4 2 lapultsági együttható =

Átírás

1 Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket. A leíró statsztka tartalmazza azokat az egyszerű statsztkákat, melyekkel egy eloszlást jellemezhetünk, lletve annak fontos paraméteret meghatározhatjuk. Normáls eloszlás leírására szolgáló statsztkák Mnt azt a normáls eloszlás defnálásánál láttuk a kísérlet eredmények egy gen tekntélyes része normáls eloszlású. A normáls eloszlás két paraméterrel: a várható értékével és a szórással jellemezhető. A várható értéket a számtan átlaggal, mnt statsztkával becsülhetjük. x A számtan átlagot a x = kfejezéssel írhatjuk le, ahol x egy kmenet értéke, n pedg a mntavételek n száma. A szórást a korrgált szórással becsüljük. A korrgált szórást s-el jelöljük vagy σ n-1 -el. Kszámolásához a ( x x) s = képletet használhatjuk. n 1 E két paraméterrel tökéletesen jellemezhetünk egy normáls eloszlást. A normáls eloszlású valószínűség változók gyakor előfordulásával magyarázható, hogy a leíró statsztka leggyakrabban használt két statsztkája az átlag és a korrgált szórás. A tudósok nagy része főleg azt akarja megtudn, hogy adata mennyre jól közelíthetőek a normáls eloszlással. Ezen kérdés megválaszolására jó statsztkák állnak rendelkezésre, mnt a Kolmogorov-Smrnov teszt vagy a Shapro-Wlks W teszt, azonban semmlyen teszt nem helyettesíthet a vzuáls megfgyelést. Az adatok megjelenítése hsztogrammok formájában eleve segít a normalstás eldöntésében. A "ránézésre normáls" persze nem statsztka defnícó, azonban statsztka alkalmazásához szükséges tudn, hogy adatank normálsak-e vagy sem. Ha ránézésre sem normálsak, akkor ne s bajlódjunk olyan statsztkával, am ezt megkövetel (lyenkor jönnek a nem paraméteres statsztkák). A leíró statsztkák közül a ferdeség (skewness) és a lapultság (kurtoss) ad felvlágosítást a normaltásról, lletve attól való eltérésről. A ferdeség az eloszlás szmmetrkusságát mér, a lapultság a csúcsosságát, azaz az eloszlás mennyre lapos vagy csúcsos a normáls eloszláshoz képest. Ezen két paraméterrel a normálshoz hasonló alakú eloszlások jellemezhetőek. ferdeség együttható = M[( ξ M ( ξ )) D ( ξ ) ] = n x x ( ) ( ) n 1 n σ M[( ξ M ( ξ )) ] n( n + 1) x ( 1) lapultság együttható = x n = ( ) ( 1) ( ) ( ) D ξ n n n σ ( n )( n ) ahol, n a mnta elemszáma és σ az adatok szórása. Normáls eloszlás esetén mndkét együttható. Amennyben a lapultság együttható negatív úgy az eloszlás laposabb, mnt a normáls; poztív lapultság esetén az eloszlás csúcsosabb, mnt a normáls. A ferdeség együttható esetén poztív jelöl azt, amkor az

2 eloszlás maxmuma negatívabb (ksebb) értékek felé tolódk el. Negatív ferdeség együttható esetén a maxmum a poztívabb rányba tolódk el. Általános eloszlást leíró statsztkák Bár gen gyakran találkozhatunk normáls eloszlású valószínűség változóval, nem mnden eloszlás normáls. Amlyen jól jellemezhető az átlaggal és a szórással egy normáls eloszlás, annyra lehet félrevezető más eloszlások esetén. Nem hagyhatjuk fgyelmen kívül, hogy normáls eloszlás esetén a várható értéknél van a sűrűségfüggvény maxmuma, lletve gaz, hogy az eloszlás szmmetrkus és a várható érték a közepén van. Mndezek alapján érthető, hogy a várható érték gen jellemző egy normáls eloszlás esetén. Általános eloszlás esetén azonban sem az átlag, sem a szórás nem túl jellemző az adott eloszlásra (remélem a példákon keresztül skerül ezt bzonyítanom). Ilyen eloszlásokat más jellemzőkkel lehet leírn. Módusz A módusz a valószínűség változó legnagyobb valószínűségű értéke (a sűrűségfüggvény maxmumhelye). Egy eloszlásnak több módusza s lehet, bár ez rtka. Ilyen esetekben gyanakodhatunk, hogy több sokaság keveredését tapasztaljuk. Egycsúcsos szmmetrkus eloszlás esetén a módusz és a medán egybeesk. Mnmum: A legksebb érték. Maxmum: A legnagyobb érték. Terjedelem: Az lehetséges kmenetek azon legksebb ntervallumának nagysága, amben mnden tényleges kmenet szerepel. A legnagyobb és a legksebb érték különbsége. Medán Valószínűség alapokon a medán az az érték, amnél nagyobbat ugyanolyan valószínűséggel vesz fel a valószínűség változó, mnt ksebbet. Mntákra vetítve ez azt jelent, hogy a mnták fele a medán alatt, a mnták másk fele a medán felett lesz. Megkereséséhez a nagyság szernt rendezett mntaelemek közül a középsőt vesszük. Páros mntaelemszám esetén a két középső elem számtan átlaga a medán. Alsó/Felső Kvartlsek: A medán mntájára megadhatjuk azt az értéket, am alatt a kmenetek egynegyede van, lletve azt, am alatt a kmenetek háromnegyede van. Az előbb az alsó kvartls, az utóbb a felső kvartls. Percentlsek: Mnden százalékos értékhez rendelhető egy kmenet, am alatt a kmenetek adott százaléka található. Például a 1-es percentls az, am alatt a kmenetek 1%-a van. Példa A példákban azt szeretném bemutatn, hogy egy smert eloszlás esetén mlyen az értéke a különböző leíró statsztkáknak, lletve, hogy csak a jellemzők smeretében mlyen képet alkothatunk magáról az eloszlásról.

3 Leíró statsztka jellemzőkből az eloszlás vsszaállítása Gondoltam egy eloszlásra. Átlaga 5,7; szórása,97. Mndezek alapján az eloszlást a következőképpen képzelhetjük el: Sokakban él ez kép, mert normáls eloszlást várunk. Azonban senk nem mondta, hogy az eloszlás normáls. Mechankusan mnden adatsorra kszámítható az átlag és a szórás, s e mögé m mndg normáls eloszlást képzelünk. Megadva a lapultságot (+,1) és a ferdeséget (+,59) tovább fnomíthatjuk a képet. Az eloszlás csúcsosabb és maxmuma kssé balra van. Mnden gaz, bár nem ad jó képet az eloszlásról. Megadom a legksebb és legnagyobb értékét. Legksebb értéke 1, legnagyobb értéke Ez alapján maxmum azt mondhatjuk, hogy az adatok lyen ntervallumban vannak. Fontos jellemzők, hsz később szükség lesz rájuk, valamnt megmondják, hogy alatta és felette nncs kmenet. A medán 5. Ez alapján a következő hsztogrammot várhatjuk:

4 Vegyük azonban észre, hogy önmagában a medán csak annyt ad meg, hogy alatt van a kmenetek fele, lletve felette s a kmenetek fele van. Ha egy eloszlásról csak a medánt smerjük, akkor lyen hsztogrammot nem szerkeszthetünk, mert nem tudjuk a mnmumot és a maxmumot. A módusz 5. Pusztán ez alapján a következő eloszlásra gondolhatunk: A felső kvartls 7, az alsó kvartls. Ezek, a medán és a mnmum, maxmum alapján a következő eloszlást jósolhatjuk Ha beleveszzük, hogy a módusz 5-nél van, akkor a középső oszlopok nagyságát kssé megváltoztatva még pontosabb képet kaphatunk. A tényleges eloszlás a következő volt:

5 Példák 1. Gondoltam egy eloszlásra. Mnmuma 1, terjedelme, módusza és medánja, alsó kvartlse, felső kvartlse 5. Elemszáma 1. Hogy néz k az eloszlás? Az eloszlás maxmuma, mert a mnmum+terjedelem = maxmum. Egy tzenhárom elemű mnta medánja a 7. elem, am esetünkben. Az alsó kvartlse az. elem, felső kvartlse a 1. elem. Tehát bztosak lehetünk benne, hogy az első elem az 1, az 5. a, a 7. a, a 1. az 5 és a 1. a 7. A legtöbb - esből van. Feltételezhetjük, hogy mnden értéket felvesz az eloszlás. Így v. 1 v. 5 v. 5 v v v. 1 v