MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. október 5. EMELT SZINT 1) Egy háromszög két csúcsa A B I. 8; ; 1;5 a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: x y 6x 4y 1 0. a) Adja meg a háromszög oldalfelező merőlegesei metszéspontjának koordinátáit! b) Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit! (8 pont) a) Az oldalfelező merőlegesek metszéspontja a köré írt kör középpontja A köré írt kör egyenlete x 3 y 5 Ebből az oldalfelező merőlegesek középpontja O 3; b) A C pont illeszkedik az y tengelyre, ezért ha c jelöli a C pont második C 0; c. koordinátáját, akkor C illeszkedik a körre, ezért 3 c 5, tehát 16 c 6; c, azaz a C csúcsra két lehetőség van: C 0;6, C 0; c Ebből 1 1 ( pont) Az ABC 1 háromszög súlypontja: S1 ; S 1 ; ( pont) Az ABC háromszög súlypontja: S ; S ; ( pont) Összesen: 11 pont ) Aladár, Béla, Csaba, Dani és Ernő szombat délutánonként együtt teniszeznek. Mikor megérkeznek a teniszpályára, mindegyik fiú kezet fog a többiekkel. a) Hány kézfogás történik egy-egy ilyen közös teniszezés előtt? Legutóbb Dani és Ernő együtt érkeztek a pályára, a többiek különböző időpontokban érkeztek. b) Hány különböző sorrendben érkezhettek ezen alkalommal? c) A fiúk mindig páros mérkőzést játszanak, kettő kettő ellen. (Egy páron belül a játékosok sorrendjét nem vesszük figyelembe, és a pálya két térfelét nem különböztetjük meg.) Hány különböző mérkőzés lehetséges? (6 pont) a) A kézfogások száma b) Mivel Dani és Ernő együtt érkezett, ezért négy különböző időpontban érkezhettek. A lehetséges érkezési sorrendek száma 4! 4

2 c) Minden mérkőzés során egy fiú pihen, ezért a pályán lévő négy játékosra 5 lehetőség van. A pályán lévő négy fiúból kettő kiválasztására 4 6 lehetőség van ( pont) Viszont ekkor minden mérkőzést kétszer számoltunk, így a rögzített pihenő fiú esetén három különböző teniszparti lehetséges ( pont) Így a különböző lehetséges páros mérkőzések száma 5315 Összesen: 1 pont 3) Péter nagypapája minden évben félretett némi pénzösszeget egy perselybe unokája számára Ft-tal kezdte a takarékoskodást január 1.-jén. Ezután minden év első napján hozzátett az addig összegyűlt összeghez, mégpedig az előző évben félretettnél 1000 Ft-tal többet január 1.-jén a nagypapa bele tette a perselybe a megfelelő összeget, majd úgy döntött, hogy a perselyt most unokájának most adja át. a) Mekkora összeget kapott Péter? (5 pont) b) Péter nagypapája ajándékából vett néhány apróságot, de elhatározta, hogy a kapott összeg nagyobb részét 005. január 1.-jén bankszámlára teszi. Be is tett Ft-ot évi 4%-os kamatos kamatra (a kamatok minden évben, év végén hozzáadódnak a tőkéhez). Legalább hány évig kell Péternek várnia, hogy a számláján legalább Ft legyen úgy, hogy közben nem fizet be erre a számlára? (9 pont) a) A nagypapa kilenc alkalommal tett pénzt a perselybe. A Péter által kapott összeg egy olyan számtani sorozat első kilenc elemének összege, amelynek első eleme 5000, differenciája ( pont) A kérdéses összeg: Péter Ft-ot kapott n n t 60000, t t 1, ,04, ahol n ( pont) b) 0 n 0 n A feltétel szerint , ( pont) Osszuk mindkét oldalt rel, majd vegyük mindkét oldal 10-es alapú 5 logaritmusát: lg1,04 n lg 3 5 lg Innen n 3 13,04 13, ami azt jelenti, hogy 14 évet kell várnia lg1,04 Péternek ( pont) Összesen: 14 pont

3 4) a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az f : 0; 7, f x x 6x 5 függvényt! (4 pont) b) Adja meg az f függvény értékkészletét! ( pont) c) A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az x 6x 5 p 0;7 intervallumon? (8 pont) egyenletnek a f x x 6x 5 x 3 4 a) b) f értékkészlete: 0;1 ( pont) c) A lehetséges megoldások a grafikonról leolvashatók Ha p 0, akkor nincs megoldás. Ha p 0, akkor megoldás van. Ha 0 p 4, akkor 4 megoldás van. Ha p 4, akkor 3 megoldás van. Ha 4 p 5, akkor megoldás van. Ha 5 p 1, akkor 1 megoldás van. Ha 1 p, akkor nincs megoldás. Összesen: 14 pont

4 II. 5) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 3 3 log x x y log y x y 9 (16 pont) cos x y cos x y 0 A logaritmus miatt x és y 1-től különböző pozitív számok lehetnek Az első egyenlet bal oldalát alakítsuk át a logaritmus azonosságát használva: 3 3 log x y log x y log y 3 log x log y log x x x y x y Így az első egyenlet: log y log x x A log x y és a log y x egymás reciprokai, és összegük y ( pont) Ez pontosan akkor teljesül, ha mindkettő 1-gyel egyenlő, amiből azt kapjuk, hogy x y ( pont) Beírva a második egyenletbe: cos x cos 0 0, ahonnan cosx 1 ( pont) Ez akkor és csak akkor teljesül, ha x k, azaz x k, ahol k Összevetve az xy, 0 feltétellel, x y k, k ( pont) 6) A következő táblázat egy 30 fős kilencedik osztály első félév végi matematikaosztályzatainak megoszlását mutatja. Érdemjegy Tanulók száma a) Ábrázolják az eredmények eloszlását oszlopdiagramon! b) Mennyi a jegyek átlaga? ( pont) c) Véletlenszerűen kiválasztjuk az osztály egy tanulóját. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a tanuló legalább 3-ast kapott félév végén matematikából? d) Két tanulót véletlenszerűen kiválasztva mennyi a valószínűsége annak, hogy érdemjegyeik összege osztható 3-mal? (8 pont) a)

5 b) A jegyek átlaga: 3,1 30 ( pont) c) Legalább 3-ast tanuló kapott, így a kérdéses valószínűség 0 P 30 3 d) Az osztályból tanuló kiválasztására lehetőségünk van. ( pont) 7) A kiválasztott tanulók osztályzatainak összege 3-mal osztható, ha az osztályzatok: 1;, 1;5, ;4, 3;3, 4;5 ( pont) 9 A kedvező esetek száma: ( pont) A keresett valószínűség P 0, ( pont) a) A KLMN derékszögű trapéz alapjai KL 1 és MN 3 75 egység hosszúak, a derékszögű szár hossza 10 egység. A trapézt megforgatjuk az alapokra merőleges LM szár egyenese körül. Számítsa ki a keletkezett forgástest térfogatát! ( két tizedesjegyre kerekített értékével számoljon, és az eredményt is így adja meg!) (4 pont) AB CD hosszának összege 0. A beírt körnek az alapokra nem merőleges AD szárral vett érintési pontja negyedeli az AD szárat. Számítsa ki a trapéz oldalainak hosszát! (1 pont) b) Az ABCD derékszögű érintőtrapéz AB és CD alapjai a) A kapott alakzat egy csonkakúp, magassága LM, az alapkörök sugara KL és MN m A csonkakúp térfogata: V R Rr r 1336,47 térfogategység 3

6 b) Legyen AB a, BC b, CD c, DA d. A beírt kör sugara r, középpontja O, az AD oldallal vett érintési pontja E. A D-ből induló magasság talppontja az AB oldalon T. A feltételek alapján a c b d 0 és b r ( pont) Mivel a trapéz szárain fekvő szögek összege 180, és O a belső szögfelezők metszéspontja, ezért az AOD háromszög derékszögű O pontban ( pont) Ennek a derékszögű háromszögnek az átfogóhoz tartozó magassága éppen az 3d OE sugár, ezért a magasságtétel és a feltétel alapján: r, ahonnan 16 d 3 r ( pont) 4 d 3 Így viszont b r, amiből adódik, hogy a TDA háromszög egy szabályos d háromszög fele. Ebből következik, hogy a c ( pont) d 3 d 0, ahonnan 40 d ,7 3 d b ,8 d a c c 0, ebből c ,3 a 0 c ,68

