Valószínűségszámítás

Átírás

1 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle módon tehetjük meg. (0! = 1). Ha az n elem közül van k 1 darab egyforma, k 2 darab egyforma és így tovább, végül további k r darab is egyforma, akkor minden elem összes lehetséges sorrendje: n! k 1! k 2!... k r! Tétel. Ha n darab különböző elemet tartalmazó urnából k darabot szeretnénk kihúzni, akkor ez annyiféleképpen lehetséges, mint azt az alábbi táblázat mutatja: Visszatevés nélkül Sorrend számít n! (n k)! Sorrend nem számít ( ) n k ( n + k 1 Visszatevéssel n k k ( ) p Az számot binomiális együtthatónak nevezzük és a következő módon értelmezzük: ( ) p p! q := (p > q, p, q N). q (p q)! q! Feladatok 1.1. Egy kockával hatszor dobunk egymás után. Hányféle olyan dobássorozat van, amelyben nincs azonos pontszámú dobás? 1.2. Hány nem feltétlenül értelmes szót lehet készíteni a KOMBINATORIKA szó betűiből? 1.3. Hány különböző hatjegyű számot készíthetünk a 2, 4, 4, 5, 5, 9 számjegyek egyszeri felhasználásával? Ezek közül hány lesz páratlan? Hány olyan szám lesz, amely 24-gyel kezdődik? ) 1

2 1.4. Hány különböző tízjegyű számot készíthetünk a 0, 2, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 5, 9 számjegyek egyszeri felhasználásával? Ezek közül hány lesz páratlan? Hány olyan szám lesz, amely 24-gyel kezdődik? 1.5. Hány különböző tízjegyű számot készíthetünk a 0, 0, 0, 2, 2, 4, 5, 5, 5, 9 számjegyek egyszeri felhasználásával? Ezek közül hány lesz páratlan? Hány olyan szám lesz, amely 24-gyel kezdődik? 1.6. Az 1-es és a 2-es számjegyek segítségével hány olyan hatjegyű szám írható fel, amelyben az 1-esek száma egyenlő a 2-esek számával? 1.7. Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek kétszeri felhasználásával 10 jegyű számot készítünk. Hány olyan szám van, amely 245-tel kezdődik? 1.8. Hány olyan tízjegyű szám van, amelyben minden számjegy csak egyszer fordul elő? 1.9. Az 1, 2,..., 9 számjegyekből hány olyan tízjegyű szám hozható létre, amelyben a jegyek mindegyike előfordul? Hány különböző nyolcjegyű számot készíthetünk az 1, 2,..., 8 számjegyek egyszeri felhasználásával, ha az első három helyen az 1, 2, 3 számjegyek foglalnak helyett és a végén az 5-ös áll? Egy dobozban 15 alkatrész van, amiből 3 selejtes. Hányféleképpen vehetjük ki mind a 15 darabot, ha a selejteseket utoljára vesszük ki? Hányféleképpen rendezhető sorba 9 nő és 10 férfi, ha a nők elől állnak? Mit tudunk mondani abban az esetben, ha a nők és a férfiak felváltva követik egymást? Hányféleképpen rendezhető sorba 5 nő és 5 férfi, ha a nők és a férfiak felváltva követik egymást? Egy biliárd asztalon már csak 4 számozott golyó maradt, valamint a fehér és a fekete golyó. A fehér golyóval lökünk. Hányféleképpen tudjuk letakarítani az asztalt, ha egy lökéskor csak egy golyó mehet be, és a fekete golyónak szabad utoljára bemennie? Egy négyes bobcsapat indulni akar a versenyen és a négy versenyző közül csak ketten képesek irányítani a bobot. Hányféleképpen ülhetnek a bobba? 2

3 1.16. Egy műszakban 6 munkás 6 gépen dolgozik, de van egy olyan gép, amelyet csak 3 munkás képes kezelni. Hányféleképpen osztható el a munka? Hányféleképpen juthatunk el 13 lépésben a számegyenesen a 0-tól a 3-asig, ha csak balra egyet vagy jobbra egyet tudunk lépni? Hányféleképpen juthatunk el 13 lépésben a számegyenesen a 0-tól a 2-esig, ha egy lépésben balra egyet vagy jobbra kettőt lehet csak haladni? Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyike se üsse a másikat? Mit tudunk mondani abban az esetben, ha a bástyákat megkülönböztetjük? Hányféle sorrendben ülhet egy 10 tagú társaság egy kerek asztal mellett, ha csak az számít, hogy ki ki mellett ül? Egy csoportos foglalkozású rajzórán 5 diák egy nagy kerek asztalnál ül. Péter szeretne Erika mellett ülni. Hány olyan sorrend van, amely Péternek kedvez? Hányféle karkötőt készíthetünk 13-féle gyöngyből? Mutassuk meg, hogy minden n 1 pozitív egész szám esetén igazak az (a) (b) (n!) 2 = (n 1)! ((n + 1)! n!), ( n 1 ) ( n 3 ) = (2n)! 2 2n n!, (c) n! = (n 1)(n 1)! + (n 2)(n 2)! ! + 1 egyenlőségek Legyen n 9 pozitív egész szám. Mekkora az 1, 2,..., n számjegyek egyszeri felhasználásával alkotott számok összege? Ha az adott elemek számát 2-vel csökkentjük, akkor a lehetséges sorba rendezésük száma 12-ed részére csökken. Menyi volt az elemek száma? Egy sietős postás megérkezik egy 20 postáládás lépcsőházba. 10 különböző címzésű levelet kell kézbesítenie, de nincs ideje vesződni azzal, hogy melyik levélnek ki a címzettje. Ezért találomra beledobja azokat, de arra ügyel, hogy több levél ne kerüljön ugyanabba a postaládába. Hányféleképpen teheti ezt? 3

