MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 13. I.

Átírás

1 1) Oldja meg az MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 015. október 13. I egyenletet a valós számok halmazán! ( pont) Összesen: pont ) Egy ABC háromszög A csúcsánál lévő külső szöge 104 -os, B csúcsnál lévő belső szöge 74 -os. Hány fokos a háromszög C csúcsnál lévő külső szöge? Válaszát indokolja! (3 pont) Az A csúcshoz tartozó belső szög 76 -os. Felhasználva azt az összefüggést, hogy a háromszög bármely külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő belső szögek összegével, adódik ' Összesen: 3 pont 3) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett f ( ) 1 sin függvény értékkészletét! ( pont) 0; ( pont) 4) Az alábbi függvények a pozitív számok halmazán értelmezettek: f ( ) 5 g( ) 5 5 h ( ) i( ) 5 Összesen: pont Adja meg annak a függvénynek a betűjelét, amelyik fordított arányosságot ír le! ( pont) Egy függvény akkor ír le fordított arányosságot, ha és y értékek szorzata állandó, így a h ( ) függvény a megoldás. ( pont)

2 Összesen: pont 5) Az A halmaz elemei a 8 pozitív osztói, a B halmaz elemei a 49 pozitív osztói. Adja meg az A B és a B\ A halmazokat elemeik felsorolásával! Megoldását részletezze! (3 pont) A halmaz elemei: A {1;;4;7;14;8} B halmaz elemei: B {1;7;49} A B 1;7 B\ A 49 Összesen: 3 pont 6) Hány kételemű részhalmaza van a {;3;5;7;11} halmaznak? ( pont) 5 10, így 10 db kételemű részhalmaza van a megadott halmaznak. ( pont) Összesen: pont 7) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! ( pont) A) ( 5) 5 B) Minden esetén 5 C) 3. A) ( 5) ( 5) 5, tehát az állítás igaz. B) 5, amely állítás negatív -re nem igaz, tehát az állítás hamis. 5 C) 3, az állítás így igaz. Összesen: pont 8) Az -nél -vel nagyobb számnak az abszolút értéke 6. Adja meg lehetséges értékeit! ( pont) A feladat szövege alapján az alábbi egyenlet írható fel: 6 Az egyenlet megoldásánál két esetet különböztetünk meg. I II. 6 8

3 Összesen: pont 9) Határozza meg az alábbi adatsor terjedelmét, átlagát és szórását! (4 pont) 1;1;1;1;3;3;3;5;5;7 A terjedelem a legkisebb és legnagyobb adat különbsége: 71 6 Átlag: Szórás: 4(1 3) 3(3 3) (5 3) (7 3) 10 ( pont) Összesen: 4 pont 10) Az 50-nél nem nagyobb pozitív páros számok közül egyet véletlenszerűen kiválasztunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy néggyel osztható számot választunk? Válaszát indokolja! (3 pont) Az 50-nél nem nagyobb pozitív páros számokból 5 db van, ez az összes eset száma. Ezek közül 1 db osztható néggyel, ez a kedvező esetek száma. Így a kérdéses valószínűség 1 P 0, Összesen: 3 pont 11) A ruházati cikkek nettó árát 7% -kal növeli meg az áfa (általános forgalmi adó). A nettó ár és az áfa összege a bruttó ár, amelyet a vásárló fizet a termék megvásárlásakor. Egy nadrágért 6350 Ft-ot fizetünk. Hány forint áfát tartalmaz a nadrág ára? Megoldását részletezze! (3 pont) Jelöljük -szel a nadrág áfa előtti árát. Ekkor az alábbi egyenletet írhatjuk fel: 1,7 6350, melyből következik, hogy ( pont) Ha az így kapott nettó árat levonjuk a nadrág bruttó árából, megkapjuk az áfa összegét , vagyis 1350Ft áfát tartalmaz a nadrág ára. Összesen: 3 pont 1) Az iskolai asztaliteniszbajnokságon heten indulnak. Mindenki mindenkivel egyszer játszik. Mostanáig Anita már mind a 6 mérkőzését lejátszotta, Zsuzsa, Gabi, Szilvi, Kati és Orsi pedig 1-1 mérkőzésen vannak túl. Hány mérkőzését játszotta le mostanáig a bajnokság hetedik résztvevője, Flóra? ( pont)

4 Gabi, Szilvi, Kati és Orsi az 1-1 mérkőzését mind Anitával játszották le. Zsuzsa mérkőzéséből az egyiket szintén Anitával játszotta le, a maradék egyet pedig kizárólag Flórával játszhatta le. Így Flóra Anitával és Zsuzsával játszott, azaz mérkőzésen van túl. ( pont) II. A Összesen: pont 13) Egy számtani sorozat három egymást követő tagja ebben a sorrendben 3; a és 18. a) Határozza meg az a értékét és a sorozat differenciáját! (3 pont) Egy mértani sorozat három egymást követő tagja ebben a sorrendben 3; b és 18. b) Határozza meg a b értékét és a sorozat hányadosát! (5 pont) A 3; c és 18 számokról tudjuk, hogy a három szám átlaga kettővel kisebb, mint a mediánja, továbbá 3 c 18. c) Határozza meg a c értékét! (5 pont) a) 3 18 a 5. ( pont) A sorozat differenciája bármely tagjának és az azt megelőző tagnak a különbsége, ezért d b) A hányadost q-val jelölve q 3 4 Ebből: q és b1 4 ( pont) 4 3 vagy, q és b 4. ( pont) 3 4 c) A három szám mediánja c 3 c 18 Átlaga 3 Ezek alapján: 3 c 18 c. 3 Az egyenletet rendezzük, és a megoldás c 8 lesz. ( pont) Összesen: 13 pont 14) Egy öttusaversenyen 31 résztvevő indult. A vívás az első szám, ahol mindenkivel egyszer mérkőzik meg. Aki 1 győzelmet arat, az 50 pontot kap. Aki ennél több győzelmet arat, az minden egyes további győzelemért 7 pontot kap a 50 ponton felül. Aki ennél kevesebbszer győz, attól annyiszor vonnak le 7 pontot a 50-ből, ahány győzelem hiányzik a 1-hez. (A mérkőzések nem végződhetnek döntetlenre.)

5 a) Hány pontot kapott a vívás során Péter, akinek 5 veresége volt? (3 pont) b) Hány győzelme volt Bencének, aki 15 pontot szerzett? (3 pont) Az öttusa úszás számában 00 métert kell úszni. Az elért időeredményeként járó pontszámot mutatja a grafikon. c) Jelölje meg az alábbi két kérdés esetén a helyes választ! ( pont) Hány pontot kapott Robi, akinek az időeredménye perc 6,8 másodperc? A: 30 B: 31 C: 3 D: 33 Péter 317 pontot kapott. Az alábbiak közül válassza ki Péter időeredményét! A: perc 7,00 mp B: perc 7,60 mp C: perc 7,80 mp D: perc 8,00 mp Az öttusa lovaglás számában egy akadálypályán tizenkét különböző akadályt kell a versenyzőnek átugrania. Egy akadály a nehézsége alapján három csoportba sorolható: AB, vagy C típusú. Ádám a verseny előtti bemelegítéskor először az öt darab A, majd a négy darab B, végül a három darab C típusú akadályokon ugrat át, mindegyiken pontosan egyszer. Bemelegítéskor az egyes akadálytípusokon belül a sorrend szabadon megválasztható. d) Számítsa ki, hogy a bemelegítés során hányféle sorrendben ugrathatja át Ádám a tizenkét akadályt! (4 pont) a) Péter összesen 30 mérkőzést játszott le, melyből 5-öt megnyert.

6 A 1 győzelemért megkapta a 50 pontot, a további 4 győzelemért pedig 7-7 pontot kapott, így az ő pontszáma összesen (pont) b) Bence nem kapta meg a 50 pontot, tehát 1-nél kevesebb győzelme volt. Minden hiányzó győzelemért 7-7 pontot vontak le a 50-ből. Ez összesen pont ebből következik, hogy 5-ször vontak le 7 pontot vagyis 16 győzelmet aratott. c) A grafikon leolvasása után a megoldás: C : 3 és C : perc 7,80 mp. ( pont) d) Ádám az 5db A akadályon 5! féleképpen, a 4db B akadályon 4! féleképpen, a 3db C akadályon pedig 3! féleképpen tud átugrani( pont) Összesen 5! 4! 3! Azaz 1780 lehetőség. Összesen: 1 pont 15) Az ABC derékszögű háromszög AC befogója 6cm, BC befogója 8cm hosszú. a) Számítsa ki az ABC háromszög hegyesszögeinek nagyságát! (3 pont) A DEF derékszögű háromszög DE befogója 7 cm -rel rövidebb, mint a DF befogó. Az átfogó cm-rel hosszabb, mint a DF befogó. b) Számítsa ki a DEF háromszög oldalainak hosszát! (8 pont) a) Az ABC derékszögű háromszög A csúcsnál lévő szögére felírjuk a 8 tangens szögfüggvényt: tg 6 Melyből 53,13 90,ebből 36,87. b) A DF befogó hosszát (cm-ben) jelölje, ekkor DE 7, EF A Pitagorasz tétel szerint 7. Felbontás után rendezzük: ( pont) nem megoldás, mert ekkor a másik befogó hosszára negatív érték 1 3 adódik. ( pont) 15 DE 8cm, DF 15cm és EF 17 cm. Összesen: 11 pont

7 II.B 16) Az AB és AC vektorok 10 -os szöget zárnak be egymással, és mindkét vektor hossza 5 egység. a) Számítsa ki az AB AC vektor hosszát!(3 pont) b) Számítsa ki az AB AC vektor hosszát! (4 pont) A PRST rombusz középpontja a K(4; 3) pont, egyik csúcspontja a T (7;1) pont. Tudjuk, hogy az RT átló hossza fele a PS átló hosszának. c) Adja meg a P ; az R és az S csúcsok koordinátáit! (10 pont) a) Ábra Az AB AC és az AB vektorok egy olyan egyenlőszárú háromszög két oldalát határozzák meg, amelynek egyik szöge 60 -os, így a háromszög szabályos. Az összegvektor hossza ezért 5 egység. b) Ábra Ábrázoljuk a AB AC vektort, majd az így kapott háromszögre alkalmazzuk a koszinusztételt. AB AC cos10 8,66 egység. ( pont) c) A rombusz átlói felezik egymást a K pontban, így a K pont a TR átló felezőpontja. Ezt kihasználva megkaphatjuk az R( ; y ) pont koordinátáit. 7 R 4, illetve 1 y R 3 Ebből R 1 és y 7, tehát R(1; 7). R A KT (3;4) vektort 90 -kal elforgatva megkapjuk a ( 4;3) vektort. (3 pont) Ennek kétszerese a KP( 8;6) vektor, amelynek ellentettje a KS(8; 6) vektor. A K pont koordinátáihoz adva ezeknek a vektoroknak a megfelelő koordinátáit, megkapjuk a hiányzó csúcsok koordinátáit. Ebből P( 4; 3) és S(1; 9). ( pont) Összesen: 17 pont 17) Egy 014 végén készült előrejelzés szerint az Indiában élő tigrisek t száma az elkövetkezendő években (az egyes évek végén) megközelítőleg a következő összefüggés szerint alakul: ( ) ,854 t, ahol a 014 óta eltelt évek számát jelöli. R R

