Nagypontosságú aritmetika

Átírás

1 Nagypotosságú artmetka Nagypotosságú artmetka I. Egész artmetka Számok ábrázolása: komplemes ábrázolás (egatív számok így agyo sokjegyűek) előjel + számjegyek + hossz + számredszer (tömb vagy szöveg): x = x 0 + x S + x S x S A műveletekél az előjelet külö kezeljük, a műveleteket vssza- vezetjük poztív számokkal végzett műveletekre.. Hosszú számok összeadása ((z 0,...,z + )=(x 0,...,x )+(y 0,...,y )) a rövdebb szám hosszág összeadás, majd csak átvtel számolás a rövdebb számot kegészítjük 0-kkal z =(x +y +c - ) mod S: c =(x +y +c - ) dv S (=0,...,) z + =c. Hosszú számok kvoása ((z 0,...,z )=(x 0,...,x )-(y 0,...,y )) z =(x y +c - ) mod S: c =(x y +c - ) dv S (=0,...,) 3. Hosszú számok szorzása ((z 0,...,z +m+ )=(x 0,...,x )*(y 0,...,y m )) r,j =(x *y j +c -,j ) mod S: c,j =(x *y j +c -,j ) dv S r +,j =c,j z k = ( r, j + d k-) mod S: z k = ( r, j + d k-) dv S + j=k + j=k vagy azoal az eredméyhez hozzáad (sok átvtel lehet) vagy eredméy szert sorredbe számol: z k = ( x * y j + d k- ) mod S: z k = ( x * y j + d k-) dv S +j=k + j=k 4. Felezéses szorzás algortmus kettes számredszerhez A ha B A * B * A * B / ha B pá ros A A * B ha B pá ratla 5. Felezéses hatváyozás algortmus kettes számredszerhez A ha B A^B A * A^B / ha B pá ros A * A^B ha B pá ratla

2 Nagypotosságú artmetka 6. Osztás kvoással (z:=x: h:=0: zły - (h:=h+: z:=z y)) eltolással és kvoással (z:=x: v:=y*s K : h:=0 K-szor (h:=h*s: złv (h:=h+: z:=z v) v:=v/s)) háyados becslésével, vsszavezetés "+-jegyű osztása -jegyűvel" esetre: (u 0,u,...u + )/(v 0,...,v ) a H háyados Q becslése a következő (vs/ eseté): Q: Su u, így Q=H vagy H+ vagy H+ v Egy gyors elleőrzés lehetőség: v - Q>(Su + +u Qv )*S+u - Q:=Q (esetleg kétszer) Ha még mdg em jó, akkor teljes elleőrzés Osztás(U(),V(),H): Ha U(N+)=V(N) akkor Q:=S- külöbe Q:=(S*U(N+)+U(N))/V(N) Cklus amíg V(N-)*Q>(S*U(N+)+U(N)-Q*V(N))*S+U(N-) Q:=Q- Cklus vége W():=V()*Q U():=U()-W() Ha U()<0 akkor U():=U()+V(): Q:=Q- H:=Q Eljárás vége. 7. Szorzás, osztás alapszámmal, alapszámhatváyal (léptetés) 8. Növelés, csökketés -gyel (átvtelszámítás amíg kell) 9. Relácók (hossz felhaszálása, azoos hosszál lexkografkusa) 0. Recprok számítás (X=/A ( - /A), x + =*x A*x, terácó, >X 0 *A kovergeca, X 0 *A>/ helyes jegyek száma duplázódk) Recprok([a,...,a ]): Ha N= akkor Recprok:=[0] külöbe [c 0,...,c / ]:=Recprok([a,...,a / ]) [d,...,d * ]:=[c 0,...,c / ]* 3*/ - [c 0,...,c / ] *[a,...,a ] [a 0,...,a ]:=[d,...,d + ] Recprok:=[a 0,...,a ] Eljárás vége.

