MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE"

Átírás

1 MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd

2 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak k az elmúlt évszázadba, a marketgkutatás gyakorlatába mégs csak egy módszer terjedt el gazá. Eek legfıbb oka az, hogy a sokaság aráy tervallumbecslésé alapuló megközelítés még akkor s alkalmazható, amkor a több módszer már csıdöt mod. Az aráybecslése alapuló eljárás ugyas kküszöböl a több módszer legagyobb hbáját, vagys cs szükség az alapsokasággal kapcsolatos elızetes smeretekre. Az eljáráshoz elég smer az alapsokaság agyságát [N] és meg kell ad a kívát megbízhatóság [π], valamt a potosság sztet [ ]. Amt rögzítésre kerülek a keretfeltételek, csak be kell helyettesíte a végtele és a véges alapsokaság képletekbe és felfelé kerekítést követıe már redelkezésre s áll a kívát mtaagyság []. Jele taulmáyak három célja va. Egyrészt összefoglalását kíváom ad a mtaagyság meghatározása statsztka módszereek [Berste-egyelıtleség segítségével, Hoeffdg-egyelıtleség segítségével, átlagbecslése alapuló, aráybecslése alapuló megközelítések] egyszerő mtavétel eseté - rávlágítva azok erıs és gyege potjara és alkalmazásuk legfotosabb tudvalóak rétegzett, csoportos és többlépcsıs mtavétel eseté. Másrészt bemutatom a mtaagyság meghatározásáak egy új kocepcóját, az ú. agglomeratív rétegzés elméletét és gyakorlatát. Harmadrészt smertetem egy BC [hulladékkezelés közszolgáltatás] és egy BB [levélposta szolgáltatás] kutatás mtavétel tervét, amely példák kváló esettaulmáya a külöbözı kutatás problémákra adott módszerta javaslatokak. 1

3 . A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN [EV] MINTA ESETÉN.1. A mtaagyság meghatározása a Bersteegyelıtleség segítségével 1 Ameybe egy változó értéke az [a,b] tervallumba esek, az 1 [ X ] mtaátlag és az [m] várhatóérték abszolút eltérésére = 1 smertek tektett szórás [σ ] eseté Berste az alább egyelıtleséget bzoyította be: 1 ε Prob X > ( ) m ε exp [1. képlet] = 1 ε b a σ + 3 Az egyelıtleség függetle a változó eloszlásától, vagys lehetıségük va az [] mtaagyság meghatározására. A kérdésük tehát az, hogy mlye mtaagyság eseté teljesül az alább egyelıtleség: 1 Prob X > ε m α [. képlet] = 1 A Berste-egyelıtleség alapjá bebzoyítható, hogy: α b a l σ + ε 3 [3. képlet] ε Ha elıírjuk, hogy maxmum mekkora eltérést [ε ] egedük meg, bzoytalaságot [α ] vselük el és megadjuk a változó értéket lefedı tervallumot [a,b], akkor a szükséges mtaagyság [] alulról becsülhetı. A módszer legagyobb hátráya, hogy elızetes formácóra [Pl.: a szórás smeretére] va szükség az alkalmazásához. 1 Készült Berste [1946] alapjá

4 .. A mtaagyság meghatározása a Hoeffdgegyelıtleség segítségével Ameybe egy változó értéke az [a,b] tervallumba esek, az 1 [ X ] mtaátlag és az [m] várhatóérték abszolút eltérésére = 1 smeretle szórás eseté Hoeffdg az alább egyelıtleséget gazolta: 1 ε Prob X > m ε exp ( ) [4. képlet] = 1 b a Az egyelıtleség szté függetle a változó eloszlásától, vagys lehetıségük va az [] mtaagyság meghatározására. A kérdésük tehát smételte az, hogy mtaagyság eseté teljesül az alább egyelıtleség: 1 Prob X > ε m α [5. képlet] = 1 A Hoeffdg-egyelıtleség alapjá gazolható, hogy: ( b a) α l [6. képlet] ε Ha elıírjuk, hogy maxmum mekkora eltérést [ε ] egedük meg, bzoytalaságot [α ] vselük el és megadjuk a változó értéket lefedı tervallumot [a,b], akkor a szükséges mtaagyság [] ugyacsak alulról becsülhetı. A módszer legagyobb elıye elletétbe a Berste egyelıtleség segítségével törtéı mtaagyság meghatározással, hogy cs szükség elızetes formácóra [Pl.: a szórás smeretére] az alkalmazásához. Készült Hoeffdg [1963] alapjá 3

5 .3. Átlagbecslése alapuló megközelítés.3.1. Átlagbecslés A magyar és külföld statsztka szakrodalom bıvelkedk az átlagbecslést részletese tárgyaló fejezetekbe, amelyek smertetése természetese em képez jele taulmáy célját. Az átlagbecslés meetét azoba bemutatom a mtaagyság meghatározásáak köyebb megértése érdekébe. Az átlagbecslés célja, hogy a mtabel átlagból [ x ] következtetéseket lehesse levo az alapsokaságra voatkozóa, mközbe a mta és az alapsokaság agyságát smertek tektjük. A módszer egy képlet segítségével határozza aak az tervallumak [kofdeca tervallum], az alsó [c a ] és felsı [c f ] határát, amelyek egy általuk választott megbízhatóság szt mellett közre fogják az alapsokaság paramétert. c = x ± z s vsk [7. képlet] a, f π x A kofdeca tervallum alsó és felsı határáak mtabel átlagtól [ x ] vett távolságát egy háromtagú szorzat eredméye adja. A szorzat elsı téyezıje z π, amelyek értéke az általuk választott megbízhatóság szt függvéyébe változk. A legevezetesebb megbízhatóság szthez, π=95% tartozó érték z π =1,96. A külöbözı megbízhatóság sztekhez tartozó z π értékeket a Mcrosoft Excel táblázatkezelı segítségével lehet a legköyebbe meghatároz. A következı függvéy pllaatok alatt kszámolja a szükséges értékeket. z = verz.storm ((1+ π)/) [8. képlet] π Az átlagbecslés képletébe szereplı szorzat másodk téyezıje s x, amely az alapsokaság átlag becslıfüggvéyéek szórása, más éve stadard hba. Értéke kzárólag a mtaelemszámtól és a korrgált tapasztalat szórástól [s] függ, meghatározására a következı képlet szolgál. s s x = [9. képlet] 4