8 a) Számítsa ki, hogy az előrejelzés alapján 016 végére hány százalékkal csökken a tigrisek száma a 014-es év végi adathoz képest! (4 pont) b) Melyik évben várható, hogy a tigrisek száma 900 alá csökken? (5 pont) Egy állatkert a tigrisek fennmaradása érdekében tenyésztő programba kezd. Beszereznek 4 hím és 5 nőstény kölyöktigrist, melyeket egy kisebb és egy nagyobb kifutóban kívánnak elhelyezni a következő szabályok mindegyikének betartásával: (I) háromnál kevesebb tigris egyik kifutóban sem lehet; (II) a nagyobb kifutóba több tigris kerül, mint a kisebbikbe; (III) mindkét kifutóban hím és nőstény tigrist is el kell helyezni; (IV) egyik kifutóban sem lehet több hím, mint nőstény tigris. c) Hányféleképpen helyezhetik el a 9 tigrist a két kifutóban? (8 pont) (A tigriseket megkülönböztetjük egymástól, és két elhelyezést eltérőnek tekintünk, ha van olyan tigris, amelyik az egyik elhelyezésben más kifutóban van, mint a másik helyezésben.) a) A tigrisek száma minden évben az előző évinek 0,854-szeresére csökken. Így 014 és 016 között a tigrisek száma 0,854 0,73 -szorosára változik. Ez azt jelenti, hogy a számuk 7% -kal csökken. b) A feladat szövege alapján az alábbi egyenletet írhatjuk fel: ( pont) , Az egyenlet megoldása 8,78 (3 pont) Így 9 év múlva, azaz 03-ban fog a tigrisek száma 900 alá csökkenni. c) A (I) és (II) miatt a kisebb kifutóba 3 vagy 4 tigris kerülhet. Ha 3 tigris kerül a kisebb kifutóba, a (III) miatt (IV) miatt ez csak két nőstény és egy hím lehet. Két nőstényt és egy hímet féleképpen lehet kiválasztani. ( pont) Ha 4 tigris kerül a kisebb kifutóba, akkor (III) és (IV) miatt ez csak két nőstény és két hím lehet Őket féleképpen lehet kiválasztani. ( pont) Így összesen eset lehetséges. Összesen: 17 pont

9 18) Egy műanyag terméket gyártó üzemben szabályos hatoldalú csonkagúla alakú, felül nyitott virágtartó dobozokat készítenek egy kertészet számára (lásd az ábrát). A csonkagúla alaplapja 13cm oldalú szabályos hatszög, fedőlapja 7 cm oldalú szabályos hatszög, az oldalélei 8cm hosszúak. a) Egy műanyagöntő gép 1kg alapanyagból (a virágtartó doboz falának megfelelő anyagvastagság mellett) 0,93m felületet képes készíteni. Számítsa ki, hány virágtartó doboz készíthető 1kg alapanyagból! (11 pont) A kertészetben a sok virághagymának csak egy része hajt ki: 0,91 annak a valószínűsége, hogy egy elültetett virághagyma kihajt. a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy 10 darab elültetett virághagyma közül legalább 8 kihajt! Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg! (6 pont) a) A virágtartó doboz talpának felszíne megegyezik a csonkagúla 7cm -es oldalhosszúságú fedőlapjának területével. Ez egy szabályos hatszög, melynek területe egyenlő 6db 7cm oldalhosszúságú szabályos háromszög területének összegével. 7 sin ,3cm ( pont) t A virágtartó oldalának felületét a csonkagúla oldallapjait alkotó húrtrapézok területével számítjuk ki. A magasság az 3 m 8 összefüggésből adódóan m 7,4cm. ( pont) A trapéz területe ekkor: Így a teljes felület Mivel a gép 1kg anyagból t ,4 74,cm. A 17,3 6 74, 57,5cm 9300cm felületet képes elkészíteni, ezért 1kg anyagból ,4 57,5 ( pont) Vagyis 16 virágtartó doboz készíthető. b) Ha legalább 8 virághagyma kihajt, akkor 8, 9 vagy 10 hajt ki. I. Annak a valószínűsége, hogy pontosan 8 kihajt és nem a binomiális 10 8 tétellel számítható ki: p1 0,91 0,09 0,1714 8

10 II. Annak a valószínűsége, hogy pontosan 9 kihajt és 1 nem: 10 9 p 0,91 0,09 9 0,3851 III. Végül annak a valószínűsége, hogy mind a 10 kihajt: 10 p3 0,91 0,3894 A keresett valószínűség a három eset valószínűségének összege P p p p 0, Összesen: 17 pont