Valószínűség-számítás II.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószínűség-számítás II."

Átírás

1 Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az eseménynek megfelelő rézhalmaz geometriai mértékével (pl.: hosszával, területével, térfogatával) arányos, akkor a valószínűségeket geometriai valószínűségeknek nevezzük. Megjegyzés: A geometriai valószínűség eseménytere egy geometriai alakzat, az esemény az ezen pontok egy részhalmaza, az elemi esemény pedig egy pontnak felel meg. Ezzel a módszerrel olyankor is tudunk valószínűséget meghatározni, ha az elemi események száma végtelen. DEFINÍCIÓ: (Geometriai valószínűségi mező) Ha a T eseménytér mérhető (pl.: van hossza, területe, térfogata), az eseményei mérhetőek, és valószínűségük egyenesen arányos a mértékükkel, akkor ezt az eseményteret az eseményeivel és a köztük értelmezett műveletekkel (összeadás, kivonás, szorzás, komplementer) együtt geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük. TÉTEL: Ha a T geometriai valószínűségi mező eseménytere, a rajta értelmezett mérték (pl.: hossz, terület, térfogat) μ, akkor bármely A eseményre igaz, hogy P (A) = μ (A) μ (T). DEFINÍCIÓ: (Valószínűségi változó) Ha egy valószínűségi kísérlet minden kimeneteléhez 1 1 számértéket rendelünk, akkor az így kapott függvényt valószínűségi változónak nevezzük. Jele: ξ. Megjegyzés: A valószínűségi változó egy olyan változó mennyiség, amelynek értékei a véletlentől függnek, s a függvény értelmezési tartománya az elemi események halmaza, értékkészlete pedig a való számok egy részhalmaza. Ha a ξ valószínűségi változó értékkészlete a véges x 1, x 2,, x k, vagy megszámlálhatóan végtelen x 1, x 2,, x k, sorozat, akkor diszkrét valószínűségi változóról, ha viszont egy intervallum minden értékét felveheti, akkor folytonos valószínűségi változóról beszélünk. 1

2 Ha valamely kísérlet során az A i esemény következett be, és a valószínűségi változó szerint ehhez az x i értéket rendeltük, akkor azt mondjuk, hogy a valószínűségi változó az x i értéket vette fel. Jele: ξ = x i. A ξ = x i esemény valószínűségének jele: P (ξ = x i ). DEFINÍCIÓ: (Valószínűségi változó eloszlása) Legyen az A i esemény azoknak az elemi eseményeknek az összessége, amelyekhez a ξ valószínűségi változó az x i értéket rendeli. Ekkor a P (ξ = x i ) = P (A i ) valószínűségek halmazát a ξ eloszlásának nevezzük. Megjegyzés: A valószínűségi változó eloszlása megmutatja, hogy a valószínűségi változó a lehetséges értékeit milyen valószínűséggel veszi fel. DEFINÍCIÓ: (Várható érték) Egy ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek x 1, x 2,, x n, a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig P 1, P 2,, P n, vagyis P (ξ = x i ) = P i. Ekkor a ξ valószínűségi változó várható értéke az M (ξ) = P 1 k 1 + P 2 k P n k n súlyozott számtani közép. Megjegyzés: Ha egy kísérletet nagy számban megismétlünk, akkor a ξ valószínűségi változó megfigyelt értékeinek az átlaga egy szám körül ingadozik, s ezt a számot várható értéknek nevezzük. A várható érték nem szó szerint értendő: ez az az érték, amely körül a tapasztalati értékek ingadoznak, vagyis megadja a valószínűségi változó által felvett értékek,,középpontját. Léteznek olyan valószínűségi változók, amelyeknek nincs várható érétke. TÉTEL: Ha ξ és η ugyanazon véges eseménytéren értelmezett valószínűségi változók, akkor ξ + η is valószínűségi változó, és várható értéke: M (ξ + η) = M (ξ) + M (η). DEFINÍCIÓ: (Szórás) Ha ξ valószínűségi változó, akkor ξ M (ξ) is az, és így a négyzete is. A ξ valószínűségi változó szórásnégyzete a ξ M (ξ) valószínűségi változó négyzetének várható értéke: D 2 (ξ) = M ([ξ M(ξ)] 2 ) = P 1 (k 1 M(ξ)) P n (k n M(ξ)) 2 = M (ξ 2 ) M 2 (ξ). A D (ξ) = M ([ξ M(ξ)] 2 ) - t pedig a ξ valószínűségi változó szórásának nevezzük. 2

3 Megjegyzés: A valószínűségi változó a várható értéke körül ingadozik, melynek mértékéről a szórás ad információt. A szórásnégyzet a várható értéktől való négyzetes eltérés várható értéke. TÉTEL: Ha ξ és η ugyanazon véges eseménytéren értelmezett független valószínűségi változók, akkor ξ + η is valószínűségi változó, és összegük szórásnégyzete: D 2 (ξ + η) = D 2 (ξ) + D 2 (η). DEFINÍCIÓ: (Egyenletes eloszlás) Ha a ξ valószínűségi változó minden lehetséges értékét ugyanakkora valószínűséggel veszi fel, akkor egyenletes eloszlásúnak nevezzük. Megjegyzés: Az egyenletes eloszlás a klasszikus valószínűség esete. Ha a ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei x 1, x 2,, x n, akkor várható értéke: M (ξ) = x 1 + x x n. n Ha a ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei x 1, x 2,, x n, akkor szórás négyzete: D 2 (ξ) = x x x 2 n ( x 1 + x x n ) 2. n n DEFINÍCIÓ: (Binomiális eloszlás) Legyen p = P (A) az A esemény valószínűsége, míg q = P (A) = 1 p az A esemény ellentettjének valószínűsége. A ξ valószínűségi változó binomiális eloszlású, ha lehetséges értékeit P (A k ) = P (ξ = k) = ( n k ) pk q n k valószínűséggel veszi fel (ahol k = 0; 1; ; n). Megjegyzés: Olyan esetekben binomiális eloszlású egy valószínűségi változó, amikor a kísérlet kimenetele csak kétféle lehet: az A esemény vagy annak a komplementere (pl.: visszatevéses mintavétel). Visszatevéses mintavétel: Legyen adott N elem, amelyek közül K számú elem rendelkezik valamilyen tulajdonsággal, a többi elem nem. Ha visszatevéssel kiválasztunk n számú elemet, akkor annak a valószínűsége, hogy közöttük pontosan k számú elem rendelkezik a kérdéses tulajdonsággal: P (A k ) = P (ξ = k) = ( n k ) (K N )k ( N K N )n k = ( n k ) pk q n k. 3

