1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. A valószínűségszámítás és a statisztika tárgya. Cél

Átírás

1 Valószíűségszámítás és statsztka előadás fo. BSC/B-C szakosokak 1. előadás szeptember előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíűségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíűségek kszámítása Irodalom Jegyzetek Barót-Bogáré-Fejes Tóth-Mogyoród: Valószíűségszámítás jegyzet programozó szakos hallgatókak Matematka statsztka jegyzet programozó matematkus hallgatókak Taköyvek Prékopa: Valószíűségelmélet Solt: Valószíűségszámítás Bolla - Kráml: Statsztka következtetések elmélete M. Baro: Probablty ad Statstcs for Computer Scetsts Példatárak Bogáré-Mogyoród-Prékopa-Réy-Szász: Valószíűségszámítás feladatgyűjteméy Arató Mklós, Prokaj Vlmos és Zemplé Adrás: Bevezetés a valószíűségszámításba és alkalmazásaba: példákkal, szmulácókkal (elektrokus jegyzet) Mór-Szedl-Zemplé: Matematka statsztka példatár Egyéb segédayagok Taszék jegyzetek (Csszár Vllő, Backhausz Áges) Ez az előadás-vázlat Számokérés Gyakorlatok gyakorlat jegy: csoportokét zh-k alapjá Vzsga: írásbel, később egyeztetedő dőpotba, gyakorlat alkalmazásokra kocetrálva haszálhatak képlettárat ( cheat-sheet ) Lehet max 20% vzsgapotot szerez az előadásoko s (írásba, vllámkérdések megválaszolásával) kb 8 lye alkalom lesz Előadások ayaga: zemple.elte.hu/okt.htm Cél Valószíűségszámítás és statsztka alapjaak smertetése Feladatmegoldás készség kalakítása Alkalmazás lehetőségek bemutatása Véletle jeleségek modellezése Előrejelzés Dötés (előkészítés) Mote Carlo módszerek Sztochasztkus folyamatok eleme A valószíűségszámítás és a statsztka tárgya Példa véletle jeleség modellezésére: Valószíűségszámítás kérdés: Számítógépes vírus az egyes fle-okat 0,2 valószíűséggel fertőz meg. M a valószíűsége, hogy 50-ből pot 15 lesz fertőzött? Statsztka kérdés: Ha 15 fle lett fertőzött, elfogadható-e az a feltételezés, hogy a fertőzés valószíűség p=0,2? Tovább példák: Adatok elemzése Program futás dejéek becslése Processzorok összehasolítása 1

2 Véletle tömegjeleségek Ismételhető/agy számba végbemeő eseméyek (például: X típusú laptop akku mey deg működőképes) Véletle: az smert feltételredszer em határozza meg egyértelműe az eredméyt (pl. kockadobás). Nem s érdemes determsztkus modellel kísérletez, mert túl boyolult lee. Valószíűségszámítás helye a tudomáyok között Matematka tudomáy, mert precíze megfogalmazott axómáxra épül. Gyakorlat alkalmazása: statsztka következtetések levoása (pl.: ha egy érmével 1000 dobásból 550 fej jött k, akkor 99.9% valószíűséggel állítható, hogy az érme em szabályos). Modellezés Nem mdegy, hogy mlye valószíűség modellt haszáluk: úgy kell megválaszta, hogy mél potosabba leírja a vzsgáladó jeleséget. Tovább szempotok: Egyszerűség Iterpretálhatóság Törtéet áttektés 1. Első smert feladat 1494-ből: játék dő előtt abbahagyása eseté hogya osztozzaak? Helyes megoldás több, mt 100 évvel később: Pascal ( ), Fermat ( ) Köye adható szmulácós megoldás (precíz számítás a gyakorlato) Cardao (1540 körül) köyvet írt a kockajátékokhoz kapcsolódó valószíűségszámítás kérdésekről Törtéet áttektés 2. de Wtt, Halley (1671): életjáradék-számítás valószíűség alapo Jacob Beroull (1713): Ars Cojectad (agy számok törvéye) XVIII-XIX. sz: Movre, Bayes, Gauss, Posso Buffo: geometra valószíűség bevezetése paradoxook XIX.sz: Csebsev, Markov, Ljapuov Törtéet áttektés 3. Axomatzálás: Kolmogorov (1933) Moder alkalmazások: Iformácóelmélet (Shao) Játékelmélet (Neuma) Matematka statsztka (Fsher) Sztochasztkus folyamatok Magyar tudósok: Jordá Károly ( ) Réy Alfréd ( ) 2