6 Az átlagbecslés képletét lletıe egy téyezırıl még em esett szó, a véges sokaság korrekcós téyezırıl [vsk], amelyet abba az esetbe kell alkalmaz, amkor az alapsokaság véges számú elembıl áll. A marketgkutatás gyakorlatába többségbe vaak azok a kutatások, amelyek véges alapsokasággal dolgozak, tehát e feledkezzük meg a korrekcó haszálatáról. Igazá agy hbát persze csak akkor követük el az elhayagolásával, ha a mta és az alapsokaság háyadosa [kválasztás aráy] meghaladja a 0,1-et. vsk = 1 [10. képlet] N A mtaagyság meghatározásáak köyebb megértése érdekébe fel kell eleveíteük még egy fogalmat, a potosság sztet. A statsztka rodalom a kofdeca tervallum alsó és felsı határát kjelölı értéket evez a potosság sztek [ ]. A marketgkutatással foglalkozó szakköyvekbe sokszor találkozhatuk a mtavétel hba elevezéssel, amely tartalmlag megegyezk a potosság szt kfejezéssel. s = z 1 [11. képlet] N π.3.. A mtaagyság átlagbecslése alapuló meghatározása Az átlagbecsléssel kapcsolatos legfotosabb smeretek agyléptékő áttektése utá következze a mtaagyság meghatározásáak smertetése. Melıtt azoba a kokrét összefüggések bemutatására rátérék, meg kell külöböztet két alapesetet. Az egyk a végtele a másk pedg a véges alapsokaság eseté törtéı mtaagyság meghatározás Végtele alapsokaság eseté Ha a mtaagyságot végtele alapsokaság eseté kívájuk meghatároz, akkor mdössze két paramétert kell rögzíteük: megbízhatóság szt, potosság szt. 5

7 A feladat tehát az, hogy határozzuk meg azt a mtaagyságot, amely eleget tesz az elıbb paraméterek elıre rögzített értékeek. A kérdést természetese úgys megfogalmazhattuk vola, hogy mlye mtaagyság mellett lesz a potosság szt egy elıre rögzített érték. A mtaagyság meghatározása eze a poto kapcsolódk az átlagbecsléshez, hsze ha kfejezzük a potosság szt képletébıl a mtaelemszámot [végtele alapsokaság lévé szó természetese eltektve a vsk-tól], már választ s kaptuk a kérdésükre. ~ zπ s = [1. képlet] A képletbe törtéı behelyettesítéshez valamey paraméter adott, kvéve a korrgált tapasztalat szórás égyzete. Ez az formácó a mtaagyság meghatározásakor, vagys a kutatás tervezés fázsába ylvávalóa em áll redelkezésre, legfeljebb becslésre hagyatkozhatuk Véges alapsokaság eseté A mtaagyság meghatározásáak ebbe a potba még cs vége, ameybe em végtele, haem véges az alapsokaságot képezı elemek száma. A megbízhatóság és potosság szt mellett rögzíte kell az alább paraméter értékét: az alapsokaság elemszáma. Ezt követıe írjuk fel a következı összefüggést, amely felhaszálja a végtele alapsokaság eseté meghatározott mtaagyságot, vagys korrgálja azt véges alapsokaság esetre. Akkor jutuk erre a megoldásra, ha a potosság szt képletébıl [beleértve a vsk-t] kfejezzük a mtaelemszámot. ~ = ~ [13. képlet] 1 + N Ahogy azt korábba már említettem, a marketgkutatás gyakorlatába többségébe véges alapsokasággal találkozhatuk, ezért az elıbbekbe leírtakat tartsuk szem elıtt a mtavétel terv készítéséek folyamatába. 6

8 .4. Aráybecslése alapuló megközelítés.4.1. Aráybecslés A statsztka szakrodalom az aráybecslést részletese tárgyaló fejezetekbe szté bıvelkedk, amelyek smertetése természetese em képez jele taulmáy célját. Az aráybecslés meetét azoba ugyacsak bemutatom a mtaagyság meghatározásáak köyebb megértése érdekébe. Az aráybecslés célja, hogy a mtabel aráyból [p] következtetéseket lehesse levo az alapsokaságra voatkozóa, mközbe a mta és az alapsokaság agyságát smertek tektjük. A módszer egy képlet segítségével határozza meg a kofdeca tervallum alsó [ca] és felsı [cf] határát, amelyek egy általuk választott megbízhatóság szt mellett közre fogják az alapsokaság paramétert [P]. c = p ± z s vsk [14. képlet] a, f π p A kofdeca tervallum alsó és felsı határáak mtabel aráytól [p] vett távolságát szté egy háromtagú szorzat eredméye adja. A szorzat elsı téyezıje z π, amelyek értéke az általuk választott megbízhatóság szt függvéyébe változk. A külöbözı megbízhatóság sztekhez tartozó z π értékeket a Mcrosoft Excel táblázatkezelı segítségével lehet a legköyebbe meghatároz. A korábba smertetett függvéy pllaatok alatt kszámolja a szükséges értékeket. z = verz.storm ((1+ π)/) [15. képlet] π Az aráybecslés képletébe szereplı szorzat másodk téyezıje s p, amely az alapsokaság aráy becslıfüggvéyéek szórása, más éve stadard hba. Értéke kzárólag a mtaelemszámtól és a mtabel aráytól függ, meghatározására a következı képlet szolgál. s p p (1 p) = [16. képlet] Az aráybecslés képletét lletıe egy téyezırıl még em esett szó, a véges sokaság korrekcós téyezırıl [vsk], amelyet abba az esetbe kell alkalmaz, amkor az alapsokaság véges számú elembıl áll. A 7

9 marketgkutatás gyakorlatába többségbe vaak azok a kutatások, amelyek véges alapsokasággal dolgozak, tehát e feledkezzük meg a korrekcó haszálatáról. Igazá agy hbát persze csak akkor követük el a mellızésével, ha a kválasztás aráy meghaladja a 10%-ot. vsk = 1 [17. képlet] N A mtaagyság meghatározásáak köyebb megértése érdekébe újra kell értelmezük egy fogalmat, a potosság sztet. A statsztka rodalom a kofdeca tervallum alsó és felsı határát kjelölı értéket evez a potosság sztek [ ]. A marketgkutatással foglalkozó szakköyvekbe sokszor találkozhatuk a mtavétel hba elevezéssel, amely tartalmlag az aráybecslés eseté s megegyezk a potosság szt kfejezéssel. p (1 p) = z 1 [18. képlet] N π Példa aráybecslésre Tételezzük fel, hogy egy formatka eszközöket gyártó és forgalmazó cég meedzsmetje termékfejlesztés dötés elıtt áll és arra az formácóra va szüksége, hogy Magyarországo háya smerk a GPS-t [Global Postog System], azaz a Globáls Helymeghatározó Redszert. Mvel szekuder forrásból ez az adat em áll redelkezésre, ezért megbízzák az egyk packutató céget egy olya országos prmer kutatás leboyolítására, amely választ ad többek között a fet kérdésre s. Egy hóappal késıbb a packutató cég a következı adatokat szolgáltatja a megbízóak: Az alapsokaság elemszáma, N= A mta elemszáma, =1 000 A GPS-t smerık aráya a mtába, p=33% Az aráybecsléssel kapcsolatos alapvetı tudvalókat felhaszálva, végezzük el a számítást a szóba forgó példafeladat fktív értékevel. 0,33 (1 0,33) 1000 a, = 0,33 ± 1,96 1 = 0,33 ± 0, c f 8

