Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II."

Átírás

1 Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel: a 2 = a 1 q. Megjegyzés: A mértani sorozat bármelyik elemének (a másodiktól kezdve) és az azt megelőző tagjának hányadosa állandó. Ezt az állandó hányadost a sorozat kvóciensének (hányadosának) nevezzük. Jele: q. TÉTEL: (Képzési szabály) Ha egy mértani sorozat első tagja a 1, kvóciense q, akkor n edik tagja megkapható a következő összefüggés segítségével: a n = a 1 q n 1. TÉTEL: A különböző tagokból álló (a n ) mértani sorozat első n elemének összege: S n = a 1 qn 1 q 1. Megjegyzés: Amennyiben q = 1, akkor a sorozat első n tagjának összege: S n = n a 1. TÉTEL: A mértani sorozat bármely elemének négyzete (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával. Jelölés: a n 2 = a n k a n+k. Megjegyzés: Bármely elem abszolút értéke (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek mértani közepével. Jelölés: a n = a n k a n+k. DEFINÍCIÓ: (Sor) Legyen adott egy {a n } számsorozat. Az a 1 + a 2 + a a n + végtelen tagú összeget végtelen sornak (röviden sornak) nevezzük. 1

2 DEFINÍCIÓ: (Mértani sor) Ha az a 1 + a 2 + a a n + végtelen sorban az a 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a n ; tagok egy mértani sorozat tagjai, akkor a sort mértani sornak nevezzük. Kamatos - kamat számítása: Ha T n nel jelöljük az n edik év (vagy más időszak) végén felvehető összeget, T 0 lal az induló tőkét (a kezdetkor betett összeget), p vel a százaléklábat (évente ennyi százalékkal növekszik a betett összeg), n nel az évek (vagy más időszakok) számát, akkor a betett összeg növekedése a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 + p 100 )n. Az értékcsökkenés a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 p 100 )n. Gyűjtőjáradék számítása: Ha minden év elején ugyanakkora T 0 értéket teszünk be a bankba, s ez évente p százalékkal kamatozik, akkor az n edik év végén felvehető összeg a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 + p ) ( p 100 )n 1 p 100. Törlesztőrészlet számítása: Ha egy T 0 nagyságú, p százalékos kamatozású kölcsönt kell visszafizetnünk n év alatt úgy, hogy minden évben ugyanakkora T n összeget fizetünk vissza, akkor a T n törlesztő részlet nagysága a következő képlettel írható le: T n = T 0 p ( )n p 100 (1+ p 100 )n 1. Nevezetes összegek: Az első n pozitív természetes szám összege: n = n (n+1) Az első n pozitív természetes szám négyzetének összege: n 2 = 2 n (n+1) (2n+1) 6 Az első n pozitív természetes szám köbének összege: n 3 = n2 (n+1) 2 4 2

3 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát. a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 A feladatnak két sorozat is megoldása, így mindkettőnek ki kell számolnunk a hiányzó adatát: q = 2 esetén: a 3 = a 2 q 4 = 2a 2 a 2 = 2 q = 2 esetén: a 3 = a 2 q 4 = ( 2) a 2 a 2 = 2 2. Egy mértani sorozat első tagja 7, kvóciense 2. Írd fel a sorozat általános (n - edik) tagját! Mennyi a sorozat első 5 tagjának összege? Tagja - e a sorozatnak a 448? Írjuk fel a sorozat általános (n - edik) tagját: a n = a 1 q n 1 a n = 7 2 n 1 Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét: S n = a 1 qn 1 q 1 S 5 = = 217 Amennyiben tagja a sorozatnak a 448, akkor legyen a n = 448, s számoljuk ki az n értékét. 7 2 n 1 = n 1 = 64 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 2 n 1 = lg 64 (n 1) lg 2 = lg 64 n 1 = lg 64 lg 2 Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy n = 7. Ezek alapján a sorozat hetedik tagja a

4 3. Egy mértani sorozat negyedik és második tagjának különbsége 18. Az ötödik és harmadik tag különbsége 36. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Az adatokat a 1 és q segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 4 a 2 = 18 a 5 a 3 = 36 } a 1 q 3 a 1 q = 18 a 1 q 4 a 1 q 2 = 36 } a 1 q (q 2 1) = 18 a 1 q 2 (q 2 1) = 36 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel a következő adódik: q = 2. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = Egy mértani sorozat második eleme 6, ötödik eleme 162. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és hányadosát. a 5 = a 2 q = 6q 3 q = 3 a 2 = a 1 q 6 = 3a 1 a 1 = 2 A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb háromjegyű szám a 999, és tudjuk, hogy a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. A keresett elemeket az általános tag képletével számíthatjuk ki, így felírható a következő: 10 a n n n 1 498,5 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 15 lg 3 n lg 1498,5 lg 15 n lg 3 lg 1498,5 lg 15 lg 3 n lg 1498,5 lg 3 Ebből az n edik tagra azt kapjuk, hogy 2,5 n 6,65. Mivel n csak egész szám lehet így a következő egyenlőtlenség adódik: 3 n 6. Ezek alapján 4 olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű. 4