4 TÉTEL: Az n és p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értéke: M(ξ) = n p. TÉTEL: Az n és p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó szórása: D (ξ) = n p q. Visszatevés nélküli mintavétel: Legyen adott N elem, amelyek közül K számú elem rendelkezik valamilyen tulajdonsággal, a többi elem nem. Ha visszatevés nélkül kiválasztunk n számú elemet, akkor annak a valószínűsége, hogy közöttük pontosan k számú elem rendelkezik a kérdéses tulajdonsággal: P (A k ) = P (ξ = k) = (K K k ) (N n k ). ( N n ) DEFINÍCIÓ: (Hipergeometrikus eloszlás) A ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, ha lehetséges értékeit P (A k ) = P (ξ = k) = (K k K ) (N n k ) ( N n ) valószínűséggel veszi fel (ahol k = 0; 1; ; n). TÉTEL: Az n, K és N paraméterű hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = n K N. TÉTEL: Az n, K és N paraméterű hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó szórása: n K D (ξ) = (1 K N n ). N N N 1 4

5 Geometriai valószínűség 1. Egy 20 m 2 - es szobában leejtjük a lekvároskenyeret a padlóra. Mekkora valószínűséggel esik az 5 m 2 - es szőnyegre? Az összes eset a szoba 20 m 2 - es területe, míg a kedvező eset a szőnyeg 5 m 2 - es területe. Ezek alapján a megoldás: P = 5 20 = 0, Egy darts tábla kör alakú átmérője 45 cm. Közepén egy 4 cm átmérőjű tartomány található. Mi a valószínűsége, hogy beletalálunk középre, ha feltesszük, hogy a táblát biztosan eltaláljuk? Az összes eset a tábla területe: T ö = 22,5 2 π 1 589,63 cm 2. A kedvező eset a középső tartomány területe: T k = 2 2 π 12,56 cm 2. Ezek alapján a megoldás: P = 12, ,63 0, Egy 50 cm oldalú négyzetben egy 10 cm sugarú kör található. Mi a valószínűsége, hogy beletalálunk a körbe, ha a négyzetet biztosan eltaláljuk? Az összes eset a négyzet területe: T ö = 50 2 = cm 2. A kedvező eset a kör területe: T k = 10 2 π 314 cm 2. Ezek alapján a megoldás: P = , Válasszunk a [2; 15[ intervallumból véletlenszerűen egy valós számot! Határozd meg annak a valószínűségét, hogy a szám egész része 3 - mal osztható! Az összes eset legyen az alaphalmaz hossza, vagyis 13 egység. A kedvező esetek a [3; 4[, a [6; 7[, a [9; 10[ és a [12; 13[ intervallumok hosszának összege, vagyis 4 egység. Ezek alapján a megoldás: P = ,31. 5

6 5. Két ember megbeszéli, hogy 16 és 17 óra között találkoznak. Mennyi a valószínűsége, hogy egyikük sem vár 10 percnél többet? Jelöljük x - szel és y nal, hogy a két ember mennyi perccel érkezik 16 óra után a helyszínre. Ekkor felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: x y < 10. Hagyjuk el az abszolútértéket a következőképpen: 10 < x y < 10. Rendezzük az egyenlőtlenséget a következőképpen: y < x + 10 és y > x 10. Ábrázoljuk a kapott ponthalmazokat közös koordináta - rendszerben: Az összes eset a piros négyzet területe: T ö = 60 2 = terület egység. A kedvező eset a zöld síkidom területe: T k = = terület egység. Ezek alapján a megoldás: P = ,31. 6

7 6. Anita és Csilla egy napon vásárolnak ugyanabban a boltban. A bolt 10 órától 20 óráig van nyitva, s ők 2 órát töltenek el vásárlással. Mennyi a valószínűsége, hogy egyszerre bent lesznek? Jelöljük x - szel Anita érkezési idejét, y - nal Csilla érkezési idejét. Ekkor felírhatjuk a következő egyenlőtlenség: x y < 2. Hagyjuk el az abszolútértéket a következőképpen: 2 < x y < 2. Rendezzük az egyenlőtlenséget a következőképpen: y < x + 2 és y > x 2. Ábrázoljuk a kapott ponthalmazokat közös koordináta - rendszerben: Az összes eset a piros négyzet területe: T ö = 8 2 = 64 terület egység. A kedvező eset a zöld síkidom területe: T k = = 28 terület egység. Ezek alapján a megoldás: P = ,44. 7

8 7. Zsuzsa minden reggel fél 9 és 9 óra között véletlenszerűen érkezik a buszmegállóba. Neki két busz is megfelel, az egyik 15, a másik 20 percenként indul 5 órától kezdve. Mennyi a valószínűsége, hogy nem kell 5 percnél többet várnia? Ábrázoljuk Zsuzsi érkezését egy szakasszal, majd jelöljük be rajta a buszok érkezését. Az összes eset a teljes szakasz hossza, vagyis 30 perc. A kedvező eset a zöld szakaszok hosszának összege, vagyis 3 5 = 15 perc. Ezek alapján a megoldás: P = = 0,5. 8. A koordináta rendszerben egy pontot véletlenszerűen választunk abból a téglalapból, amelynek csúcsai (0; 0), (2; 0), (2; 3) és (0; 3). Mi a valószínűsége, hogy a pont x koordinátája kisebb, mint az y koordinátája? Azon pontok, melyek x koordinátája kisebb, mint az y koordinátája, az y = x egyenes felett helyezkednek el. Ábrázoljuk koordináta rendszerben a feltételnek megfelelő pontokat. Az összes eset a téglalap területe: T ö = 2 3 = 6 terület egység. A kedvező eset a zöld síkidom területe: T k = = 4 terület egység. Ezek alapján a megoldás: P = 4 6 0,

9 9. Véletlenszerűen választunk két 0 és 1 közé eső számot. Mi a valószínűsége, hogy összegük legfeljebb 1? Legyen a két választott szám x és y. Ekkor felírhatjuk a következő egyenlőtlenség: x + y 1. Rendezzük az egyenlőtlenséget a következőképpen: y 1 x. Ábrázoljuk a kapott ponthalmazokat közös koordináta - rendszerben: Az összes eset a négyzet területe: T ö = 1 terület egység. A kedvező eset a zöld síkidom területe: T k = = 0,5 terület egység. Ezek alapján a megoldás: P = 0,5 1 = 0, Egy pálcát véletlenszerűen kettétörünk. Mi a valószínűsége, hogy a töréspont közelebb lesz a pálca valamelyik végéhez, mint a középpontjához? Ábrázoljuk a pálcát egy szakasszal, majd bontsuk a szakaszt 4 egyenlő részre. Az összes eset a pálca teljes hossza, vagyis 4 egység. A kedvező eset a zöld szakaszok hosszának összege, vagyis 2 egység. Ezek alapján a megoldás: P = 2 4 = 0,5. 9

10 11. Egy 1 egység hosszúságú pálcát véletlenszerűen három darabra törünk. Mennyi a valószínűsége, hogy a darabokból háromszög állítható össze? Legyen az egységnyi AB szakasz két osztópontja C és D, továbbá AC = x és AD = y. Ekkor CD = y x és DB = 1 y. Ahhoz, hogy a felosztással keletkezett szakaszokból háromszög legyen szerkeszthető, teljesülnie kell a háromszög egyenlőtlenségnek. Ezek alapján a következő egyenlőtlenségek adódnak: 1 y < x + y x y > 1 2 x < y x + 1 y x < 1 2 y x < x + 1 y y < x Ábrázoljuk a kapott ponthalmazokat közös koordináta - rendszerben: Az összes eset a piros négyzet területe: T ö = 1 1 = 0,5 terület egység. A kedvező eset a zöld síkidom területe: T k = Ezek alapján a megoldás: P = 0,125 0,5 = 0, ,5 0, = 0,125 terület egység.

11 Valószínűségi változó eloszlása, várható értéke, szórása 1. Három pénzérmével dobunk egymás után. Legyen a ξ valószínűségi változó értékei azon pénzérmék száma, melyekkel fejet dobunk. Adjuk mega valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását! Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 0) = 1 8 Annak a valószínűsége, hogy nem lesz fej a dobások között. P (ξ = 1) = 3 8 Annak a valószínűsége, hogy 1 darab fej lesz a dobások között. P (ξ = 2) = 3 8 Annak a valószínűsége, hogy 2 darab fej lesz a dobások között. P (ξ = 3) = 1 8 Annak a valószínűsége, hogy 3 darab fej lesz a dobások között. A ξ várható értéke: M (ξ) = = 1,5. A ξ szórása: D (ξ) = 1 8 (0 1,5) (1 1,5) (2 1,5) (3 1,5)2 0, Kockával dobva, határozd meg a dobott szám értékét felvevő valószínűségi változó várható értékét és szórását! Legyen ξ az a valószínűségi változó, amely megmutatja, hogy mennyi a dobott szám értéke. Bármelyik szám dobásának a valószínűsége: 1 6. A ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = = 3,5. A ξ valószínűségi változó szórása: D (ξ) = 1 6 (1 3,5) (2 3,5) (3 3,5) (4 3,5) (5 3,5) (6 3,5)2 1,71 11

12 3. Két kockával dobunk, és a dobott számokat összeadjuk. Határozd meg az összeg várható értékét! Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy mennyi a kidobott számok összege. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 2) = 1 36 P (ξ = 3) = 2 36 P (ξ = 4) = 3 36 P (ξ = 5) = 4 36 P (ξ = 6) = 5 36 P (ξ = 7) = 6 36 P (ξ = 8) = 5 36 P (ξ = 9) = 4 36 P (ξ = 10) = 3 36 P (ξ = 11) = 2 36 P (ξ = 12) = 1 36 A ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = = Egy csomag magyar kártyából kiosztunk egyszerre 6 lapot. Mennyi a 6 kiosztott lap közt lévő királyok számának várható értéke? Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy mennyi a kihúzott királyok száma. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 0) = (28 6 ) P (ξ = 1) = ( 4 ( 32 6 ) 1 ) (28 5 ) ( 32 6 ) P (ξ = 2) = ( 4 2 ) (28 4 ) ( 32 6 ) P (ξ = 3) = (4 3 ) (28 3 ) ( 32 P (ξ = 4) = ( 4 6 ) 4 ) (28 2 ) ( 32 6 ) P (ξ = 5) = 0 P (ξ = 6) = 0 A ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = (28 6 ) ( ( 4 6 ) 1 ) (28 5 ) ( 32 6 ) 1 + ( 4 2 ) (28 4 ) ( 32 6 ) 2 + ( 4 3 ) (28 3 ) ( ) 3 + ( 4 4 ) (28 2 ) ( 32 6 ) = 0,75.

13 5. Azonos fajtájú hűtőgépek X élettartama véletlentől függő valószínűségi változó. Az ellenőrzés során azt tapasztalták, hogy a 6 éves élettartamúak aránya 5 % körül, a 7 éves élettartamúak aránya 30 % körül, a 8 éves élettartamúak aránya 45 % körül, a 9 éves élettartamúak aránya 10 % körül, a 10 éves élettartamúak aránya 10 % körül ingadozik. Mekkora a hűtőgépek élettartamának várható értéke, szórása? Az élettartam várható értéke: M (X) = = 7,9 év Az élettartam szórása: D (X) = (6 7,9) (7 7,9) (8 7,9) (9 7,9) (9 7,9)2 0, Egy árukészlet ötöde hibás. Találomra kiválasztunk 4 darabot úgy, hogy a kihúzott árut visszatesszük, mielőtt a következőt kihúznánk. A ξ valószínűségi változó legyen a kiválasztott hibás darabok száma. Írd fel a valószínűségi változó eloszlását és számítsd ki a várható értékét, illetve szórását! Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 0) = ( 4 0 ) (1 5 )0 ( 4 5 )4 = P (ξ = 1) = ( 4 1 ) (1 5 )1 ( 4 5 )3 = P (ξ = 2) = ( 4 2 ) (1 5 )2 ( 4 5 )2 = P (ξ = 3) = ( 4 3 ) (1 5 )3 ( 4 5 )1 = P (ξ = 4) = ( 4 4 ) (1 5 )4 ( 4 5 )0 = A ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = = 0,8. A ξ valószínűségi változó szórása: D (ξ) = (0 0,8) (1 0,8) (2 0,8) (3 0,8) (4 0,8)2 = 0,8. 13

14 7. Legyen adott egy 20 cm oldalú négyzet alakú céltábla a közepén egy 5 cm sugarú körrel. Ha véletlenszerűen lövünk, s mindig a céltáblába találunk, akkor 10 lövés esetén mennyi a lövések várható értéke és szórása? Annak a valószínűsége, hogy a körbe találunk: p = 52 π ,196. Annak a valószínűsége, hogy a körön kívülre találunk: q = 1 0,196 = 0,804. Legyen a ξ valószínűségi változó annak az értéke, hogy hányszor találunk a körbe a 10 lövésből. A ξ valószínűségi változó binomiális eloszlású. A ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = 10 0,196 = 1,96. A ξ valószínűségi változó szórása: D (ξ) = 10 0,196 0,804 1, Kati és Pali egy szabályos dobókockával játszanak. Kati nyer, ha 2 est, 3 ast, 5 öst, vagy 6 ost dobnak, Peti nyer, ha 1 est, vagy 4 est dobnak. Ha Kati nyer, akkor Pali fizet neki 3 forintot, ha Pali nyer, akkor Kati fizet neki 4 forintot. Kinek előnyösebb a játék? Legyen a ξ valószínűségi változó annak az értéke, hogy Katinak mennyi a dobás utáni pénze. Legyen a η valószínűségi változó annak az értéke, hogy Palinak mennyi a dobás utáni pénze. Számítsuk ki a ξ és a η lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 3) = 4 6 P (ξ = 4) = 2 6 P (η = 4) = 2 6 P (η = 3) = 4 6 Kati nyereményének várható értéke: M (ξ) = ( 4) = 4 6. Pali nyereményének várható értéke: M (η) = ( 3) = 4 6. Ezek alapján Kati nagyobb eséllyel nyer a játék során. 14

15 9. A rulettben 37 számra lehet tippelni 0 36 ig. Ha eltaláltuk a számot, a tét 36 szorosát kapjuk. Nyerünk, vagy veszítünk, ha sokáig játszunk? Ha eltaláljuk a számot, akkor a nyereség 36 1 = 35 Ft. Ha nem találjuk el a számot, akkor elveszítjük az 1 Ft ot. A nyereségünk várható értéke: M (ξ) = ( 1) = 1 = 0, Ezek alapján, ha sokáig játszunk, akkor játékonként átlagosan a tét 2,7 % - át elveszítjük. 10. Egy lóversenyen három ló győzelmére lehet fogadni. Tornádó győzelme esetén a tét másfélszeresét fizeti a fogadóiroda. Villám győzelme esetén a tízszeresét, Szélvész győzelme esetén a háromszorosát. Titkos belső információ szerint Tornádó 60 % eséllyel nyer, Villám 10 % eséllyel, Szélvész pedig 30 % eséllyel. Melyik lóra érdemes fogadni és mennyi lesz a nyeremény várható értéke? Tegyük fel, hogy 1 Ft tal fogadunk az egyik lóra. Ha Tornádóra fogadunk és ő győz, akkor a nyereség 1 1,5 1 = 0,5 Ft. Ha Villámra fogadunk és ő győz, akkor a nyereség = 9 Ft. Ha Szélvészre fogadunk és ő győz, akkor a nyereség = 2 Ft. Számítsuk ki, hogy az egyes lovakra fogadva mennyi a nyereség várható értéke. Tornádó esetén a várható érték: M (ξ) = 0,6 0,5 + 0,1 ( 1) + 0,3 ( 1) = 0,1. Villám esetén a várható érték: M (ξ) = 0, ,6 ( 1) + 0,3 ( 1) = 0. Szélvész esetén a várható érték: M (ξ) = 0, ,6 ( 1) + 0,1 ( 1) = 0,1. Ezek alapján a futamon Villámra érdemes fogadni. 15