10 A számítás eredméyét lletıe elmodhatjuk, hogy 95%-os megbízhatóság szt mellett a magyar lakosság körébe 30,09% és 35,91% között va a GPS-t smerık aráya. Továbbá azt s kjelethetjük, hogy a becslésük ±,91 százalékpot potosságú, amely jóval a statsztkába elfogadott potosság szte [±5,00 százalékpot] belül va..4.. A mtaagyság aráybecslése alapuló meghatározása Az aráybecsléssel kapcsolatos legfotosabb smeretek agyléptékő áttektése utá következze a mtaagyság meghatározásáak smertetése. Melıtt azoba a kokrét összefüggések bemutatására rátérék, meg kell külöböztet két alapesetet. Az egyk a végtele a másk pedg a véges alapsokaság eseté törtéı mtaagyság meghatározás Végtele alapsokaság eseté Ha a mtaagyságot végtele alapsokaság eseté kívájuk meghatároz, akkor mdössze két paramétert kell rögzíteük: Megbízhatóság szt. Potosság szt. A feladat tehát az, hogy határozzuk meg azt a mtaagyságot, amely eleget tesz az elıbb paraméterek elıre rögzített értékeek. A kérdést természetese úgys megfogalmazhattuk vola, hogy mlye mtaagyság mellett lesz a potosság szt egy elıre rögzített érték. A mtaagyság meghatározása eze a poto kapcsolódk az aráybecsléshez, hsze ha kfejezzük a potosság szt képletébıl a mtaelemszámot [végtele alapsokaság lévé szó természetese eltektve a vsk-tól], már választ s kaptuk a kérdésükre. ~ zπ p (1 p) = [19. képlet] A képletbe törtéı behelyettesítéshez valamey paraméter adott, kvéve a mtabel aráy. Ez az formácó a mtaagyság meghatározásakor, vagys a kutatás tervezés fázsába ylvávalóa em áll redelkezésre. Értékét úgy kell megválaszta, hogy azt a mtaelemszámot adja eredméyül, amely mellett egy tetszıleges aráy tervallumbecslése legfeljebb az elıre rögzített potosság 9

11 sztet eredméyez. Más szóval, keressük azt a mtabel aráyt, amely mellett a mtaelemszám maxmáls. A részfeladat megoldásához a függvéyta smeretekre kell támaszkoduk, ahoa tudjuk, hogy az f ( p) = p (1 p) függvéy maxmuma ott va, ahol az elsıredő dervált f ( p) = 0, a másodredő dervált pedg f ( p) < 0. A számítások elvégzése utá p = 0,5 eredméyt kell, hogy kapjuk. A mtabel aráy megfejtése utá az alábbak szert egyszerősíthetjük a végtele alapsokaság eseté alkalmazott mtaelem számítás képletet. ~ 0,5 zπ = [0. képlet] Példa mtaagyság meghatározására végtele alapsokaság eseté A következıkbe határozzuk meg azt a mtaagyságot, amely eleget tesz a megbízhatóság és a potosság szt legkább elfogadott értékeek. Megbízhatóság szt, π=95% Potosság szt, =±5,00 százalékpot Ameybe a példába meghatározott értékeket behelyettesítjük a 0. képletbe, akkor megkapjuk a keresett mtaelemszámot. 0,5 1,96 ~ = 0,05 = 384, Véletle alapsokaságot feltételezve, 95%-os megbízhatóság és ±5,00 százalékpotos potosság szte 384 elemő mtát kell ve. Más szavakkal, ha veszük egy 384 elemő mtát, akkor 95%-os megbízhatóság szt mellett legfeljebb ±5,00 százalékpot lesz a hozzá tartozó potosság szt, vagys a mtavétel hba Véges alapsokaság eseté A mtaagyság meghatározásáak ebbe a potba még cs vége, ameybe em végtele, haem véges az alapsokaságot képezı 10

12 elemek száma. A megbízhatóság és potosság szt mellett rögzíte kell az alább paraméter értékét: Az alapsokaság elemszáma. Ezt követıe írjuk fel a következı összefüggést, amely felhaszálja a végtele alapsokaság eseté meghatározott mtaagyságot, vagys korrgálja azt véges alapsokaság esetre. Akkor jutuk erre a megoldásra, ha a potosság szt képletébıl [beleértve a vsk-t] kfejezzük a mtaelemszámot. ~ = ~ [1. képlet] 1 + N Ahogy azt korábba már említettem, a marketgkutatás gyakorlatába többségébe véges alapsokasággal találkozhatuk, ezért az elıbbekbe leírtakat tartsuk szem elıtt a mtavétel terv készítéséek folyamatába. Példa mtaagyság meghatározására véges alapsokaság eseté Határozzuk meg a mtaelemszámot változatla megbízhatóság és potosság szt, és a következı alapsokaság méret mellett. Az alapsokaság elemszáma, N= A példafeladat megoldásáak egyetle lépése a végtele alapsokaság eseté számított mtaelemszámak és az alapsokaság elemszámáak behelyettesítése a 1. képletbe. 384,15 = 384, = 384, Véges alapsokaság eseté, 95%-os megbízhatóság és 5,00 százalékpotos potosság szt mellett továbbra s 384 elemő mtát kell ve. Az eredméy csak századokba külöbözk a végtele alapsokaság eseté számított mtaelemszámtól, hsze a kválasztás aráy [0, ] agyságredekkel elmarad attól az értéktıl [0,1], amely jeletıs külöbségeket eredméyez a végtele és a véges alapsokaság eseté meghatározott mtaagyságok között. Ettıl függetleül a statsztka egzaktság megkövetel a potos számítást, 11

13 külööse akkor, amkor a mtaelemszámot tovább számításokhoz haszáljuk fel, lye esetekbe még a kerekítés sem megegedett. A mtaagyság meghatározásával kapcsolatos elmélet és gyakorlat tudvalók zárásakét elkészítettem egy táblázatot, amely külöbözı megbízhatóság [90,0-99,0 százalék] és potosság sztek [±1,00-10,00 százalékpot] függvéyébe tartalmazza a mtaelemszámokat végtele alapsokaságot feltételezve. Mtaagyság megbízhatóság és potosság szt függvéyébe Potosság szt [százalékpot] Megbízhatóság szt [%] 90,0 91,0 9,0 93,0 94,0 95,0 96,0 97,0 98,0 99,0 ±1, ±, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9, ±10, táblázat: Mtaagyság megbízhatóság és potosság szt függvéyébe A megbízhatóság szt oszlopáak és a potosság szt soráak metszete adja azt a mtaelemszámot, amelyet az alapsokaság agyságáak smeretébe behelyettesítve a. képletbe megkapjuk a keresett mtaelemszámot véges alapsokaság eseté. 1

