetelek száma, így a keresett valószíűség: α ( ) ( ) α r( r+ c)( r+ c)( r+ 3c) L r+ ( α ) c s( s+ c)( s+ c) L s+ ( β ) c. ( r+ s)( r+ s+ c)( r+ s+ c)( r+ s+ 3c) L r+ s+ ( ) c ( ) Feladat Ha egy szabályos pézérmét -szer feldobuk, mey a valószíűsége, hogy k-val többször foguk fejet kap, mt írást? (0 k ). Megoldás: Ha a fejdobások számát f, az írásokét jelöl, fe kell álla, hogy f+= és f-=k. Ie következk, hogy f = + k és = k, vagys és k partásáak meg kell egyeze. Aak valószíűsége, hogy egy hosszúságú dobássorozatba éppe f fejet dobuk k f = +. Ugyas, mde hosszúságú sorozat egyformá valószíűségű, és ezek között olya külöböző dobássorozat lehet, ahol a fejek száma f éppe f (kedvező esetek). Gyakorló feladatok. Egy mde oldalá befestett fakockát a lapokkal párhuzamos síkokba 000 azoos méretű ks kockára fűrészelek szét. A kapott ks kockákból véletleszerűe kválasztuk egyet. Mey a valószíűsége, hogy a kockáak éppe k oldala festett? (0 k 3).. Egy kalapba az agol ABC 6 betűje va. Vsszatevéssel -szer húzva, a khúzott betűket sorba egy papírra felírva, mey a valószíűsége, hogy a kapott szóból legfeljebb két betűt felcserélve éppe a STATISZTIKA szó jö k? 9
20 3. Egy szabályos érmével -szer dobva, mey a valószíűsége, hogy a fejdobások száma páratla lesz? 4. Egy szabályos érmével -szer dobva, mey a valószíűsége, hogy a. először az -edkre jö fej? b. ugyaay fejet dobuk, mt írást? c. potosa két fejet dobuk? d. legalább két fejet dobuk? 5. Egy kalapba három cédula va, amelyekre az,,3 számjegyek vaak felírva. Véletleszerűe egyesével khúzzuk a cédulákat. Mey a valószíűsége aak, hogy a húzáskor lesz olya cédula, amelykre éppe az a szám va felírva, aháyadkkét khúztuk azt? 6. Feldobuk három szabályos pézérmét. Mey a valószíűsége az A,B,C eseméyekek, ahol A: legalább két érmével fejet dobuk, B: potosa két érmével fejet dobuk, C: legfeljebb két érmével fejet dobuk? 7. A ötös lottóhúzás előtt mey a valószíűsége, hogy k=,,3,4,5 találatuk lesz? 8. Egy urába fehér és fekete golyók vaak, melyeket egymás utá vsszatevés élkül khúzuk. Az A vagy a B eseméyek agyobb-e a valószíűsége, ahol A: az első golyó fehér, és B: az utolsó golyó fehér? 9. Ha egyforma ládába elhelyezük egyforma golyót úgy, hogy bármely ládába ugyaolya valószíűséggel tesszük bármelyk golyót, mey a valószíűsége aak, hogy mdegyk ládába lesz golyó? 0. Egy 5 lapos fraca kártyacsomagból 3 lapot találomra vsszatevés élkül khúzuk. Mey a valószíűsége aak, hogy a. a treff krály a khúzott lapok között lesz? b. potosa két treff lesz a leosztott lapok közt? c. a treff krály és a treff ász a khúzott lapok közt va? d. va treff a leosztott lapok között? 0
Valószínűségszámítás. Ketskeméty László
Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
Részletesebben? közgazdasági statisztika
Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem
RészletesebbenORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél
Valószíűségszámítás 1 előadás mat. BSc alk. mat. szakráyosokak 2016/2017 1. félév Zemplé Adrás zemple@ludes.elte.hu http://zemple.elte.hu/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíűségszámítás
RészletesebbenEseményalgebra, kombinatorika
Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek
RészletesebbenEseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
Részletesebben? közgazdasági statisztika
... Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. A valószínűségszámítás és a statisztika tárgya. Cél
Valószíűségszámítás és statsztka előadás fo. BSC/B-C szakosokak 1. előadás szeptember 13. 1. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíűségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíűségek
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenMegállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat
Megállapítható változók elemzése Függetleségvzsgálat, lleszkedésvzsgálat, homogetásvzsgálat Ordáls, omáls esetre s alkalmazhatóak a következő χ próbá alapuló vzsgálatok: 1) Függetleségvzsgálat: két valószíűség
RészletesebbenA peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.
y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),
RészletesebbenIsmérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)
Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R,
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatla matematkataár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajal Péter 2018 1. Bevezető példák 1. Feladat. Háy olya sorbaállítása va a {a,b,c,d,e} halmazak, amelybe a és b em kerül
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenA Secretary problem. Optimális választás megtalálása.
A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra
RészletesebbenV. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL
86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenTartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése
3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenStatisztika. Eloszlásjellemzők
Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az
RészletesebbenA pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata
6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az
RészletesebbenPl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?
Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
Részletesebben1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.
1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét
RészletesebbenValószínűségszámítás
8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK
RészletesebbenFüggvénygörbe alatti terület a határozott integrál
Függvéygörbe alatt terület a határozott tegrál Tektsük az üggvéyt a ; tervallumo. Adjuk becslést a görbe az tegely és az egyees között síkdom területére! Jelöljük ezt a területet I-vel! A becslést legegyszerűbbe
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenA paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab
öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést
RészletesebbenAzonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága
Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenMérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1
Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél
Valószíűségszámítás 1 előadás al.mat BSc szaosoa 2015/2016 1. félév Zemplé Adrás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye A félév célja Valószíűségszámítás
Részletesebbeni 0 egyébként ábra. Negyedfokú és ötödfokú Bernstein polinomok a [0,1] intervallumon.
3. Bézer görbék 3.1. A Berste polomok 3.1. Defícó. Legye emegatív egész, tetszőleges egész. A ( ) B (u) = u (1 u) polomot Berste polomak evezzük, ahol ( ) = {!!( )! 0, 0 egyébkét. A defícóból közvetleül
RészletesebbenNéhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6
Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél
Valószíűségszámítás előadás formata BSC/ szaosoa és matemata elemző BSC-see 2015/2016 1. félév Zemplé drás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenKlasszikus valószínűségszámítás
Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van
RészletesebbenHipotéziselmélet. Statisztikai próbák I. Statisztikai próbák II. Informatikai Tudományok Doktori Iskola
Hpotézselmélet Iformatka Tudomáyok Doktor Iskola Statsztka próbák I. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása Statsztka próbák II. Dötés eljárást dolgozuk k aak eldötésére, hogy a ullhpotézs gaz-e. Ha úgy kell
RészletesebbenInformációs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet
Iformácós redszerek elmélet alaja Iformácóelmélet A forrás kódolása csatora jelekké 6.4.5. Molár Bált Beczúr Adrás NMMMNNMNfffyyxxfNNNNxxMNN verzazazthatóvsszaálímdeveszteségcsaakkorfüggvéykódolásaakódsorozat:eredméyekódolássorozatváltozó:forás
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
Részletesebben2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1
Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenAz egyszerűsítés utáni alak:
1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.
. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenRegresszió és korreláció
Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés
Részletesebben2.10. Az elegyek termodinamikája
Kéma termodamka.1. z elegyek termodamkája fzka kéma több féle elegyekkel foglakozk, kezdve az deáls elegyektől a reáls elegyekg. Ha az deáls elegyek esetébe az alkotók közt kölcsöhatásokat elhayagoljuk,
Részletesebben13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
RészletesebbenTulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Részletesebben2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya
II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve
RészletesebbenBevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?
01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó
RészletesebbenMatematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenVéges matematika 1. feladatsor megoldások
Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenVáltozók függőségi viszonyainak vizsgálata
Változók függőség vszoyaak vzsgálata Ismétlés: változók, mérés skálák típusa kategoráls változók Asszocácós kapcsolat számszerű változók Korrelácós kapcsolat testsúly (kg) szemüveges em ő 1 3 férf 5 3
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a
RészletesebbenKombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk
Részletesebben36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25
Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. dolgozathoz
Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:
RészletesebbenMiért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?
Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999
RészletesebbenKomputer statisztika
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenMatematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027
RészletesebbenA MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI
A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,
RészletesebbenKényszereknek alávetett rendszerek
Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások
RészletesebbenKlasszikus valószínűségi mező megoldás
Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenKOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,
KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe
RészletesebbenPéldák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 28 dszkrét valószíőség változókra X(ω)=c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(X=c)=1. X akkor 1, ha egy adott,
RészletesebbenMatematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet)
Matematka statsztka elıadás III. éves elemzı szakosokak Zemplé Adrás 9. elıadásból részlet Y közelítése függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység Y potos értékét pl. holap részvéy-árfolyam,
Részletesebben