(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)"

Átírás

1 Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos Vannak más mérőszámok s esélyek számszerűsítésére! Odds (esélyhányados) 0 - (sznte) lehetetlen, 1 - azonos eséllyel gen vagy nem, - (sznte) bztos Logt (az odds logartmusa, szmmetrkus) - (sznte) lehetetlen, 0 - azonos eséllyel gen vagy nem, - (sznte) bztos valószínűségszámítás (probablty theory) Azzal foglalkozó tudományág, hogy bzonyos (egyszerűbb) események valószínűségét smertnek feltételezve, hogyan számíthatjuk k más (bonyolultabb) események valószínűségét. statsztka (statstcs vagy statstc) (statstcs) nagyszámú megfgyelt, mért adat összegzésével, az nformácó knyerésével és szemléltetésével (leíró statsztka, descrptve statstcs), lletve egy mnta adataból a populácó tulajdonságara való következtetéssel (nduktív statsztka, statstcal nference) foglalkozó tudományág (ndukcó: konkrét, egyed általános) (statstc) a mntából számított mérőszám, mutató (pl. mntaátlag) mnta (sample) A vzsgálandó egyedeknek vagy objektumoknak az a köre, amelyeket ténylegesen megvzsgálunk, azaz amelyeknek adatan következtetésenk alapulnak megfgyelés egység (observatonal vagy expermental unt) A populácó, lletve a mnta egy eleme, egy egyed vagy objektum, amelynek adatat feljegyezzük (lehet egy állat, egy élőhely, egy állatpopulácó, stb.) asszocácó (assocaton) Összefüggés két jellemző között (pl. testsúly-testmagasság, vagy hajszín-szemszín); ha két jellemző összefügg, akkor az egyk jellemző smerete egy egyeden a másk jellemzőről s több-kevesebb nformácót szolgáltat (statsztka) populácó ~ alapsokaság (populaton) A vzsgálandó egyedeknek vagy objektumoknak az a (teljes) köre, amelyre a vzsgálat rányul, azaz amelyre következtetésenket vonatkoztatn szeretnénk

2 korrelácó (correlaton) Specáls (de gyakor) összefüggéstípus két jellemző között poztív korrelácó: "ksebbel ksebb, nagyobbal nagyobb jár együtt" negatív korrelácó: "ksebbel nagyobb, nagyobbal ksebb jár együtt" sztochasztkus (stochastc) (összefüggés, törvényszerűség) Olyan összefüggés, amelyben a véletlennek s szerepe van aszmptotkus (tulajdonság) (asymptotc) Nagy mntákra érvényes (tulajdonképpen ha a mntanagyság végtelenhez tart) Az asszocácó általánosabb fogalom, mnt a korrelácó! (vszonyuk mnt a rovar / bogár ) függetlenség (ndependence) Két jellemző olyan vszonya, amkor nncs közöttük összefüggés: lyenkor az egyk jellemző smerete egy egyeden semmlyen nformácót nem nyújt a másk jellemzőre nézve (statsztkalag) szgnfkáns (statstcally sgnfcant) A mntában megfgyelt tulajdonság (összefüggés, különbség, stb.) túllép azt a szntet, amt még könnyű szívvel a véletlen számlájára írhatnánk. Ezért úgy gondoljuk, hogy a megfgyelt tulajdonság nem csak a mntára, hanem a populácóra s jellemző. Gondoljunk rá így: nem szgnfkáns ~ könnyen lehet, hogy a véletlen játéka (semmt sem bzonyít) szgnfkáns ~ lehet ugyan, hogy véletlen, de a véletlen lyet csak rtkán produkál Hogy szakmalag s érdekes-e, amt megfgyeltünk, az más kérdés (szakmalag releváns vagy rreleváns). Az a legszebb, ha felfedezésünk szakmalag s releváns és statsztkalag s szgnfkáns. A valószínűségszámítás és a statsztka vszonya Tpkus valószínűségszámítás kérdésfeltevés: Ha egy betegség előfordulás aránya (prevalenca, prevalence) a populácóban 20%, menny a valószínűsége, hogy 50 véletlenszerűen választott egyed között két beteget találunk? Tpkus statsztka kérdésfeltevések: Ha 50 véletlenszerűen választott egyed között két beteget találunk, akkor mt állíthatunk a betegség populácóbel prevalencájáról? Ha 50 véletlenszerűen választott egyed között két beteget találunk, akkor vajon tartható-e az az elképzelés (hpotézs, hypothess), hogy a betegség populácóbel prevalencája 20%?

3 Az első statsztka kérdésfeltevést becslésnek (estmaton), a másodkat hpotézsvzsgálatnak (hypothess testng) nevezzük. Az első kérdésre kétféle választ szokás adn. Pontbecslés (pont estmaton) esetén a válasz egy szám: 4%. Intervallumbecslés (nterval estmaton) esetén a válasz egy úgynevezett konfdenca-ntervallum (confdence nterval): a populácóbel prevalenca 95% valószínűséggel 0.7% és 13.7% között van. A 95% a konfdenca ntervallum megbízhatóság szntje (confdence level). A másodk kérdésre a válasz gen-nem jellegű. Igen, tartható, a megfgyelés nem mond ellent a hpotézsnek, eltérésük nagy valószínűséggel a véletlennek tulajdonítható. Nem tartható, a hpotézst elvetjük, mert a megfgyelés oly mértékben ellentmond nek, am már nem írható a véletlen számlájára. (Ha a hpotézs gaz lenne, lyen megfgyelés csak csekély valószínűséggel fordulhatna elő). "A megfgyelt adatok (50 elemű mntában 2 beteg) alapján 0.13% tévedés valószínűség mellett (~ 99.87% megbízhatóság sznten ~ P=.0013) elvetjük azt a hpotézst, hogy a betegség populácóbel prevalencája 20%." Ennek kszámításához kell a valószínűségszámítás! Megtartás-elvetés konvenconáls határa: 5 vagy 1% tévedés valószínűség. A valószínűségszámítás legfontosabb alapfogalma Esemény alapfogalom, nem defnáljuk (mnt pl. a halmaz), ntutíve egy kjelentésnek felel meg, pl. "páros számot dobtam", "esk az eső", stb., de több kjelentés s megfelelhet ugyanannak az eseménynek a megfgyeléskor egyértelműen legyen eldönthető, hogy bekövetkezett, vagy nem Műveletek eseményekkel ugyanaz a matematka struktúra, mnt a halma zoknál: "Boole-algebra" (a logkában s ugyanaz a struktúra!) Két esemény, A és B összege az az esemény, amelyk pontosan akkor következk be, ha A és B közül valamelyk akár mndkettő, akár csak az egyk bekövetkezk. Az A és B események összegét A+B-vel jelöljük. A vagy B Két esemény, A és B szorzata az az esemény, amelyk pontosan akkor következk be, ha A és B mndketten bekövetkeznek. Az A és B események szorzatát AB-vel jelöljük. A és B Az összeg és szorzat nem csak 2, hanem több, sőt megszámlálhatóan végtelen sok eseményre s kterjeszthető. Egy A esemény ellentettje (komplementere) az az esemény, amelyk pontosan akkor következk be, ha A nem következk be. Az A esemény ellentettjét A C -vel jelöljük. nem A Bztos esemény (I), lehetetlen esemény (O vagy )

4 A műveletek tulajdonsága: Összeadás Szorzás Ellentett Több művelet együtt A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+A=A AB=BA (AB)C=A(BC) AA=A C ( A ) C = A C I = C = I A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C) A+A c =I AA c =O (A+B) c =A c B c (AB) c =A c +B c Relácók események között Ha két esemény, A és B között olyan a vszony, hogy ha A bekövetkezk, akkor bztos, hogy B s bekövetkezk, akkor azt mondjuk, hogy A maga után vonja B-t, és úgy jelöljük, hogy A B A lehetetlen esemény bármelyk eseményt maga után vonja, azaz bármely A eseményre O A, valamnt az s, hogy bármely A eseményre A I. A B pontosan akkor áll fenn, amkor az alább összefüggések: A+B=B, lletve AB=A. Ugyanúgy, mnt a halmazoknál, az A\B=AB C összefüggéssel defnálható a kvonás művelete s. Szemléletesen fogalmazva, az A és B események különbségén azt az eseményt értjük, amelyk pontosan akkor következk be, amkor az A esemény bekövetkezk, de B nem. Az A eseményt összetett eseménynek (vagy más szóval felbontható eseménynek) nevezzük, ha előállítható két, tőle különböző A 1 és A 2 esemény összegeként, azaz A=A 1 +A 2 alakban (méghozzá úgy, hogy A 1 A, A 2 A). Természetesen A=A+O alakban bármelyk esemény előállítható, ezt trváls felbontásnak nevezk, de most ezt kzártuk az A1 A, A2 A feltételekkel. Könnyű megmutatn, hogy egy A esemény pontosan akkor összetett, ha létezk egy olyan A-tól s és a lehetetlen eseménytől s különböző esemény, amelyk maga után vonja A-t, azaz létezk olyan B, amelyre B A, B O és B A. Az A eseményt elem eseménynek nevezzük, ha A nem összetett esemény. Gyakran találkozhatunk az alább rokon értelmű kfejezésekkel s: felbonthatatlan esemény, atom, kmenetel, az eseménytér egy pontja. Az összetett eseményről mondottakból az következk, hogy ha az A esemény elem, akkor csak A=A+O alakú összeggé bontható. Ha A elem esemény, akkor a lehetetlen eseményen és magán A-n kívül nncs olyan esemény, amely A-t maga után vonná. Az A és B eseményeket egymást kzáró eseményeknek nevezzük, ha nem következhetnek be egyszerre, azaz ha szorzatuk a lehetetlen esemény: AB=

5 Az A 1, A 2, A 3,..., A n eseményeket teljes eseményrendszernek nevezzük, ha az A események páronként kzárják egymást, és az összes A összege a bztos esemény, azaz ha bármely j-re AAj=O, és A = I. n = 1 Példák: egy A esemény és az ellentettje, A C az összes elem esemény Ha az eseménytér nem véges, akkor az események között műveleteket megszámlálhatóan végtelen sok operandusra s értelmezzük, azaz feltételezzük, hogy megszámlálhatóan végtelen sok esemény összege, lletve szorzata s esemény. Az A 1, A 2, A 3,... A,... események összegén azt az eseményt értjük, amelyk pontosan akkor következk be, ha az A események közül legalább egy bekövetkezk. Az A 1, A 2, A 3,... A,... események szorzatán azt az eseményt értjük, amelyk pontosan akkor következk be, ha az A események mndegyke bekövetkezk. Egy véges sok elem eseményből álló eseményteret véges eseménytérnek nevezünk. Mnden összetett esemény előállítható elem események összegeként, méghozzá az összeadandók sorrendjétől eltekntve egyértelműen. Az összes elem és összetett események száma n 2, ha az elem események száma n. ESEMÉNYEK (eseményalgebra) összeg A+B szorzat AB ellentett esemény A C bztos esemény I lehetetlen esemény O HALMAZOK (halmazalgebra) egyesítés (unó) A B metszet A B komplementer halmaz A C alaphalmaz H üres halmaz LOGIKAI KIJELENTÉSEK (kjelentéskalkulus) logka "vagy" A B logka "és" A B tagadás A azonosan gaz állítás azonosan hams állítás h Valószínűség A valószínűség P(A) az A eseményhez rendelt 0 és 1 között valós szám P: {az események halmaza} [0,1] függvény nem negatív értékű addtív: ha A és B kzárók, akkor P(A+B) = P(A) + P(B) sőt σ-addtív: ha A 1, A 2,... páronként kzárók, azaz A A j, akkor P( A ) = P(A ) (A valószínűség mérték: nem negatív, addtív halmazfüggvény) Az olyan eseményteret, amelyben valamlyen módon értelmeztük az események valószínűségét, valószínűség mezőnek nevezzük. A maga után vonja B-t A B részhalmaz vszony A B mplkácó A B

6 A valószínűség tulajdonsága: (axómák, ezekből a több tulajdonság már levezethető) Bármely esemény valószínűsége 0 és 1 közé esk, azaz 0 P(A) 1. A lehetetlen esemény valószínűsége 0, azaz P(O) = 0. A bztos esemény valószínűsége 1, azaz P(I) = 1. Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt, akkor B valószínűsége legalább akkora, mnt A-é, azaz A B P(A) P(B). Valószínűségszámítás fogások: számolás a komplementer esemény valószínűségéből: P(A) = 1 P(A C ) felbontás kzáró részekre és azok valószínűségenek összegzése felbontása elem eseményekre és azok valószínűségenek összegzése Tovább tulajdonságok, amelyek egyszerűen bzonyíthatók: Ha az A 1, A 2, A 3,..., A n események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+...+P(A n )=1. Véges eseménytérben az összes elem esemény valószínűségének összege 1. (Mert az összes elem esemény teljes eseményrendszert alkot.) Végtelen eseménytér esetén feltesszük azt s, hogy a megszámlálhatóan végtelen összeg valószínűsége s megkapható a tagok valószínűségének összegeként, ha a tagok páronként kzáró események. Klasszkus valószínűség mező véges sok elem esemény, mnd egyenlő valószínűségű (események ~ az elem események halmazának részhalmaza) Ekkor egy A esemény valószínűsége úgy számítható k, hogy azon elem események számát, amelyek bekövetkezése esetén A s bekövetkezk, osztjuk az összes elem események számával. Más skálák: valószínűség (P), odds (O) és logt (L) P O=, 1 P L O e P=, L= ln O, P= L 1+ O 1+ e P O L valószínűség -10 odds logt Feltételes valószínűség, események függetlensége Felmerülhet az a kérdés, hogy az A esemény esélye növekednek vagy csökkennek-e akkor, ha a B esemény bekövetkezk. Egy E eseménynek egy F esemény bekövetkezése mellett, számszerűen kfejezett esélyét az E eseménynek F-re (mnt feltételre) vonatkozó feltételes valószínűségének (condtonal probablty) nevezzük, és P(E F)-fel jelöljük. (Jegyezzük meg, hogy a feltétel áll hátul!) A és B között poztív kapcsolatról beszélünk, ha P(A B) > P(A), negatív kapcsolatról beszélünk, ha P(A B) < P(A). Abból, hogy bzonyos események gyakran együtt járnak, nem következk, hogy okság kapcsolat lenne közöttük.

7 Ha P(A B) = P(A), azaz a B bekövetkezése nem befolyásolja A esélyet, akkor azt mondjuk, hogy az A és B események függetlenek (ndependent). Ha egy valószínűség mezőben (azaz egy olyan eseménytérben, ahol az eseményekhez valószínűség s hozzá van rendelve) egy F esemény valószínűsége nem 0, akkor a P(E F) feltételes valószínűséget az alább képlettel szokás defnáln: P(EF) P(E F) = P(F) Az F eseményre vonatkozó feltételes valószínűség tulajdonsága rendre megegyeznek a (feltétel nélkül) valószínűségével, azaz bármely E esemény F-re vonatkozó feltételes valószínűsége 0 és 1 között számérték, 0 P(E F) 1, ha az F bekövetkezése esetén a E bekövetkezése lehetetlen, akkor P(E F) = 0, ha az F bekövetkezése esetén a E bztosan bekövetkezk, akkor P(E F) = 1, ha az E 1 maga után vonja E 2 -t, akkor P(E 1 F) P(E 2 F), ha az E 1 és az E 2 események kzárják egymást, akkor P((E 1 +E 2 ) F) = P(E 1 F) + P(E 2 F), és e tulajdonság nemcsak két, hanem akárhány (véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok) tagú összegre s gaz. A feltételes valószínűség defnícójából közvetlenül adódó P(AB) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) Könnyű belátn, hogy ha A és B függetlenek, akkor A és B C, A C és B, valamnt A C és B C s függetlenek. összefüggés alapján könnyű megmutatn, hogy mnd a poztív, mnd a negatív kapcsolat, mnd pedg a függetlenség szmmetrkus, ugyans ha P(AB) P(A)P(B), akkor P(A B) P(A) és P(B A) P(B) s gaz, ha P(AB) P(A)P(B), akkor P(A B) P(A) és P(B A) P(B) s gaz, ha P(AB) = P(A)P(B), akkor P(A B) = P(A) és P(B A) = P(B) s gaz. Egy A eseménynek egy B eseményre vonatkozó feltételes valószínűségéből a fordított feltételes valószínűséget, vagys B-nek A-ra vonatkozó feltételes valószínűségét az alább képlettel fejezhetjük k: P(B A) = P(A B)P(B) P(A) Két esemény függetlenségét általában a feltételes valószínűség fogalmát kkerülve egyenesen a P(AB) = P(A)P(B) feltétellel szokták defnáln. Ennek egyk előnye, hogy a szmmetra szemmel látható, a másk pedg, hogy a feltételes valószínűségnél az osztás matt szükséges P(B)>0 feltételt feleslegessé tesz. Ha ezt a defnícót fogadjuk el, akkor gaz az, hogy egy 0 vagy 1 valószínűségű esemény bármely eseménytől független.

8 Relatív gyakorság Ismételjünk meg egy kísérletet vagy megfgyelést azonos körülmények között N-szer és számoljuk meg, hogy valamely E esemény az N smétlésből hányszor következett be! A bekövetkezések számát (jelöljük n E -vel) az esemény abszolút gyakorságának ne vagy egyszerűen gyakorságának, az re = hányadost pedg az esemény relatív N gyakorságának nevezzük. Példa: Ha 15-ször dobunk egy dobókockával, és ebből 3-szor dobunk hatost, akkor ebben a kísérletsorozatban a hatos dobásnak, mnt eseménynek a gyakorsága 3, a relatív gyakorsága pedg 3/15=0.2. Egy E eseménynek egy F esemény bekövetkezése mellett feltételes relatív gyakorsága, r E F azt jelent, hogy ha csak azokat az smétléseket nézzük, amelyekben F bekövetkezett, és számoljuk, hogy ezeknek mekkora hányadában következett be E. Azaz ha n F az F bekövetkezésenek számát jelöl, n EF pedg az E és F együttes bekövetkezésenek számát, akkor n EF r E F = = nf A relatív gyakorság (a feltételes s) 0 és 1 között szám, mnt a valószínűség, sőt ugyanazok a tulajdonsága. r r EF F A nagy számok gyenge törvénye Más néven a nagy számok Bernoull-féle törvénye Tétel: Legyen A egy kísérlet egyk lehetséges eredménye, valószínűsége legyen P(A)=p. Ismételjük meg a kísérletet n-szer egymástól függetlenül, és h A (n) jelölje az A esemény relatív gyakorságát ebben a kísérletsorozatban. Ekkor tetszőleges ks ε és δ poztív számokhoz található olyan N, hogy n N esetén A fent tétel következménye: ( h ( n) P( A) < ε) 1 δ P A Ha az smétlések számát, N-et növeljük (ha N ), akkor egy esemény relatív gyakorsága egyre kevésbé tér el az esemény valószínűségétől. A teljes valószínűség tétele A teljes valószínűség tétele azt mondja k, hogy ha smerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamenny E 1, E 2,..., E n eseménye, mnt feltétel mellett, akkor ebből az A esemény feltétel nélkül valószínűségét az alább képlettel határozhatjuk meg: P n ( A) = P( A E) P( E). = 1 Példa: Egy betegség előfordulásának valószínűségét korcsoportonként smerjük. Az E események: a vzsgált személy fatal (E 1 ), középkorú (E 2 ) vagy dős (E 3 ), az A esemény pedg azt, hogy a szóban forgó betegségben szenved. Tehát smerjük a P(A E 1 ), P(A E 2 ) és a P(A E 3 ) valószínűségeket, és ezek alapján szeretnénk meghatározn a P(A) valószínűséget, azaz annak a valószínűségét, hogy egy, a vzsgált népességből találomra (a korára való tekntet nélkül) kválasztott személy a szóban forgó betegségben szenved.

9 Tegyük fel, hogy az egyes feltételes valószínűségek számszerűen a következők: P(A E 1 )=0.05, P(A E 2 )=0.1, P(A E 3 )=0.2. Ha a kormegoszlás 60%, 30%, 10%, azaz P(E 1 )=0.6 P(E 2 )=0.3 P(E 3 )=0.1 akkor a képlet szernt számolva P(A) = P(A E 1 )P(E 1 )+P(A E 2 )P(E 2 )+P(A E 3 )P(E 3 ) = = 0.08, Bayes tétele Thomas Bayes ( ) A tétel akkor használható, ha smerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamenny E 1, E 2,..., E n eseménye, mnt feltétel mellett, és ebből szeretnénk meghatározn az egyes E eseményeknek az A-ra vonatkozó feltételes valószínűségét. Tudjuk, hogy P(B A) = P(A B)P(B) P(A) Ezt alkalmazva most a keresett valószínűség: P(E A) Ebből és a teljes valószínűség tételéből: P(E A) = n k= 1 P(A E k = P(A E )P(E ) )P(E k P(A E )P(E ) ) P(A) Példa: Az előző példához vsszatérve azt keressük, hogy ha tudjuk valakről, hogy beteg, de nem smerjük a korát, akkor mlyen valószínűséggel tartozk az dősek közé. P(A E 1 )=0.05, P(E 1 )=0.6 P(A E 2 )=0.1, P(E 2 )=0.3 P(A E 3 )=0.2. P(E 3 )=0.1 P(A E3)P(E3) P(A E3)P(E3) P(E 3 A) = = = n P(A E )P(E ) P(A E1)P(E1) + P(A E 2 )P(E 2) + P(A E3)P(E3) k= 1 k = = = k A P(E 1 ), P(E 2 ),..., P(E n ) valószínűségeket a pror valószínűségeknek, a P(E 1 A), P(E 2 A),..., P(E n A) feltételes valószínűségeket pedg a posteror valószínűségeknek nevezk. A Bayes-tétel azért nagyon fontos a statsztkában, mert gyakran az a helyzet, hogy egy kísérlet kmenetelét (azaz, hogy az E 1, E 2,..., E n események közül melyk következk be) különféle okok matt nem tudjuk megfgyeln, meg tudunk vszont fgyeln egy ezzel több-kevesebb kapcsolatban lévő A eseményt, és lyenkor az A bekövetkezéséből (vagy be nem következéséből) szeretnénk levonn valamlyen következtetést az E eseményekre nézve.

10 Geometra valószínűségek A geometra valószínűségek segítségével megvzsgáljuk néhány példán a modellalkotás lehetőséget. Példa: Találomra ránézek az órámra. Menny a valószínűsége, hogy a másodpercmutató épp valahol a 4-es és a 6-os között van? I. megoldás (klasszkus modell): Az órám másodpercmutatója ugrk, 60 lehetséges helyzete van, amelyek mndegykének azonos a valószínűsége. Az, hogy a 4-es és a 6-os között van, 9 lehetséges helyzetet jelent, ha magát a 4-est és a 6-ost nem számítjuk (vagy számítsuk?!). Tehát a keresett valószínűség 9/60. (11/60?) II. megoldás (geometra modell): A másodpercmutató folytonosan halad, helyzete a kör bármely pontja lehet. A lehetséges helyzetek (az elem események) száma végtelen, sőt, nem megszámlálhatóan végtelen. Intutív megoldás: a 4-estől a 6-osg terjedő körív a körvonal 1/6-a, tehát a valószínűség legyen 1/6. Szmmetra-okokból feltettük, hogy mnden elem esemény egyenlően valószínű, abból pedg az következk, hogy mndegyk elem esemény 0 valószínűségű. Így az elem események valószínűségenek összeadogatásával mndg csak 0-t kaphatunk. Ezért választottuk a geometra úton származó ntutív megoldást, hszen logkus a feltevés, hogy a több ugyanekkora rész s ugyanakkora valószínűségű. Gondoljuk végg, mlyen feltevéseken alapul ez az érvelés! Ugyanakkora részek valószínűsége egyenlő Kétszer akkora rész valószínűsége kétszer akkora, háromszor akkora rész valószínűsége háromszor akkora, stb. Egy esemény valószínűsége a nek megfelelő halmaz nagyságával (hosszával?) arányos A teljes halmaz a bztos eseménynek felel meg, tehát valószínűsége 1. Összefoglalva: Geometra valószínűség modell: a valószínűségek hozzárendelésének alapja nem darabszám (mnt a klasszkusban), hanem geometra mérték (a példában hosszúság volt). Feltételek: az elem események halmaza egy geometra alakzat (most épp vonal volt, de lehet síkdom, test s) neve: fázstér azonos geometra mértékű halmazok (most épp hosszúság volt, de lehet terület, térfogat s) valószínűsége egyenlő Következmény: Egy esemény valószínűsége arányos a nek megfelelő halmaz geometra mértékével Következmény: Bármely esemény valószínűsége = a nek megfelelő halmaz geometra mértéke, osztva a teljes eseménytér (a fázstér) geometra mértékével. Megjegyzések: Sokszor választhatunk, hogy egy problémát a klasszkus vagy a geometra modellel írunk le. Szempontok: Melyk realsztkusabb (valójában mlyen az órám) Melyk kezelhető könnyebben matematkalag Mndg meg kell fontoln, teljesülnek-e a modell feltétele! (Ez a klasszkus modellre s gaz!!!) A geometra modellben vannak olyan 0 valószínűségű események, amelyek nem lehetetlenek! Tehát: 0 valószínűségű lehetetlen! Az, hogy az eseménytér vonal, síkdom, vagy test, attól függ, hány független paraméter van a feladatban (amelyek egymástól függetlenül változhatnak)

11 Bertrand-paradoxon (Mt jelent az, hogy találomra választan?) (Joseph Lous Bertrand: Calcul des probabltés, 1889) Egy körnek válasszuk k találomra egy húrját. Menny a valószínűsége, hogy a húr hosszabb lesz, mnt a körbe írható szabályos háromszög oldala? I. megoldás 1. lépés: válasszuk k a húr egyk végpontját a körvonalon. 2. lépés: ha a húr másk végpontját a körvonal jelzett részén vesszük fel, akkor lesz a húr hosszabb, mnt a körbe írható szabályos háromszög oldala. Mvel a jelzett rész a körvonal 1/3-a, P(a húr hosszabb lesz) = 1/3 II. megoldás 1. lépés: válasszuk k egy tetszőleges sugarat a körben. 2. lépés: ha a sugár egy pontjában merőlegest húzunk a sugárra, a kör egy húrját kapjuk. Ha a pontot a sugár jelzett részén vesszük fel, akkor lesz a húr hosszabb, mnt a körbe írható szabályos háromszög oldala. Mvel a jelzett rész a sugár fele, P(a húr hosszabb lesz) = 1/2 A paradoxon feloldása Ha így választunk találomra, az esetek 1/2-ében, ha amúgy, akkor az esetek 1/3-ában kapunk a szabályos háromszög oldalánál hosszabb húrokat. (Sőt, még sok megoldás van, más és más valószínűségekkel )

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Környezet statisztika

Környezet statisztika Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)

Részletesebben

Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44.

Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. Dr. Vincze Szilvia Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. tétel) Környezetünkben sok olyan jelenséget

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 2. MA3-2 modul. Eseményalgebra

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 2. MA3-2 modul. Eseményalgebra Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 2. MA3-2 modul Eseményalgebra SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán): F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom Lneárs regresszó Statsztka I., 4. alkalom Lneárs regresszó Ha két folytonos változó lneárs kapcsolatban van egymással, akkor az egyk segítségével elıre jelezhetjük a másk értékét. Szükségünk van a függı

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar Üzlet Informácógazdálkodás és Módszertan Intézet Üzlet Statsztka és Előrejelzés Tanszék STATISZTIKA III. Oktatás segédlet 003. MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Bizonytalanság. Mesterséges intelligencia április 4.

Bizonytalanság. Mesterséges intelligencia április 4. Bizonytalanság Mesterséges intelligencia 2014. április 4. Bevezetés Eddig: logika, igaz/hamis Ha nem teljes a tudás A világ nem figyelhető meg közvetlenül Részleges tudás nem reprezentálható logikai eszközökkel

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Területi sor Kárpát medence Magyarország Nyugat-Európa

Területi sor Kárpát medence Magyarország Nyugat-Európa Területi sor Terület megnevezése Magyarok száma 2011.01.01. Kárpát medence 13 820 000 Magyarország 10 600 00 Nyugat-Európa 1 340 000 HIV prevalence (%) in adults in Africa, 2005 2.5 Daganatos halálozás

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI, Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 4. Statisztikus golyójátékok

Orosz Gyula: Markov-láncok. 4. Statisztikus golyójátékok . Statsztkus golyójátékok Egy urnában kezdetben különböző színű golyók vannak. Ezek közül véletlenszerűen kválasztunk egyet, és a követett stratégától függően kveszünk vagy beteszünk újabb golyókat az

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

A sokasági értékösszeg becslése a könyvvizsgálatban

A sokasági értékösszeg becslése a könyvvizsgálatban Tanulmányok A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban Lolbert Tamás, az Állam Számvevőszék számvevője, a Budapest Corvnus Egyetem PhD-hallgatója E-mal: lolbertt@asz.hu A tanulmány célja, hogy áttekntést

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell Szerven belül egyenetlen dózseloszlások és az LNT-modell Madas Balázs Gergely, Balásházy Imre MTA Energatudomány Kutatóközpont XXXVIII. Sugárvédelm Továbbképző Tanfolyam Hunguest Hotel Béke 2013. áprls

Részletesebben

Kísérlettervezési alapfogalmak:

Kísérlettervezési alapfogalmak: Kísérlettervezés alapfogalmak: Tényező, faktor (factor) független változó, ható tényező (kezelés, gyógyszer, takarmány, genotípus, élőhely, stb.) amnek hatását a kísérletben vzsgáln vagy összehasonlítan

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek ADATREDUKCIÓ I. Középértékek Adatredukcó 1. M a középérték: azonos fajta számszerű adatok közös jellemzője. 2. Követelmények: a) Számított középérték: közbenső helyet foglaljanak el, azaz x mn középérték

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

MEGBÍZHATÓSÁG-ELMÉLET

MEGBÍZHATÓSÁG-ELMÉLET PHARE HU3/IB/E3-L MEGBÍZHAÓSÁG-ELMÉLE Defnícók A legszélesebb körben elfogadott defnícó szernt a megbízhatóság egy elem (termék, rendszer stb.) képessége arra, hogy meghatározott működés feltételek mellett

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK

ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK 1. ALGORITMUS FOGALMA ÉS JELLEMZŐI Az algortmus egyértelműen végreajtató tevékenység-, vagy utasítássorozat, amely véges sok lépés után befejeződk. 1.1 Fajtá: -

Részletesebben

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: -

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: - Tantárgy neve Halmazok és függvények Tantárgy kódja MTB00 Meghrdetés féléve Kredtpont Összóraszám (elm+gyak + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgy kód - Tantárgyfelelős neve Rozgony Tbor Tantárgyfelelős

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben