Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből"

Átírás

1 Kdolgozott feladatok a nemparaméteres statsztka témaköréből A táékozódást mndenféle színkódok segítk. A feladatok eredet szövege zöld, a megoldások fekete, a fgyelmeztető, magyarázó elemek pros színűek. 1. Nyuszka az erdő szélén ú répatorta-gyárat szeretne üzembe helyezn. 3 különböző kváló receptet s smer, így kísérletesen kívána megállapítan, hogy melykkel legnagyobb a műszakonként termelékenysége. Mndhárom recepttel 3-3 napon át gyárta a tortákat, mnden nap 3-3 műszakban dolgoznak szorgos munkása, és felegyzk a műszakonként előállított torták számát. Egy nap csak egyféle recept szernt megy a gyártás, és a 3 műszak 3 smételt gyártás kísérletnek teknthető. Az alább ANOVA táblában Nyuszka kszámította az eltérés-négyzetösszegeket: hatás SS szabadság fok szórásnégyzet F recept 34,5 16,6 7,69 nap 16,67 6 1,11,86 error 13, ,37 a) Íruk föl a modellt, eldöntve, hogy mely faktor véletlen, melyk rögzített, és mlyen a terv szerkezete! Mlyen nullhpotézseket vzsgálhatunk tt? A faktorok (ahogy az ANOVA táblából s látszk) a recept és a nap, a műszakok smétlésnek számítanak (egy műszakhoz egy adat tartozk). Mvel egy nap csak egy receptet használ, így a nap a receptbe van ágyazva. El kell dönten, hogy a faktorok rögzített vagy véletlen természetűek. A nap véletlen faktor, mvel 1) beágyazott faktor, ) a nap (és a hozzá hasonló természet háttérre vonatkozó dőtípusú faktorok) mndg véletlen faktor. A recept rögzített faktor, mvel k akara választan a legobbat. yk A nap véletlen faktor, tehát: 0, A nullhpotézsek: ~ N 0 0 Az ANOVA táblából sethető volt, hogy a modell herarchkus, de csupán erre hvatkozn nem elegendő. Lehetett volna az s, hogy ez egy kereszt-osztályozás típusú modell, csak a kölcsönhatást bevonták az errorba. b) Íruk be a táblázatba a hányzó értékeket! Hogy döntünk az egyes nullhpotézsekről? A számokat fentebb lehet látn a táblázatban (feketével). A recept szabadság foka 3 1. A nap szabadság foka Az error szabadság foka Az összes faktor szabadság fokat ha összeaduk, eggyel kevesebbet kell kapnunk, mnt az összes kísérlet száma. Ezt célszerű mndg ellenőrzn. Itt az összes kísérlet száma a számolt szabadság fokok összege 6, tehát lyen szempontból nyugodtak lehetünk. A szórásnégyzetet (MS) úgy kapuk, hogy az eltérés-négyzetösszeget (SS) elosztuk a szabadság fokkal. k

2 Az F próbastatsztkák számlálóában mndg annak a faktornak a szórásnégyzete szerepel, amre a próbastatsztka vonatkozk. Egy lyen herarchkus modellben a beágyazott faktorhoz tartozó próbastatsztka nevezőébe az error szórásnégyzet, a nem beágyazott faktorhoz tartozó próbastatsztka nevezőébe pedg a beágyazott faktor szórásnégyzete kerül. A 16,6 F 7,69 1,11 A 1,11 F,86 7,37 A recepthez tartozó próbastatsztka szabadság foka és 6, az 0, 05 -höz tartozó krtkus érték: 5,14, ennél nagyobb a próbastatsztka értéke, így az első nullhpotézst elutasítuk. A naphoz tartozó próbastatsztka szabadság foka 6 és 18, az 0, 05 -höz tartozó krtkus érték:,66, ennél nagyobb a próbastatsztka értéke, így a másodk nullhpotézst elutasítuk. ár nem volt feladat, adhatunk szakma választ s. Tehát szgnfkáns különbséget skerült kmutatn a receptek között, lletve a napok pluszngadozást okoznak a műszakokhoz képest. c) Ha Nyuszka kválaszta a legnagyobb termelékenységű receptet, mekkora ngadozásra számíthat a gyártás során? Nyuszka e nagyságú ngadozásra számíthat. Ezek értékét csak becsüln tuduk, hszen ezek a sokaság paramétere. A becslése az error szórásnégyzet: ˆ 7, 37. e e A becslését onnan kaphatuk meg, hogy EMS ( ) 3 e. Ez általában úgy néz k, hogy EMS ( ) p e, ahol p a cellánként smétlések száma, egy beágyazott faktor esetén. Mndezt általánosságban, bármlyen modellre a csllagosnégyszöges táblázatból kaphatuk meg. s sr 1,11 7,37 Innen ˆ 4, Így a teles ngadozás becslése: ˆ ˆ 4,58 7,37 11, 95 e. ergengócában egy ásatás során egy kőtáblát találnak, amn egy ANOVA tábla látható. Sanos a szöveg és a számok ava része nem olvasható (Ahol üres helyet láthatunk az alább táblázatban, ott olvashatatlan a szöveg). hatás SS szabadság fok szórásnégyzet F p A faktor ,50 0,031 faktor ,075 0,356 A kölcsönhat ,5 1,388 0,59 error a) Ezek alapán el tuduk-e dönten, hogy a vzsgált faktorok véletlen vagy rögzített faktorok voltak-e? Mért? Azt kell megvzsgáln, hogy az A faktor próbastatsztkáát hogyan kapták meg. Ugyans a nevezőben csak akkor szerepelhet az error szórásnégyzet, ha mndkettő faktor rögzített. Ha a két faktor közül bármelyk (tehát akár az A, akár a, de lehet mndkettő s) véletlen faktor, akkor mndkettőhöz tartozó próbastatsztka nevezőébe a kölcsönhatás szórásnégyzete kell, hogy kerülön (tehát a rögzített faktoréba s!).