7 8) a) Egy osztály tanulói a tanév során három kiránduláson vehettek részt. Az elsőn az osztály tanulóinak 60 százaléka vett részt, a másodikon 70 százalék, a harmadikon 80 százalék. Így három tanuló háromszor, a többi kétszer kirándult. Hány tanulója van az osztálynak? (6 pont) b) A három közül az első kiránduláson tíz tanuló körmérkőzésen asztalitenisz-bajnokságot játszott. (Ez azt jelenti, hogy a tíz tanuló közül mindenki mindenkivel pontosan egy mérkőzést vívott.) Mutassa meg, hogy 11 mérkőzés után volt olyan tanuló, aki legalább háromszor játszott! (4 pont) c) A második kirándulásra csak az osztály kosárlabdázó tanulói nem tudtak elmenni, mivel éppen mérkőzésük volt. A kosarasok átlagmagassága 18 cm, az osztály átlagmagassága 174,3 cm. Számítsa ki a kiránduláson részt vevő tanulók átlagmagasságát! (6 pont) a) Ha az első kiránduláson az osztály 60%-a vett részt, akkor csak a második és harmadik kiránduláson az osztály 40%-a. Hasonlóan adódik, hogy csak az első és harmadik kiránduláson az osztály 30%-a, csak az első és második kiránduláson az osztály 0%-a vett részt. Mivel nem volt olyan tanuló, aki csak egy kiránduláson vett volna részt, ezért az osztály 10%-a vett részt minden kiránduláson. ( pont) Az előző megállapítás és a feltétel alapján az osztály létszáma 30 Alternatív megoldás: (algebrai megoldás) x y 3 0,6 3 x y z y z 3 0,7 3 x y z z x 3 0,8 3 x y z 4x 4y 6z 1 7x 3y 3z 9 x 8y z 6 x y 3 x 3y 0 x 9, y 6, z 1 Az osztálylétszám: fő. b) Ha minden tanuló legfeljebb két mérkőzést játszott volna, akkor eddig 10 mérkőzés zajlott volna le ( pont) Mivel 11 mérkőzés volt, ezért a skatulya-elv alapján lennie kell olyan tanulónak, aki 3 mérkőzést játszott ( pont) c) A második kiránduláson 1 tanuló volt Jelölje a kiránduláson résztvevők átlagmagasságát h. Ezzel a feltételek 1h 9 18 alapján: 174,3 30 ahonnan h 171 cm ( pont)

8 9) Egy centiméterben mérve egész szám élhosszúságú kockát feldarabolunk 99 kisebb kockára úgy, hogy közülük 98 egybevágó, 1 cm élű kocka. Számítsa ki az eredeti kocka térfogatát! (16 pont) Jelölje a az eredeti kocka élhosszát, b pedig a 99., nem egységkocka élhosszát centiméterben mérve. A feltételek alapján a és b pozitív egészek, és a b a b a ab b Mivel 98 7 és a b a ab b, ezért 3 eset lehetséges ( pont) I. eset: a b 1 és a ab b 98 Ekkor a b 1 helyettesítés után a második egyenletből kapjuk, hogy 3b 3b 97, ami nem lehet, hiszen 3 nem osztója 97-nek II. eset: a b és a ab b 49 Ekkor b b 15, ahonnan a feltételeknek megfelelő megoldás: b 3 és a 5 III. eset: a b 7 és a ab b 14 Ekkor 3b 1b 35, ami nem lehetséges, ugyanis b pozitív egész Azt kaptuk, hogy az eredeti kocka éle 5 cm, így térfogata 15 cm 3. ( pont)