16 11. Egy kaszinó tulaja a következő játékot vezeti be. Három különböző színű kockával dobnak és az összeget nyeri a játékos, ha legalább 2 kockán 6 - ost dobott. a) Mekkora az esély nyerésre? b) Ráfizet - e a tulajdonos, ha a játékosnak egy játékért 1 eurót kell fizetnie (vagyis mennyi a játékban a nyeremény várható értéke)? a) Az összes eset száma: 6 3 = 216. A kedvező eseteknél a következő lehetőségek adódnak: 3 darab 6 - ost dobunk, amit 1 - féleképpen tehetünk meg; 2 darab 6 - ost és egy másik számot dobunk, ekkor először ki kell választanunk, hogy melyik két dobókockával dobunk 6 - ost, majd ezután azt, hogy a harmadikon melyik számot dobtuk az 5 - ből, ezt ( 3 2 ) (5 ) = 15 - féleképpen tehetünk meg. 1 Ebből a kedvező esetek száma: = 16. Ezek alapján a megoldás: P = ,074. b) Legyen ξ az a valószínűségi változó, amely megmutatja, hogy mennyit nyerünk a dobással. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 13) = P (ξ = 14) = P (ξ = 15) = P (ξ = 16) = P (ξ = 17) = P (ξ = 18) = P (ξ = 0) = A nyeremény várható értéke: M (ξ) = , Ezek alapján a nyeremény várható értéke több mint 1 euró, vagyis így a tulajdonos ráfizet. 16

17 12. Egy játékban két kockával dobunk, és a dobott számok szorzatát kapjuk meg nyereményként, illetve ezt az összeget csökkenti a játék díja. a) Határozd meg a nyeremény eloszlását! b) Hogyan kell a játék díját meghatározni, ha azt akarjuk, hogy a játék igazságos legyen (azaz a haszon várható értéke 0 legyen)? a) Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy mennyit nyerünk a dobással. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 1) = 1 36 P (ξ = 2) = 2 36 P (ξ = 3) = 2 36 P (ξ = 4) = 3 36 P (ξ = 5) = 2 36 P (ξ = 6) = 4 36 P (ξ = 8) = 2 36 P (ξ = 9) = 1 36 P (ξ = 10) = 2 36 P (ξ = 12) = 4 36 P (ξ = 15) = 2 36 P (ξ = 16) = 1 36 P (ξ = 18) = 2 36 P (ξ = 20) = 2 36 P (ξ = 24) = 2 36 P (ξ = 25) = 1 36 P (ξ = 30) = 2 36 P (ξ = 36) = 1 36 b) Legyen a játék díja x. Ekkor a haszon várható értéke: M (ξ x) = 1 (1 x) + 2 (2 x) + 2 (3 x) + 3 (4 x) + 2 (5 x) (6 x) + 2 (8 x) + 1 (9 x) + 2 (10 x) + 4 (12 x) (15 x) + 1 (16 x) + 2 (18 x) + 2 (20 x) + 2 (24 x) (25 x) + 2 (30 x) + 1 (36 x) = 12,25 x Mivel a várható érték 0, így x = 12,25. Ezek alapján akkor igazságos a játék, ha a díja 12,25 Ft. 17

18 Binomiális-, hipergeometrikus eloszlás 1. Egy áruházban 15 eladó van, 3 ért szakszerűen a dolgokhoz. Az egyik napon 8 vevő jött és találomra kértek segítséget 1 1 eladótól. Mi a valószínűsége, hogy a 8 vevő között pontosan 5 volt, aki szakértőtől kért segítséget? Az összes eset száma: 15 2 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt az 5 vevőt, akik szakértőtől kértek segítséget, amit ( 8 ) = 56 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 3 szakértőből kell 5 választanunk 5 - öt és a 12 további eladóból pedig 3 - at, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = ,0092. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy a vevők mennyi szakértőtől kértek segítséget. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 5) = ( 8 5 ) ( 3 15 )5 ( )3 0, Egy 10 gyerekes családban mennyi a valószínűsége, hogy 3 fiú lesz a gyerekek között? Az összes eset száma: 2 10 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt, hogy melyik 3 gyerek lesz fiú, amit ( 10 ) = 120 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a fiúkból kell választanunk 3 - at és a 3 lányokból pedig 7 - et, s ezt = 1 - féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = 120. Ezek alapján a megoldás: P = ,12. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy a 10 gyerek közül mennyi lesz fiú. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 3) = ( 10 3 ) (1 2 )3 ( 1 2 )7 0,12. 18

19 3. Egy dobozban 30 termékből 8 hibás. Egyet kiválasztunk, s megvizsgáljuk selejtes - e, majd visszatesszük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 5 - öt kiválasztva pontosan 2 selejtes lesz közöttük? Az összes eset száma: 30 5 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt, hogy melyik 2 húzásnál lesz hibás, amit ( 5 ) = 10 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 8 selejtből kell választanunk 2 - t és 2 a 22 hibátlanból pedig 3 - at, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = ,28. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 választott termékből mennyi lesz selejtes. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 2) = ( 5 2 ) ( 8 30 )2 ( )3 0, Egy urnában van 10 golyó, melyből 7 darab kék és 3 darab piros. Mi a valószínűsége, hogy visszatevéssel 4 - szer kihúzva 1 1 golyót, pontosan 3 kék lesz közöttük? Az összes eset száma: 10 4 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt, hogy melyik 3 húzásnál lesz kék, amit ( 4 ) = 4 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 7 kékből kell választanunk 3 - at és a 3 3 pirosból pedig 1 - et, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = ,41. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy a 4 kihúzott golyó között mennyi lesz kék színű. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 3) = ( 4 3 ) ( 7 10 )3 ( 3 10 )7 0,41. 19

20 5. Egyszerre dobunk fel 5 szabályos dobókockát. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan két darab 3 - mal osztható számot dobunk? Az összes eset száma: 6 5 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk melyik két kockával dobunk 3 - mal osztható számot, amit ( 5 ) = 10 - féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 2 darab 3 - mal 2 osztható számból kell választanunk 2 - t és a többi számból pedig 3 - at, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = ,33. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 dobásból mennyi lesz 3 - mal osztható. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 2) = ( 5 2 ) (2 6 )2 ( 4 6 )3 0, Egy kaszinóban magyar kártyával játszanak egy szerencsejátékot. A játékos a 32 lapból véletlenszerűen kiválaszt egyet, annak színét feljegyzik, majd a lapot visszateszik a pakliba, s megkeverik a paklit. Ezután még 4 - szer húz hasonló módon. Ha az 5 feljegyzett szín között legalább kétszer szerepel a zöld, akkor a játékos nyert, ellenkező esetben veszített. Mekkora a nyerés valószínűsége? Először számítsuk ki az ellentett esemény valószínűségét, vagyis azt, amikor a játékos nem húz legalább két zöld lapot. Az összes eset száma: 32 5 = A kedvező esetek a következők lehetnek: nem húz zöldet, amit 24 5 = féleképpen tehet meg, illetve 1 zöldet húz, amit ( 5 1 ) = féleképpen tehet meg. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P (A) = 1 P (A) = ,37. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 kihúzott kártyából mennyi lesz zöld. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. 20

21 P (ξ = 2) = ( 5 2 ) ( 8 32 )2 ( )3 0,2637 P (ξ = 3) = ( 5 3 ) ( 8 32 )3 ( )2 0,0879 P (ξ = 4) = ( 5 4 ) ( 8 32 )4 ( )1 0,0146 P (ξ = 5) = ( 5 5 ) ( 8 32 )5 ( )0 0,001 Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (A) = 0, , , ,001 = 0, Egy urnában van 10 golyó, melyből 7 kék és 3 piros. Mi a valószínűsége, hogy ha kiveszünk 5 - öt visszatevés nélkül, akkor pontosan 4 kék lesz közte? Az összes eset száma: ( 10 5 ) = 252. A kedvező esetek száma: ( 7 4 ) (3 1 ) = 105. Ezek alapján a megoldás: P = ,42. A megoldáshoz használhatjuk a hipergeometrikus eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 kihúzott golyóból mennyi lesz kék. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 4) = (7 4 ) (3 1 ) ( 10 5 ) 0, Egy farsangon 20 emberből 8 nő. Kisorsolnak tombolán 5 embert úgy, hogy mindenkit csak egyszer húznak ki. Mi a valószínűsége, hogy 3 nőt sorsolnak ki? Az összes eset száma: ( 20 ) = A kedvező esetek száma: ( 8 3 ) (12 2 ) = Ezek alapján a megoldás: P = ,24. A megoldáshoz használhatjuk a hipergeometrikus eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 kihúzott emberből mennyi lesz nő. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 3) = (8 3 ) (12 2 ) ( 20 5 ) 0,24. 21

22 9. Egy 25 fős osztályban 8 tanuló jeles matematikából. Kisorsolunk egy felmérésben 5 diákot. Mennyi a valószínűsége, hogy közöttük 2 jeles lesz, ha csak egyszer sorsolhatjuk ki őket? Az összes eset száma: ( 25 ) = A kedvező esetek száma: ( 8 2 ) (17 ) = Ezek alapján a megoldás: P = ,018. A megoldáshoz használhatjuk a hipergeometrikus eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 kisorsolt diákból mennyi lesz jeles. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 2) = (8 2 ) (17 3 ) ( 25 5 ) 0, Egy üzemben naponta 100 öltönyt varrnak, melyből 80 fekete és 20 szürke. Minden nap 10 selejtes készül, s egy ellenőrzés során 50 öltönyt vizsgálnak át. Ha az 50 - ből csak 2 selejtes, akkor a teljes árut megveszi az öltönyökkel kereskedő cég, de ha ennél több, akkor nem vásárolja meg a készletet. Mennyi a valószínűsége, hogy egy ilyen vizsgálat után megkötik az üzletet? Az összes eset száma: ( ). A kedvező esetek száma: ( 10 0 ) (90 50 ) + (10 1 ) (90 49 ) + (10 2 ) (90 48 ). Ezek alapján a megoldás: P = (10 0 ) (90 50 ) + (10 1 ) (90 49 ) + (10 2 ) (90 48 ) ( ) 0,092. A megoldáshoz használhatjuk a hipergeometrikus eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 50 kiválasztott öltönyből mennyi lesz selejtes. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 0) = (10 0 ) (90 50 ) ( 100 P (ξ = 1) = ( ) 1 ) (90 49 ) ( 100 Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P = (10 0 ) (90 50 ) + ( 10 ( ) 50 ) P (ξ = 2) = ( 1 ) (90 49 ) + ( ( ) 10 2 ) (90 48 ) ( ) (90 48 ) ( ) 50 ) 0,

23 11. Egy pénztárcában 10 darab 1 Ft - os és 8 darab 2 Ft - os érme van. a) Kiválasztunk közülük 5 öt visszatevéssel. Mi a valószínűsége, hogy az első két húzáson 1 Ft - ost, a további húzásokon pedig 2 Ft - ost húzunk? b) Kiválasztunk közülük 5 öt úgy, hogy nem tesszük vissza a már kihúzottakat. Mi a valószínűsége, hogy lesz köztük legalább 2 darab 1 Ft - os érme? a) Az összes eset száma: 18 5 = A kedvező esetek számánál ezúttal meg van határozva előre a különböző pénzérmék helye, így csak ki kell választanunk az 1 Ft - osokból 2 t, a 2 Ft - osokból pedig 3 - at, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ezek alapján a megoldás: P = ,0027. b) Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 kiválasztott érméből mennyi lesz 1 Ft - os. Számítsuk ki az ellentett eseménynek megfelelő ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 0) = (10 0 ) (8 5 ) ( 18 P (ξ = 1) = ( 10 5 ) 1 ) ( 8 4 ) ( 18 5 ) Ezek alapján a megoldás: P (A) = 1 P (A) = 1 ( (10 0 ) (8 5 ) ( 18 + ( 10 1 ) ( 8 4 ) ) 5 ) ( 18 0,91. 5 ) 12. Egy futball bajnokság mérkőzését a Falábúak és a Kurtalábúak csapata játssza. A hosszabbítás után is döntetlen az eredmény, ezért 5 5 tizenegyest rúgnak, hogy eldöntsék, ki lesz a bajnok. Ha a Falábúak 80 %, a Kurtalábúak 85 % eséllyel rúgnak be egy tizenegyest az ellenfél kapusának, akkor mi a valószínűsége, hogy a Falábúak 5 3 ra győznek? (A tizenegyesrúgásokat akkor is folytatják, ha már biztos az egyik csapat győzelme.) Legyen az A esemény az, hogy a Falábúak minden tizenegyest berúgnak, a B esemény pedig az, hogy a Kurtalábúak 3 tizenegyest berúgnak. A két esemény független egymástól, így a keresett valószínűség: P (A B) = P (A) P(B). Az A esemény valószínűsége: P (A) = 0,8 5 0,33. A B esemény valószínűsége: P (B) = ( 5 3 ) 0,853 0,15 2 0,14. Ezek alapján a megoldás: P (A B) = 0,33 0,14 = 0,

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal Matematika A 2. évfolyam Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal 35. modul Készítette: Szitányi Judit 2 modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 240 perc Név E-mail cím SG-s

Részletesebben

Halmazelmélet alapfogalmai

Halmazelmélet alapfogalmai 1. Az A halmaz elemei a kétjegyű négyzetszámok. Adja meg az A halmaz elemeit felsorolással! 2. Adott három halmaz: A = {1; 3; 5; 7; 9}; B = {3; 5; 7}; C = {5;10;15} Ábrázolja Venn-diagrammal az adott halmazokat!

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Név:. Dátum: 2013... 01a-1

Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Ezeket a szorzásokat a fejben, szorzótábla nélkül végezze el! 1. Mennyi 3 és 3 szorzata?.. 2. Mennyi 4 és 3 szorzata?.. 3. Mennyi 4 és 4 szorzata?.. 4. Mennyi 5 és 3 szorzata?..

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát. 1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)

Részletesebben

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér.

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Tudnivaló I. Egységtörtek Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Ezt röviden így írhatjuk: A nevező megmutatja, hogy az egységet hány egyenlő részre vágjuk. A

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Az első oldalon 1-gyel kezdve egyesével beszámozták egy könyv összes oldalát. Hány oldalas ez a könyv, ha ehhez 55 számjegyet használtak fel? Az első 9 oldalhoz 9 számjegyet használtak, a további

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA. 5. modul

FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA. 5. modul Matematika A 4. évfolyam FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA 5. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 5. modul FEJSZÁMOLÁS

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. október 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály

Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály 2010. november 26. 1. feladat Ez a különleges óra a pontos időt mutatja. Az első sor ötórás intervallumokat számol (minden ötóránként vált szürkére), a második

Részletesebben

GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC

GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC Bálint Péter - Garay Barna - Kiss Márton - Lóczi Lajos - Nagy Katalin - Nágel Árpád GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC 211 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor, konzulensek

Részletesebben

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint)

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) (KSZÉV Minta (2) 2004.05/II/16) a) Egy számtani sorozat első tagja 9, különbsége pedig 4. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGI JÁTÉKOK. 44. modul

VALÓSZÍNŰSÉGI JÁTÉKOK. 44. modul Matematika A 3. évfolyam VALÓSZÍNŰSÉGI JÁTÉKOK 44. modul Készítette: SZITÁNYI JUDIT matematika A 3. ÉVFOLYAM 44. modul VALÓSZÍNŰSÉGI JÁTÉKOK MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

SZÁMLÁLÁS, SZÁMOLÁS ESZKÖZÖKKEL

SZÁMLÁLÁS, SZÁMOLÁS ESZKÖZÖKKEL SZÁMLÁLÁS, SZÁMOLÁS ESZKÖZÖKKEL Készítette: Denke Antalné 1 A modul célja A számfogalom formálása; A számolás tudatossá alakítása; Egy számolási mód alapos megértetése, kidolgozás; Összefüggéslátás fejlesztése

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen

Részletesebben

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Matematika A 4. évfolyam MŰVELETi tulajdonságok, a műveletek közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 21. modul Műveleti tulajdonságok, a műveletek

Részletesebben

MATEMATIKA C 8. évfolyam 6. modul ATTÓL FÜGG?

MATEMATIKA C 8. évfolyam 6. modul ATTÓL FÜGG? MATEMATIKA C 8. évfolyam 6. modul ATTÓL FÜGG? Készítette: Surányi Szabolcs MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 6. MODUL: ATTÓL FÜGG? TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA A 11. évfolyam 1. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás

MATEMATIKA A 11. évfolyam 1. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás MATEMATIKA A. évfolyam. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Készítette: Lövey Éva Matematika A. évfolyam. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2008. október 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím SG-s csoport Pontszám 2016. január 16. II. Időtartam: 135 perc STUDIUM

Részletesebben

ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN. 9. modul

ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN. 9. modul Matematika A 4. évfolyam ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN 9. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 9. modul ÍRÁSBELI

Részletesebben

Twister - Egy modern ügyességi játék, ami fejleszti az egyensúlyérzéket és a mozgáskoordinációt.

Twister - Egy modern ügyességi játék, ami fejleszti az egyensúlyérzéket és a mozgáskoordinációt. Twister Egy modern ügyességi játék, ami fejleszti az egyensúlyérzéket és a mozgáskoordinációt. Készítettem két új társasjátékot eská a családnak. Leírom a játékokat, a megvalósításukat. Az egyik a Twister.

Részletesebben

ÍRÁSBELI KIVONÁS. 31. modul. Készítette: KONRÁD ÁGNES

ÍRÁSBELI KIVONÁS. 31. modul. Készítette: KONRÁD ÁGNES Matematika A 3. évfolyam ÍRÁSBELI KIVONÁS 31. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 3. ÉVFOLYAM 31. modul ÍRÁSBELI KIVONÁS MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria 1) Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm. Hány liter levegő van benne? Válaszát indokolja! 2) Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

V. Matematikai Tehetségnap 2014. október 11. IV. osztály

V. Matematikai Tehetségnap 2014. október 11. IV. osztály V. Matematikai Tehetségnap 014. október 11. IV. osztály Munkaid : 45 perc. Minden feladatnak pontosan egy helyes válasza van. Minden helyes válasz 1 pontot ér. Megválaszolatlanul hagyott kérdésre, illetve

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY Heti 4 óra Évi 148 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató 1 / 5 I. Az általános iskolai ismeretek ismétlése 1. óra: Műveletek

Részletesebben

A játékról. A játék elemei. Előkészítés és a játék elemeinek magyarázata

A játékról. A játék elemei. Előkészítés és a játék elemeinek magyarázata A játékról Le Havre egy francia város, melyben Franciaország második legnagyobb kikötője található (Marseille után). A város nem csak mérete miatt figyelemre méltó, hanem szokatlan neve miatt is. A holland

Részletesebben

Backgammon. A következő ábrán látható a tábla helyes bábuk felrakása, illetve a területek elnevezései.

Backgammon. A következő ábrán látható a tábla helyes bábuk felrakása, illetve a területek elnevezései. Backgammon Kellékek: 1 db Backgammon tábla 4 db hagyományos hatoldalú dobókocka (de 2 db is elég) 1 db duplázó kocka (oldalain: 2, 4, 8, 16, 32, 64 számok szerepelnek) 15-15 db világos és sötét korong

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy okresného kola maďarský preklad 35. ročník, školský rok 2013/2014 KATEGÓRIA P 3

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy okresného kola maďarský preklad 35. ročník, školský rok 2013/2014 KATEGÓRIA P 3 KATEGÓRIA P 3 1. Misi két csomag rágógumiért 4 eurót fizetne. Írjátok le, hogy hány eurót fog Misi fizetni, ha mindhárom testvérének egy-egy csomag, saját magának pedig két csomag rágógumit vett! 2. Írjátok

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz

Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz 1. Kombinatorikus valószín ség 1.1. Két szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószín sége, hogy a. két azonos számot dobunk; b. két különböz

Részletesebben

Kétszemélyes négyes sor játék

Kétszemélyes négyes sor játék Kétszemélyes négyes sor játék segítségével lehetővé kell tenni, hogy két ember a kliens program egy-egy példányát használva négyes sor játékot játsszon egymással a szerveren keresztül. Játékszabályok:

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

A bemutató órák feladatai

A bemutató órák feladatai A bemutató órák feladatai 1, A dobozban van 7 narancsos, 4 epres, 3 szilvás, 2 banános cukorka. Becsukott szemmel hányat kell kivenned ahhoz, hogy biztosan legyen a) 1 db epres ízű b) 1 db narancsos ízű

Részletesebben

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor Szakközépiskola 9. évfolyam I/1 gyakorló feladatsor 1. Adott az A={1,,3,4,5,6} és a B={1,3,5,7,9} halmaz. Adjuk meg elemeinek felsorolásával az AUB és az A\B halmazokat!. Számítsuk ki a 40 és 560 legnagyobb

Részletesebben

13. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert!

13. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert! A 13. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert! x y 600 x 10 y 5 600 12 pont írásbeli vizsga, II. összetev 4 / 20 2008. október 21. 14. a) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f x

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN

ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN SINKOVICZ PÉTER (PhD hallgató) MTA WIGNER FIZIKAI KUTATÓKÖZPONT (2013) a TARTALOMJEGYZÉK A VALÓSÁG STATISZTIKAI LEKÉPEZÉSE 1. Alapfogalmak

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2013. május 7. 8:00. Időtartam: 45 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2013. május 7. 8:00. Időtartam: 45 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2013. május 7. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

natúr, kék, zöld, és narancs, valamint 8 db szürke, semleges figura) kék, zöld, és narancs, valamint 10 db szürke, semleges kocka)

natúr, kék, zöld, és narancs, valamint 8 db szürke, semleges figura) kék, zöld, és narancs, valamint 10 db szürke, semleges kocka) Az 1200 esztendőben fektették le a troyes-i katedrális alapjait, de befejezésére csak 400 évvel később, számos esemény bekövetkezte után került sor A játékban négy évszázadot barangolhatsz a történelemben,

Részletesebben

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Ítéletalkotás, döntés képességének fejlesztése Rezner-Szabó Zsuzsanna Matematikatanár, MA Eszterházy Károly Főiskola 1. feladat Építs piramist!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon

Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon Matematika A 2. évfolyam Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon 12. modul Készítette: Bóta Mária Kőkúti Ágnes matematika A 2. évfolyam 12 modul Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon modulleírás

Részletesebben

BOHNAPARTE. Szababság, egyenlőség, testvériség!

BOHNAPARTE. Szababság, egyenlőség, testvériség! BOHNAPARTE Szababság, egyenlőség, testvériség! Hanno Girke / Uwe Rosenberg 3-6 játékos részére, 12 éves kortól, játékidő kb. 90 perc A játék tartozékai 72 jelző, minden színből 12 6 tábor (minden színből

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. Bevezetés

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. Bevezetés VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Bevezetés A világban való vizsgálódásunk során alapvetően kétféle jelenséggel találkozhatunk. Az egyik az, amikor előre meg tudjuk mondani, hogy mi fog történni. Például, ha egy alma

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

VI.9. KÖRÖK. A feladatsor jellemzői

VI.9. KÖRÖK. A feladatsor jellemzői VI.9. KÖRÖK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői A kör területe, arányok változatlansága sokszorozás esetén. Előzmények Cél A kör részeinek területe egyszerű esetben, szimmetriák, a négyzet és átlójának

Részletesebben

Összetevők. Fejlesztés és szabálykönyv: Viktor Kobilke Illusztrációk és grafika: Dennis Lohausen

Összetevők. Fejlesztés és szabálykönyv: Viktor Kobilke Illusztrációk és grafika: Dennis Lohausen Fejlesztés és szabálykönyv: Viktor Kobilke Illusztrációk és grafika: Dennis Lohausen Az élet (és halál) játéka, szerzők Inka és Markus Brand 2-4 játékos részére 12 éves kortól Egy teljesen új fejezet nyílik

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 13. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben