KVANTITATÍV MÓDSZEREK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "KVANTITATÍV MÓDSZEREK"

Átírás

1 KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6

2 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége eltételes valószínűség Teljes valószínűség tétele ayes-tétel Események függetlensége Leíró statisztika Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások inomiális eloszlás Poisson-eloszlás Exponenciális eloszlás Normális eloszlás Döntéselmélet Első- és másodfajú hiba ecslés Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Hipotézisvizsgálatok, paraméteres próbák... 4

3 . Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége... eltételes valószínűség. Ha nagyon sok kétgyermekes család közül véletlenszerűen választunk egyet, és megtudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány, mekkora a valószínűsége annak, hogy van fiú is a családban? Egy kétgyermekes családban négy egyenlő valószínűségű eset fordulhat elő a gyermekek nemét illetően, mivel mind az első, mind a második gyermek egyenlő valószínűséggel lehet leány vagy fiú: Leány-leány Leány-fiú iú-leány iú-fiú A esemény: az egyik gyermek leány esemény: van fiú a családban eladat, hogy az A teljesülése mellett vizsgáljuk a esemény valószínűségét. / A) A ) A) Az (A ) esemény a fenti 4 lehetőségből kétszer áll fenn, így A )/4/,5 Az A esemény, vagyis hogy legalább leány van a családban, a négy esetből háromszor teljesül: A)3/4 A ) / 4 4 P ( / A) A) 3/ Tehát /3 a valószínűsége annak, hogy van fiú a kétgyermekes családban, ha tudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány.. Ejtőernyős ugrást hajtanak végre 5m -es területre. Sikeres az ugrása annak, aki a terepen kijelölt m oldalú négyzeten belül ér földet. Különdíjat kap az, aki a négyzet közepén megrajzolt m sugarú körben ér le. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy sikeres ugrást végrehajtó ejtőernyős különdíjat is kap, ha a négyzeten belül a leérkezés bármely helyre egyenlő esélyű? 3 3

4 A az az esemény, hogy különdíjat kap az ejtőernyős, pedig jelentse azt, hogy sikeres ugrást hajtott végre. Az A esemény feltétel melletti valószínűségét kell vizsgálnunk teljesülése esetén a szóban forgó terület nagysága (m oldalú négyzet területe): Tm Az A esemény szempontjából kedvező terület a négyzet közepén lévő kör területe (r π): t4π m (ez a A ), hiszen itt egyszerre teljesül a sikeres ugrás és a különdíjat érdemlő ugrás) A feltételes valószínűség: t 4π P ( A/ ),3 T Tehát kb. 3% a valószínűsége annak, hogy egy sikeres ugrást teljesítő versenyző különdíjat is kap 3. Egy urnában van 4 fehér és 6 fekete golyó. Egymás után kettőt kihúzunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a második golyó fehér feltéve, hogy az első fekete. A esemény: a második golyó fehér esemény: az első golyó fekete Ki kell számítanunk a A ) és ) eseményeket. A húzás sorrendje ebben az esetben lényeges. Ráadásul nem tesszük vissza az elsőre kihúzott golyót, így 99 különféle húzási eredmény lehetséges. Ebből azok száma, amelynél az első fekete, és a második fehér: 6 44 Így: 4 P ( A ) (kedvező esetek száma/összes eset) 9 A esemény valószínűsége: Itt a kedvező eset azon húzások száma, ahol az első golyó fekete (a második pedig tetszőleges), így a 4-hez hozzá kell még adnunk azoknak a számát, amelyekben az első is és a második is fekete. Ezek száma: A esemény kedvező eseteinek száma Így: P ( ) 54 9 A keresett feltételes valószínűség tehát: A) 4 4 P ( A/ ),444 )

5 .. Teljes valószínűség tétele. Három urnában fehér és fekete golyók vannak elhelyezve. Az elsőben fehér és 3 fekete; a másodikban 3 fehér és 4 fekete; a harmadikban 4 fehér és 5 fekete golyó van. A kísérlet abban áll, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy urnát: legyen: /, /3 és /6 rendre az első, a második és a harmadik urna kiválasztásának a valószínűsége. Ez után a kiválasztott urnából véletlenszerűen kihúzunk egy golyót úgy, hogy mindegyik golyó kihúzásának a valószínűsége egyenlő legyen. Kérdés: mennyi annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? Legyen,, 3 annak a valószínűsége, hogy az első, a második és a harmadik urnát választjuk ki. A legyen az az esemény, hogy fehér golyót húzunk ki. ) / 3 A/ ) /5 A/ A/ ) / 3 ) / 6 3 ) 3/ 7 ) 4 / 9 A) , Tehát 4,6% a valószínűsége annak, hogy fehér golyót húzunk.. Miohullámú sütők forgótányérjának kísérleti gyártását végzik egy gyárban. Három tétel miohullámú sütő készül el. Az első két tétel a teljes mennyiség egy-egy negyedét, a harmadik tétel pedig a felét adja. A minőség-ellenőrzés során kiderül, hogy az előírt működési óraszámot az első tétel %-a, a másodiknak %-a, a harmadiknak 8%-a éri el. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiszemelt miohullámú sütő az előírt ideig működik? A az az esemény, hogy a miohullámú sütő forgótányérja az előírt ideig üzemel., és 3 jelentse azt, hogy a kiválasztott darab az első, a második vagy a harmadik tételből való. A i események valószínűségei rendre: P ( ) ; ) ; 3) 4 4 elírjuk az A eseménynek a i feltételek melletti valószínűségét, vagyis azt, hogy az egyes tételekből választott forgótányérok milyen valószínűséggel működnek a megfelelő ideig: 5

6 P ( A/ ) /; A/ ) /; A/ 3) 8 / A teljes valószínűség tételét alkalmazva: 3 P ( A) A/ ) i i i ) Vagyis,5% a valószínűsége annak, hogy hibátlan darabot választunk. + 4,5,5% 3. Azonos fajta autórádió előlapokból két tételünk van. Az első tétel 6, a második 3 darabból áll. Mindkét tételben egy-egy hibás darab van. Az első tételből egy véletlenszerűen kiválasztott darabot átteszünk a másodikba. Ezután a második tételből választunk egyet találomra, és ezt megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a darab selejtes? Jelentse A esemény azt, hogy a második tételből selejtest húzunk. Jelentse azt, hogy az első tételből jót, pedig azt, hogy hibásat tettünk át a másodikba. Ezeknek a valószínűségei: 5 P ( ) ; ) 6 6 Ha következett be, akkor a második tételben 33 darabból csak egy selejtes van, és az A esemény feltételes valószínűsége: P ( A/ ) ; ha viszont következett be, akkor két 33 selejtes darab van a második tételben, így ebben az esetben a feltételes valószínűség: P ( A/ ). 33 Alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét: 5 P ( A) A/ ) ) + A/ ) ) +, Vagyis 3,4% a valószínűsége annak, hogy a második tételből selejtest húzunk. 6

7 .3. ayes-tétel. azonos alakú doboz közül az első 9-ben 4-4 golyó van, mégpedig fehér és kék. A tizedik dobozban 5 fehér és kék golyó van. Az egyik találomra kiválasztott dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a tizedik dobozból való, ha a kivett golyó fehér? Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy fehéret húztunk. j -vel jelöljük azt, hogy a j-edik dobozból választottunk. Ezeknek a valószínűsége azonos: j )/. Az A esemény j feltétel melletti feltételes valószínűségére a következő áll fenn: A/ j )/, ha j,,3 9 A/ )5/6 5 A/ ) ) P ( / A) 6 5 A/ ) ( ) (9 + ) j P j 6 j Tehát 5/3 a valószínűsége annak, hogy egy fehér golyót éppen a. dobozból húzunk. Másik megoldás: A ismét az az esemény, hogy fehéret húzunk. jelentse azt, hogy a kilenc egyforma közül húzunk (bármelyikből), pedig jelentse azt, hogy a.-ből húzunk. Így )9/; )/. A/ )/, A/ )5/6. Innentől a megoldás menete ugyanaz.. Egy forgácsoló üzemben elkészült munkadarabok 96%-a felel meg a súlyszabványnak. A minőség-ellenőrzés során az elkészült munkadarabok egy részét megvizsgálták, a súly szempontjából szabványos darabok 98%-a bizonyult alaa jónak, a nem szabványos súlyú darabokból pedig 5%-ot nyilvánítanak alaa jónak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy darab, amely a minőségellenőrzésen alaa jónak bizonyult, megfelel a súlyszabványnak? A az az esemény, hogy a munkadarab alaa jónak bizonyul. Legyen az az esemény, hogy a vizsgált darab súlya szabványos, a pedig, hogy a darab súlya nem szabványos. Megjegyzés: 5 3 7

