Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz

Átírás

1 Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz 1. Kombinatorikus valószín ség 1.1. Két szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószín sége, hogy a. két azonos számot dobunk; b. két különböz számot dobunk; c. a dobott számok összege 7; d. valamelyik kockával 6-ost dobunk; e. pontosan az egyik kockával dobunk 6-ost? 1.2. Egy ételautomatából négyféle szendvics (sonkás, szalámis, tonhalas és vegetáriánus) illetve háromféle innivaló (tej, kakaó és tea) vásárolható. Anna a szendvicsek közül a sonkásat és a szalámisat, az italok közül pedig a kakaót szereti. Anna véletlenszer en vásárol egy ételt és egy italt a gépb l. Mennyi annak az esélye, hogy a. a kapott ételt és a kapott italt is szeretni fogja; b. a kett közül valamelyiket szeretni fogja; c. a kett közül pontosan az egyiket fogja majd szeretni? 1.3. Magyarországon az autók rendszáma három bet b l és három számjegyb l áll. A bet k az angol ábécé 26 bet jéb l kerülnek ki, de az els bet nem lehet U, X és Y. (Ezen bet k a motorkerékpároknak, az utánfutóknak és a lassú járm veknek vannak fenntartva.) A számjegyekre nincsen korlátozás. Hány különböz rendszám írható fel ezen szabályok szerint? Ha véletlenszer en választunk egy lehetséges rendszámot, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy minden bet mássalhangzó és minden számjegy páratlan? Mennyi az esélye, hogy a rendszámban található magánhangzó és páros számjegy is? 1.4. Négy barátn, Anna, Bori, Cili és Dóri véletlenszer sorrendben leül egymás mellé egy padra. Mennyi annak a valószín sége, hogy a. Anna és Dóri a pad két szélére kerül; b. Anna Dóri jobbjára kerül; c. Anna és Dóri egymás mellé kerül? 1.5. Két testvér ugyanabba a 27 f s osztályba jár. Egy gyors sorakozónál mindenki találomra áll be. Mi a valószín sége, hogy a két testvér egymás mellé kerül? Mennyi az esélye annak, hogy pontosan tizen állnak közöttük? 1.6. Bet kockákból kirakjuk a KÖRÖMPÖRKÖLT szót, majd a bet ket véletlenszer en összekeverjük. Mennyi annak a valószín sége, hogy visszakapjuk az eredeti szót? Mi annak az esélye, hogy a PÖRKÖLT szó részszóként kiolvasható? 1

2 1.7. Egy vendégl egyik asztalánál 9 vendég ül, és mindenki rendel egy italt, összesen 3 sört, 4 vörös és 2 fehér bort. A pincér találomra osztja ki az italokat. Mennyi a valószín sége, hogy mindenki olyan italt kap, amilyet kért? 1.8. Feldobunk 6 dobókockát. Mekkora valószín séggel lesz a dobott számok összege pontosan 36? Mennyi az esélye, hogy a dobott számok összege nagyobb, mint 34? Mekkora a valószín sége annak, hogy a dobott számok között vannak azonosak? 1.9. A születésnap paradoxon. A Valószín ségszámítás gyakorlaton a csoportok 30 f re lettek meghirdetve. Mennyi annak az esélye, hogy egy 30 f s csoportban mindenki az évnek ugyanazon a napján született? Mennyi annak a valószín sége, hogy a csoportban lesz két ember, aki azonos napon született? (A szök napoktól és az ikertestvérekt l most tekintsünk el.) Véletlenszer en felírunk egy valódi ötjegy számot, tehát egy olyan ötjegy számot, melynek nem 0 az els jegye. Mi annak a valószín sége, hogy a szám jegyei különböz páratlan számok? Mekkora eséllyel lesznek a számban azonos számjegyek? Visszatevéssel húzunk egy olyan urnából, melyben 3 piros és 5 zöld golyó található. a. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els piros golyót harmadikra húzzuk ki? Mennyi az esélye, hogy az n-edik húzásra kapjuk az els pirosat? b. Mennyi annak az esélye, hogy három húzás során kapunk legalább egy pirosat? Mi annak a valószín sége, hogy n húzásból kapunk pirosat? c. Hányat húzzunk, ha az a célunk, hogy 95 százalékos valószín séggel a kihúzott golyók között legyen piros? Többször egymás után feldobunk két szabályos dobókockát. Azt mondjuk, hogy egy dobás dupla, ha a két kockával azonos értéket kapunk. a. Mennyi az esélye, hogy az els dupla pontosan az ötödik dobásra jön? Mi annak a valószín sége, hogy az els duplát pontosan az n-edik dobásra kapjuk? b. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els öt dobás során kapunk legalább egy duplát? Mekkora eséllyel kapunk legalább egy duplát az els n dobás során? c. Hányszor dobjuk fel a két kockát, ha az a célunk, hogy legalább 90% valószín séggel a dobások között legyen dupla? 2

3 2. Mintavételezési feladatok 2.1. Egy 32 lapos kártyacsomagból kihúzunk 6 lapot. Mennyi annak a valószín sége, hogy a kihúzott lapok között a. pontosan 2 ász lesz; b. pontosan 3 piros lesz; c. pontosan 3 piros, 2 zöld és 1 makk lesz; d. lesz legalább egy ász; e. lesz ász vagy lesz piros? Oldjuk meg a feladatot visszatevéssel és visszatevés nélkül is Piri néni nagyon szereti a kertjét, különösen a tulipánjait. Žsszel a legszebb tulipánok közül kiválaszt 5 pirosat, 4 narancssárgát és 2 fehéret, és felszedi a hagymákat. Sajnos a hagymák a téli tárolás során összekeverednek. A következ tavasszal Piri néni véletlenszer en kiválaszt 7 hagymát, és kiülteti ket. Mennyi az esélye annak, hogy a kiválasztot hagymák között a. pontosan 4 piros lesz; b. pontosan 4 piros, 2 narancssárga és 1 fehér lesz; c. lesz fehér; d. lesz piros; e. pontosan két különböz szín fog majd el fordulni, és ezek 4 illetve 3 tulipánon jelennek meg? 2.3. Egy gyárban a makaront úgy csomagolják, hogy egy-egy dobozba két csokis, egy málnás és egy narancsos sütemény kerül. Anna a három barátn jével öt napon keresztül minden nap vásárol egy doboz makaront, és a süteményeket véletlenszer en kiosztják egymás között. Mennyi annak az esélye, hogy Anna az öt nap folyamán a. hétf n, szerdán és csütörtökön csokis, a többi napon nem csokis makaront kap; b. pontosan 3 csokis makaront kap; c. összesen 2 csokis, 2 málnás és 1 narancsos makaront kap; d. egyszer sem kap málnás makaront; e. legalább egyszer kap csokis vagy narancsos makaront? 2.4. Az ötöslottón mennyi az esélye annak, hogy a. minden nyer szám páratlan; b. két páros és három páratlan számot húznak ki; 3