3 140,5 140 ; 3, 5, tehát mndkét faktor rögzített. 55,5 40 b) Íruk föl a modellt és a nullhpotézseket! Két faktor szernt keresztosztályozásról van szó. A nullhpotézsek: yk 0 0 Mndg anny nullhpotézsnek kell lenne, ahány statsztka próbát végzünk (azaz ahány F, lletve p-érték van az ANOVA-táblában). c) Határozzuk meg, hogy a hányzó helyeken mlyen értékek állhattak egykoron! Az error szabadság fokát az eltérés-négyzetösszeg (SS) és a szórásnégyzet (MS) 960 hányadosaként kapuk: 4 40 A kölcsönhatás szabadság fokát a két főhatás szabadság fokának szorzataként kapuk. Két SS hányzk, ezeket a megfelelő MS és szabadság fok szorzataként kapuk meg. A faktor szórásnégyzetét az SS és szabadság fok hányadosaként kapuk. Mnt azt már korábban megállapítottuk, mnden F-próbastatsztka nevezőében az error szórásnégyzet szerepel, így ezzel osztuk le a szórásnégyzeteket: 43 55,5 1,075 ; 1, d) Ezek alapán állíthatuk-e, hogy az A faktornak nncs hatása? Az A faktorhoz tartozó p-érték 0,031 < 0,05, azaz a nullhpotézst elutasítuk, tehát ezek alapán az A faktornak van hatása, így nylván nem állíthatuk, hogy nncs. Ez a feladat véletlenül lett lyen duplán trükkös, eredetleg olyan faktort szerettem volna választan, ahol a nullhpotézst elfogaduk. Ilyen mad még lesz a másodk feladatsorban. 3. Az öreg krály közhírré tétette, annak ada a lánya kezét, ak olyan abrakot tud készíten varázslatos telvérének, amtől az gyorsabban fog futn, mnt bármely ló a vdéken. A leleményes krályf 5 féle abrakot készített, és ezek közül k akarta választan, hogy melykkel futnak a lovak a leggyorsabban. Ehhez kísérleteket végzett. Elment a hely ménesbe, és tt a lovakat az abrakokkal etette, és mérte, hogy mlyen gyorsan futnak. a) Mlyen modellt és nullhpotézst használt a krályf? Alapvetően egyetlen faktor van bztosan a modellben, mégpedg az abrak. Ha csak ezt a faktort vesszük be a modellbe, akkor ez egy egy faktor szernt ANOVA. y 0 A nullhpotézs: 0 A faktor rögzített, mert az abrakok közül a legobbat szerette volna kválasztan. Mvel nem volt telesen egyértelműsítve, hogy a krályf a kísérleteket hogyan végezte, így több másk modell s elképzelhető. k

4 Például ha egy abrakkal több lovat s etetett, de ezeknek több futását s megmérte, akkor például egy herarchkus modell írható fel, ahol az abrak faktorba van a lovak faktor beágyazva (ekkor ez véletlen faktor), és a futások adák az smétlést. Ha vszont a rendelkezésre álló lovakat mnd az 5 abrakkal kpróbálta, akkor ez a lovak és az abrakok között keresztosztályozás lesz. (Az abrakok még mndg rögzített faktor, a lovak pedg véletlen.) Természetesen bármlyen mesét és hozzá passzoló modellt+nullhpotézseket maxmáls pontszámmal fogadtam el. b) Mkor követ el másodfaú hbát? Mlyen következménye lehetnek, ha másodfaú hbát vét? Másodfaú hbát akkor követ el, ha elfogada a nullhpotézst, am vszont hams. Azaz elen helyzetben úgy talála, hogy az abrakok között nncs különbség, vszont valóában lenne közöttük egy legobb (vagy több obb, de mndenféleképp lenne reménytel abrak). Ematt valószínűleg nem próbálna benevezn a versenybe, pedg lehetséges, hogy nála lett volna a nyerő abrak. Azaz lehet, hogy lett volna esélye a králylány kezére, de nem s próbálkozott. A fordított válasz az elsőfaú hbához tartozk, és így természetesen nem ó válasz a kérdésre. Ez az lenne, hogy azt hsz, hogy megtalála a legobb abrakot, mközben az egy telesen hétköznap abrak. Ekkor benevez a versenyre, és nagy valószínűséggel elbuka azt, és így nem nyer el a králylány kezét. Ennek a következménye, hogy önmagában azt a következtetést, hogy nem nyer el a králylány kezét nem tudtam elfogadn, hszen az elsőfaú hba s ugyanerre a végkövetkeztetésre utna. (Mellesleg: A krályf a králylány kezére pályázk, de hbát követ el. Ebből mndenféle statsztka megfontolás nélkül s meg lehet seten, hogy nem foga elnyern a králylány kezét. Tehát ezt nem tudtam értékeln.) c) A krályf tudta előre, hogy a két legobban telesítő abrakot külön össze foga hasonlítan t-próbával. Tervezett vagy post-hoc összehasonlítást végez-e lyenkor? Tervezett összehasonlítást akkor végzünk, ha már az eredmények megszerzése előtt s tuduk, hogy melyk kettő csoportot foguk összehasonlítan. Azt nem tuduk az eredmények megszerzése előtt, hogy melyk az a két csoport (abrak), am a két legobb eredményt ada. Így ez post-hoc összehasonlítás. Sanos kmaradt a feladatból, hogy megkérdezzem, hogy mért az a ó válasz. Így sokan egyáltalán nem írtak ndoklást, amt vszont így maxmum ponttal kellett elfogadnom. Nem meglepő módon a másodk feladatsorban vsszatér ez a kérdés, és ott már nem követtem el ezt a hbát. 4. Okoska Törp tuda, hogy az ANOVA feltétele a hbák függetlensége, és ezt sokszor hangoztata s. Nem tuda vszont a tovább kérdésekre a választ. Segítsünk nek! a) Mtől kell a hbáknak függetlennek lennük? A hbáknak egymástól kell függetlennek lennük. (Csoporton belül és csoportok között s.) b) Hogyan vzsgáluk, hogy ez ténylegesen telesül-e? A rezduumokat a mérések sorrendében kell ábrázoln. Ha ebben bármlyen tendencát vélünk felfedezn, akkor abból arra következtethetünk, hogy nem telesül a függetlenség. Nem ó válasz az, ha valak csak annyt írt, hogy rezduumábrával, mert vannak más típusú rezduumábrák, amken ezt nem lehet vzsgáln.

