Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet)

Átírás

1 Matematka statsztka elıadás III. éves elemzı szakosokak Zemplé Adrás 9. elıadásból részlet

2 Y közelítése függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység Y potos értékét pl. holap részvéy-árfolyam, vízállás, dıjárás. Va vszot formácók hozzá kapcsolódó meységrıl, ma értékek. Feladat: olya f 0 megtalálása, amelyre f 0 a lehetı legjobb 0 0 közelítése Y-ak. Matematkalag: f 0 a megoldása a m Y f szélsıérték-problémáak legksebb égyzetes becslés. Ha az együttes eloszlás smert em teljese reáls, de a megfgyelések alapjá közelíthetı, akkor megoldható a feladat. gyébkét közelítés: például Nadarajah módszerével hasoló a Parze-Roseblatt becsléshez. f

3 A várható érték optmumtulajdosága Állítás. A m a Y a feladat megoldása ay. Bzoyítás. Y-a Y -ay+a a szert derválva adódk, hogy valóba Y a mmumhely. A mmum értéke D Y. Ugyaígy: tetszıleges értéke eseté Y adja a mmumot, azaz általáosa Y a megoldás.

4 Közelítés Nadarajah módszerével h Yk r ˆ h k A Parze-Roseblatt tétel feltétele eseté ez kozsztes becslése az Y regresszóak.

5 Példa F Ay érmével dobtuk újra, amey fejet kaptuk érmével dobva. Csak azt tudjuk, hogy háy fejet kaptuk a másodk dobásál. Közelítsük eek segítségével az elsı dobás eredméyét. Például F0 esetre: P P F, F Az eredméyek: F, F4/3, F0/3. P F P F 0 0 P P

6 Optmum a leárs függvéyek körébe m a, b Y [ a + b] gyszerőbbe megoldható Nem kell az együttes eloszlás A megoldás derválással: Y [ a + b] Y + b + a + a Y b Y ab +

7 0 ] [ + + Y b a b a Y a 0 ] [ + + Y a b b a Y b a Y b b Y a a Y b b Y a a Y Y a Y Y a Y Y Y b

8 Az a+b egyees tulajdosága z a legksebb égyzetes eltérést adó a leárs függvéyek között a fet megoldás valóba mmum levezés: regresszós egyees Átmegy az,y poto Példa: Kockával dobuk, majd ha k az eredméy, az,,k cédulák közül húzuk egyet. Nem tudjuk a húzás eredméyét, csak a kockadobásét. Hogya tppeljük a húzott számra a legksebb égyzetes eltérést adó becslést keressük? h Kkk+/ az uverzálsa legjobb közelítés, tehát a legjobb leárs közelítés s.

9 eltér eltér z z eltér eltér z z - - 0

10 Leárs modell Y a +b+ε a magyarázó változó értéke, ε függetle, azoos eloszlású hba. ε 0, Dε σ, általába feltesszük, hogy ormáls eloszlású. a,b a becsüledı együtthatók ΣY -a +b m Megoldás: a y y, bˆ y ˆ a ˆ

11 Leárs modell Y a +b+ε a magyarázó változó értéke, ε függetle, azoos eloszlású hba. ε 0, Dε σ, általába feltesszük, hogy ormáls eloszlású. a,b a becsüledı együtthatók ΣY -a +b m Megoldás: a y y, bˆ y ˆ a ˆ

12 A becslések szórása σ D aˆ σ, Db ˆ + Az * potba elırejelzett érték aˆ * + bˆ és eek szórása σ + * A szórásbecslésél σ helyett aak becsült értékét haszáljuk: ˆ σ y a ˆ bˆ

13 Hpotézsvzsgálat/ H 0 :a0 tesztelése t-próbával: a t ˆ bbıl kofdeca tervallum s kapható a-ra b a y t ˆ

14 Hpotézsvzsgálat/ H 0 :b0 tesztelése t-próbával: b t ˆ bbıl kofdeca tervallum s kapható b-re b a y t ˆ

15 Szóródások Teljes gadozás: Rezduáls égyzetösszeg: y y y y y y b a y ˆ ˆ A megmagyarázott varabltás részaráya: y y b a y ˆ ˆ y y y y R éppe a tapasztalat korrelácós együttható égyzete

16 R0.56 R0.73 cpõméret cpõméret magasság R magasság R0.9 A regresszó vzsgálata cpõméret cpõméret magasság magasság

17 R magasság R magasság cpõméret cpõméret R magasság R magasság cpõméret cpõméret

18 z korr z korr A tapasztalat korrelácó vzsgálata z korr -0.8 z korr 0.94 Ige érzékey a kugró értékekre