8 ),96 A/ ),98 A/ ),4 ),5 A esemény valószínűségét keressük az A esemény teljesülése esetén. Ezt a feltételes valószínűséget a ayes-tétellel számoljuk ki: A/ ) ),98 96 P ( / A),998 A/ ) ) + A/ ) ),98,96 +,5,4 Tehát kb. 99,8% a valószínűsége annak, hogy a minőségellenőrzésen alaa jónak bizonyult darab súlya megfelel a szabványnak. 3. Egy biológiai kísérlet során egyedet három, 3 ill. 5 egyedből álló- csoportoa osztanak. Az első csoport egyedeit gyenge, a másodikét közepes, a harmadikét erős hatóanyaggal oltják be. A csoportokat ezután külön tárolják. Az oltás hatására az első csoportból 3, a másodikból, a harmadikból pedig 39 megy keresztül valamilyen változáson. Ezután a csoportok elkülönítését megszüntetik. Ha az összes egyedből egyet találomra kiválasztunk és ennek vizsgálata azt mutatja, hogy nem ment keresztül változáson, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való? A az az esemény, hogy a kiválasztott egyed nem megy keresztül változáson. A j azt jelenti, hogy a kiválasztott egyed a j-edik csoportból való. ) A/ ) / A) ; 7 ; ) A/ 3 ; ) ; 3 ) A/ A/ ) ) A/ ) ) 3 j j j ) ,67% Tehát 4,67% annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való. 8

9 .4. Események függetlensége. Ketten lőnek céltáblára. A találat valószínűsége az első személy esetében,7; a második esetében,6. A találatok egymástól függetlenek. Ha mindketten egy-egy lövést adnak le, mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egy találat van a céltáblán. Legyen A az az esemény, hogy az első személy talál, és jelentse azt, hogy a második találatot ér el. Az (A+) esemény azt jelenti, hogy legalább egy találat van a céltáblán. Ennek a valószínűségére vagyunk kíváncsiak és felhasználjuk azt is, hogy az A és események függetlenek: A + ) A) + ) A ) A) + ) A) ),7 +,6,7,6,3,4,88 Tehát,88 a valószínűsége annak, hogy a céltáblán legalább egy találat van.. Két, egymástól függetlenül dolgozó szerszámgépen azonos fajta alkatrészeket gyártanak. Az első gépen,8; a második gépen,7 valószínűséggel kapunk első osztályú alkatrészeket, az ugyanazon a gépen gyártott alkatrészek is függetlenek egymástól. Az első gép gyártmányaiból 3, a második gép gyártmányaiból pedig alkatrészt választunk találomra, és ezeket megvizsgáljuk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind az 5 első osztályú? Legyen A a szóban forgó esemény. A függetlenség alapján 3 P ( A),8,7,5 Tehát 5,% a valószínűsége annak, hogy a vizsgált alkatrészek mind első osztályúak. 3. Két dobozban golyók vannak, amelyek csak színeikben különböznek. Az első dobozban 5 fehér, fekete és 8 piros, a másodikban fehér, 8 fekete és 6 piros golyó van. Mindkét dobozból találomra kiveszünk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű? Legyen A az az esemény, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű. A két húzás egymástól független. Háromféle, egymást kizáró esemény összegeként adódik az A, mégpedig úgy, hogy vagy mindkét dobozból fehéret, vagy mindkét dobozból feketét, vagy mindkét dobozból pirosat húzunk. Így az A esemény valószínűsége: P ( A) + +, Tehát 3% annak a valószínűsége, hogy a két dobozból azonos színű golyót húzunk. 9

10 . Leíró statisztika. Az alábbi táblázat a udapesti Értéktőzsde hivatalos indexének (UX) száz napi záróértékéből számított hozamadatait tartalmazza. Készítse el az alábbi adatbázis részletes leíró statisztikai elemzését! Napi hozamok,896,63,9 -,74,38,45,85,754, -,3,846,86 -,4 -,76,,476,6 -,5,395 -,78,59,,8 -,567,865 -,836 -,,46,8,79 -,877,845,448,6,88,567,8,33,9,4,,58 -,3,9 -,8 -,43 -,676,6,47 -,365 -,759,3565,769,964 -,967,654,7 -,3,53 -,55 -,55,84,439,58 -,3858,39 -,37 -,45 -,9,6,69,359 -,7 -,4,758,8,438,44,44,79,6,758 -,6, -,43,483,57,43,8 -,7,48,358 -,69,87,83,43,493 -,39 -,54,54 Rangsor (oszloponként) -,567 -,8 -,43 -,4,,54,754,69,896,84 -,3858 -,55 -,39 -,5,48,567,85,33,9,865 -,76 -,6 -,365,6,7,6,8,38,45,964 -,967 -,3 -,3,8,39,6,845,359,47,358 -,877 -,55 -,3,87,43,6,,43,53,395 -,836 -, -,37,4,438,63,,46,758,3565 -,759 -,9 -,7,,44,6,9,493,758,439 -,74 -,78 -,45,,448,654,8,58,769,59 -,69 -,7 -,43,8,476,79,9,57,8,58 -,54 -,676 -,4,86,483,79,44,88,83,846. Osztályok számának meghatározása. (Egy lehetséges módszer.) k > N h Y max Y k min 7 8,846 (,567) h,8, 7

11 . Gyakorisági táblázat osztályközhosszúság f i g i f i g i -,567 -,365,, -,365 -,63 5,5 7,7 -,63,39 7,7 44,44,39,4 38,38 8,8,4,443 5,5 97,97,443,645, 99,99,645,847, % 3. Kvartilisek meghatározása s/ 4 ( + ) 5,5 4 Q,3 +,5 s 3 3/ 4 Q 3 ( + ) 75,75 4,43 +,75 (,37 (,3) ), 375 (,46,43), Medián s/ ( + ) 5,5 Me (,483 +,54),535 Meˆ,483 +,5,54,483, ( ) 535

12 Medián becslése a gyakorisági táblázat alapján N ' fme Me Y ' N ˆ me, + h f me me f 5. Módusz me ˆ 44 Me,39 +,,79 38 A 4. osztály a modális osztály: Mo ˆ Ymo, da + d + d a f h mo da fmo fmo d f f mo f mo+ 6. Számtani átlag Az egyenkénti adatokból számítva: (,567) + (,3858) ,846 +,98497,3453 x,3453 ecslés gyakorisági táblázatból: (,466) + (,64) ,544 +,746 X,,7536 Osztályközhossz. osztályközép f i d i Y i -Y átl.becs. d i f i d i -,567 -,365 -,466 -,39,5,34 -,365 -,63 -,64 6 -,9,36,66 -,63,39 -,6 36 -,3,69,6,39,4,4 38,6464,4,596,4,443,34 5,6664,7,665,443,645,544,47,,44,645,847,746,67,45,45,645 A táblázat utolsó három oszlopa majd csak a szórás becslésénél kell. 7. terjedelem R Y Y ˆ 38 7 Mo,39 +,,354 ( 38 7) + ( 38 5),846 (,567) max min,43

13 interkvartilis terjedelemmutató R,5 Q3 Q,455 (,375), Tapasztalati szórások ecslés gyakorisági táblázat alapján: s r i f i ( x x) r i i f i,645,54. Grafikus ábrázolás, hisztogram Gyakorisági hisztogram Gyakoriság ,466 -,64 -,6,4,34,544,746 Osztályközepek Kumulált relatív gyakorisági hisztogram Kumulált relatív gyakoriság,,8,6,4,7,, Osztályközepek,97,99,8,44 Osztályközepek 3

14 . Omniás példa: 4. előadás prezentációjában megoldva 3. Egy üdítőitalokat forgalmazó cég budapesti részlegénél dolgozó 6 értékesítési képviselő 5 január havi teljesítménye (kiszállított mennyiség, ezer rekesz): 5,6 6,8 3,5 8, 3,3, 3,7 5,7 4,7 8,5 9, 6,6 9, 8,7 6,,5 4, 3, 5,9 3, 8,8 33,6 34,7 6,9 4,8,8 Számítsuk ki az átlagos teljesítményt, határozzuk meg a mediánt! Számítsuk ki az ismert szóródási mérőszámokat! Jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját a Pearson-féle mutatószám segítségével! Készítsünk gyakorisági sort, és becsüljük meg a móduszt! Rangsor 8, 8,5 3, 3, 3,3 3,5 3,7 4, 4,8 5,6 5,7 5,9 6, 6,6 6,9 8,7 8,8 9, 9,,,5,8 4,7 6,8 33,6 34,7 A, Számítsuk ki az átlagos teljesítményt, határozzuk meg a mediánt! Átlagos teljesítmény, meghatározása számtani átlaggal: x + x xn 8 + 8, ,6 + 34,7 x 8ezer N 6 8 ezer rekesz az átlagos teljesítmény. Medián: 6,+ 6,6 Me 6,35 6,35 ezer rekesznél többet teljesített az értékesítési képviselők fele, a másik fele kevesebbet., Számítsuk ki az ismert szóródási mérőszámokat! Terjedelem R X max X min 34,7 8 6,7 Szórás (8 8) + (8,5 8) (33,6 8) + (34,7 8) s 6, ,38 ezer rekesszel tér el átlagosan az egyes képviselők teljesítménye az átlagostól. Korrigált tapasztalati szórás s (8 8) + (8,5 8) (33,6 8) 5 + (34,7 8) 6,384 4