14 3. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA RÉTEGZETT [R] MINTA ESETÉN A rétegzett [R] mtavétel a véletle mtavétel eljárások közé tartozó kétlépcsıs folyamat, amely sorá elıször a sokaságot osztjuk részsokaságokra, azaz rétegekre. A rétegekek egymást kölcsööse kzáróak és együttese teljesek kell lee, amelybe mde sokaság elemet be lehet sorol egy, és csaks egy rétegbe, ugyaakkor egyetle elem sem marad k. Ezt követıe mde egyes rétegbıl egyszerő véletle [EV] mtavétel segítségével részmtákat veszük, amelyek együttese alkotják a teljes mtát. Azokat a változókat, amelyek segítségével az alapsokaságot egymást kölcsööse kzáró részekre osztjuk rétegképzı smérvekek evezzük. A rétegképzı smérveket úgy kell megválaszta, hogy a rétegeke belül az elemekek homogéek, a sokaságo belül a rétegek pedg heterogéek legyeek. A legelterjedtebb rétegképzı smérvek lakosság [BC] kutatások eseté a demográfa változók [pl.: földrajz terület, em, életkor], üzlet [BB] kutatások eseté pedg az általáos cégadatok [pl.: földrajz terület, létszám, árbevétel] Dvzív rétegzés [DVR] A rétegzett mtavétel gyakorlat kérdése a részmták és az általuk együttese alkotott teljes mta agyságáak meghatározása. Ha smertek feltételezzük a teljes mta elemszámát, akkor több megoldása létezk a mta rétegek között elosztás tervéek. Nevezzük ezeket a módszereket összefoglalóa az osztályozás eljárások aalógájára felosztó [dvzív] rétegzések. A dvzív rétegzés meetét a következı 6 lépés alkotja: 1. defáljuk a teljes sokaságot,. válasszuk k a rétegképzı smérveket és alakítsuk k a részsokaságokat, 3. rögzítsük a teljes mta megbízhatóság és potosság sztjét, 4. határozzuk meg a teljes mta agyságát, 5. válasszuk k az elosztás tervet, 6. a teljes mta felosztása megadja a részmták elemszámát. 13

15 Egyeletes elosztás [DVR-ER] Az egyeletes elosztás esetébe úgy jutuk a részmták elemszámához, hogy a teljes mta elemszámát vszoyítjuk a rétegek tervezett számához, azaz mde egyes rétegbıl azoos agyságú mtát veszük. = [. képlet] m Az egyeletes elosztás egyszerő, em géyel komolyabb tervezésszervezés elıkészítést, kéyelmese végrehajtható, és bzoyos feltételek mellett az egyes rétegek mtavétel hbáak összege mmáls. Ha kívácsak vagyuk az egyes rétegek statsztka mutatóra elfogadható megbízhatóság és potosság szt mellett, akkor az egyeletes elosztás jó megoldásak tekthetı. Az egyeletes rétegzéssel kapcsolatos tudvalók áttektése utá egy fktív példá keresztül mutatom be a módszer gyakorlat alkalmazását. Egy haza agyvállalat elégedettség kutatást kívá végez jeleleg ügyfélkörébe, ahol három [egymást kölcsööse kzáró és együtt teljes] szegmest külöböztet meg. Az 1. szegmesbe N 1 =1 000, a. szegmesbe N = 000, a 3. szegmesbe pedg N 3 =6 000 ügyfél tartozk. Mutá defáltuk a teljes sokaságot, kválasztottuk egy rétegképzı smérvet és kalakítottuk a részsokaságokat, rögzítsük a teljes mta megbízhatóság sztjét π=95%-ba, a potosság sztjét pedg =±5,00 százalékpotba. Néháy egyszerő számítás elvégzése utá tudjuk, hogy =369 elemő mtát kell veük a teljes sokaságból. A felosztó [dvzív] rétegzés következı lépésébe a teljes mtát részmtákra osztjuk fel az egyeletes elosztás szabályaak megfelelıe. A felosztás eredméyét az alább. táblázatba foglaltam össze. Egyeletes rétegzés [DVR-ER] Sokaság Mta [N] [%] [] [%] Réteg Réteg Réteg Összese táblázat: Egyeletes rétegzés [DVR-ER] 14

16 Az egyeletes elosztásak megfelelıe valamey rétegbıl j =13 elemő mtát kell veük, am egyúttal azt s jelet, hogy jeletıse torzultak a mta belsı aráya, ezért reprezetatívak utólagos súlyozás élkül semm esetre sem evezhetı ez az elosztás terv. A rétegek potosság sztje π=95%-os megbízhatóság szt mellett közel azoos [ 1=±8,7, = ±8,7, és 3= ±8,7] értéket vesz fel. Mdez azt jelet, hogy az egyes rétegek statsztka mutató, ha em s elfogadható, de agyságredleg megegyezı potossággal becsülhetık Aráyos elosztás [DVR-AR] Az aráyos elosztás léyege az, hogy a részmták úgy aráylaak a teljes mtához, mt a részsokaságok a teljes sokasághoz. Eek megfelelıe egy agyobb rétegbıl agyobb mtát veszük. N = [3. képlet] N Az aráyos elosztás szté egyszerő, elıkészítése em géyel komolyabb erıfeszítést, köye végrehajtható, és a mtába ugyaazok az aráyok érvéyesülek, mt a sokaságba. A mta a rétegképzı smérvre ézve reprezetatívak tekthetı, ezért ösúlyozó mtáak s evezk. Az aráyos rétegzés gyakorlat alkalmazását az összehasolíthatóság kedvéért a korábba smertetett példá keresztül mutatom be. Aráyos rétegzés [DVR-AR] Sokaság Mta [N] [%] [] [%] Réteg Réteg Réteg Összese táblázat: Aráyos rétegzés [DVR-AR] Az aráyos rétegzés értelmébe a részmták [ 1 =41, =8, és 3 =46] úgy aráylaak a teljes mtához, mt a részsokaságok a teljes sokasághoz, Ncs szükség utólagos súlyozásra, a mta reprezetatívak tekthetı a rétegképzı smérv szert. Az egyes 15

