Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Paraméteres statisztikai próbák

Átírás

1 Statisztikai hipotézisvizsgálatok Paraméteres statisztikai próbák 1. Magyarországon a lakosság élelmiszerre fordított kiadásainak 2000-ben átlagosan 140 ezer Ft/fő volt. Egy kérdőíves felmérés során Veszprém megyében 100 főt kérdeztek meg fogyasztási szokásairól. A válaszul kapott éves élelmiszerre fordított kiadásaik a kiadas.sav fileban találhatók. Vizsgáljuk meg, hogy Veszprém megyében megegyezik-e a lakosság élelmiszerre fordított kiadásainak alakulása az országos átlaggal? Megoldás: Ebben a feladatban a 100 adatból számított átlagot egy elméleti értékhez a 140 ezer Ft-os országos átlaghoz kell hasonlítani. Egymintás t-próbát alkalmazhatunk. A próba előfeltétele, hogy normális eloszlású sokaságból származzanak a vizsgálandó értékeink. A normalitás vizsgálathoz az ANALYZE / NONPARAMETRIC TESTS / 1-SAMPLE K-S menüjét célszerű választani, ahol egy egymintás Kolmogorov Szmirnov próba kerül végrehajtásra. Az ábrán látható módon a TEST VARIABLE LIST részhez, vagyis a tesztelendő változók listájához kerüljön a kiadas (élelmiszerre fordított kiadások) változónk, majd az OK gomb lenyomásával az output ablakban megtalálhatjuk az eredmény táblázatot. One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test élelmiszerre fordított kiadás N 100 Normal Parameters Mean Std. Deviation Most Extreme Differences Absolute.075 Positive.075 Negative Kolmogorov-Smirnov Z.749 Asymp. Sig. (2-tailed).630 1

2 A kapott táblázatból csak a legutolsó értékre van szükségünk. Az Assymp. Sig. részhez 0,63 került, ez nem más, mint a bevezető részben említett empirikus szignifikancia szint, más néven P érték. A P érték annak a valószínűsége, hogy a próbastatisztika a mintából kiszámított értéket veszi fel. Minél kisebb a P érték, annál nagyobb a valószínűsége hogy a H 0 hipotézis hamis. Megegyezés alapján 0,05 felett elfogadjuk, 0,05 alatt elvetjük a nullhipotézist. Esetünkben a nullhipotézis a normális eloszlás fennállása volt, és ezt a kapott eredmény birtokában elfogadhatjuk. Ezek alapján elvégezhetjük az egymintás t-próbát. Ehhez az ANALYZE / COMPARE MEANS /ONE SAMPLE T TEST menüpont alatt található párbeszédablakot kell kitöltenünk. A vizsgált változónk ismét az élelmiszerre fordított kiadás. A TEST VALUE cellában alapértelmezésben 0 található, ezt át kell írnunk 140-re, hiszen azt kívánjuk tesztelni, hogy az átlag szignifikánsan eltér-e a 140 (ezer Ft) tól. Az eredmény táblázatot ismét az OK gomb lenyomása után kapjuk meg az output ablakban. Az első táblázat arról tájékoztat bennünket, hogy a Veszprém megyei minta átlaga (Mean) 141,53 volt. Ezt kell összehasonlítani a 140-es értékkel. One-Sample Statistics N Mean Std. Deviation Std. Error Mean élelmiszerre fordított kiadás A második táblázatban találjuk az összehasonlítást. One-Sample Test Test Value = 140 t df Sig. (2-tailed) Mean Difference élelmiszerre fordított kiadás 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper A lényeges elem számunkra a Sig. (2-tailed) oszlopban található P érték: 0,453. Mivel a t-próbánál a nullhipotézis mindig két érték egyezősége, a P érték alapján elfogadhatjuk, hogy a Veszprém megyei fogyasztás az országos átlagnak megfelelő. 2. Heves megyében 2001-ben 238 termelőibor-kimérés volt. Ezek egy része vállalkozások által üzemeltetett, más része pedig őstermelőké volt. A borterm.sav file alapján, ahol 50 vállalkozás és 60 őstermelő árbevétele található, válaszoljon az alábbi kérdésekre! Van-e szignifikáns különbség a vállalkozók és az őstermelők árbevétele között? Igazolható-e, hogy a vállalkozások árbevételének szórása nagyobb, mint az őstermelőké? 2

