MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 20. EMELT SZINT

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő azonosságát alkalmazva, az 0,5 0,5 log0,5 Innen a logaritmus definíciója szerint Ebből b) Mivel log log log log Így a megoldandó egyenlet: Mindkét oldalt log log 7log 6 0 log egyenlethez jutunk. 0,5 6 7 log log egyenlet adódik ( pont) -szel szorozva, és az egyenletet nullára redukálva: log 6 log A -re másodfokú egyenlet megoldásai: vagy 64 vagy Mivel, a 64 nem megoldás A megadott halmazon az egyenleteknek egy megoldása van, a Összesen: pont ) István örömmel mesélte Péter barátjának, hogy egy négyszög alakú telket vett, amire majd házat akar építeni. Elmondása szerint a négyszög egyik szöge derékszög, és az ezt közrefogó mindkét oldal 0,0 m hosszú. A telek másik két oldala is egymással egyenlő hosszú, ezek 0 -os szöget zárnak be. a) Hány méter hosszú drót szükséges az üres telek körbekerítéséhez?(4 pont) Mekkora házat szeretnél rá építeni? - kérdezte Péter. Négyzet alapú sarokházat, és körülbelül 00m alapterületűt. Úgy gondoltuk a párommal, hogy a házat a derékszögű sarokba építjük. - válaszolt István. Ha jól képzelem el a telek alakját, akkor az nagyon furcsa alakú lehet. Oda még egy kis faház sem fér el. - szólt nevetve Péter.

2 b) Rajzolja le, milyen alakú az István által megvett telek, és milyennek képzelte el Péter! ( pont) c) Legfeljebb mekkora alapterületű, négyzet alapú sarokház férne el a telek derékszögű sarkába az egyik és mekkora a másik esetben? (Válaszát m -re kerekítve adja meg! (7 pont) a) BD 0 A BDC egyenlő szárú háromszögben. A háromszög C csúcsából húzott magasság felezi a DB alapot. (Jelölje F a DB oldalfelező pontját.) A DFC DF derékszögű háromszögben cos 0 DC 0 Így, azaz b Tehát a kerítés hossza: 0 b BDC ,7 m b) István ilyen négyszög alakú telket látott: Péter konkáv négyszögre gondolt c) A négyzet alapú ház alapterülete akkor a lehető legnagyobb, ha a négyzet A- val szembeni csúcsa a C pont. Az ABCD négyszögbe berajzolva a négyzetet, az a négyszögben két egybevágó derékszögű háromszöget hoz létre. ( pont) Jelölje T a C csúcsból húzott, AD oldalnak a metszéspontját. Ekkor a TC a keresett négyzet oldala. István konve négyszögében CT A TCD derékszögű háromszögben: cos5 b TCD 5

3 Mivel 0 b, így Ekkor a ház alapterülete: kb. 49 Péter konkáv négyszöge esetében 0 CT cos5 5,77 m m lenne. TCD 75. Mivel ekkor cos 75. CT b 0 így CT cos75 4, m. Ekkor a ház alapterülete: kb. 8 lenne ) Az a és b b cos t;sin t és a) Adja meg a vektor koordinátái a t valós paraméter függvényében: számot jelöli! b) Mekkora az a b sin t;cos t és b és b, m Összesen: pont vektorok koordinátáinak pontos érékét, ha t az vektorok hajlásszöge t 5 6 szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!) c) Határozza meg t olyan valós értékeit, amelyek esetén vektorok merőlegesek egymásra! a) 5 5 acos ;sin a 6 6 ; 5 5 sin ;cos ; b b 5 6 ( pont) esetén? (A keresett (5 pont) és (7 pont) a b b) Jelöljük a két vektor által bezárt szöget -val. A koordinátáival adott vektorok skaláris szorzata kétféleképpen is kiszámítható: illetve ab a b cos Mivel a és b ab Ezért 0 cos, ebből cos 0, Innen zár be. c) A két vektor akkor és csak akkor merőlege egymásra, ha ab 0 A keresett t ismeretlent a szokásosabb módon jelöli. Mivel ab cos sin sin cos, így a cos sin sin cos 0 egyenlet megoldása a feladat. Azonos átalakítással adódik: 78,4. Tehát a két vektor ebben az esetben kb. 78 -os szöget