4 c. kihúzzák a 12-es és a 80-as számot; d. kihúzzák a 12-es és a 80-as számot, és a 12 a második legkisebb nyer szám; e. öt egymást követ számot húznak ki? 2.5. Egy urnában 4 piros és n zöld golyó található. Kihúzunk két golyót az urnából. a. Mennyi annak az esélye, hogy a kiválasztott golyók mindegyike piros? Mekkora legyen n értéke, ha az a cél, hogy ez a valószín ség kisebb legyen, mint 0,1? b. Mennyi annak az esélye, hogy a kiválasztott golyók között van piros? Mekkora legyen n értéke, ha az a cél, hogy ez a valószín ség kisebb legyen, mint 0,1? Oldjuk meg a feladatot visszatevéses és visszatevés nélküli húzásra is Egy vizsgán a vizsgázó a 100 lehetséges kérdésb l n-re tudja a választ. Mekkora valószín séggel fogja teljesíteni a vizsgát, ha a. két kérdést kap, és megbukik, ha valamelyikre nem tud válaszolni; b. két kérdést kap, melyek közül elég az egyikre válaszolni? Az egyes vizsgáztatási módok esetén a vizsgázó hány kérdésre tanulja meg a választ, ha az a célja, hogy legalább 80% eséllyel teljesítse a vizsgát? 2.7. Egy óvodás csoportba 9 gyerek jár, köztük egy testvérpár. Hányféleképpen lehet a gyerekeket egy négy-, egy három- és egy kétf s csoportba besorolni? Ha véletlenszer a besorolás, akkor milyen valószín séggel fog a két testvér ugyanabba a csoportba kerülni? 2.8. Az 52 lapos francia kártyápakliból kihúzunk 5 lapot visszatevés nélkül. Mennyi annak az esélye, hogy az alábbi lapkombinációkat kapjuk? a. egy pár (két egyforma gura, és három t le és egymástól is különböz gura) b. két pár (két különböz pár, és az ötödik lap egy t lük is különböz gura) c. drill (három egyforma gura, továbbá két t le és egymástól is különböz gura) d. full (három egyforma gura, és mellettük még két egyforma gura) e. póker (négy egyforma gura, továbbá egy tetsz leges ötödik lap) 4

5 3. A valószín ség általános tulajdonságai 3.1. Öt héten keresztül játszunk az ötöslottón. Jelölje A i azt az eseményt, hogy az i-edik héten nyerünk valamennyi pénzt. Fejezzük ki az alábbi eseményeket az A 1,..., A 5 események segítségével. Fogalmazzuk meg a B 1, B 2, B 4 események tagadását is. a. B 1 = minden héten nyerünk; b. B 2 = egyik héten sem nyerünk; c. B 3 = az utolsó héten nyerünk el ször; d. B 4 = a második héten nyerünk, de a negyedik héten nem; e. B 5 = pontosan négyszer nyerünk Az A m, a B n és a C p esemény azt jelöli, hogy három könyvsorozat kötetei közül az els b l m, a másodikból n, a harmadikból pedig p darabot veszünk, ahol m, n és p nemnegatív egész számok. (Például A 3 az az esemény, hogy az els sorozatból pontosan 3 könyvet veszünk.) Hogyan lehet formalizálni a következ eseményeket? a. Az els sorozatból pontosan 1, a másodikból pontosan 3 könyvet veszünk. b. Egy könyvet sem veszünk. c. Veszünk könyvet az els sorozatból. d. Mindhárom sorozatból veszünk könyvet. e. Vagy veszünk legalább 2 könyvet az els sorozatból, vagy nem veszünk semmit. f. Pontosan 2 könyvet veszünk összesen a második és a harmadik sorozatból Próbagyártás után két szempontból vizsgáljuk a késztermékeket. Tudjuk, hogy 0,25 annak a valószín sége, hogy egy véletlenszer en kiválasztott gyártmány anyaghibás, míg 0,4 annak az esélye, hogy mérethibás. A gyártmányok 10 százaléka nem felel meg egyik szabványnak sem. Ha véletlenszer en kiválasztunk egy gyártmányt, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy a. a gyártmány anyaghibás, de megfelel a méretszabványnak; b. a gyártmánynak van valamilyen hibája; c. a gyártmány pontosan egyfajta hibája van? d. a gyártmány hibátlan? 3.4. Egy faluban három sportolási lehet ség van, foci, kosárlabda és pingpong. A lakosok 25%-a focizik, 40%-a kosárlabdázik, és 45%-a pingpongozik. Az emberek tizede szokott focizni ás kosárlabdázni is, ötödük szokott focizni és pingpongozni is, továbbá negyedük szokott kosárlabdázni és pingpongozni is. Mindhárom sportot a lakosság 5%-a zi. Véletlenszer en kiválasztunk egy lakost, és megkérdezzük t le, hogy melyik sporttevékenységet szokta végezni. Mennyi annak a valószín sége, hogy a megkérdezett ember 5

6 a. focizik vagy pingpongozik; b. focizik, de nem kosárlabdázik; c. pontosan kett sportot z; d. semmit sem sportol? 3.5. A király lovagjai nehéz feladatot kapnak, meg kell menteniük a király lányát a sárkány fogságából. Mivel igazából egyik lovagnak sincs kedve ezen nemes küldetéshez, sorsolással döntik el, hogy ki induljon el a feladat elvégzésére. A sárkányt háromféleképpen lehet legy zni, er vel, fürgeséggel vagy ravaszsággal. A lovagok 19%-a er sebb, 25%-a gyorsabb és 28%-a ravaszabb a sárkánynál. Huszaduk egyszerre er sebb és gyorsabb, tizedük er sebb és ravaszabb, nyolcaduk pedik gyorsabb és ravaszabb a sárkánynál. Azt is tudjuk, hogy a lovagok mindössze 3%-a rendelkezik a fenti erények mindegyikével. Mennyi a valószín sége, hogy a kiválasztott lovag a. er sebb vagy gyorsabb a sárkánynál; b. pontosan kétféleképpen tudja legy zni a sárkányt, és ezek egyike a ravaszság; c. legalább kétféleképpen le tudja gy zni a sárkányt; d. semmilyen módszerrel sem tudja kiszabadítani a királylányt? 3.6. Egy cég három különböz változatot szállít egy adott termékb l a vele szerz désben álló boltoknak. Ebben a hónapban a boltok fele rendelt az 1. típusból, és 57% nem rendelt a 2. típusból. A boltok 22%-a rendelt az 1. és a 2. változatból is, továbbá negyedrészük rendelt az 1. és a 3. típusú termékekb l is. A boltok 14%-a mindegyik típusból rendelt, míg 0,12 részük egyikb l sem. A boltok 6%-a olyan, hogy rendelt a 2. és 3. típusból is, de az 1.-b l nem. Mennyi annak a valószín sége, hogy egy véletlenszer en kiválasztott boltba kell szállítani a 3. változatból? A boltok hányad része rendelt csak az 1. típusból? Egy véletlenszer bolt esetén mennyi az esélye, hogy pontosan egy típust rendeltek a termékb l? 3.7. Legyen A és B olyan esemény, melynek valószín sége 0,7 illetve 0,8. Ezen információ birtokában meg tudjuk határozni egyértelm en a P (A B) és a P (A B) valószín séget? Ha nem, akkor adjunk alsó és fels korlátot ezekre a valószín ségekre. A megoldást illusztráljuk Venn-diagrammal a. Tízszer feldobunk egy szabályos dobókockát. Mennyi a valószín sége, hogy a tíz dobás során az 1, 2, 3, 4, 5, 6 értékek mindegyike el fordul? b. Tízszer feldobunk két szabályos dobókockát. Mennyi annak az esélye, hogy a tíz dobás során az (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) számpárok mindegyike el fordul? 6

