7. A Poisson folyamat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "7. A Poisson folyamat"

Átírás

1 7. A Poisson folyamat 1. Egy boltba független exponenciális időközönként érkeznek vevők, óránként átlagosan tíz. Legyen N(t), t 0 a vevőket számláló folyamat. a. Igaz-e, hogy N(t) Poisson-folyamat? Mi a folyamat λ intenzitása? b. A nyitás után várhatóan mennyi idő elteltével érkezik meg a harmadik vevő? Hány perc a bizonytalanság ebben a becslésben? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a harmadik vevő fél órán belül megérkezik? c. Várhatóan hány vevő érkezik a nyitást követő 1 óra alatt? És a nyitást követő 2 és 4 óra között? Mekkora a bizonytalanság ezekben a becslésekben? d. Mi annak a valószínűsége, hogy az első 1 órában nem jön vevő? Mi annak, hogy 2 és 4 óra között nem jön vevő? Mekkora valószínűséggel fog 2 és 4 között legfeljebb 3 vevő érkezni? És 2-nél több? e. Milyen valószínűséggel fog az első órában pontosan 5, továbbá 2 és 4 között pontosan 10 vevő érkezni? f. Milyen valószínűséggel fog 2 és 3 között pontosan 5, továbbá 2 és 4 között pontosan 10 vevő érkezni? g. Tegyük fel, hogy az első órában 5 vevő érkezett érkezett. Adjuk meg a 2 és 4 óra között érkezett vevők számának feltételes eloszlását és feltételes várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy 2 és 4 között pontosan 10 vevő érkezik? h. Tegyük fel, hogy az első órában 5 vevő érkezett érkezett. Adjuk meg a nyitás utánni első 2 óraban érkezett vevők számának feltételes eloszlását és feltételes várható értékét. a. A Poisson folyamatnak éppen az a definíciója, hogy olyan számláló folyamat, melynél a T 1, T 2,... érkezések közti idők független exponenciális változók azonos λ paraméterrel. Most az érkezések közti idő várható értéke 10 perc, tehát 1/6 óra. Ha időegységnek az órát választjuk, akkor az exponenciálisok paramétere λ = 1/E(T i ) = 6. Egyben ez a folyamat intenzitása is. b. Az n. vevő érkezési ideje S n = T T n Erlang eloszlást követ (n, λ) paraméterrel, hiszen az n = 1, 2,... és λ > 0 paraméterű Erlang eloszlás definíció szerint éppen n darab független λ paraméterű exponenciális összege. Most n = 3 és λ = 6, vagyis a várható érték E[S 3 ] = n/λ = 0.5 óra, tehát 30 perc, míg a bizonytalanság D[S n ] = n/λ = 0.29 óra, vagyis körülbelül 17 perc. Mivel az S n változó eloszlásfüggvénye n 1 F n (t) = P (S n < t) = 1 e λt k=0 (λt) k, t > 0, k! 1

2 ezért ( ) P (S 3 < 0.5) = 1 e = c. A folyamat intenzitása azt mutatja, hogy időegység alatt várhatóan hány érkezés történik, tehát az első kérdésre E[N(1)] = 6 a válasz. (Az érkezések közti idő átlagosan E[T i ] = 1/λ, tehát egy egységnyi intervallumba várhatóan 1/E[T i ] = λ ilyen időköz, vagyis λ érkezés fér bele.) Általában, egy [s, t) intervallumon bekövetkezett érkezések száma, vagyis az N(t) N(s) növekmény Poisson eloszlást követ λ(t s) paraméterrel. A becslés bizonytalanságát az eloszlás szórása fejezi ki, hiszen azt mutatja, hogy átlagosan mennyivel tér el az érkezések száma a várható értéktől. Mivel a Poisson eloszlás várható értéke és szórásnégyzete a paraméter, ezért E[N(t) N(s)] = D 2 [N(T ) N(s)] = λ(t s). A jelen példában a 2 és 4 óra között érkező vevők számának várható értéke E[N(4) N(2)] = 6(4 2) = 12, a bizonytalansága D[N 2 ] = 6 = 2.45, illetve D[N(4) N(2)] = 12 = d. Az [s, t) időintervallumban érkező vevők száma Poisson eloszlású λ(t s) paraméterrel, tehát P (N(t) N(s) = k) = (λ(t s))k e λ(t s). k! Most N(1) = N(1) N(0) Po(6), vagyis P (N(1) = 0) = e /0! = Hasonlóan N(4) N(2) Po(12), tehát P (N(4) N(2) = 0) = e /0! = , P (N(4) N(2) 3) = 3 k=0 P (Po(12) = k) = 3 k=0 e k /k! = 0.002, P (N(4) N(2) > 2) = 1 P (Po(12) 2) = 1 2 k=0 e k /k! = e. Amennyiben diszjunkt [s 1, t 1 ) és [s 2, t 2 ) intervallumokat vizsgálunk, akkor az N(t 1 ) N(s 1 ) és N(t 2 ) N(s 2 ) növekmények függetlenek. Ekkor P ( N(1) = 5, N(4) N(2) = 10 ) = P ( N(1) = 5 ) P ( N(4) N(2) = 10 ) = e /5! e /10! = = f. Fontos észrevenni, hogy a most vizsgált intervallumok nem diszjunktak, így az N(3) N(2) és N(4) N(2) növekmények nem (feltétlenül) függetlenek. A probléma megkerülhető, ha bevonjuk a játékba a [3, 4) intervallumot, ami már diszjunkt a [2, 3) intervallumtól, tehát N(3) N(2) és N(4) N(3) már függetlenek. Így P ( N(3) N(2) = 5, N(4) N(2) = 10 ) = P ( N(3) N(2) = 5, N(4) N(3) = 5 ) = P ( N(3) N(2) = 5 ) P ( N(3.5) N(3) = 5 ) = e /5! e /5! =

3 g. Mivel a vizsgált intervallumok diszjunktak, ezért az N(2) változó értékéből semmilyen információ nem szerezhető arra vonatkozóan, hogy mi fog történni a [2, 4) intervallumon. Tehát az N(4) N(2) változónak az {N(1) = 5} esemény melletti feltételes eloszlása és a feltételes várható értéke a feltétel nélkülivel, ezeket pedig már kiveséztük a c. pontban. h. Most a vizsgált intervallumok nem diszjunktak, tehát a birtokunkban lévő információ nem dobható ki. Ismét az f. pontban bemutatott trükköt fogjuk alkalmazni: felbontjuk a teljes intervallumot két diszjunkt darabra, melyeket már könnyen le tudunk kezelni. Tudjuk, hogy az első órában 5 vevő érkezett. Az N(1) változó független a második órában érkezett vevők számától, melynek eloszlása N(2) N(1) Po(6). A két óra alatt érkező vevők lehetséges száma 5, 6,..., ezek valószínűsége P ( N(2) = k + 5 N(1) = 5 ) = P ( N(2) N(1) = k N(1) = 5 ) = P ( N(2) N(1) = k ) = e 6 6 k /k!, k = 0, 1,... Tehát N(2) feltételes eloszlása N(2) Po(6) + 5, amiből a feltételes várható érték E[N(2) N(1) = 5] = E[Po(6) + 5] = = Tegyük fel, hogy egy adott útszakaszon N(t), t 0 Poisson folyamattal írható le az áthaladt autók száma, és óránként átlagosan 60 járművet számolhatunk meg. A statisztikai adatok szerint a magyarországi gépkocsik 20 százaléka német gyártmányú. Feltehető, hogy az egyes áthaladó autók származása független. Legyen N 1 (t) és N 2 (t) a német illetve nem-német autókat számláló folyamat. a. Poisson folyamat-e az N 1 (t) és N 2 (t) folyamat? Mi az intenzitásuk? b. Mekkora valószínűséggel fog az első 10 percben pontosan 3 német és az első 20 percben pontosan 11 nem-német autó elhaladni? c. Tegyük fel, hogy 10 perc alatt 100 német autó haladt el. Mi az ezen idő alatt elhaladt nem-német autók számának feltételes eloszlása és feltételes várható értéke? d. Tegyük fel, hogy 10 perc alatt 100 német autó haladt el. Mi az ezen idő alatt elhaladt összes autók számának feltételes eloszlása, várható értéke, szórása? e. Tegyük fel, hogy 10 perc alatt összesen 100 autó haladt el. Mi az ezen idő alatt elhaladt német autók számának feltételes eloszlása, feltételes várható értéke és feltételes szórása? a. Az N(t) folyamat percekben kifejezett intenzitása λ = 1, hiszen egy perc alatt átlagosan 1 autó halad át. Az egyes érkezéseket egymástól függetlenül p = 0.2 valószínűséggel fogja az N 1 (t), és 1 p = 0.8 valószínűséggel az N 2 (t) folyamat számlálni. Ez az N(t) folyamat p valószínűséghez tartozó Bernoulli felbontása. Ekkor N 1 (t) és N 2 (t) független Poisson folyamat, melyek intenzitása λ 1 = pλ = 0.2 és λ 2 = (1 p)λ = 0.8. A továbbiakban a csak német, 3

4 vagy csak nem-német autókra vonatkozó kérdések az 1. feladatban bemutatott módszerekkel megválaszolhatóak, hiszen ezeket egymástól függetlenül tudjuk kezelni az N 1 (t) illetve az N 2 (t) Poisson folyamattal. b. Mivel az N 1 (t) és az N 2 (t) folyamat független, ezért az {N 1 (10) = 3} és az {N 2 (20) = 11} esemény független. Most N 1 (10) Po(10 0.2) = Po(2) és N 2 (20) Po(20 0.8) = Po(16). Ekkor P ( N 1 (10) = 3, N 2 (20) = 11 ) = P ( N 1 (10) = 3 ) P ( N 2 (20) = 11 ) = e /3! e /11! = = c. A tíz perc alatt elhaladt német illetve nem-német autók száma N 1 (10) és N 2 (10). Mivel az N 1 (t) és az N 2 (t) folyamat független, ezért az N 1 (10) = 100 információ eldobható, az N 2 (10) változó feltételes eloszlása és feltételes várható értéke azonos a feltétel nélkülivel. Az N 2 (10) változó feltétel nélküli eloszlása Po(10 0.8) = Po(8), várható értéke E[N 2 (10)] = 8, amiből P ( N 2 (10) = k N 1 (10) = 100 ) = e 8 8 k /k!, k = 0, 1,..., E[N 2 (10) N 1 (10)] = 8. Egy ROSSZ gondolatmenet a várható értékre: átlagosan az áthaladó autók 20 százaléka német. Most 100 német autó haladt át, tehát a nem-német autók száma várhatóan 400. Ez a megoldás azért rossz, mert Poisson folyamattal reprezentálva a német és nem-német autók száma független. d. A tíz perc alatt elhaladt autók száma N(10) = N 1 (10) + N 2 (10). Most N 1 (10) = 100, tehát N(10) a 100, 101,... értékeket veheti fel. Felhasználva, hogy N 1 (10) és N 2 (10) független, kapjuk P ( N(10) = k N 1 (10) = 100 ) = P ( N 2 (10) = k N 1 (10) = 100 ) = P (N 2 (10) = k) = e 8 8 k /k!, k = 0, 1,... Tehát N(10) feltételes eloszlása Po(8) A feltételes várható érték E[N(10) N 1 (10) = 100] = E[N 1 (10) N 1 (10) = 100] + E[N 2 (10) N 1 (10) = 100] = E[100] + E[N 2 (10)] = = 108. d. Összesen n = 100 autó haladt el, melyek mindegyike egymásból függetlenül p = 0.2 valószínűséggel német és 1 p = 0.8 valószínűséggel nem német. Ekkor a német autók száma binomiális eloszlást követ (n, p) paraméterrel, vagyis a feltételes eloszlás ( ) 100 P (N 1 (10) = k N(10) = 100) = 0.2 k k, k = 0, 1,..., 100. k A binomiális eloszlás várható értéke np, szórása np(1 p), tehát E[N 1 (10) N(10) = 100] = = 20, D[N 1 (10) N(10) = 100] = = 4. 4

5 3. Rudolf, a rénszarvas át akar kellni egy úton, ahol az autók érkezése percenkénti λ = 4 intenzitású Poisson folyamattal reprezentálható. Mivel Rudolf olyan öreg, mint maga a Mikulás, a szeme és a füle is rossz, így a forgalomtól függetlenül, véletlenszerűen rohan át az úton. a. Tegyük fel, hogy 10 másodperc alatt ér át az úton. Mekkora valószínűséggel ütik el, tehát mekkora valószínűséggel érkezik autó ezen 10 másodperc alatt? b. Tegyük fel, hogy Rudolf azért még elég ügyes ahhoz, hogy egyetlen autót kikerüljön, de ha a kritikus 10 másodpercben érkezik még egy autó, akkor már tényleg elütik. Mekkora valószínűséggel fogja megúszni a kalandot? c. Válaszoljunk az a. és b. pont kérdéseire, ha csak 30 másodperc alatt tud átvánszorogni az úton. 4. Szegedről és Makóról független exponenciális időközönként érkeznek telefonos hibabejelentések. Szegedről átlagosan 3, Makóról átlagosan 6 óránként érkezik bejelentés, és az egyes városokból érkező bejelentések függetlenek. Legyen N 1 (t) és N 2 (t), t 0 a Szegedről illetve Makóról származó bejelentéseket leíró Poisson folyamat, és legyen N(t), t 0 az összes bejelentést számláló folyamat. a. Adjuk meg az N 1 (t) és az N 2 (t) folyamat intenzitását, ha egy napot veszünk időegységnek. Poisson folyamat-e az N(t)? Ha igen, akkor mi az intenzitása? b. Várhatóan mennyi idő múlva fut be a 10. hívás? És a 10. makói hívás? Mekkora a bizonytalanság ezekben a becslésekben? c. Mennyi a 12 óra alatt befutó bejelentések számának várható értéke? Ezek közül várhatóan mennyi származik Szegedről és mennyi Makóról? Mekkora a bejelentések számának szórása városonként és összesen? d. Mekkora valószínűséggel fog 12 óra alatt 3-nál kevesebb bejelentés érkezni? Mekkora eséllyel fog ezen 12 óra alatt Makóról 5-nél több hívás történni? e. Feltéve, hogy az első napon nem jött bejelentés Makóról, várhatóan hány bejelentés fut be a második napon? Ezek közül mennyi érkezik Szegedről? f. Tegyük fel, hogy az első 12 órában 20 bejelentés érkezett Szegedről. Adjuk meg az első 24 órában történt szegedi bejelentések várható számát. Mit mondhatunk az első napon befutó összes hívások várható mennyiségéről? Mekkora valószínűséggel fog ezen 24 óra alatt pontosan 10 szegedi bejelentés érkezni? És 30? Mekkora eséllyel fog ezen 24 óra alatt összesen 30 bejelentés érkezni? A folyamatok intenzitása azt mutatja, hogy várhatóan hány érkezés történik időegység alatt. Az intenzitások λ 1 = 8 és λ 2 = 4. Most N(t) két független Poisson folyamat összege, tehát szintén Poisson folyamat, melynek paramétere λ = λ 1 + λ 2 = 12. Átlagosan a bejelentések egyharmada származik Makóról, kétharmada Szegedről, tehát N 1 (t) és N 2 (t) tekinthető úgy, mint az N(t)-nek p = 2/3 valószínűséghez tartozó Bernoulli felbontása. Minden további kérdés megválaszolható az előző feladatok módszereivel. 5

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

Á ő ő ő ő ő ő ű ó ó ő ó ő ő ó ő ő ő ő ó ő ó ő ő ő ő ő ü ő ő ó ő ó ő ő ő ó ó ő ő ű ő ó ő ó ő ő ő ő ő ű ő ü ó ű ő ó Á ó ő ő ó ü ő ő ó ő ő ü ő ő ü ó ő ő ó ó ü ő ü ő ő ő ő ő ó ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

ő ő ő ő ű Ó ő ő ű ű ő ő Ó ő ő ő ő ő ő ű ő ő ű ű ő ő ű Ó ő ő ő Ó ő ű ő ő ő ű ű ű ő ő ő ő ő ő ő Ó ő ő ő ű ő ő ő ő ő ű ő ő Ó ő ő ű ő ő ő ő ő ő ő ű ű ő ő ő ű ű ő ű ő ő Ó Ó ő Ó Ó ő Ó ű ő ő ő ő ő ű ő ű ű ű ű

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

VESZPRÉM MEGYEI NÉMET ÖNKORMÁNYZAT

VESZPRÉM MEGYEI NÉMET ÖNKORMÁNYZAT VESZPRÉM MEGYEI NÉMET ÖNKORMÁNYZAT HATÁROZAT Szám: 28/2014. (XI.12.) MNÖ határozat Tárgy: A Veszprém Megyei Német Önkormányzat költségvetésének módosítása A Veszprém Megyei Német Önkormányzat költségvetéséről

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

Önértékelési terv. 2015/2016-os tanév. Készítette: Belső Önellenőrzési Csoport Hajdúszoboszló, 2015. szeptember 30.

Önértékelési terv. 2015/2016-os tanév. Készítette: Belső Önellenőrzési Csoport Hajdúszoboszló, 2015. szeptember 30. Önértékelési terv 2015/2016-os tanév Készítette: Belső Önellenőrzési Csoport Hajdúszoboszló, 2015. szeptember 30. 1. Az intézményi Belső Ellenőrzési Csoport tagjai: Vezető: Biriné Szabó Éva igazgató-helyettes

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

ó ó ó ú ó ó ó ó ó ú ő ú ú ó ű ü ó ü ő ú ü ű ó ű ű ő ő ó ó ű ő ú ó ű ó ó ó ó ű ü ü ó ü ó ó ü ú ó ó ű ó ú ó ú ő ú ó ű ü ő ő ó ü ó ó ű ó ű ó ó ó ó ú ó ű ó ó ű ü ó ü ű ü ó ü ő ó ű ú ó ű ó ő ó ű ó ó ú ó ű ó

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia MINİSÉGSZABÁLYOZÁS A GÉPIPARBAN Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia ISO 9000:2008 A STATISZTIKAI MÓDSZEREK HASZNÁLATÁRÓL A statisztikai módszerek

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

ENA 7-30 Melléklet Szerelési és kezelési útmutató

ENA 7-30 Melléklet Szerelési és kezelési útmutató ENA 7-30 Melléklet Flamco www.flamcogroup.com Tartalomjegyzék Oldal 1. Üzembe helyezés 3 1.1. Üzembe helyezés - ENA 7-30 3 1.2. Paraméterek az üzembe helyezéshez 3 2. A hardver- és paraméter menü elemei

Részletesebben

IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK. A feladatsor jellemzői

IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK. A feladatsor jellemzői IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Egyenlőtlenségek megoldási módszerei, egyenlőtlenségekre vezető szöveges feladatok megoldása. A legalább és legfeljebb fogalma. Előzmények Egyenletek

Részletesebben

NYUGDÍJRENDSZER, NYUGDÍJBA VONULÁS

NYUGDÍJRENDSZER, NYUGDÍJBA VONULÁS 8. NYUGDÍJRENDSZER, NYUGDÍJBA VONULÁS Monostori Judit FŐBB MEGÁLLAPÍTÁSOK 2011 legelején Magyarországon a nyugdíjban és nyugdíjszerű ellátásban részesülők száma 2 millió 921 ezer fő volt. A nyugdíjasok

Részletesebben

ő Ö ő ó ő ó ő ő ó ő ő ő ó ő ú ó ő ú ő ú ő ő ú ó ő ő ú ő ő ő ú ú ű ú ő ó ő ű ó ő ő ú ő ő ő ú ú ő ó ű ő ő Ö úú ő ó ú Ö ó ó ő ő Ö ó ú ő ő ő ú ő ó ő ó Ö ó ú Ű ő ő ó ő ő ó ő ú Ö ú Ö ő ő ú ú ő ő ú ú ó ó ő ó

Részletesebben

ö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö

Részletesebben

11. Matematikai statisztika

11. Matematikai statisztika 11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó

Részletesebben

Ú Ó ö Ő ö Ú Ú Ó Á Á ü ő ö Ú Ú Ó ű ő ő ő ő ü Á ö ü ö ö ő Ó Á Á ő Á Ú ö Ó Ű Ú Ó ű Á ő ő ő ö Ú ö ű ö ö ö ő Ó Á Á ű ű ö ü ű ü Á Á ű ű ö ü ű ü ü ö ü ő ü Ó Ó ő ő ő ő ű ö ő ű ü Á Á ő ü ő Ú Ó ü ö ő ő ö ő ö ö ő

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

ANGOL C2 1 1 039 - C2-ES SZINT (36 órás) KÉPZÉSI PROGRAM KIVONATA

ANGOL C2 1 1 039 - C2-ES SZINT (36 órás) KÉPZÉSI PROGRAM KIVONATA ANGOL C2 1 1 039 - C2-ES SZINT (36 órás) KIVONATA megnevezése: Angol C2 1 1 039 - C2-es szint (36 órás) nyelvi programkövetelmény azonosítója: Angol C2 1 1 039 nyelvi programkövetelmény A1: 3, A2: 3, B1:

Részletesebben

ő ü ő ü ő ü ő Ő ü ő ú ő ű ü ú ő ű ű ű ú ű ő ő ő ő ő Ó Á Á ő ő ő ő ő ő ő ő Ó Ó ü ő ő ő ő ő ő ő ü ő ü ő ü ü ü ü ü ő Á ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ü ő ü ü ő ű ő ü ő ő ü ő ő ő ü ű ű ű ű ű ú ű ú ű ú ü É ü ő É ű ő ű

Részletesebben

ő ő Ü ü Á ú ú ü ú ú ü ú ü ú ú ü ő ú Á ü ú Á ü ü ü ú Á Á Ó Ü ő ü ú ú ú ü ű ú Ü ü ű Ü ú Á ú Ó ő ü Ú ú Á ő ő ú ű Á ú ü ő Á ú ú Á ú Á ú Ü Á Ö ú ú ő ő ú ű ü ő Á ő Ú ü Ö Á Á Á Á ő Ü Ö ü Ú Ö Á Á ú ő Ú Á Á ü

Részletesebben

E B D C C DD E E g e 112 D 0 e B A B B A e D B25 B B K H K Fejhallgató Antenna A B P C D E 123 456 789 *0# Kijelzés g B A P D C E 0 9* # # g B B 52 Y t ] [ N O S T \ T H H G ? > < p B E E D 0 e B D

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

ú ú ú Ú ú ú ő ő ú ű ú ő ő ú ő ú ő ő Ó Ó ő ű ő ő ú ő Ó Ó ú ú ú Ú ü ú ú ő Ü ü ő ü ő ő ú ú ő ő ú ő ő ü ü ú ő ű ü ő ő Ü ű ű ű ű ú ü ü ő ú Ö ű ű ő ú Ü ú ü ő ú ő ü ő ű Á Ü Ó Ó ű ü Ü ü ú Ü ő ő ő ő ő ő ő ü Ü ü

Részletesebben

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/

Részletesebben

ü ő Á Á ü ő Ö Á Á Á Á ü Á Á ő ő Á Á Á Ó Á Á Á Á Á Á Á ü ő Á Á Ö ü ü ő ő ü ü Á

ü ő Á Á ü ő Ö Á Á Á Á ü Á Á ő ő Á Á Á Ó Á Á Á Á Á Á Á ü ő Á Á Ö ü ü ő ő ü ü Á ü ü ő Á Á ü ő Ö Á Á Á Á ü Á Á ő ő Á Á Á Ó Á Á Á Á Á Á Á ü ő Á Á Ö ü ü ő ő ü ü Á Á Ó ü ü ű ü ü ő ő ő ő ü ő ő ü ő ű ő ü ő ű ő ő ű ü Ö Á ő ő ü ő ü ő ü ü ő ő ü ő ü Í ü ű ü ü ű ü ü ő ő ü ő ő ő ő ü Í ü ő ü

Részletesebben

Dél-alföldi Regionális Munkaügyi Központ

Dél-alföldi Regionális Munkaügyi Központ Tájékoztató Dél-alföldi Regionális Munkaügyi Központ MUNKAERŐ-GAZDÁLKODÁSI JELENTÉS 2009. III. negyedév Dél-Alföld 2009. augusztus szeptember Bács-Kiskun megye 662 31014 fő Csongrád megye 477 35611 fő

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

Ó Á Á Í Á ő ő ő ő ű ő Í ü ú ű ú ú ü ü ő ú ő ő ü ű ü ő ő ü ő ő ő ő ú Á Ú ú ő ő ő ő ú ú ü ő ő ú ú ő ü ü ü Í Í ő ü Á ő ő ő ú Í ü Ó Á Á Á ű Ó Á Á Í Á Á Í ü Í ü ő ő Ú ú ő Í ü ü Á ÍÁ ú Í ő Á Á Ó Á ú ő ő Á Ó

Részletesebben

Ü É Í Í ű ű ű ű ű ű É Í Á Á Á Á É Á Á Á Á Á Á É Á Á Í Á Á Á ű É É Á Á Á Á Á Á É Á Á Á Á Í ű ű ű Í ű ű ű Í ű Í ű ű ű Í ű Í ű ű ű ű ű É Í ű ű Í ű Á ű ű ű ű ű ű ű É Í Á Á Í Í ű É ű ű ű ű ű Í Í ű É ű ű Í Í

Részletesebben

II. A következtetési statisztika alapfogalmai

II. A következtetési statisztika alapfogalmai II. A következtetési statisztika alapfogalmai Tartalom Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai

Részletesebben

ű ú ü ö ö ü ö ö ö ú ü ü ö ö ö ú ö ö ü ű ö ö ö ö ü ö ö ü ö ö ú ö ü ö ü ü ü ú ö ö ü ö ü ü ö Ó ü ű ö ö ü ö ü ö ú ö ö ö ö ű ú ú ű ö ö ü ö ö ö ö ü ú ö ü ö ü ü ö ú ü ü ü ű ú ö ü ö ö ö ü ö ü ú ö ö ö ü Ú ű ü ö

Részletesebben

É Ő É É Á É Á Ü Ú ű Á ü Á ú ü ú ü Á Á Ú Ü ü ű ú ü ú Ü ű Ü ü ü ű ü ü ű ű ü ü ü ü ü ü ú ü ü ú ű ü ü ü ü ü ü ú Ü ü ü Á Ü ú ü ú ü ü ü ü ü ü ú ü Ú ú ü ü ü ü ú ú ű ú ü ü ú ű ü ü É ú ü ü ü ü ú Á ü ü É Á ü ü ü

Részletesebben

Í ó Ü Á Ü Ü Ü Ú Ü Ü Á Ü Ü Í Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ű Ü Ü Í Í Ü Ü Ü Ü Ü Í Á ó Á Í Í Í Ü Á Í Í Ü Í Ü Ü Ü Í Ő Á Á Í Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Á Í Í Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ó Á Á Á Ü Í Á Ü Ü Í Í Ü Ü Ü Í Í Á Ü Ü Ü Ú Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü

Részletesebben

É Í ű ű ű ű ű ű ű ű Ü ű É Í Á Á Á É Á Á Á Á Á Á Á É Á É Ó Ó ÁÁ Á ű É Á Á Á É Á É Í Á Á Á Á Ó ű ű Í Í ű ű Í ű ű ű Í ű ű ű ű Í ű ű Í ű ű Í ű ű ű ű Í Í ű Á Á É Á É Í ű ű É Ü ű Í É É ű ű ű ű ű ű Ő ű ű ű ű

Részletesebben

BUDAPEST FŐVÁROS XVI. KERÜLETI BOLGÁR ÖNKORMÁNYZAT KIVONAT

BUDAPEST FŐVÁROS XVI. KERÜLETI BOLGÁR ÖNKORMÁNYZAT KIVONAT BUDAPEST FŐVÁROS XVI. KERÜLETI BOLGÁR ÖNKORMÁNYZAT Főváros XVI. kerületi Bolgár Önkormányzat Képviselő-testületének 5. számú üléséről. 2. A Budapest Főváros XVI. kerületi Bolgár Önkormányzat és a Budapest

Részletesebben

Í ű ű ű ű Í ű ű ű ű ű ű É Í Á Á É Á Á Á Á Á Á Á Ó Á Í Í ű Í Á ű Á Á Á Á Á Á Á É É Á Á Í Í Í ű ű Í Í ű Í ű ű ű Í ű Í Í ű ű ű ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű Á Á ű ű Í Í Í Í Í Í ű ű ű ű ű Í ű ű Í ű Í ű ű ű Í Í ű ű

Részletesebben

Í ű ű ű ű ű ű ű ű Í ű Í É Ó Á Á Á Á É Á Á Á Á É Á ű Á É Á Á É Í ű É É Á Á Á ű Á Á É ű Á Á Á Í Á É Í ű Í ű Í ű Í ű ű ű Í ű ű ű ű ű ű Í Í É Í ű ű Í ű ű ű Á ű Í ű Á Á Í ű É ű ű ű ű ű ű Í ű Í ű ű ű ű ű ű ű

Részletesebben

AZ ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEK MÓDOSÍTÁSÁNAK KIVONATA

AZ ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEK MÓDOSÍTÁSÁNAK KIVONATA AZ ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEK MÓDOSÍTÁSÁNAK KIVONATA Az INTEGRANET Kft. 2015. december 1. napjától kezdődően az Általános szerződési feltételeit a jogszabályi előírásoknak és a felügyeleti hatóságok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Valószínűség-számítás II.

Valószínűség-számítás II. Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az

Részletesebben

Hatályosság: 2010.08.05 -

Hatályosság: 2010.08.05 - 22/2010. (V. 7.) EüM rendelet a munkavállalókat érı mesterséges optikai sugárzás expozícióra vonatkozó minimális egészségi és biztonsági követelményekrıl Hatályosság: 2010.08.05 - Az egészségügyi hatósági

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

ó á á á á á ó á ó Á ö é á ó Ú á á á ó Á ö é á á á ó ó ó á á ó á ó Ú á é á ó ü é ü é á á á á ó é é á ú á ó á é ó á ó Ó é á ó é á ó ó á Ó Ö é á ó á ó é é é ü é ó á Ó é é é ó ó ó á ó é é ó á ü ó é á ó é é

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 17. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,

Részletesebben

Ó Á É Ő É ő ő ő ó ó ó ó ó ő Ö ó ő ó ü ő ó ő ű ó ó ó ő ő ő ő ő ű ő ó ü ó ő ő ő ő ó ü ó ó ó ű ő ó ő ó ő ú ő ő ü ő ó ü ó ő ő ő ü ó ó ő ő ü ő ó ő ó ő ű ő ő ű ő ó ó ó ó ó ó ő ő ó ó ó ő ó ő ü ó ű ő ő Á ó ó Ó

Részletesebben

MAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT. 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu

MAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT. 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu MAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu Tartalom 1. A villamos csatlakozások és érintkezôk fajtái............................5 2. Az érintkezések

Részletesebben

VESZPRÉM MEGYEI ÖNKORMÁNYZAT KÖZGYŰLÉSE

VESZPRÉM MEGYEI ÖNKORMÁNYZAT KÖZGYŰLÉSE VESZPRÉM MEGYEI ÖNKORMÁNYZAT KÖZGYŰLÉSE HATÁROZAT Szám: 79/2014. (XII. 18.) MÖK határozat Tárgy: A Veszprém Megyei Önkormányzat 2015. évi belső ellenőrzési tervének jóváhagyása A Veszprém Megyei Önkormányzat

Részletesebben

É É Á É É ó ó ö ű ó ó ó ű ó ö ö ű ó ó ő ö ű ó ó ű ú ö ű ó ó ó ó ö ű ó ó ó ö ű ő ő ő ó ö ű ú ö ó ó ó ú ő ő ü ó ó ó ö ű ű ö ő ó ú ó ö ü ö ű ó ó ö ő ö ó ö ö ő ő ö ó ő ö ő ó ő ó ő ú ú ö ű ó ú ö ő ű ö ó ó ó

Részletesebben

ő Á ú ő ú ő ú ú ú ő ő ő ű ú ű ő ő ú ő ő ő ú Á ő ú ő ő ú ő ő É É ú ő ő Ú ő É ú ú ő ő ő ő ő É ő ő ú É ű ű ű ú ő ő É ő ű ő ő É ú É ú ő ő ű ú ű ő ő ú ú Ú ú Ü ő ű ú ő ű ő ő ú ő ő ő ő ú ő ő ú ú ő ú ő ú ű ű É

Részletesebben

Á Ó Ö Á É É É É Ő ű Á Ó ű Ö ű ű ű Ó ű Ö Ú Ö Ú ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű Ü Á ű ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű Ö ű ű Ü ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű ű ű ű ű Á Á ű É ű ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű Ó Ü Á É Ű ű ű ű ű Á ű ű ű Á É ű Ú Ó

Részletesebben

Á Á ó ő ő ó Ő ó ó ó Ó Ó Ó ó Ó Ó Ó Ó ó ő ó ó Ő Ó Ó Ó Ó ó Ó Ó Ó Á Ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó Ó ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ó Ó ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ó Á Ó ó ó Ő ó ó ó Ó ó Ú ó Ó Ó ó Ó Ó Ő ó Ó ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó ó ó Ó ó ó ó Ó Ú Ó Ó ó ó ő ö Ó

Részletesebben

É Ú ú Á Ú Ú Á Á Ú ú ú ú Ú ú Á Ú Ü Ü ű ű ú ú ú ú Ü ú Ü Ú ú ű ú É ú Ü ű ú ú Ú É É Á Á Á Á Ü ú Á Á É Ú É ú Á Ü É Ü Ü Ü Ü Á Á ű ú ű ú Ü ű Á ú ű ű ú ű ű ű ú ű ű ű ű ú Ü É ű ú ű Ü ű ú ű Ü Ü Ü ú Ú ú ú ú ű ú ű

Részletesebben

ö É ö ö ő ő ö ó ó ú ő ó ö ö ő ő ö ö ó ű ű ó ú ó ő ő ö ű ó ő ö ö ű ű ó ú ő ó ó ö ű ó ő ö ö ű ű ó ő ő ö Ü Ü ö ű ó ő ö ö ű ű ó ő ó Ü Ü ó ő ő ű ö ö ű ű ű ű ő ö ó ű ó ö ű ö ó ö ó ö ő ó ö ö ő ó ö ö ö ű Ö ö ö

Részletesebben

ú ő ü ő ő ü ő ű ű ő ü ü ő ő Ü Á ő ü ő ő ü ő ő ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ü ő ü ő ő ű ű ő ü ő ő ő ü ő ü ő ű ő ü ő ő ő ő ü ü ü ő ő ű ú ü ü ő ő ő ő ü ü ő ő ő ü ő ő ő ő ű ő ú ő ő ü ő ő ü ő ő ő ű ő ő ű ü ü ő

Részletesebben

Ú ő É ő ű ő ű Á É ő Ó Á Á ő ű ű Á ű Ú É ő É Ú Ö ő ő Á ő ő Á É É Á ő ő ő ő ő ő Á Ó Á É Ú Á Á Á ő Á Á Á Á Á É ő ő ű ő ő É ő ő Á Á Ó Ü Á É Á ő Á ő ő ő Á É Ü ő Á Á ő Ö ő ő Á É ő ő ű ő Ö Á Á Ú Á Á Á É É ő ű

Részletesebben

ű É ű Á Ü É É ű ű Ű ÓÓ Ü É Ü Ú Ú ű Ú Ö Ö Ü ű ű Ű Ú Ö Ü Ö Ú Ó Ó Á É Ú Ű Ú Ú Ú Ú Ú ű Ú Ű Ú ű ű Ú ű ű Ú Ú É Á Ú Ú É É ű ű ű Ú ű ű Ú ű Ú Ó É Ű Ó ű Ú ű ű ű Á ű ű Ú ű ű É ű ű ű ű Ó Ú Á Ú ű Á ű Á Ú Ó ű ű Á ű

Részletesebben

ü Ü ö ö ö Á ő ö ö ö ü ú ö ő Á ő ö ő ü ú ő ő ő ö ö ö ő ú ő ő ő ö ő ö ű ő ő ő Ú ö ü ő ő ú ú ö ő ö ő ú ú ő ú ö ö ő ú ő ü Ü ö ő É ő ő ü ö ő ú ő ö ű ő ő ü ő Ú ű Ö ü ő ú ő ő ő ú Ú ü ö ő ő ú ő ű ő ö ö ü ö ö ő

Részletesebben

É Ó Ö Á ú Á ú ú ú ú Ó ú ú ú ú ű ú Á ÁÉ Á ű ű ú ú É ú É É ű ű É ű Ú ű Ü ú ű ú Ö Ú ű Ö Ö ú Ő ú ű Ö ú ú Ú Ó ú ú ű ú Ö Ú Ü Á Á Á É Ü ű Ü Ö É Á Ü Ó É Ö É ű Ü Á Á Á ú Ü Ö Á É Ü Á ú Ö Ö ú Ö Á ú É É Ö É Á Á Á

Részletesebben

Ú ű Ú ű ű ű Á ű Ö Á ű ű ű ű ű ű Ö ű Á ű ű Á ű ű ű ű ű Á ű Ú Ü Ü ű ű Ü Ü Ö ű ű ű ű ű Ú Ü ű ű ű ű ű Ú Ó ű ű ű Á É ű ű ű Ű ű ű ű É Á Á Á Á Ó Ó ű Ü Ú Ú Ö Ú ű Ö Ő Ú Ú ű Ó Ő Ú Ö Ö Ő Ű É ű Ó É Á Á ű ű Ú Á É É

Részletesebben

ö ő ö Ö ö ó ő ő ő ú ö ö ő ó ü ö ö ő ő ő ő ő ö ő ö ő ó ő ö ő ő ő ú ó ő ö ó ö ő ó ö ő ő ő ó ő ő ő ő ö ö ő ö ő ó ú ö ö ő ő ó ő ő ú ő ü ő ó ö ö ő ő ő ü ö ö ő ó ó ö ő ő ö ő ö ö ö ö ő ő ő ü ű ö ö ő ő ó ö ö ö

Részletesebben

M é r é s é s s z a b á l y o z á s

M é r é s é s s z a b á l y o z á s 1. Méréstechnikai ismeretek KLÍMABERENDEZÉSEK SZABÁLYOZÁSA M é r é s é s s z a b á l y o z á s a. Mérőműszerek méréstechnikai jellemzői Pontosság: a műszer jelzésének hibája nem lehet nagyobb, mint a felső

Részletesebben

Ó Ú Ö Ú É Ö É Á ű ű ű ű ű ű ű ű Á ű Á Ú ű Ü ű ű Ü ű Ó ű ű Ú ű Ö Ö ű ű ű ű Á É Ó ű ű Ü Ö ű ű Ü Ú É ű ű ű ű É Ü Ü Ü É Ü Ü Ü Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú É ű ű ű ű É Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű Ö ű Ü ű ű ű ű É ű Ó ű ű É

Részletesebben

Á ő ő ő ö ö Ó ő ú ö Á É É ü Ö ő ö ő ő ö Ó ö Ú Ó ő ő ő ö Ö Ú Ú ő Ö ú ö ő ú ú ú Ó ö Ó Ó Ú Ú Ú Ú Ö Ó ő ő ú ő ű ü ő ö ö ö ő ü Ó Ó ő ő Ó ö Ó Ó ü ő ő Ó ő ö ő ő Ó ő ő ő Ú ö ő Ó Ó ő Ó ő Ö ő ö ő ü ü ű ö ö ö Ó ö

Részletesebben

Á É ö ö ő ő ő Ú Ü ö ö ő ő ö ú ő ö ő ö ú ü ö Ü Ó ö ö ö ö ö ő ö ú ú ö ü Ü ö ö ö ö ö ö ő ö ö ő ö ü ő ö ő ü Ü Ó Ó ö ö ő Ü Ó ö ő ő ő ő Á ő ő Ü ő ö ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő É ü É ö ö É Ó ő ő ő ő Ü É ő Ó ő ő

Részletesebben

ú Ö ó ú ó ú Ö ő ü ú ő ó ü ú ő ü ú ő ó ó ó ó Ö ő ü ü ü ü ő ú ű ü ú Ö ő ü ő ó ü ü ü ő ő ő ü ó ő ü ú ő ü ő ő ő ó ó ő ó ó ü ő ó ü ó ó ü ú ó ó ő ú Ö ó ü ó ő ó ő ó ő ó ó ü ó ó ó ó ú ő ü ó ü ú ó ő ü ó ő ő ő ü

Részletesebben

ú ú ű ú ú Ú É É Ó ű ű ü ú ü ű ü ú ú ü ü ü ú ü ú ü ü ü ü ú ű ü ü ú ű ü ü ü Á ű ű ú ű ü ü ú ű ü ű ú ü ü ü ú ű ü ü ü ű ú ü ú ü ü ü ű ű ú ü ú ű Ö ú ü ü ü ü ü ú ű Ö ü Ú É ú ú ü ü ü ü ü ü ü ü ü ú ü ú ü ú ü ü

Részletesebben

Á ú ő ú Ú ü Ö ú Á Ó ú ü ő ő ő ú Ö ú É ú ű ü É ü ú ő ő ő ú ú ü ü Ö Ö ú ő ő ű É ü ü ü ú ő ő ú ü ü ő ő ő ú ü ő Ö ű ő ü ő ü ő ő Á É ő ü ő ü ú ú ő ü ü ü ő ü ő Ó ü ü ü ü ú É ő ü ü ü ú ő ü Ó ü ü ő ú ő ő ü ü ú

Részletesebben

É É É É É Ö Á Á É Ő ű ű ű Ü ű ű ű Ú Á ű Ö ű Ú Á Ú ű Ó Ú Ú Ú Ú ű Ú Ú ű É ű ű É É É ű É É Ü ű ű É Á ű Á Á Ü Á Ü É Ú Á Ú Ó Ü Ü Ú ű ű Ú Ü Ü ű Ú É Ö ű ű Ü Ó Á Ö Ö ű Ö É É ű ű É ű ű ű Ú ű Ö É Ó ű Ú Ú Ú É Ú Ú

Részletesebben

Á Á É É É ö É Ó ú Á ú Á Á Á Á ö Á ő ű ú ö ö ú ű ú É ő ö ú ú ű ö ű ő Ú Ú ú ő ö ö ő ö ö Á ö Á ö ú ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ő ö ö ö ö ő ö Á ö ő ö ö ő ú ú ö ö ő ö ö ö ö ú ö ú ö ő ú ö ö ö ö ö ú ö ú ú ö Ú ő ű ő ö

Részletesebben

ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ő ű Ö ő Ö ő ő ő ő ő ő ő ő ü Ö ő ő ü É ő ő ü ő Ú üü ő ő Á Á É É Á ü Ú ő Ó ű ő É ő ű ő ő ő ő ő ű É Ö ű Ú Ö É ő ű ü ő ü É É É É É ő É ü ű ő ü űú ű ü ű Ú É ü ű É É É ő Ó ő ű Á ÚÚ ő ő É

Részletesebben

ö ű ö ö ö ö ü ö ö ü ö ö ö ö ö ö ű ö ü ú ö ö ö ö ű ü ü Ö ü ö ű ű ű ö ú Ü Á Á Á ö ö ú ü ú Ü ö ö ö ö ö ú Ü Ü ö ö Ü ö ü ö ú ö ü ö ü ü Ü ü ű ö ü ö Ü Ú Ü ü Ü ü Ü ú Ü ö ö ü ö ö ű ű ü ö ű Á ö ü ö ö ú ö Ü Á Ü Ő

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

ö Á É É ö ö Ö ö ű ö ő ö ő ö ú ü ö Ü ö ö ö ö ü ö ú ö ő ü ö Ú ü ü ö Ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ő ö ú ö ö ü ö ö ö ö ő ő ö ű ö ö ű ö ö ő Ü ö Ü ö ü Ü ö ö ö ú Ó ö ö ö ö ö ő ö ö ú ö ő ö ö ő ő ö ö ö ü ö ö É ö

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Á Á é é ő ö ó é é é é é ő é é é ő ő ő é ü ő ó ó ó ö ö é é ő é ő é ő ö é é é é é é é ő é ű ő é é é é é ó ő ö é ú ö é ö é é ö ő ó ő ó é ő é ő ő é ő ó ó é ő ő é é ü ő é ó é ö ő é ő é ó ő é é ő é é ő é é é

Részletesebben

Á ű Ú ÚÉ Á Á Ü Ü ű Ü Ü Ü Ú Ü Ü Ü É Ú Ü ű Ü Ü Ö ű ű Ü Ü Ü Ü Ü ű ű ű Ú ű ű Ú ű ű ű ű Á Ú É Á ű Á É Á Ú ű Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á ű Á Á Á Á Á É ű Ü ű Á ű ű ű Á ű Ú Ó Á Á ű Ú ű Ü ű Ü Á Á ű ű É

Részletesebben

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás

Részletesebben

ö ö ö ő ő ó ő ö ö ü ő Á ó ő ö ö ő ő ö ö ő ü ü ű ű ó ü ü ó ő ü ü ő Ü Ü ó ö ű ó ő ö ö ü ü ü ű ű ó ü ü ó ő ü ü ő ü Ü ó ö ö ű ö ö ü ü ű ű ó ü ü ő ő ü ü ő ü ü ö ó ó ö ö ű ó ű ű ű ű ő ö ó ű ó ö ű Ú ö Í ö ó ü

Részletesebben