4 cos sin sin cos 0

5 Ez a szorzat pontosan akkor nulla, ha vagy sin 0 vagy sin cos 0 cos 0 () n, ahol n k, ahol k sin cos 0 vagy () vagy () A () alatti egyenletnek nem megoldásai azok az számok, amelyek koszinusza 0, így az egyenlet megoldáshalmaza azonos a tg egyenletével Azaz m 4, ahol m A két vektor tehát pontosan akkor merőleges egymásra, ha t m 4, ahol nm, t n vagy Összesen: 4 pont

6 4) Az a n mértani és b n mindkét orozat hatodik tagja számtani sorozatnak is az első tagja, és. a) Sorolja fel mindkét sorozat első öt tagját! (4 pont) b) Milyen pozitív egész n-ekre lesz a két sorozat első n tagjának összege ugyanakkora? (9 pont) a) Felírva a hatodik elemeket az első elem és a kvóciens (q), illetve a differencia (d) segítségével kapjuk, hogy d 5 A mértani sorozat első öt eleme: A számtani sorozat első öt eleme: q. ; ;; ; ; ; ; ; b) A mértani sorozat első n tagjának összege: S n n 0, ha n páros, ha n páratlan A számtani sorozat n-edik tagja: bn n 5 A számtani sorozat első n tagjának összege: 6 sn n n 5 5 sn s n ( pont) n 5 n, azaz 0, azaz a megoldása van, az sn, tehát 6 n n n n egyenletnek pontosan egy pozitív egész n 6 ( pont), azaz n 6n 5 0 egyenlet megoldásai n és n 5. ( pont) Tehát a két sorozat első, vagy első 5, vagy első 6 tagjának összege ugyanakkora Összesen: pont

7 5) A Kovács családban 4 embernek kezdődik a keresztneve B betűvel. Négyen teniszeznek, és négyen kerékpároznak rendszeresen. A család tagjairól tudjuk: - csak Bea és Barbara jár teniszezni és kerékpározni is; - egyedül Balázs nem űzi egyik sportágat sem - Zoli próbálja testvérét, Borit a teniszezőktől hozzájuk, a kerékpározókhoz csábítani- sikertelenül. a) A fentiek alapján legalább hány tagja van a Kovács családnak? (5 pont) Egyik nap Barbara, Bea, Bori és Balázs barátaikkal vonaton utaztak, és hogy jobban teljen az idő, játszottak. A játék kezdetekor a társaság minden tagjának egy-egy olyan háromjegyű pozitív számra kellett gondolnia, amelynek minden számjegye 4-nél nagyobb és 7-nél kisebb. Amikor sorra megmondták a gondolt számot, kiderült, hogy nincs a mondott számok között azonos. b) legfeljebb hány tagú lehetett a társaság? ( pont) Egy másik alkalommal Barbara, Bea, Bori, Balázs és 4 barátjuk (Attila, András, Ali és Anna) moziba ment. Mind a 8 jegy egy sorba, egymás mellé szólt. c) A 8 ember hány különböző ülésrendben foglalhat helyet, ha az azonos betűvel kezdődő keresztnevűek közül semelyik kettő nem kerül egymás mellé? (5 pont) d) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a c) pont szerinti ülésrend alakul ki, ha minden ülésrend egyenlően valószínű? ( pont) a) Jelölje T a teniszezők, K a kerékpározók halmazát a Kovács családon belül. Barbara, Balázs, Bea, Bori elhelyezése II. Zoli elhelyezése Új családtag elhelyezése T halmazon belül Új családtag elhelyezése K halmazon belül A Kovács családnak tehát legalább 7 tagja van

8 b) A háromjegyű szám minden számjegye 5 vagy 6 lehet csak Minden számjegy kétféleképpen választható meg, tehát ilyen háromjegyű szám van Mivel a társaság minden tagja különböző számot mondott, így legfeljebb 8 tagú lehet a társaság c) A feladat szerint Barbara, Bea, Bori és Balázs vagy az,,5 és 7-es számú székeken, vagy a,4,6 és 8-as számú székeken foglalnak helyet, és mindkét esetben a maradék 4 helyre a 4 barát ül. Az első sorrendben az adott 4 helyre Barbara, Bea, Bori és Balázs 4!- féleképpen helyezkedhet el Barbara, Bea, Bori és Balázs bármelyik elhelyezkedése esetén a maradék 4 helyre a 4 barát szintén 4!-féleképpen foglalhat helyet Így az első esetben a 8 embernek 4! 4! 576 -féle ülésrendje alakulhat ki A második esetben is ugyanennyi, ezért a 8 embernek összesen 8 4! 4! 5 ülésrendje alakulhat ki d) A 8 ember összes ülésrendjének száma 8! 400 Mivel bármilyen ülésrend egyenlően valószínű, a kérdéses valószínűség 4! 4! 5 p 0,086 8! ( pont) Összesen: 6 pont 6) Egy üzletben háromféle palackozott ecet van a polcon: db 0%-os, 8 db 5%-os és 5 db 0%-os. Mindegyiket azonos csomagolásban, literes kiszerelésben árulják. a) Hány százalékos ecetet kapnánk, ha a polcon lévő összes ecetet összeöntenénk? ( pont) Kázmér elképzelése az, hogy egy palack ecet árát az üres palack árából, a tömény ecet valamint a tiszta víz literenként árából kalkulálják ki. b) Az üres palack ára 0 Ft, a tömény ecet literje 500 Ft, a tiszta víz literje 0 Ft. Mennyibe kerülne a három különböző töménységű palackozott ecet az üzletben, ha a fogyasztói ár a Kázmér elképzelése szerint kalkulált ár 0%-a? (A fogyasztói árat a végén kerekítik egész forintra.) (5 pont) Kázmér felírta a literes palackok bolti árait: a 0%-os ecet 44 Ft, a 5%-os 50 Ft, a 0%-os 56 Ft. c) Ha ezeket az árakat a b) részben leírtak szerint kalkulálták, akkor ki lehet-e mindezekből számítani az üres palack, a tömény ecet és a tiszta víz árát? (8 pont) a) A liter 0%-os ecet tömény tartalma:, liter, a 8 liter 5%-os eceté is, liter, az 5 liter 0%-osé pedig liter. Az összehasonlítás utáni 5 liter keverékben a tömény ecet,4 liter.,4,5 Ezért a keverék,6% -os 5 00

9 b) Ha a palackban a tömény ecet mennyisége a, a tiszta vízé b (liter), Kázmér számolása szerint egy palack ára forint ( pont), 500a 0b 0 ami a 0%-os palackesetén, 500 0, 0 0, Ft a 5%-os palack estén a 0%-os palack esetén, 500 0,5 0 0,85 0 6, 500 0, 0 0, Ft Ft c) Kázmér kalkulációja alapján a kereskedelmi árrés nélkül megállapított árak a 0%-os palack esetén 0 Ft, a 5%-os palackra 5 Ft, a 0%-osra pedig 0 Ft ( pont) Jelölje a palack árát forintban p, a tömény ecet literjének árát t és a víz literjének árát v. Felírhatók az alábbi egyenletek: () p 0, t 0,9 v 0 () () ( pont) A ()-() egyenletekből kapjuk, hogy 0,05 0,05 5 Ugyanezt kapjuk a ()-() egyenletekből A három egyenlet tehát nem független egymástól. A p, t és v egyértelmű értékeinek megállapítása ezekből az adatokból nem lehetséges Összesen: 6 pont p 0,5 t 0,85 v 5 p 0, t 0,8 v 0 t v 7) Egy matematikus három német és négy magyar matematikust hívott vendégségbe szombat délutánra. Csütörtökön a házigazda és a 7 meghívott közül néhányan telefonon egyeztettek. A házigazda mindenkivel beszélt. Az azonos nemzetiségű vendégek egymást nem hívták, de a többiekkel mind beszéltek telefonon. Senki sem beszélt egy másik emberrel egynél többször, és minden beszélgetés pontosan két ember között zajlott. a) Hány telefonbeszélgetést bonyolított le egymás között a 8 matematikus csütörtökön? (5 pont) A telefonbeszélgetéskor minden meghívott vendég megmondta, hogy mekkora valószínűséggel megy el a szombati vendégségbe. A házigazda tudta, hogy a meghívottak egymástól függetlenül döntenek arról, hogy eljönnek-e. Kiszámolta, hogy 0,08 annak a valószínűsége, hogy mindannyian eljönnek. b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább egy meghívott elmegy a vendégségbe? (Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg!) ( pont) a) Ha a 8 fős társaság minden tagja mindenkivel beszélt volna, akkor beszélgetést folytattak volna le csütörtökön Azonos nemzetiségűek nem beszéltek egymással, tehát a három német összesen -mal kevesebb, míg a négy magyar meghívott összesen 4 6-tal kevesebb beszélgetést folytatott Ezek alapján a csütörtöki beszélgetések száma

10 b) Legyen p az a valószínűség, amit mindannyian mondtak. Mivel egymástól függetlenül döntöttek, annak valószínűsége, hogy mindenki elmegy ( pont) 7 p 0,08 Innen ( pont) Annak a valószínűsége, hogy valaki nem megy el p p 7 0,08 0,600 Annak a valószínűsége, hogy senki sem megy el: 7 7 p 0,4 0,006 Tehát annak a valószínűsége, hogy legalább egy ember elmegy: ami megközelítőleg 0,998 8) Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszéspontja szárak hossza illeszkedik az 5 y 4 7 p ( pont) ( pont) Összesen: 6 pont C 0;7, pont, a egység. A háromszög másik két csúcsa (A,B) egyenletű parabolára. a) Számítsa ki az A és a B pont koordinátáit! (6 pont) b) Írja fel az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek az egyenesnek és a parabolának további közös pontja D. Határozza meg a D pont koordinátáit! (4 pont) c) Mekkora területű részekre bontja az ABC háromszöget a parabola íve? (6 pont) a) A keresett két csúcs rajta van a C középpontú 5 egység sugarú körön. A kör egyenlete: y 7 5 A keresett pontokat a következő egyenletrendszer megoldása adja: y 4 y 7 5 Az első egyenlet átalakításával: 4y 4. Az kifejezést behelyettesítve a második egyenletbe kapjuk, hogy: Innen y 0 Ezek közül csak az y 8y 0 és y 8. y 0 ad megoldást Behelyettesítve az első egyenletbe: A keresett két pont: A ;0 és 4. Innen B ;0 és

11 b) A BC egyenes egyenlete: c) A D pont koordinátáit a 7 4 metszéspontjai adják. 7 D ; 5 gyökei 7 y 4 és y (A másik száregyenes egyenlete: D ; 5.) és a y 4 görbék B-től különböző AC : 7 y 4, közös pont pedig Az ABC háromszög területe: AB m c A parabola két részre osztja a háromszöget. A kisebbik rész területének fele a szimmetria miatt: 4 d 4 0 A háromszögnek parabolaív alá eső területe: A háromszögnek a parabolaív felé eső területe: 8 (területegység) ( pont) (te) Összesen: 6 pont

12 9) Jancsi vázát készít. Egy 0 cm sugarú, belül üreges gömbből levágott m magasságú (m 0 ) gömbszelet határoló köréhez egy szintén m magasságú hengerpalástot ragaszt. A henger sugara megegyezik a gömbszelet határoló kör sugarával. Mekkorának válassza Jancsi a gömbszelet m magasságát, hogy a vázába a lehető legtöbb víz férjen? (A váza anyaga vékony, ezért a vastagságától eltekintünk, s hogy ne boruljon fel, egy megfelelő méretű üreges fatalpra fogják állítani.) Tudjuk, hogy ha a gömbszelet magassága m, a határoló kör sugara pedig r, akkor a térfogata: V m r m 6 (6 pont) A KBC derékszögű háromszög befogóinak hossza m 0 Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt a KBC háromszögre: Ebből r 0m m A váza térfogata: azaz és r, átfogója 0 cm ( pont) m 0 r 00 V m m 0m m m 0m m m 6 4 V m m 0m 45m m ahol 0 0 A V függvény differenciálható a m ;0 ( pont) ( pont) nyílt intervallumon, deriváltja pedig: V m m m m m A 0;0 nyílt intervallumon Vm 0 pontosan akkor, ha m 5 0 m 5 m 5 5 m 0 V m pozitív = 0 negatív szigorúan helyi szigorúan V növő maimum csökkenő ( pont) Az térfogata a lehető legnagyobb Vma 50 Összesen: 6 pont m 5 a V függvény abszolút maimum helye is, így ekkor lesz a váza