5 c) Mt tehetünk, ha az adódk, hogy ez mégsem telesül? Sok mndent nem lehet tenn. Talán a legobb válasz az, hogy úra elvégezzük a méréseket úgy, hogy ügyelünk arra, hogy telesülön a függetlenség. Szntén elfogadható válasz az, hogy megpróbáluk kompenzáln a hatást, vagy a kértékelés során fgyelmeztetük magunkat, lletve a megbízónkat, hogy az eredmények nem feltétlenül megfelelőek, mert valószínűleg nem telesül a függetenség. Rossz válasz az, hogy randomzáluk az adatokat. Ennek nylvánvalóan semm értelme, ugyans a randomzálásnak a mérések elvégzése előtt van értelme. d) Mt és mkor tehetünk annak érdekében, hogy ez telesülön? Randomzáln kell a méréseket. (Azaz a méréseket véletlenszerű sorrendben kell elvégezn.) Az előbb mondatban már benne van, hogy mndezt a mérések elvégzése előtt lehet megtenn. Voltam annyra kedves, hogy ha valak a c) feladathoz leírta azt, hogy a méréseket véletlenszerű sorrendben kell elvégezn (azaz a mondatból egyértelműen kderül az, hogy a randomzálást a mérések előtt lehet megtenn), a d)-hez vszont nem írt semmt, akkor a c)-re természetesen nem adtam pontot, de a d) feladatra megadtam a pontot. 5. A ölcs agoly ANOVA vzsgálatot végzett, a rezduumokat a mért érték függvényében ábrázolta, így kapta az alább ábrát. 40 Raw Resduals Predcted Values a) Mlyen következtetést vonhatunk le ebből az ábrából? Ha a rezduumokat a becsült érték függvényében ábrázoluk, akkor mndg a hba varancáának konstans voltát vzsgáluk. Ezen az ábrán azt láthatuk, hogy a hba varancáa monoton változk a becsült értékkel, nagyobb becsült értékeknél ksebb a varanca. (Tehát nem konstans.) b) Mt tanácsolunk nek, hogyan folytassa tovább az elemzést? Ha a varanca úgy nem konstans, hogy a becsült értékkel (várható értékkel) monoton változk, akkor van remény arra, hogy ox-cox transzformácóval a varanca konstanssá tehető. Tehát a ölcs agolynak ox-cox transzformácót kellene végezne az adatara. Fontos, hogy általában ha nem konstans a hba varancáa, a ox-cox transzformácó nem bztos, hogy segít. Ehhez az kell, hogy a varanca a várható értékkel monoton változzon. (Mnt ahogy tt most van.) Természetesen erre a elenségre s lesz egy feladat, am felhíva a fgyelmet a másodk feladatsorban.

6 . feladatsor (ez volt a pótzh, a képen szereplő nyusz nagyon cuk, és benne volt a ZHban) 1. Egy vállalatnak nagy mennységű nyúlszőrre van szüksége, a nyulak szőrét pedg a növekedésük során ápoln kell. A vállalat 3 potencáls készítmény közül szeretné kválasztan, hogy melyk az, amvel a legobban nő a nyulak szőre. A 3 készítményhez ksorsolnak 4-4 nyulat, amelyek szőrét a növekedésük során végg az adott készítménnyel kezelk. A kísérletet fél éven keresztül folytatták, és mérték, hogy menny szőrt lehet az állatokról lenyírn. Az adatokat alább láthatuk szabványos nyúlszőr-egységekben. 1. készítmény. készítmény 3. készítmény eltérés-négyzetösszeg (SS): 16,75 86,00 106,00 a) Mért fontos, hogy véletlenszerűen sorsolák k, hogy melyk nyulat melyk készítménnyel kezelk? Ez a kérdés a randomzálás fontosságára, célára kérdez rá. Azért fontos, hogy bztosítsuk az adatok függetlenségét. Ha nem randomzálunk, és például az 1. készítményhez olyan nyulakat választunk k, amknek a szőre alapvetően nagyobb hozammal növekszk, akkor nem foguk tudn megállapítan, hogy a nyulak szőre a kezelés hatására növekszk obban (azaz az a kezelés obb, mnt a több), vagy csak a nyulak obbak önmagukban. Másk oldalról megközelítve a dolgot, így csaln tudunk a kísérletekkel, és olyan készítményt s hatásosnak tudunk beállítan, am valóában nem s az. b) Íruk fel a modellt és a nullhpotézst! Ez egy egyszerű egyfaktoros ANOVA, a nyulak smétléseknek teknthetők. A kezelés faktor rögzített, hszen k akaruk választan közülük a legobbat. A nullhpotézs: y 0 c) Végezzük el az elemzést! Az ANOVA táblát kell felírn. hatás SS szabadság fok szórásnégyzet F készítmény 463,50 31,75 5,879 error 354, ,4 Az errorhoz tartozó SS-t a megadott csoportokon belül SS-ek összeadásával kapuk meg.

7 A csoportokon belül SS (ezt egyébként a megadott adatokból k lehetett volna számoln, csak a számítás megkönnyítése végett adtam meg): y y Az error SS: y y A hatás SS-ének számításához k kell számoln a csoportátlagokat és az összes adat átlagát: y 80,5 1 y 90, 00 y 75, 3 00 y 81, 75 A hatás SS-e: SS A 4y1 y 4y y 4y3 y 4,5 468,06 445,56 463, 50 A készítmény szabadság foka, mert 3 készítmény volt. Az error szabadság foka , mert 3 csoportban 4-4 nyulat kezeltek. Érdemes ellenőrzn a szabadság fokokat, az összes szabadság fok összegének 1-gyel kevesebbnek kell lenne, mnt ahány kísérletet végeztek (elenleg a nyulak száma). + 9 = 11, 1 nyúl volt, tehát ez így ó. A szórásnégyzeteket osztással kapuk, az F próbastatsztkát pedg az MS-ek hányadosaként. A próbastatsztka szabadság foka és 9, az 0, 05 -höz tartozó krtkus érték: 4,6, ennél nagyobb a próbastatsztka értéke (5,879), így a nullhpotézst elutasítuk. Így a készítményekkel elérhető várható nyúlszőr-hozamok különböznek. d) Végezzünk páronként összehasonlítást az 1. és. készítményre! Kétmntás t-próbát kell végezn úgy, hogy a nevezőbe az error MS négyzetgyökét kell írn. ( becslése). e t H 80,5 90,00 0 : 1 9,75 6,80,71 0, ,4 4 4 Arra kell fgyeln, hogy a gyök alá a nevezőbe mndg a csoportok elemszámát kell írn, akármből s számítuk a nevezőben lévő szórást. Mvel az error MS szabadság foka 9, így a használatos t-próba szabadság foka s 9. Az 0, 05 -höz tartozó kétoldal krtkus érték: ±,6. A kapott próbastatsztka értéke ezek között van, tehát a nullhpotézst elfogaduk. Tehát az adatok nem mondanak ellent annak, hogy az 1. és. készítménnyel kezelt nyulak esetén a várható szőrhozam megegyezk.

8 . Az adóhatóság 3 ksvállalkozás bevételet néz het bontásban egy vzsgálat során. Összesen 1 hetet vzsgáltak, 3 hónapon keresztül (annak ellenére, hogy a hetek átívelhetnek a hónapokon, tt az első 4 hetet tekntük az első hónapnak, a másodk 4-et a másodknak, a harmadk 4-et pedg a harmadknak). Azt kívánták megállapítan, hogy a 3 vállalkozás közül melyknek a legnagyobb a het várható bevétele. Az alább ANOVA táblában az eltérés-négyzetösszegek már megelentek: hatás SS szabadság fok szórásnégyzet F vállalkozás ,5 hónap ,5 vállalk.*hónap error a) Íruk fel a modellt és a nullhpotézseket! Két faktort vzsgálunk a feladatban, a hónapokat és a vállalkozásokat, a hetek smétléseknek teknthetők, hszen egy héthez egyetlen adat tartozk. A vállalkozás rögzített faktornak teknthető, hszen k akarták választan, hogy melyknek a legnagyobb a várható bevétele. A hónap dőellegű faktor, így véletlen faktor. A vállalkozás és a hónap keresztosztályozás típusú vszonyban vannak, mert mndegyk vállalkozás esetén ugyanazt a 3-3 hónapot vzsgáluk. yk A hónap véletlen faktor, tehát: 0, és 0, A nullhpotézsek: ~ N 0 0 A 0 k ~ A N b) Töltsük k a hányzó cellákat, és döntsünk a nullhpotézsekről! A vállalkozás szabadság foka, mert 3 vállalkozás volt. A hónap szabadság foka, mert 3 hónapot vzsgáltak. A kölcsönhatás szabadság foka 4. Az error szabadság foka , mert a 3 vállalkozás 3 hónapában 4-4 hét volt. Érdemes ellenőrzn a szabadság fokokat, az összes szabadság fok összegének 1-gyel kevesebbnek kell lenne, mnt ahány kísérletet végeztek = 35, 36 adatunk van, tehát ez így ó. A szórásnégyzetek osztással számolandók k. Mvel van véletlen faktor, így mndkét főhatásnál a próbastatsztka nevezőébe a kölcsönhatás szórásnégyzetét kell írn. A kölcsönhatáséba természetesen az errort. A F F A F 84 3, ,

9 A vállalkozáshoz tartozó próbastatsztka szabadság foka és 4, az 0, 05 -höz tartozó krtkus érték: 6,94, ennél ksebb a próbastatsztka értéke, így az első nullhpotézst elfogaduk. A hónaphoz tartozó próbastatsztka szabadság foka és 4, az 0, 05 -höz tartozó krtkus érték: 6,94, ennél nagyobb a próbastatsztka értéke, így a másodk nullhpotézst elutasítuk. A kölcsönhatáshoz tartozó próbastatsztka szabadság foka 4 és 7, az 0, 05 -höz tartozó krtkus érték:,73, ennél ksebb a próbastatsztka értéke, így a harmadk nullhpotézst elfogaduk. ár nem volt feladat, adhatunk szakma választ s. Az adatok alapán nem skerült különbséget kmutatn a vállalatok het várható bevétele között, a hónapok pluszngadozást okoznak, a kölcsönhatásról pedg nem skerült kmutatn, hogy pluszngadozást okozna. c) A hatóság előre tudta, hogy végül a két legnagyobb átlagos bevételt hozó vállalkozást külön össze foga hasonlítan. Mlyen típusú összehasonlítás ez? Mért? Mvel előre nem lehet tudn, hogy melyk két vállalkozás lesz az, amelyknek a legnagyobb lesz az átlagos bevétele, így ez post-hoc összehasonlítás. Megegyzendő, hogy mvel nem skerült különbséget kmutatn, így nem túlságosan ésszerű páronként összehasonlítást végezn tt. 3. Az ANOVA feltétele a normáls eloszlás. Ez a megfogalmazás nem elég pontos. A következő ezzel kapcsolatos állításokról döntsük el, hogy gazak-e vagy hamsak-e! Mnden esetben ndokoluk a döntésünket! a) Az ANOVA elvégzése során feltételezzük, hogy az adatok egyazon normáls eloszlásból származnak. Hams. A hbákról feltételezzük a normáls eloszlást. Ha például egy rögzített faktornak hatása van, akkor ott a csoportok várható értéke különböző lesz, így az adatok márs nem egyazon normáls eloszlásból fognak származn. b) Ha a rezduumok normáls eloszlást követnek, akkor az adatok bztosan egyazon normáls eloszlásból származnak. Hams. Az ndok ugyanaz, mnt az előző kérdésnél. c) Nem tuduk elvégezn az ANOVA vzsgálatot, azaz a számítás nem kvtelezhető, ha a hbák nem normáls eloszlásúak. Hams. A számítás elvégzésénél egyszerűen az alapműveleteket végezzük el, semmlyen eloszlással kapcsolatos feltételezés nem befolyásola ezeknek az elvégezhetőségét. d) ANOVA vzsgálat során elképzelhető, hogy az adatok egyazon normáls eloszlásból származnak, vszont a hbák nem. Hams. Ahhoz, hogy az összes adat normáls eloszlásból származzon, az kell, hogy egyetlen rögzített faktornak se legyen hatása, és a véletlen faktorokra és a hbákra s telesülön, hogy normáls eloszlásból származnak. e) A normaltás vzsgálatakor a rezduumokat ún. Gauss-hálós elrendezésben ábrázoluk. Igaz. A normaltás vzsgálatakor a rezduumokat és nem a hbákat ábrázoluk, hszen azok értékét nem smerhetük. Ha valak ndoklás nélkül tppelt, akkor s kapott pontot. Ennek a következménye, hogy ha valak eltalálta, hogy gaz vagy hams az állítás, de rossz ndoklást írt, akkor s megkapta ezt a pontot. Mvel a d) és e) kérdésnél a válasz úgymond trváls, így tt egyrészt bármlyen nem értelmetlen ndoklást elfogadtam, másrészt tt a ó tpp - pontot ért, a másk 3 kérdésnél csak 1-1-et a 4-ből.

10 4. Egy földmntában szeretnék meghatározn a nehézfémtartalmat. A nyomozó hatóság 3 különböző laboratórumba s elküldte a földmnta 1-1 részét. Mndhárom laborban 4-4 párhuzamos mntaelőkészítést végeztek, mad mnden mntából - elemzést végeztek. a) Íruk föl a modellt és a nullhpotézseket! Két faktorunk van, a labor és a mntaelőkészítés. Mvel a laborokban külön-külön mntaelőkészítéseket végeztek, ezért a mntaelőkészítés sznte csak a laborokon belül értelmezhetők, azaz a mntaelőkészítés faktor a labor faktorba van ágyazva. A mntaelőkészítés véletlen faktor egyrészt mert beágyazott faktor, másrészt nylván nncs értelme azt kérdezn, hogy melyk mntaelőkészítés a legobb. A labor faktorra nem dönthető el telesen egyértelműen, hogy rögzített vagy véletlen. Véletlen faktornak teknthető akkor, ha a hatóság azért küldte el több laborba a mntát, mert több szakértő véleményét s k szerette volna kérn, hogy pontosabb eredményt kapon. Rögzített faktornak teknthető, ha azért küldték több helyre, mert a laborokat szerették volna összehasonlítan, mad ezek közül kválasztan azt, hogy a vzsgálatokat később melyk laborral fogák elvégeztetn. Ez a másodk gazából végtelenül erőltetett elképzelés, és mndenknek érezne kellene, hogy az első megoldás a ó, de ha valak ezt így megndokolta, akkor azt s elfogadtam. yk Ha a labor rögzített faktor, a nullhpotézs: Ha véletlen faktor, 0, 0 ~ N A, a nullhpotézs: A 0 ~ N 0, A mntaelőkészítés véletlen faktor, tehát: 0 k, a nullhpotézs: b) Aduk meg, hogyan számoluk k az egyes próbastatsztkákat! Mlyen szabadság fokú F-próbát végzünk tt? (Az F eloszlásnak szabadság foka van!) Szerencsére a kérdésre adott választ nem befolyásola, hogy a labor rögzített vagy véletlen faktor. A labor szabadság foka, mert 3 labor volt. A mntaelőkészítés szabadság foka , mert 3 laborban 4-4 mntaelőkészítést végeztek. Az error szabadság foka , mert az összesen mntából - smételt mérést végeztek. A laborhoz tartozó próba számlálóában a laborhoz tartozó szórásnégyzet, a nevezőében a beágyazott faktor, azaz a mntaelőkészítés szórásnégyzete van. Az F-próba szabadság foka így és 9. labor MSlabor F ;9 MSmnta A mntaelőkészítéshez tartozó próba számlálóában a mntaelőkészítéshez tartozó szórásnégyzet, a nevezőében az error szórásnégyzet van. Az F-próba szabadság foka így 9 és 1. mnta MSmnta F 9;1 MS c) Az elemzés során azt találák, hogy a laborokra vonatkozó nullhpotézsre p = 0,131. Mondhatuk-e ez alapán, hogy a labornak nncs hatása? Mért? error

11 Ha p = 0,131, akkor a nullhpotézst elfogaduk. Ekkor nem állíthatuk azt, hogy a labornak nncs hatása, csupán azt, hogy az adott szgnfkancasznten nem tudtunk hatást kmutatn. Itt arra kell gondoln, hogy csak a nullhpotézs elutasítása bzonyító ereű. Itt az előző feladatsor d) kérdésével ellentétben skerült olyan p értéket megadnom, amre a nullhpotézst elfogaduk. Az alább ábrán a rezduumokat a becsült értékek függvényében, a laborok szernt csoportosítva ábrázoltuk. Resds 10 Predcted d) Mre következtethetünk ebből? Amkor a rezduumokat a becsült érték függvényében ábrázoluk, akkor mndg a hba varancááról tudunk következtetést levonn. Látható, hogy a. labor esetén sokkal obban szórnak a pontok a 0 körül, azaz ebben a laborban nagyobb a hba varancáa, mnt a másk kettőben. Azaz az ANOVA-nak az a feltétele, hogy a hbák varancáa konstans nem telesül. e labor: labor1 labor: labor labor: labor3 e) Mlyen lépéseket kellene tenn ennek tudatában? Látható, hogy nem az a helyzet, hogy a varanca a várható értékkel függ össze, hszen mndhárom labor ugyanolyan értéktartományban mért, tehát egyáltalán nem reménykedhetünk, hogy az adatok ox-cox transzformácóával a varanca konstanssá tehető. K kell hagyn az elemzésből a. labor eredményet, hszen sokkal kevésbé precízen (nagyobb smételhetőség varancával) tudák a nehézfémtartalmat mérn. Mellesleg egyáltalán nem rreáls ez a helyzet, hogy bzonyos laborok kevésbé precízen, mások meg precízebben tudnak mérn.

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer? 01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

Variancia-analízis (ANOVA) Mekkora a tévedés esélye? A tévedés esélye Miért nem csinálunk kétmintás t-próbákat?

Variancia-analízis (ANOVA) Mekkora a tévedés esélye? A tévedés esélye Miért nem csinálunk kétmintás t-próbákat? Varanca-analízs (NOV Mért nem csnálunk kétmntás t-próbákat? B Van különbség a csoportok között? Nncs, az eltérés csak véletlen! Ez a nullhpotézs. és B nncs különbség Legyen, B és C 3 csoport! B és C nncs

Részletesebben

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás. Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

Tanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak.

Tanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak. 8. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK ISMÉTLÉS: Tanult nem paraméteres próbák, és hogy mlyen probléma megoldására szolgálnak. Név Illeszkedésvzsgálat Χ próbával Illeszkedésvzsgálat grafkus úton Gauss papírral

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

Táblázatok 4/5. C: t-próbát alkalmazunk és mivel a t-statisztika értéke 3, ezért mind a 10%-os, mind. elutasítjuk a nullhipotézist.