15 Relatív szórás: 6,38 V, Az egyes képviselők teljesítményének az átlagostól való átlagos eltérése 34,5%. Interkvartilis terjedelemmutató: s/ 4 (6 + ) 6,75 4 Q 3,5 +,75(3,7 3,5) 3,65 s 3/ 4 Q 3 3 (6 + ),5 4, +,5(,5,),75 R/ Q3 Q,75 3,65 6,65 Az értékesítési képviselők negyedének a teljesítménye 3,65 ezer rekesznél alacsonyabb, háromnegyedüké magasabb (Q ). Az értékesítési képviselők háromnegyedének teljesítménye,75 ezer rekesznél alacsonyabb, egynegyedüké magasabb (Q 3 ). Az interkvartilis terjedelemmutató azt fejezi ki, hogy az értékesítési képviselők felének teljesítménye 6,65 ezer rekesznyi sávban helyezkedik el. C, Jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját a Pearson-féle mutatószám segítségével! 3( Y Me) 3(8 6,35) P,79 79,7% s 6, Erősebb baloldali aszimmetria. D, Készítsünk gyakorisági sort, és becsüljük meg a móduszt! k > N, kb. 5 osztályt célszerű készíteni. h 34, ,34 Legyen 5,4 kerekítéssel az osztályköz-hosszúság: Osztályok: Osztályhatár gyakoriság 8,-3,4 5 3,5-8,8 8,9-4,3 5 4,4-9,8 9,9-35,3 Összesen: 6 5

16 5 M o ˆ 3,5 + 5,3 6,5 ( 5) + ( 5) Az értékesített mennyiségek a 6,5 ezer rekesz körül tömörülnek. (Ez egyébként most egybeesik a nyers módusszal, mert a szomszédos osztályok gyakorisága megegyezik.) 4. Minőségellenőrzés keretében vizsgálták egy adott típushoz tartozó elektromos habverők élettartamát. A megfigyelés eredménye: Élettartam (év) Megfigyelések száma (db) 5,-5,5 8 5,5-6, 8 6,-6,5 5 6,5-7, 4 7,-7,5 Összesen Ábrázoljuk a gyakorisági sort! Számítsuk ki a helyzeti középértékeket, az átlagot, a szórást, az aszimmetria egyik mérőszámát! a) Ábrázoljuk a gyakorisági sort! gyakorisági hisztogram megfigyelések száma ,-5,5 5,5-6, 6,-6,5 6,5-7, 7,-7,5 osztályok b) Számítsuk ki a helyzeti középértékeket, az átlagot, a szórást, az aszimmetria egyik mérőszámát! 6

17 Élettartam Megfigyelések száma (db) Kumulált gyakoriság (év) (gyakoriságok) 5,-5, ,5-6, ,-6, ,5-7, 4 7,-7,5 Összesen 6 36 Me 6 + *,5 6,4 5 Mo 6 + *,5 6, *5, *7, 5 x 6, 5 8(5, 5 6, 5) *(7, 5 6, 5) s,58 3*(6,5 6,4) P,59,58 Enyhe bal oldali aszimmetria. 7

18 3. Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások 3.. inomiális eloszlás. Valaki találomra kitölt egy totószelvényt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első hét mérkőzéshez az,, x lehetőségek közül legalább 5 helyre egyest választ? Legyen A az az esemény, hogy a szelvényt kitöltő egy mérkőzéshez -est ír. A) p / 3 így A) q p / 3 / 3 A ξ valószínűségi változó jelentse az n7 db mérkőzéshez beírt egyesek számát. p k ξ n k) k n k 3 k 3 7k k 7k ( p) ( q) ( k,,...,7) Az az esemény, hogy az első hét mérkőzéshez legalább öt helyre -es kerül három, egymást kizáró esemény összegeként fogható fel: vagy öt, vagy hat, vagy hét helyre ír egyest a fogadó. Ezek a valószínűségek a binomiális eloszlás táblázatának segítségével (n7; p,3 és,35 értékeit átlagolva (vagy egyszerűen a,35-höz tartozó értéket alapul véve); k5,6,7) a következők: p 5 + p6 + p7,358 +,6 +,4,4 Tehát kb. 4,% a valószínűsége annak, hogy legalább öt helyre -es kerül.. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ha egy családban gyerek születik, akkor közülük éppen öt fiú lesz? Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy fiú születik legyen A esemény. p ( A ) p / A leány születésének valószínűsége: p ( A) p q / A ξ valószínűségi változó jelentse az n gyermek közül a fiúk számát. Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a ξ5: p 5,46 4,6% (binomiális eloszlás táblázata: n, p,5, k5) 8

19 3.. Poisson-eloszlás. Egy elektronikus műszer alkatrészből áll. Egy alkatrész a többitől függetlenül, valószínűséggel romlik el egy év alatt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkatrész romlik el egy év alatt? Tulajdonképpen binomiális eloszlással kellene számolnunk. Mivel azonban az alkatrészek száma (n) elég nagy (n>3), a p, valószínűség pedig nagyon kicsi, így bevezetjük a λ n p, paramétert, és a binomális eloszlás tagjait a megfelelő Poissoneloszlásból kapott tagokkal közelítjük. A legalább két alkatrész elromlási eseményének ellentettje, hogy kettőnél kevesebb alkatrész romlik el, vagyis hogy vagy vagy alkatrész romlik el. Ezek az esetek egymást kizárják, és összegük valószínűségét ezek valószínűségének összege adja: p + p,367 +,367,734 (Poisson-eloszlás táblázatból, λ, k,) Így a legalább két alkatrész meghibásodásának valószínűsége: ( p + p ),734,66 Tehát kb. 6,6% a valószínűsége annak, hogy a műszer alkatrészei közül legalább kettő elromlik egy év alatt.. Egy telefonközponthoz 6 előfizető tartozik. Tegyük fel, hogy,5 a valószínűsége annak, hogy valamelyik előfizető egy meghatározott órában kapcsolást kér. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában épp 4 előfizető kér vonalat? Itt is binomiális eloszlással kellene számolnunk, de n6 elég nagy és p,5 pedig elég kicsi ahhoz, hogy a binomális eloszlást a Poisson-eloszlással közelítsük. λ n p 6,5 3 p,68 4 (Poisson eloszlás táblázatból: λ3, k4) Tehát 6,8% a valószínűsége annak, hogy az adott órában éppen 4 előfizető kér kapcsolást. 3. Egy orsózógépen munkaóra alatt átlagosan 3 szakadás következik be. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen időtartam alatt a szakadások száma túllépi az átlagot? A szakadások Poisson-eloszlás szerint következnek be. 9

20 A vizsgált időtartam alatt bekövetkező szakadások száma legyen a ξ valószínűségi változó értéke. Ez Poisson-eloszlású, paramétere a vizsgált időtartam alatti szakadások átlagos száma, vagyis 3. λ M ( ξ ) 3 Itt is fordítva gondolkodunk. A kérdés az, hogy mi a valószínűsége, hogy 3-nál több szakadás következik be. Ennek ellentettjét könnyebb számolni, vagyis annak a valószínűségét keressük, hogy 3 vagy annál kevesebb szakadás következik be. A Poisson-eloszlás táblázatának segítségével már csak ki kell keresni az értékeket (λ3; k,,,3) p + p + p + p3,49 +,49 +,4 +,4,646 Így annak a valószínűsége, hogy 3-nál több szakadás következik be: p ( ξ 3) p( ξ 3),646,354 Vagyis 35,4% a valószínűsége annak, hogy a szakadások száma óra alatt meghaladja a 3- at Exponenciális eloszlás. izonyos típusú izzólámpák tönemeneteléig eltelt égési időtartam hosszát tekintsük valószínűségi változónak. Megállapították, hogy ez a valószínűségi változó exponenciális eloszlást követ, és szórása óra. Határozzuk meg a valószínűségi változó várható értékét! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott izzólámpa 3 órán belül tönemegy! Mivel a ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása megegyezik (mivel exponenciális eloszlást követ), így: D( ξ ) M ( ξ ) óra λ λ óra Az az esemény, hogy egy izzólámpa 3 órán belül nem megy töne, azt jelenti, hogy a ξ 3. Ennek valószínűsége: ξ 3) ξ 3) (3) ( e 3 ) e 3,5 Tehát kb. 5% a valószínűsége annak, hogy egy izzólámpa legalább 3 órán át hibátlanul világít.

21 3.4. Normális eloszlás. Egy vizsgálat szerint a felnőtt korú férfiak testmagassága N(74 cm; 7 cm) eloszlást követ. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott férfi testmagassága: a) nagyobb, mint 9 cm, b) 7 és 85 cm közé esik, c) mekkora a testmagasság szórása, ha tudjuk, hogy a férfiak 5%-ának a testmagassága 68 cm alatt van? a) nagyobb, mint 9 cm, 9 74 ξ 9) ξ 9) (9) Φ( ) Φ(,8), ,34,3% b) 7 és 85 cm közé esik, ξ 85) (85) (7) Φ( ) Φ( ) Φ(,57) Φ(,57) 7 7 Φ(,57) + Φ(,57),9479 +,7566, ,74% c) mekkora a testmagasság szórása, ha tudjuk, hogy a férfiak 5%-ának a testmagassága 68 cm alatt van? ξ 68),5 (68), Φ( ),5 Φ( u),5 Φ( u),95 u,64 σ 68 74,64 σ 3,66 σ

22 . Egy termék élettartama N(3év; év) eloszlású. a) Teljesíti-e az élettartam azt az elvárást, hogy a évnél korábban meghibásodó termékek aránya legfeljebb % legyen? b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatni a várható értéket, ill. a szórást, hogy teljesítsék az előírást? c) Termékfejlesztés eredményeképpen egy új termék élettartama N(6év;,9év) eloszlással jellemezhető. Mekkora garanciális időt adjon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen töne a garancia alatt? a) Teljesíti-e az élettartam azt az elvárást, hogy a évnél korábban meghibásodó termékek aránya legfeljebb % legyen? 3 ξ ) () Φ( ) Φ( ) Φ(),9775,75,8% Nem teljesíti az elvárást, hiszen a évnél korábban meghibásodó termékek aránya,8%. b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatni a várható értéket, ill. a szórást, hogy teljesítsék az előírást? (A várható értéknek nyilván nagyobbnak, a szórásnak pedig kisebbnek kell majd lennie.) Várható érték változtatása: µ ξ ) (), Φ( ), Φ( u), Φ( u),99 u,34 µ,34 µ 3,34év Szórás változtatása: 3 Φ( ), σ 3,34 σ,85 σ c) Termékfejlesztés eredményeképpen egy új termék élettartama N(6év;,9év) eloszlással jellemezhető. Mekkora garanciális időt adjon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen töne a garancia alatt? x 6 ξ x) ( x),5 Φ( ),5,9 x 6 Φ( u),5 φ( u),95 u,64,64 x 4,5év,9 4,5 év garanciát kellene adnia a cégnek.

23 3. Egy elektronikai gyárban tesztekkel igazolták, hogy egy adott TV képcső élettartama N(5,8 év;,3 év) eloszlású. A vállalat év cseregaranciát vállal a képcsövee. a) A képcsövek hány százalékát kell kicserélni a garancia időtartama alatt? b) Mekkorára kell növelni a képcsövek élettartamát (a szórás nem változik), ha a cég legfeljebb %-os garanciális cserét szeretne elérni? c) Legfeljebb mekkora szórása lehet az élettartamnak, ha a várható érték nem változik (5,8 év), ahhoz, hogy a %-os célt elérjék? a) A képcsövek hány százalékát kell kicserélni a garancia időtartama alatt? 5,8 ξ ) () Φ( ) Φ(,65) Φ(,65),9559,49 5%,3 b) Mekkorára kell növelni a képcsövek élettartamát (a szórás nem változik), ha a cég legfeljebb %-os garanciális cserét szeretne elérni? µ ξ ), Φ( ), Φ( u),98 u,6,3 µ,6 µ 6,74év,3 5,8-ról 6,74 évre kell növelni a képcsövek várható élettartamát. c) Legfeljebb mekkora szórása lehet az élettartamnak, ha a várható érték nem változik (5,8 év), ahhoz, hogy a %-os célt elérjék? 5,8 ξ ), Φ( ), u,6 σ 5,8,6 σ,85év σ Ebben az esetben pedig,3 évről,85 évre kell csökkenteni a szórást. 3

24 4. Döntéselmélet. Adott az alábbi nyereség típusú döntési mátrix: t t t 3 t 4 s s s s 4-7 Hogyan döntene bizonytalan körülmények között?. Wald-itérium Minden egyes stratégiánál megkeressük a legrosszabb következményt. S -4 S S 3 4 S 4 - E legrosszabb következmények közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s 3 -at.. Laplace-itérium Minden egyes tényállapot bekövetkezéséhez ugyanakkora valószínűséget kapcsolunk. t ) t ) t 3 ) t 4 ) ¼,5 Kiszámítjuk minden egyes stratégiához kapcsolódóan a következmények várható értékét. M ( s) , M ( s ) , M ( s3) , M ( s4 ) , Ezek közül a legnagyobb várható értékűt választjuk, azaz s 3 -at. 4

25 3. Savage-itérium Elmaradó haszon mátrixot készítünk, majd a Wald-itériumot alkalmazzuk. t t t 3 t 4 s 4 9 s 8 s 3 6 s Kiválasztjuk minden egyes stratégiánál a legrosszabb következményeket: S 4 S S 3 6 S 4 8 Majd ezek közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s 3 -at.. Egy vállalkozó automatizált gyártóberendezést kíván importálni. A gép megbízható működéséhez többek között egy itikus alkatrész hibátlan működése szükséges. A szállító ajánlata szerint a berendezéssel együtt vásárolt tartalék alkatrészek ára:. /db. Egy-egy alkatrész utólagos beszerzésének a költsége viszont: 35. /db. A szállító adatai szerint az eddig eladott berendezések üzemeltetése során egy adott berendezés esetén legfeljebb 3 meghibásodás fordult elő. a) Hány tartalék alkatrészt vásároljon a vásárló, ha nincs információja a berendezés megbízhatóságáról? b) Hogyan alakul a vállalkozó döntése, ha megkapja az eddig eladott 3 db. berendezésről készült alábbi meghibásodási statisztikát. Meghibásodott alkatrészek száma 3 erendezések száma Döntési mátrix készítése. 4 tényállapotunk van:,,, vagy 3 meghibásodás fordul elő. A stratégiák:,,, vagy 3 tartalék alkatrészt vásárolunk. A következmények pedig az ezzel kapcsolatos költségek. t t t t 3 s s 45 8 s 55 s

26 . Wald-itérium Minden egyes stratégiánál megkeressük a legrosszabb következményt. S 5 S 8 S 55 S 3 3 E legrosszabb következmények közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s 3 -at.. Laplace-itérium Minden egyes tényállapot bekövetkezéséhez ugyanakkora valószínűséget kapcsolunk. t ) t ) t ) t 3 ) ¼,5 Kiszámítjuk minden egyes stratégiához kapcsolódóan a következmények várható értékét. M ( s ) M ( s) M ( s ) M ( s3) Ezek közül a legnagyobb várható értékűt választjuk, azaz s -őt. 3. Savage-itérium Elmaradó haszon mátrixot készítünk, majd a Wald-itériumot alkalmazzuk. t t t t 3 s s 5 5 s 5 s 3 3 Kiválasztjuk minden egyes stratégiánál a legrosszabb következményeket: S 75 S 5 S 5 S 3 3 Majd ezek közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s -őt. 6

27 5. Első- és másodfajú hiba. Egy tömeggyártásban előállított termék szélességi mérete szabályozott folyamatban µ 9 mm és σ mm. Legyen a névleges érték körül szimmetrikusan elhelyezkedő beavatkozási határ: H µ ± σ. a) Számítsa ki az elsőfajú hibát! b) Tételezzük fel, hogy egy veszélyes zavarhatás a beállítási szintet µ 9mm- re változtatja (a szórást nem befolyásolja). Mekkora lesz a szabályozás másodfajú hibája? c) A számításokat végezze el n és n 4 elemű minták átlagára is! a) elsőfajú hiba α 98 9 ξ AH ) ( AH ) (9 ) (98) Φ( ) Φ( ) Φ(),9775,75,8% α 4,56% b) másodfajú hiba β 98 ξ 9) (9) (98) Φ( ) Φ( ) Φ() Φ( 4),5 +,5 5% c) n4-re Változnak a beavatkozási határok! σ σ x,5 AH 9,5 99 H n 4 9 α 99 9 ξ 99) (99) Φ( ) Φ( ) Φ(),9775,75 α 4,56%, β 99 ξ 9) (9) (99) Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( 6),5,5 Φ() + Φ(6),9775 +,75,8% 7

28 . Egy termék tömegének eloszlása N( g; g). Mekkora szimmetrikus beavatkozási határokat használnak 5%-os kockázati szint mellett n4 elemű minták számtani átlagára? Mekkora a másodfajú hiba, ha a folyamat N(,5 g;, g)-ra állítódik el? AH ξ AH ) Φ( ),75 u,44 / 4 H,7 AH,44 AH 99,8 / 4,7,5 99,8,5 β 99,8 ξ,7) (,7) (99,8) Φ( ) Φ( ), / 4, / 4 Φ(,37) Φ(,3) Φ(,37) + Φ(,3), ,9786,63 6,3% 8

29 6. ecslés. Egy mosóporgyárban az egyik adagolóautomata 5g tömegű mosóport tölt papírdobozokba. A gép által töltött dobozokból vett minta adatai: 483g; 5g; 498g; 496g; 5g; 494g; 49g; 55g; 486g. A gép által töltött tömeg normális eloszlású, 8 g szórással. Határozza meg a gép által töltött dobozok tömegének konfidencia intervallumát 98%-os megbízhatósági szint mellett! Várható érték becslése intervallummal ismert elméleti szórás esetén α % σ 8g µ x 495,g 9 σ σ x uα / µ x + uα / ) α n n u u,34 α /, ,,34 µ 495, +, ,98 µ 5,46. Hosszú évek tapasztalata alapján Magyarországon a lánycsecsemők születéskori súlya normális eloszlást követ 3, kg átlaggal és,6 kg szórással. Kérdések: a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott lánycsecsemő súlya 3, és 3,4 kg között van? b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy elemű véletlen minta átlaga 3, és 3,4 kg között van? c) Mi ugyanennek a valószínűsége elemű minta esetén? d) Milyen intervallumba várhatók a elemű minták átlagai 95%-os valószínűséggel? e) Szerkesszünk konfidencia intervallumot a sokasági átlagra, ha egy elemű minta átlaga 3, kg és a szórás továbbra is,6 kg! 3,4 3, 3 3, a) 3 ξ 3,4) Φ( ) Φ( ) Φ(,33) Φ(,33) Φ(,33),63,6,6,6 Tehát 6% annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott lánycsecsemő súlya 3, és 3,4 kg között van. 9

30 3,4 3, 3 3, b) 3 ξ 3,4) Φ( ) Φ( ) Φ(,54) Φ(,54) Φ(,5),853,76,6,6 Azaz az ekkora elemszámú mintaátlagok 7%-a ebben az intervallumban lesz. 3,4 3, 3 3, c) 3 ξ 3,4) Φ( ) Φ( ) Φ(3,33) Φ( 3,33) Φ(3,33),9996,999,6,6 Azaz elemű minták esetén már csak az átlagok,8%-a nem fér bele ebbe az intervallumba. σ σ d ) x uα / µ x + uα / ) α n n α 5% Φ( u),975 u,96,6,6 3,,96 µ 3, +,96 3,8 µ 3,3 Azaz a keresett intervallum: (3,8; 3,3), a mintaátlagok 95%-a ebbe az intervallumba esik. σ σ e) x uα / µ x + uα / ) α n n α 5% Φ( u),975 u,96,6,6 3,,96 µ 3, +,96,98 µ 3, Azaz a keresett intervallum: (,98; 3,). Ez az intervallum tartalmazza a feltételezett 3,-es sokasági átlagot, azaz ezzel a feltevéssel mintabeli eredményünk összhangban van. 3

31 3. Egy évben a ME gazdálkodási szakának nappali tagozatára jelentkezők közül 7 fős mintát vettek egyszerű véletlen kiválasztással. A mintában szereplő felvételizők pontszáma a következő volt: 8; 9; ; 3; ; 5; 6; 99; ; 4; 5; 96; 88; ; 3; 9; 94. Határozzuk meg a felvételizők átlagos pontszámának és a pontszámok szórásának 95%-os konfidencia intervallumát! a) A pontszámok várható értékének intervallumbecslése ismeretlen elméleti szórás esetén α 5% σ s ( x 7 4,,68 x) (8 8,4) + (9 8,4) (9 8,4) + (94 8,4) µ x 8,4 7 7 s s x tα / µ x + tα / ) α n n t ( D) t (6), α / 7 i,975 i,68,68 8,4, µ 8,4+, 7 7,9 µ 3,9 b) A pontszámok szórásának becslése intervallummal * * ( n ) s ( n ) s P σ α χα / χ α / α 5% χ χ α / α / 8,845 6,68 8,845 6,98 63,7 σ 64,8 7,95 σ 6,5 σ 6,68 6,98 3

32 4. Egy vállalat szervezetének átvilágításakor 5 szervezeti alkalmazott közül 5 munkatársat véletlenszerűen kiválasztottak, és több kérdés mellett megkérdezték tőlük, hogy mekkora fizetést tartanának kielégítőnek. A válaszok átlaga havi bruttó 5 ezer forint, 3 ezer forint szórással ecsüljük meg 95 és 99%-os megbízhatósággal, mekkora havi bruttó bérkifizetésre kell a cégnek felkészülnie, ha a kielégítőnek vélt szintet szeretné biztosítani! α 5% n 5 σ s 3 µ x 5 s s x tα / µ x + tα / ) α n n t ( D) t (4),96 α /, ,96 µ 5 +, ,7 µ 64765,3 α % t α / ( D) t,995 (4), ,576 µ 5 +, ,3 µ 6945,87 3

33 5. Egy vezeték nélküli, újratölthető csavarhúzókat gyártó vállalatnál felmérve a csavarhúzók működési idejét, azt normális eloszlásúnak találták. 5 csavarhúzó élettartamát megvizsgálva az átlagos működési idő 89 óra, a szórás 5 óra. Adjuk meg a várható érték 95%-os konfidencia intervallumát. A cég új reklámkampányában ki szeretné emelni, hogy a csavarhúzók 99%-a egy adott élettartamnál tovább működik. Maximum mekkora működési időt mondjon, ha nem akarja becsapni a vásárlókat? a, Várható érték becslése ismeretlen elméleti szórás esetén s 5h x 89h n 5 D n 5 4 s s x n t t α / 5 9,h 5 s,45 9, 77 x x x t t µ x + ) α,95 µ x + t t µ µ 977 Ez a várható érték 95%-os konfidencia intervalluma. b, t t α / s x,977 9, 384,3 x x t t µ x + ) α,95 µ x + t t ,3 µ ,3 855,7 µ 984,3 Maximum 984,3h működési időt mondhat, ha nem akarja becsapni a vásárlókat. 33

34 7. Hipotézisvizsgálatok 7.. Nemparaméteres próbák. Egy sörgyártó vállalatnál a sör névleges térfogata 5ml kell, hogy legyen, és a térfogat szórása legfeljebb ml lehet. Egy elemű véletlen mintából ellenőrzik a szállítmányt. A minta adatai a következők: Térfogat, ml db Összesen A mintából számított jellemzők: x 499,ml (ezt most megadtuk, de becsült paraméterek) s,6ml a) 5%-os szignifikancia szinten tesztelje azt a hipotézist, hogy a betöltött sör térfogat szerinti eloszlása normálisnak tekinthető! b) A minta alapján ellenőrizze az átlagos töltősúlyra vonatkozó hipotézis teljesülését! a) Illeszkedésvizsgálat H : a sör névleges térfogata 499, ml várható értékű és,6 ml szórású normális eloszlást követ H : a sör névleges térfogata nem 499, ml várható értékű és,6 ml szórású normális eloszlást követ Térfogat, f i p i i χ szám ml -48 5,643 6,43, ,75 7,5, ,97 9,, 5-5 4,77 7,7, ,464 4,64,6 5-5,485 4,85,464 Összesen Ahol f a tapasztalati gyakoriság, pedig az elméleti gyakoriság ( i p i *). 34