17 rétegek potosság sztje [ 1=±14,99, = ±10,66, és 3= ±6,1] változatla megbízhatóság szt π=95% mellett egy kvételével tovább romlott, amek következtébe a statsztka mutatók becslése széles tervallumokat, vagys agy potatlaságot eredméyez Neyma-féle optmáls elosztás [DVR-NOR] A Neyma-féle optmáls elosztás esetébe a részmták elemszáma em csak a részsokaság aráyától, haem aak elıre smert vagy legalább becsült szórásától [σ ] s függ. Nagyobb szóródású rétegekbıl agyobb, ksebb szóródásúakból ksebb mtát veszük feltéve, hogy a részsokaságok egyforma agyságúak. N σ = [4. képlet] m N σ = 1 Az elosztás elıyös tulajdosága, hogy a fıátlagot lye mtából számítva mmáls mtavétel hbához jutuk, végrehajtása azoba em egyszerő, hsze ehéz megbízható formácókat yer a rétegekét szórásokra. Ezért ez az elosztás a kzárólag az elmélet számára fotos. Azoos rétegekét szórások eseté a Neyma-féle optmáls elosztás megegyezk az aráyos elosztással. Neyma-féle optmáls rétegzés [DVR-NOR] Sokaság Mta [N] [%] [σ] [] [%] Réteg % Réteg % Réteg % Összese % 4. táblázat: Neyma-féle optmáls rétegzés [DVR-NOR] A Neyma-féle optmáls elosztás esetébe a részmták elemszáma [ 1 =41, =8, és 3 =46] egyeese aráyos a rétegek elıre smert szórásával, feltéve, hogy a rétegek agyságába cs külöbség. Ebbıl kfolyólag a mta belsı aráya jeletıse torzulak az alapsokaság belsı aráyahoz képest, vagys a mta em tekthetı reprezetatívak a rétegképzı smérv szert. A részmták potosság 16

18 sztje [ 1=±15,0, =±10,67, és 3=±5,99] az elfogadható megbízhatóság szt π=95% mellett az aráyos elosztáshoz hasolóa alakul, vagys a statsztka mutatók becslése széles tervallumokat, vagys agy potatlaságot eredméyez Költségoptmáls elosztás [DVR-KOR] A Neyma-féle optmáls elosztás továbbfejlesztett változata a költségoptmáls elosztás, amely a rétegek agysága és szórása mellett a részsokaságok megfgyelés egységköltséget [π ] s fgyelembe vesz. A mtavétel teljes költsége [C] az alább képlet segítségével kalkulálható. m C = π [5. képlet] = 1 Rögzített költségkeret eseté a fıátlag mtavétel hbáját mmalzáló elosztás a következı formulába törtéı helyettesítéssel kapható meg. π = [6. képlet] m N σ N = 1 σ π A részsokaságok egyforma agysága és szórása eseté abból a rétegbıl vesszük a agyobb mtát, amél ksebb a megfgyelés egységköltség. Azoos egységköltségek eseté a költség optmáls elosztás megegyezk a Neyma-féle optmáls elosztással és redelkezk aak elıyös és hátráyos tulajdoságaval. Költségoptmáls rétegzés [DVR-KOR] Sokaság Mta [N] [%] [σ] [π] [] [%] Réteg Réteg Réteg Összese táblázat: Költségoptmáls rétegzés [DVR-KOR] 17

19 A költségoptmáls elosztás esetébe a részmták elemszáma [ 1 =174, =13, és 3 =71] fordította aráyos a rétegek megfgyelés egységköltségével, feltéve, hogy a rétegek agyságába és elıre smert szórásába cs külöbség. Ebbıl kfolyólag a mta belsı aráya jeletıse torzulak az alapsokaság belsı aráyahoz képest, vagys a mta em tekthetı reprezetatívak a rétegképzı smérv szert. A részmták potosság sztje [ 1=±7,1, =±8,65, és 3=±11,49] az elfogadható megbízhatóság szt π=95% mellett az aráyos elosztáshoz hasolóa alakul, vagys a statsztka mutatók becslése széles tervallumokat, vagys agy potatlaságot eredméyez. Az smertek feltételezett teljes mta rétegek között elosztás terveek elmélet és gyakorlat aspektusból vett elıyös és hátráyos tulajdoságat az alább táblázat tartalmazza. Az elosztás tervek elıye és hátráya Egyeletes Aráyos Neyma-féle optmáls Költségoptmáls Elıye Egyszerő, köye végrehajtható; Alacsoy a rétegek mtavétel hbája Egyszerő, köye végrehajtható; Reprezetatív Fgyelembe vesz a rétegek szórását Fgyelembe vesz a rétegek megfgyelés egységköltségét 6. táblázat: Az elosztás tervek elıye és hátráya Hátráya Nem reprezetatív Magas a rétegek mtavétel hbája Boyolult, eheze végrehajtható Boyolult, eheze végrehajtható A gyakorlat számára a legfotosabb elosztások az egyeletes és az aráyos, amelyek egyszerőek, köye végrehajthatók és kedvezı statsztka tulajdoságokkal redelkezek. A Neyma-féle optmáls és a költség optmáls elosztások feltételezk a rétegekét szórás smeretét, amelyre a legrtkább esetbe áll redelkezésre, vagy érhetı el megbízható és potos formácó. 3.. Agglomeratív rétegzés [AVR] A részmták és az általuk együttese alkotott teljes mta elemszámáak meghatározása törtéhet összevoó [agglomeratív] rétegzéssel, amelyek az a léyege, hogy em a teljes mta agyságát rögzítjük elıre, haem a részmták agyságát. Mdezt aak érdekébe tesszük, hogy a rétegek ömagukba s elemezhetık legyeek elfogadható megbízhatóság és potosság szt mellett. Az agglomeratív rétegzés meetét a következı 5 lépés alkotja: 1. defáljuk a teljes sokaságot, 18

20 . válasszuk k a rétegképzı smérveket és alakítsuk k a részsokaságokat, 3. rögzítsük mde egyes részmta megbízhatóság és potosság sztjét, 4. határozzuk meg a részmták agyságát, 5. a részmták összevoása megadja a teljes mta elemszámát. Az agglomeratív rétegzés gyakorlat alkalmazását szté az elégedettség kutatás példájá keresztül mutatom be. Összevoó [agglomeratív] rétegzés Sokaság Mta [N] [%] [] [%] Réteg Réteg Réteg Összese táblázat: Összevoó [agglomeratív] rétegzés Az agglomeratív rétegzéssel meghatározott teljes mta belsı aráya a részmták elemszámaak következtébe [ 1 =78, =3, és 3 =360] jeletıse torzultak, vagys ez a rétegzés techka em tekthetı reprezetatívak, hacsak em végzük utólagos súlyozást. Az egyes rétegek potosság sztje π =95%-os megbízhatóság szt mellett azoba elfogadható értéket vesz fel [ j= ±5,00], akárcsak a teljes mta potosság sztje [ = ±,99]. Az agglomeratív rétegzéssel meghatározott teljes mta agysága felfogható az alább leárs programozás feladat em egatív megoldásáak, vagys keressük azt a legksebb mtaelemszámot, amelyre adott megbízhatóság szt, rétegekét elemszámok, és potosság sztek mellett gazak a következı összefüggések. m, ahol = m j j= 1, ~ =, és ~ 0,5 z j j 1+ N j j ~ j j π = [7. képlet] A dvzív és az agglomeratív rétegzés módok elıyös és hátráyos tulajdoságat a következı táblázat tartalmazza. A vzsgálat 19

21 szempotjat a mta agysága és költsége, valamt a teljes sokaság és a rétegek megbízhatóság és potosság sztje jeletették. Az rétegzés módok elıye és hátráya Felosztó [dvzív] rétegzés Összevoó [agglomeratív] rétegzés Elıye Elfogadható megbízhatóság és potosság szt a teljes sokaságra ézve; Ksebb mta s elegedı hozzá; Kevésbé költséges Kváló megbízhatóság és potosság szt a teljes sokaságra ézve; A rétegek általába ömagukba s elemezhetık 8. táblázat: Az rétegzés módok elıye és hátráya Hátráya A rétegek általába em elemezhetık ömagukba Nagyobb mta szükséges hozzá; Költségesebb Összefoglalva az eddgeket elmodható, hogy a dvzív rétegzés módokat akkor célszerő alkalmaz, amkor a kutatás költségvetés kerete relatíve ksebb [em több mt 400] mta vételét tesz lehetıvé, eze belül pedg az aráyos rétegzés bztosítja a mta súlyozás élkül reprezetatvtását. A dvzív rétegzést alkalmazva akkor jutuk ömagukba s elfogadható megbízhatóság és potosság szt mellett elemezhetı részmtákhoz, ha relatíve agyobb [mtegy ] mta áll a redelkezésükre és az egyeletes rétegzést választjuk. Abba az esetbe, amkor kutatás költségvetés kerete agyobb mta választását s lehetıvé tesz, célszerő agglomeratív rétegzést alkalmaz. Ezzel az eljárással ömagukba s elemezhetı részmtákhoz jutuk, em beszélve a teljes mta kváló megbízhatóság és potosság sztjérıl. 0

22 4. CSOPORTOS [CS] MINTAVÉTEL 3 A mtavétel techkák harmadk módszere a csoportos mtavétel, amely sorá az alapsokaságot egymást kölcsööse kzáró, de együtt az alapsokaságot egészébe lefedı részsokaságokra, ú. csoportokra osztjuk. Ezt követıe a csoportok halmazából választuk egyszerő véletle [EV] mtát, majd az így kválasztott csoportokat teljes körőe megkérdezzük. A csoportos mtavételt olya esetekbe haszáluk, amkor a sokaság elemek teljes lstája em áll redelkezésre, de agyobb csoportokra redelkezésre áll a lsta és amkor a agyobb csoportok kocetráltságuk következtébe olcsóbba fgyelhetık meg, mt a hasoló számosságú, de em kocetrálta elıforduló sokaság elemek. A csoportos mtavétel meetét a következı lépések alkotják: 1. defáljuk a teljes sokaságot,. válasszuk k a csoportképzı smérvet és alakítsuk k a csoportokat, 3. rögzítsük a teljes mta megbízhatóság és potosság sztjét, 4. határozzuk meg a teljes mta agyságát, 5. egyszerő véletle mtavétellel vegyük mtát a csoportokból, 6. mde egyes kválasztott csoportot teljes körőe kérdezzük le. A csoportos mtavétel elıyet és hátráyat az alább táblázat tartalmazza. A csoportos mtavétel elıye és hátráya Csoportos mta Elıye Olcsóbb, ha em áll redelkezésre a sokaság elemek teljes lstája vagy ha kocetrálta fordulak elı; Köyő alkalmaz; Hatékoy, ha a csoportok heterogéek 9. táblázat: A csoportos mtavétel elıye és hátráya Hátráya Potatlaabb, korlátozott az eredméyek értelmezése; Nem hatékoy, ha a csoportok homogéek Összefoglalva a csoportos mtavétel legfotosabb tudvalót, elmodható, hogy egy olya techkára va szó, amely bzoyos feltételek teljesülése eseté [em áll redelkezésre a sokaság elemek mtavétel kerete, csak azok csoportjat smerjük, amelyekek ráadásul 3 A csoportos mtavétel techka agol megfelelıje a cluster samplg. 1

23 heterogéekek kell leük] olcsó, egyszerő és hatékoy terepmukát tesz lehetıvé. Ugyaakkor potatlaabb, mt az egyszerő véltetle mta, az eredméyek értelmezése korlátozott és em javasolt az alkalmazása, ameybe a csoportok homogéek. Összehasolítva a rétegzett és csoportos mtavétel techkákat, Huyad-Vta [00] szert a rétegzett mta eseté a rétege belül homogetás, míg a csoportos mta eseté a csoportoko belül heterogetás a kedvezı tulajdoság. A rétegzett mta azoos elemszám eseté az egyszerő véletle mtáál ksebb hbát eredméyez, általába agyobb költséggel, míg a csoportos mta agyobb hbához vezet, ksebb költséggel.

24 5. TÖBBLÉPCSİS [TL] MINTAVÉTEL 4 A mtavétel techkák egyedk módszere a két- vagy többlépcsıs mtavétel, amely sorá az alapsokaságot egymást kölcsööse kzáró, de együtt az alapsokaságot egészébe lefedı részsokaságokra, ú. csoportokra osztjuk. Ezt követıe a csoportok halmazából választuk egyszerő véletle [EV] mtát, majd az így kválasztott csoportok elemebıl s többyre egyszerő véletle [EV] mtát veszük [kétlépcsıs] vagy a csoportokat tovább alcsoportokra osztjuk és az alcsoportok halmazából választuk egyszerő véletle mtát ezt a lépést többször megsmételhetjük majd az így kválasztott alcsoportok elemebıl s többyre egyszerő véletle mtát veszük [többlépcsıs]. A többlépcsıs mtavételt hasoló esetekbe haszáljuk, mt a csoportos mtavételt [a csoportos mtavételt szokták egylépcsısek s evez], a külöbség mdössze ay, hogy a többlépcsıs mtavétel esetébe több lépésbe jutuk el a sokaság elemekhez. A két- vagy többlépcsıs mtavétel meetét a következı lépések alkotják: 1. defáljuk a teljes sokaságot,. válasszuk k a csoportképzı smérvet és alakítsuk k a csoportokat, 3. rögzítsük a teljes mta megbízhatóság és potosság sztjét, 4. határozzuk meg a teljes mta agyságát, 5. egyszerő véletle mtavétellel vegyük mtát a csoportokból, 6. mde egyes kválasztott csoport elemebıl válasszuk egyszerő véletle mtát [kétlépcsıs]. 7. válasszuk az alcsoportképzı smérveket és alakítsuk k az alcsoportokat, 8. egyszerő véletle mtavétellel vegyük mtát az alcsoportokból, 9. smételjük a 7. és a 8. lépést egésze addg, amíg el em jutuk a sokaság elemekhez, 10. mde egyes kválasztott alcsoport elemebıl válasszuk egyszerő véletle mtát [többlépcsıs]. 4 A többlépcsıs mtavétel techka agol megfelelıje a mult-stage samplg. 3