3 Alapfogalmak Eseméytér Kísérlet egy lehetséges kmeetele: elem eseméy, jelölése ω. Elem eseméyek összessége: eseméytér, Ω. Ω részhalmaza: eseméyek (A,B,C,...). Eseméy akkor következk be, ha az őt alkotó elem eseméyek valamelyke bekövetkezk. Példák Kockadobás: Ω={1,2,,6}. Ha az A eseméy: páros számot dobtuk, akkor A={2,4,6}. Érmét kétszer feldobva: Ω={II,IF,FI,FF} A={II,IF} az az eseméy, hogy az első dobás írás. Érmét addg dobuk, míg fejet em kapuk. Ω={F,IF,IIF,...,ω } ahol ω =III. (azaz mde dobás írás) Eseméyek Specáls eseméyek: Ω (bztos eseméy) (lehetetle eseméy) Az eseméyek összessége: A (halmazredszer Ω részhalmazaból) Műveletek eseméyekkel: szokásos logka műveletek = halmazműveletek Műveletek eseméyekkel AB: vagy A vagy B bekövetkezk (az s lehet, hogy mdkettő) AB: A és B s bekövetkezk A eseméy elletettje: A Tulajdoságok Példák A \ B A B A B A B (De Morga) A A Kockadobás: A={páros számot dobuk} B={legalább 3-ast dobuk} AB={4,6} AB={2,3,4,5,6} A\B={2} A={1,3,5} 3

4 Valószíűség Szemléletes megfelelője: relatív gyakorság. Ha egymástól függetleül, azoos körülméyek között végrehajtott kísérletből az adott A eseméy k-szor következett be, akkor a relatív gyakorság k/. Nagy -re a relatív gyakorság egy fx szám körül gadozk: ezt evezzük az A valószíűségéek. Szmulácók (appletek): Kocka-kísérlet A valószíűség Jele: A relatív gyakorság tulajdoságaból: Nemegatív: mde A-ra Egymást kzáró eseméyekre, azaz, ha : A (addtvtás) Ω)=1 (Ω, A,P): valószíűség mező A B 0 Tulajdoságok 1. Addtvtás eseméyre: ha A 1, A 2,..., A párokét kzáró eseméyek, akkor P A A... A ) A ) A )... A ) ( Bzoyítás: dukcóval. )=0. Bzoyítás: Ω= Ω felbotásból és az addtvtásból Példa: páros számot dobuk)= =P{2,4,6}=1/6+1/6+1/6=1/2 Tulajdoságok 2. A \ A Bzoyítás: A= (A (A\ felbotásból és az addtvtásból A A Bzoyítás: AB= B (A\ felbotásból, az addtvtásból és az előző tulajdoságból. Példa: Ha egy redszer hétfő 0,7 kedde pedg 0,5 valószíűséggel hbásodk meg, akkor ebből még em adható meg a hétfő vagy kedde lesz meghbásodás). De ha a mdkét ap meghbásodás vszge 0,35, akkor lesz hba valamelyk ap)=0,7+0,5-0,35=0,85. Eseméyek uójáak valószíűsége A A Példa: Magyar kártyacsomagból kétszer húzuk vsszatevéssel. M a valószíűsége, hogy húzuk prosat? A: első pros, B: másodk pros ==1/4, A=1/16 Tehát A=7/16 A B C) C) A AC) B C) A B C) Szta (Pocaré) formula Képlet az általáos esetre: 1 A A... A ) ( 1 S ahol S ( ) ) 1 ( Aj A 1 j2 1 j1 j2... j az téyezős metszetek valószíűségeek összege. P ( )... A ) j 4

5 Kolmogorov-féle valószíűség mező (Ω, A,P): Kolmogorov-féle valószíűség mező, ha Ω emüres halmaz A az Ω részhalmazaak σ-algebrája (megszámlálható uóra, komplemeter képzésre zárt, Ω bee va) P : A [0,1] halmazfüggvéy (valószíűség), melyre 1. P (Ω)=1 2. Teljesül a σ-addtvtás: ha A 1, A 2,..., párokét kzáró eseméyek, akkor P A A...) A ) A )... ( A valószíűség tovább tulajdosága A (Kolmogorov-féle) valószíűség végese s addtív: ha A 1, A 2,..., A párokét kzáró eseméyek, akkor A1 A2... A ) A1 ) A2 )... A ) Bzoyítás. A +1 = A +2 = = választással alkalmazzuk a σ-addtvtást. Tehát a korábba belátott tulajdoságok a Kolmogorov-féle valószíűség mezőre s érvéyesek. Véges valószíűség mező Ω={ω 1, ω 2,,ω }, A= P (Ω). Jelölés: p =P (ω ). p 1 1 az addtvtásból. ) ) 1 : A ) : A Azaz a p emegatív, 1 összegű számok meghatározzák a valószíűséget. p Klasszkus valószíűség mező 1 p =1/ mde -re (azoos valószíűségűek az elem eseméyek). k Ekkor ahol k az A elemszáma, pedg az összes esetszám. Másképpe: =kedvező esetek száma/ összes esetszám. Vsszatevéses mtavétel N termék, melyből M selejtes elemű mta vsszatevéssel A: potosa k selejtes va a mtába k k (k=0,,) M M 1 k N N azaz a valószíűség kfejezhető a p=m/n selejtaráy segítségével: p k p 1 k k Mtavétel Vsszatevés élkül mtavétel N termék, melyből M selejtes elemű mta vsszatevés élkül A: potosa k selejtes va a mtába (k=0,,) Mtavétel M N M k k P ( N 5

6 Megszámlálható valószíűség mező Ω={ω 1, ω 2,,ω, }, A= P (Ω). Jelölés: p =P (ω ), valószíűségeloszlás: p 0, az összegük 1. A σ-addtvtás matt tetszőleges A eseméyre megy a véges esetre látott számítás: p : A ) : A Példa: Háyadkra dobjuk az első fejet egy szabályos érmével? p =1/2 (=1,2, ) Feltételes valószíűség 1. Az A eseméy valószíűségét keressük. Tudjuk, hogy B eseméy bekövetkezett. A relatív gyakorságokkal: csak azokat a kísérleteket ézzük, amelyekbe B bekövetkezett. Eze részsorozatba az A relatív gyakorsága: r AB / r B Feltételes valószíűség 2. Megfelelője a valószíűségekre: A A az A eseméy B-re voatkozó feltételes valószíűsége (feltétel: >0). Példa: kockadobás. A={páros számot dobuk} B={3-ál agyobbat dobtuk} A =2/3. Eseméyek függetlesége Ha a B eseméy bekövetkezése em befolyásolja az A valószíűségét, azaz A =, akkor azt modjuk, hogy az A és B függetleek. Ez így em deáls defícó (em szmmetrkus, P (>0 kell hozzá), ezért Defícó. Az A és B eseméyek függetleek, ha A=. Példák Húzuk egy lapot egy magyarkártyacsomagból. A: pros B: ász. P (=1/4, P (=1/8, P (A=1/32, tehát függetleek. A függetleség agyo rtka azoos kísérletből meghatározott eseméyekél! Tpkus eset függetleségre: A az első, B a másodk kísérlet eredméye. Tulajdoságok Ha A és B dszjuktak, akkor csak trváls (P (=0 vagy P (=0) esetbe függetleek. Ha A és B függetleek, akkor komplemeterek s függetleek. Ömaguktól csak a trváls eseméyek függetleek. A B eseté csak akkor függetleek, ha legalább az egyk trváls. 6