4 Oldja meg a feladatot arra az esetre is, ha több levél is kerülhet ugyanabba a postaládába vagy egyforma reklámújságokat kézbesít? Hány darab háromszínű zászlót lehet 7 színből készíteni? Hat sportrepülő felváltva gyakorlatozik egy kétszemélyes gépen. Hányféleképpen gyakorolhatnak? Hányféleképpen lehet szétosztani 8 versenyző között 3 különböző díjat? Egy gólyabálon 10 fiú és 7 lány jelenkezett a nyítótáncra. Hányféleképpen alakulhat belőlük 7 egyszerre táncoló pár? A foci Európa Bajnokság egyik selejtező csoportjában 5 csapat mérkőzik, minden csapat minden csapat ellen kétszer játszik, egyszer otthon, másodszor idegenben. Összesen hány mérkőzést rendeznek ebben a csoportban? Mekkora lehet az olyan ország lakossága, ahol nincs két olyan ember, akiknek pontosan ugyanazok a fogai hiányoznak? (Egy embernek legfeljebb 32 foga lehet.) Magyarországon az autórendszám készítéshez 25 betűt és 10 számjegyet használnak. Régen a rendszámtáblán 2 betű és 4 számjegy szerepelt, de ez megváltozott és most 3 betű és 3 számjegy szerepel. Melyik rendszerrel lehet több rendszámtáblát előállítani? Összesen hány négyjegyű szám van? Hány négyjegyű hárommal osztható szám van? Hány ötjegyű szám van, amelynek minden számjegye különbözik? Hány különböző háromjegyű számot készíthetünk a 2, 3, 4, 5, 7, 9 számjegyek egyszeri felhasználásával? Ezek közül hány lesz páratlan? Hány olyan szám lesz, amely 24-gyel kezdődik? Válaszoljon az előző kérdésekre abban az esetben, hogy a számjegyek többször is felhasználhatók! Hány különböző ötjegyű számot készíthetünk a 0, 2, 4, 5, 6, 8, 9 számjegyek egyszeri felhasználásával? Ezek közül hány lesz páros? Hány olyan szám lesz, amely 24-gyel kezdődik? Válaszoljon az előző kérdésekre abban az esetben, hogy a számjegyek többször is felhasználhatók! Hány különböző hatjegyű számot készíthetünk az 1, 2,..., 8 számjegyek egyszeri felhasználásával, ha az első három helyen az 1, 2, 3 számjegyek foglalnak 4

5 helyett és a végén az 5-ös áll? Hány olyan ötjegyű szám van, amelyekben 3 páros és 2 páratlan számjegy szerepel? Oldja meg az előző feladatot arra az esetre, ha a számjegyek különbözőek! Hány ötjegyű szám írható fel a 0, 1, 2 számjegyek felhasználásával? Csupa páros számjegyből hány hatjegyű szám írható fel? Legalább hány különböző számjegyre van szükségünk ahhoz, hogy 243 darab ötjegyű számot írhassunk fel ezen számjegyek egyszeri felhasználásával? Pontból és vonásból hány legfeljebb 5 elemű morzejel állítható össze? Hányféleképpen ültethetünk egy padra 7 férfi és 5 nő közül 5 személyt úgy, hogy két azonos nemű ne kerüljön egymás mellé? Oldja meg a feladatot, ha a pad helyett egy kerek asztalhoz ültetjük a személyeket! Egy műszakban 6 munkás 6 gépen dolgozik, de van két olyan gép, amelyet csak 4 munkás képes kezelni. Hányféleképpen osztható el a munka? Mekkora az 1, 2 számjegyekkel felírható ötjegyű számok összege? Egy vállalat 3 szakmunkást és 4 irodai dolgozót keres felvételére. A felvételre 17 ember jelenkezik, 7 a szakmunkás és 10 az irodai állásra. Hányféleképpen választható ki a kívánt létszám? Adott a síkban 12 általános helyzetű pont. Hány olyan egyenes van, amely az adott pontok közül kettőn átmegy? Hány átlója van egy konvex n-szögnek? Egy fogadás előtt mindenki mindenkivel kezet fog. Összesen 66 kézfogás történt. Hányan voltak? Hányféleképpen tudunk 14 különböző féle ízből egy három gömbös fagylaltot kérni az eladótól? Egy pályázatra 14 pálymunka érkezett és 3 egyenlő díjat osztanak szét úgy, hogy a díjak felezése vagy megosztása nem lehetséges. Hányféleképpen lehet a díjakat odaítélni? 5

6 1.53. Hányféleképpen tudjuk szétosztani a 32 lapos magyar kartyacsomagot 4 ember között, ha mindenki ugyanannyi lapot kap? Egy biliárd aztalon 4 piros, 5 kék és 3 sárga számozott golyó van. Hányféleképpen lehet egyszerre bejuttatni a lyukakba két-két golyót minden színből? Egy magyar kartyacsomagból 8 lapot húzunk. Hány olyan eset van, amikor a lapok egyik fele piros és a másik fele zöld? Hány olyan eset van, amikor minden ász nálunk van, valamint két tizes és két király? Tizenkét tanuló három csónakot bérel. Az egyik csónak 3 üléses, a másik 4, a harmadik pedig 5 üléses. (a) Hányféleképpen foglalhatnak helyet a csónakokban? (b) Hányféleképpen foglalhatnak helyet, ha két tanuló feltétlenül egy csónakba akar kerülni? Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből hány négyjegyű számot állíthatunk elő (a) egy számjegy felhasználásával; (b) két különböző számjegy felhasználásával; (c) három különböző számjegy felhasználásával; (d) négy különböző számjegy felhasználásával? Egy szervizüzem 12 dolgozója közül 4 munkahelyre kell küldeni két-két dolgozót. Hányféleképpen lehetséges ez? Három egyforma kockával dobunk egyszerrel. Hány féle eredmény adódhat? Egy 10 tagú társaságban van 4 ember, akik állandóan összeveznek egymással. Hányféleképpen tudjuk az egész társaságot egy hosszú asztalhoz ültetni úgy, hogy az említett személyek ne kerüljenek egymás mellé? Egy könyves polcon 12 könyv áll. Hányféleképpen lehet egyszerre kiválasztani közölük ötöt úgy, hogy ezek között ne legyen egymás mellett álló? Almaszedéskor 3 gyerek nagyon megéhezett, ezért szétosztottak egymás között 20 egyforma almát. Mindegyik kapott az almából. Hányféleképpen oszthatták el az almákat egymás között? Hányféleképpen oszthatták el az almákat egymás között úgy, hogy mindegyiknek legalább kettő jutott? 6

7 2. A Kolmogorov féle valószínűségi mező 2.1. Definició. Kolmogorov féle valószínűségi mezőnek nevezzük azt a (Ω, A, P ) modellt, ahol 1. Ω egy nem üres halmaz, ami egy jelenségre vonatkozó kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmaza. Az Ω halmazt eseménytérnek, egy elemű részhalmazait pedig elemi eseménynek nevezzük. 2. A elemei Ω részhalmazaiból áll, és ezeket a részhalmazokat eseményeknek nevezzük. A elemeinek a következő feltételeknek kell eleget tennie: (i) A, (ii) ha A A, akkor A := Ω \ A A, (iii) ha A 1, A 2,... A, akkor n=1a n A. A fenti feltételeknek eleget tevő halmazrendszert σ-algebrának is szokás nevezni, vagy jelen esetben eseményalgebrának. Az -t lehetetlen eseménynek, Ω-t biztos eseménynek, míg minden, legalább két elemű eseményt összetett eseménynek nevezzük. 3. P a valószínűség, azaz P : A [0, 1]) olyan függvény, amely minden eseményhez rendel egy 1-nél kisebb vagy egyenlő nem negatív számot és kielégíti a következőket: (i) P ( ) = 0, P (Ω) = 1 (ii) ha A 1, A 2,... A páronként diszjunkt halmazok, akkor P ( A n ) = P (A n ) n=1 Az adott kísérletnek akkor lesz jó a modell, ha az egyes eseményekhez olyan valószínűséget rendelünk, amely körül ingadozik a kísérlet többszöri megismétlése után kapott gyakoriság (az esemény bekövetkezéseinek száma) és a kísérletek száma hányadosa. Az előbbi arányt relatív gyakoriságnak nevezzük Definició. Legyen A és B két esemény. (a) Az A B reláció azt jelenti, hogy az A esemény bekövetkezése egyúttal a B esemény bekövetkezését vonja magával. (Megfelel a halmazelméleti tartalmazási relációnak.) (b) Két A és B esemény egyenlő, ha egyszerre teljesül, hogy A B és B A. (Megfelel a halmazelméleti egyenlőségi relációnak.) (c) Két esemény A + B összege (egyesítése) az az esemény, ami azt fejezi ki, hogy a két esemény közül legalább az egyik bekövetkezik. (Megfelel a halmazelméleti unió műveletnek.) n=1 7

8 (d) Két esemény AB szorzata (metszete) az az esemény, ami azt fejezi ki, hogy mindkét esemény egyszerre következik be. (Megfelel a halmazelméleti metszet műveletnek.) (e) Két esemény A B különbsége az az esemény, ami azt fejezi ki, hogy az A esemény bekövetkezik, de a B esemény nem következik be. (Megfelel a halmazelméleti különbség műveletnek.) (f) Egy A esemény ellentétes eseménye az az esemény, ami azt fejezi ki, hogy az A esemény nem következik be. (Megfelel a halmazelméleti komplementer műveletnek.) (g) Azt mondjuk, hogy A és B egymást kizáró esemény, ha AB =. (Megfelel a halmazelméleti diszjunkt halmazok fogalmának.) (h) Az A 1, A 2,..., A n események teljes eseméyrendszert alkotnak, ha összegük a biztos esemény és közülük bármely kettő egymást kizáró esemény. A műveletekben szereplő események létezését az A elemeinek tulajdonságai és a De Morgan azonosságok biztosítják Tétel. A fenti módon értelmezett események öszzegére és szorzatára érvényesek a halmazelméletből jól ismert konmutatív, asszociatív, disztributív és elnyelési tulajdonságok. Továbbá, A B = AB és érvényesek a De Morgan azonosságok azzaz: A n = A n, n=1 n=1 A n = A n. n=1 n= Tétel. Minden A, B és C esemény esetén, a valószínűség a következő tulajdonságoknak tesz eleget: (a) P (A) = 1 P (A), (b) Ha A B, akkor P (A) P (B), (monotonitás) (c) Ha A B, akkor P (A B) = P (A) P (B), (d) P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB) Tétel. Legyen A 1, A 2,..., A n egy teljes eseméyrendszer. Ekkor: (a) (b) P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ) = 1, P (A A 1 ) + P (A A 2 ) + + P (A A n ) = P (A), minden A esemény esetén. 8

9 Feladatok 2.1. Jelentse A azt az eseményt, hogy 6 egymás utáni pénzfeldobásból egyszer sem kaptunk írást. Mit jelent az A? 2.2. Milyen kapcsolat áll fenn az események között, ha igaz (a) AB = A, (b) A + B = A, (c) A + B = A, (d) AB = A, (e) A + B = AB? 2.3. Legyen A az az esemény, hogy egy játékkockával dobva páros számot dobunk, B az, hogy 4-nél kevesebbet dobunk, és C hogy 2-nél többet dobunk. Mit jelenthet az [A (BC)] + [(A B) C] esemény? 2.4. Igazoljuk, hogy minden A és B eseményre igazak a következő összefüggések (a) A + B = A + AB; (b) A B = B A; (c) AB A B = AB BA! 2.5. Legyen A, B és C három tetszőleges esemény. Igazoljuk a következő összefüggéseket: (a) AB C = (A C)(B C); (b) A BC = (A B) + (A C); (c) (A B) C = A (B + C); (d) (A B) C = (A C) (B C); (e) (A B) + C = [(A + C) B] + BC! 2.6. Egy üzemben három gép dolgozik. Jelentse A i azt az eseményt, hogy egy adott napon az i-dik gép elromlik (i = 1, 2, 3). Fejezzük ki az A i eseményekkel a következőket: 9

10 (a) csak az első romlik el; (b) mindhárom elromlik; (c) egyik sem romlik el; (d) az első és a második nem romlik el; (e) az első és a második elromlik, de a harmadik nem; (f) csak egy gép romlik el; (g) legfeljebb egy gép romlik el; (h) legfeljebb két gép romlik el; (i) legalább egy gép elromlik Mutassuk meg, hogy ha P (A) 0, 7 és P (B) 0, 9, akkor P (AB) 0, 6! 2.8. Mennyi az A és B esemény valószínűsége, ha tudjuk, hogy 10P (A B) = 7, 2P (B A) = 1 és 45P (A + B) = 17? 2.9. Ha tudjuk, hogy P (A) = P (A B) = 2P (B A) = 1, akkor mennyi az 4 A + B esemény valószínűsége? Mutassuk meg, hogy minden A és B esemény esetén: P (AB) P (A)P (B) 1 4! 3. A klasszikus úton megoldható feladatok 3.1. Tétel. Ha az Ω eseménytér véges sok elemből áll és minden elemi esemény egyforma valószínűségű, akkor egy tetszőleges A esemény valószínűsége: kedvező esetek száma P (A) = összes esetek száma. Az összes esetek száma az elemi események számát jelenti, ezekből ahány az A esemény bekövetkezését vonja magával, az a kedvező esetek számát jelenti. Érdemes azokkal az speciális feladatokkal is külön foglalkozni, amikor mintavételről beszélünk Tétel. Tegyük fel, hogy egy sokaság N különböző elemet tartalmaz, de ezek közül van s darab kitüntetett elem (pl. selejtes). Egy n elemű mintát veszünk ki a sokaságból. Annak a valószínűsége, hogy pontosan k darab kitüntetett elem van a mintában p k -val jelöljük és a következő módon számítjuk ki: 10

11 (a) Visszatevés nélküli minta esetén ( s N s ) p k = k)( n k ( N. n) (b) Visszatevéses minta esetén, ha a kitüntetett elemek arányát a sokaságban p = s N módon jelöljük és q = 1 p, akkor p k = ( ) n p k q n k. k Ez utóbbi eset akkor is használható, ha n-szer egymástól függetlenül ismételünk meg egy kísérletet és egy p valószínűségű A esemény gyakoriságára vagyuk kiváncsiak. Ha q az ellentétes esemény valószínűsége, vagyis q = 1 p, akkor annak valószínűsége, hogy az A esemény gyakorisága pontosan k lesz a ( ) n p k = p k q n k k módon számítható ki. Visszatevés nélküli minta esetén közelítőleg is alkalmazható az előző képlet, ha az N sokaság elemszáma nagyon nagy, vagy amikor annyira nagy, hogy nem adják meg és csak a p kitüntetett elemek arányát ismerjük Tétel. Tegyük fel, hogy véletlenszerűen helyezünk egy pontot egy (a, b) intervallumba. Jelölje A azt az eseményt, hogy a pont beleesik egy az (a, b) intervallumban található (c, d) intervallumba. Ekkor az A esemény valószínűsége: P (A) = d c b a Tétel. Tegyük fel, hogy véletlenszerűen helyezünk egy pontot egy T területű síktartományba. Jelölje A azt az eseményt, hogy a pont beleesik egy a T területű síktartományban található K területű síktartományba. Ekkor az A esemény valószínűsége: P (A) = K T. Az előbbi két esetben geometriai valószínűségről beszélunk. Feladatok különböző szakasz hossza rendre 1, 3, 5, 7, 9 egység. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 3 szakaszból háromszög szerkeszthető? 11

12 3.2. Egy gyerek, aki még nem ismeri a betűket, olyan kockákkal játszik, amelyekre az AABIIKKMNOORT betűk vannak festve (a kocka minden lapján ugyanaz a betű áll). Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kockákat sorba téve épp a KOMBINATORIKA szót rakja ki? 3.3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy pont a magyar zászlót készítjük el, amikor véletlenszerűen egy háromszínű zászlót 9 féle színből készítünk és a piros, fehér és zöld szín szerepel a színek között? 3.4. Mennyi a valószínűsége annak, hogy hatjegyű páratlan számot készítünk a 2, 4, 4, 5, 5, 9 számjegyek egyszeri véletlenszerű sorbarendezésével? 3.5. Mennyi a valószínűsége annak, hogy öttel osztható tízjegyű számot készítünk a 0, 2, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 5, 9 számjegyek egyszeri véletlenszerű sorbarendezésével? Mennyi a valószínűsége annak, hogy a szám öttel osztható és 45-tel kezdődik? 3.6. Valaki négy számjegyet ír le találomra egymás mellé. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 2004-es számot írja le? 3.7. Tíz darab egyforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindegyiken írást vagy mindegyiken címert dobunk? lapra felírjuk a tíz számjegyet. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy 2 lapot kihúzva, egymás mellé téve a kapott szám osztható 18-cal! 3.9. Tíz különböző minőségű terméket egymás mellé helyezünk. Ha bármelyik sorrend egyenlő valószínűséggel fordulhat elő, mennyi annak a valószínűsége, hogy (a) a legjobb a sor első helyére és ugyanakkor a legrosszabb a sor utolsó helyére kerül; (b) a legjobb és a legrosszabb egymás mellé kerül? Egy kör alakú asztal mellet tízen vacsoráznak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy két nő nem kerül egymás mellé, ha az asztalnál 5 férfi, és 5 nő volt? Egy kerek asztalhoz 12 különböző magasságú ember ül le. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a legnagyobb és a legkisebb egymás mellé kerül? Az 1-es és a 2-es számjegyek segítségével egy hatjegyű számot felírunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy kétszer annyi 1-es lesz benne mint 2-es? 12

13 3.13. Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek kétszeri felhasználásával 10 jegyű számot készítünk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a szám 453-mal kezdődik? Ha tíz könyvet helyezünk el tetszőleges sorrendben egy könyvespolcon és hármat előre megjelölünk, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy az elhelyezés során a megjelölt könyvek egymás mellé kerülnek? Egy kockát feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy (a) 6-ost dobunk; (b) páros számot dobunk; (c) 5-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 4-et dobunk; (e) legalább 4-et dobunk? Dobjunk fel 2 kockát egyszerre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 9? Két kockával dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy (a) legalább az egyik kockán 6-ost dobunk; (b) két egyenlő számot dobunk; (c) két különböző számot dobunk; (d) a két dobott szám összege 7 és az egyik dobás eredménye 6-os? Egy kockával 2-szer egymás után dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké? Mennyi annak a valószínűsége, hogy 3 kockával 17-et dobunk? Mennyi annak a valószínűsége, hogy 16-ot vagy 17-et dobunk? Egy kockát hatszor egymás után feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy (a) az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok mindegyike szerepelni fog; (b) az első dobás eredménye 6-os, a többi pedig ettől különböző; (c) az első két dobás eredménye 6-os, a többi pedig a 6-tól is és egymástól is különböző; (d) két dobás eredménye 6-os, a többi pedig ettől különböző; 13

14 (e) a dobások összege 7? A számegyenesen 15 lépést teszünk a 0-tól kiindulva úgy, hogy csak balra egyet vagy jobbra egyet tudunk lépni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az 5-ös számnál fejezzük be lépéssorozatunkat? Egy gólyabálon 10 fiú és 7 lány jelenkezett a nyítótáncra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy Péter Marikával táncol, ha véletlenszerűen alakítunk 7 egyszerre táncoló párt? Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy 4 tagú társaságban legyen 2 ember, akiknek azonos napra esik a születésnapjuk? (365 napot veszünk alapul) Mennyi a valószínűsége, hogy (a) 12 ember, (b) k ember (k < 12) születésnapja különböző hónapban legyen (minden hónap egyformán valószínű)! Egy iskola 16 tagú sakk-körében találomra két egyenlő létszámú csapatot alakítunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két legjobb játékos egy csapatba kerül? Egy dobozban n golyó van, 1, 2,..., n számokkal jelölve. Egyenként kihúzzuk az összes golyót. Mennyi a valószínűsége, hogy (a) minden alkalommal nagyobb számú golyót húzunk ki, mint az előző volt, (b) a k-val jelölt golyót éppen a k-adiknak húzzuk ki? Két sakkcsapat körmérkőzést rendezett. Mindkét csapat 2-nél több játékossal rendelkezett. Mindenki mindenkivel játszott 1 játszmát. A mérkőzés során 163 játszmára került sor. A mérkőzésre való felkészülés során háziversenyt is rendezett mindkét csapat, ezekben is mindenki 1 játszmát játszott le mindenkivel a saját csapatából. A két csapatban így összesen 66 játszmára került sor. A mérkőzések befejezése utáni banketten, amin minden játékos részt vett, véletlenszerűen 2 játékossal beszélgetett a riporter. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét játékos a nagyobb létszámú csapat tagja volt? telefonvezeték közül 4 beázás miatt elromlik. Ezután 4 vonalon kísérelnek meg hívást. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a hívások fele a beázás miatt nem lesz sikeres? 14

15 3.29. A magyar kártyacsomagból egyszerre 3 lapot kihúzva mekkora a valószínűsége annak, hogy közülük legalább 1 zöld? Egy sötét helyiségben 4 egyforma pár cipő össze van keveredve. 4 darabot kiválasztva mennyi a valószínűsége annak, hogy a cipők között van legalább 1 pár? db 40 W-os és 30 db 60 W-os égőből kiveszünk 2 darabot anélkül, hogy az elsőt visszatennénk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy (a) mindkettő 40 W-os lesz, (b) egyik sem 40 W-os, (c) csak az egyik 40 W-os? Oldjuk meg a feladatot úgy is, hogy a mintavétel visszatevésével végezzük! alma közül 10 férges. Kiveszünk az almák közül válogatás nélkül ötöt. Mennyi a valószínűsége, hogy lesz közötte férges? A fiúk és a lányok születési valószínűségeit 0,4 és 0,6-nak tekintve mennyi annak a valószínűsége, hogy egy hatgyermekes családban 3 fiú és 3 lány van? Egy urnában 6 piros, több fehér és fekete golyó van. Annak valószínűsége, hogy egy golyót kihúzva az fehér vagy fekete 3 5, piros vagy fekete 2. Hány fehér 3 és fekete golyó van az urnában? Egy urnában 6 golyó van, 4 fehér és 2 piros. A golyók számozottak, az 5-ös és 6-os számú piros. Két golyót húzunk ki egymás után. Mennyi annak a valószínűsége, hogy (a) mindkettő fehér lesz; (b) mindkettő egyező színű; (c) legalább az egyik golyó fehér lesz? Egy dobozban 50 db 8mm-es és 50 db 6 mm-es anyáscsavar van. Taláromra kiveszünk 20 csavart, visszatevés nélkül. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ezek között több lesz a 6 mm-es csavar, mint a 8 mm-es? Egy dobozban 6 hibátlan és 4 selejtes termék van összekeverve. Ha egymás után vesszük ki mind a tíz terméket, mennyi annak a valószínűsége, hogy a selejtes darabokat utoljára vesszük ki? 15

16 3.38. Egy dobozban 5 piros golyó van. Hány fehér golyót kell hozzátenni, hogy fehér golyó húzásának valószínűsége nagyobb legyen 0.9-nél? Egy hallgató 40 tétel közül 20-at úgy megtanult, hogy abból jelesre tud vizsgázni, a másik 20-ból csak jóra. A vizsgatétel kiválasztásakor a hallgató kihúz 2 tételt, és választhat, hogy ezek közül melyikből felel. Mennyi a valószínűsége, hogy jelest kap? A 32 lapos kártyacsomagból 5 lapot húzunk ki egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi annak a valószínűsége, hogy (a) a harmadik húzás eredménye piros lap lesz, (b) az első és utolsó húzás eredménye piros lap? golyót helyezünk el véletlenszerűen 4 dobozban. Mekkora annak a valószínűsége, hogy minden dobozba legalább 2 golyó kerül, ha a golyók egyformák? ember utazik egy vonaton, egymástól függetlenül szállnak be összesen 4 vagonba. Mi a legvalószínűbb elhelyezkedése a 4 vagonban a 10 utasnak? Egy urnában 3 piros, 3 fehér és 3 zöld golyó van. Ezek közül hatot véletlenszerűen kiválasztva, mennyi annak a valószínűsége, hogy legyen köztük mindhárom színű? Egy vendéglő egyik asztalánál 9 vendég ül. Összesen rendelnek 3 üveg sört, 4 süteményt és 2 kávét. (Minden vendég csak egy ételt vagy italt rendel.) Pincérünk emlékszik arra, hogy miből mennyit kell hoznia, de teljesen elfelejtette, hogy kinek mit kell adnia. Taláromra szétosztja amit hozott. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindenki azt kapja, amit rendelt? Egy dobozban 20 db törékeny tárgy van elcsomagolva. A tárgyak közül 5 darabnak az értéke egyenként 100 Ft, 4 darabé 200 Ft, 7 darabé 500 Ft és 4 darabé egyenként 1000 Ft. Valaki leejti a csomagot, és így néhány tárgyat összetör. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az összetört darabok értékeinek összege 1000 Ft lesz? A 32 lapos kártyacsomagból kihúzunk 6 lapot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy e hat lap között mind a négy szín előfordul? Egy urnában 5 piros és 8 fehér golyó van. Egymás után húzunk az urnából visszatevés nélkül. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 3-adik húzásnál kapunk először piros golyót? 16

17 3.48. Egy szervízüzem 10 olyan szerelővel dolgozik, aki a szükséges javításokat a javítandó egység helyszínén végzi el. Egy javítás egy napig tart. Az egyik napon 14 hibajelentés érkezik. Ha szerelők elosztása véletlenszerű (mindenhová csak egy szerelőt küldenek), mennyi annak a valószínűsége, hogy a másodikként és harmadikként bejelentett helyre aznap nem mennek el? (Az természetesen mindegy, hogy melyik helyre melyik szerelő megy.) Egy dobozban 10 db alkatrész van. Taláromra kiveszünk néhányat. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kivett alkatrészek száma páros? Egy ember elfelejtette felhúzni az óráját, és így az megállt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a nagymutató a hármas és a hatos között áll meg? Tételezzük fel, hogy annak a valószínűsége, hogy a nagymutató a számlap kerületének valamely ívén áll meg az illető ív hosszával arányos! Az A és B helyiségek 5 km hosszú telefonvezeték köti össze. A vezeték valahol meghibásodik. A meghibásodások véletlenszerűen történnek az egész vonalon. Mekkora a valószínűsége, hogy a hiba A-tól 3 km-nél távolabb következett be? Válasszunk ki a (0,1) intervallumon találomra egy pontot! Jelöljük e pontnak a 0-tól vett távolságát x-szel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az x, 1 x és 1 hosszúságú szakaszból háromszöget lehet szerkeszteni? Mennyi a valószínűsége annak, hogy valamely, találomra kiválasztott, az egységnél rövidebb élhosszúságú téglatest testátlója az egységnél kisebb? Egy rádióállomás minden órában pontos időt közöl. Valaki találomra megnézi az óráját, de az áll. Bekapcsolja a rádiót. Mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább 10 percet kell várnia az időjelzésre? A darts tábla teljes átmérője 453 mm. Feltesszük, hogy annak a valóságszerűsége, hogy a rádobott dart valamely tartományába esik, arányos e tartomány területével. Mekkora annak a valószínűsége, hogy 50 pontot érő dabást érunk el, ha a belső piros kör átmérője 12,7 mm? Egy gyerek egy futball-labdát találomra nekirúg egy háznak, amely 10 m hosszú és 5 m magas. A házon 1, 8 1, 5 m-es ablak van. Mennyi a valószínűsége, hogy a labda eltalálja az ablakot? Az egységnyi oldalhosszúságú, négyzet alakú céltáblára egy 1 egységnyi sugarú kört rajzolunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a találat ezen kívül éri a céltáblát, ha a találatok véletlenszerűen történnek a céltáblán? 17

18 3.58. Egységsugarú, kör alakú céltáblára véletlenszerűen lövünk. A céltáblát koncentrikus körökkel 10 részre akarjuk osztani úgy, hogy minden részbe egyenlő valószínűséggel essen a találat. Mekkorák legyenek a körsugarak? Munkahelyünkre két villamossal tudunk bejárni. Az egyik villamos 5 percenként közlekedik, a másik 12 percenként. Az első villamos mindkét viszonylatban reggel 5 órakor indul. Reggel 7 és fél 8 között véletlenszerűen érkezünk a megállóba. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a megállóban nem kell két percnél többet várakoznunk? Egy egységnyi hosszúságú szakaszon taláromra kijelölünk két pontot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a köztük lévő távolság kisebb, mint egy előre megadott h hossz? (0 < h < 1) Egy egységnyi hosszúságú szakaszon válasszunk ki taláromra két pontot! Mennyi a valószínűsége annak, hogy a keletkezett szakaszokból háromszög szerkeszthető? A (0,1) intervallumra véletlenszerűen elhelyezünk két pontot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a keletkezett szakaszok hossza (a) kisebb, mint 1, (b) nagyobb, mint 1? Két személy megbeszéli, hogy délután 10 és 11 óra között találkoznak egy adott helyen. Érkezésük az adott időn belül véletlenszerű. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a korábban jövőnek nem kell egy negyedóránál többet várnia a másikra? Egy üzembe a munkanap során két tehergépkocsi érkezik. Az érkezés időpontja a nap folyamán egyenletes eloszlású. A rakodási idő mindkét gépkocsi esetében 1/3 munkanap. Rakodás után a kész kocsi rögtön elmegy. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a két gépkocsi az üzemben találkozik? Vásárosnaményból Nyíregyházán átszállva Budapestre szeretnénk utazni. A vásárosnaményi vonat 10-től 10:30-ig véletlenszerűen érkezik a nyíregyházi állomásra. A budapesti vonat menetrendszerint 10:15-kor indul, de a gyakorlatban véletlenszerűen indul az ezt követő 10 perces időintervallumban. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem késsük le a csatlakozást? Véletlenszerűen felírunk két, 1-nél kisebb, pozitív számot. Mekkora a valószínűsége hogy (a) összegük kisebb 1-nél, 18

19 (b) szorzatuk kisebb 2 9 -nél, (c) összegük kisebb 1-nél és szorzatuk kisebb 2 9 -nél? Egy egységnyi oldalú négyzet két átellenes oldalán találomra választunk egy-egy pontot. Mekkora annak a valószínűsége, hogy ezek távolsága α-nál kisebb lesz? (1 α 2) A (0, a) szakaszon véletlenszerűen elhelyezünk két pontot. Mennyi a valószínűsége, hogy ezen pontok 0-tól vett távolságainak négyzetösszege a 2 -nél nagyobb lesz? Egy egyenlő oldalú háromszög kerületén véletlenszerűen válasszunk ki három pontot! E három véletlen pont egy háromszöget határoz meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kis véletlen háromszög lefedi az eredeti háromszög súlypontját? Mutassuk meg, hogy ez a valószínűség tetszőleges háromszög esetén is ugyanannyi! Válasszunk három pontot találomra a (0, a) szakaszon. Legyen ezeknek a 0 pontból mért távolsága x, y és z. Mekkora a valószínűsége, hogy a P (x, y, z) pont a térbeli, derékszögű koordináta-rendszer kezdőpontjától nem lesz a egységnél távolabb? 4. Feltételes valószínűség, a teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel 4.1. Definició. Az A esemény a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűségén a P (A B) = P (AB) P (B) hányadost értjük, amennyiben P (B) 0. P (A B) azt fejezi ki, hogy mennyi lesz az A esemény valószínűsége, ha tudjuk, hogy a B esemény biztosan bekövetkezik, tehát valamilyen oknál fogva az olyan kimenetelekkel, amelyek nem tartoznak a B eseményhez, már nem kell számolni Tétel. (Teljes valószínűség tétele) Ha a B 1, B 2,..., B n pozitív valószínűségű események egy teljes eseményrendszert alkotnak, akkor bármely A esemény valószínűsége: P (A) = n P (A B k )P (B k ). k=1 19

20 4.3. Tétel. (Bayes tétele) Ha a B 1, B 2,..., B n pozitív valószínűségű események egy teljes eseményrendszert alkotnak, akkor barmely pozitív valószínűségű A esemény és 1 i n egész szám esetén érvényes a összefüggés. Feladatok P (B i A) = P (A B i )P (B i ) n k=1 P (A B k)p (B k ) 4.1. Bizonyítsuk be, hogy minden A és B eseményre igaz a következő egyenlőség, ha P (B) > 0! P (A B) = 1 P (A B) 4.2. Bizonyítsuk be, hogy ha P (B) > 0, akkor a) ha A B, akkor P (A B) = P (A) P (B), b) ha B A, akkor P (A B) = 1! 4.3. Igaz-e, hogy minden A és B esemény esetén teljesül a P (A B) = 1 P (A B) egyenlőség? Indokolja válaszát! 4.4. Ismertek a következő valószínűségek: P (A B) = 0, 7, P (A B) = 0, 3 és P (A B) = 0, 6. Mivel egyenlő P (A)? 4.5. Ismertek a következő valószínűségek: P (A) = 1 4, P (A B) = 1 és P (B A) = 4 1. Mivel egyenlő P (A + B) és P (A B)? Mennyi P (A) és P (B), ha P (A B) = 7 10, P (B A) = 1 2 és P (A B) = 1 5? 4.7. Bizonyítsuk be, hogy ha P (A) = 0, 7 és P (B) = 0, 8, akkor P (A B) 0, 625! 4.8. Igazoljuk, hogy ha P (A) = 4 5 és P (B) = 9 10, akkor 7 9 P (A B) 8 9! 4.9. Igazoljuk, hogy ha P (BC) > 0, akkor P (AB C) = P (A BC)P (B C)! 20

21 4.10. Ha egy kétgyermekes családnál tudjuk, hogy legalább az egyik gyerek lány, akkor mi a valószínűsége, hogy van fiú is a családban? Két kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy a) a dobott számok összege páratlan, b) az egyik dobott szám páratlan? Három kockával dobunk. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 10, feltéve, hogy az egyik kockán a 6-os szám áll? b) Mekkora a valószínűsége, hogy az egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege 10? A 32 lapos magyar kártyából egyszerre kihúzunk négy lapot. Ha az egyik lap ász, mennyi a valószínűsége annak, hogy a) mind a négy lap piros, b) mind a négy lap ász, c) a piros alsó, felső, király és ász van a kezünkben? Egy asztalnál négyen kártyáznak. A 32 lapos magyar kártyát egyenlően szétosztják egymás között. Ha az egyik kiválasztott játékosnak nem jut ász, mennyi a valószínűsége annak, hogy az utána következőnek sem jut? Egy 32 lapos kártyacsomagból 4 lapot húzunk ki egymás után visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első 2 kártya király, a harmadik felső, a negyedik pedig ász? Egységnyi hosszúságú szakaszon találomra két pontot választunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindkét pont a szakasznak egyik előre kijelölt végpontjához van közelebb, feltéve, hogy a választott pontok távolsága kisebb, mint 1/3? Annak valószínűsége, hogy egy adott üzembe az esedékes nyersanyagszállítmány 8 és 12 óra között megérkezik: 0,8. A szállítmány 11 óráig nem érkezett meg. Mennyi a valószínűsége, hogy 11 és 12 között még megérkezik? Feltételezzük, hogy a megérkezés időpontja egyenletes eloszlású a (8, 12) intervallumban. 21

22 4.18. Valamilyen vegyszerrel szúnyogirtást végeztek. Azt tapasztalták, hogy az első permetezésnél a szúnyogok 80%-a elpusztult, az életben maradottakban azonban annyi ellenálló képesség fejlődött ki, hogy a második permetezés során már csak a szúnyogok 40%-a pusztult el. A harmadik irtás során, már csak a szúnyogok 20% pusztult el. a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy szúnyog három irtószer-alkalmazást túl él? b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy szúnyog még két irtószer-alkalmazást túl él, feltéve, hogy az elsőt túlélte? Valakit keresünk az egyetemen. A keresett személy egyforma valószínűséggel lehet adott öt terem valamelyikében, és annak a valószínűsége, hogy az öt terem valamelyikében jelen van: p. Már négy termet megnéztünk, és a keresett személyt nem találtuk. Mennyi a valószínűsége, hogy az ötödik teremben megtaláljuk? Ha l 0 számú újszülött közül l k számú éri meg a k-adik életévét (k = 1, 2,...), akkor a) mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott ember megéri az 50. életévét? b) mennyi a valószínűsége, hogy egy 50 évet megért ember a 60. évét is megéri? Két doboz mindegyikében 100 db csavar van. Az első dobozban 10 db, a másodikban 6 db selejtes. Találomra kiveszünk egy csavart valamelyik dobozból. A dobozok közül egyenlő valószínűséggel választunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kivett csavar jó? Egy háromfiókos szekrényben tollak vannak. A felső fiókban van 3 piros és 2 kék. A középső fiókban van 2 piros és 2 kék. Az alsó fiókban van 1 piros és 5 kék. Dolgozatjavításkor kihúzunk egy fiókot és abból kiveszünk egy tollat. Mivel a fiókok nincsenek egyforma magasságban a fesőt 1 2, a középsőt 1 3 és az alsót 1 6 valószínűséggel húzzuk ki. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az így húzott toll színe piros? b) Ha az így húzott toll színe piros, mennyi annak a valószínűsége, hogy a legfelső fiókból húztuk ki? Egy gyárigazgató jutalmat szeretne adni valamely dolgozójának úgy, hogy három osztályból találomra egyet választ és abból egy dolgozót. Az első osztály létszáma 30, a második 20 és a harmadik 10. Melyik osztályhoz érdemes tartozni? 22

23 4.24. Egy gyárban három gép gyárt csavarokat. A termékek 25%-át az A-gép, 35%-át a B-gép, a többit a C-gép gyártja. Az A-gép 5%-ban, a B-gép 4%-ban, a C-gép 2%-ban termel selejteket. Ha egy találomra kiválasztott csavar selejtes, mennyi a valószínűsége, hogy azt az A-gép gyártotta? Tegyük fel, hogy valamely üzemből kikerülő áru 75% valószínűséggel első osztályú. A kikerült termékeket vizsgálatnak vetik alá. Annak a valószínűsége, hogy a vizsgálat során egy első osztályú terméket nem első osztályúnak minősítenek, 0,02. Annak a valószínűsége viszont, hogy egy nem első osztályút első osztályúnak minősítenek, 0,05. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy olyan termék, amely első osztályú minősítést kapott, valóban első osztályú? Két urnában golyók vannak. Az egyikben 5 fehér és 4 piros, a másikban 5 piros és 7 fehér. Az egyik urnából kiveszünk két golyót. Feltételezve, hogy a két urna közül egyenlő valószínűséggel választunk, mennyi a valószínűsége, hogy a) mindkét golyó fehér lesz; b) a kihúzott két golyó közül legalább az egyik fehér lesz? Egy egyetemi vizsgán az A-szakos hallgatók 60%-a, B-szakos hallgatók 80%-a szerepel sikeresen. Az A-szakos hallgatók az évfolyam 15%-át teszik ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott hallgató sikeresen vizsgázott? Egy üzemben 10 gépen gyártanak egyforma alkatrészeket, mindegyiken egyenlő számút. Az első két gép együttvéve 3% selejtet termel; a következő öt gépnél együttvéve 1,5% a selejt, s végül a többi gépnél együttvéve 1%. A kész darabokat egy helyen gyűjtik. Ha mindegyik alkatrészt egyenlő valószínűséggel vehetjük ki a kész alkatrészek közül, mennyi annak a valószínűsége, hogy egy darabot kivéve, az selejtes lesz? Bizonyos fajta búzavetőmag összetételének vizsgálatakor megállapították, hogy négyféle magot tartalmaz, mégpedig 96%-a az I-es fajtából, 1% a II-esből, 2%-a a III-asból és 1%-a a IV-esből tevődik össze. Annak a valószínűsége, hogy egy I-es fajta szemből legalább 50 szemet tartalmazó kalász fejlődik, 0,5. Ugyanennek a valószínűsége a többi fajtánál a következő: 0,15; 0,2 és 0,05. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kalászból legalább 50 szemet termő kalász lesz? Egy céllövöldében három rekeszben vannak puskák. Az első rekeszben 3 puska, a másodikban 1, a harmadikban 2. Ezekkel rendre 0,5; 0,7; 0,8 valószínűséggel találunk célba. Mennyi a találat valószínűsége, ha találomra választunk puskát? 23

24 4.31. A és B egymástól függetlenül hazudnak ill. mondanak igazat 2 3 ill. 1 3 valószínűséggel. Feltéve, hogy A azt állítja, hogy B hazudik, mennyi a valószínűsége, hogy B igazat mond? Egy dobozban 5 fehér és 2 piros golyó van. 2 golyót húzunk a dobozból visszatevés nélkül, majd egy harmadikat. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a harmadik kivett golyó piros? Egy dobozban 4 fehér, 5 piros és 6 kék golyó van. Először egyet húzunk a dobozból és zsebre tesszük, majd további két golyót. Ha mind két golyó színe piros, mennyi a valószínűsége annak, hogy a zsebünkben is piros golyó van? Tegyük fel, hogy a férfiak 5%-a és a nők 0,25%-a színvak. Egy 20 nőből és 5 férfiből álló csoportból egy személyt találomra kiválasztunk. Megállapítjuk, hogy színvak. Mennyi a valószínűsége, hogy nőt választottunk ki? Két játékos, A és B a következő játékszabályok alapján játszik. A feldob egy kockát, aztán két érmét annyiszor dob fel, ahányat a kockával dobott. Ha e dobások során legalább egyszer két fejet dobott, akkor B fizet A-nak 100 Ft-ot, ellenkező esetben A fizet B-nek 100 Ft-ot. Melyiküknek előnyös a játék? n doboz mindegyikében n számú golyó van, az i-edikben i db piros, i = 1,..., n, a többi fehér. Véletlenszerűen kiválasztunk egy dobozt, és abból kihúzunk egy golyót. Ez piros lett. Mennyi annak a valószínűsége, hogy azt az utolsó két dobozból húztuk? Egy egyetemi évfolyamon végzett felmérésből tudjuk, hogy a női hallgatók 60%-a, a férfi hallgatók 40%-a dohányzik. Valaki így okoskodik: Ha egy személyt véletlenszerűen kiválasztunk az a személy vagy nő, vagy férfi. A két esemény egymást kizárja. Annak valószínűsége tehát, hogy a kiválasztott személy dohányzik, egyenlő a 0,6 és a 0,4 valószínűségek összegével, tehát 1-gyel. Hol a hiba? 5. Események függetlensége 5.1. Definició. Azt mondjuk, hogy az A és B események függetlenek ha P (AB) = P (A)P (B) Definició. Több, mint két eseményt teljesen függetlennek nevezünk, ha bárhogyan is választunk közülük néhányat, ezek szorzatának valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségének szorzatával. 24

25 Feladatok 5.1. Mikor lehet két, egymást kizáró esemény független? 5.2. Igazoljuk, hogy ha az A és B események függetlenek, akkor az A és B események szintén függetlenek! 5.3. Igazoljuk, hogy ha az A, B és C események páronként függetlenek és A független B + C-től, akkor az A, B és C események teljesen függetlenek! 5.4. Bizonyítsuk be, hogy ha az A és a B események függetlenek, és az A bekövetkezése a B bekövetkezését vonja maga után, akkor P(B)=1, vagy P(A)=0! 5.5. Ketten felváltva lőnek egy céltáblára és aki először talál, az nyer. A kezdőjátékos 0,2 valószínűséggel talál, a második 0,3 valószínűséggel. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kezdőjátékos nyer? 5.6. Egy pénzdarabot egymás után 5-ször feldobva, mind az ötször írást dobtunk. Mennyi a valószínűsége, hogy hatodszor is írást dobunk? 5.7. Két csomag magyar kártyát helyezünk egymás mellé, és mindkettőből kihúzunk egy lapot. Mennyi a valószínűsége, hogy mindkét lap piros lesz? 5.8. Egy kockát, és két pénzdarabot dobunk fel egyszerre. Mennyi a valószínűsége, hogy a kockán 6-ost, az egyik pénzen írást s a másikon fejet dobunk? 5.9. Mekkora annak a valószínűsége, hogy két kockával négyszer egymás után dobva, legalább egyszer 10 lesz a dobott számok összege? Egy dobozba 2 selejtes és 4 jó csavar van. Visszatevés nélkül veszünk ki négy csavart. Jelentse A azt az eseményt, hogy az első kihúzott csavar jó. A B esemény jelentse azt, hogy az utolsónak kihúzott csavar jó. Állapítsuk meg, független-e ez a két esemény! Oldjuk meg a feladatot annak feltételezésével is, hogy a csavarokat visszatevéssel húzzák ki! Egy urnában 4 egyforma papírlap található. Mindegyikre három számjegy van írva egymás mellé, mégpedig az elsőre: 0 0 0, a másodikra: 0 1 1, a harmadikra: 1 0 1, és a negyedikre: Húzzunk ki egy lapot! Feltételezzük, hogy mindegyik papírlap egyenlő valószínűséggel húzható. Jelentse A i azt az eseményt, hogy olyan lapot húztunk, amelynek i-edik jegye 1-es (i = 1, 2, 3). Mutassuk meg, hogy az A i események páronként függetlenek, de nem teljesen függetlenek! 25

26 5.12. Háromszor dobunk fel egy szabályos pénzdarabot. Jelentse A azt az eseményt, hogy a dobások között fej és írás is előfordul, B pedig azt az eseményt, hogy legfeljebb egy írás fordul elő. Állapítsuk meg, független-e a két esemény? Egy helyiséget két úton lehet megközelíteni. Két gépkocsi különböző úton indul el. Annak a valószínűsége, hogy az első úton induló gépkocsi időben célhoz ér: 0,80; hogy a másikon induló nem késik: 0,85. Mekkora a valószínűsége, hogy legalább az egyik gépkocsi időben célhoz ér? Egy üzemben két gépsor dolgozik egymástól függetlenül. A tapasztalatok alapján az egyik gépsor hetenként 0,20, a másik 0,15 valószínűséggel esik ki a termelésből. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik kiesik a hét folyamán? Addig dobunk egy érmével, amig fejet nem kapunk. Legyen k egy pozitív egész szám. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobások száma nem több mint k? 26