Táblázatok 4/5. C: t-próbát alkalmazunk és mivel a t-statisztika értéke 3, ezért mind a 10%-os, mind. elutasítjuk a nullhipotézist. 1. Az X valószínőség változó 1 várható értékő és 9 szórásnégyzető. Y tıle független várható értékkel és 1 szórásnégyzettel. a) Menny X + Y várható értéke? 13 1 b) Menny X -Y szórásnégyzete? 13 1 összesen

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések Gakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgból Lneárs regresszó, smétlés nélkül mérések 1. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x 1.8 3

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Kísérlettervezési alapfogalmak:

Kísérlettervezési alapfogalmak: Kísérlettervezés alapfogalmak: Tényező, faktor (factor) független változó, ható tényező (kezelés, gyógyszer, takarmány, genotípus, élőhely, stb.) amnek hatását a kísérletben vzsgáln vagy összehasonlítan

Részletesebben

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Nemparaméteres eljárások

Nemparaméteres eljárások Nemparaméteres eljárások Bevezetés Az ntervallum vagy a hányados skálán végzett méréseknél az adatokból számolhatunk átlagot, szórásnégyzetet, szórást Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij

y ij = µ + α i + e ij Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai

Részletesebben

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 10. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Varianciaanalízis A különböző tényezők okozta szórás illetőleg szórásnégyzet összetevőire bontásán alapszik Segítségével egyszerre több mintát hasonlíthatunk

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 09 Rendezések

Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 09 Rendezések Algortmusok és adatszerkezetek gyakorlat 09 Rendezések Néhány órával ezelőtt megsmerkedtünk már a Merge Sort rendező algortmussal. A Merge Sort-ról tuduk, hogy a legrosszabb eset dőgénye O(n log n). Tetszőleges

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

ANOVA összefoglaló. Min múlik?

ANOVA összefoglaló. Min múlik? ANOVA összefoglaló Min múlik? Kereszt vagy beágyazott? Rögzített vagy véletlen? BIOMETRIA_ANOVA5 1 I. Kereszt vagy beágyazott Két faktor viszonyát mondja meg. Ha több, mint két faktor van, akkor bármely

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Gyógytápszerek (kilokalória/adag) Három gyógytápszer A B C 30 5 00 10 05 08 40 45 03 50 35 190 Kérdések: 1. Van-e

Részletesebben

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom Lneárs regresszó Statsztka I., 4. alkalom Lneárs regresszó Ha két folytonos változó lneárs kapcsolatban van egymással, akkor az egyk segítségével elıre jelezhetjük a másk értékét. Szükségünk van a függı

Részletesebben

Varianciaanalízis. Egytényezős kísérletek (Más néven: egyutas osztályozás, egyszempontos varianciaanalízis ANOVA)

Varianciaanalízis. Egytényezős kísérletek (Más néven: egyutas osztályozás, egyszempontos varianciaanalízis ANOVA) Varancaanalízs A varancaanalízs során kettőnél több sokaság középértékenek mnta alapán történő összehasonlítása történk zért nevezk a kétmntás t-próba általánosításának A nullhpotézs eldöntéséhez használuk

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor Három gyógytápszer elemzéséből az alábbi energia tartalom adatok származtak (kilokalória/adag egységben) Három gyógytápszer elemzésébô A B C 30 5 00 10

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

Méréselmélet: 5. előadás,

Méréselmélet: 5. előadás, 5. Modellllesztés (folyt.) Méréselmélet: 5. előadás, 03.03.3. Út az adaptív elárásokhoz: (85) és (88) alapán: W P, ( ( P). Ez utóbb mndkét oldalát megszorozva az mátrxszal: W W ( ( n ). (9) Feltételezve,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria. Visegrády Balázs

[Biomatematika 2] Orvosi biometria. Visegrády Balázs [Biomatematika 2] Orvosi biometria Visegrády Balázs 2016. 03. 27. Probléma: Klinikai vizsgálatban három különböző antiaritmiás gyógyszert (ß-blokkoló) alkalmaznak, hogy kipróbálják hatásukat a szívműködés

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Tiszta és kevert stratégiák

Tiszta és kevert stratégiák sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

Elemi szelekciós elmélet

Elemi szelekciós elmélet Elem szelekcós elmélet Meszéna Géza 018. május 8. 1. Exponencáls növekedés, szelekcó és regulácó Állandó körülmények között egy populácó létszáma exponencálsan változk, hsz úgy a születések, mnt a halálozások

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek ADATREDUKCIÓ I. Középértékek Adatredukcó 1. M a középérték: azonos fajta számszerű adatok közös jellemzője. 2. Követelmények: a) Számított középérték: közbenső helyet foglaljanak el, azaz mn középérték

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ALAPJAI

A DÖNTÉSELMÉLET ALAPJAI J 2 A DÖNTÉSELMÉLET ALAJAI óformán életünk mnden percében döntéseket kell hoznunk, és tesszük ezt mnden elmélet megalapozottság nélkül. Sajnos a mndennap életben felmerülő egyed döntésekre még nem skerült

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus) Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, 0.5 - azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

Intelligens elosztott rendszerek

Intelligens elosztott rendszerek Intellgens elosztott rendszerek VIMIAC2 Adatelőkészítés: hhetőségvzsgálat normálás stb. Patak Béla BME I.E. 414, 463-26-79 atak@mt.bme.hu, htt://www.mt.bme.hu/general/staff/atak Valamlyen dőben állandó,

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157.

Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157. Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása 2018 Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157. kiss.gabor@tmit.bme.hu Példa I (Vonat probléma) Aladár 25 éves és mindkét nagymamája él még: Borbála és Cecília.

Részletesebben

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június ÖKONOMETRIA ÖKONOMETRIA Készült a TÁMOP-4.1.-08//A/KMR-009-0041pályázat projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudomány Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudomány Tanszék, az MTA Közgazdaságtudomány

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Nemparaméteres módszerek. Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

Nemparaméteres módszerek. Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Nemparaméteres módszerek Krsztna Boda PhD SZTE ÁOK Orvos Fzka és Orvos Informatka Intézet Paraméteres próbák Paraméter: egy szám, amely a populácó eloszlását jellemz (és általában meghatározza). A normáls

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

Normális eloszlás tesztje

Normális eloszlás tesztje Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar Üzlet Informácógazdálkodás és Módszertan Intézet Üzlet Statsztka és Előrejelzés Tanszék STATISZTIKA III. Oktatás segédlet 003. MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek ADATREDUKCIÓ I. Középértékek Adatredukcó 1. M a középérték: azonos fajta számszerű adatok közös jellemzője. 2. Követelmények: a) Számított középérték: közbenső helyet foglaljanak el, azaz mn középérték

Részletesebben

Hipotézisvizsgálat R-ben

Hipotézisvizsgálat R-ben Hipotézisvizsgálat R-ben 1-mintás u-próba Az elmúlt évben egy, az Antarktiszon talált királypingvinkolónia esetén a pingvinek átlagos testtömege 15.4 kg volt. Idén ugyanebből a kolóniából megmérték 35

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival. Dr. Nyéki Lajos 2018

Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival. Dr. Nyéki Lajos 2018 Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival Dr. Nyéki Lajos 2018 Egymintás t-próba Az egymintás T-próba azt vizsgálja, hogy különbözik-e a változó M átlaga egy megadott m konstanstól. Az a feltételezés,

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

Teljes eseményrendszer. Valószínőségszámítás. Példák. Teljes valószínőség tétele. Példa. Bayes tétele

Teljes eseményrendszer. Valószínőségszámítás. Példák. Teljes valószínőség tétele. Példa. Bayes tétele Teljes eseményrendszer Valószínőségszámítás 3. elıadás 2009.09.22. Defnícó. Események A 1, A 2,..., sorozata teljes eseményrendszer, ha egymást páronként kzárják és egyesítésük Ω. Tulajdonság: P A ) +

Részletesebben

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán): F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

nem kezelt 1.29, 1.60, 2.27, 1.31, 1.81, 2.21 kezelt 0.96, 1.14, 1.59

nem kezelt 1.29, 1.60, 2.27, 1.31, 1.81, 2.21 kezelt 0.96, 1.14, 1.59 1. feladat Egy szer rákellenes hatását vizsgálták úgy, hogy 9 egér testébe rákos sejteket juttattak be. Közülük 3 véletlenszerűen kiválasztott egérnek kezelésként beadták a vizsgálandó szert, 6-nak pedig

Részletesebben

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis 1. feladat Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve 2. feladat Az iskola egy évfolyamába tartozó diákok átlagéletkora 15,8 év, standard deviációja 0,6 év. A 625 fős évfolyamból hány diák fiatalabb

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 2014. november 06. A közgazdaságtan játékelméleti megközelítései

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 2014. november 06. A közgazdaságtan játékelméleti megközelítései Műzak folyamatok közgazdaág elemzée Előadávázlat 04. november 06. A közgazdaágtan átékelmélet megközelítée a Története: - Táraátékok elmélete (Zermelo - Neumann Jáno (mnmax-tétel, azaz mkor létezk megoldá

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

Adatsorok jellegadó értékei

Adatsorok jellegadó értékei Adatsorok jellegadó értéke Varga Ágnes egyetem tanársegéd varga.ag14@gmal.com Terület és térnformatka kvanttatív elemzés módszerek BCE Geo Intézet Terület elemzés forgatókönyve vacsora hasonlat Terület

Részletesebben

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision

Részletesebben

Várható érték:... p Módusz:...

Várható érték:... p Módusz:... NEVEZETES ELOSZLÁSOK. Bernoull-eloszlás: B(, p p ha x = Súlyfüggvény:... P( X = x; p =...ahol: q=-p q ha x = 0 ha p q Várható érték:... p Módusz:... 0 ha p q Varanca:... pq Relatív szórás:... q p. ÁBRA.

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI, Bevezetés a bometrába Dr. Dnya Elek egyetem tanár PhD kurzus. KOKI, 205.0.08. ADATREDUKCIÓ I. Középértékek Adatredukcó. M a középérték: azonos fajta számszerű adatok közös jellemzője. 2. Követelmények:

Részletesebben

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás 1. Gauss-eloszlás, természetes szórás A Gauss-eloszlásnak megfelelő függvény: amely egy σ szélességű, µ középpontú, 1-re normált (azaz a teljes görbe alatti terület 1) görbét ír le. A természetben a centrális

Részletesebben

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben