Geostatisztika I. Dr. Szabó Norbert Péter. BSc geográfus alapszak hallgatóinak

Átírás

1 Geostatsztka I. BSc geográfus alapszak hallgatóak Dr. Szabó Norbert Péter egyetem adjuktus Mskolc Egyetem Geofzka Itézet Taszék e-mal:

2 Ajálott rodalom Steer Ferec, 990. A geostatsztka alapja. Taköyvkadó, Budapest Lukács Ottó, 987. Matematka statsztka (Bolya köyvek). Műszak Köyvkadó, Budapest Ferec Steer, 997. Optmum methods statstcs. Akadéma Kadó, Budapest Edward H. Isaacs, R. Moha Srvastava, 989. A troducto to appled geostatstcs. Oford Uversty Press Szabó Norbert Péter, 006. Geoformatka szoftverfejlesztés. Oktatás segédlet Stoya Gsbert, 005. Matlab, frssített kadás. Typote Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

3 Mlye kérdésekre ad választ a geostatsztka? Isaaks ad Srvastava, 989 Mlye gyakra fordul elő egy bzoyos adat az adatredszerbe? Egy bzoyos érték alatt háy adat fordul elő? Hogya modellezhető matematkalag az adatok gyakorsága? M a legjellemzőbb érték a területe? Mlye mértékbe szórak az adatok? Hogya kezeljük a hbás adatokat? Hogya becsülhetjük be em mért potok értéket a több mérés smeretébe? Mlye kapcsolatba va egy bzoyos adat a többvel? Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

4 Mlye kérdésekre ad választ a geostatsztka? Isaaks ad Srvastava, 989 M az adatok együttes előfordulásáak a valószíűsége? Mutat-e kapcsolatot a két adatredszer vagy függetleek egymástól? Mlye erős az adatredszerek közt kapcsolat és m az előjele? Hogya írjuk le matematkalag ezt a függvéykapcsolatot és terpolálhatjuk az eredméyeket be em mért tartomáyokra? Hogya következtethetük az adatokból a földta modell jellemzőre? M a következtetés hbája? Sok adat eseté hogya osztályozhatjuk az adatokat? Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

5 Tematka Adatredszerek, hsztogramok és sűrűségmodellek A legjellemzőbb érték meghatározása Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése Statsztka becslések, becslések határeloszlása Statsztka próbák és lleszkedés-vzsgálatok A kovaraca és a korrelácó fogalma A leárs függés mérőszámáak meghatározása Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

6 . Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

7 Adatredszer ábrázolása számegyeese Ábrázoljuk adatak mdegykét rövd voalkét a számegyeese! Adatredszer: smételt radoaktív mérés azoos kőzetmtá, azoos műszerrel, azoos körülméyek között Megfgyelés: azoos dőtartam alatt külöböző számú részecskét érzékelt a műszer Steer, 990 Oka: atommagok bomlása sorá a kbocsájtott ɣ-részecskék száma azoos dő alatt em álladó Jeleség: a mért értékek egy jellemző érték (várható érték) körül szórak. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

8 Adatredszer ábrázolása számegyeese Tapasztalat: ha I az adott dő alatt mért beütésszámok középértéke, akkor ± I a statsztkus gadozás mértéke. A ± I/I relatív hba értéke I övelésével csökke, ezért a hba úgy csökkethető, hogy a megfgyelést hosszú dőre (agy beütésszám) terjesztjük k Steer, 990 Megfgyelhető: a számegyeese balról jobbra ő az adatsűrűség, majd a mamum elérése utá smét csökke. Az [a,b] tervallum helyétől függő gyakorsággal várhatuk adatokat. Mérés smétlésekor az adatszám változk az egyes tervallumokba, a teljes adatsűrűség-változás azoba em. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

9 Adatok előfordulás számáak ábrázolása Fgyelem: a mérés sorá többször s előfordulhat ugyaaz az adat! Ábrázoljuk az előfordulás számot az adat értékek függvéyébe! Steer, 990 Példa: Borsod II. szételep Múcsoy területére voatkozó vastagság adata (: telepvastagság, y: előfordulás darabszámba megadva). Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

10 Adatredszer ábrázolása hsztogrammal Jelöljük -el az összes adatszámot, -vel pedg az -edk résztervallumba eső adatszámot! Ábrázoljuk a darabszámot h hosszúságú résztervallumokét! Módszer: az y tegelye az adott darabszámak megfelelő magasságba tegellyel párhuzamos egyeest húzzuk mde egyes résztervallumo. A kapott lépcsős függvéyt hsztogramak (tapasztalat sűrűségfüggvéyek) evezzük Steer, 990. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

11 Adatredszer ábrázolása hsztogrammal Ábrázoljuk az ordátá az / aráyt, ez a relatív gyakorság! Ekkor a hsztogram adatszámtól függetle lesz (adatsűrűség-eloszlás sem változk). A 00* / megadja, hogy az összes adat háy százaléka esk az -edk résztervallumba Ábrázoljuk az ordátá /(*h) aráyt! Ekkor a hsztogram oszlopaak összterülete lesz. Az -edk téglalap területe aráyos az -edk résztervallumra eső adatszámmal A h rossz megválasztása. Nagy h eseté torzul a globáls adatsűrűség kép, ks h eseté agy ampltúdójú fluktuácók zavarják az adatelemzést Steer, 990. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

12 Példa: Walker Lake, Nevada Isaaks ad Srvastava, 989. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

13 A sűrűségfüggvéy Illesszük függvéygörbét a hsztogram (, y ) adatpárjaak potjahoz! A legjobba lleszkedő f() függvéyt az adott adateloszlás sűrűségfüggvéyéek evezzük Helyparaméter (T): kjelöl a sűrűségfüggvéy helyét az -tegelye, a mamáls sűrűség helye. Szmmetrkus eloszlásál a szmmetrapotot jelöl (aszmmetrkus adateloszlásál em) Skálaparaméter (S): a sűrűségfüggvéy szélességét jellemz. Növekvő S-ekél agyobb az adatok bzoytalasága Steer, 990. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

14 A sűrűségfüggvéy tulajdosága A teljes görbe alatt terület (bztos eseméy) - f()d Aak valószíűsége, hogy az adat a mérés sorá az [a,b] tervallumba esk P(a b) f()d b a Steer, 990 Stadard alak: a szmmetrapot T=0-ál va, a szélességet szabályzó paraméter pedg S= Általáos alak: a stadard alakból (-T)/S és f() f()/s traszformácóval képezzük. Ekkor a szmmetrapot =T-be kerül, ahol a sűrűségfüggvéy S-szerese yújtott függvéy lesz az - tegely ráyába. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

15 Nevezetes sűrűségfüggvéyek Egyeletes eloszlás: az adatok L hosszúságú tervallumba egyeletese helyezkedek el (pl. lottóhúzás) A sűrűségfüggvéy f u (), L 0, L T egyébkét T L A sűrűségfüggvéy teljes számegyeesre vett tegrálja (görbe alatt területe) = Steer, 990 Példa: egyeletes eloszlású sűrűségfüggvéy llesztése a Borsod II. szételep telepvastagság adatredszerére (gyege közelítés). Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

16 Nevezetes sűrűségfüggvéyek Gauss-eloszlás: más éve ormáls eloszlás, a mérés hbák tpkus (elfogadott) eloszlása A sűrűségfüggvéy stadard alakja f G () e A sűrűségfüggvéy általáos alakja f G () S e (T) S Steer, 990 Példa: Gauss sűrűségfüggvéy llesztése a Borsod II. szételep telepvastagság adatredszerére (jobb közelítés az egyeletes eloszláshoz képest). Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

17 Nevezetes sűrűségfüggvéyek Laplace-eloszlás: a Gauss-eloszlásál szélesebb száryú sűrűségfüggvéy jellemz ( -es gyors csökkeés helyett szert csökkeek zérusra a függvéy értékek) A sűrűségfüggvéy stadard alakja f L () A sűrűségfüggvéy általáos alakja e f L () S e T S Steer, 990 Példa: Laplace sűrűségfüggvéy llesztése a Borsod II. szételep telepvastagság adatredszerére (legjobb lleszkedés, bár a hegyes mamum kevésbé realsztkus). Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

18 Nevezetes sűrűségfüggvéyek Cauchy-eloszlás: Laplace sűrűségfüggvéyhez képest kevésbé hegyes csúcs, valamt súlyosabb száryak jellemzk A sűrűségfüggvéy stadard alakja f C () A sűrűségfüggvéy általáos alakja f C () S T S S S T Steer, 990 Példa: Cauchy sűrűségfüggvéy llesztése a Borsod II. szételep telepvastagság adatredszerére (majdem a legjobb lleszkedés, vszot realsztkusabb a Laplace-eloszlásál). Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

19 Sűrűségfüggvéy llesztése az adatredszerre Az llesztés követelméye: a hsztogram potja összességükbe lehető legközelebb legyeek a sűrűségfüggvéyhez Jelölések: az -edk adat, y = /(h) az -edk relatív gyakorság, f(,t,s) a kegyelítő (aaltkus) sűrűségfüggvéy Legksebb égyzetek elve (Least Squares Method): az lleszkedés aál a T, S értékpárál a legjobb, ahol a mérésből (hsztogramból) meghatározott y -k és a f(,t,s) modellből számított relatív gyakorság értékek eltéréseek égyzetösszege mmáls. Az optmalzácós feladat célfüggvéye N y f,t,s A feladatot általáosa sorfejtés alkalmazásával oldjuk meg (em smerjük az eloszlás típusát), mely egy leárs egyeletredszerre vezet. A megoldásfüggvéy paraméteret az egyeletredszer megoldásával származtatjuk. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00 m

20 Szmmetrkus szupermodellek A sűrűségfüggvéyeket modellcsaládokba redezhetjük, ezeket szupermodellekek evezzük. A sűrűségfüggvéy aaltkusa felírható és a típusparaméter változtatásával más-más sűrűségfüggvéyt kapuk. A szupermodellek szmmetrkusak és aszmmetrkusak lehetek f a f p Steer, 990. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

21 Aszmmetrkus szupermodellek Webull Logorm Gamma F Steer 990. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

22 A χ - eloszlás A χ -eloszlás: egymástól függetle stadard Gauss-eloszlást követő valószíűség változók égyzetösszegéek az eloszlása. Szabadság fok: a stadard Gauss-eloszlású változók száma Tetsük az ábrát! A: helyparaméter, B: skálaparaméter, C: szabadság fokok száma, Y: valószíűség változó, PDF: valószíűség-sűrűség függvéy. Alkalmazás: χ tesztek McLaughl, Statsztka próbák és lleszkedés-vzsgálatok ME 00

23 Kumulatív gyakorság jellemzése Adjuk meg mlye aráyba várhatók egy ktütetett 0 -ál ksebb adatok! Kumulatív gyakorság hsztogram (tapasztalat eloszlásfüggvéy): az a lépcsős függvéy, mely mde -él megadja háy eél ksebb adatuk va. Egy új mérés adat megjeleése eseté az ordátá a gyakorság ugrásszerűe megő Steer, 990. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

24 Példa: Walker Lake, Nevada Isaaks ad Srvastava 989. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

25 Az eloszlásfüggvéy Eloszlásfüggvéy: agy adatszám eseté számítható aaltkus függvéy, mely megadja, hogy mekkora valószíűséggel vesz fel a valószíűség változó ksebb értéket, mt 0. Adatok mlye aráyba ksebbek valamely 0 értékél? 0 F(0) f () d Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

26 Az eloszlásfüggvéy tulajdosága Az eloszlásfüggvéy a sűrűségfüggvéy prmtív függvéye df() d f () Mvel f() -re ormált, ezért F() értékkészlete 0 F() Az f()0 matt F() mooto övekvő, azaz F( ) F( ), ha < Mlye aráyba fordulak elő 0 -ál agyobb adatok? -F() Mlye aráyba fordulak elő [a,b] tervallumo adatok? F(b)-F(a) Adatak háy százaléka ksebb, mt? 00*F(). Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

27 Példa: szemeloszlás görbék Sűrűségfüggvéy: egy adott méretű szemcséből mey va a kőzetmtába Eloszlásfüggvéy: egy adott szemcseméretél mey ksebb szemcse va a kőzetmtába Freudlud et al., 000. Adatredszerek, hsztogramok, sűrűségmodellek ME 00

28 . A legjellemzőbb érték meghatározása Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

29 Idkátor térképek Isaaks ad Srvastava,989. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 00

30 A mta legjellemzőbb értéke Számta átlag (mtaátlag): azoos súllyal vesz fgyelembe az adatokat k Súlyozott átlag: az adatokat a pror súlyokkal (q) vesz fgyelembe,w Medá: eél agyobb és ksebb elem ugyaay va a mtába k k w k k w k k med ()/ /, ()/, páratla páros. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 00

31 Példa: Walker Lake, Nevada Isaaks ad Srvastava,989 V k V k V V V ppm V V5 med ppm. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 00

32 A dhézó Képezzük a súlyozott átlagot az alább szmmetrkus súlyfüggvéyel! Adatok zömétől távol eső potokak ks súlyt, a legagyobb adatsűrűség helye agy súlyt aduk (az M helye ma =) M, ε ε M Nagy : mde adathoz közel ugyaakkora súlyt redel (. és. eset), keső (kugró) adatok (outler-ek) elrotják az M jellemző érték becslését Steer,990 Ks : a cetrumhoz közel potok s fgyelme kívül maradak (4. eset) Dhézó (): az adatok tömörödés tedecájával (kohézó) fordította aráyos skálaparaméter jellegű meység. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 00

33 A leggyakorbb érték Leggyakorbb érték (M ): terácós eljárással számítható helyparaméter jellegű meység (a mta legjellemzőbb értéke) Pg-pog terácós eljárás: általáos esetbe M-et és -t együttese határozzuk meg (j: terácós lépésszám). Első közelítésbe M-re a mtaátlagot vagy a medát fogadjuk el, valamt az első közelítését a mtaterjedelemből becsüljük (j= esetbe) ezutá j esetbe m ma 3,j j,j j,j j M M M 3,j j j,j j j,j M M M. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 00

34 A legjellemzőbb értékek összehasolítása Tektsük az alább hat adatból álló mtát, melybe egy kugró adat s szerepel! Kugró adatok forrása lehet a hbás műszer, elrotott mérés, adattovábbítás vagy rögzítés stb. Megállapítható: a mtaátlag ge érzékey a kugró adat jelelétére, a medá és a leggyakorbb érték reálsabb becslést adott a legjellemzőbb értékre Steer,990 Rezszteca: a becslés eljárás kugró adatra szte teljese érzéketle Robusztusság: a becslés eljárás tág eloszlástípus-tartomáyo megbízható eredméyt ad. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 00

35 Valószíűség változó várható értéke Relatív gyakorság: az A eseméy (adat) bekövetkezéséek száma aráyítva az összes kísérlet (mérés) számához ( A /). Valószíűség: egyre több kísérlet eseté a relatív gyakorság a P(A) számérték körül gadozk, mely megadja, hogy az A eseméy az összes kísérletek várhatóa háyad részébe következk be. Valószíűség változó: olya meység, amelyek számértéke valamlye véletle eseméy kmeetelétől függ. A p k valószíűség k (k=,,,) dszkrét valószíűség változó eseté ( a lehetséges eseméyek száma) p k P( k ), pk k Várható érték (E ): az a szám, amely körül a valószíűség változó megfgyelt értékeek (mérés adatok) átlagértéke gadozk E k k p k E(c) ce(), E(y) E()E(y), E( y) E() E(y), E(a b) ae() b, c : kostas és y :függetle és y :em függetle a és b :kostas. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 00

36 Várható érték a sűrűségfüggvéy smeretébe Mekkora a valószíűsége, hogy az adat [ 0, 0 +h] tervallumba esk? h 0 P(0 0 P(0 0 h) f()d f(0)h f (0) h 0 h) Lukács,987 Az tervallumba esés valószíűsége közelítőleg egyelő a relatív gyakorsággal ( 0 és az tervallumba eső és az összes adat száma) f ( 0 0) hkf (k ) kpk E h k k. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 00

37 A legjellemzőbb érték folytoos esetbe Ha h résztervallum-hosszt mde határo túl csökketjük, akkor a várható érték E() A medá eseté med-él agyobb és ksebb elem 50%-os relatív gyakorsággal fordul elő, azaz A leggyakorbb érték és a dhézó folytoos formulája med f ()d f () d 0.5 M M M f ()d f ()d, 3 M M M f ()d f ()d. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 00

38 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

39 A hba megjeleése az adatredszerbe Szsztematkus hba: Determsztkus oka vaak, redszeres hba. Azoos körülméyek között végzett mérésekél agysága és előjele em változk. Ilyeek a mérőeszköz tökéletleségéből származó hbák (a működés ll. htelesítés potatlasága), mérés módszerek specfkus hbá, vagy az elhayagolt külső hatásokból (yomás, hőmérséklet, páratartalom) eredő bzoytalaság. Részbe korrgálható Véletle hba: A mérést befolyásoló külső okok együttes következméyekét lép fel és mde egyes mérésél másképp jeletkezk. Előjele egatív és poztív egyarát lehet. Véletleszerűe fellépő köryezet hatások, mérőműszer működés hbája, beállítás- és leolvasás potatlaságok. Nem küszöbölhető k teljes mértékbe, csak az átlagos hatásuk becsülhető Statsztkus hba: Nagyszámú egymástól függetle eseméy megfgyelésekor lép fel. Ilye például a részecskeszámlálásál észlelt hba (statsztkus gadozás). A mérés adatszám övelésével csökkethető 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

40 Az adatredszer távolság defícó Ha smerék valamely meység potos értékét ( potos ), majd egyetle mérést végezék erre a meységre, akkor mérésük eredméyéek a valód hbája - potos lee. Mvel a meység potos értéket em smerjük, így azt az E, med vagy M -el helyettesítjük. Ezek eltérése matt a hbajellemzők értéke s külöbözk Defáljuk egyetle adat távolságát az 0 legjellemzőbb értéktől! 0 (p 0) Az =[,,, ] adatredszer 0 -tól való távolsága 0 p p : p 0 vagy p : 0 Látható, hogy ha az távol va a leggyakrabba előforduló -ek tartomáyától a távolságok agyok. A agy eltérések hatását csökkethetjük alkalmasa választott -el és szorzással 0 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

41 Függetleítsük a jellemző távolságot -től és a mértékegységét azoosítsuk mértékegységével! A fet vektor-ormák 0 -szert mmumhelyet az adatredszer jellemző értékekét fogadjuk el. L -orma 0 -szert mmumhelye a medá, L -orma 0 -szert mmumhelye a számta átlag, valamt P -orma 0 -szert mmumhelye a leggyakorbb érték k 0 0 p / p 0 p P : k P : k k P L : p L : p L Az adatredszer távolság defícó 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

42 Hbaformulák Ha a mmumhely értékét 0 helyébe írjuk, egyetle távolságjellegű adatot kapuk, mely az adatokak a mmumhelytől való távolságát jellemz. A fet meység a határozatlasággal áll kapcsolatba (agy átlagos távolság eseté agy a határozatlaság) Ha egyetle adatot fogaduk el jellemző értékek, akkor a távolság a hba mértékéek tekthető. Nem a med, E vagy M jellemzőkek, haem az egyes adatok hbájáról (az adatredszer bzoytalaságáról) beszélük Hbaformulák: - Közepes eltérés (L -orma) - Emprkus szórás (L -orma) - Emprkus határozatlaság (P -orma) Folytoos eloszlás (tegrál formulák) eseté elmélet szórásról stb. beszélük d U emp emp emp med E 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00 M

43 Hbaformulák összehasolítása Számítsuk k az (=,,,6) adatsorra az L -, L - és P-ormák értékváltozásat külöböző 0 -akra ( 0 =4-től kezdve)! Az adott orma mmumhelyé az ordátáról leolvashatjuk az adatredszerre jellemző hba mértékét. Megállapítható, hogy a kugró adat élkül a hba értékek közel esek egymáshoz, míg aak jelelétébe agy eltérés tapasztalható. A L -orma ge érzékey a kugró adatra, míg a P-orma rezsztes ( értéke szte változatla) Steer, Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

44 Korrgált emprkus hbaformulák Az emprkus szórás ( ) torzított becslése az elmélet szórásak (), mvel E( ): A korrgált emprkus szórás defícója A korrgált emprkus szórás már torzítatla becslése az elmélet szórásak, mvel E( - )=. Bzoyítás Megjegyzés: a korrgált emprkus szórás evezőjébe (-) szerepel, mvel meghatározása (-) függetle adatból törték (a számta közép függ a mtaelemektől és egy adatot kszámíthatóvá tesz),, E E E E 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

45 Valószíűség változó varacája A szóráségyzet (varaca) a valószíűség változó várható értékétől való eltérését jellemz (a várható értéktől való átlagos égyzetes eltérés mértéke). Dszkrét és folytoos valószíűség változó eseté k E p, () E() A szóráségyzetre voatkozó tételek k () E (a b) a ( y) k E() (), () E( (y), Csebsev-egyelőtleség: a valószíűség változó várható érték körül szóródására ad felvlágosítást P ) E E() (), és y : függetle a és b : álladó () f () d 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

46 A mérés hba terjedése Ha a q meység függ más meységektől azaz q=q(,y, ), akkor,y, mérésével és Δ, Δy, mérés (véletle) hbák smeretébe q átlagértéke és aak Δq mamáls abszolút hbája (q leárs közelítéséből) meghatározható q q q, ahol q q q q(, y, ) és q y y Függetle valószíűség változók eseté érvéyes c c c A Gauss-féle hbaterjedés törvéy kvadratkus abszolút hbája q q q y y q q,y, q y,y, y 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

47 Példa: Walker Lake, Nevada V f G k k V k V 00 k (V) (V) 97.55ppm k V V k e V 688ppm (VE(V)) (V) 688ppm ppm e (V97.55) 6.3 Isaaks ad Srvastava,989 Szabó, Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

48 Kofdeca-tervallumok A dhézó agysága a leggyakorbb előfordulás tervallumát s jellemz. Arról formál, hogy az adatok háy százaléka várható a dhézó valamlye többszörösét ktevő hosszúságú tervallumo Kofdecaszt: százalékos előfordulás gyakorság. Kofdecatervallum: a kofdecaszthez tartozó tervallum Steer, Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

49 Kofdeca-tervallumok Az terszeksztls tervallumba [-Q,Q] az adatok /3-ada (66% kofdecaszt), az terkvartls tervallumba [-q,q] azok fele (50% kofdecaszt) várható. Hbajellemző meységek az terkvartls félterjedelem (q) és az terszetls félterjedelem (Q) A q az alsó kvartls (adatok ¼-e eél ksebb), q a felső kvartls (adatok ¼-e eél agyobb). A Q az alsó szetls (adatok /6-a eél ksebb), Q a felső szetls (adatok /6-a eél agyobb) Steer,990 Isaaks ad Srvastava, Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

50 Példa: f G () kofdeca-tervalluma Stadard Gauss-eloszlás sűrűségfüggvéye 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

51 A ferdeség A k-adk cetráls mometum: E(( E()) k ), ahol k poztív egész. A szóráségyzet azoos a másodk cetráls mometummal (k=) Ferdeség (skewess): a szmmetrától való eltérés mérőszáma (3-adk cetráls mometum és a szórás köbéek háyadosa) 3 3 Mart H. Trauth, 006 A =0 eseté a sűrűségfüggvéy szmmetrkus, >0 eseté aak alakja a szmmetrkushoz képest jobbra, <0 eseté balra yúlk el 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

52 A lapultság Lapultság (kurtoss): a vzsgált sűrűségfüggvéy csúcsossága hogya vszoyul a Gauss sűrűségfüggvéyéhez képest (4-edk cetráls mometum és a szóráségyzet égyzetéek háyadosa) A =0 eseté a sűrűségfüggvéy Gauss-eloszlású, >0 eseté a ormál eloszlástól csúcsosabb, <0 eseté a ormál eloszlástól lapultabb 3 4 Mart H. Trauth, Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 00

53 4. Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

54 Sűrűségeloszlás paramétereek becslése Tegyük fel: smerjük az f() sűrűségfüggvéy típusát és skálaparaméterét (S). Határozzuk f() helyparaméterét (T)! Keressük meg az a T-t, melyél az db adat bekövetkezése a legagyobb valószíűséggel megy végbe. A paraméterbecslés eljárást mamum lkelhood módszerek evezzük Tektsük egy S= skálaparaméterű Cauchy-eloszlásból származó 0 elemű adatsort! Válasszuk ks -et és képezzük az adathelyeke az f( ) valószíűségeket! A teljes adatsorra képzett valószíűségek szorzatáak mamumáál adódk a keresett (optmáls) T érték Steer, Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása ME 00

55 A lkelhood és log-lkelhood függvéy A mamum lkelhood elv szert optmum feltétele (ahol az f( ) valószíűségek -szeres szorzatába megjeleő szorzótéyezőt elhagyhatjuk, mvel az T-től függetle kostas) L,Tma Vegyük az L célfüggvéy logartmusát! f L * l f,t ma Az L * célfüggvéy mamáls, ahol az smeretle paraméterek szert parcáls derváltak zérus értékűek A fet feltételből származó egyeletek megoldásával kapjuk a keresett paramétereket Szabó, Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása ME 00

56 Példa: f G () paramétereek becslése A mamum lkelhood függvéy (alkalmazzuk a hatváyozás azoosságat!) Vegyük az L célfüggvéy logartmusát! Képezzük a parcáls derváltakat és fejezzük k T-t és S-et! T S e S e S,S,T f L T S G ma T S l l S l L L * 3 * T S 0 T S S S L * E T 0 T T T 0 T S T L 4. Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása ME 00

57 Becslések határeloszlása Becslések eloszlása övekvő mta elemszám ( ) eseté az ú. határeloszláshoz tart. Tetszőleges eloszlásból származó mtából meghatározott számta átlagok (mtaátlagok) határeloszlásáak hely- és skálaparamétere (T=E és S=σ) σ... E E... E E E E E E σ A cetráls határeloszlástétel alapjá kmodható, hogy az átlagok (mt becslések) eloszlása határesetbe, véges szórás eseté a fet paraméterekkel jellemzett Gauss-eloszlást közelít. Ha egy becslés eloszlása A / szórású Gauss-eloszlás, akkor A -t aszmptotkus szórásak evezzük Nagy számok törvéye alapjá szté kmodható, hogy az átlagképzés agy -ek és véges szórás eseté -el aráyos potosságövekedést mutat 4. Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása ME 00 σ

58 Példa: mta és mtaátlagok eloszlása Szabó, Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása ME 00

59 5. Statsztka próbák és lleszkedés-vzsgálatok Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

60 Statsztka próbák Statsztka próba: olya teszt eljárás, amely valamlye statsztka feltevések az elleőrzését tesz lehetővé a mta alapjá Paraméteres próbák: smert eloszlástípus eseté a mtából származó formácók alapjá dötük az eloszlás smeretle paraméterere tett feltevés elfogadásáról. Fajtá: egymtás (egy adatsor), kétmtás próbák (két adatsor) és többmtás próbák (varacaaalízs) Nemparaméteres próbák: smeretle eloszlástípus eseté alkalmazzuk. Vzsgálhatjuk, hogy a mérés adatokból előállított emprkus sűrűségfüggvéy egy adott elmélet sűrűségfüggvéyel leírható-e vagy sem (lleszkedésvzsgálat). Vzsgálhatjuk, hogy két külö mérés eljárásból származó adatsor függetleek tekthető-e vagy sem (függetleség vzsgálat). Vzsgálhatjuk, hogy két külö mérés eljárásból származó adatsor azoos eloszlású-e vagy sem (homogetás vzsgálat) 5. Statsztka próbák és lleszkedés-vzsgálatok ME 00

61 Hpotézs vzsgálat Statsztka hpotézs: a megfgyelt meység eloszlásáak a típusára vagy az eloszlás paraméterere tett feltevés (mvel statsztkába az gazságot abszolút bzoyossággal em tudjuk megállapíta, az állításokat hpotézsekek evezzük). Nullhpotézs (H 0 ): az előzetes feltevést gazak tételezzük fel (azaz a vzsgált eltérés 0). Ellehpotézs (H ): a ullhpotézssel szembeálló más feltételezés Példa: legye smert az meység eloszlása (pl. ormáls) és szórása. A változóra vett mtába az átlag. Igaz, hogy az egész sokaság várható értéke T 0? Vzsgáljuk meg: a mtabel tapasztalat alátámasztja a következő ullhpotézst? H : E() T H 0 Mvel cs a teljes sokaság a brtokukba, ezért kevés mérésre tudjuk csak a ullhpotézs feállását vzsgál 5. Statsztka próbák és lleszkedés-vzsgálatok ME 00 0 : E() T 0

62 Egymtás u-próba Statsztka függvéy (statsztka): számítás utasítás, mely egyetle adatot számít db adat alapjá. A statsztka próba feladata megtalál a statsztka függvéyt, amelyek eloszlását H 0 feállása eseté smerjük Válasszuk statsztka függvéyek a következőt, mely előállítja az u véletle változót! Az u s Gauss-eloszlást követ ( stadardzáltja) u / Megbízhatóság tervallum: [-u, u ], ahol u agy valószíűséggel esk ahol a krtkus tartomáyra esés valószíűsége és (-) a szgfkaca-szt T T0 T u u P u / / P 0 5. Statsztka próbák és lleszkedés-vzsgálatok ME 00 0

63 Egymtás u-próba Ha H 0 ullhpotézs gaz, akkor u agy (-) valószíűséggel esk a megbízhatóság tartomáyba, azaz ks () valószíűséggel a krtkus tartomáyba Ha u a krtkus tartomáyba va, akkor H 0 ullhpotézst elvetjük, ha azoba u a megbízhatóság tartomáyo belül va, akkor elfogadjuk Steer, Statsztka próbák és lleszkedés-vzsgálatok ME 00

64 Statsztka próba hbafogalma Elsőfajú hba: ha u a krtkus tartomáyba esk és H 0 t elvetjük akkor valószíűséggel követük el hbát, ha H 0 mégs gaz. Másodfajú hba (): ha elfogadjuk H 0 -t valószíűség mellett, azoba H 0 em gaz Steer,990 Vgyázat: H 0 elfogadása aál agyobb kockázattal jár, mél agyobb az (-), ezért em célszerű a bztoság sztet túl magasra állíta! 5. Statsztka próbák és lleszkedés-vzsgálatok ME 00

65 Grafkus lleszkedés-vzsgálat Grafkus ormaltásvzsgálat: a mta Gauss-eloszlásból származk? Gauss-papír: abszcsszá a valószíűség változó értéke, ordátá a () stadard Gauss eloszlásfüggvéy átskálázott értéke szerepelek. Ábrázoljuk úgy a potokat, hogy () 0.5-től egy távolságegységgel feljebb, (-) egy távolságegységgel lejjebb, () kettővel feljebb, (-) kettővel lejjebb stb. legye! Képezzük ()-ből F()-et az - tegely met egységek -ra változtatásával és az ordátategely -m eltolásával! A Gauss-papíro az m várható értékű, szórású F() ormáls eloszlású adatsor képe egyees F F Lukács,987 m m 0, Fm 5. Statsztka próbák és lleszkedés-vzsgálatok ME 00

66 Példa: ɣ-teztás és telepvastagság adatok F a (), a=5 Steer, Statsztka próbák és lleszkedés-vzsgálatok ME 00

67 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

68 Korrelálatla adatok eloszlása Legye (,,, ) -dmezós valószíűség vektorváltozó! Az f(,,., ) együttes valószíűség-sűrűség függvéy megadja, hogy az első mérés mlye valószíűséggel esk, a másodk,. stb. köryezetébe Az együttes sűrűségfüggvéy korrelálatla adatok eseté f (,,, ) f () Nézzük az ábrát! Látható, hogy pl. agy értékek eseté ugyaaz a valószíűsége, hogy értéke kcs vagy agy. Ncs együttváltozás, ekkor azt modjuk, hogy az adatok korrelálatlaok Meke, A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 00

69 Korrelált adatok eloszlása Korrelált adatok együttes eloszlása eseté bzoyos agyságú értékek köryezetébe csak bzoyos értékek szerepelek azoos valószíűséggel. Ekkor az adatok együttváltozása fgyelhető meg Nézzük az ábrát! Látható, hogy pl. agy értékekhez csak agy értékek tartozak (ahol a korrelácó mértékével aráyos szög) Meke, A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 00

70 Az együttváltozás mérőszáma Osszuk fel az síkot égy síkegyedre! Ezutá képezzük az adatokból az egyszerű függvéyt! Szorozzuk össze ezt a függvéyt a sűrűségfüggvéy értékekkel, majd adjuk össze előjelese a területeket. Az így kapott kovaraca a két valószíűség változó együttváltozásáak a mérőszáma Meke,984 Korrelálatla változókál cov=0, mvel a égy síkegyedre azoos agyságú értékek esek. Korrelált változók eseté cov 0 és poztív (azoos ráyú) vagy egatív (elletétes ráyú) előjelű a változás 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 00

71 A kovaraca tulajdosága A kovaraca valószíűség-elmélet formulája és tulajdosága cov(, y) E A kovaraca emprkus formulája E() Ey E(y) cov(, y) E(y ) E()E(y) y y cov, y, y y cov cov(, ) cov y y y k Látható, hogy =y eseté a kovaraca megegyezk az emprkus szóráségyzettel cov k 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 00

72 A leárs függés mérőszáma Korrelácós együttható: két változó között (leárs) kapcsolat szorosságát mérő szám (ormált kovaraca) r(, y) cov(, y) () (y), r y k k y y y y k k k k k Az r y egy - és között szám. Ha r y = teljes korrelácóról, r y =0 eseté leárs függetleségről beszélük. A korrelácó erőssége 0 < r 0.35: gyege korrelácó 0.35 < r 0.65: közepes korrelácó 0.65 < r : erős korrelácó A korrelácós együttható előjele a két változó együttváltozásáak az ráyáról tájékoztat 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 00

73 Tektsük az (,,, ) -dmezós valószíűség vektorváltozót, ahol tételezzük fel hogy smerjük a peremeloszlások várható értéket és szórásat! A kovaraca mátr a változók párokét együttváltozását adja meg. A kovaraca mátr szmmetrkus, mvel COV(, j )=COV( j, ) A korrelácós mátr a változók párokét (leárs) kapcsolatáak az erősségét adja meg. Szmmetrkus mátr, mvel R(, j )=R( j, ) σ ), cov( σ ), cov( ), cov( ), cov( σ COV ), r( ), r( ), r( ), r( R Többváltozós leárs kapcsolatok 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 00

74 Néháy általáos eset A korrelácós együttható megadja a leárs kapcsolat ráyát, aráyos a zaj mértékével, de em adja meg ömagába a regresszós egyees meredekségét Négy külöböző függvéykapcsolat eseté az R(,y) korrelácós együttható azoos agyságú. Az és y változók átlagértéke 9.0 és 7.5, szórása.0 és 4., korrelácós együtthatója A regresszós egyees: y= A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 00

75 A emleárs kapcsolat mérőszáma Redezzük az (=,,,) adatokat övekvő sorredbe! A legksebb érték kapjo -es ragot a legagyobb pedg -et. Végezzük el ugyaezt y (=,,,) adatsoro s. Számítsuk k a rag értékek átlagértékét és szórását! Rag korrelácós együttható: két változó között emleárs kapcsolatot jellemző mérőszám ρ y k rak rak raky raky k A rag korrelácós együtthatót kevésbé befolyásolják a kugró értékű adatpárok, mt a hagyomáyos korrelácós együtthatót Példa: y= emleárs kapcsolat eseté r y ~0, míg ρ y = σ rak Mél agyobb az ρ y értéke, y változó aál potosabba becsülhető változó segítségével σ rak y k 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 00

76 Példa: Walker Lake, Nevada r UV 00 U k UV k V U k U Vk V k k k 0.84 Isaaks ad Srvastava, A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 00

77 Példa: egy fország fúrás Szabó, A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 00

78 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

79 Problémafelvetés Feladat: legye Z vzsgált meység smert a Z (=,,,7) mérés potokba. Határozzuk meg ugyaeze meység értékét a Z 0 potba! Hagyomáyos terpolácós eljárással meghatározható Z 0 értéke, ahol a Z 0 -tól való távolság szert súlyozzuk a köryező Z értékeket Z 0 w Z, ahol w d d Zhag, 009 A Z 4 és Z 6 potokak agyobb súlyt kellee ad, mt Z és Z -ek, mvel Z 0 -al azoos földta egységbe (homok) tartozak. Hogya érvéyesítheték ezt a geológa formácót az terpolácó sorá? 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

80 A térbel korrelácó Bohlg, Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

81 A varogram Tételezzük fel, hogy az adatok Gauss-eloszlást követek és gadozásuk a szórással jellemezhető! Feladat: A kérdéses meység potbel értékét a köryező (smert) adatok súlyozott átlagakét számítjuk. Válasszuk olya súlyokat, mellyel az eredméy szórása mmáls lesz (ez lesz a krgelés alapja)! Félvarogram: (h) görbe, mely a h távolság függvéyébe megadja a vzsgált Z meység értékkülöbség égyzetösszegéek a felét h h h Zr h ahol h: két vzsgált pot távolsága (térbe h vektor abszolút értéke) (h): egymástól h távolságba lévő összes potpár száma Z(r ): a vzsgált meység értéke az r helyzetű potba Z(r +h): a vzsgált meység értéke az r pottól h távolságra r : -edk pot helyzete (térbe a helyvektora) 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00 Z r

82 A varogram tulajdosága Megfgyelhető: [Z(r )-Z(r +h)] (-)-szeres értékre vált, amkor a két pot helyet cserél a térbe. A külöbségek átlagértéke ezért zérus. Az egyes külöbségek így az átlagértéktől való eltéréskét foghatók fel, azaz a varogram megegyezk az emprkus szóráségyzet értékéek a felével h VARZ r Zr h Mél közelebb vaak a potok egymáshoz a Z értékek aál jobba korrelálak. 0 távolságál a varaca VAR Zr COVZ r,z r H ahol H a hatástávolság. A korrelácó két pot között csak eze távolságo belül áll fe (eze belül lehet potot választa az terpolácóhoz) COV Zr,Z r h H h Bohlg Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

83 Varogram modellek A mérés eredméyekből számított tapasztalat varogram potjara elmélet függvéyek ú. varogram modellek lleszthetők Az epoecáls, szférkus és Gauss modelleket alkalmazzák leggyakrabba SZ E h h C.5 C, C e h H h A 0.5, h h H C e 0 h H A ɣ(h) elmélet görbék C-hez tartaak, ahol H-t kegyelítéssel számítjuk k C H G h H 3, VAR Z r h A A kregeléshez szükséges kovaracát a varogramból számíthatjuk k COV Zr,Z r h C h Bohlg, Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

84 A varogram ráyfüggése zotrop Isaaks ad Srvastava,989 azotrop 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

85 A krgelés Krgelés: robusztus súlyozott becslés eljárás be em mért potok jellemzőek a meghatározására (em érzékey a varogram modellre, valamt tektetbe vesz aak ráyfüggését s) Közelítsük P 0 potba az smeretle Z(P 0 ) értéket db közel P pot Z(P ) értékéek súlyozott átlagával! w Z Z P 0 P A w súlyok összege, így a becslés torzítatla (ha pl. mde köryező érték egyforma lee, csak ebbe az esetbe kapák a kérdéses potba s ugyaazt az értéket) Kössük a w súlyok meghatározását a becslés szóráségyzetéek (valód és becsült érték eltéréséek a varacája) mmumához! VAR Z P 0 w ZP m 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

86 A krgelés A Lagrage multplkátorok (µ) módszerével végzett mmalzálás a KW=D leárs egyeletredszerre vezet (K az ú. Krge-mátr) c c c c 3 A K mátrba található kovaracákat a varogramból számítjuk k c c c j 0 c c c c 3 c c c c COV Z P VAR Z P COV Z P, ZPj C h, C,, ZP C h. 0 A súlyokat a W=K - D egyeletredszerből határozzuk meg, ezzel előállíthatjuk a megoldást, azaz Z(P 0 ) értékét. A becslés hbát (becslés szóráségyzetét) a =W T D segítségével kapjuk c c c c 3 w w w w 0 3 c0 c0 c 03 c 0 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00 P P j P P 0

87 Példa: Walker Lake, Nevada Isaaks ad Srvastava,989 epoecáls 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

88 Példa: Walker Lake, Nevada Isaaks ad Srvastava, Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

89 Példa: a mágeses mérés elve Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

90 Példa: mágeses mérés, Nyékládháza m m Szabó Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

91 Példa: mágeses adatok terpolácója Szabó, Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 00

92 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

93 A leárs regresszó Regresszó számítással függvéykapcsolatot keresük tapasztalat úto megfgyelt meységek között. Egyváltozós esetbe keressük az y=f() regresszós függvéyt A legegyszerűbb egyváltozós feladat a leárs regresszó. Keressük meg az ( (m),y (m) ) (=,,,) mérés potpárokra legjobba lleszkedő egyeest és határozzuk meg az egyeletét! y m a A képletbe m a regresszós egyees meredeksége ( változó értékéek egységy megváltozása mekkora változást déz elő y változóba) és a az egyees ordáta-metszete A fet egyelet (regresszós modell) segítségével ( (sz),y (sz) ) (=,,,) számított adatsort állíthatuk elő, melyek a mért adatoktól való eltérése az m ll. a paraméterek megválasztásától függ A mérés és a számított adatok eltéréséek mmumáál kapjuk a mérés adatokra legjobba lleszkedő egyeest 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 00

94 A leárs regresszó Szabó, Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 00

95 A leárs regresszó Számítsuk k az y (sz) adatokat az (m) (=,,,) abszcssza értékekél a regresszós modell segítségével! y (sz) m Határozzuk meg az m és a paraméterek optmáls értékét a legksebb égyzetek módszerével! Az lleszkedés a mért és számított adatok között ott a legjobb, ahol az E(m,a) célfüggvéy értéke mmáls (m) a E (m) (sz) y y y m a m A mmalzálást végrehajtva kapjuk az m és a regresszós koeffcesek optmáls értékét, mely kfejezhető az és y változó korrelácós együtthatója (r y ) és szórása ( és y ) segítségével m r y y, a y m 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 00

96 A legksebb égyzetes (L -ormá alapuló) kegyelítések jeletős hátráya az, hogy ge érzékeye reagál a kugró adatokra és az adatok eloszlás típusáak változására s Az L -ormá vagy P-ormá alapuló kegyelítés eljárások kevésbé érzékeyek a kugró adatokra. Pl. L -orma célfüggvéye R számú A(p)=0 mellékfeltétel előírása mellett (ahol p smeretleek vektora, Lagrage multplkátorok) Rezsztes kegyelítő eljárások R r r (m) m A p,p f y E 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 00 (m) (m) (m) p / p (m) p f y ma L : p f y L : p f y L : p f y L Szabó, 005

97 Nemleárs regresszó Nemleárs regresszószámítást akkor alkalmazuk, ha az adatokra legjobba lleszkedő függvéy em leárs. Gyakra alkalmazzuk a polomok (pl. hatváyfüggvéyek) szert kegyelítést N y (m) f (,p) f (,p) f (,p,p Learzál s lehet az y=f() függvéykapcsolatot. Az eredet változók helyett, velük összefüggő, de egymással leárs kapcsolatba lévő változókat vezetük be y ae Y l y, X a e A b, b B (Többváltozós adat-modell összefüggésekkel az MSc taayagba foglalkozuk),...,p J ) m J j0 l y l a b p j Y A BX 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 00 j

98 Példa: kőzetfzka alkalmazás Dobróka és Szabó, 007 l( K) POR SWIRR POR PORSWIRR SWIRR POR SWIRR PORSWIRR.9346 POR POR SWIRR POR SWIRR 3 SWIRR 0.69 POR POR SWIRR 3 SWIRR 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 00

99 9. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00

100 Bevezetés a MATLAB programyelvbe GEOINFORMATIKAI SZOFTVERFEJLESZTÉS I-II. OKTATÁSI SEGÉDLET Írta: DR. SZABÓ NORBERT PÉTER Egyetem taársegéd Mskolc Egyetem Geofzka Taszék Mskolc Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

101 Példa: adateloszlások jellemző Geeráljuk elemű mtát [-,] tervallumból egyeletes és E=0 várható értékű, =/3 szórású ormáls eloszlásból! Ábrázoljuk a két sűrűségfüggvéyt, végezzük grafkus ormaltás vzsgálatot és hasolítsuk össze az emprkus jellemzőket! 00 elemű mta geerálása egyeletes és ormál eloszlásból ufrd(,,00,); y ormrd(0,/ sqrt(3),00,); A ormál eloszlás sűrűségfüggvéye és ábrázolása t ormpdf([ : 0.:],0,/ sqrt(3)); plot([ : 0.:], t); Az egyeletes eloszlás sűrűségfüggvéye és ábrázolása k ufpdf([ : 0.:],,); plot([ : 0.:],k); 9. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

102 Példa: adateloszlások jellemző Ábrázoljuk az emprkus eloszlásfüggvéyt Gauss-papíro! Ha az adatok jól lleszkedek a szaggatott voallal jelölt egyeesre, akkor Gauss-eloszlásról va szó ormplot(); ormplot(y); Redezzük az adatokat a Z 00 mátrba! A számta közepet, medát, emprkus szóráségyzetet és a szórást számító beépített függvéyek Z [, y]; szkozep mea(z); med meda (Z); empva var(z); szor std(z); A terjedelem, lapultság, kovaraca és korrelácós mátr számítása terj rage(z); lap kurtoss(z) 3; kov cov(z); korr corrcoef (Z); 9. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

103 Példa: adateloszlások jellemző szkozep = med = empvar = szor = terj = lap = kov = korr = Szabó, Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

104 Példa: ɣ-teztás mérés, Mály beutes Pethő és Szabó, Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

105 Példa: ɣ-teztás mérés, Mály clc; fgure(); stem([:legth(beutes)]',beutes(:,)); label('mérés sorszáma'); ylabel('gamma beütés/perc'); fgure(); ormplot(beutes); fgure(3); subplot(,,); [,a]=hst(beutes,(600:30:300)); bar(a,/8); label('\gamma'); ylabel('f(\gamma)'); grd o; hold o; [m,szgma,kof_m,kof_szgma]=ormft(beutes); lapultsag=kurtoss(beutes)-3, ferdeseg=skewess(beutes), m, szgma, kof_m, kof_szgma, prob=ormpdf((600:30:300),m,szgma); plot((600:30:300),30*prob,'r'); subplot(,,); s=cumsum(); bar(a,s/8); label('\gamma'); ylabel('f(\gamma)'); grd o; hold o; eloszfgv=ormcdf((600:30:300),m,szgma); plot((600:30:300),eloszfgv,'r'); Szabó, Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

106 Példa: ɣ-teztás mérés, Mály lapultsag = ferdeseg = f ( ) e 84 ( 944) 4 m = 944. szgma = kof_m (95%) = kof_szgma (95%) = Szabó, Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

107 Példa: korrelácó számítás clc; clear all; =[ 3 4 5], y=[ ], N=legth(); atls=0; for =:N atls=atls+(); ed atl=atls/n; yatls=0; for =:N yatls=yatls+y(); ed yatl=yatls/n; s=0; for k=:n s=s+(((k)-atl)^); ed kov=s/(n-); szor=sqrt(kov); s=0; for k=:n s=s+(((k)-atl)*(y(k)-yatl)); ed kov=s/(n-); kov=s/(n-); s3=0; for k=:n s3=s3+((y(k)-yatl)^); ed kov=s3/(n-); szory=sqrt(kov); kovaraca=[kov kov;kov kov], korr=kov/(szor*szor); korr=kov/(szor*szory); korr=korr; korr=kov/(szory*szory); korrelaco=[korr korr;korr korr], = y = kovaraca = szoras_= korrelaco = szoras_y= Szabó, Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

108 Példa: mágeses adatok korrelácója m Szabó, 004 kovaraca = szoras_= korrelaco = szoras_y= Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

109 Példa: leárs regresszó clc; clear all; =[0:0]; y_mert=[ ]; eh=polyft(,y_mert,); y_szam=polyval(eh,); plot(,y_mert,'*'); hold o; plot(,y_szam); label(''); ylabel('y'); ttle('leárs regresszó'); m=eh(), a=eh(), R=corrcoef(,y_mert), Szgma=std(), Szgmay=std(y_mert), m_r=r(,)*std(y_mert)/std(), a_atl=mea(y_mert)-m*mea(), Szabó, 009 R = Szgma = Szgmay = m = a = m_r = a_atl = Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

110 Példa: mágeses bázsmérés, Nyékládháza Szabó, Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 00

111 Köszööm a fgyelmet! Jó szerecsét! Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 00