3 Nagypotosságú artmetka II. Polomartmetka (agypotosságú artmetka átvtel élkül). Helyettesítés érték Px 0 a x Horer-elredezés: P(x)=a 0 +x*(a +x*(...+x*a )...). Osztás 0 m j0 a x b x j j a h m : A A B x m : * * h bm m (a :=0: (j=..m: a j :=a j b m j *h m ) ) 3. Dervált polom ( P( x) = a x, P k k x P x vagy 0? P k k j x ), azaz a j * a k j =0.. m a x + a-x ax + a0 = 0 K. derváltja: - - k -k- - ( - )..( - k + ) a x + ( - )..( - k) a x k( k - )..* a = 0, k ezért c k 0 =!, c k c k k = * + k 0 k, a = a c k III. Közelítések. A: x : * x x B: Pell-egyelet: P N*Q =4 végtele sok megoldása va, ha N em égyzetszám. N= eseté: P Ha x alakú, akkor x Q : * x szté megoldása a Pell-egyeletek. P P x P * Q Q P lm, így pl. P 0 =676, Q 0 =4756 eseté 7 lépés alatt az eredméy jegyre lesz Q potos. (Jó P 0 =6, Q 0 =4 s.) k 3

4 Nagypotosságú artmetka (P 0,Q 0 ) megkeresése: (P,Q):=(,) Cklus amíg P -*Q 4 Ha P -*Q <4 akkor P:=P+ külöbe Q:=Q+ Cklus vége Tehát csak egész számokkal kell dolgoz, szorzás és kvoás műveletre va szükség.. e 3. t e lm t0 t * *... 0! Ä evezetes törtek (56/83.6, /7 > p > 3/7) Ä * * * * * *... * 3* 3* 5* 5* 7*... Ä kör közelítése szabályos sokszögekkel 3 - Walls formula Ä * arctg * arctg * arctg 39 arctg 3 x 3 5 x 5 7 x 7 x x... IV. Racoáls artmetka. Ábrázolás Ä előjel + számláló számjegye + számláló hossza + evező számjegye + evező hossza + számredszer (tömb vagy szöveg):. Összeadás, kvoás Us V s U V 3. szorzás, osztás U U s V * V s U V D V U s * s * D, ahol D=lko(U U,V ) * D V U D U D s V * s D U V s, ahol D =lko(u s,v ), D =lko(u,v s ) * D 4. Legagyobb közös osztó, alkalmazása agyságred csökketésre Ä eukldesz algortmus Ä kvoásos algortmus Ä bárs algortmus 4

5 Nagypotosságú artmetka 5. Racoáls fxpotos valós koverzó (osztás törthelyértékű eredméyekre s, előre megadott maxmáls potossággal) 6. Kétszeres potosságú műveletek alkalmazása 7. Közelítés túlcsordulás eseté V. Fxpotos valós artmetka. Ábrázolás. Műveletek mt az egész + tzedespot helye mt az egész, de egatív dexek s vaak összeadásál, kvoásál a külöböző hosszúságú törtrészek esete osztás adott hosszúságú törtrészre lebegőpotossá alakítás, racoálssá alakítás, közelítés racoálssal VI. Lebegőpotos artmetka. Ábrázolás (ormalzált) egész matssza, egész karaktersztka, matssza alapszáma. Műveletek (utáuk ormalzálás) összeadás, kvoás: azoos ktevőre hozás szorzás, osztás (K K eseté: K:=K : A:=A +A /S K K ) ormalzálás (kerekítés) fxpotossá alakítás VII. Számredszerek között koverzó (A alapúból B alapúba) 0. Általáos feladat: (u,...u u 0,u -,...u -m ) A (v p,...v v 0,v -,...v q ) B ahol u * A v * B m p jq j j Alkalmazzuk egy közbülső számredszert, ambe az egyk szumma kszámolható! Kvétel: A=B k, ahol k vagy /k természetes szám.. Egész számok: B-vel osztás A alapúba (U A (u m,...u 0 ) B ) u 0 :=U mod B: U:=U dv B:.... Egész számok: A-val szorzás B alapúba ((u m,...u 0 ) A U B ) U:=u 0 +A*(u +A*(...)) 3. Törtek: B-vel szorzás A alapúba (U A (0,u -,...u -m ) B ) u - :=egészrész(u*b): U:=törtrész(U*B): Törtek: A-val osztás B alapúba ((0.u -,...u -m ) A U B ) 5

6 Nagypotosságú artmetka U:=((...+u - )/A+u - )/A 5. Vegyes alapú számredszerek (faktoráls, dő,...) 6. Negatív alapú, recprok alapú számredszerek 6

7 Nagypotosságú artmetka Kombatorka alkalmazások I. Az összes előállítása (backtrack és javítása, N,K vagy rekurzó). Varácók előállítása (smétléses, smétlés élkül). Permutácók előállítása (smétléses, smétlés élkül) 3. Kombácók előállítása (smétléses, smétlés élkül) 4. Permutácó rekurzíva: ha - elem összes permutácója kész, akkor szúrjuk be az.-et mde lehetséges helyre, mdegykbe! 5. Részhalmazok: megfeleltetés a részhalmazok és az N-jegyű bárs számok között. 6. Kompozícók (K db részhalmaz dszjukt uójakét előállítás): olya K-jegyű számok, ahol a számjegyek összege potosa N. 7. Partícók (max. N db em üres részhalmaz dszjukt uója) II. Az I. előállítása (N,K). Varácók előállítása (smétléses) I felírása K alapú számredszerbe. Permutácók előállítása (smétléses, smétlés élkül) Vegyük egy redező módszert! F:=0: K:=redezedő elemek száma A redező cklus belsejébe: F:=F*K+elmozdulás távolság: K:=K- Ezzel megkapjuk egy permutácó sorszámát (faktoráls számredszerbe felírt szám). Az. permutácó előállítása ezutá eek az ellekezőjével törték: K:= A cklusba: T:= mod K: := dv K: K:=K+: mozgatás T távolságra. Iverzós táblázat: a,...,a b,..,b, ahol b jeletse az.-től balra levő, ála agyobb elemek számát (ez pl. redezett vektor eseté csupa 0 elemet tartalmazó táblázat lesz, lletve egyetle, faktoráls számredszerbe felírt szám), ekkor egy permutácó előállítása: sorozat:=[n] cklus =N--től -g --esével belleszt(,b[]. helyre) cklus vége 3. Részhalmaz előállítása: az I szám bárs alakjáak meghatározása III. Egy véletle előállítása. Varácók előállítása (smétlés élkül, smétléses) varácó=kombácó+permutácó, lletve vsszatevéses mtavétel. Permutácók előállítása (smétlés élkül) Ä keverés véletle kválasztással Ä keverés véletle bellesztéssel 3. Kombácók előállítása (smétlés élkül) Ä kválogatás N elemből ( (K DB)/(N I+) valószíűséggel az I. elemet) 7

8 Nagypotosságú artmetka Ä kválogatás smeretle számú elemből (az új elemet K/(K+) valószíűséggel tesszük be egy véletle rég helyére) 4. Részhalmaz előállítása: N db dkátorváltozó előállítása 5. Kompozícó előállítása: N db [,K]-bel dszkrét egyeletes változó felhaszálása 6. Partícó előállítása: N- eleműből /N valószíűséggel tesszük mdegykbe, valamt /N valószíűséggel tesszük új részhalmazba. 8

9 Nagypotosságú artmetka Grafka a programozás yelvekbe I. Grafkus megjeleítés fázsa. Rajzelemlsta pásztakoverzó képpotpuffer dsplay vezérlő képeryő. Dsplay vezérlő: karakteres kép, lletve grafkus kártyák, paraméterezésük 3. Pascal: ItGraph, CloseGraph, RestoreCrtMode, DetectGraph II. Grafkus redszer felépítése. Utasítások tartalmazak mde paramétert. Grafkus állapottábla, Set..., Get...,... műveletek III. Ablaktechka (Turbo Pascal). Karakteres képeryő (Wdow). Grafkus képeryő (VewPort) IV. Elem grafka utasítások és haszálatuk (Turbo Pascal). Szövegmegjeleítés OutTextXY. Potrajzolás PutPxel V. Tovább grafka lehetöségek. Szakasz Le. Téglalap Bar, Rectagle 3. Kör Crcle 4. Ellpszs Ellpse 5. Körív Arc 6. Festés FloodFll Függvéyábrázolás I. -változós függvéyek. Elem megoldás. Képeryőre traszformálás 3. Képeryőre traszformálás azoos yújtás téyezővel 4. Képeryőre traszformálás azoos yújtás téyezővel, orgó helybehagyása 5. A potokak megfelelő magasságú téglalap rajzolása a kép aljától 6. A potokak megfelelő magasságú téglalap rajzolása az X-tegelytől 7. A rajzolt potok összekötése egyeessel 8. Közelítő görbe (K.-fokú polom a legksebb égyzetek módszerével). 9

10 Nagypotosságú artmetka 9. Közelítő görbe N+ pothoz létezk N.-fokú polom, am az összes poto átmegy: x x y j * x x j0 j 0. A rajzolt potok összekötése harmadfokú sple-al 3 k k, ahol k 0 y, S x y (=,..,) S x a x S x '' ' ' S x S x (=,..,-) '' S x S x (=,..,-) j ez így 4 smeretle, 4 egyelet, tehát kell még egyelet: S x s 0 ', S ' x s '' vagy S x, S '' x 0. Görbék paraméteres alakja f(x,y)=0 x(t)=f (t), y(t)=f (t). Bezer görbe 3. B-sple Bx t x * B t, By t y * B t, ahol B t Ezzel az. potak t=/-él va a legagyobb hatása. 4. A képeryő oszlopa szert potrajzolás t t * *. 0

11 Nagypotosságú artmetka II. -változós függvéyek 0. A másodk változóval dőbe követve az első változót.. Áryalatokkal (szíek, áryalatok, zebrakép két szíel). Sztvoalakkal (függőleges vagy vízsztes) Sztvoalvarácók: Ä lehesseek ferde sztvoaldarabok s Ä sztvoalak a rácspotoktól aráyos távolságra Ä a külöböző magasságú sztvoallal határolt területek festése, zebrakép 3. Potfelhővel 4. Pszeudoplasztkus kép (megvlágítás ráyból, ráyból, 4 ráyból) 5. Gradesmódszer 6. Áryékolt téglalapokkal 7. Függvéyhálós: N db Y-szert függvéy, tömör függvéy alatt terület N db Y- és N db X-szert függvéy, tömör függvéy alatt terület N db Y-szert függvéy, "lepel" N db Y-szert függvéy, "lepel" mde képeryőoszlopra számolva

12 Nagypotosságú artmetka Véletleszámok, véletle eseméyek I. Valószíűségszámítás alapfogalmak. Eseméy, elem eseméy. Gyakorság, relatív gyakorság, valószíűség (fotos tulajdosága: P(0)=0, P(I)=, 0P(A), P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB) ) 3. Eloszlás ( P ) véges, lletve végtele eseméyredszerre, eloszlásfüggvéy ( F( x) = P( x < x), F0, F), x sűrűségfüggvéy ( F ( x) = f ( z) dz ), függetleség (P(A B)=P(A), vagy P(AB)=P(A)*P(B)) + 4. Várható érték ( x P( x = x ), xf ( x) dx), M M M M szóráségyzet (D ) II. Véletleszámok előállítása. Követelméyek Ä mde lehetséges kmeetele előbb-utóbb bekövetkezze Ä az előzőekből e lehesse következtet a következőre Ä szokásos problémá: perodkus, lletve elfajulhat. Módszerek Ä Négyzetközép módszer, szorzatközép módszer Ä Leárs kogrueca módszer Ha x + ax +c (mod m), akkor m lesz a peródushossz, ha m= K, a=4x+, (c,m)= (és m prímosztó a -ek s prímosztó) leársra ez a maxmum. Ä Nemleárs kogruecamódszerek Ä Kombált módszerek (sorosa kapcsolt, párhuzamosa kapcsolt, vsszacsatolásos: összegük, kzáró vagy, egyk a másk számaból választ, a másk véletle tagjat helyettesít, zavarás, a másk tagjat kever,...) 3. A jóság elleőrzése (véletle számok, számjegyek sorozatára) Mt evezük véletleek: -egyeletes, K-egyeletes, Ą-egyeletes sorozatok X dmezós kockába esés relatív gyakorsága a kocka térfogatához. Ä K hoszúságú sorozataak gyakorsága (K=,,...) Ä egy szám (számjegy, számosztály) két előfordulása között hézagok vzsgálata Ä adott számmták gyakorsága Ä kombácók gyakorsága (Póker teszt: abcd,aabc,aabb,aaab,aaaa gyakorsága)

13 Nagypotosságú artmetka Ä futampróba: mooto szakaszok vzsgálata Ä széravzsgálat: azoos számjegyek sorozata Ä egyeletesség elleőrzés lleszkedés vzsgálattal Ä látváyos elleőrzés: véletle potok a képe 4. [0,) tervallumo egyeletes eloszlás: x x M = xf ( x) dx = x dx = = D x f x dx xf x dx x III. Véletleszámok programozás yelvekbe. Turbo Pascal: Radom, Radom(N) IV. Véletle eseméyek előállítása. eseméy, teljes eseméyredszer (P valószíűségű eseméy). eseméy, em kzáróak 3. eseméy, lehet, hogy egyk sem következk be V. Dszkrét valószíűség változók előállítása. Véges sok tagú (teljes eseméyredszer). Végtele sok tagú (véges sokra vsszavezetés) VI. Tapasztalat eloszlás készítése. Dszkrét: melyk érték háyszor fordul elő. Folytoos redezett mtára: f(x):=k/x, ha x k+ xx k ) VII. Specáls eloszlások előállítása (R egyeletes eloszlásúból). Bomáls eloszlás (háyszor következk be egy p valószíűségű eseméy kísérletből): M=p, D =p( p) p p p p x és ekkor ezek teljes eseméyredszert alkotak, vagy ha x p, és ekkor : 0, ha x p p R j. Geometra eloszlás (egy p valószíűségű eseméy első bekövetkezéséek sorszáma): M=/p, D =( p)/p p p p és ekkor ezek teljes eseméyredszert alkotak, vagy 0 3

14 Nagypotosságú artmetka l R belátható, hogy éppe p() valószíűséggel gaz, tehát l p l R : l p 3. Posso eloszlás(eseméy bekövetkezéséek gyakorsága): M=l, D =l stacoárus: dőpottól em, csak az dőtartamtól függ, utóhatásmetes: korább bekövetkezésszámtól függetle, rtka: 0 a valószíűsége, hogy egy kellőe rövd dő alatt kétszer s bekövetkezk. p e, felhaszálva dszkrét valószíűség változók előállításáak módszerét, olya -t! j j kell talál, amelyre: e R e, ehhez geeráljuk a következőket: j! j! j0 j0 T(0):=, T():=T(-)*l/, S(0):=T(0), S():=S(-)+T(), ekkor a keresett I-re gaz: S(I-) e l R < S(I) Más módszer: Képezzük az R, R R, R R R 3,... szorzatokat, amíg a szorzat ksebb em lesz, mt e -l, I tagú szorzat eseté I legye a Posso-eloszlású véletleszám! Expoecálsok összege, amíg agyobb em lesz -él. 4. Dszkrét egyeletes eloszlás (N lehetséges érték fordul elő) : * R 5. [A,B) tervallumo egyeletes eloszlás: M=(A+B)/, D =(B-A) / f x X:=(B A)*R+A 0, ha x A vagy x B, B A ha A x B 6. Normáls eloszlás (függetle valószíűség változók összege): M=0, D = m várható értékű, d szórású valószíűség változók összegéek eloszlása: d f x R ma stadard ormáls eloszláshoz tart. x m d d e R várható értéke /, szórása /, egyszerű lesz = eseté. N(m,d)=d*N(0,)+m 4

15 Nagypotosságú artmetka 7. Expoecáls (verz függvéy módszer): M=/l, D =/l eloszlásfüggvéye: F( x) = - e -mx, F(F - l R (x))=x képlet alapjá x: m mg x e mg x x x e l x mg x...ahol tudjuk, hogy R és R azoos eloszlású 8. eloszlás függetle, azoos eloszlású valószíűség változók égyzetösszege 9. F-eloszlás eloszlású valószíűség változók háyadosa 0. t-eloszlás ormáls és eloszlású valószíűség változó háyadosa 5

16 Nagypotosságú artmetka A kísérletkértékelés módszere I. Alapfogalmak. mta, mtaelem, mtaagyság, redezett mta. statsztka: mtatér R II. Megfgyelések. Mt fgyeljük meg? (függetle paraméterek). Mey paramétert fgyeljük meg? (: átlag, szórás, eloszlás, : y=f(x)?,...) 3. Mely paramétereket fgyeljük meg? (paraméterek ragsora) 4. Hogya válasszuk mtaelemeket, háy kísérletet végezzük? (mtavétel) 5. Glveko-tétele: függetle, azoos eloszlású (F eloszlásfüggvéyű) mtaelemekből képezett tapasztalat eloszlásfüggvéy valószíűséggel egyeletese tart az F eloszlásfüggvéyhez. III. A mtavétel módszere (mtaelemek függetleek, azoos eloszlásúak legyeek). egyszerű véletle mtavétel. többfokozatú mtavétel 3. sorozatos (szekvecáls, Wald-módszer) mtavétel 4. csoportos mtavétel Ä egylépéses (teljes csoportok) Ä kétlépéses (a kválasztott csoportokból választuk elemeket) 5. rácsmódszerek IV. Méréskértékelés (torzítatla, hatásos, kozsztes becslés). A várható érték mérőszáma: Átlag, medá (F(x)=0.5 megoldása), modus (leggyakorbb érték), p-kvatls (F(x)=p megoldása). A szóródás mérőszáma: szórás, szóráségyzet, átlagos abszolúteltérés, mtaterjedelem, korrgált tapasztalat szóráségyzet, szórás együttható (=szórás/átlag) 3. Kovaraca: cov X, Y Korrelácó: r X Y x M X * y M Y cov X, Y, D X * D Y Leárs regresszó: Y=aX+b ( y - ax + b) mmáls legye Nemleárs regresszó: Y=aX b : X 0 =l X, Y 0 =l Y Y 0 =l a + b X 0 Y=ae bx : Y =l Y Y =l a + b X Y=a/X: X 0 =/X Y=aX 0 6

17 Nagypotosságú artmetka 4. Kofdeca-tervallum (a keresett érték p valószíűséggel bee va), K M X t D X v, ahol t=t(p,n,f) úgy, hogy K M X t D X k Kv p f x dx K 5. Hpotézsvzsgálat k ullhpotézs statsztka próba: a ullhpotézs elfogadása vagy elutasítása ez egy függvéy, amely meghatároz egy [A,B] tervallumot, ambe a keresett érték p valószíűséggel esk. elsőfajú hba: elutasítjuk, de gaz másodfajú hba: elfogadjuk, de em gaz 6. Statsztka becslések Illeszkedés-vzsgálat: adott eloszlású-e a mta ( P(<x)=F(x) )? K s P K szabadság fokú c -eloszlású, P ha P =F(x ) F(x - ), s = az [x -, x )-ba esés relatív gyakorsága Homogetás-vzsgálat: két mta azoos eloszlású-e ( P(x<x)=P(h<x) )? s t K m m K szabadság fokú eloszlású, s t Függetleség-vzsgálat: két eseméyredszer függetle-e (K elemre) ( P(<x,<y))=P(<x)*P(<y) )? m s j Kp q j m szabadság fokú eloszlású Kp q j j tu j s m j K K ( )(m ) szabadság fokú eloszlású, ahol s j két t u j j eseméy együttes gyakorsága, t,u j pedg az egyk, lletve másk redszerbel eseméyek gyakorsága. 7

18 Nagypotosságú artmetka F próba: két ormáls eloszlású mta azoos szórású-e ( D()=D() )? * d F max, * d ( )( ) paraméterű F eloszlású (kétoldal próbáál az helyett a tört recproka szerepel) t próba: egy ormáls eloszlású mta várható értéke M ( M()=M )? két ormáls eloszlású mta várható értéke megegyezk-e ( M()=M() )? x M x M t d paraméterű t eloszlású * d u próba: ugyaaz, ha a szórások (D,D,D ) smertek (a statsztka ormáls eloszlású). x M u * d u x y D D V. Hbás adatok kszűrése. Hhetőségvzsgálat. Szélsőértékek elhagyása 3. Szóráso kívülek elhagyása ormáls eloszlású ormáls eloszlású 4. Mozgóátlagolás (azoos várható érték, szóráségyzet pedg K+-ed része az eredetek) 5. Dxo-próba: redezett mtából elhagyjuk-e az első értéket? x x r (=3..7 eseté) x x r x x3 (=..3 eseté) x x VI. Oszlop- és kördagramok. Álló oszlopdagram: képre traszformálás r r. Növekvő oszlopdagram: ormálás meet közbe 3. Időbe változó oszlopdagram: Ä új ablak Ä elölről kezdés törlés élkül Ä elölről kezdés előtörléssel Ä ablak eltolás 4. Kördagram: körívek + szakaszok + festés x x (=8..0 eseté) x x x x3 (=4..5 eseté) x x 8