19 Általáosított leárs modell Több magyarázó változót s bevohatuk a modellbe: Y β +ε ahol Y,ε hosszú vektorok, k-as mátr smert értékekbıl, β pedg k hosszú smeretle paramétervektor. Y β. A legksebb égyzetek módszere A megoldás: ε β ' ' Yβ ' Yβ ' ˆ ' ' Y '

20 A becslés tulajdosága Torzítatla Kovaracamátr: ' ' ˆ ˆ σ β β β β Ha ε ormáls eloszlású, akkor a legksebb égyzetes becslés egyúttal ML becslés s. Példák: leárs regresszó, szórásaalízs. ' ˆ ˆ σ β β β β

21 Hpotézsvzsgálat a leárs modellbe A vzsgált hpotézs: H 0 : βh ' 0 ahol H rk-as mátr r<k, raghr. A valószíőségháyados próba statsztka: F Y ˆ ' β ' Y ˆ β ' Y ˆ β ' Y ˆ ˆ ' Yβ ' Yβ ' ˆ β ' -k/r F a H 0 eseté F eloszlású r,-k szabadság fokkal. Akkor utasítjuk el H 0 t, ha F agy. '

22 Vegyes kapcsolat Nomálskálá és aráyskálá értelmezett smérv kapcsolata. Példák: Mukahely vs. fzetés Tursták emzetség vs. ap költésük Nem vs. magasság stb. Ábrázolás: potok osztályokét

23 Példa Moatsgehalt der Frma SY -tegely: aráyskálá mért smérv y-tegely: omáls skálá mért változó Az adatok eft-ba Ksegítı: 70,80,00,0,30,40 Adm. 0,50,60, 00,50,30,360,380 Vezetı: 80,300,450,50,600,750 Arbetstyp Hlfskraft Leter Adm TFt 006.Ja.

24 Vegyes kapcsolat szorosságáak mérıszáma: H Részátlag az -edk osztályra: : megfgyelések száma az -edk osztályba,...,k Vezetı: 466,67 TFt +,+ Adm.: 4,5 TFt Ksegítı: 06,67 TFt Fıátlag: 69 TFt. Négyzetösszegek az osztályokba: Vezetı: 33 Adm.: Sw, +, Ksegítı: 3933 Négyzetösszeg az osztályok között: S b H S b /S b + S w 0,58 S H0,763 b +,...+,, , k k

25 Szóráselemzés gy vagy több faktor külöbözı sztje mérük eredméyeket pl. termésátlagokat A kérdés: mely faktorok hatak z s leárs modell: Y β +ε, ahol 0- mátr.

26 gyszeres osztályozás gy faktor külöbözı sztje mérük. Y j a j +ε j a j a faktor j-edk sztjéek a hatása, j,...,k,,...,. ε j függetle, azoos, N0,σ eloszlású, N k. z s Y β +ε alakú. A ullhpotézs: a sztek cseek hatással, azaz a a... a k z s H 0 : βh ' 0 alakú, tehát F-próba végezhetı.

27 Az F-próba A H 0 mellett a csk csoportok között és csb csoporto belül szóráségyzetek háyadosa em túl agy és az eloszlása smert: MS csk MS csb -kss csk k-ss csb eloszlása F df dfcsk,df csb

28 Az F-eloszlás.500 A 0 és 5 szabadság fokokhoz tartozó F eloszlás sûrûségfüggvéye

29 Példa. csoport. csoport megfgyelés 6. megfgyelés megfgyelés Átlag 6 Négyzetösszeg Teljes átlag 4 Teljes égyzetösszeg 8

30 A szóráselemzés táblázata Forrás Szórások elemzése SS df MS F p Hatáscsk Hba csb

31 Mult-Faktor ANOVA gy tpkus kísérletbe em csak egyetle haem több faktort s fgyelembe kell ve. ze faktorok hatását kell elleırzés alatt tarta. Példa: két faktor esete. Y jm a j +ε jm a j az elsı faktor -edk és a másodk faktor j-edk sztjéek a hatása,,...,k, j,...,l, m,...,. ε jm függetle, azoos, N0,σ eloszlású. z s Y β +ε alakú.

32 Hpotézsek Va-e kölcsöhatás? kkor H 0 : cs kölcsöhatás, azaz a j a,...,k, j,...,l. a. j+ a.. Ha elfogadható, hogy cs kölcsöhatás, akkor vzsgálható, hogy az egyes faktorok hatak-e. Például az elsı faktorra:,...,k a. a.. zek s F-próbával vzsgálhatóak. 0 0

33 rıs kölcsöhatás hatás alacsoy szt közép szt magas szt.faktor

34 Gyege kölcsöhatás hatás alacsoy szt közép szt magas szt.faktor

35 Ncs kölcsöhatás hatás alacsoy szt közép szt magas szt.faktor