STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

Átírás

1 ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel alapján a sokaság jellemző paramétereinek becslése. Minta alapján az alapsokaságra vonatkozó feltételezések, hipotézisek igazolása. Összefüggés vizsgálatok sztochasztikus modellekkel 3/56 Mi a modell? A modell összetett, bonyolult természeti képződmények, objektumok működésének megismerésére létrehozott egyszerűsített helyettesítő. Modellformák: Mechanikus analógok, elektromos analógok, fizikai, kémiai, matematikai modellek,, stb. 4/ dobás Egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye f ( ) =, ha a b, egyébként f ( ) = b a 4 3 /(b-a) /56 a b 6/56

2 ,,8 Egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye Egyenletes eloszlás Egy valószínűségi változót az (a, b) intervallumon belül egyenletes eloszlású, ha eloszlásfüggvénye:,6,4,, A B 7/56, a F( ) =, b a, ha a, ha a < b, ha b <. 8/56 Binomiális eloszlás Visszatevéses mintavételezés n = minta száma k = sikeres események száma p = sikeres esemény valószínűsége E=np D =np(-p) p),,5, Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény n=5, p=, n=5, p=,5,5, 9/56, 5,, 5,, 5, 3, /56 Binomiális eloszlás gyakorlati alkalmazása Érme feldobása, a születendő gyerek neme, betegség kimenetele, környezetszennyezés Binomiális tesztek: két csoport relatív gyakoriságának összehasonlítása Binomial Test dobás Tõszám Group Group Total Observed Asymp. Sig. Category N Prop. Test Prop. (-tailed) <= a > a. Based on Z Approimation /56 /56

3 dobás 6 dobókocka 6 dobókocka, variációk száma / /56 Normális eloszlás felfedezői Abraham de Moivre ( ) 754) Abraham de Moivre fedezte fel és közölte le 733-ban Pierre-Simon Laplace Carl Friedrich Gauss 5/56 6/56 Pierre-Simon Laplace (749-87) 87) Carl Friedrich Gauss ( ) 855) 7/56 8/56 3

4 Számtani sorozat összege ( n n + ) = ( n + ) n 9/56 A normális eloszlás mint modell A természetben nagyon sok mért paraméter normális eloszlással írható le, mint például az egyének magassága, vérnyomása, súlya, stb. Ez a modell jól leírja a mérési értékeknek a középérték (várható érték) körüli szóródását. A normális elnevezés arra utal, hogy a mért adatainktól ezt várjuk, mert ez a természetes viselkedésük. /56 Normális eloszlás sűrűségfüggvénye Normális eloszlás sűrűségfüggvénye 45% 4% f σ π ( µ ) σ ( ) = e p 35% 3% 5% % 5% % 5% % /56 (cm) /56 Eloszlásfüggvény Valószínűségek,9 F ( µ ) σ ( ) = e σ π d,8,7,6,5,4,3 átlag,, 3/ /56 4

5 Normális eloszlás jelölése Standard normális eloszlás jelölése N(µ, σ) N(, ) 5/56 6/56 Standardizálás Standard normáleloszlás sűrűségfüggvénye z i = i µ σ φ ( ) π = µ, medián, módusz π e.5 7/ / Standard normáleloszlás sűrűségfüggvénye φ ( ) π = µ, medián, módusz π /56 e Standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye Φ ( ) = e π d 3/56 5

6 ,9,8,7,6,5,4,3,, Standard normáleloszlás eloszlásfüggvénye,6,84, /56 Standard normáleloszlás 68%-os valószínűsége /56 A normál eloszlás nevezetes értékei Megbízhatóság % µ ± z % σ 68 Alapvető összefüggések + = F ( ) = f ( ) d F( ) f ( ) d = 95 99,96,58 lim F( ) = lim F( ) = + 99,9 3,9 33/56 34/56 Az eloszlás alakjának jellemzése Ferdeség (skewness( skewness,, normális eloszlás= körüli érték) Csúcsosság (kurtosis( kurtosis,, normális eloszlás= körüli érték) Ferdeség számítása n n i i= s ( n )( n ) Aszimmetria mérőszáma Értéke: mínusz és plusz tartomány Nulla esetén szimmetrikus eloszlás 3 35/56 36/56 6

7 Balra ferde eloszlás Jobbra ferde eloszlás,8,6,4,,45,4,35,3,5,,5,,5,,4,6,8,, -3, -, -,,,, 3, 37/56 38/56 Mikor ferde az eloszlás? Statisztikailag igazolt ferdeség, ha a ferdeségi mutató értéke meghaladja a ferdeségi érték szórásának kétszeresét. Az eloszlás nem szimmetrikus Egyéb aszimmetria mutatók Aszimmetria hányados Pearson-mutató Bowley-mutató F-mutató ( Q F = ( Q A = 3 3 Mo σ Me) ( Me Q ) Me) + ( Me Q ) 39/56 4/56 Csúcsos és lapos eloszlás Csúcsosság számítása,8,6 n( n + ) ( n )( n )( n 3) 3( n ) ( n )( 3) n 4 i i= s n,4,, -3, -, -,,,, 3, 4/56 4/56 7

8 A csúcsossági érték értelmezése Kolmogorov-Smirnov teszt Nulla esetén normális eloszlás Pozitív érték esetén az adatok szélesebb csoportban helyezkednek el Negatív érték esetén az adatok szűkebb csoportban helyezkednek el. Statisztikailag igazolt eltérés: a csúcsosság értéke meghaladja a szórásának kétszeresét 43/56 44/56 Kolmogorov-Smirnov teszt eredménye One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Egyéb normalitás vizsgálat Kolmogorov-Smirnov és Shapiro-Wilk próba N Normal Parameters a,b Most Etreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (-tailed) Mean Std. Deviation Absolute Positive Negative a. Test distribution is Normal. b. Calculated from data. Termés t/ha Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Talajmûvelés Statistic df Sig. Statistic df Sig. termés t/ha õszi szántás tavaszi szántás tárcsás a. Lilliefors Significance Correction 45/56 46/56 Grafikus normalitás vizsgálat. Grafikus normalitás vizsgálat. 3 Normal Q-Q Plot of termés t/ha For TALAJMUV= őszi szántás.4.. Detrended Normal Q-Q Plot of termés t/ha For TALAJMUV= őszi szántás Epected Normal Dev from Normal Observed Value 47/56 Observed Value 48/56 8

9 Összefoglalás NORM.ELOSZLÁS NORM.ELOSZL(;középérték középérték;szórás;eloszlásfv) X: Az az érték, amelynél az eloszlást ki kell számítani. Középérték: Az eloszlás középértéke (várható értéke). Szórás: Az eloszlás szórása. Logikai érték. Ha értéke IGAZ, akkor Eloszlásfv: a NORM.ELOSZL függvény az eloszlásfüggvény értékét számítja ki, ha értéke HAMIS, akkor a sűrűségfüggvényét. 49/56 5/56 Példa. Átlag: kg Szórás: kg NORM.ELOSZL(;;;hamis),45,4,35,3,5,,5 Példa. Átlag: kg Szórás: kg NORM.ELOSZL(;;;igaz),,8,6,4,,, / /56 Átlag: kg Szórás: kg Példa 3. Mi a valószínűsége, hogy 8 kg-nál kisebb lesz? % 53/56 INVERZ.NORM INVERZ.NORM(valószínűség valószínűség;középérték;szórás szórás) Valószínűség: A standard normális eloszláshoz tartozó valószínűség. Középérték: Az eloszlás középértéke (várható értéke). Szórás: Az eloszlás szórása. Megjegyzés Ha bármelyik argumentum értéke nem szám, akkor az INVERZ.NORM az #ÉRTÉK! hibaértéket adja vissza. Ha valószínűség < vagy valószínűség >, akkor az INVERZ.NORM eredménye a #SZÁM! hibaérték lesz. Ha szórás, akkor az INVERZ.NORM a #SZÁM! hibaértéket adja eredményül. Az INVERZ.NORM a standard normális eloszlást használja, ha középérték = és szórás = (lásd INVERZ.STNORM). 54/56 9

10 STNORMELOSZL Z: Az az érték, amelynél az eloszlást ki kell számítani. Megjegyzés Ha a z argumentum értéke nem szám, akkor a STNORMELOSZL az #ÉRTÉK! hibaértéket adja eredményül. 55/56 INVERZ.STNORM INVERZ.STNORM(valószínűség valószínűség) Valószínűség: A standard normális eloszláshoz tartozó valószínűség. Megjegyzés Ha a valószínűség értéke nem szám, akkor az INVERZ.STNORM az #ÉRTÉK! hibaértéket adja eredményül. Ha valószínűség < vagy valószínűség >, akkor az INVERZ.NORM eredménye a #SZÁM! hibaérték lesz. Az INVERZ.STNORM függvény adott valószínűségértékkel olyan z értéket keres, amelynél STNORMELOSZL(z) = valószínűség. Így az INVERZ.STNORM pontossága függ az STNORM.ELOSZL pontosságától. Az INVERZ.STNORM függvény iterációs keresési eljárást alkalmaz. Amennyiben a keresés nem konvergál lépés után, a függvény #HIÁNYZIK hibaértékkel tér vissza. 56/56