Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Ketskeméty László

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Ketskeméty László"

Átírás

1 Valószíűségszámítás és matematka statsztka Ketskeméty László Budapest, 996

2 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 4. Kombatorka alapfogalmak 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 7. A valószíűségszámítás alapfogalma és axómaredszere 0 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 5 3. A klasszkus valószíűség mező 8 Gyakorló feladatok 9 4. Geometra valószíűség mező Gyakorló feladatok 4 5. A feltételes valószíűség és az eseméyek függetlesége 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok A valószíűség változó és az eloszlásfüggvéy fogalma Dszkrét valószíűség változók Folytoos valószíűség változók 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok Vektor valószíűség változók, valószíűség változók együttes eloszlása 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok Várható érték, szórás, szóráségyzet, magasabb mometumok, kovaraca és a korrelácós együttható Nevezetes eloszlások várható értéke és szóráségyzete 63 Dszkrét eloszlások 63 Folytoos eloszlások 65 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok A agy számok törvéye és a cetráls határeloszlás tételek 7 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 76 II. fejezet MATEMATIKAI STATISZTIKA 76. A matematka statsztka alapfogalma 79. Becsléselmélet 80. Potbecslések 8. Itervallumbecslések 9 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 94. Hpotézselmélet 96. Paraméteres próbák 97.. Egymtás u-próba 97.. A kétmtás u-próba Az egymtás t-próba A kétmtás t-próba Az F-próba A Welch-próba 03. Nemparaméteres próbák 03.. χ -próbák 04 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok

3 3. Regresszóaalízs 4 3. Leárs regresszó két változó között 5 3. Polomáls regresszó Leársra vsszavezethető kétparaméteres regresszós összefüggések keresése 8 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 4 FÜGGELÉK 7 Válaszok és megoldások 8 Táblázatok 40 A ormáls eloszlás 4 A Studet eloszlás 45 A Fsher eloszlás 48 A χ eloszlás 50 3

4 I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 4

5 . Kombatorka alapfogalmak A véges elemszámú halmazok tulajdoságaval foglakozk a kombatórka. Az alábbakba egy elemű halmazból képezhető egyéb halmazok elemszámáak meghatározásával foguk foglalkoz. A képzett halmazok számosságához, azaz elemeek száma meghatározásához közvetett módszereket foguk megtaul. Eredméyeket majd a valószíűség klasszkus kszámítás módjáál fogjuk felhaszál. Defícó: külöböző elemből álló halmaz ömagára való kölcsööse egy-egyértelmű (bjektív) leképezéset smétlés élkül permutácókak evezzük. A permutácó em más, mt az külöböző elem egy sorredje. Két permutácó külöbözk egymástól, ha valamelyk sorszámú helyeke más-más elemek állak. Tétel: Egy smétlés élkül permutácót egyértelműe megaduk, ha az,,..., természetes számok valamlye sorredjét vesszük. Tétel: Az összes külöböző smétlés élkül permutácók száma!=.... (! - faktoráls.) Bzoyítás: Amkor elkészítük egy sorredet, az első helyre elem közül választhatuk, a másodkra (mvel az első helyre egyet már választottuk) - közül. Az első két helyet tehát (-) féleképpe képezhetjük. A harmadk helyre már csak - lehetőségük marad: eyféleképp folytathatjuk a permutácó felírását, stb. Tehát, ha már elemet elredeztem a sorredbe, - féleképpe folytathatom a sort. Ebből már következk az állítás. Példa: Amkor egy 3 lapos magyar kártyát megkeverük, a kártyacsomag egy permutácóját képezzük. Összese 3!~ sorred lehetséges. Defícó: Ha az elemű halmazba k, k, L, k m darab azoosak tektett elem va, ( k + k + + k = ) L akkor a halmaz ömagára való bjektív leképezése smétléses permutácók leszek. m Tétel: Az összes külöböző smétléses permutácók száma! k! k! Lk m!. Bzoyítás: Ha egy adott smétléses permutácóba az azoos elemeket külöbözőkek tekteék, az azoos elemek egymás között sorredjéből más és más smétlés élkül permutácók leéek készíthetők, összese k! k! L k m! darab. 5

6 Példa: Egy 04 darabszámú dupla fraca kártyacsomagba mde lapból két példáy va. 04! Ezért tt az összes megkülöböztethető permutácók száma:. (! ) 5 Defícó: külöböző elemből álló halmaz egy k elemszámú részhalmazáak egy smétlés élkül permutácóját, az elem egy k-adosztályú smétlés élkül varácójáak evezzük. Tétel: elem összes külöböző k-adosztályú smétlés élkül varácóak száma: ( ) L ( k +! ) = = k ( k)! k! Bzoyítás: Ha egy k-adosztályú varácót elkészítük, az első helyet -féleképpe, a másodkat (-)-féleképpe, stb. a k-adk helyet (-k+)-féleképp választhatjuk. Példa: A magyar 8 tagú labdarúgó bajokságból csak három csapat dulhat a emzetköz kupákért. Elvleg 8 7 6= 4896 varácó képzelhető el. Defícó: Tektsük egy olya k elemű halmazt ahol külöböző elemből redre k darabot azoosak veszük. Eze halmaz összes k elemszámú részhalmazaak smétléses permutácó az külöböző elem k-adosztályú smétléses varácó. ( k> s lehet! ) Tétel: elem összes külöböző k-adosztályú smétléses varácóak száma k. Bzoyítás: Amkor egy lye smétléses varácót elkészítük, a k hely mdegykére az külöböző elem bármelykét tehetjük. Példa: Amkor egy totó szelvéyt ktöltük, az,,x elemekből álló 3 elemű halmazak egy k=4 elemű smétléses varácóját képezzük. Összese tehát 3 4 = ktöltés varácó lehetséges. Defícó: külöböző elemből álló halmaz egy k elemű részhalmaza, az elem egy k- adosztályú smétlés élkül kombácója. Tétel: Az elem összes külöböző k-adosztályú smétlés élkül kombácóak száma : k =! k! ( k)!. 6

7 Bzoyítás: Az elem smétlés élkül varácó, és kombácó között az a külöbség, hogy a kombácóál a k-elemű részhalmaz elemeek sorredjet em képezzük. Tehát, egy adott k-adredű kombácóból, az elemek sorredjéek felcserélésével k! külöböző k-adosztályú varácó képezhető, am már gazolja az állítást. Példa: Amkor egy hagyomáyos (ötöt a klecveből azaz ötös-) lottószelvéyt ktöltük, a 90 szám egy 5-ödosztályú smétlés élkül kombácóját képezzük. Az összes ktöltés 90 kombácók száma: = Defícó: Tektsük egy olya k elemű halmazt ahol külöböző elemből redre k darabot azoosak veszük. Eze halmaz k elemszámú részhalmazat az külöböző elem k- adosztályú smétléses kombácóak evezzük. ( k> s lehet! ) Tétel: Az külöböző elem összes külöböző k-adosztályú smétléses kombácóak + k száma:. k Bzoyítás: Megmutatjuk, hogy +k- külöböző elem k-adosztályú smétlés élkül kombácó és külöböző elem k-adosztályú smétléses kombácó között kölcsööse egy-egyértelmű (bjektív) leképezés adható meg, am már gazolja az állítást. Tektsük a sorszámozott +k- külöböző elem egy tetszőleges k-adosztályú smétlés élkül kombácója elemeek sorszámat természetes sorredbe: < <...< k ( α β és α {,,..., + k }). Ha most végrehajtjuk a j ( ) α = α α traszformácót, k darab olya sorszámot kapuk, amellyel egyértelműe azoosíthatjuk külöböző elem egy k-adosztályú smétléses kombácóját: j j L jk ahol bármely dexél jα = jβ lehet és jα {,,... }. Mvel a végrehajtott traszformácó bjektív, az állításukat bebzoyítottuk. Példa: Egy aaltkus háromváltozós függvéyek elvleg vegyes parcáls dervált függvéye lehet = darab ötödredű 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Háy külöböző sorredje lehet elemek?. Mt evezük elem k-adosztályú smétlés élkül kombácójáak? 3. Mey elem k-adosztályú smétléses varácóak száma? 4. Hogya számoljuk k az! ( faktoráls) számot? 7

8 . Hogya számoljuk k az bomáls együtthatót? k. Mt értük elem k-adosztályú smétléses varácójá? 7. Dötse el, az alább állítások közül melyk gaz, melyk hams! a. Amkor elem k-adosztályú smétléses kombácójáról beszélük, k> s lehet. b. Az elem k-adosztályú smétléses kombácóak száma több, mt a k-adosztályú smétléses varácók száma. c. A lottóhúzások számát smétlés élkül kombácóval lehet meghatároz. d. Ha egy kombácóba két elemet felcserélük, egy másk kombácót kapuk. e. Ha egy smétléses varácóba két külöböző elemet felcserélük, egy másk smétléses varácót kapuk. f. Az elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a száma megegyezk az (-k)-adosztályú smétlés élkül kombácóak a számával. (k -k). g. Az elem k-adosztályú smétlés élkül varácóak a száma megegyezk az (-k)- adosztályú smétlés élkül varácóak a számával. (k -k). h. Az elem k-adosztályú smétléses kombácóak a száma megegyezk -k+ elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a számával.. Az elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a száma megegyezk, az olya elemű smétléses permutácók számával, ahol k lletve -k elem azoos. j. A keószelvéy ktöltésekor egy smétlés élkül kombácót aduk meg. k. A totószelvéy ktöltésekor egy smétlés élkül varácót aduk meg. 8. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS szó betűből háy külöböző húszkarakteres betűsorozat képezhető? 9. Háy külöböző háromtalálatos szelvéy képzelhető el elvleg a ötös lottószelvéyek között? 0. Háy külöböző 0 találatos szelvéy képzelhető el a 3+ mérkőzéses totószelvéyek között?. A Morse ABC t (.) és tá (-) jeleből mey külöböző legfeljebb 0 hosszúságú jel kódolható?. Háyféleképpe lehet elhelyez 5 külöböző postaládába a. két külöböző levelet? b. két azoos reklámcédulát? (Az s lehetséges, hogy mdkét levél lletve reklámcédula ugyaabba a postaládába kerül.) 3. Tíz számozott dobozba háyféleképpe helyezhetek el három külöböző szíű golyót? (Egy dobozba több golyó s kerülhet, a dobozo belül a sorredet em lehet megállapíta.) 4. Tíz egyforma játékkockával dobva, háy külöböző eredméyt kaphatuk? 5. Öt szíből háy trkolór (háromszíű) vízsztes sávos zászló készíthető? 6. Feladatuk, hogy óraredet készítsük. A hét első öt apjáak első hat órájába lehetek csak taórák. A het óraszámok: matematka 5, magyar 4, testevelés, bológa, földrajz, fzka, törtéelem, éek, rajz, osztályfőök. Háyféleképpe lehet elvleg elkészíte az óraredet, ha lyukasóra s elképzelhető? 7. Igazolja, hogy a L + = 8

9 b. ( ) L + = c. ( ) ( ) 0 + L + = 9

10 . A valószíűségszámítás alapfogalma és axómaredszere Az alapfogalmak a szemléletből eredő, magától értetődő fogalmakat jeleteek, amelyeket egyszerűbb fogalmak segítségével em lehet defál, haem csupá körülír lehet őket, lletőleg példákat lehet mutat rájuk. Hasolóa, az axómák bzoyítás élkül elfogadott tételek, amelyek ayra ylvávalóak, hogy csupá a szemléletből vezetjük le őket. Alapfogalom: Véletle kísérlete (K) olya folyamatot, jeleséget értük, amelyek kmeetele előre bzoyosa meg em modható, de az ge, hogy elvleg mlye módo fejeződhet be, azaz előre tudható, hogy mlye végállapotok lehetek. A véletle kísérletet azoos feltételek mellett, függetleül meg lehet fgyel, vagy végre lehet hajta akárháyszor. Példa: a.) Egy szabályos játékkockát feldobuk. Nem tudjuk előre megmoda az eredméyt, de azt állíthatjuk, hogy az,,3,4,5,6 érték közül valamelyket kapjuk. b.) Egy csomagból véletleszerűe khúzuk 8 lapot. A véletletől függ, hogy melyk lesz az a 8 lap, de azt tudjuk, hogy a 3 lap összes smétlés élkül kombácója közül lehet csak valamelyk. c.) Egy telefokészüléket fgyelve mérjük két hívás között eltelt dőt. A lehetséges kmeetelek a [ 0, ) tervallum potja. d.) Egy jutalomsorsoláso khúzott személy kora szté a véletletől függ. Előre csak ay állítható, hogy a kor ylvá pl. 00-ál ksebb szám lesz. e.) Addg dobáluk egy szabályos játékkockát, amíg 6-ost em kapuk. Azt persze em lehet előre bztosa megmoda, hogy a hatoshoz háy dobásra lesz szükség, de azt bztosa tudjuk, hogy a 0,,,... (emegatív egész) számok valamelyke fog bekövetkez. Alapfogalom: A K véletle kísérlettel kapcsolatos eseméyek evezük mde olya logka állítást, melyek gaz vagy hams értéke egyértelműe megállapítható a kísérlet befejeződésekor. Az eseméy bekövetkezk, ha az állítás gaz értéket kap a kísérlet végé, és em következk be, ha a logka érték hams. Az eseméyeket az abc agybetűvel fogjuk jelöl: A,B,C,... Példa: a.)a kockadobás kísérletével kapcsolatos eseméy a párosat dobuk. Nem tekthető eseméyek vszot a Frad yer a bajokságot logka állítás. b.)a kártyahúzás kísérlethez tartozó eseméy pl. az, hogy va égy pros a lapok között, de em eseméy a megyerhető a pros ult állítás. c.)a telefohívások között dőtartamra voatkozó kísérlethez tartozó eseméy az öt perce belül csege fog, de em eseméy a Psta fog telefoál állítás. d.)a jutalomsorsoláso a yertes fatalabb mt 0 eseméy, a yertes szép ember pedg em eseméy. e.)a em kell 0 dobásál több a hatoshoz állítás eseméy, míg a a kocka em szabályos állítás em eseméy. 0

11 Defícó: Az A eseméy maga utá voja a B eseméyt, ha az A eseméy bekövetkezéséből, már a B eseméy bekövetkezése s következk. Jelölés: A B. Példa: a.)kockadobásál a hatosat dobuk eseméy maga utá voja a párosat dobuk eseméyt.b.) A yolc prosat húzuk eseméy maga utá voja a khúzott lapok között lesz a pros ász s eseméyt. c.) Az öt perce belül megszólal a telefo eseméy maga utá voja a a tíz perce belül megszólal a telefo eseméyt. d.) A khúzott személy 60 év felett eseméy maga utá voja a ksorsolt személy elmúlt 0 éves eseméyt. e.) A tíz dobáso belül dobok hatost eseméy maga utá voja a húsz dobáso belül hatost dobuk eseméyt. Defícó: Az A és B eseméyek ekvvalesek, ha A B és B A egyszerre. Ekvvales eseméyek között em teszük külöbséget. Defícó: Lehetetle eseméyek evezzük azt a -val jelölt eseméyt, amely a K bármely végrehajtása sorá soha sem következk be, lletőleg elvleg sem következhet be.( A kostas hams állítás.) Defícó: Bztos eseméyek evezzük azt az Ω-val jelölt eseméyt, amelyk a K bármely végrehajtása sorá mdg bekövetkezk, mert elvleg s mdg bekövetkezk. (A kostas gaz állítás). Példa: a.) A kockadobásál a 0-él ksebb értéket dobuk eseméy az Ω-val, a egatív értéket dobuk eseméy pedg -val ekvvales. b.) A zöld, makk, tök vagy pros szíű lapok közül lesz a leosztott yolc között eseméy bztos eseméy, yolc pros szíű lapom és két ászom s lesz pedg lehetetle eseméy lesz. c.) Negatív szám lesz az eltelt dő lehetetle, míg az eltelt dő emegatív lesz eseméy bztos. d.) 00 év alatt személy yer a sorsolást bztos eseméy, a 00-ál öregebb yer lehetetle. e.) Egyszer valaha foguk hatost dob bztos eseméy, soha sem foguk hatost dob lehetetle.

12 Defícó: A K véletle kísérlet egy A eseméyét elem eseméyek evezzük, ha cs olya B eseméy, amely A-t maga utá voá. Azaz B ( és A) olya hogy B A. Az elem eseméyeket, - a több ú.. összetett eseméytől való megkülöböztetésül - ω-val vagy ω -vel fogjuk jelöl. Defícó: A K véletle kísérlet összes elem eseméyéek halmazát eseméytérek evezzük. Megjegyzés: Mutá az összetett eseméyek elem eseméyek - mt állítások - dszjukcójából állak, az összetett eseméyeket úgy s felfoghatjuk, mt a megfelelő elem eseméyek halmazát. Ebből a szempotból, az eseméytér éppe az Ω bztos eseméy lesz. Pl. kockadobásál az ω = értéket dobok (=,,3,4,5,6) eseméyek az elem eseméyek, az A= 3-al osztható számot dobok eseméy az A = { ω 3 ω 6 } Ω= { ω ω ω ω ω ω }, halmaz,,, 3, 4, 5, 6 pedg a bztos eseméy (eseméytér). Tehát, az eseméyek az eseméytér részhalmazakét s elképzelhetőek. Defícó: Egy A eseméy elletett eseméye az az A-val jelölt eseméy, am potosa akkor következk be, amkor A em következk be. A az A-ak az Ω-ra voatkoztatott komplemeter halmaza. Az A és B eseméyek összegé azt az A+B-vel jelölt eseméyt értjük, amely potosa akkor következk be, ha A és B közül legalább az egyk bekövetkezk. (A+B az A és B eseméyek uója). Az A és B eseméyek szorzatá azt az A B-vel jelölt eseméyt értjük, amely potosa akkor következk be, amkor A s és B s egydejűleg bekövetkezk. ( A B az A és B eseméyek metszete). Az A és B eseméyek külöbségé azt az A\B -vel jelölt eseméyt értjük, am potosa akkor következk be, amkor A bekövetkezk, de B em. (A\ B A B). Mvel az eseméyek között műveletek a logka állítások között dszjukcó és kojukcó lletve a egácó segítségével voltak értelmezve, és ott gazak a Boole algebra összefüggése, ezért azok tt s érvéyesek. A következő tételbe összefoglaljuk az eseméyek műveleteek legfotosabb tulajdoságat.

13 Tétel: Tetszőleges A,B és C eseméyekre gazak az alábbak: a.) A+B=B+A b.) (A+B)+C=A+(B+C) c.) A+A=A d.) A B=B C e.) (A B) C=A (B C) f.) A A=A g.) A (B+C)=(A B)+(A C) h.) A+(B C)=(A+B) (A+C).) A = A j.) A+ B= A B k.) A B= A + B l.) A A = m.) A+ A = Ω.) A Ω=A o.) A+Ω=Ω p.) A = r.) A+ =A Defícó: Az A és B eseméyek egymást kzáróak, ha A B=, azaz szorzatuk a lehetetle eseméy. Egymást kzáró eseméyek egydejűleg em következhetek be. Defícó: Az A, A, K, A, K(em feltétleül véges elemszámú) eseméyek redszere teljes eseméyredszert alkot, ha j -re A A = (párokét egymást kzárják) és A =Ω teljesül. j Megjegyzés: A K véletle kísérlet egy végrehajtása sorá a teljes eseméyredszer eseméye közül csak egykük fog bztosa bekövetkez. Példa: A fraca kártyacsomagból való húzásál az A = kört húzok, A = kárót húzok, A 3 = pkket húzok és A 4 = treffet húzok eseméyek teljes eseméyredszert alkotak. Axómák: A K véletle kísérlettel kapcsolatos összes eseméyek I redszere kelégít az alább tulajdoságokat: Ω I. Ha A I A I s. 3 Ha A, A, K, A, K I A I s. 3

14 Megjegyzés: a.) I em feltétleül esk egybe Ω összes részhalmazaak halmazredszerével. I-be csak a kísérlettel kapcsolatba hozható ú.. megfgyelhető eseméyek vaak. Nem zárjuk k, hogy lehetek Ω-ak olya A részhalmaza, amelyeket em tuduk redese megfgyel, azaz lehet olya kmeetel, am végé em tudjuk megmoda, hogy A bekövetkezett-e vagy sem. Az axómákkal éppe az lye kétes A eseméyeket akarjuk kzár a tovább vzsgálatakból. b.) Az axómák ylvávaló tulajdoságokat fogalmazak meg. Az potba azt követeljük meg, hogy a bztos eseméy megfgyelhető legye. A -be azt állítjuk, hogyha az A eseméyt meg tudjuk fgyel, akkor az elletettjét s meg tudjuk. A 3 -ba pedg az az állítás, hogyha eseméyekek egy redszerét egyekét meg tudjuk fgyel, akkor azt az eseméyt s meg fogjuk tud fgyel, amely akkor következk be, ha a felsorolt eseméyek közül legalább egy bekövetkezk. Tétel: Az axómákból levezethetők I-ek az alább tulajdosága: a.) I, azaz a lehetetle eseméy s megfgyelhető. b.) Ha A, B I A+B I s, azaz a 3 axóma véges sok esetre s gaz. c.) Ha A,B I A B I s, azaz megfgyelhető eseméyek szorzata s megfgyelhető. d.) Ha A, A,, A, K K I A I s gaz, azaz megfgyelhető eseméyek együttes bekövetkezése s megfgyelhető. e.) Ha A, B I A\B I és B\A I, azaz megfgyelhető eseméyek külöbsége s megfgyelhetőek. Axómák: Adott egy P: I 0, függvéy, melyet valószíűségek evezük. A P függvéy kelégít az alább tulajdoságokat: P(Ω) = Ha A, A, K, A, K I párokét egymást kzárják, azaz j -re A A =, akkor P( A ) = P( A ). j Megjegyzés: a.) A axómába megfogalmazott tulajdoságot a valószíűség σ-addtvtás (szgma addtvtás) tulajdoságáak evezzük. b.) A megfgyelhető eseméyek valószíűséget smertek tételezzük fel. A P(A) érték az A eseméy bekövetkezéséek mértéke, esélye. Az eseméyek valószíűsége az eseméyek objektíve, fzkalag létező jellemzője, olya mt pl. a testekek a tömege vagy térfogata. Attól, hogy egy adott esetbe em tudjuk megmoda egy eseméy valószíűségét, em következk, hogy az eseméyek cs, vagy em egyértelmű a valószíűsége. Ha egy test tömegét em smerjük, vagy rosszul becsüljük a agyságát, abból még em lehet azt a következtetést levo, hogy a testek cs tömege, vagy az em egyértelmű. Ugyaez gaz a valószíűségre s. Ráadásul a P függvéy redelkezk azokkal a tulajdoságokkal, amkkel mde más mérték s redelkezk (pl. hossz, terület, térfogat, tömeg stb.) A axóma azt állítja, hogy egymást át em fedő eseméyek összegéek valószíűsége az eseméyek valószíűségeek összege, mt ahogy pl. egymást át em fedő részekből álló síkdom területe egyelő a részek területeek összegével. Az axóma azt posztulálja, hogy legye a bztos eseméy valószíűsége, és ehhez képest jellemezzük a több eseméy bekövetkezéséek esélyét. A fzka meységekhez mérőműszerek szerkeszthetők, hogy az 4

15 adott test egy fzka jellemzőjéek elmélet értékét agy potossággal megbecsülhessük. Ilye műszer a hosszmérésre a méterrúd, tömegre a karos mérleg. Ugyaúgy, mt más mértékél, a valószíűség eseté s szerkeszthető mérőműszer, amvel az elmélet valószíűség számértéke jól becsülhető lesz. Ez a mérőműszer a később értelmezedő relatív gyakorság lesz. (Lásd az 5. potot!) Tétel: A valószíűség axómaredszeréből levezethetőek a valószíűség alább tulajdosága: a.) P( A) = PA ( ) b.) P( )=-P(Ω) c.) Ha A, A, K, A, K I eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, akkor P( A ) = d.) Ha A B akkor P(A) P(B) e.) P(A\B)=P(B)-P(A B) f.) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) A következő evezetes tétel az előbb tétel f.) állításáak általáosítása kettőél több eseméy esetére. Tétel: ( Pocare tétel) + Ha A, A, K, A I tetszőlegesek, akkor P( A) = ( ) S, ahol = = S = P( Aj Aj L Aj ). j< j<... < j Tétel: (Boole- egyelőtleség) Legye (Ω,I,P) Kolmogorov-féle valószíűség mező. Akkor mde A, A, K, A I eseté a.) P( A ) P( A ) és = = b.) P( A ) P( A ). = = Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Mt értük eseméyek összegé?. Mt értük eseméyek szorzatá? 3. Mk a valószíűség axómá? 4. Mt állít a Pocare tétel? 5. M a teljes eseméyredszer fogalma? 6. Mkor modjuk azt, hogy az A eseméy maga utá voja a B eseméyt? 7. Tektsük azt a véletle kísérletet, hogy khúzuk egy kártyalapot a 3 lapos magyar kártyacsomagból. Az alábbak közül melyk eseméy? 5

16 A A khúzott lap szíe makk B Nagy értékű a khúzott kártya C Nem krály a khúzott lap D Szép fgurájú a khúzott lap E A khúzott lap a treff kettes F A khúzott lap em a treff kettes 8. Melyk eseméy voja maga utá a máskat? A Szabályos kockával párosat dobuk B Legalább 4-est dobuk C 6-ost dobuk D Prímszámot dobuk 9. Mely eseméyek zárják k egymást? A Két szabályos kockával dobva az összeg páros B A két dobott érték közül legalább az egyk páros C Az egyk legalább osztható hárommal D A dobott értékek szorzata páratla E A két dobott érték közül az egyk égyszerese a máskak 0. Dötse el, az alább állítások közül melyk gaz, melyk hams! a. Bármely két eseméy közül az egyk maga utá voja a másk bekövetkezését. b. Két eseméy szorzata olya eseméy, amely a két kompoes eseméy mdegykét maga utá voja. c. Az eseméyek szorzata felcserélhető (kommutatív). d. Az eseméyek összeadása átzárójelezhető (asszocatív) e. Egy eseméy az elletettjével teljes eseméyredszert alkot. f. Egy eseméy és az elletettje em egymást kzáró eseméyek. g. Az eseméyek összege akkor következk be, ha a kompoes eseméyek valamelyke bekövetkezk. h. Az eseméyek szorzata akkor következk be, ha a kompoes eseméyek valamelyke bekövetkezk.. Az eseméyek valószíűsége lehet akár 000 %-os s. j. Az eseméyek valószíűsége a véletle kísérlet mde egyes végrehajtásakor más és más. k. Az elletett eseméy valószíűsége mdg agyobb mt az eseméy valószíűsége. l. Az elletett eseméy valószíűségéek és az eseméy valószíűségéek összege mdg. m. Az eseméyek szorzatáak a valószíűsége em lehet agyobb bármely kompoes eseméy valószíűségéél.. Az eseméyek összegéek a valószíűsége em lehet agyobb bármely kompoes eseméy valószíűségéél. o. A függetle eseméyek kzárják egymást. p. A függetle eseméyek em zárják k egymást. q. Két olya függetle eseméy, melyek közül egyk sem lehetetle vagy bztos eseméy, em zárhatják egymást k. r. Függetle eseméyek szorzatáak valószíűsége egyelő az eseméyek valószíűségeek szorzatával. s. Függetle eseméyek szorzatáak valószíűsége egyelő az eseméyek valószíűségeek összegével. 6

17 t. Egymást kzáró eseméyek szorzata a lehetetle eseméy. u. Ha két eseméy szorzatáak valószíűsége ulla, akkor a két eseméy kzárja egymást. v. Egymást kzáró eseméyek összegéek valószíűsége a kompoes eseméyek valószíűségeek összege. w. A lehetetle és a bztos eseméyek mde eseméytől függetleek. x. Egy eseméy em lehet függetle a komplemeterétől.. A próbagyártás sorá két szempotból vzsgálják a késztermékeket. Az A eseméy azt jelet, hogy egy véletleszerűe kválasztott mtadarab ayaghbás, a B pedg az az eseméy, hogy a kválasztott gyártmáy mérethbás. Tudjuk, hogy P(A)=0,5, P(B)=0,3 és P(AB)=0,08. Mey aak a valószíűsége, hogy valamelyk termék hbátla?. Mey PAB ( ), ha P(A)=0,6, P(B)=0,5 és P(A+B)=0,8? 3. Egy fekete és fehér golyókat tartalmazó urából khúzuk db golyót. Jeletse A azt az eseméyt, hogy az -edekek khúzott golyó fehér ( ). Fejezzük k az A eseméyek segítségével az alább eseméyeket: A Mdegyk golyó fehér B Legalább egy golyó fehér C Potosa egy golyó fehér D Mdegyk golyó ugyaolya szíű 4. Bzoyítsa be, hogy tetszőleges A,B eseméyekre ( PAB ( )) + ( PAB ( )) + ( PAB ( )) + ( PAB ( )) 05,. 5. Kette sakkozak. Az A eseméy akkor következk be, ha a vlágossal játszó yer, a B eseméy akkor, ha a sötéttel játszó másk, remél pedg a C eseméy következk be. Fogalmazzuk meg szavakba, mt jeleteek az alább eseméyek: a. AB+ A B b. AB c. A+C 6. Egy céltábla tíz kocetrkus körből áll és a sugarakra feáll az R < R < L < R0 relácó. A k azt az eseméyt jelet, hogy egy lövés az R k sugarú körbe esk. Fogalmazzuk meg szavakba, mt jeleteek az alább eseméyek: B= A + A3 + A6 C= AA4A6A8 D= ( A + A3) A6 7. Tegyük fel, hogy A és B olya eseméyek, melyre P(A)=P(B)=0,5. Bzoyítsa be, hogy ekkor PAB ( ) = PAB ( )! 8. Bzoyítsa be, hogy PAB ( + AB) = PA ( ) + PB ( ) PAB ( ) 9. Ha az A és B eseméyek közül az egyk feltétleül bekövetkezk, PAB ( ) =, PBA ( ) =, mey a P(A) és P(B) valószíűség? Legye PA ( ) =, PAB ( ) =, PBA ( ) =. Határozza meg a P(A+B) és PAB ( ) valószíűségeket! 7

18 3. A klasszkus valószíűség mező Ekkor az eseméytér véges elemszámú elem eseméy halmaza: Ω= { ω, ω,, ω } K, az I eseméyosztály Ω összes részhalmazaak redszere, és mdegyk elem eseméy P( ) P( ) P( ). Mvel az összes elem eseméyek redszere teljes eseméyredszert alkot, ezért = P( Ω) = P( { ω }) = P( { ω} p = P( { ω} ) = -re. = k A Így, ha A Ω tetszőleges eseméy, akkor PA ( ) = P( { ω} ) = =, ahol k ω A ω A A az A eseméy számossága. Vagys az eseméyek valószíűsége lyekor úgy számítható, hogy az eseméy bekövetkezése szempotjából kedvező elem eseméyek számát osztjuk a kísérlettel kapcsolatos összes elem eseméyek számával. Klasszkus valószíűség mezővel modellezhető a kockadobás, a pézfeldobás, a rulettezés, a kártyahúzás, a lottóhúzás, a totótppelés stb. bekövetkezéséek egyforma a valószíűsége: { ω } = { ω } = L = { ω } Feladat (De Méré lovag feladváya) Melyk eseméyek agyobb a valószíűsége: hogy egy kockával égyszer dobva legalább egyszer hatost dobuk (A), vagy aak, hogy két kockával huszoégyszer dobva legalább egyszer két hatosuk lesz (B)? Megoldás: Két külöböző valószíűség mezőről va szó. Az elsőbe egy szabályos kockát égyszer feldobuk. Az összes elem eseméyek száma = 6 4. A vzsgált A eseméy elletettje az az eseméy, hogy egyszer sem dobuk hatost. Ilye eset összese 5 4 lehet, vagys az elletett eseméy valószíűsége: P( A)= 5 4. Így az A eseméy valószíűsége: , A másodk vzsgált eseméy egy egésze más kísérlethez és eseméytérhez tartozk. Most a véletle kísérlet az, hogy két szabályos kockát dobuk fel 4- szer. Az összes elem eseméy most sokkal több: A másodk eseméy elletettje most az, hogy a dobássorozatba egyszer sem dobuk duplá hatost. Eek a valószíűsége PB ( )= A másodk eseméy valószíűsége így P(B)=- 0, Látható, hogy az A eseméy valószíűsége a agyobb. Megjegyzés: A feladatot De Méré lovag adta fel Blase Pascal fraca matematkusak, ak ebből kdulva jutott el a valószíűségszámítás első komoly eredméyehez. A feladatba egyébkét első pllatásra az tűk fel, hogy mdkét eseméy esetébe a dobások számáak és a lehetséges kmeetelek számáak aráya azoos: A-ál 4:6, a B-él 4:36. Feladat Egy urából, ahol fehér és fekete golyók vaak, véletleszerűe kveszük vsszatevéssel két golyót. Bzoyítsuk be, hogy aak a valószíűsége, hogy a golyók ugyaolya szíűek, em lehet ksebb mt 0,5. 8

19 Megoldás: Legye a fehér golyók száma, a feketéké m (,m ). Ekkor a véletle kísérlet elem eseméyeek száma ( + m), a kedvező eseteké pedg + m. A keresett valószíűség: p= m +. Mvel ( m) 0, így + m + m + m, azaz p 0,5. ( + m) Feladat (Pólya-féle uramodell) Egy ura r darab fekete és s darab fehér golyót tartalmaz. Véletleszerűe khúzuk egy golyót. A khúzott golyót és még plusz c darab ugyaolya szíű golyót vsszateszük az urába. Mey a valószíűsége aak, hogy az -edk húzás utá α-szor húztuk k a fekete, és β-szor a fehér golyót? (α+β=). Megoldás: Pl. aak az eseméyek a valószíűsége, hogy az első α húzáskor mdg fekete és az utolsó β húzáskor pedg csupa fehér golyót foguk húz: r( r+ c)( r+ c)( r+ 3c) L( r+ ( α ) c) s( s+ c)( s+ c) L( s+ ( β ) c). De mde más olya ( r+ s)( r+ s+ c)( r+ s+ c)( r+ s+ 3c) L( r+ s+ ( ) c) húzássorozatak, ahol α-szor húztuk k a fekete, és β-szor a fehér golyót s ugyaekkora a valószíűsége. A külöböző kmeetelek száma, így a keresett valószíűség: α ( ) ( ) α r( r+ c)( r+ c)( r+ 3c) L r+ ( α ) c s( s+ c)( s+ c) L s+ ( β ) c. ( r+ s)( r+ s+ c)( r+ s+ c)( r+ s+ 3c) L r+ s+ ( ) c ( ) Feladat Ha egy szabályos pézérmét -szer feldobuk, mey a valószíűsége, hogy k-val többször foguk fejet kap, mt írást? (0 k ). Megoldás: Ha a fejdobások számát f, az írásokét jelöl, fe kell álla, hogy f+= és f-=k. Ie következk, hogy f = + k és = k, vagys és k partásáak meg kell egyeze. Aak valószíűsége, hogy egy hosszúságú dobássorozatba éppe f fejet dobuk k f = +. Ugyas, mde hosszúságú sorozat egyformá valószíűségű, és ezek között olya külöböző dobássorozat lehet, ahol a fejek száma f éppe f (kedvező esetek). Gyakorló feladatok. Egy mde oldalá befestett fakockát a lapokkal párhuzamos síkokba 000 azoos méretű ks kockára fűrészelek szét. A kapott ks kockákból véletleszerűe kválasztuk egyet. Mey a valószíűsége, hogy a kockáak éppe k oldala festett? (0 k 3).. Egy kalapba az agol ABC 6 betűje va. Vsszatevéssel -szer húzva, a khúzott betűket sorba egy papírra felírva, mey a valószíűsége, hogy a kapott szóból legfeljebb két betűt felcserélve éppe a STATISZTIKA szó jö k? 9

20 3. Egy szabályos érmével -szer dobva, mey a valószíűsége, hogy a fejdobások száma páratla lesz? 4. Egy szabályos érmével -szer dobva, mey a valószíűsége, hogy a. először az -edkre jö fej? b. ugyaay fejet dobuk, mt írást? c. potosa két fejet dobuk? d. legalább két fejet dobuk? 5. Egy kalapba három cédula va, amelyekre az,,3 számjegyek vaak felírva. Véletleszerűe egyesével khúzzuk a cédulákat. Mey a valószíűsége aak, hogy a húzáskor lesz olya cédula, amelykre éppe az a szám va felírva, aháyadkkét khúztuk azt? 6. Feldobuk három szabályos pézérmét. Mey a valószíűsége az A,B,C eseméyekek, ahol A: legalább két érmével fejet dobuk, B: potosa két érmével fejet dobuk, C: legfeljebb két érmével fejet dobuk? 7. A ötös lottóhúzás előtt mey a valószíűsége, hogy k=,,3,4,5 találatuk lesz? 8. Egy urába fehér és fekete golyók vaak, melyeket egymás utá vsszatevés élkül khúzuk. Az A vagy a B eseméyek agyobb-e a valószíűsége, ahol A: az első golyó fehér, és B: az utolsó golyó fehér? 9. Ha egyforma ládába elhelyezük egyforma golyót úgy, hogy bármely ládába ugyaolya valószíűséggel tesszük bármelyk golyót, mey a valószíűsége aak, hogy mdegyk ládába lesz golyó? 0. Egy 5 lapos fraca kártyacsomagból 3 lapot találomra vsszatevés élkül khúzuk. Mey a valószíűsége aak, hogy a. a treff krály a khúzott lapok között lesz? b. potosa két treff lesz a leosztott lapok közt? c. a treff krály és a treff ász a khúzott lapok közt va? d. va treff a leosztott lapok között? 0

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

2.10. Az elegyek termodinamikája

2.10. Az elegyek termodinamikája Kéma termodamka.1. z elegyek termodamkája fzka kéma több féle elegyekkel foglakozk, kezdve az deáls elegyektől a reáls elegyekg. Ha az deáls elegyek esetébe az alkotók közt kölcsöhatásokat elhayagoljuk,

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma Statsztka Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4 010-011-es taév II félév Statsztka alapfogalmak Oktató: Dr Csáfor Hajalka főskola doces Vállalkozás-gazdaságta Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka alapfogalmak

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+ I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás:

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika, 9 10. évfolyam

Valószínűségszámítás és statisztika, 9 10. évfolyam Valószíűségszámítás és statisztika, 9 0. évfolyam Hraskó Adrás 04. júius 8. 4 TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok. A statisztika alapjai............................... Kísérletek....................................

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

KTK. Dr. Herman Sándor Dr. Rédey Katalin. Statisztika I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM. Közgazdaságtudományi Kar. Alapítva: 1970

KTK. Dr. Herman Sándor Dr. Rédey Katalin. Statisztika I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM. Közgazdaságtudományi Kar. Alapítva: 1970 Dr. Herma Sádor Dr. Rédey Katal Statsztka I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM KTK Közgazdaságtudomáy Kar Alapítva: 97 Mde jog fetartva. Jele köyvet vagy aak részletet a szerző egedélye élkül bármlye formába vagy

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben