5. feladatsor megoldása

Átírás

1 megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180. Ezt felhasználva: α = = 1 és β = = 10.. Az egyenes tartópontja legyen pl. Q( 0 ; )! A PQ = q p( ( 4) ; 0 ) vektor párhuzamos az egyenessel, ezért alkalmas irányvektornak. Így v= PQ( 6; ), vagy választhatjuk a feleakkora hosszúságú ; 1 ( ) vektort is. ( ) az irányvektor, akkor az egyenes egyenlete: Ha 6; x 6y = 6 0 x+ 6y = 4 x+ y = ( pont) Másik megoldás: ( ) az irányvektor: Ha ; 1 x y = x+ y = ] ] 4. A 1 ; intervallumba eső egész számok: ; 1; 01 ;; ; ; ; 11; 1, azaz 15-féle egész számot választhatunk az intervallumból. Köztük minden második szám páros, és páros számmal kezdődik a felsorolás, ezért 8 db páros szám van. 8 Így a keresett valószínűség: P = ( 5 %. ) ( pont)

2 Megoldások 5. A hatványozás, illetve a logaritmus definíciója szerint: 1 x = 8 = 8 = x = 6. A függvény maximumának helye: x = π, értéke: y = Az angolul és a spanyolul tanulók számát összeadva a mindkét nyelvet tanulókat kétszer számoltuk, ezért az összeg pontosan a két nyelvet tanulók számával lesz több az osztálylétszámnál = 5fô tanulja mindkét nyelvet. Az előző gondolatmenet alapján: Ha összeadjuk az angolul és a spanyolul tanulók számát, majd kivonjuk a két nyelvet tanulók számát, akkor megkapjuk a legalább egy nyelvet tanulók számát ( 0), melyet kivonva az osztálylétszámból az adódik, hogy fő nem tanulja egyik nyelvet sem. 8. A társaság tagjait feleltessük meg egy gráf csúcsainak, melyben az élek szemléltetik az ismeretségeket! A feltételek szerint két csúcs fokszáma 1, a maradék öt csúcs mindegyikének pedig V r π = m, ahol r az alapkör sugara, m a kúp magassága. Behelyettesítve az adatokat: 0 π 40 V = cm. 40 cm 0 cm 106

3 10. Prímszámok azok a pozitív egészek, melyeknek pontosan kettő darab különböző pozitív osztójuk van. A) hamis állítás (mert a is prím, így pl.: = 6 páros szám) B) igaz állítás (pl.: + = 5 páratlan szám) Az A) állítás tagadása: például Van két olyan prímszám, melyek szorzata páros szám. 11. Az átlagot megkapjuk, ha az adatok összegét osztjuk az adatok számával: = 445, tehát aznap átlagosan 445 Ft-ba került 1 kg paradicsom a piacon. ( pont) 1. Viszonyítsuk az új árat a régihez! , 156, azaz az új ár 115, 6 %-a a réginek, tehát közelítőleg 15,6%-kal emelték a tej árát. II/A. rész 1. A logaritmus értelmezése miatt a lg x+ lg( x+ 5)= lg0 1 egyenlet értelmezési ( ) tartománya: + az x> 0 és x+ 5> 0feltételekbõl. A logaritmus azonosságainak felhasználásával érjük el, hogy az egyenlet mindkét oldalán csak 1-1 tag álljon! ( ) lg x x+ 5 = lg0 lg10 0 lg( x + 5x)= lg 10 A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt két ugyanolyan alapú logaritmus értéke csak úgy egyezhet, ha argumentumaik is egyenlők: x + 5x=. A kapott egyenletet 0-ra redukálás után a megoldóképlet segítségével megoldjuk: x + 5x =

4 Megoldások x 1 = ± ,, ( ) = ± 1 ahonnan x 1 = vagy x =. Figyelembe véve az eredeti egyenlet értelmezési tartományát egyik sem jó megoldás, azaz a megadott alaphalmazon az egyenletnek nincs megoldása. 14. A feladat szövege szerint: az 1. sorban 1 tégla, a. sorban tégla, a. sorban tégla van, stb. Az egyes sorokban lévő téglák számai számtani sorozatot alkotnak, melynek első tagja a 1 = 1, differenciája d = 1. A piramist alkotó téglák számát megkapjuk, ha összeadjuk a sorozat első 100 tagját: a1 + a100 S100 = 100 = = 5050, a fal tehát 5050 db téglából áll. c) A felső 50 sorban lévő téglák száma a fentiekhez hasonlóan: a1 + a50 S50 = 50 = = 175, így a megmaradt falban a téglák száma: S100 S50 = 775 db. Téglalappá kiegészítve a trapéz alakú falat minden sor olyan széles lesz, mint az alsó sor, azaz minden sorban pontosan 100 tégla lesz. A téglalap alakú falban a téglák száma: = 5000, így a kiegészítéshez szükséges téglák száma: = 15 db. 108

5 15. A ceruzák és tollak száma éppen megegyezik a férőhelyek számával, ezért a tolltartóba pakolás annyiféleképpen történhet, ahányféleképpen sorba állíthatjuk a 8 db írószert. Mivel a 8 íróeszköz közül, illetve db egyforma van, ezért a lehetséges sorrendjeik száma: 8! = 60.!! A 6 ceruzának egymás mellett kell lennie, ezért a toll valamelyik szélső helyen kell, hogy legyen. Először azt kell eldöntenie Lacinak, hogy a 8 helyből melyik 6-ra tegye a ceru- 8 zákat. A 8 helyből 6-ot -féleképpen lehet sorrend nélkül kiválasztani, azaz 8! 6 = 8-féleképpen. 6!! Bármelyik 6 helyet választva a 6 ceruzát 60-féle sorrendben pakolhatja oda (lásd pont), így összesen 8 60 = féleképpen rakhatja be a ceruzáit. c) A 6 egymás melletti ceruza lehetséges sorrendjeinek száma: 6! = 60.!! A tollat mindkét szélre -féle sorrendben teheti Lacika, azaz összesen 4-féle sorrendben. Ezek alapján a 8 írószert 60 4 = 40 -féle sorrendben teheti a tolltartóba. II/B. rész 16. Jelöljük x-szel az iskola tanulóinak létszámát! A kördiagramról leolvasható, hogy a gyalogosan iskolába járók száma 0, 07x, a biciklivel járóké pedig 01, x. Tudjuk, hogy 40-nel kevesebb a gyalogos, mint a biciklis, azaz 007, x+ 40= 01, x, ahonnan x = 800. Az iskolába 800 tanuló jár. 109

6 Megoldások Számítsuk ki a kördiagram alapján, hogy milyen közlekedési eszközzel hányan járnak a gimnáziumba! troli , = 00 fô villamos , = 15 fô bicikli , = 96 fô autó , = 80 fô gyalog , = 56 fô busz , = 16 fô ( pont) Ezen adatok alapján a megfelelő oszlopdiagram: Tanulók száma troli villamos bicikli autó gyalog busz Közlekedési eszköz (4 pont) c) Egy kördiagram csak az eloszlás arányát adja meg, ezért nem következtethetünk belőle az A) és a B) állításokra (viszont a C) és D) állításokra igen). (4 pont) -ban) és y-nal a menetidejét (órá- 17. Jelöljük x-szel az autó átlagos sebességét ( km ban) az első odaút során! h A feladat állításai alapján mindkét odaútra felírhatunk egy egyenletet: () 1 x y = 170 ( a sztrádán) ( ) ( x 50) 15, y = 170 ( az 5-ösön) (4 pont) Az így kapott kétismeretlenes egyenletrendszert többféleképpen is megoldhatjuk. pl.: Osszuk el a két egyenletet egymással! 110