MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 7. KÖZÉPSZINT

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy kis cégnél nyolcan dolgoznak: hat beosztott és két főnök. A főnökök átlagos havi jövedelme Ft, a beosztottaké Ft. Hány forint a cég nyolc dolgozójának átlagos havi jövedelme? Az átlagos jövedelem Ft. ) Az ábra egy sütemény alapanyagköltségeinek megoszlását mutatja. Számítsa ki a vaj feliratú körcikk középponti szögének nagyságát fokban! Válaszát indokolja! ( pont) A sütemény összköltsége 640 Ft. A vaj költsége ennek 8 része. A kérdéses körcikk középponti szöge 15. Összesen: pont

2 4) Az alábbi hozzárendelési utasítással megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények közül kettőnek egy-egy részletét ábrázoltuk. Adja meg a grafikonokhoz tartozó hozzárendelési utasítások betűjelét! A) x x B) x x C) x x D) x x 1) párja C) ) párja A) Összesen: pont 5) A vízszintessel 6,5 -ot bezáró egyenes út végpontja 14 méterrel magasabban van, mint a kiindulópontja. Hány méter hosszú az út? Válaszát indokolja! ( pont) Az adatokat feltüntető helyes ábra, az út hossza x. 14 x sin 6, méter hosszú az út. Összesen: pont 6) Adja meg a egyenletű egyenes és az x tengely M metszéspontjának a koordinátáit, valamint az egyenes meredekségét! ( pont) x y 4 A metszéspont M 0 ;. Az egyenes meredeksége. Összesen: pont

3 7) Adja meg az x x x 10 1 x másodfokú függvény minimumhelyét és minimumának értékét! Válaszát indokolja! x 10x 1 x 5 4 (4 pont) A minimumhely 5. A minimum értéke 4. 8) Adja meg a következő állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! Összesen: 4 pont A) A adathalmaz szórása 4. B) Ha egy sokszög minden oldala egyenlő hosszú, akkor a sokszög szabályos. C) A 4 és a 9 mértani közepe 6. A) hamis B) hamis C) igaz 0; 1; ; ; 4 9) Két gömb sugarának aránya kisebb gömb térfogatának. Adja meg k értékét! k 8 Összesen: pont : 1. A nagyobb gömb térfogata k-szorosa a 10) Egy futóverseny döntőjébe hat versenyző jutott, jelöljük őket A, B, C, D, E és F betűvel. A cél előtt pár méterrel már látható, hogy C biztosan utolsó lesz, továbbá az is biztos, hogy B és D osztozik majd az első két helyen. Hányféleképpen alakulhat a hat versenyző sorrendje a célban, ha nincs holtverseny? Válaszát indokolja! B és D az első két helyen -féleképpen végezhet. Mögöttük A, E és F sorrendje! 6 -féle lehet. ( pont) Így összesen 6 1-féleképpen érhetnek célba a versenyzők. Összesen: pont

4 11) Réka év végi bizonyítványában a következő osztályzatok szerepelnek:. Adja meg Réka osztályzatainak móduszát és mediánját! 4; ; ; 5; 5; 4; 5; 5; 4 A módusz 5, a medián 4. Összesen: pont 1) Adja meg annak valószínűségét, hogy a közül egyet véletlenszerűen kiválasztva a kiválasztott szám prím! A kérdezett valószínűség 0,75 8 7; 8; 9; 10; 11; 1; 1; 14 számok.

5 II/A. 1) a) Egy számtani sorozat első tagja, első hét tagjának összege 45,5. Adja meg a sorozat hatodik tagját! (5 pont) b) Egy mértani sorozat első tagja 5, második és harmadik tagjának összege 10. Adja meg a sorozat első hét tagjának az összegét! (7 pont) a) A sorozat differenciáját d-vel jelölve: 1 4 6d 7 1 d 45,5 7 d 1,5 a 6 5 1,5 A sorozat 6. tagja 9,5. b) A sorozat hányadosát q-val jelölve: q1 ; q 1 5q 5q 10 Ha a hányados, akkor a sorozat első hét tagjának összege: S Ha a hányados 1, akkor a sorozat tagjai megegyeznek, így ebben az esetben az első hét tag összege Összesen: 1 pont 14) A PQR háromszög csúcsai:, és. a) Írja fel a háromszög P csúcsához tartozó súlyvonal egyenesének egyenletét! (5 pont) b) Számítsa ki a háromszög P csúcsnál lévő belső szögének nagyságát! (7 pont) P 6; 1 Q 6; 6 R 5 ; a) A kérdéses súlyvonalra a P csúcs és a vele szemközti oldal felezőpontja illeszkedik. A QR szakasz felezőpontja. A súlyvonal egy irányvektora: A súlyvonal egyenlete: x y F 4; 0,5 PF 10;0, b) (A kérdéses szöget a háromszög oldalvektorai skalárszorzatának segítségével 1; 5 PR 8;6. lehet meghatározni.) Az oldalvektorok PQ és A két vektor skalárszorzata a koordinátákból: PQ PR

6 Az oldalvektorok hossza PQ 1 és PR 10 A két vektor skalárszorzata a definíció szerint: cos PQ PR ahol a két vektor által bezárt szöget jelöli. Innen: cos 0,5077 (mivel Összesen: 1 pont 59, 5 ) 15) A munkavállaló nettó munkabérét a bruttó béréből számítják ki levonások és jóváírások alkalmazásával. Kovács úr bruttó bére 010 áprilisában forint volt. A 010-ben érvényes szabályok alapján különböző járulékokra ennek a bruttó bérnek összesen 17%-át vonták le. Ezen felül a bruttó bérből személyi jövedelemadót is levontak, ez a bruttó bér 17%-ának a 17%-a volt. A levonások után megmaradó összeghez hozzáadtak forintot adójóváírásként. Az így kapott érték volt Kovács úr nettó bére az adott hónapban. a) Számítsa ki, hogy Kovács úr bruttó bérének hány százaléka volt a nettó bére az adott hónapban! Szabó úr nettó bére 010 áprilisában forint volt. Szabó úr fizetésénél a levonásokat ugyanazzal az eljárással számították ki, mint Kovács úr esetében, de ebben a hónapban Szabó úr csak 5980 forint adójóváírást kapott. (5 pont) b) Hány forint volt Szabó úr bruttó bére az adott hónapban? (7 pont) a) A járulékokra levont összeg , (Ft). A személyi jövedelemadóra levont összeg (Ft). Kovács úr nettó bére: Ez a bruttó bérének megközelítőleg a 69% -a. b) Ha Szabó úr bruttó bére az adott hónapban x Ft volt, akkor járulékokra 0,17x Ft-ot, személyi jövedelemadóra pedig 0,17 1,7x Ft-ot vontak le. Ebből. Szabó úr bruttó bére 7000 Ft volt. Összesen: 1 pont ,7 0, x 0,17 x 0,17 1,7 x ,6141 x x ,

7 II/B. 16) Egy iskola asztalitenisz bajnokságán hat tanuló vesz részt. Mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Eddig Andi egy mérkőzést játszott, Barnabás és Csaba kettőt-kettőt, Dani hármat, Enikő és Feri négyetnégyet. a) Rajzolja le az eddig lejátszott mérkőzések egy lehetséges gráfját! (4 pont) b) Lehetséges-e, hogy Andi az eddig lejátszott egyetlen mérkőzését Barnabással játszotta? (Igen válasz esetén rajzoljon egy megfelelő gráfot; nem válasz esetén válaszát részletesen indokolja!) (6 pont) c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a hat játékos közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva, ők eddig még nem játszották le az egymás elleni mérkőzésüket! (7 pont) a) Az egyik lehetséges megoldás (a résztvevőket nevük kezdőbetűjével jelölve): (4 pont) b) Ha Andi egyetlen mérkőzését Barnabással játszotta volna, akkor például Feri eddigi mérkőzéseit Barnabással, Csabával, Danival és Enikővel játszotta volna. ( pont) Ekkor azonban Enikőnek már nem lehet meg a négy mérkőzése, hiszen legfeljebb Csabával, Danival és Ferivel játszhatott volna. Tehát igazoltuk, hogy Andi az eddig lejátszott egyetlen mérkőzését nem játszhatta Barnabással. c) A játékosok kiválasztása helyett a lejátszott illetve nem lejátszott mérkőzéseiket vizsgáljuk. 6 5 Összesen 15 mérkőzés szükséges (összes eset száma). Eddig 8 mérkőzés zajlott le, tehát 7 mérkőzést kell még lejátszani (kedvező esetek száma). A keresett valószínűség , 47 Összesen: 17 pont

8 17) a) Oldja meg a valós számok halmazán az x 0 x egyenlőtlenséget! (7 pont) b) Adja meg az x négy tizedesjegyre kerekített értékét, ha x x 4 0. (4 pont) c) Oldja meg a a) Ha alaphalmazon. x, akkor ( 0, ezért) x cos x cos x 0 x 0 A -nál kisebb számok halmazán tehát a egyenletet a ; (6 pont), vagyis intervallum minden eleme ; x. megoldása az egyenlőtlenségnek. Ha x, akkor ( 0, ezért), vagyis A -nál nagyobb számok halmazában nincs ilyen elem, tehát a -nál nagyobb számok között nincs megoldása az egyenlőtlenségnek.. x A megoldáshalmaz: x b) 5 0 x 4 ; x 0 x. x log 4 x 1, 619 c) (A megadott egyenlet cos x-ben másodfokú,) így a megoldóképlet felhasználásával vagy cos x. cos x 0,5 Ez utóbbi nem lehetséges (mert a koszinuszfüggvény értékkészlete a intervallum). A megadott halmazban a megoldások: 1;1, illetve. Összesen: 17 pont

9 18) Tekintsünk két egybevágó, szabályos négyoldalú (négyzet alapú) gúlát, melyek alapélei cm hosszúak, oldalélei pedig cmesek. A két gúlát alaplapjuknál fogva összeragasztjuk (az alaplapok teljesen fedik egymást), így az ábrán látható testet kapjuk. a) Számítsa ki ennek a testnek a felszínét (cm -ben) és a térfogatát (cm -ben)! Válaszait egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! A test lapjait 1-től 8-ig megszámozzuk, így egy dobó-oktaédert kapunk, amely minden oldallapjára egyforma valószínűséggel esik. Egy ilyen test esetében is van egy felső lap, az ezen lévő számot tekintjük a dobás kimenetelének. (Az ábrán látható dobó-oktaéderrel 8-ast dobtunk.) (9 pont) b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy ezzel a dobó-oktaéderrel egymás után négyszer dobva, legalább három esetben 5-nél nagyobb számot dobunk! (8 pont) a) Az oldallap-háromszögekben a cm-es oldalhoz tartozó magasság hossza (a Pitagorasz-tételt alkalmazva) Egy oldallap területe 8 1 8,8,8 (cm ). (cm). A test felszíne: A testet alkotó gúlák magassága megegyezik annak az egyenlő szárú háromszögnek a magasságával, amelynek szára a gúlák oldalélével, alapja a gúla alapjának átlójával egyezik meg. A,6 cm. A gúla m magasságára (a Pitagorasz-tételt alkalmazva): m 7,65 (cm). m 1 A gúla térfogata: V 7,5 (cm ). A test térfogata ennek kétszerese, azaz megközelítőleg. b) P(egy adott dobás 5-nél nagyobb) P(mind a négy dobás nagyobb 5-nél) 0, A kérdéses valószínűség ezek összege, azaz 0, , 1cm P(három dobás nagyobb 5-nél, egy nem) 0,118 ( pont) Összesen: 17 pont