35 35 Kvantitatív módszerek 4,85%,48457,95543 (5) 5) ( 5) ( 4,64%,4644,855,95543,855 (,66),855 ),6 499, 5 ( (5) (5) 5) (5 7,7%,775,579,855,579 (,86),579 ),6 499, 5 ( (5) (5) 5) (5 9,%,9,35763,579,35763 (,7),35763 ),6 499, 5 ( (49) (5) 5) (49 7,5%,75,643,35763,643,76437) (,643 (,7),643,7) (,643 ),6 499, 49 (,643 (49) (48) (49) 49) (48 6,43%,643, (,5),5) ( ),6 499, 48 ( (48) 48) ( > Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ P P P P P P P ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 3 6 7,85,444,464,6,5, 7,5 7,5) ( 6,43 6,43) (5 ) ( H l r D f szám n i i i i szám χ χ χ χ b) PARAMÉTERES! egymintás u-próba, mert n>3 /,96,74,96,96 (,975) 5%,74, , 5 : 5 : H u u u u u u n s x u H H sz sz ± Φ α α µ µ µ

36 . Véletlenszerűen kiválasztott db miohullámú sütő élettartam szerinti megoszlását mutatja a következő táblázat: Élettartam, év db Összesen Ismeretes, hogy x 6,36év (becsültük az osztályközös gyakorisági sorból) s,67év a) 5%-os szignifikancia szinten ellenőrizze azt az állítást, hogy miohullámú sütők élettartama normális eloszlást követ! b) Teljesül-e 5%-os szignifikancia szinten az a minőségi előírás, hogy az élettartam átlaga meg kell, hogy haladja a 6 évet! a) Illeszkedésvizsgálat H : a miohullámú sütők élettartama 6,36 év várható értékű és,67 év szórású normális eloszlást követ H : a miohullámú sütők élettartama nem 6,36 év várható értékű és,67 év szórású normális eloszlást követ Élettartam, év f i p i i χ szám -5 8,,64, ,75 3,7, , ,3 6, ,637 9,64,45 8-5,73,876 7,7 Összesen 47, 36

37 37 Kvantitatív módszerek,73%,73,99656 (8) 8) ( 8) ( 6,37%,637,88944,99656,88944 (,44),88944 ),67 6,36 8 ( (7) (8) 8) (7 53,44%,5344,945,88944,945 (,95),945 ),67 6,36 7 ( (6) (7) 7) (6 7,5%,75,,754, (,54),,54) (, ),67 6,36 6 (, (6) (5) (6) 6) (5,%,,978 (,3),3) ( ),67 6,36 5 ( (5) 5) ( > Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ P P P P P P ξ ξ ξ ξ ξ ξ 5 5,99 47, 7,7,45 6,3 3,7 3,7) (8,64,64) (8 ) ( H l r D f szám n i i i i szám > χ χ χ χ b) PARAMÉTERES! egymintás u-próba, mert n>3 /,96,96 (,975) 5% 5,9,67 6 6,36 6 : 6 : H u u u u n s x u H H sz sz > + ± Φ > α α µ µ µ

38 3. Egy adott évben 98 vegyipari vállalatot megvizsgálva a 8 napon túl gyógyuló sérülteket eredményező balesetek száma az alábbi táblázatban foglaltaknak megfelelően alakult. alesetek száma Vállalatok száma a) Leírható-e a balesetek száma Poisson-eloszlással (α%)? b) Mennyi a számtani átlag, a módusz és a medián értéke? a) Illeszkedésvizsgálat λ becslése (a számtani átlag segítségével) a H hipotézis megfogalmazásához: λ 3, H : a balesetek száma leírható λ3, paraméterű Poisson-eloszlással H : a balesetek száma nem λ3, paraméterű Poisson-eloszlású Osztályok f k p k k χ i 4,49 4,74,5 8,49 4,34,955,4,54,4 3 5,4,54, ,68 6,8,789 5, 9,6,67 6 4,5 4,8,33 7 6,,6 7,87 Σ 96, 96,37 (Megjegyzés. A p k értékeket a Poisson-eloszlás táblázatából keressük ki, az k elméleti gyakorisági értékeket pedig a következőképpen kapjuk: k p k *96) n ( fi i ) (4 4,74) χ szám i i 4,74 +,67 +,33 + 7,87,37 χ 6,8 D r l 8 6 χ szám χ H (8 4,34) + 4,34 +,4 +,967 +,

39 b) számtani átlag, módusz, medián értéke Számtani átlag értékét már az a) pontban kiszámoltuk a paraméter becsléséhez, értéke 3,. A módusz a legnagyobb gyakoriságú érték: vagyis a vállalatok legnagyobb részénél az adott évben olyan baleset volt, amelynél a balesetet szenvedők 8 napon túl gyógyuló sérülést szereztek, így a módusz értéke: A medián helyzeti középérték:,,, 3, 4, 5, 6, 7 így a medián: 3,5. 39

40 7.. Hipotézisvizsgálatok, paraméteres és nemparaméteres próbák. Egy halogénizzókat gyártó vállalatnál megvizsgálták egy új típusú izzó élettartamát. A korábbi típusú izzók élettartama 53 óra volt. Véletlen mintavétellel kiválasztva 35 új típusú izzót, az átlagos élettartamuk 53 óra volt, 6 óra szórással. Vizsgáljuk meg %-os szignifikancia szinten, hogy valóban megnőtt-e az izzók élettartama? Egymintás u-próba, mivel n>3 H : az átlagos élettartam 53 óra (µ53h) H : az átlagos élettartam nagyobb, mint 53 óra (µ>53h) u u u sz sz x µ x µ ,76 σ / n s / n 6/ 35,98 : α % Φ( u),9 u,85 > u H A nullhipotézist elutasítjuk, az új típusú izzók élettartama valóban nagyobb.. Egy automata gépsor által töltött dobozokból elemű mintát veszünk. A mintába került doboz grammban kifejezett töltősúlya a következő: 55g, 4g, 45g, 53g, 49g, 5g, 5g, 55g, 45g, 46g. Ellenőrizzük, hogy a gépsor teljesíti-e a 5g várható értékű specifikációt %-os szignifikancia szinten! egymintás t-próba, n3 H : µ5 H : µ x 49, s t t sz (55 49,) + (4 49,) x µ 49, 5,43 s / n 4,5/ t t ± 3,5 α /,995 mivel 3,5,43 3,5 H (46 49,) 8,9 9 4,5 4

41 3. Két iskolában (A és ) a tanulók intelligencia szintjét hasonlítják össze. Mindkét iskolából 5-5 fős véletlen mintát vettek. A két minta adataiból a számítások eredményei: x s x s A A 7 8 3,4 Vizsgáljuk meg %-os szignifikancia szinten, hogy van-e eltérés a két iskola tanulóinak intelligencia szintje között!. -próba. kétmintás t-próba H H sz sz : σ σ A : σ > σ A s s A,66 8 3,4 H,84 H H t t t sz sz : µ µ : µ > µ t t α A A x A s n A A x s + n,43 H 7 8 3, ,96 + 7,8,6 4

42 4. Egy konzervgyárban két automata tölt lekvárt,5 literes üvegekbe. A gyártásközi ellenőrzés során véletlen mintát vettek mindkét gépről. A mintáa vonatkozó eredmények: Gép Mintaelemszám Átlagos töltési mennyiség, ml Töltési tömeg szórása, ml I , II ,6 Döntse el 5%-os szignifikancia szinten, hogy tekinthető-e azonosnak a két gépen a töltési tömeg szórása és átlaga! a) szórások egyezőségének vizsgálata: -próba H H sz sz : σ σ A : σ > σ A s s A,74 8, 7,6 H,64 b) átlagok egyezőségének vizsgálata: kétmintás u-próba, mivel n A, n >3 H H u : µ µ : µ > µ A : µ µ : µ µ 4,88 >,96 H α 5% Φ( u),95 u u Másik _ megoldás : H H u , 3 α 5% α /,5 Φ( u),975 u u sz sz sz sz A A > u A x σ n A A A x σ + n H 7,6 + 37,64 8 4,88, +,56 ±,96 4

43 elhasznált irodalmak: Denkinger G.: Valószínűségszámítási gyakorlatok, Tankönyvkiadó, udapest, 977 Szabó Gábor Csaba Szűts I.: Matematikai statisztika példatár I-II., Tankönyvkiadó, udapest, 987. Solt György: Valószínűségszámítás. Műszaki Könyvkiadó, udapest, 973 Ay János Kupcsik József: Általános statisztika példatár. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, udapest, 96 Juhász Györgyné Sándorné Kriszt Éva: Statisztika II. távoktatással (főiskolai jegyzet). Távoktatási Universitas Alapítvány, Hunyadi László Vita László: Statisztika közgazdászoknak. Központi Statisztikai Hivatal, udapest, Kerékgyártó Györgyné Mundruczó György Sugár András: Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági, üzleti elemzésekben. Aula kiadó, udapest, 43

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet Dr. Kövesi János, Erdei János, Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár Budapest,

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 5.