25 A többlépcsıs mtavétel elıyet és hátráyat az alább táblázat tartalmazza. A többlépcsıs mtavétel elıye és hátráya Többlépcsıs mta Elıye Olcsóbb, ha em áll redelkezésre a sokaság elemek teljes lstája vagy ha kocetrálta fordulak elı; Akkor s hatékoy, ha a csoportok homogéek 10. táblázat: A többlépcsıs mtavétel elıye és hátráya Hátráya Potatlaabb, korlátozott az eredméyek értelmezése; Nehéz alkalmaz Összefoglalva a többlépcsıs mtavétel legfotosabb tudvalót, elmodható, hogy egy olya techkára va szó, amely bzoyos feltételek teljesülése eseté [em áll redelkezésre a sokaság elemek mtavétel kerete, csak azok csoportjat smerjük] olcsó és hatékoy terepmukát tesz lehetıvé. Ugyaakkor potatlaabb, mt az egyszerő véltetle mta, az eredméyek értelmezése korlátozott és léyegese boyolultabb a végrehajtása. Összehasolítva a csoportos és a többlépcsıs mtavétel techkákat megállapítható, hogy mdkét módszer megfelelı választás, ameybe em áll redelkezésre a sokaság elemek mtavétel kerete, de potatla eredméyeket adak, amelyek értelmezése korlátokba ütközk. A csoportos mta akkor célravezetı, ha az elsı lépésbe kalakított csoportok heterogéek és ezért egyszerő az alkalmazása elletétbe a többlépcsıs mtavétellel, amely végrehajtása boyolult, de akkor s alkalmazható, ameybe a kduló csoportok homogéek. 4

26 IRODALOMJEGYZÉK [1] BERCZINÉ J. J. [1996]: Packutatás a gyakorlatba, Co-ex Trag, Budapest [] BERECZKINÉ F. E. HAVRILÓ A. MARIEN A, - MOLNÁR L. PISKÓTI I. SCHUPLER H. [007]: Marketgkutatás a levélposta szolgáltatásról, Mskolc [3] BERNÁTH A. JUHÁSZ A. MOLNÁR L. SZIVÓS J. [007]: Packutatás a hulladékkezelés közszolgáltatásról, Mskolc [4] BERNSTEIN, N. S. [1946]: Theory of Probabltes [5] FREEDMAN, D. PISANI, R. PURVES, R. [005]: Statsztka Statsztka módszerek a társadalomkutatásba, Typotex Kadó, Budapest [6] HOEFFDING, W. [1963]: Probablty Iequaltes for Sums of Bouded Radom Varables, Joural of the Amerca Statstcal Assocato, Alexadra [7] HUNYADI L. MUNDRUCZÓ GY. VITA L. [1997]: Statsztka, Aula Kadó, Budapest [8] HUNYADI L. VITA L. [00]: Statsztka közgazdászokak, Közpot Statsztka Hvatal, Budapest [9] KERÉKGYÁRTÓ GY.-NÉ MUNDRUCZÓ GY. SUGÁR A. [001]: Statsztka módszerek és alkalmazásuk a gazdaság, üzlet elemzésekbe, Aula Kadó, Budapest [10] KETSKEMÉTY L. IZSÓ L. [005]: Bevezetés az SPSS programredszerbe, ELTE Eötvös Kadó, Budapest [11] KORPÁS A. [1996]: Általáos statsztka I-II., Nemzet Taköyvkadó, Budapest [1] KOTLER, P. [00]: Marketg meedzsmet, KJK-KERSZÖV Jog és Üzlet Kadó, Budapest [13] KÖVES P. PÁRNICZKY G. [1975]: Általáos statsztka. Közgazdaság és Jog Köyvkadó, Budapest. [14] LEHOTA J. [001]: Marketgkutatás az agrárgazdaságba, Mezıgazda Kadó, Budapest [15] LUKÁCS O. [00]: Matematka statsztka. Mőszak Köyvkadó, Budapest. [16] MALHOTRA, N. K. [00]: Marketgkutatás, KJK-KERSZÖV Jog és Üzlet Kadó, Budapest [17] MOLNÁR L. [007]: A dvzív és agglomeratív rétegzés elmélete és gyakorlata, mcrocad 007 Iteratoal Scetfc Coferece, Koferecakadváy, Mskolc [18] MOLNÁR L. [006]: Az optmáls mtaagyság a kapcsolódó költségek és bevételek relácójába, Koferecakadváy, Mskolc [19] SÁNDORNÉ SZ. J. [1989]: A packutatás elmélete és módszertaa, Taköyvkadó, Budapest [0] SÁNDORNÉ SZ. J. [1978]: A packutatás kézköyve, Közgazdaság és Jog Köyvkadó, Budapest [1] SCIPIONE, P. A. [1994]: Packutatás, Sprger Verlag, Budapest [] SZABÓ L. [001]: A vállalat packutatás gyakorlata, Perfekt Kadó, Budapest [3] VERES Z. HOFFMANN M. KOZÁK Á. [006]: Bevezetés a packutatásba, Akadéma Kadó, Budapest, Budapest [4] VERES Z. [005]: Szolgáltatásmarketg, KJK-KERSZÖV Kadó, Budapest 5

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

STATISZTIKA II. kötet

STATISZTIKA II. kötet Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy

Részletesebben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben Mûhely Huyad László kaddátus, egyetem taár, a Statsztka Szemle főszerkesztője A heteroszkedasztctásról egyszerûbbe E-mal: laszlo.huyad@ksh.hu A heteroszkedasztctás az ökoometra modellezés egyk kulcsfogalma,

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

AZ IGÉNY SZERINTI TÖMEGGYÁRTÁS KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI PROBLÉMÁINAK MEGOLDÁSA MÓDOSÍTOTT ÚJSÁGÁRUS MODELL SEGÍTSÉGÉVEL

AZ IGÉNY SZERINTI TÖMEGGYÁRTÁS KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI PROBLÉMÁINAK MEGOLDÁSA MÓDOSÍTOTT ÚJSÁGÁRUS MODELL SEGÍTSÉGÉVEL MAGYAR TUDOMÁNY NAPJA DOKTORANDUSZOK FÓRUMA Mskolc Egyetem, 2006. ovember 9. AZ IGÉNY SZERINTI TÖMEGGYÁRTÁS KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI PROBLÉMÁINAK MEGOLDÁSA MÓDOSÍTOTT ÚJSÁGÁRUS MODELL SEGÍTSÉGÉVEL Mleff Péter,

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom

Részletesebben

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 28 dszkrét valószíőség változókra X(ω)=c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(X=c)=1. X akkor 1, ha egy adott,

Részletesebben

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre

Részletesebben

KTK. Dr. Herman Sándor Dr. Rédey Katalin. Statisztika I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM. Közgazdaságtudományi Kar. Alapítva: 1970

KTK. Dr. Herman Sándor Dr. Rédey Katalin. Statisztika I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM. Közgazdaságtudományi Kar. Alapítva: 1970 Dr. Herma Sádor Dr. Rédey Katal Statsztka I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM KTK Közgazdaságtudomáy Kar Alapítva: 97 Mde jog fetartva. Jele köyvet vagy aak részletet a szerző egedélye élkül bármlye formába vagy

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai

Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai Budapest Műszak és Gazdaságtudomáy Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudomáy Kar Üzlet Tudomáyok Itézet Meedzsmet és Vállalatgazdaságta Taszék Dr. Tóth Zsuzsaa Eszter Dr. Jóás Tamás Erde Jáos Gazdaságstatsztka

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

A SOKASÁGI ARÁNY MEGHATÁROZÁSÁRA IRÁNYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS MINTÁK ESETÉN LOLBERT TAMÁS 1

A SOKASÁGI ARÁNY MEGHATÁROZÁSÁRA IRÁNYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS MINTÁK ESETÉN LOLBERT TAMÁS 1 ÓDSZERTAI TAULÁYOK A SOKASÁGI ARÁY EGHATÁROZÁSÁRA IRÁYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS ITÁK ESETÉ LOLBERT TAÁS 1 A ckk ő célja aak vzsgálata, hogy az elleőrzés gyakorlatba széles körbe haszált

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

INNOVÁCIÓ. Eszközök, környezet, Fejlesztési ötletek, variációs paraméterek. Kísérletterv kidolgozás. Konstrukciós elvárások megoldási ötletek

INNOVÁCIÓ. Eszközök, környezet, Fejlesztési ötletek, variációs paraméterek. Kísérletterv kidolgozás. Konstrukciós elvárások megoldási ötletek Termékjellemzők optmalzálásáál haszálatos formácós módszerta 1 Bevezetés Koczor Zoltá, Némethé Erdőd Katal, Kertész Zoltá, Szecz Péter Óbuda Egyetem, RKK, Mőségráyítás és Techológa Szakcsoport Napjak aktuáls

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. eg. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma Statsztka Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4 010-011-es taév II félév Statsztka alapfogalmak Oktató: Dr Csáfor Hajalka főskola doces Vállalkozás-gazdaságta Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka alapfogalmak

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+ I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás:

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás

Számítógépes döntéstámogatás Pao Egyetem Műszak Iformatka Kar Vllamosmérök és Iformácós Redszerek aszék Számítógépes dötéstámogatás Előadás vázlatok Dr. Kozma György Veszprém, 0/03 Számítógépes dötéstámogatás tematka, 0 ematka. Leíró

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

Befektetett munka. Pontosság. Intuícióra, tapasztalatra épít. Intuitív Analóg Parametrikus Analitikus MI alapú

Befektetett munka. Pontosság. Intuícióra, tapasztalatra épít. Intuitív Analóg Parametrikus Analitikus MI alapú ..4. Óbuda Egyetem ák Doát Gépész és ztoságtechka Mérök Kar yagtudomáy és Gyártástechológa Itézet Termelés olyamatok II. Költségbecslés Dr. Mkó alázs mko.balazs@bgk.u-obuda.hu z dı- és költségbecslés eladata

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Bevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok

Bevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok Bevezetés a hpotézs vzsgálatba Lásd előadás ayagát. Kétoldal és egyoldal hpotézsek Hpotézsvzsgálatok Ebbe a ejezetbe egyajta határozókulcsot szereték ad a hpotézsvzsgálatba haszált próbákhoz. Először dötsük

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás

Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás Matemata statszta elıadás III. éves elemzı szaosoa 009/00. élév. elıadás Tapasztalat eloszlás Mde meggyeléshez (,,, ) / súlyt redel. Valószíőségeloszlás! Mtaátlag éppe ee az eloszlása a várható értée.

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

kiértékelésének technikája

kiértékelésének technikája 1 H NMR titrálások felvételéek és kiértékeléséek techikája Midazokak, akik elıször próbálkozak NMR titrálásokkal. Készítette: Dr. Lázár Istvá DE Szervetle és Aalitikai Kémiai Taszék Debrece, 2006. jauár

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Hajdúnánás Városi Önkormányzat Polgármesteri Hivatal

Hajdúnánás Városi Önkormányzat Polgármesteri Hivatal Hajdúáás Város Ökormáyzat Polgármester Hvatal Szervezetfejlesztés taulmáy II. kötet 2009. ovember Készítette: Smero Cosultg Kft. A projekt az Európa Uó támogatásával az Európa Szocáls Alap társfaszírozásával

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

ξ i = i-ik mérés valószínségi változója

ξ i = i-ik mérés valószínségi változója EGYENESILLESZTÉS: A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE Kíérleteket elvégeztük. Dolgozzuk fel az adatokat! Cél: mért változók (T, p, I, U ) között kapcolat felderítée. 1. zóródá dagram {x, y } ábra. kvattatív

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

RUGÓTERHELÉSŰ BIZTONSÁGI SZELEP MŰKÖDÉSÉNEK ELMÉLETI ÉS KÍSÉRLETI VIZSGÁLATA

RUGÓTERHELÉSŰ BIZTONSÁGI SZELEP MŰKÖDÉSÉNEK ELMÉLETI ÉS KÍSÉRLETI VIZSGÁLATA MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR RUGÓTERHELÉSŰ BIZTONSÁGI SZELEP MŰKÖDÉSÉNEK ELMÉLETI ÉS KÍSÉRLETI VIZSGÁLATA PhD ÉRTEKEZÉS KÉSZÍTETTE: SIMÉNFALVI ZOLTÁN OKLEVELES GÉPÉSZMÉRNÖK GÉPÉSZMÉRNÖKI TUDOMÁNYOK

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Egyszerő kémiai számítások

Egyszerő kémiai számítások Egyszerő kéiai száítások z egyes fizikai, illetve kéiai eyiségek közötti összefüggéseket éréssel állapítjuk eg. hhoz, hogy egy eyiséget éri tudjuk, a eyiségek valaely rögzített értékét (értékegység) kell

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA. (Belső használatra)

BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA. (Belső használatra) BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA (Belső haszálatra) TARTALOMJEGYZÉK. Statsztka alapfogalmak..... Sokaság...4.2. Ismérvek és mérés skálák...6.3. Statsztka sorok...7 2. SPSS alapfogalmak...9 3. Alapvető statsztka

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Óbudai Egyetem. Doktori (PhD) értekezés. Mamdani-típusú következtetési rendszeren alapuló kockázatkiértékelő módszerek optimalizálása

Óbudai Egyetem. Doktori (PhD) értekezés. Mamdani-típusú következtetési rendszeren alapuló kockázatkiértékelő módszerek optimalizálása Óbuda Egyetem Dotor (PhD) érteezés Mamda-típusú öveteztetés redszere alapuló ocázatértéelő módszere optmalzálása Tóthé Laufer Edt Témavezető: Rudas Imre, DSc Taács Márta, PhD Alalmazott Iformata és Alalmazott

Részletesebben