3 Megoldás: Az első kérdésre a választ kétmintás t-próba alkalmazása után tudjuk megadni. A nullhipotézis az, hogy a két sokaság várható értéke amit a minta átlagával becsülhetünk egyenlő. A t-próbához ismét ellenőriznünk kell, hogy a mintánk normális eloszlásból származott. A borterm.sav filet megnyitva láthatjuk, hogy két változónk van, a borf_arb és a borf_tip. Az első az árbevételeket, a második a vállalkozás típusát adja meg. A vállalkozásokat 1-es, az őstermelőket 2-es jelzi. A normalitás vizsgálathoz külön kell vizsgálnunk ezeket az eseteket. A DATA / SELECT CASES menü alatt az IF CONDITION IS SATISFIED részt kiválasztva a jobb felső részben helyezhetjük el feltételünket: borf_tip=1. Ennek hatására egy új változó keletkezik (filter_$) melynek értéke a vállalkozásoknál 1 lesz, és az őstermelőknél pedig 0. Ezen kívül az őstermelők rekordszámai áthúzással is meg lettek jelölve. 3

4 Ezután már mindenféle művelet csak a vállalkozásokra vonatkozik. Az előző feladatnál megismert Kolmogorov Szmirnov próbát kell végrehajtani. (Az ANALYZE / NONPARAMETRIC TESTS / 1- SAMPLE K-S menüben található.) A próba eredményeképpen ismét egy táblázatot kapunk. One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test borkimérés árbevétele N 50 Normal Parameters Mean Std. Deviation Most Extreme Differences Absolute.109 Positive.078 Negative Kolmogorov-Smirnov Z.771 Asymp. Sig. (2-tailed).591 A második sorban látható, hogy a program csak 50 adattal számolt, vagyis valóban csak a vállalkozásokat vette figyelembe. Az utolsó sorban olvasható P érték (0,591 > 0,05) alapján elmondhatjuk, hogy a vállalkozások árbevételére vonatkozó mintánk egy normális eloszlású sokaságból származott. A normalitás vizsgálatot természetesen az őstermelőkre is megismételjük. A DATA / SELECT CASES menü alatt az IF CONDITION IS SATISFIED részben az új feltételünk: borf_tip=2. A filter_$ változó értéke most a vállalkozásoknál lesz 0, és az őstermelőknél pedig 1. A Kolmogorov Szmirnov próba a szűrőfeltételnek köszönhetően az őstermelőkre fog vonatkozni. One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test borkimérés árbevétele N 60 Normal Parameters Mean Std. Deviation Most Extreme Differences Absolute.150 Positive.103 Negative Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed).137 4

5 A táblázatból látható, hogy az őstermelőkre vonatkozó árbevételek is normális eloszlású sokaságból származnak. A kétmintás t-próba végrehajtásának tehát nincs akadálya. Első teendőnk visszaállítani a szűrőt alapértelmezésre, vagyis a DATA / SELECT CASES / ALL CASES beállításra. A kétmintás t-próba az ANALYZE / COMPARE MEANS / INDEPENDENT SAMPLE T TEST menüpont alatt található. A TEST VARIABLE(S) részhez kerüljön a vizsgálandó borf_arb (borkimérés árbevétele) változó, a GROUPING VARIABLE pedig a borf_tip (borforgalmazó típusa). Az OK gomb lenyomása előtt még be kell állítani a lehetséges típusértékeket a DEFINE GROUPS gombra való kattintással. Jelenleg 1 és 2 a lehetséges két érték. Az első táblázat leíró statisztikai elemeket tartalmaz. Ebből láthatjuk, hogy a vállalkozások árbevétele átlagosan 1766,78 (ezer Ft) míg az őstermelőké 1006,3 (ezer Ft), a szórások pedig 144,9 (ezer Ft) illetve 127,4 (ezer Ft). Group Statistics borforgalmazó típusa N Mean Std. Deviation Std. Error Mean borkimérés árbevétele vállalkozások őstermelők A másodiknak kapott táblázat alapján válaszolhatjuk meg a kérdést. Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances borkimérés árbevétele Equal variances assumed Equal variances not assumed t-test for Equality of Means F Sig. t df Sig. (2-tailed) Mean Difference Std. Error Difference 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper

6 Mivel a kétmintás t-próbát közel azonos szórású minták esetén lehet alkalmazni, ezért először erre végez a program egy tesztet. Az Equal variances assumed sorban az első két cellában a szórások (valójában varianciák) azonosságára vonatkozó számításait láthatjuk. 1 A nullhipotézis a szórások azonossága, az empirikus szignifikancia szint 0,309, tehát azonosnak tekinthetők. Ezzel a második kérdésre már megadhatjuk a választ, az árbevételek szórása között nincs különbség. A sor folytatásában a t-teszt látható, melyből megállapíthatjuk, hogy a vállalkozások és az őstermelők árbevétele szignifikáns különbségeket mutat. (A P érték 0,000 < 0,05.) Amennyiben a szórások különbözőek lettek volna, úgy egy módosított t-próbával az alsó sorban található számok alapján adhattuk volna meg a választ. 3. Egy országos felmérés során vizsgálták az 5%-os árnövekedés forgalomra gyakorolt hatását az élelmiszerjellegű termékek fogyasztása esetén a kereskedelmi egységekben. A forgalom.sav file tartalmaz egy 100 elemű mintát az árnövekedés előtti, és ugyanannak a kereskedelmi egységnek az árnövekedés utáni forgalmáról. Vizsgáljuk meg, hogy változott-e a forgalom az árnövekedés hatására? A probléma megoldására két módszer is a rendelkezésünkre áll. Egyrészt az előző feladatnál alkalmazott kétmintás t-próba, másrészt ha az áremelkedés előtti és utáni időszak forgalmának különbségét tekintjük változónak, tesztelhetjük ennek a különbségnek az átlagát. Általában a nullhipotézis az, hogy ez a különbség nulla, hiszen azt vizsgáljuk, hogy történt-e változás vagy nem. Ebben az esetben azonban az árnövekedés miatt bekövetkezett 5%-os emelkedés még nem jelent tényleges forgalom növekedést, ezért az árnövekedés után a forgalom reálértékével kell számolnunk. Először számoljuk ki az árnövekedés utáni forgalom reálértékét, majd a reálérték és az árnövekedés előtti forgalom különbségének átlagát vizsgáljuk meg, hogy vajon eltér-e a nullától. A reálértéket a TRANSFORM / COMPUTE menü segítségével számíthatjuk ki. A párbeszéddobozban a TARGET VARIABLE mezőbe az új változónk nevét kell begépelni (real), a NUMERIC EXPRESSION mezőbe pedig a számítás módját, vagyis a forg_aru (árnövekedés utáni időszak forgalma) változót osztjuk 1,05-dal. A begépelés módja az ábrán látható. (Ne felejtsük el, hogy az SPSS tizedes pontot használ!) Az OK gomb lenyomása után elkészül az új változónk real névvel, mely az utolsó oszlopba kerül. 1 A Levene-próba segítségével egy X kvantitatív változó elméleti átlagos abszolút eltérése hasonlítható össze két populációban független minták segítségével. Mivel a legtöbb eloszlás esetén az átlagos abszolút eltérés csak egy konstans szorzótényezőben különbözik a szórástól (például normális eloszlás esetén a szórás 0,798-szerese az átlagos abszolút eltérésnek, egyenletes eloszlás esetén 0,866 a szorzótényező stb.) azonos eloszlástípusok esetén az átlagos abszolút eltérések egyenlősége ekvivalens a szórások, illetve a varianciák egyenlőségével (Vargha, 2000). 6

7 A páros t-próbát az ANALYZE / COMPARE MEANS / PAIRED SAMPLES T TEST alapján végezhetjük. Itt a párbeszéddobozban a két változót csak együtt tudjuk átemelni a PAIRED VARIABLES részhez. A Ctrl billentyű lenyomása mellett kattintsunk a forg_are (Árnövekedés előtt időszak forgalma) és a real változókra, majd a kis háromszög segítségével áthelyezhetjük ezen változókat a megfelelő helyre. Az OK gomb megnyomása után az output ablakban leolvashatjuk az eredményeket. Paired Samples Statistics Mean N Std. Deviation Std. Error Mean Pair 1 Árnövekedés előtti időszak forgalma REAL Az első táblázatban leíró statisztikai számításokat látunk. A két változó közötti eltérés igen kicsi, az árnövekedés előtti időszak forgalmának átlaga (Mean) 10469,91 (ezer Ft), míg az áremelkedés utáni időszaki forgalom reálértékének átlaga 10468,97 (ezer Ft). Paired Samples Test Pair 1 Árnövekedés előtti időszak forgalma - REAL Paired Differences Mean Std. Deviation Std. Error Mean 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper t df Sig. (2-tailed) A páros t-próba táblázatából a két változó átlagának különbsége is olvasható (Paired Differences, Mean), mindössze 0,9386. A számított t érték (t) 0,102, a szabadság fokok száma (df) 99. Az empirikus szignifikancia alapján (Sig.) pedig megállapíthatjuk, hogy az áremelkedésnek nem volt statisztikailag bizonyítható hatása a forgalomra, hiszen 0,919 > 0,05. 7

8 Nemparaméteres eljárások 1. Egy felmérés során azt vizsgálták, hogy a háziasszonyok körében a vásárolt mosószer típusa függ-e az életkortól. A mososzer.sav fileban 300 megkérdezett háziasszony életkora és a vásárolt mosószer típusa található. A használt kódolás: a nulla jelenti a régi típusú, az egy pedig az új fajta mosószert. Igazolható-e, hogy a fiatalabb korosztály szívesebben próbál ki új termékéket, míg az idősebbek ragaszkodnak régi kedvenc márkájukhoz? Megoldás: Első lépésben vizsgáljuk meg a sokaságot néhány leíró statisztikai mutatóval. Az ANALYZE / DESCRIPTIVE STATISTICS / DESCRIPTIVES útvonalon elérhető párbeszéddobozban a kor (életkor) változót helyezzük el a VARIABLE(S) részhez. Válaszul az OK gomb lenyomása után az alábbi táblázatot kapjuk: Descriptive Statistics N Minimum Maximum Mean Std. Deviation életkor Valid N (listwise) 300 Látható, hogy a 300 megkérdezettből a legfiatalabb vásárló 25 éves, a legidősebb 55 éves volt. A kezelhetőség érdekében érdemes életkor helyett életkor kategóriákkal dolgozni. Az életkorok kategóriákba osztását több módon is elvégezhetjük. A TRANSFORM / RECODE / INTO DIFFERENT VARIABLES menüben a kor változót kell a NUMERIC VARIABLE > OUTPUT VARIABLES részbe áttenni. Ezután kitölthetők az OUTPUT VARIABLE mező NAME és LABEL cellái. A CHANGE gomb megnyomásával definiálhatjuk az új változónkat, ahová az életkorok kategóriái kerülnek majd. Ezután áttérhetünk az érdemi részre az OLD AND NEW VALUES gomb megnyomásával. 8

9 A párbeszédablak bal oldalán állíthatjuk be a régi értékeket. A rádiógombok közül az első (VALUE) segítségével egy-egy értékhez tudunk újat rendelni. A következő kettő (SYSTEM MISSING és a SYSTEM OR USER MISSING) a hiányzó adatok kezelésére szolgál. A RANGE résznél beállítható az alsó és a felső intervallum is, amibe eső értékek helyett szeretnénk valami mást használni. A LOWEST THROUGH jelentése: a legalacsonyabbtól, A THROUGH HIGHEST pedig a legmagasabb értékig. Az ALL OTHER VALUES bejelölésével az összes maradék számhoz rendelhetünk más számokat. 9

10 A kategóriák meghatározásához nehéz biztosan használható receptet adni. A kategóriák számát és terjedelmét elsősorban szakmai megfontolás befolyásolja, de mindenképpen úgy célszerű elrendezni az adatainkat, hogy lehetőleg ne legyenek nagyon eltérő terjedelműek, és a kategóriák száma ne legyen se túl sok, se túl kevés. Készítsünk először négy kategóriát. A legfiatalabb és a legidősebb vásárló életkora között 30 év van, ezt osztjuk négy részre. Legyenek a korosztályok a következők: 25 32; 33 40; 41 48; Ezekhez a korcsoportokhoz rendeljük hozzá az 1, 2, 3 és 4 számokat. A hozzárendelés menete: először a bal oldali részben feltüntetjük az életkor intervallumot, majd a jobb oldalon a NEW VALUE részbe beírjuk a megfelelő számot, majd az ADD gombbal rögzíthetjük. Ezt követően a következő intervallum beállítása jön a bal oldalon, majd ismét a hozzárendelt érték és a rögzítés következik. Az összes intervallum rögzítése után a CONTINUE gombbal juthatunk vissza az előző ablakra, és ott az OK gomb megnyomása után elkészül az új változónk. Ezek alapján elvégezhetjük a sokaság függetlenség vizsgálatát χ 2 teszt segítségével. A kontingencia táblázatot az ANALYZE / DESCRIPTIVE STATISTICS / CROSSTABS menüpontja alapján készítjük el. A ROW(S) sorokat, a COLUMN(S) oszlopokat jelent, és ide helyezzük el a két vizsgálandó változónkat. A korkat (életkor kategóriák) került a sorokhoz és mosopor (mosópor típusa), de e két változót fel is cserélhettük volna, ugyanis a számításokban nem, csak a táblázat elrendezésében jelent különbséget. 10

11 A párbeszédablakon belül a STATISTICS gomb lenyomásával a kapott menüben kérhetjük a χ 2 teszt elvégzését (CHI-SQUARE). Az output ablakban az alábbi eredményeket találjuk. A kontingencia táblázatban (crosstabulation) látható, hogy melyik korcsoportban hányan vásároltak az egyik vagy a másik mosóporból. életkor kategóriák * mosópor típusa Crosstabulation Count mosópor típusa Total régi új életkor kategóriák Total

12 A χ 2 teszt eredménye is olvasható (Chi-Square Tests). A számolt χ 2 érték 21,779, a szabadság fok 3, és a próba szignifikáns eredményt hozott, jelentős a különbség a korosztályok vásárlási szokásai között. Chi-Square Tests Value df Asymp. Sig. (2-sided) Pearson Chi-Square Likelihood Ratio Linear-by-Linear Association N of Valid Cases 300 a 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is (Gyakorlásképpen elvégezheti ismét a számításokat három korcsoportot alkalmazva. Hasonlítsa össze az eredményeket!) Megjegyzések: 1. Egy magas mérési szintű változó alacsonyabb mérésű változóvá transzformálásához használható még a TRANSFORM / CATEGORIZE VARIABLES menüje is, ahol az eljárás sokkal egyszerűbb, hiszen csak a kategóriák számát kell megadni, az intervallumokat nem. Ebben rejlik a hátránya is, mivel így lemondunk arról a lehetőségről, hogy magunk állítsuk be a határokat. 2. Az ANALYZE / DESCRIPTIVE STATISTICS / CROSSTABS menüben a CELLS gombra kattintva a kontingencia táblázatban szereplő értékek százalékos arányát is kérhetjük. A PERCENTAGES / COLUMN kapcsoló segítségével egy olyan táblázathoz juthatunk, ahol a régi mosóport vásárlókat, az új mosóport vásárlókat és az összes vásárlót külön-külön 100%-nak véve ezen belül a korosztályok szerinti megoszlást láthatjuk. 12

13 életkor kategóriák * mosópor típusa Crosstabulation mosópor típusa Total régi új életkor kategóriák Count % within mosópor típusa 8.1% 29.3% 19.7% Count % within mosópor típusa 27.2% 24.4% 25.7% Count % within mosópor típusa 34.6% 25.0% 29.3% Count % within mosópor típusa 30.1% 21.3% 25.3% Total Count % within mosópor típusa 100.0% 100.0% 100.0% A százalékos megoszlást sorok szerint is számíttathatjuk, csak akkor a PERCENTAGES / COLUMN kapcsoló helyett a PERCENTAGES / ROW kapcsolót kell beállítani. 2. Egy kérdőíves felmérés során 216 személy fizetési, életkori adatait valamint nemét jegyezték fel 2003-ban 2. A fizetéseket és az életkort kategóriákba osztották. A fizetés esetében a következő négy kategóriát különböztették meg: havi bruttó jövedelem Ft alatt, forinttól forintig, forinttól forintig, illetve Ft felett. Az életkoroknál 18 évtől 25 éves korig, 26 évtől 35 éves korig, 36 évtől 50 éves korig, végül 50 éves kor felett lettek kialakítva a csoportok. Az adatok a fizetés.sav fileban találhatók. Vizsgálja meg, hogy van-e statisztikailag bizonyítható különbség a férfiak és a nők fizetése között, illetve azt, hogy eltérőek-e a jövedelmek az egyes életszakaszokban? A kérdőív megfogalmazásánál nem konkrét összegeket kértek, hanem csak kategória megjelölést. Ha mindenki a pontos havi bruttó jövedelmét írta volna be, akkor kétmintás t-próbát lehetne alkalmazni. Esetünkben azonban a változónk ordinális skálán mért, itt tehát Mann-Whitney próbát alkalmazhatunk. A próbát az ANALYZE / NONPARAMETRIC TESTS / 2 INDEPENDENT SAMPLES menüben találhatjuk. A TEST VARIABLE LIST részhez kerüljön a bér változó, a GROUPING VARIABLE cellához pedig a nem változó. Itt a DEFINE GROUPS gomb megnyomásával be kell állítani az egyes nemeknek megfelelő kódokat, most a férfiakat 1, a nőket 2 jelöli. 2 Forrás: Szakál Zoltán 13

14 Az OK gomb lenyomása után az output ablakban az alábbi két táblázatot találjuk. Ranks férfi 1, nő 2 N Mean Rank Sum of Ranks 50,50-110, , Total 216 Test Statistics a Grouping Variable: férfi 1, nő 2 50,50-110, ,160 Mann-Whitney U Wilcoxon W Z Asymp. Sig. (2-tailed).027 A felső táblázatból leolvashatjuk, hogy a rangtranszformáció után a rangok átlaga (Mean Rank) 116,39 a férfiaknál és 98,27 a nőknél. Ez azt jelenti, hogy a vizsgálatban szereplő személyek között a férfiak magasabb bérkategóriába estek. A második táblázat Asymp. Sig. sorában a 0,027 arról tájékoztat bennünket, hogy a nullhipotézist elvethetjük, a fizetésbeni különbségek statisztikailag bizonyíthatók. A második kérdésnél már nemcsak két mintánk van, hanem négy, a négy életkor kategóriának megfelelően. Ehhez a Kruskal Wallis próba használható. A próbát az ANALYZE / NONPARAMETRIC TESTS / K INDEPENDENT SAMPLES menüben találhatjuk. A párbeszédablakban be kell állítani a TEST TYPE résznél A KRUSKAL WALLIS kapcsolót, a TEST VARIABLE LIST részhez áthelyezni a bér változót, valamint a Grouping Variable esetén a Define Range gomb megnyomásával a korosztályokat meghatározni. Ez utóbbinál a legkisebb és a legnagyobb értéket kell beírni a minimum és a maximum cellákba. 14

15 A beállítások elvégzése után az OK gomb megnyomásával megkapjuk az eredmény táblázatokat. Ranks 18-25;26-35;36-50;50 felett N Mean Rank 50,50-110, , Total 216 A rangok átlagánál (Mean Rank) megfigyelhető, hogy a legmagasabb fizetéseket a hármassal jelölt korosztálynál, vagyis a 36 évestől 50 éves korig találjuk, a legalacsonyabbak a kezdő fizetések a 18 évtől 25 éves korig. Ezek az adatok nem mondanak ellent a mindennapi életben megszokottnak, tekintve a mai nagyobb cégek viszonylag fiatal, magas beosztásban levő alkalmazottjainak fizetését. Test Statistics a Kruskal Wallis Test b Grouping Variable: 18-25;26-35;36-50;50 felett 50,50-110, ,160 Chi-Square df 3 Asymp. Sig..001 A második táblázatban a 0,001 es P érték alapján megállapíthatjuk, hogy ezek a különbségek szignifikánsak, nem a véletlen mintavételi hibáknak köszönhető. Irodalomjegyzék Baráth Cs. Ittzés A. Ugrósdy Gy.: Biometria. Mezőgazda Kiadó 1996 Kiss A. Manczel J. Pintér L. Varga K.: Statisztikai módszerek alkalmazása a mezőgazdaságban. Mezőgazdasági Kiadó 1983 Kovács István: Statisztika. Szent István Egyetem Gazdálkodási és Mezőgazdasági Főiskolai Kar jegyzete. Gyöngyös 2000 Kriszt Varga Kenyeres: Általános statisztika II. Nemzeti tankönyvkiadó Fodor János: Biomatematika Meszéna György Ziermann Margit: Valószínűségelmélet és matematikai statisztika Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó 1981 Murray R. Spiegel: Statisztika. Elmélet és gyakorlat. Panem McGraw Hill 1995 Szűcs István: Alkalmazott statisztika. Agroinform Kiadó 2002 Vargha András: Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Pólya Kiadó,