7 4. Geometriai valószín ségi mez k és feltételes valószín ség 4.1. A vihar véletlenszer helyen elszakít egy 20 km hosszú légvezetéket, ezért a vezeték két végér l egy-egy keres csapat indul, hogy felderítsék a szakadás helyét. A nehéz terep miatt az egyik csapat 4 km/h, a másik 6 km/h sebességgel halad. Tekintsük a következ eseményeket: A = a szakadás helyét a lasabban haladó csapat találja meg B = valamelyik csapat fél órán belül megtalálja a szakadás helyét Mennyi az A illetve a B esemény valószín sége? Mennyi az A esemény valószín sége, ha a B esemény bekövetkezik? Független egymástól az A és a B esemény? 4.2. Egy metróvonalon 10 perces követési id vel járnak a szerelvények. Ha egy véletlenszer id pontban megyünk ki az állomásra, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy legfeljebb 5 percet kell várni? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy a legutóbbi szerelvény már legalább 3 perce elment. Milyen kapcsolatban van az az esemény, hogy legfeljebb 5 percet kell várni, és az, hogy az el z metró már legalább 3 perce elment: kizáróak, függetlenek, vagy valamelyik maga után vonja a másikat? 4.3. Véletlenszer en választunk egy x értéket a [0, 1] intervallumon. Ez az érték egy x és egy 1 x hosszúságú szakaszra bontja az egységnyi hosszúságú intervallumot. Mennyi annak az esélye, hogy a szakaszok hosszának szorzata nagyobb, mint 5/36? 4.4. Ejt erny s ugrást hajtanak végre egy 500 m 2 terület mez n. Az ugrás akkor sikeres, ha az ugró a mez n kijelölt 10 m oldalhosszúságú négyzetben ér földet. Különdíjat kap az, aki a négyzet közepén megrajzolt 2 m sugarú körön belül érkezik. Feltehet, hogy az érkezés helye a mez n megfelel az egyenletességi hipotézisnek. Mekkora valószín séggel fog az ugró különdíjat kapni? Mennyi az esélye annak, hogy az ugró különdíjat kap, ha az ugrás sikeres? Milyen kapcsolat van az ugrás sikeressége és a különdíj megszerzése között: függetlenek, kizárják egymást, vagy valamelyik maga után vonja a másikat? 4.5. Véletlenszer en választunk egy pontot az 5 egység oldalhosszúságú négyzetben. Mennyi annak az esélye, hogy a pont a legközelebbi oldaltól legfeljebb 1 egységnyire esik? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy a pont az északi oldalhoz van a legközelebb? Független egymástól az, hogy a pont a legközelebbi oldaltól legfeljebb 1 egységnyire esik, illetve az, hogy a pont az eszaki oldalhoz van a legközelebb Véletlenszer en rálövünk egy 10 centiméter sugarú kör alakú céltáblára. Tekintsük a következ eseményeket: A = a céltáblát a középponttól legfeljebb 7 centiméterre találjuk el B = a találat a középponttól legalább 5 centiméterre esik Mennyi az A esemény valószín sége? Mennyi az A esemény valószín sége feltéve, hogy B bekövetkezik? Független a két esemény egymástól? Kizárják egymást? Esetleg valamelyik maga után vonja a másikat? 7

8 4.7. Autóval végig akarunk menni egy 30 km hosszú egyenes útszakaszon, de balesetet szenvedünk egy véletlenszer helyen. A közelben egyetlen egy mobiltelefon átjátszó torony van, ez az út felénél az úttól 6 km távolságra található. A torony egy 10 km sugarú kör alakú területet képes kiszolgálni. Mennyi annak az esélye, hogy a baleset helye ebbe a körbe esik, és ezáltal telefonon segítséget tudunk hívni? Mennyi a valószín sége ugyanennek, ha a baleset az út els 5 kilométeres szakaszán történik? 4.8. Párhuzamos egyeneseket húzunk síklapra egymástól váltakozva 2 cm és 8 cm távolságra. Ha véletlenszer en rádobunk a lapra egy 3 cm átmér j pénzérmét, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy az érme egyik egyenesbe sem metsz bele? Ha a pénzérme belemetsz valamelyik egyenesbe, akkor mennyi az esélye, hogy egyszerre kett be is belemetsz? 4.9. Legyen A és B két esemény, és legyen P (B) > 0. Mennyi az P (A B) feltételes valószín ség értéke, ha a. A és B kizáró események; b. B maga után vonja az A eseményt; c. A és B független események? 8

9 5. Feltételes valószín ség és események függetlensége 5.1. Egy edénygyár mai napi tányértermelését a következ táblázat foglalja össze: leveses lapos salátás összesen hibátlan selejtes összesen Véletlenszer en kiválasztunk egy tányért min ségellen rzésre. Jelölje A i azt az eseményt, hogy az i-edik típusú termékb l választottunk, és legyen B az az esemény, hogy a kiválasztott tányér selejtes. Értelmezzük és határozzuk meg a következ valószín ségeket: P (A 2 B); P (A 1 A 3 B); P (B A 2 ); P (B A) Két szabályos dobókockával dobunk. Határozzuk meg az A esemény feltétel nélküli valószín ségét, illetve a B eseményre vett feltételes valószín ségét. Milyen kapcsolat van a két esemény között? a. A = az egyik dobás páratlan, B = a dobott számok szorzata páratlan; b. A = dupla hatost dobunk, B = a dobott számok szorzata páratlan; c. A = az egyik dobás kisebb, mint 3, B = a dobott számok szorzata páratlan a. Háromgyerekes családok körében vizsgáljuk, hogy hány ú és lány van a családban. Jelölje A azt az eseményt, hogy a vizsgált családban legfeljebb egy lány van, és legyen B az, hogy van ú és lány is. Feltehet, hogy a gyerekek azonos eséllyel születnek únak vagy lánynak. Mennyi az A esemény valószín sége? Mennyi A valószín sége, ha tudjuk, hogy B bekövetkezik? Ezek alapján mit mondhatunk a két esemény kapcsolatáról? b. Válaszoljuk az el z pont kérdéseire négygyerekes családok esetén Egy városban tíz autókölcsönz m ködik, ebb l háromnál lehet kisbuszt is bérelni. Egy ember kisbuszt szeretne bérelni, de nem tudja, hogy ezt melyik kölcsönz nél teheti meg, ezért elkezdi véletlenszer sorrendben felhívni ket. Mekkora annak a valószín sége, hogy pontosan három hívásra lesz majd szüksége? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy az els hívás nem volt sikeres? 5.5. Egy óvodás csoportba 9 gyerek jár, köztük egy testvérpár, egy ú és egy lány. Egy foglalkozáson véletlenszer en kiválasztanak 4 gyereket. Mennyi a valószín sége annak, hogy a. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják; b. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják feltéve, hogy a ú ki lett választva; c. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják feltéve, hogy legalább az egyikük ki lett választva? 9

10 5.6. Egy feladat a mobiltelefonok el tti id kb l. Barátunk egy adott estén 2/3 valószín séggel tartózkodik kocsmában. Ha kocsmában van, akkor egyenl eséllyel található meg az öt környékbeli kocsma valamelyikében. Tegyük fel, hogy négyet már megnéztünk, de nem taláktuk. Mennyi az esélye, hogy az ötödikben lesz? 5.7. Egy útszakaszon egymás után három jelz lámpa irányatja a forgalmat. Az egyes lámpáknál egymástól függetlenül rendre 1/2, 2/3 illetve 3/4 valószín séggel kapunk pirosat. Mennyi az alábbi események valószín sége? a. Mindhárom lámpánál pirosat kapunk. b. Egyik lámpánál sem kapunk pirosat. c. Az els lámpánál pirosat kapunk, de a harmadiknál nem. d. Pontosan két lámpánál kapunk pirosat. e. Legalább két lámpánál pirosat kapunk. Feltéve, hogy pontosan két pirosat kapunk, mennyi annak az esélye, hogy a zöldet az els, a második, illetve a harmadik lámpánál kapjuk? 5.8. Piri néni kertjében három gyümölcsfa áll, egy körte-, egy barack- és egy cseresznyefa. A három fa egymástól függetlenül rendre 0,4, 0,6 illetve 0,2 valószín séggel kap el egy bizonyos betegséget. Határozzuk meg az alábbi események valószín ségét. a. Mindhárom fa megbetegszik. b. Sem a körte-, sem a cseresznyefa nem kapja el a betegséget. c. A három fa közül pontosan egy kapja el a betegséget. d. A három fa közül legfeljebb egy elkapja a betegséget. Feltéve, hogy a három fa közül pontosan egy kapja el a betegséget, mennyi annak az esélye, hogy a körte-, a barack- illetve a cseresznyefa a beteg? 5.9. a. Hányszor dobjak fel egy szabályos pénzérmét, ha az a célom, hogy a dobások között 90% valószín séggel legyen fej? b. Hányszor dobjak fel egy szabályos dobókockát, ha az a célom, hogy a dobások között 90% valószín séggel legyen hatos? Egy csatában az egyik harcoló fél ejt erny kkel próbál utánpótlást eljuttatni egy körbevett alakulathoz. Az er s szél miatt az ejt erny k egymástól függetlenül és véletlenszer helyen érnek földet a 15 km 2 terület csatatéren. Az alakulat egy 1 km 2 terület magaslaton védekezik, és az utánpótlást csak akkor kapják meg, ha az erny ezen a magaslaton ér földet. a. Ha két ejt erny nyi utánpótlást dobnak le, akkor mennyi annak az esélye, hogy ezek közül pontosan egy fog eljutni az alakulathoz? b. Hány ejt erny t dobjanak le ahhoz, hogy ezek közül az alakulat 95 százalékos eséllyel megszerezzen legalább egyet? 10

11 6. A láncszabály és a teljes valószín ség tétele 6.1. Egy vizsgán a hallgatók 10%-a bukott meg. A sikeres vizsgát tev hallgatók negyedrésze kapott jelest. Mekkora az esélye, hogy egy véletlenszer en kiválasztott hallgató jelest kapott? 6.2. Egy adott területen vegyszeres szúnyogírtást végeznek három egymás követ alkalommal. Az els permetezés után a szúnyogok 80%-a elpusztul, de az életben maradt rovaroknak n az ellenálló képessége a szerrel szemben. Ennek az a következménye, hogy a második permetezéskor az életben maradt szúnyogoknak már csak a 40%-a pusztul el, a harmadik írtásnál pedig csak a maradék 20%-a. Mennyi a valószín sége annak, hogy egy szúnyog túléli mindhárom permetezést? Feltéve, hogy egy szúnyog túlélte az els permetezést, mennyi a valószín sége annak, hogy a másodikat és a harmadikat is túléli? 6.3. Egy vacsora után n ember ki akarja sorsolni, hogy melyikük mosogasson. Fognak hát n egyforma gyufaszálat, az egyikb l letörnek egy darabot, majd valaki összefogja úgy a szálakat, hogy ne látszódjon, melyik a rövid. Ezek után mindeki húz egy-egy gyufaszálat, és az mosogat, aki a rövidebbet húzza. Igazságos ez a sorsolás, tehát a húzás sorrendjét l függetlenül mindenki 1/n valószín séggel kapja a rövid szálat? Vagy esetleg az els vagy az utolsó húzónak jobbak az esélyei? 6.4. Adott egy urna, benne pedig 3 piros és 2 zöld golyó. Visszatevés nélkül kihúzunk három golyót. a. Mennyi annak a valószín sége, hogy sorban egy pirosat, egy zöldet, és még egy pirosat kapunk? b. Mennyi annak az esélye, hogy a második golyó zöld? c. Feltéve, hogy a második golyó zöld, mi annak a valószín sége, hogy az els golyó piros volt? Függ az els golyó színe attól, hogy milyen szín a második? d. Mennyi az esélye, hogy a kihúzott golyók között pontosan 1 zöld lesz? Válaszoljunk a kérdésekre azzal a módosítással is, hogy a golyókat visszatevéssel húzzuk ki Egy üzemben három gép van, az els adja a termelés 20%-át, a második pedig a 30%-át. Az els gépnél 5% a selejtarány, a másodiknál és a harmadiknál gépnél 10%. Véletlenszer en kiválasztunk egy gyártmányt az üzem termeléséb l. a. Mennyi az esélye annak, hogy a kiválasztott termék a harmadik gépen készült és selejtes? b. Mennyi a valószín sége, hogy a kiválasztott termék selejtes? c. Feltéve, hogy a gyártmány nem selejtes, mennyi annak az esélye, hogy az els, a második illetve a harmadik gépen készült? 11

12 6.6. Egy csomagolóüzembe négy termel szállít almát. A leadott gyümölcs tizede származik az els, három tizede a második, és két ötöde a harmadik termel t l. Az egyes termel k esetén a leadott mennyiség 40, 50, 20 illetve 100 százaléka els osztályú. Ha véletlenszer en kiválasztunk egy almát, akkor mi annak a valószín sége, hogy az alma másodosztályú? Feltéve, hogy az alma másodosztályú, mennyi a valószín sége, hogy az els, a második, a harmadik, illetve a negyedik termel szállította? 6.7. Lajosnak lejárt a bérlete, mégis felszáll az els járm re, ami hazaviszi. A megállóban 25% valószín séggel érkezik el ször busz, 40% valószín séggel troli, a többi esetben pedig villamos. A buszon 45% eséllyel jön ellen r, a trolin 10% eséllyel, a villamoson pedig 30% eséllyel. Mennyi annak az esélye, hogy hazafelé utazva találkozik ellen rrel? Otthon szomorúan meséli el, hogy megbüntették. Mennyi a valószín sége, hogy busszal utazott? 6.8. A h t ben négy doboz tej van: egy friss; egy, ami egy hete lejárt, és biztosan romlott; továbbá van két doboz, ami egy napja járt le, és 0,3 valószín séggel romlottak. Véletlenszer en kiválasztunk egy doboz tejet. Mekkora az esélye, hogy ez a tej nem romlott? Ha megkóstoljuk a kivett tejet, és az romlottnak bizonyul, akkor mi a valószín sége annak, hogy az egy hete lejárt tejet vettük ki? 6.9. Egy vizsgán minden tesztkérdéshez négy lehetséges válasz van megadva, melyek közül csak egy helyes. A vizsgázó 2/3 valószín séggel tudja a helyes választ a kérdésre, és megjelöli azt. A többi esetben a vizsgázó tippel, tehát véletlenszer en jelöl meg egy választ. A javítás során azt látjuk, hogy egy kérdésre a vizsgázó helyes választ adott. Mennyi a valószín sége, hogy a vizsgázó tippelt? Van két pénzérménk, egy szabályos, és egy olyan, ami 1/4 valószín séggel ad fejet. Véletlenszer en kiválasztok egy érmét, és feldobom. Mennyi annak az esélye, hogy fejet kapok? Feltéve, hogy fejet kaptam, mennyi a valószín sége, hogy a szabályos érmét választottam? Egy ritka betegséget tízezer emberb l átlagosan egy kap el. A sz r teszt csak 97%-os megbízhatóságú, azaz ekkora a valószín sége, hogy helyes eredményt ad, akár beteg valaki, akár egészséges. Egy ember megvizsgáltatja magát, és a teszt eserménye pozitív. Mennyi a valószín sége, hogy tényleg beteg? Egy üzemben három gép van, az els adja a termelés felét, a második a 40%-át. Az els és a második gépnél is a termékek 3%-a selejtes. A harmadik gép esetében hány százalék a selejtarány, ha tudjuk, hogy az üzemben termelt selejtes termékek közül 32,5% készült a harmadik gépnél? 12

13 7. Diszkrét valószín ségi változók 7.1. Mennyi legyen az a valós paraméter értéke, ha az a célunk, hogy az alábbi értékek valószín ségeloszlást alkossanak? Határozzuk meg az eloszlás várható értékét és szórását is. a. p 1 = 0,15a, p 2 = 0,55a, p 3 = 0,25a, p 4 = 0,3a; b. p 0 = 0,25, p 2 = a, p 10 = a Egy iskolában tanuló 500 gyerek közül 130-nak nincs testvére, 200-nak van 1 testvére, 150-nek van 2 testvére és 20-nak van 3 testvére. Legyen ξ egy véletlenszer en kiválasztott gyerek testvéreinek a száma. Adjuk meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Mit mutat meg a várható érték és a szórás ebben a feladatban? 7.3. Két szabályos dobókockát feldobva legyen ξ a dobott értékek maximuma. Adjuk meg a ξ változó eloszlását, várható értékét és szórását. Adjuk meg a ξ változó várható értékét is Anna, Bori és Cili pizzát rendelnek, három különböz fajtát. Amikor a pizza megérkezik, véletlenszer en osztják ki egymás között a dobozokat. Jelölje ξ azt, hogy a lányok közül hányan kaptak olyan pizzát, amilyet rendeltek. Határozzuk meg a ξ változó eloszlását, várható értékét és szórását Feldobok egy szabályos pénzérmét. Ha az eredmény fej, akkor az érmét még egyszer, ha írás, akkor még kétszer dobom fel újra. Adjuk meg az összesen kapott fejek számának eloszlását, várható értékét és szórását Egy gyárban három nagyteljesítmény dízelmotor üzemel, melyek egy adott id pontban egymástól függetlenül 0,5, 0,6 illetve 0,7 valószín séggel m ködnek. Jelölje ξ azt, hogy egy adott id pontban hány dízelmotor üzemel. a. Adjuk meg a ξ változó eloszlását, várható értékét és szórását. b. Amennyiben egy adott id pillanatban x dízelmotor üzelem, akkor a dolgozókat x db zajterhelés éri. Határozzuk meg a zajterhelés átlagos értékét Anna két mozijegyet kap egy vetítésre, ezért egymás után felhívja a három barátn jét, hogy kísér t szerezzen maga mellé. Egészen addig hívja fel ket egymás után, míg valaki bele nem egyezik, hogy elkíséri, vagy míg el nem fogynak a barátn k. A három barátn je egymástól függetlenül 0,4 valószín séggel mond igent Anna meg hívására. a. Adjuk meg a lefolytatott telefonhívások számának eloszlását, várható értékét és szórását. Mennyi annak az esélye, hogy Annának legfeljebb két barátn jét kell majd felhívnia? b. Annának egy-egy telefonhívás 30 forintba kerül. Határozzuk meg, hogy várhatóan mennyi pénzbe kerül kísér t szereznie a vetítésre. 13

14 7.8. Adott egy fert z betegség, melyet az emberek 1% valószín séggel kapnak el. A betegségre kifejlesztettek egy tesztet, mely a vérben található antitestek alapján mutatja ki a betegség jelenlétét, de az eljárás drága, egy-egy tesztelés ezer dollárba kerül. Egy kórházban a következ módon végzik el a páciensek tesztelését. Nem egyesével tesztelik ket, hanem összevárnak tíz pácienst, és összeöntik a mintáikat. Ha az eredmény negatív, akkor egyik mintában sincs antitest, tehát mindeki egészséges. Ha a teszt eredménye pozitív, akkor ismét elvégzik a tesztet, de ezúttal már mind a tíz emberen külön-külön, hogy kiderüljön, kik betegek közülük. Határozzuk meg, hogy ezzel a módszerrel átlagosan mennyibe kerül egy páciens letesztelése a. Péter és Pál a következ játékot játsza. Feldobnak két szabályos dobókockát, és ha a dobott számok összege páros, akkor Péter zet Pálnak 100 Ft-ot, míg ha a dobott számok összege páratlan, akkor Pál zet Péternek x forintot. Mennyi legyen x értéke, ha az a céljuk, hogy a játék igazságos legyen? b. Péter és Pál úgy módosítja a játékot, hogy nem a dobott számok összegét, hanem azok szorzatát nézik. Milyen x érték esetén lesz igazságos a játék? Egy kaszinóban a következ játékot lehet játszani. A játékos feldob egy szabályos pénzérmét, és ha fejet kap, akkor nyer 1 millió dollárt, míg ha írást, akkor nem nyer semmit. a. Mennyi a játék igazságos ára? A kaszinó milyen árat fog kérni ezért a játékért? b. Tegyük fel, hogy a kaszinó 450 ezer dollárban állapítja meg a játék árát. Az olvasó hajlandó lenne ezt a játékot játszani a kaszinó ellen, ha tetsz leges sokszor játszhatna, és átmenetileg hitelt is felvehetne? És ha csak egyetlen egy játékot lehetne játszani, akkor érdemes lenne beszállni? Az olvasó milyen áron szállna be, ha csak egy játékra lenne lehet sége? c. Tegyük fel, hogy egy játékos a vagyoni helyzetét az u(x) = x hasznossági függvénnyel értékeli. Egyetlen egy játék esetén ezen játékos számára mi az elfogadható ár? d. Oldjuk meg a feladat a. és c. részét azzal a módosítással is, hogy fej esetén 10 ezer dollár a nyeremény Biztosítást szeretnénk kötni egy 250 ezer forint érték autóra. Tegyük fel, hogy az elkövetkezend egy évben 95% valószín séggel az autónk nem fog balesetet szenvedni, és 5% eséllyel totálkáros lesz. Mi az a minimális biztosítási díj, amit egy biztosító ki fog majd szabni ránk? Ha a vagyoni helyzetünket az u(x) = x hasznossági függvényen keresztül értékeljük, akkor racionálisan gondolkodó fogyasztóként mi az a maximális összeg, amit még hajlandóak vagyunk kizetni ezért a biztosításért? 14

15 8. A nevezetesebb diszkrét eloszlások 8.1. a. Tízszer feldobunk egy szabályos dobókockát. Jelölje ξ azt, hogy hányszor kaptunk páratlan számot. Határozzuk meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Mennyi annak a valószín sége, hogy a 10 dobásból pontosan annyi páratlan értéket kapunk, mint párosat? b. Ötször feldobunk két dobókockát. Jelölje η azt, hogy hányszor dobtunk két páratlan számot. Határozzuk meg η eloszlását és várható értékét a. Egy ingatlanügynökségnél az eladott lakások 30%-át szokták a vev k hitel felvétele mellett zetni. A következ hétre 6 lakás van eladásra el jegyezve. A ξ valószín ségi változó jelölje a hitelkonstrukcióban értékesített lakások számát. Adjuk meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Mi annak a valószín sége, hogy egynél több, de ötnél kevesebb lakáseladáshoz vesznek majd fel hitelt? b. Egy másik ingatlanügynökségnél a lakások 40%-át szokták eladni hitelfelvétel mellett, és náluk 8 eladás van el jegyezve a jöv hétre. Mennyi annak az esélye, hogy az els ügynökségnél pontosan 2, a másodiknál pedig pontosan 4 lakást adnak el hitelkonstrukcióban? (A két cégnél a lakáseladások száma független.) 8.3. Addig dobok fel két szabályos dobókockát újra és újra, míg duplát, tehát két azonos értéket nem kapok. Mennyi annak az esélye, hogy az els duplát az ötödik dobásra kapom majd? Mi a valószín sége annak, hogy ötnél több dobás kell majd? Várhatóan hanyadik dobásra kapom majd az els duplát? 8.4. Egy kisú kosarazni tanul, ezért elhatározza, hogy csak akkor megy el ebédelni, ha sikerül dobnia egy kosarat. A dobások egymástól függetlenek, és 15% annak a valószín sége, hogy egy dobással betalál. Jelölje ξ az ebédig történt dobások számát. Adjuk meg ξ eloszlását és várható értékét. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els kosárhoz legfeljebb hármat kell dobnia? 8.5. Lajos kulcscsomóján három kulcs van, ezek közül az egyik a lakásának a bejárati ajtaját nyitja. Egy este elmegy a barátaival italozni, és hazaérve azt tapasztalja, hogy nem tudja megkülönböztetni a kulcsait. Elhatározza, hogy addig választ véletlenszer en újabb és újabb kulcsot, míg végül sikerül kinyitnia a lakás ajtaját. a. Adjuk meg a szükséges próbálkozások számának az eloszlását, ha Lajos nem jegyzi meg, hogy melyik kulccsal próbálkozott már korábban, hanem minden egyes alkalommal a három közül választ egyet véletlenszer en? Mennyi annak az esélye, hogy legfeljebb három próbálkozásra lesz majd szükség? Mennyi a próbálkozások számának a várható értéke és szórása? b. Miben változik az a. pont megoldása, ha Lajos minden egyes próbálkozás során 1/2 valószín séggel fejjel lefelé próbálja meg beleer ltetni a kulcsot a zárba? (Fejjel lefelé a jó kulccsal sem tudja kinyitni az ajtót.) c. Miben változik az a. pont megoldása, ha Lajos megjegyzi, hogy melyik kulccsal próbálkozott már korábban? 15

16 8.6. Egy gyárban egy nap alatt 50 terméket készítenek, ebb l 15 selejtes. Min ségellen rzéskor véletlenszer en kivesznek egyszerre 5 terméket, és megvizsgálják ket. Jelölje ξ a mintában talált selejtes termékek számát. Határozzuk meg a ξ valószín ségi változó eloszlását és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy legfeljebb egy selejtes termék lesz a mintában? 8.7. Egy szelvénnyel játszunk a Skandináv lottón, ahol 35 számból 7-et kell megjelölni. A szabályok szerint a számok két sorsoláson is részt vesznek, egy gépin és egy kézin, ez az úgynevezett ikersorsolás. Mindkét számsorsolás alkalmával 7 számot húznak ki, és akkor nyerünk pénzt, ha valamelyik sorsoláson elérünk legalább 4 találatot. a. Mennyi annak az esélye, hogy a gépi sorsoláson pontosan 4 találatot érünk el? Mekkora valószín séggel érünk el legalább 4 találatot? Mennyi a gépi sorsoláson a találatok számának a várható értéke? b. Mennyi annak az esélye, hogy a két sorsolás közül az egyiken nincs találatunk, a másikon pedig pontosan 1 találatot érünk el? Mekkora annak a valószín sége, hogy valamelyik soroláson lesz legalább 4 találatunk, tehát nyerünk pénzt? 8.8. Adott egy urna, benne pedig 4 piros és 6 zöld golyó. a. Visszatevéssel kihúzunk 3 golyót. Határozzuk meg a kihúzott piros golyók számának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy pontosan két piros golyót húzunk majd ki? b. Oldjuk meg az a. feladatot visszatevés nélküli mintavételezéssel is. c. Addig húzunk visszatevéssel, míg piros golyót nem kapunk. Adjuk meg a szükséges húzások számának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els piros pontosan a második húzásra jön majd? 8.9. Egy adatszerverre óránként véletlen számú, átlagosan 5 lekérdezés érkezik. Feltehet, hogy az egy órára es lekérdezések száma Poisson-eloszlást követ. Mennyi annak a valószín sége, hogy egy adott óraban pontosan három lekérdezés történik? Mennyi az egy órára jutó lekérdezések számának a szórása? Orvosi kutatások szerint az egységnyi nagyságú rádioaktív besugárzás véletlen számú mutációt okoz egy kromoszomán. A mutációk száma Poisson-eloszlást követ, és a besugárzások 13,5 százalékában nem történik egy mutáció sem. Az egységnyi nagyságó besugárzás átlagosan hány mutációt okoz? Mennyi annak az esélye, hogy a besugárzás hatására a várható értéknél több mutáció történik? 16

17 9. Folytonos valószín ségi változók 9.1. Milyen a valós szám esetén lesz az alábbi f függvény egy ξ folytonos valószín ségi változó s r ségfüggvénye? Mi a ξ változó értékkészlete? Mennyi a P (2 < ξ < 6) és a P (ξ 5) valószín ség? Határozzuk meg a ξ változó várható értékét illetve szórását. a. b. c. f(x) = f(x) = { 1/x 2 + a, 1 x 5, f(x) = 0, különben. { ax 2, 0 x 4, 0, különben. { a/x 3, x 3, 0, x < Egy ξ folytonos valószín ségi változó egyenletes eloszlású az [a, b] intervallumon, ha a s r ségfüggvénye { 1/(b a), a x b, f(x) = 0, különben. Ellen rizzük le, hogy az f valóban s r ségfüggvény, majd határozzuk meg az egyenletes eloszlás értékkészletét, várható értékét és szórását A TESCO-ban a narancsot a min ségt l függ en változó áron árulják. Feltehet, hogy az ár egyenletes eloszlást követ 200 és 400 forint között. a. Jelölje ξ a narancs árát egy véletlenszer en választott napon. Írjuk fel és ábrázoljuk a ξ s r ségfüggvényét. Átlagosan mennyibe kerül a narancs a TESCOban? Mennyi az ár szórása? Mennyi annak az esélye, hogy a kilónkénti ár 350 forint alatt marad? b. Jelölje η azt, hogy 1000 forintból hány kiló narancsot tudok vásárolni. Fejezzük ki az η valószín ségi változót a ξ segítségével. Mennyi annak az esélye, hogy a pénzem elég 4 kiló narancsra? Határozzuk meg az η várható értékét, és fogalmazzuk meg a jelentését. Teljesül az az egyenl ség, hogy E(η) = 1000/E(ξ)? c. Oldjuk meg az el z feladatrészt azzal a módosítással, hogy a narancs kilós kiszerelés, tehát csak egész kilogrammokat tudok vásárolni. (Ebben az esetben természetesen maradhat pénz a zsebemben.) 9.4. Amikor telefonálok, a beszélgetéseim percekben kifejezett hosszúsága egy ξ valószín ségi változó, melynek s r ségfüggvénye { 0,5 0,08x, 0 x 2,5, f(x) = 0, különben. 17

18 a. Ábrázoljuk az f s r ségfüggvényt, és határozzuk meg a ξ változó értékkészletét. Átlagosan milyen hosszúak a telefonbeszélgetéseim? b. A szolgáltatóval olyan szerz dést kötöttem, hogy a telefonhívásokért percenként 40 forintot kell zetnem. Fejezzük ki a hívás ártá a hívás hosszának segítségével. A beszélgetéseim mekkora hányada drágább 50 forintnál? Átlagosan mennyibe kerül egy-egy telefonhívás? c. Régebben olyan szerz désem volt, hogy 10 forint volt a kapcsolási díj, és nem másodperc alapon számláztak, hanem minden megkezdett percért 25 forintot kellett zetnem. A hívások mekkora hányadáért zettem többet 50 forintnál? Átlagosan mennyibe került egy-egy hívásom Felajánlanak nekem egy befektetési lehet séget, ami 900 ezer forint kezd t két igényel. Sajnos a befektetés kockázatos, az eredmény nagysága nem garantált. Jelölje ξ a befektetés eredményét millió forintban kifejezve. Az el zetes kalkulációk alapján a ξ változó s r ségfüggvénye: { 1,5(x 1) 2, 0 x 2, f ξ (x) = 0, különben. a. Ábrázoljuk a s r ségfüggvényt, és határozzuk meg a ξ értékkészletét. Mennyi a befektetés eredményének a várható értéke? Ezek alapján érdemes kockáztatnom a 900 ezer forintos kezd t két? b. Tetsz leges x valós szám esetén az x millió forint nagyságú jövedelemnek u(x) = x hasznosságot tulajdonítok. Mennyi a befektetés révén elért hasznosság várható értéke? Mennyi a kezd t ke hasznossága? Ezek alapján érdemes beszállnom az üzletbe? 9.6. Magyarországon az éves búzatermés közelít leg egyenletes eloszlást követ 3,5 millió és 5,5 millió tonna között. A nagyobb termésmennyiség alacsonyabb piaci árat jelent. Amennyiben a teljes búzatermés x millió tonna, akkor a modellünkben a búza tonnánkénti felvásárlási ára legyen mondjuk x ezer forint. a. Jelölje ξ az éves búzatermést millió tonnában kifejezve. Adjuk meg a ξ s r ségfüggvényét. Mennyi annak az esélye, hogy egy évben 5 millió tonnánál több búza terem? Mennyi az éves búzatermés várható értéke és szórása? b. Jelölje η a búza tonnánként felvásárlási árát ezer forintban kifejezve. Egy megfelel en választott h függvény segítségével írjuk fel az η változót a h(ξ) alakban. Mennyi annak az esélye, hogy a tonnánkénti felvásárlási ár 50 ezer forint alatt lesz? Mennyi a felvásárlási ár várható értéke? c. Jelölje ζ a teljes búzatermés milliárd forintban kifejezett értékét. Egy megfelel en választott h függvény segítségével írjuk fel az a ζ változót h(ξ) alakban. Várható értékben mennyi a teljes hazai búzatermés forintban kifejezett értéke? Ez az érték egyenl az a. és a b. részben kapott várható értékek szorzatával? 18

19 10. A várható érték és a szórás tulajdonságai a. Feldobok egy szabályos dobókockát. Határozzuk meg a dobott szám várható értékét és szórását. b. Feldobok 500 szabályos dobókockát. Mennyi a dobott számok összegének a várható értéke és a szórása? Ennek ismeretében meg tudjuk azt mondani, hogy az összeg mekkora valószín séggel fog mondjuk 1700 és 1800 közé esik? Magyarországon a feln tt emberek testtömegének az átlaga 80 kg, a szórása 15 kg. Egy liftbe beszáll 8 ember, akikr l feltehet, hogy egymástól független a testtömegük. Határozzuk meg a 8 ember együttes testtömegének várható értékét és szórását. Ennyi információ birtokában meg tudjuk azt mondani, hogy a 8 ember össztömege mekkora valószín séggel éri el a 800 kg-ot, a lift maximális teherbírása? Szegeden az éves csapadékmennyiség átlagos értéke 550 mm, szórása 100 mm. Feltehet, hogy a csapadék mennyisége az egyes években független egymástól. Várhatóan mennyi csapadék fog hullani Szegeden a következ három évben összesen? Mennyi a hároméves csapadékmennyiség szórása? Ennyi információ alapján meg tudjuk azt mondani, hogy a három év alatt milyen valószín séggel fog összesen 1800 mm-nél több csapadék hullani? Egy Coca-Cola autómatában 50 doboz jéghideg üdít található. Egy forró nyári napon az emberek átlagosan 5 percenként vásárolnak egy doboz üdít t, a vásárlások között eltelt id szórása 3 perc. Várhatóan mennyi id alatt fogy el az üdít az autómatából? Mennyi ennek az id nek a szórása? Meg tudjuk azt mondani, hogy ez az id mekkora eséllyel esik 200 és 300 perc közé? Egy biztosítótársaságnál egy adott típusú biztosítás esetében a kárérték egyenletes eloszlást követ 200 és 400 ezer forint között. Egy adott hónapban 100 egymástól független kárbejelentés érkezik. Mennyi az össz kárérték várható értéke és szórása? Ennyi információ alapján meg tudjuk azt mondani, hogy az össz kárérték mekkora valószín séggel esik 29 és 31 millió forint közé? Egy játékautomatából egy mozgatható karral lehet plüsállatokat kiemelni, de ez egy kis szerencsét igényel. Az automatában 50 plüsállat van, egy játék 100 forintba kerül, és a próbálkozások egymástól függetlenül 20% valószín séggel lesznek sikeresek. a. Várhatóan hány játék alatt fogynak el a plüsállatok az automatából? Mennyi a játékok számának a szórása? b. Várhatóan mennyi pénz lesz az automatában, mire elfogynak a plüsállatok? Mennyi az automatában összegy lt pénz szórása? Egy vállalat egy hónapra es protja a havi teljes bevétel és a havi teljes kiadás különbségeként áll el, ahol a bevétel és a kiadás is valószín ségi változó. A bevétel várható értéke 120 millió forint 30 millió forint szórással, míg a kiadás várható értéke 80 millió forint 20 millió forint szórással. 19

20 a. Határozzuk meg az egy hónapra jutó prot várható értékét és szórását akkor, ha a bevétel és a kiadás független, illetve akkor, ha a közöttük lév korrelációs együttható 0,8. b. A korreláció függvényében írjuk fel formulával és ábrázoljuk grakonon a prot várható értékét és varianciáját Egy család 4 kg narancsot és 2 kg banánt vásárol. A két gyümölcs ára tekinthet valószín ségi változónak. A narancs árának a várható értéke 250 Ft, szórása 25 Ft, míg a banán árának a várható értéke 300 Ft, szórása 30 Ft. a. Várhatóan hány forintot fog majd a család gyümölcsre költeni? Befolyásolja ezt az, hogy milyen függ ségi kapcsolat van a narancs és a banán ára között? b. Mennyi az elköltött összeg szórása, ha a két gyünölcs ára független egymástól? Mennyi ez a szórás, ha az árak közötti korreláció +0,5, illetve ha 0,5? c. A korreláció függvényében írjuk fel formulával és ábrázoljuk az elköltött összeg várható értékét és varianciáját Egy tervezett építkezésnél 100 tonna acélra és 10 tonna rézre lesz majd szükség. Az acél és a réz jöv beli ára valószín ségi változó, melyeknek a várható értéke 700 illetve 1500 dollár/tonna, szórása pedig 20 illetve 80 dollát/tonna. a. Várhatóan mekkora költséget jelent az építkezéshez szükséges anyagok megvásárlása? Befolyásolja ezt a várható értéket az acél és a réz ára közötti függ ség? b. Határozzuk meg a költség szórását, ha az acél és a réz ára független egymástól. Mekkora ez a szórás abban az esetben, ha az acél és a réz ára közötti korreláció +0,6, illetve akkor, ha 0,6? c. A korreláció függvényében írjuk fel formulával és ábrázoljuk a teljes költség várható értékét és varianciáját Adott egy kötvény és egy részvény, mindkett nek 2000 forint a jelenlegi ára. A kötvény 8%-os éves hozamot zet. A részvény egy év múlva 1900, 2300 vagy 2700 forintot érhet rendre 0,3, 0,5 és 0,2 valószín ségekkel. 3 millió forint áll a rendelkezésünkre, ebb l állítunk össze egy portfóliót. a. Ha a darab részvényt vásárolunk, akkor ez az értékpapírcsomag várhatóan mennyit fog majd érni egy év múlva? Mennyi a portfólió értékének a szórása? Ábrázoljuk a várható értéket és a szórást az a mennyiség függvényében. b. Hogyan állítsuk össze a portfoliónkat, ha az a célunk, hogy várható értékben 400 ezer forint hozamot realizáljunk? c. Hány darab részvényt vásároljunk, ha azt szeretnénk, hogy a portfólió jöv beli értékének a szórása legfeljebb 200 ezer forint legyen? Mennyi ebben az esetben a hozam várható értéke? 20

21 11. A normális eloszlás és a centrális határeloszlás-tétel Az alábbi ábrán ϕ a standard normális eloszlás s r ségfüggvénye. Határozzuk meg, hogy az f 1, f 2, f 3 s r ségfüggvények közül melyik tartozik az alábbi µ várható értékkel és σ szórással deniált normális eloszlásokhoz. a. µ = 2, σ = 1 b. µ = 2, σ = 0,5 c. µ = 0, σ = 2 0,5 ϕ f 3 f f 2 x A ropigyárban a készül ropik hossza normális eloszlást követ 12 cm várható értékkel és 3 mm szórással. Mennyi az esélye, hogy egy véletlenszer en kiválasztott ropi hossza legfeljebb 2 milliméterrel tér el az átlagos értékt l? Mondjunk egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a ropik 99,75 százalékának a hossza ebbe az intervallumba esik Az IQ teszteket úgy állítják össze, hogy az eredmény a feln tt populáción belül normális eloszlást kövessen 100 pont várható értékkel és 15 pont szórással. A feln tt népesség mekkora hányadának esik az IQ pontszáma 90 és 120 közé? A Mensa egy nemzetközi egyesület, ahol a belépés feltétele a legalább 131 pontos IQ. A népesség hány százeléka felel meg ennek a követelménynek? Mondjunk egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy közelít leg az emberek 95 százalékának ebbe az intervallumba esik az IQ pontszáma Angol tudósok azt vizsgálták, hogy a szavannán él majmok reggelente milyen eloszlás szerint ébrednek fel, és másznak le a fáról. A meggyelések alapján azt találták, hogy az ébredési id egy olyan valószín ségi változó, mely normális eloszlást követ 7 óra várható értékkel és 30 perc szórással. A majmok mekkora hányada kel fel 8 óra után? Adjunk meg egy olyan id intervallumot, melyre teljesül, hogy a majmok 68 százaléka ebben az id intervallumban mászik le a fáról. (Valós kutatás alapján.) Legyen ξ egy véletlenszer en kiválasztott feln tt ember szisztolés vérnyomása, és legyen η = lg ξ. A statisztikai adatok alapján a teljes populáción belül az η változó nomális eloszlást követ µ = 2 várható értékkel és σ = 0,1 szórással. Mennyi annak a valószín sége, hogy ξ értéke 90 Hgmm és 120 Hgmm közé esik? Mondjunk egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a lakosság 95 százalékának a vérnyomása ebbe az intervallumba esik. Tipp: vegyük észre, hogy tetsz leges a és b értékek esetén P (a ξ b) = P (lg a η lg b) A valószín ségszámítás kurzust ebben a félévben körülbelül 400 hallgató vette fel, és a korábbi tapasztalatok alapján az egyes hallgatók 65% eséllyel teljesítik a kurzust. Várhatóan hányan fognak majd megbukni? Mennyi a valószín sége, hogy ebben a 21

22 félévben legfeljebb 120 hallgató fog majd megbukni? Mennyi annak az esélye, hogy legalább 130, de legfeljebb 160 bukás lesz? Adjunk meg egy olyan intervallumot, mely közelít leg 95% valószín séggel tartalmazza a bukott hallgatók számát Magyarországon az emberek 85 százaléka gyermekkorában átesik a bárányhiml n. Megkérdezünk 1000 feln ttet, hogy átesett-e gyermekkorában ezen a betegségen. Várhatóan hányan fognak majd igent mondani? Mennyi annak az esélye, hogy a megkérdezettek közül legalább 840, de legfeljebb 860 ember esett át a bárányhiml n. Mekkora a valószín sége annak, hogy a válaszadók legfeljebb 82 százaléka esett át a betegségen? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy az igennel válaszolók száma 99,75 százalék eséllyel ebbe az intervallumba esik Feldobok 500 szabályos dobókockát. a. Mennyi a kapott hatosok számának a várható értéke és szórása? Mennyi annak a valószín sége, hogy 100-nál több hatos kapok? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a hatosok száma 95% százalék valószín séggel ebbe az intervallumba esik. b. Mennyi a dobott értékek összegének a várható értéke és szórása? Mennyi annak az esélye, hogy a dobott számok összege 1650 és 1850 közé esik? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a dobott számok összege 99,75% valószín séggel ebbe az intervallumba esik A feladatban mennyi annak az esélye, hogy 3 és fél órán belül kiürül az autómata? Mennyi annak a valószín sége, hogy 4 óra elteltével még mindig van üdit az autómatában? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy közelít leg 68% valószín séggel tartalmazza azt, hogy mennyi id alatt ürül ki az autómata A feladatban mennyi annak az esélye, hogy a teljes kárérték 29 millió és 31 millió forint közé esik? Adjunk meg egy olyan intervallumot, amely közelít leg 95% valószín séggel tartalmazza a teljes kárértéket A repül gépeknél az üzemanyag-fogyasztás szempontjából fontos tényez az utasok és a pottyász tömege. A statisztikai adatok szerint egy-egy utasnak és a személyes pottyászának az együttes tömege egy olyan valószín ségi változó, melynek a várható értéke 100 kg, szórása pedig 25 kg. (A különböz utasok tömege független egymástól.) Tegyük fel, hogy egy repül gépre 120 utas száll fel. Mennyi annak az esélye, hogy az utasok és a pottyász teljes tömege 13 tonna alatt marad? Mi annak a valószín sége, hogy a teljes tömeg kg és kg közé esik? Adjunk meg egy olyan intervallumot, mely 99,75% valószín séggel tartalmazza az utasok és a pottyász teljes tömegét Alkalmazhatjuk a centrális határeloszlás-tételt a feladatban az utolsó kérdés megválaszolására? 22