Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások"

Átírás

1 Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása a valós számok halmazán! + 0 a) = 0 (4 pont) = 5 (4 pont) c) ( 6) ( ) d) sin ( cos, 5 cos ) + = (4 pont) = (4 pont) a) A nevező nem lehet 0, ezért 0, ebből. A továbbiakban a tört akkor 0, ha számlálója 0, tehát + 0 = 0, azaz = és =,5. Így az egyenletnek csak egy valós megoldása van: =,5. A rendezés után kapott + 6 = 5 9 egyenletet mindkét oldalról négyzetre emelve, rendezés után kapjuk, hogy 0 9 = 0. Innen = 9. Behelyettesítéssel ellenőrizve ez jó megoldás. c) A logaritmus értelmezése szerint: és 0. Az első egyenlet megoldásai azon valós számok, amelyekre vagy. a másodiké:. A két egyenlőtlenség megoldáshalmazának nincs közös eleme, így az egyenletnek nincs megoldása. d) A jobb oldali kifejezés az értelezési tartományán csak nem negatív lehet, így sin 0. Ez csak = + k ( k ) esetén teljesül. De mivel cos + k = 0 minden k esetén, és nullára a logaritmus nincs értelmezve, így nincs olyan valós szám, amelyre az egyenlet értelmezve lenne, így nincs megoldása. Összesen: 6 pont ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: 8 = 0 a) ( ) ( ) = 6-9 -

2 005-0XX Emelt szint a) A logaritmus értelmezése alapján: 8 0 ( vagy ) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0, azaz, ha 0 8 = 0. = vagy ( ). eset: = 0 = 8 = 0 8 =. eset: ( ) ( ) 8 = = 9 = vagy = Az = nem eleme az értelmezési tartománynak. Az értelmezési tartomány = és = elemei a megoldások, mert az átalakítások ekvivalensek M = ; voltak. Ha 0, akkor az egyenlet 0-ra redukált alakja 6= 0; ha 0, akkor a megoldandó egyenlet: + 6= 0.. eset: ( 6= 0, 0 ). Az egyenlet gyökei: = ; =. Csak az = megoldása az egyenletnek az 0 feltétel miatt.. eset: ( + 6= 0, 0 ). Az egyenlet gyökei: = ; =. Csak az = megoldása az egyenletnek az 0 feltétel miatt. Összesen: 0 pont ) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! = a) ( ) ( ) + = (6 pont) a) A logaritmus azonosságait és a 0-es alapú logaritmus szigorú monotonitását = 00 másodfokú egyenlet. felhasználva, megoldandó a ( ) ( ) Ezt megoldva: =, =. ( pont) Mivel a bal oldal értelmezése alapján, ezért = nem gyöke az egyenletnek. Az = kielégíti az eredeti egyenletet. A jobb oldalon alkalmazva a hatványozás azonosságait, megoldandó a = 9 egyenlet ( pont) 9 Ebből rendezéssel kapjuk, hogy = ( pont) Innen = log 9 = 9 A kapott gyök kielégíti az eredeti egyenletet Összesen: pont

3 Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások 4) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 0 4 log 9 = sin + 6 5) ( pont) sin = = 0 log 9 = 9 4 Így az 0 0 = egyenletet kell megoldani, ebből = 4. 6 (4 pont) = = Ellenőrzés: = jó megoldás, = nem jó megoldás. Összesen: pont a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! ( + y ) = (9 pont) = + ( y ) a). eset: + 6 = 0, 6 ennek valós gyökei és. Ezek megoldásai az eredeti egyenletnek.. eset: + 6 = 0, 6 ennek nincs valós megoldása. Tehát az egyenlet megoldásai a és a. 0 és y a logaritmus értelmezése miatt. A logaritmus azonosságait használva, ( + y) =. = ( y ) ( pont) Az függvény szigorú monoton nő. + y = = y A második egyenletből kifejezzük -et, behelyettesítve az elsőbe kapjuk, hogy 4y y+ 6 = 0. Ennek valós gyökei és 0,75. Az y miatt 0,75 nem eleme az értelmezési tartománynak. Ezért csak y = és így = egyenletnek. lehetséges. A ( ) ; számpár megoldása az Összesen: 4 pont

4 005-0XX Emelt szint 6) Oldja meg az alábbi egyenleteket! log0,5 a) 0,5 =, ahol 0 és (4 pont) log = log, ahol és (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 = egyenletben a hatványozás megfelelő azonosságát alkalmazva, az 0,5 0,5 log0,5 Innen a logaritmus definíciója szerint Ebből = = egyenlethez jutunk. 0,5 = egyenlet adódik. ( pont). log Mivel log log 6 Így a megoldandó egyenlet: 7 = log. log Mindkét oldalt log -szel szorozva, és az egyenletet nullára redukálva: log 7 log + 6 = 0. A log -re másodfokú egyenlet megoldásai: log = 6 vagy log = = 64 vagy =. Mivel, a 64 nem megoldás. A megadott halmazon az egyenleteknek egy megoldása van, a. Összesen: pont 7) Oldja meg a következő egyenletrendszert, ha és y valós számok, továbbá 0, és y 0, y. log y + log y = sin ( + y ) + sin ( 4 + y ) = ( pont) Áttérve azonos alapú logaritmusra: log y + =. log y ( pont) Mivel egy pozitív számnak és a szám reciprokának összege pontosan akkor, ha a szám, ( pont) ezért log y =, azaz = y. Behelyettesítve a második egyenletbe: sin5 =, azaz sin5 =. Innen 5 = + k, 6 5 vagy 5 = + l, 6 ahol k és l

5 Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások A megoldások így: = y = + k ( k ), 0 5 és = y = + l ( l ) 6 5 A kapott értékek kielégítik az egyenletet. Összesen: pont 8) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! log ( y ) + log y ( y ) = 9 (6 pont) cos ( + y ) + cos ( y ) = 0 A logaritmus miatt és y -től különböző pozitív számok lehetnek. Az első egyenlet bal oldalát alakítsuk át a logaritmus azonosságát használva: log y + log y = + log y + log + = + log y + log. ( pont) ( ) ( ) ( ) y y Így az első egyenlet: log y + log =. A log y és a log y egymás reciprokai, és összegük. y ( pont) Ez pontosan akkor teljesül, ha mindkettő -gyel egyenlő, amiből azt kapjuk, hogy = y. ( pont) Beírva a második egyenletbe: cos + cos 0 = 0, ahonnan cos = ( pont) Ez akkor és csak akkor teljesül, ha = + k, azaz = + k, ahol k. ( pont) Összevetve az y, 0 feltétellel, = y = + k, k. ( pont) Összesen: 6 pont 9) Az alábbi három kifejezés mindegyike esetén adja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a kifejezés értelmezhető! a) cos ( log ) ( pont) log ( cos ) c) log ( cos ) a) A négyzetgyök miatt 0. A logaritmus miatt 0. A keresett halmaz: 0;+. A logaritmus miatt cos 0. log cos 0, A négyzetgyök miatt ( ) azaz cos. A koszinusz függvény értékkészlete miatt cos =. Az értelmezési tartomány tehát = k, k. c) A logaritmus alapjai miatt 0 és. A logaritmus miatt cos

6 005-0XX Emelt szint Tehát cos 0. + k, ahol k Az értelmezési tartomány tehát, \ ahol k + k. Összesen: pont 0) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) + = (4 pont) ( )( + 4) = ( 4) (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete miatt: ;0. Négyzetre emelés után: + =. Az = 0 egyenlet gyökei: és. Közülük csak a eleme a fenti intervallumnak (és az átalakítások ezen az intervallumon ekvivalensek), ezért ez az egyetlen megoldás. (A grafikus módszerrel való megoldásért szintén maimális pontszám jár) Közös alapra hozva a két oldalt: ( )( + 4) = 4. Az eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt az alapok elhagyhatóak: ( )( + 4) =. + 4 Ebből = vagy ( pont) ( + 4) =, amiből = vagy = 5. Ellenőrzés. Összesen: pont ) a) Igazolja, hogy a, a 0 és a is gyöke a 5 = 0 egyenletnek, és az egyenletnek ezeken kívül más valós gyöke nincs! Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! cos 5cos cos = 0 (6 pont) c) Mutassa meg, hogy a = 0 egyenletnek nincs valós gyöke! a) ( ) 5 = 5 = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla! Az = 0 valóban gyök

7 Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások A többi gyököt a megmaradt másodfokú egyenletből kapjuk meg: 5 = 0 A két gyök: és, azaz a megadott három szám valóban gyöke az eredeti egyenletnek. Másodfokú egyenletnek legfeljebb két különböző valós gyöke lehet, ezért több gyök nincsen. Vezessünk be új ismeretlent: y = cos! A y 5y y = 0 egyenletnek keressük a valós gyökeit, melyeket az a) feladatrészből tudhatunk is: y = 0, y =, y =. Mivel a cos kifejezés értéke - és között mozoghat csak, ezért a nem jó megoldás. A cos = 0 egyenlet megoldása: = + k, ahol k. ( pont) A cos = egyenlet megoldásai:, = + m, ahol m. ( pont) c) Az egyenlet bal oldalán kiemelhető: ( ) = 0. Az eponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, így = 0 nem lehetséges. Másodfokúra visszavezethető a megmaradt egyenlet: ( ) = 0. = vagy =. Az eponenciális függvény már említett értékkészlete miatt ezek nem valós gyökei, így valóban nincs megoldása az egyenletnek. Összesen: 6 pont ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) sin sin = cos = + (7 pont) a) Az egyenlet jobb oldalát azonosság alkalmazásával alakítva: sin sin = sin. sin sin + = 0, Innen sin =, = + k, ahol k. Ellenőrzés A logaritmus függvény értelmezése miatt 0. Mivel 5 ( 5 ) ( ) Az =, ezért az egyenlet = alakban is írható. 5 -re nézve másodfokú egyenlet megoldásai:

8 005-0XX Emelt szint 5 = és Mivel 5 5 =. 5 0, ezért 5 = nem lehetséges. Ha 5 = 5, akkor = 0. Ellenőrzés Összesen: pont ) a) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol és y pozitív valós számok! (6 pont) + y = 0, + y + y = ; halmazon a sin cos = egyenletet! (6 pont) Oldja meg a a) Az első egyenletből = 0, y, ezt a másodikba behelyettesítve (0, y) + y = 0,. ((0, yy ) ) = (A logaritmus definíciója miatt) (0, yy ) = 0,0, azaz y 0,y+ 0,0 = 0. Innen y = 0, és (visszahelyettesítve) = 0,. Ellenőrzés például behelyettesítéssel: (az első egyenlet nyilván igaz) a második egyenlet bal oldala: 0, 0, =, jobb oldala: =. ( cos ) cos = cos + cos = 0 cos = 0 vagy cos = cos = 0 a ; alaphalmazon pontosan akkor teljesül, ha = vagy =. cos = a ; alaphalmazon pontosan akkor teljesül, ha = vagy =. Ellenőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivalens átalakításokra hivatkozással. Összesen: pont