Matematikai statisztikai elemzések 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések. MSTE modul Kapcsolatvizsgálat: asszociáció vegyes kapcsolat korrelációszámítás. Varianciaanalízis

Részletesebben

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát. 1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)

Részletesebben

Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 8. : A szórás és a szóródás egyéb Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

GAZDASÁGI STATISZTIKA

GAZDASÁGI STATISZTIKA GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK

Részletesebben

Véletlenszám-generátorok

Véletlenszám-generátorok Véletlenszám-generátorok 1. Lineáris kongruencia generátor megvalósítása: (a) Készítsen lineáris kongruencia generátort az paraméterekkel, rnd_lcg néven. (b) Nyomtasson ki 20 értéket. legyen. (a, c, m,

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia MINİSÉGSZABÁLYOZÁS A GÉPIPARBAN Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia ISO 9000:2008 A STATISZTIKAI MÓDSZEREK HASZNÁLATÁRÓL A statisztikai módszerek

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Define Measure Analyze Improve Control. F(x), M(ξ),

Define Measure Analyze Improve Control. F(x), M(ξ), 5.5.5. Six Sigma Minőségmenedzsment Statisztikai folyamatszabályozási (SPC) rendszer Erdei János Egy fegyelmezett és erősen mennyiségi szemléletű folyamatfejlesztési megközelítés, amely a gyártási, szolgáltatási

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 2.

Matematikai statisztikai elemzések 2. Matematikai statisztikai elemzések 2. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek. A szórás és szóródás Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 2.: Helyzetmutatók, átlagok, Prof. Dr. Závoti,

Részletesebben

Statisztika, próbák Mérési hiba

Statisztika, próbák Mérési hiba Statisztika, próbák Mérési hiba ÁTLAG SZÓRÁS KICSI, NAGY MIN, MAX LIN.ILL LOG.ILL MEREDEKSÉG METSZ T.PROBA TREND NÖV Statisztikai függvények Statisztikailag fontos értékek Számtani átlag: ŷ= i y i /n Medián:

Részletesebben

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I.

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I. Statisztika I. 1. előadás: A statisztika alapfogalmai Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem A kurzusról A kurzus célja

Részletesebben

A kutatás folyamán vizsgált, egyes kiemelt jelentőségű változók részletes

A kutatás folyamán vizsgált, egyes kiemelt jelentőségű változók részletes A minta...3 1. sz. táblázat: Az elemzésbe bekerült személyek megoszlása kor és nem szerint...3 2. sz. táblázat: Az elemzésbe bekerült személyek eloszlása lakhely (körzet) szerint...3 A kutatás folyamán

Részletesebben

Statisztika II. BSc. Gyakorló feladatok I. 2008. február

Statisztika II. BSc. Gyakorló feladatok I. 2008. február 1) Egyik felsıoktatási intézmény oktatóitól megkérdezték, hogy milyen intézménytípust tartanának ideálisnak. A megkérdezettek megoszlása a két kérdésre (irányítás és az oktatók teljesítményének értékelése)

Részletesebben

Hipotézisvizsgálat. A sokaság valamely paraméteréről állítunk valamit,

Hipotézisvizsgálat. A sokaság valamely paraméteréről állítunk valamit, II. Hipotézisvizsgálat Lényege: A sokaság valamely paraméteréről állítunk valamit, majd az állításunk helyességét vizsgáljuk. A hipotézisvizsgálat eszköze: a statisztikai próba Menete: 1.Hipotézisek matematikai

Részletesebben

statisztikai menürendszere Dr. Vargha András 2007

statisztikai menürendszere Dr. Vargha András 2007 A statisztikai menürendszere Dr. Vargha András 2007 2 tartalomjegyzék 1. Alapok (egymintás elemzések Alapstatisztikák Részletesebb statisztikák számítása Gyakorisági eloszlás, hisztogram készítése Középértékekre

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 6. elıadás (11-12. lecke) Szórás-stabilizáló transzformációk (folyt.), t-próbák 11. lecke További variancia-stabilizáló transzformációk Egy-mintás t-próba Szórás-kiegyenlítı

Részletesebben

Gyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára

Gyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára Gyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára. feladat Egy külkereskedelmi vállalat 7 ezer üvegből álló gyümölcskonzerv szállítmányt exportál. A nettó töltősúly ellenőrzése céljából egy 9 elemű véletlen

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...

Részletesebben

ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN

ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN SINKOVICZ PÉTER (PhD hallgató) MTA WIGNER FIZIKAI KUTATÓKÖZPONT (2013) a TARTALOMJEGYZÉK A VALÓSÁG STATISZTIKAI LEKÉPEZÉSE 1. Alapfogalmak

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 6.

Matematikai statisztikai elemzések 6. Matematikai statisztikai elemzések 6. Regressziószámítás: kétváltozós lineáris és nemlineáris regresszió, többváltozós regresszió Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 6.: Regressziószámítás:

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE 1. Egy alkalmassági vizsgálat adatai szerint a vizsgált személyeken 0,05 valószínűséggel mozgásszervi és 0,03 valószínűséggel érzékszervi

Részletesebben

11. Matematikai statisztika

11. Matematikai statisztika 11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó

Részletesebben

STATISZTIKA I. Tantárgykódok. Oktatók. Időbeosztás. Tematika. http://www.agr.unideb.hu/~huzsvai. 1. Előadás Bevezetés, a statisztika szerepe

STATISZTIKA I. Tantárgykódok. Oktatók. Időbeosztás. Tematika. http://www.agr.unideb.hu/~huzsvai. 1. Előadás Bevezetés, a statisztika szerepe Tantárgykódok STATISZTIKA I. GT_APSN018 GT_AKMN021 GT_ATVN020 1. Előadás Bevezetés, a statisztika szerepe Oktatók Előadó: Dr. habil. Huzsvai László tanszékvezető Gyakorlatvezetők: Dr. Balogh Péter Dr.

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

MUNKAANYAG. Földi László. Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Földi László. Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése. A követelménymodul megnevezése: Földi László Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése A követelménymodul megnevezése: Általános anyagvizsgálatok és geometriai mérések A követelménymodul száma: 0225-06 A tartalomelem azonosító

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/

Részletesebben

Definíció. Definíció. 2. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása. 2-5. fejezet. A variabilitás mér számai 3.

Definíció. Definíció. 2. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása. 2-5. fejezet. A variabilitás mér számai 3. . El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása -1 Áttekintés - Gyakoriság eloszlások -3 Az adatok vizualizációja -4 A centrum mérıszámai -5 A szórás mérıszámai -6 A relatív elhelyezkedés

Részletesebben

Statisztika I. 6. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 6. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 6. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE szorosan kapcsolódik a szóródás elemzéshez, elméleti

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

Homogén anyageloszlású testek sűrűségét m tömegük és V térfogatuk hányadosa adja. ρ = m V.

Homogén anyageloszlású testek sűrűségét m tömegük és V térfogatuk hányadosa adja. ρ = m V. mérés Faminták sűrűségének meghatározása meg: Homogén anyageloszlású testek sűrűségét m tömegük és V térfogatuk hányadosa adja ρ = m V Az inhomogén szerkezetű faanyagok esetén ez az összefüggés az átlagsűrűséget

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó. 2010. június

GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó. 2010. június GAZDASÁGSTATISZTIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-8/2/A/KMR-29-41pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén, az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

1/8. Iskolai jelentés. 10.évfolyam matematika

1/8. Iskolai jelentés. 10.évfolyam matematika 1/8 2008 Iskolai jelentés 10.évfolyam matematika 2/8 Matematikai kompetenciaterület A fejlesztés célja A kidolgozásra kerülő programcsomagok az alább felsorolt készségek, képességek közül a számlálás,

Részletesebben

V. Matematikai Tehetségnap 2014. október 11. IV. osztály

V. Matematikai Tehetségnap 2014. október 11. IV. osztály V. Matematikai Tehetségnap 014. október 11. IV. osztály Munkaid : 45 perc. Minden feladatnak pontosan egy helyes válasza van. Minden helyes válasz 1 pontot ér. Megválaszolatlanul hagyott kérdésre, illetve

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzsenyi Dániel Főiskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Műszaki menedzser alapszak Példatár Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 2006 1 Valószínűségszámítási tételek, feltételes valószínűség, események függetlensége

Részletesebben

II. A következtetési statisztika alapfogalmai

II. A következtetési statisztika alapfogalmai II. A következtetési statisztika alapfogalmai Tartalom Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

A paradicsom dinamikus terheléssel szembeni érzékenységének mérése

A paradicsom dinamikus terheléssel szembeni érzékenységének mérése Borsa Béla FVM Mezőgazdasági Gépesítési Intézet 2 Gödöllő, Tessedik S.u.4. Tel.: (28) 511 611 E.posta: borsa@fvmmi.hu Összefoglalás A paradicsom dinamikus terheléssel szembeni érzékenységének mérése A

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK. 34. modul

TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK. 34. modul Matematika A 3. évfolyam TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK 34. modul Készítette: SZITÁNYI JUDIT matematika A 3. ÉVFOLYAM 34. modul TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. október 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások

Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Bevezetés A magas mérési szintű változók adataiból számolhatunk átlagot, szórást. Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott paramétereknek

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 1.

Matematikai statisztikai elemzések 1. Matematikai statisztikai elemzések 1. A statisztika alapfogalmai, feladatai, Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 1.: A statisztika alapfogalmai, feladatai, statisztika, osztályozás,

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Adatok statisztikai feldolgozása

Adatok statisztikai feldolgozása Adatok statisztikai feldolgozása Kaszaki József Ph.D Szegedi Tudományegyetem Sebészeti Műtéttani Intézet Szeged A mérési adatok kiértékelése, statisztikai analízis A mért adatok konvertálása adatbázis

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Valószínűség-számítás II.

Valószínűség-számítás II. Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

7. A Poisson folyamat

7. A Poisson folyamat 7. A Poisson folyamat 1. Egy boltba független exponenciális időközönként érkeznek vevők, óránként átlagosan tíz. Legyen N(t), t 0 a vevőket számláló folyamat. a. Igaz-e, hogy N(t) Poisson-folyamat? Mi

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

MONITOR: JÖVEDELEM, SZEGÉNYSÉG, ELÉGEDETTSÉG. (Előzetes adatok)

MONITOR: JÖVEDELEM, SZEGÉNYSÉG, ELÉGEDETTSÉG. (Előzetes adatok) MONITOR: JÖVEDELEM, SZEGÉNYSÉG, ELÉGEDETTSÉG (Előzetes adatok) Szerződésszám: VI-SZ/296/2/2005 IX-18/33/4/2005. Budapest, 2005. december Készült a TÁRKI Rt. és a Miniszterelnöki Hivatal között 2005. szeptember

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 7. MA3-7 modul Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

MATEMATIKA C 9. évfolyam

MATEMATIKA C 9. évfolyam MATEMATIKA C 9. évfolyam 6. modul GONDOLKODOM, TEHÁT VAGYOK Készítette: Kovács Károlyné MATEMATIKA C 9. ÉVFOLYAM 6. MODUL: GONDOLKODOM, TEHÁT VAGYOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret

Részletesebben

Javítókulcs M a t e m a t i k a

Javítókulcs M a t e m a t i k a 6. évfolyam Javítókulcs M a t e m a t i k a Országos kompetenciamérés 2011 Oktatási Hivatal ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK Ön a 2011-es Országos kompetenciamérés matematikafeladatainak Javítókulcsát tartja a kezében.

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 13 51 3. 13 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK?

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? A BGF KKFK Nemzetközi gazdálkodás és Kereskedelem és marketing szakjain a hallgatók tanrendjében statisztikai és matematikai

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

Műszerek tulajdonságai

Műszerek tulajdonságai Műszerek tulajdonságai 1 Kiválasztási szempontok Műszerek kiválasztásának általános szempontjai mérendő paraméter alkalmazható mérési elv mérendő érték, mérési tartomány környezeti tényezők érzékelő mérete

Részletesebben

III. rész: A VÁLLALATI MAGATARTÁS

III. rész: A VÁLLALATI MAGATARTÁS III. rész: A VÁAATI MAGATARTÁS Az árupiacon a kínálati oldalon a termelőegységek, a vállalatok állnak. A vállalatok különböznek tevékenységük, méretük, tulajdonformájuk szerint. Különböző vállalatok közös

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

A 2009. évi Baross Gábor Program pályázati kiírásaira a Dél-alföldi Régióban benyújtott pályaművek statisztikai elemzése

A 2009. évi Baross Gábor Program pályázati kiírásaira a Dél-alföldi Régióban benyújtott pályaművek statisztikai elemzése A 2009. évi Baross Gábor Program pályázati kiírásaira a Dél-alföldi Régióban benyújtott pályaművek statisztikai elemzése Készítette: Dél-alföldi Regionális Innovációs Ügynökség Közhasznú Egyesület Vezetői

Részletesebben

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás, 5000 Szolnok, Tiszaligeti sétány ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ A 4/1996. (I. 18.) Korm. rendelet a közgazdasági felsőoktatás alapképzési szakjainak képesítési

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Aprítás 2012.09.11. Ipari gyógyszertechnológiai laboratórium gyakorlatai I. félév. Az aprítást befolyásoló tényezők GYAKORLATOK

Aprítás 2012.09.11. Ipari gyógyszertechnológiai laboratórium gyakorlatai I. félév. Az aprítást befolyásoló tényezők GYAKORLATOK 0.09.. Ipari gyógyszertechnológiai laboratórium gyakorlatai I. félév KÖVETELMÉNYEK. A hallgató a gyakorlatra felkészülten érkezik. A művelet típusa. Eredményt befolyásoló paraméterek (általában idő, sebesség,

Részletesebben

A.11. Nyomott rudak. A.11.1. Bevezetés

A.11. Nyomott rudak. A.11.1. Bevezetés A.. Nyomott rudak A... Bevezetés A nyomott szerkezeti elem fogalmat általában olyan szerkezeti elemek jelölésére használjuk, amelyekre csak tengelyirányú nyomóerő hat. Ez lehet speciális terhelésű oszlop,

Részletesebben

Statisztika gyakorlat

Statisztika gyakorlat Félévi követelményrendszer tatisztika gyakorlat. Gazdasági agrármérnök szak II. évolyam 007.0.. Heti óraszám: + Aláírás eltételei: az elıadásokon való részvétel nem kötelezı, de AJÁNLOTT! a gyakorlatokon

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 22. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 22. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Biostatisztika Bevezetés. Boda Krisztina előadása alapján ma Bari Ferenc SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

Biostatisztika Bevezetés. Boda Krisztina előadása alapján ma Bari Ferenc SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Biostatisztika Bevezetés Boda Krisztina előadása alapján ma Bari Ferenc SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Az orvosi, biológiai kutatások egyik jellemzője, hogy a vizsgálatok eredményeként

Részletesebben

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2 Matematika A 1. évfolyam 5. modul Térfogat és felszínszámítás Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Vargha András PSZICHOLÓGIAI STATISZTIKA DIÓHÉJBAN 1. X.1. táblázat: Egy iskolai bizonyítvány. Magyar irodalom. Biológia Földrajz

Vargha András PSZICHOLÓGIAI STATISZTIKA DIÓHÉJBAN 1. X.1. táblázat: Egy iskolai bizonyítvány. Magyar irodalom. Biológia Földrajz Megjelent: Vargha A. (7). Pszichológiai statisztika dióhéjban. In: Czigler I. és Oláh A. (szerk.), Találkozás a pszichológiával. Osiris Kiadó, Budapest, 7-46. Mi az, hogy statisztika? Vargha András PSZICHOLÓGIAI

Részletesebben

Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály

Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály 2010. november 26. 1. feladat Ez a különleges óra a pontos időt mutatja. Az első sor ötórás intervallumokat számol (minden ötóránként vált szürkére), a második

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

3. mérés Sorozatmérés digitális kijelzésű mérőórával

3. mérés Sorozatmérés digitális kijelzésű mérőórával Budaesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Géészmérnöki Kar Mechatronika, Otika és Géészeti Informatika Tanszék 3. mérés Sorozatmérés digitális kijelzésű mérőórával Segédlet a Méréstechnika (BMEGEMIAMG1)

Részletesebben

Statisztikai módszerek alkalmazása az orvostudományban. Szentesi Péter

Statisztikai módszerek alkalmazása az orvostudományban. Szentesi Péter Statisztikai módszerek alkalmazása az orvostudományban Szentesi Péter Az orvosi munkahipotézis ellenőrzése statisztikai módszerekkel munkahipotézis mérlegelés differenciáldiagnosztika mi lehet ez a más

Részletesebben

2013.03.11. Az SPC alapjai. Az SPC alapjai SPC 5. 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer. Dr. Illés Balázs

2013.03.11. Az SPC alapjai. Az SPC alapjai SPC 5. 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer. Dr. Illés Balázs SPC 5 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer Dr. Illés Balázs BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ELEKTRONIKAI TECHNOLÓGIA TANSZÉK Az SPC alapjai SPC (Statistical Process Controll) =

Részletesebben