MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 16. KÖZÉPSZINT I.

Átírás

1 ) Az a n sorozat tagját! MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0 október KÖZÉPSZINT I számtani sorozat első tagja és differenciája is 4 Adja meg a a 04 ) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy AB ; ; ; 4; ;, A\ ; AB ; A ; ; 4; B ; ; ; Sorolja fel az A és a B halmaz elemeit! B 4 és Összesen: pont ) Adja meg azt az valós számot, melyre a következő egyenlőség teljesül! 4) Egy középiskolának 480 tanulója van A diákok egy része kollégiumban lakik, a többiek bejárók A bejárók és a kollégisták nemek szerinti eloszlását mutatja a kördiagram Adja meg a kollégista fiúk számát! Válaszát indokolja! ( pont) A kollégista fiúk számát ábrázoló körcikkhez tartozó középponti szög 4 Ez a 0 -nak 8 része A kollégista fiúk száma: 0 Összesen: pont

2 ) Egy érettségiző osztály félévi matematika osztályzatai között elégtelen nem volt, de az összes többi jegy előfordult Legkevesebb hány tanulót kell kiválasztani közülük, hogy a kiválasztottak között biztosan legyen legalább kettő, akinek azonos volt félévkor a matematika osztályzata? A kiválasztandó tanulók száma: ) Egy szám részének a 0%-a Melyik ez a szám? Válaszát indokolja! A keresett számot -szel jelölve, a szám 0, 8 része: ( pont) Összesen: pont 7) Döntse el, melyik állítás igaz, melyik hamis! a) A valós számok halmazán értelmezett f 4 hozzárendelési szabállyal megadott függvény grafikonja az tengellyel párhuzamos egyenes b) Nincs két olyan prímszám, amelyek különbsége prímszám c) Az cm sugarú kör kerületének cm-ben mért számértéke kétszer akkora, mint területének cm -ben mért számértéke d) Ha egy adathalmaz átlaga 0, akkor a szórása is 0 a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis Összesen: 4 pont 8) Rajzoljon egy gráfot, melynek csúcsa és éle van, továbbá legalább az egyik csúcsának a fokszáma A feltételeknek megfelelő gráf

3 9) Adja meg az alábbi hozzárendelési szabályokkal megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények értékkészletét! sin f g( ) cos f értékkészlete: ; g értékkészlete: ; Összesen: pont 0) Az a és b vektorok 0 -os szöget zárnak be egymással, mindkét vektor hossza 4 cm Határozza meg az a b vektor hosszát! Az a b vektor hossza 4 cm ) Számítsa ki a szabályos tizenkétszög egy belső szögének nagyságát! Válaszát indokolja! ( pont) ) A A (szabályos) tizenkétszög belső szögeinek összege: , így egy belső szöge 0 Összesen: pont b n mértani sorozat hányadosa, első hat tagjának összege 94, Számítsa ki a sorozat első tagját! Válaszát indokolja! ( pont) 94, b 94, b b, Összesen: pont

4 II/A ) Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A ;, B 9;, és C ; a) Írja fel a BC oldal egyenesének egyenletét! ( pont) b) Számítsa ki a BC oldallal párhuzamos középvonal hosszát! ( pont) c) Számítsa ki a háromszögben a C csúcsnál lévő belső szög nagyságát! ( pont) a) A BC oldalegyenes egy irányvektora a vektor BC ;9, azaz: 9 y 4 b) A BC oldallal párhuzamos középvonal hossza fele a BC oldal hosszának Ezzel az egyenes egyenlete: 9 y 9 9 A BC oldal hossza: A középvonal hossza: 4y 9 7, AB BC, AC c) Az ABC háromszög oldalainak hossza:, A C csúcsnál lévő belső szöget jelölje Alkalmazva a koszinusztételt: 0 0 cos cos 0,707 (Mivel 0 80, így) 4) Egy ajándéktárgyak készítésével foglalkozó kisiparos családi vállalkozása keretében zászlókat, kitűzőket is gyárt Az ábrán az egyik általa készített kitűző stilizált képe látható A kitűzőn lévő három mező kiszínezéséhez szín (piros, kék, fehér, sárga, zöld) közül választhat Egy mező kiszínezéséhez egy színt használ, és a különböző mezők lehetnek azonos színűek is 4 0 Összesen: pont a) Hányféle háromszínű kitűzőt készíthet a kisiparos? ( pont) b) Hányféle kétszínű kitűző készíthető? ( pont) A kisiparos elkészíti az összes lehetséges különböző (egy-, két- és háromszínű) kitűzőt egy-egy példányban, és véletlenszerűen kiválaszt közülük egyet c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy olyan kitűzőt választ, amelyen az egyik mező kék, egy másik sárga, a harmadik pedig zöld színű? (4 pont)

5 a) Ha három színt akarunk felhasználni, akkor a kitűző mezői különböző színűek lesznek Az egyik (például a legbelső) mezőt -féle, a mellette levőt 4-féle, a harmadikat -féle színnel színezhetjük ki Így 4 0-féle háromszínű kitűzőt készíthetünk b) Az ötből két színt 0 -féleképpen választhatunk ki A három mező közül a két egyszínűt háromféleképpen lehet kiválasztani, és mindegyik esethez kétféle színezés tartozik, ez összesen lehetőség A kétszínű kitűzők száma így c) A kitűző minden mezőjét ötféleképpen színezhetjük ki, így összesen -féle színezés lehetséges A megadott három szín kitűzőn szerepel A kérdéses valószínűség tehát 0 0 kedvező esetek száma összes eset száma p 0, 048 Összesen: pont ) Legyenek f és g a valós számok halmazán értelmezett függvények, továbbá: a) Számítsa ki az alábbi táblázatok hiányzó értékeit! ( pont), f és, g f() g(), b) Adja meg a g függvény értékkészletét! ( pont) c) Oldja meg az számok halmazán! ( pont) a) f,,, egyenlőtlenséget a valós 0,, b) A függvény hozzárendelési utasítását átalakítva:,, A függvény minimuma a, Az értékkészlet:, ; c) Rendezés után: Az,7 0,7 0 egyenlet gyökei: és 7 Mivel a másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, ezért az egyenlőtlenség megoldása: Összesen: pont

6 II/B ) Stefi mobiltelefon-költségeinek fedezésére feltöltőkártyát szokott vásárolni A mobiltársaság ebben az esetben sem előfizetési díjat, sem hívásonkénti kapcsolási díjat nem számol fel Csúcsidőben a percdíj forinttal drágább, mint csúcsidőn kívül Stefi az elmúlt négy hétben összesen órát telefonált és 4000 Ft-ot használt fel kártyája egyenlegéből úgy, hogy ugyanannyi pénzt költött csúcsidőn belüli, mint csúcsidőn kívüli beszélgetésekre a) Hány percet beszélt Stefi mobiltelefonján csúcsidőben az elmúlt négy hétben? A mobiltársaság Telint néven új mobilinternet csomagot vezet be a piacra január elsején Januárban új előfizetőt várnak, majd ezután minden hónapban az előző havinál 7,%-kal több új előfizetőre számítanak Abban a hónapban, amikor az adott havi új előfizetők száma eléri a et, a társaság változtatni szeretne a Telint csomag árán ( pont) b) Számítsa ki, hogy a tervek alapján melyik hónapban éri el a Telint csomag egyhavi új előfizetőinek a száma a et! ( pont) 0 0 a) Az Jelöljük -szel azt, hogy Stefi hány percet beszélt csúcsidőben és y-nal azt, hogy hány forintot kell fizetni a telefonálásért percenként csúcsidőben A feladat szövege alapján felírható egyenletrendszer: y 000 y 0 y 000 A zárójeleket felbontva: Az egyik ismeretlent kifejezve: Behelyettesítés után: y y 000 y Rendezve: A másodfokú egyenlet két gyöke: és A 40 nem megoldása a feladatnak, mivel összesen 0 percet beszélt Stefi 40 percet beszélt csúcsidőben mobiltelefonján a kérdéses időszakban Ellenőrzés a szöveg alapján b) Ha az első hónap után n hónappal az új előfizetők száma már elérte a n et, akkor 0000, (Mivel a tízes alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növekvő, ezért) n lg,07 lg n 9,8 A bevezetés hónapja utáni 0 hónapban, tehát novemberben várható, hogy az új előfizetők száma eléri a et Összesen: 7 pont 40 40

7 7) Egy szabályos négyoldalú (négyzet alapú) gúla alapéle cm, oldallapjai 0 -os szöget zárnak be az alaplap síkjával a) Számítsa ki a gúla felszínét (cm -ben) és térfogatát (cm -ben)! Válaszait egészre kerekítve adja meg! (7 pont) A gúlát két részre osztjuk egy az alaplappal párhuzamos síkkal, amely a gúla magasságát a csúcstól távolabbi harmadoló pontban metszi b) Mekkora a keletkező gúla és csonkagúla térfogatának aránya? Válaszát egész számok hányadosaként adja meg! ( pont) c) Számítsa ki a keletkező csonkagúla felszínét cm -ben! ( pont) a) Jó ábra az adatok feltüntetésével A gúla magassága: M 0,9 (cm) A gúla oldallapjának a cm-es oldalhoz tartozó magassága szintén cm A gúla felszíne: A 4 4 cm A gúla térfogata: V b) Az adott sík a gúlát egy csonkagúlára és egy az eredetihez hasonló gúlára vágja szét, ahol a hasonlóság aránya A hasonló testek térfogatának aránya: 499 cm V V levágott gúla eredeti gúla 8, 7 A hasonló testek térfogatának aránya: 9 : 7, azaz a keletkező testek térfogatának aránya c) (A középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai miatt) a csonkagúla fedőéle 8 (cm), alapéle cm Egy oldallapjának magassága 4 (cm) 8 : 9 8 Egy oldallapjának területe: T 4 40 (cm ) A csonkagúla felszíne: A cm Összesen: 7 pont

8 8) Az egyik világbajnokságon részt vevő magyar női vízilabdacsapat tagjának életkor szerinti megoszlását mutatja az alábbi táblázat a) Számítsa ki a csapat átlagéletkorát! Jelölje A azt az eseményt, hogy a csapatból 7 játékost véletlenszerűen kiválasztva, a kiválasztottak között legfeljebb egy olyan van, aki 0 évnél fiatalabb b) Számítsa ki az A esemény valószínűségét! (8 pont) A világbajnokság egyik mérkőzésén a magyar kezdőcsapat mezőnyjátékosáról a következőket tudjuk: a legidősebb és a legfiatalabb játékos életkorának különbsége év, a játékosok életkorának egyetlen módusza év, a hat játékos életkorának mediánja év, a hat játékos életkorának átlaga 4 év c) Adja meg a kezdőcsapat hat mezőnyjátékosának életkorát! (7 pont) a) Az életkorok átlaga: , év b) (A játékosból 9 olyan van, aki 0 évnél idősebb, így) azoknak az eseteknek a száma, amikor nincs a kiválasztott 7 játékos között 0 évnél fiatalabb: 9 7 Azoknak az eseteknek a száma, amikor egy játékos 0 évnél fiatalabb (és játékos 0 évnél idősebb): 4 9 Az A esemény bekövetkezése szempontjából kedvező esetek számát a fenti két szám összege adja: Az összes esetszám: 7 A kérdéses valószínűség: PA ( ) , 8

9 c) (A legidősebb és legfiatalabb játékos életkorának különbsége csak egyféleképpen lehet év, ha) a legidősebb játékos a legfiatalabb pedig éves a 9 a, A móduszból következik, hogy a játékosok közül ketten Mivel hat játékos van, ezért a medián számtani közepe, azaz az egyik a4 4 játékos Az átlagból következik, hogy vagyis ez a játékos csapatban) a és a 4 a és a évesek éves (és ilyen korú játékos valóban van a csapatban) 8 a 4 a éves (és ilyen korú játékos valóban van a Összesen: 7 pont