Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Átírás

1 Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú tagok összegének 50-szeresével Továbbá azt is tudjuk hogy az utolsó négy tag köbének összege az öt tag közül vett páratlan sorszámú tagok összegének a -szerese Adja meg ezt az öt számot! Jelölje ennek a számtani sorozatnak a különbségét d az öt pozitív egész szám közül a középsőt a Ezzel a jelöléssel a számtani sorozat első öt tagja a következőképpen írható: () a d; a d; a; a d; a d A feltételek alapján felírhatók az ( a d ) ( a d ) a ( a d ) = 50 ( a d a d ) és ( a d ) a ( a d ) ( a d ) = ( a d a a d ) összevonás után az () ( a d ) ( a d ) a ( a d ) = 50 a és () ( a d ) a ( a d ) ( a d ) = a egyenletek A () egyenletből a () megfelelő oldalait kivonva kapjuk hogy () ( a d ) ( a d ) = 7a () rendezés és egyszerűsítés után a d d = 9a alakra hozható amiből (5) d = a ( ad ) következik

2 Mivel a sorozat tagjai pozitív egészek ezért () alapján a sorozat különbsége is pozitív egész szám így (5) mindkét oldala pozitív egész Ugyanakkor (5) jobb oldala -mal osztható ezért a bal oldalnak is -mal oszthatónak kell lennie Tudjuk hogy és relatív prímek így d csak úgy lehet -mal osztható ha d azaz d osztható -mal A feladat feltétele szerint a sorozat különbsége prímszám ezért csak lehetséges d = A d = értéket az (5) egyenletbe írva rendezés után a pont (6) a a 6 = 0 másodfokú egyenletet kapjuk Ennek gyökei: Az csak = a = 9 és a = a nem egész szám ezért nem megoldása a feladatnak Eszerint lehetséges a = 9 Az a = 9 és a d = számokat ()-be helyettesítve a számtani sorozat első öt tagja: ; 6; 9;;5 Ellenőrzés: (Vagy az ekvivalenciára hivatkozás) 6 9 = 700 és 50 ( 6 ) = 700; valamint = 608 és ( 9 5) = 608 Tehát a ; 6; 9;; 5 számok megfelelnek a feltételeknek Összesen: 0 pont - -

3 Adott egy kör amelynek egyenlete y 0 0y 5 = 0 a) Bizonyítsa be hogy a kör minden pontja az első koordináta-negyedbe esik! b) Legyenek a körön levő P pontok koordinátái és y Képezzük a P Megoldás: pontok koordinátáiból a y k = hányadosokat! Mennyi k maimuma és a kör melyik pontjában veszi ezt föl? a) Az y 0 0y 5 = 0 egyenletből teljes négyzetté alakítással kapjuk hogy: () ( 5) ( y 5) = 5 () szerint az y 0 0y 5 = 0 egyenlet valóban kör egyenlete A kör ( u v) C ; -vel jelölt középpontjának koordinátái: u = 5 és v = 5 a kör sugara pedig R = 5 A körön lévő pontok koordinátáira: 5 5 = u R > 0 azaz > 0 és y 5 5 = v R > 0 azaz y > 0 tehát a kör minden pontja valóban az első koordináta-negyedbe esik b) A y k = ( > 0 ; y > 0) átalakításából y = k egyenletet kapjuk ami értelmezhető úgy mint az origón áthaladó k (> 0) meredekségű egyenessereget megadó összefüggés - -

4 Az ábrán megrajzoltunk néhány olyan egyenest amely megfelel ennek a követelménynek ábra a körön lévő pont ezért a fenti egyenesseregből azt a legmeredekebb egyenest kell kiválasztanunk melynek van közös pontja a körrel Mivel k maimumát keressük és P ( ; y) Ez éppen az origóból a körhöz húzott egyik érintő mely létezik mert az origó a körön kívül van (hiszen a kör minden pontja az I koordináta negyedbe esik) Az érintő meredekségének kiszámításához az és a y 0 0y 5 = 0 y = k egyenletrendszer megoldását keressük Ebből a két egyenletből kapjuk hogy () ( ) ( 0k 0) 5 = 0 k Az érintőhöz olyan k értéket keresünk amely mellett pontosan egy darab értéket kapunk - 5 -

5 A () egyenletnek akkor és csak akkor van -re egy megoldása ha diszkriminánsa 0 Ebből k -ra a rendezve a ( 0 0) ( k ) 5 = 0 () k 5k = 0 k egyenletet kapjuk A () egyenlet gyökei a k = és k = Eszerint a y k = hányados maimális értéke k = Ezt ()-be helyettesítve vagy egyszerűsítés után ahonnan továbbá az következik A y = 0 ( ) = = = y = k egyenlet felhasználásával y = 6 k = hányados a maimumot az y 0 0y 5 = 0 kör és az = egyenes egyik érintési pontjában az ( ; 6) y értéke k = = y E pontban veszi fel és Összesen: 0 pont - 6 -

6 megjegyzés: k értékének kiszámítását úgy is végezhetjük hogy felírjuk az C átmérőjű Thalesz kör egyenletét: O y = majd megkeressük az adott kör és a Thalesz kör közös pontjait az ( 5) ( y 5) = 5 és 5 5 y = 5 egyenletrendszer megoldásából Azt kapjuk hogy az érintési pontok : ( ;6) = y = 6 E ( 6;) = 6 y = F pont Ebből O E meredeksége k = A O F meredeksége k = y k = hányados a maimumot az y 0 0y 5 = 0 kör és az = egyenes egyik érintési pontjában az ( ; 6) y értéke k = = y E pontban veszi fel és megjegyzés: y A k = hányados minimuma k = ez az O F pontokon áthaladó érintő meredeksége Az E és F pontok egymás tükörképei az F 6; y = egyenesre vonatkozóan ezért ( ) - 7 -

7 Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! y y = 5 y y = 5 y 7 Megoldás: Két esetet vizsgálunk meg Elsőként azt hogy a) y 0 másodikként azt hogy b) y < 0 Az a) esetben az abszolút-érték definíciója miatt y = y és így az egyenletrendszer első egyenletéből azt kapjuk hogy: () y = 7 () ből et kifejezve: 7 y = Ezt a kifejezést a második egyenletbe helyettesítjük: 7 y 7 y 7 y () y y = 5 y 7 ()-ből a műveletek elvégzése és rendezés után a () y y 7 = 0 másodfokú egyenlet következik A () egyenlet gyökei pont 7 y Ha y = akkor = miatt y = és 7 y = = - 8 -

8 Az = ; y = számpárra teljesül az y 0 feltétel Ha 7 7 y y = akkor (ugyancsak = alapján) = 0 de az = 0 ; y = 7 = 0 ; y = számpárra nem teljesül az y 0 feltétel ezért nem megoldás b) esetben y < 0 Ekkor az abszolút-érték fogalma miatt 7 y = y és így az első egyenletből azt kapjuk hogy: () y = Az egyenletrendszer második egyenlete átalakítható a következőképpen: (5) ( y) = 5 ( y) y 7 () és (5) összevetéséből illetve 9 = 5 y 7 y = adódik ez pedig () alapján azt jelenti hogy = Az = ; y = számpárra nem teljesül az y < 0 feltétel tehát nem ad új megoldást Ellenőrzés: = 5 5 = 5; = = 9 Minden esetet megvizsgáltunk azt kaptuk hogy a kiinduló egyenletrendszer egyetlen megoldása az = ; y = számpár Összesen: 0 pont - 9 -

9 Megoldás: Legyen y = a és y = b Ezzel a jelöléssel az egyenletrendszer első egyenlete így írható: () a b a = 0 A második egyenletet is írjuk át jelöléssel Mivel a második egyenlet szerint ezért a b közti összefüggésre A fenti b = y y 9 6 y y y = 5 y 7 b = 5 y y b = y b = a Így a második egyenlet az új változókkal: () a = 0 b pont Meg kell oldanunk az ()-ből és ()-ből álló egyenletrendszert Ha a 0 akkor és () szerint csak a lehetséges ekkor azonban = 0 b = 0 is teljesül Ezek az értékek kielégítik az () egyenletet is tehát az egyik megoldás a = 0 ; b = 0 Ekkor: y = 0 és 0 y = - 0 -

10 amiből = és y = adódik pont Ha a < 0 akkor az abszolút-érték definíciója miatt a = a ebből pedig () szerint b = 0 következik Ekkor azonban ()-ből a = 0 adódnék ami ellentmond az a < 0 -nak Az egyenletrendszer egyetlen megoldása tehát az = ; y = számpár Ellenőrzés: = 5 5 = 5; = = 9 Az adott számpár kielégíti mindkét egyenletet Összesen: 0 pont Megoldás Először átalakítjuk a megadott egyenleteket: () ( y ) ( y) y = 5 () ( y) = 5( y) y 7 pont Ezután új ismeretleneket vezetünk be: () y = a () y = b - -

11 Ezeket ((-be és ()-be beírva: (5) a b a = (6) b = 5b y 7 (6)-ból y -t kiküszöbölhetjük ha () és () különbségét vesszük y = b a (7) y = b a majd(7)-et (6)-ba beírjuk: ( a 9) = 0 b 6b Ez b ben másodfokú egyenlet a paraméterrel így (8) b = ± a Innen megállapítjuk hogy a nem lehet pozitív tehát a 0 (8)-at (5)-be behelyettesítve De a 0 miatt a = a így a ± a a = ± a = 0 Ennek az egyenletnek a megoldása: a = 0 amiből (8) alapján: b = ()-ba és ()-be visszahelyettesítve: y = y = Ennek pedig egyetlen megoldása az = ; y = számpár - -

12 Ellenőrzés: = 5 = 9 5 = 5; 5 7 = 9 Az adott számpár kielégíti mindkét egyenletet Összesen: 0 pont Adottak a k ; k ; k egymást páronként kívülről érintő körök Az érintési pontjaik legyenek: P = k k Q = k k és R = k k A PQ egyenes k körrel való másik metszéspontja A és k -mal C Az AR egyenes a k kört B -ben is metszi Bizonyítsa be hogy az ABC háromszög derékszögű! Megoldás: jelöléseink a ábrán láthatók ábra Azt fogjuk bizonyítani hogy az ABC háromszög C csúcsában van derékszög Ehhez elég belátni hogy PB a k kör átmérője azaz P O B pontok egy egyenesre esnek - -

13 Jelöljük az RAO -et α -val! Az RAO háromszög egyenlő szárú ezért továbbá ARO = RAO = α mert csúcsszögpár BRO = ARO = α A BRO háromszög szintén egyenlő szárú amiből így RBO = BRO RBO = α Ebből az következik hogy az AO és BO szakaszok egyenesei az AB egyenessel egyenlő szögeket zárnak be ezért az AO és BO szakaszok párhuzamosak Vezessük be az RAQ = β jelölést ekkor pont O AQ = α β és mivel az AQO háromszög egyenlő szárú következik hogy A csúcsszögpár miatt O QA = O AQ = α β O QP = OQA = α β A QPO háromszög ugyancsak egyenlő szárú ebből az adódik hogy Továbbá mert ez is csúcsszögpár tehát O PQ = O QP = α β O PC = OPQ O PC = α β Eszerint az AO és PO szakaszok egyenesei az AC egyenesével egyaránt - -

14 α β szöget zárnak be azaz az AO és PO szakaszok párhuzamosak Mivel az AO -vel mind a BO mind az O P (= PO ) párhuzamos ezért a B ; O ; P pontok egy egyenesre illeszkednek pont Azt kaptuk hogy P O B szakasz a k kör átmérője tehát Thalesz tétele alapján PCB = 90 Összesen 0 pont 5 Igazolja hogy ha a > 0 b > 0 valós számok és a b akkor: a b a b a) > ; b) továbbá hogy az egyenlőtlenség teljesül! > 0 Megoldás: a) Induljunk ki a számtani és mértani közép között fennálló egyenlőtlenségből: a b () > a b ()-ben nem lehet egyenlőség mert a feltételek szerint Mivel () mindkét oldala pozitív ezért a b a b > a b illetve ( a b) > a b Az a > 0 és b > 0 feltételek miatt a b > 0 és a b > 0 tehát az ( a b) > a b egyenlőtlenséget oszthatjuk az ( a b) a b kifejezéssel a relációjel irányának megváltozása nélkül Ebből azt kapjuk hogy - 5 -

15 a b > a b a b innen pedig a bal oldal ekvivalens átalakításával: () > a b a b ezzel a feladat első állítását bizonyítottuk b) Az > 0 egyenlőtlenség bizonyításához először vegyük észre hogy a bal oldali összeg éppen 09 darab tört összege amelyek közül a középső tört 906 Rendezzük át az egyenlőtlenség bal oldalát! () = Az a) részbeli () eredmény alkalmazásával: > > 8 8 stb Így ()-ból az következik hogy és 0 darab ilyen pár van pont > () Nyilvánvaló hogy > >

16 így a () összefüggésből azaz > > = > és éppen ez volt a bizonyítandó állítás Összesen: Megjegyzés: Ha az a) esetben a versenyző a bizonyítandó állításból kiindulva ekvivalens átalakításokkal jut el ( a b) > 0 hoz de nem hivatkozik az ekvivalenciára akkor erre a részre helyett pontot kapjon 0 pont - 7 -