5 5. Egy növekvő mértani sorozat első három tagjának összege 31. Az első és harmadik tag összege 26. Mennyi a sorozat első tagja és kvóciense? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 3 = 26 a 1 + a 2 + a 3 = 31 } a 1 + a 1 q 2 = 26 a 1 + a 1 q + a 1 q 2 = 31 } A második egyenletből az elsőt kivonva, rendezés után a következő adódik: a 1 = 5 q. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s azt kapjuk, hogy 5 + 5q = 26. q Ebből a következő másodfokú egyenlet adódik: 5q 2 26q + 5 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 5 és q 2 = 1 5. Mivel a sorozat növekvő, ezért a q 2 nem felel meg a feladatnak. A q 1 = 5 visszahelyettesítése után a következő adódik: a 1 = 5 5 = Egy mértani sorozat első három tagjának összege 112, a következő három tagjának összege 14. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 1 q + a 1 q 2 = 112 a 1 q 3 + a 1 q 4 + a 1 q 5 = 14 } a 1 (1 + q + q 2 ) = 112 a 1 q 3 (1 + q + q 2 ) = 14 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: q = 1 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = 64. 5

6 7. Egy növekvő számtani sorozat első három elemének összege 54. Ha az első elemet változatlanul hagyjuk, a másodikat 9 - cel, a harmadikat 6 - tal csökkentjük, akkor egy mértani sorozat három egymást követő elemét kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d a 2 9 a 2 + d 6 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 18. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 18 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis d felírhatjuk a következő törtes egyenletet: =. 18 d 9 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 6d 135 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 15 és d 2 = 9. Mivel növekvő számtani sorozatról van szó, így a d 2 nem felel meg a feladatnak. Ezek alapján, ha d = 15, akkor a számtani sorozat tagjai 3, 18, 33; a mértani sorozat tagjai pedig 3, 9, Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 20. A második, a harmadik és az ötödik tag ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 3 2d a 3 d a 3 a 3 + d a 3 + 2d A mértani sorozat tagjai: a 3 d a 3 a 3 + 2d A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 3 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 4 d d 6

7 A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis 4 felírhatjuk a következő törtes egyenletet:. = 4 + 2d 4 d 4 Az egyenlet rendezése után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: 2d 2 4d = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá a következőképpen: 2d (d 2) = 0. Mivel egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így az egyenlet megoldásai: d 1 = 0 és d 2 = 2. Ezek alapján, ha d = 2, akkor a számtani sorozat tagjai 0, 2, 4, 6, 8; a mértani sorozat tagjai pedig 2, 4, 8. Amennyiben d = 0, akkor a számtani sorozat tagjai 4, 4, 4, 4, 4; a mértani sorozat tagjai pedig 4, 4, Egy mértani sorozat első három tagjának összege 35. Ha a harmadik számot 5 - tel csökkentjük, egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d + 5 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 10. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 10 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis d felírhatjuk a következő törtes egyenletet: =. 10 d 10 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 + 5d 50 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 5 és d 2 = 10. 7

8 Ezek alapján, ha d = 5, akkor a számtani sorozat tagjai 5, 10, 15; a mértani sorozat tagjai pedig 5, 10, 20. Amennyiben d = 10, akkor a számtani sorozat tagjai 20, 10, 0; a mértani sorozat tagjai pedig 20, 10, Egy mértani sorozat első három elemének összege 42. Ugyanezek a számok egy növekvő számtani sorozat első, második és hatodik elemei. Melyek ezek a számok? A számtani sorozat tagjai: a 1 a 1 + d a 1 + 5d A mértani sorozat tagjai: a 1 a 1 + d a 1 + 5d A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 1 = 14 2d. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 14 2d 14 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 14 d d =. 14 2d 14 d Az egyenlet rendezése után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: 7d 2 42d = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá a következőképpen: 7d (d 6) = 0. Mivel egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így az egyenlet megoldásai: d 1 = 0 és d 2 = 6. Ezek alapján, ha d = 0, akkor a 1 = 14 és a mértani sorozat tagjai 14, 14, 14. Amennyiben d = 6, akkor a 1 = 2 és a mértani sorozat tagjai 2, 8, 32. 8

9 11. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjához rendre 1 - et, 14 - et és 2 - t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 150. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d 1 a 2 14 a 2 + d 2 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 50. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 49 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis d felírhatjuk a következő törtes egyenletet: =. 49 d 36 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 d 1056 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 33 és d 2 = 32. Ezek alapján, ha d = 33, akkor a számtani sorozat tagjai 17, 50, 83; a mértani sorozat tagjai pedig 16, 36, 81. Amennyiben d = 32, akkor a számtani sorozat tagjai 82, 50, 18; a mértani sorozat tagjai pedig 81, 36, Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 6 - ot, 7 - et és 12 - t adva egy olyan mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata Határozzuk meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d + 6 a a 2 + d + 12 A mértani sorozat elemeire igaz, hogy egy elem négyzete egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával, vagyis felírhatjuk a következő egyenletet: (a 2 d + 6) (a 2 + d + 12) = (a 2 + 7) 2. 9

10 A szöveg alapján így felírható a következő egyenlet: (a 2 + 7) (a 2 + 7) 2 = Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy a 2 = 17. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 23 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis d felírhatjuk a következő törtes egyenletet: =. 23 d 24 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 + 6d 91 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 7 és d 2 = 13. Ezek alapján, ha d = 7, akkor a számtani sorozat tagjai 10, 17, 24; a mértani sorozat tagjai pedig 16, 24, 36. Amennyiben d = 13, akkor a számtani sorozat tagjai 30, 17, 4; a mértani sorozat tagjai pedig 36, 24, Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának szorzata 64. Ha az első elemhez hozzáadunk 1 et, a másodikhoz 4 et, a harmadikhoz pedig 5 öt, akkor egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Melyek a sorozatok tagjai? A mértani sorozat tagjai: a 2 q a 2 a 2 q A számtani sorozat tagjai: a 2 q + 1 a a 2 q + 5 A mértani sorozat tagjait összeszorozva a következő adódik: a 2 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a számtani sorozat tagjaiba: 4 q q + 5 A számtani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok különbsége megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő egyenletet: 8 ( 4 + 1) = 4q q 10

11 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2q 2 5q + 2 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 2 és q 2 = 1 2. Ezek alapján, ha q = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 2, 4, 8; a számtani sorozat tagjai pedig 3, 8, 13. Amennyiben q = 1, akkor a mértani sorozat tagjai 8, 4, 2; a számtani sorozat tagjai pedig 9, 8, A Papp család betesz a bankba Ft - ot 5 évre, évi 7 % - os kamatozással. Mennyi pénzt vehetnek ki az ötödik év végén? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) A kamatos - kamat számítás képletével a következő adódik: ,07 5 = Ezek alapján 5 év után kb Ft - ot vehet majd ki a bankból a Papp család. 15. Beteszünk a bankba Ft - ot évi 11 % - os kamatozással. Mennyi év után vehetjük ki a pénzünket, ha minimum Ft - ot szeretnénk kivenni majd? A kamatos - kamat számítás képletével felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: ,11 n ,11 n 20 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 1,11 n lg 20 n lg 1,11 lg 20 n lg 20 lg 1,11 28,7 Ezek alapján kb. 29 év után vehetjük ki a pénzünket a bankból. 11

12 16. Egy autó ára újonnan Ft. Mennyi százalékkal csökken az autó ára minden évben, ha 3 év után Ft - ért tudjuk majd eladni? (A megoldást egészre kerekítve add meg!) A kamatos - kamat számítás képletével felírhatjuk a következő egyenletet: (1 p 100 )3 = Az egyenlet rendezése után a következő adódik: p 12,06. Ezek alapján kb. 12 % - kal csökken minden évben az autó ára. 17. Egy bankba a Kovács család minden év elején betesz Ft - ot, mely év végén 5 % - ot kamatozik. 20 év után mekkora összeget tudnak majd kivenni a bankból? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Az első év végén kivehető összeg: ,05. A második év végén: ( , ) 1,05 = , ,05. A huszadik év végén felvehető összeg: , , ,05 = ,05 (1 + 1, ,05 19 ) = ,05 1 1, , Ezek alapján 20 év után kb Ft - ot vehet majd ki a bankból a Kovács család. A gyűjtőjáradék számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 12

13 18. Valaki 40 éves korában életbiztosítást köt a következő feltételekkel. Minden év elején azonos összeget fizet be a biztosító társasághoz, és 70 éves korában 5 millió forintot kap. A befizetett pénz 8 % - kal kamatozik. Mekkora összeget kell befizetnie minden év elején? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az évente befizetett összeg: x. Ekkor az első év végén a kamatozással keletkező összeg: x 1,08. A második év végén: (x 1,08 + x) 1,08 = x 1, x 1,08. A harmincadik év végén felvehető összeg: x 1, x 1, x 1,08 = x 1,08 (1 + 1, ,08 29 ) = = x 1,08 1 1, ,08 1 Ebből felírható a következő egyenlet: x 1,08 1 1, ,08 1 = Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján kb Ft - ot kell befizetnie az illetőnek minden év elején. A gyűjtőjáradék számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 19. Kovács Zoltán 30 évesen lakást szeretne venni. Ehhez felvesz 9 millió kölcsönt, 15 évre évi 7 % - os kamatozással. Mekkora lesz az éves törlesztőrészlete? (A törlesztőrészletet ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az éves törlesztőrészlet: x. A 15. év végére visszafizetendő összeg: , Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden év végén, így a 15. év végére befizetett összeg: x 1, x 1, x 1, x 1,07 + x = = x (1 + 1,07 + 1, ,07 14 ) = x 1 1, ,

14 Ebből felírható a következő egyenlet: x 1 1, ,07 1 = ,0715. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján az éves törlesztőrészlet kb Ft lesz. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 20. A Futó család új lakást akar vásárolni. Ehhez kölcsönt vesznek fel, méghozzá 10 millió Ft - ot 20 évre, évi 6 % - os kedvezményes kamatra. Minden év végén úgy törlesztenék a kölcsönt és kamatait, hogy 20 éven át minden évben ugyanakkora összeget akarnak befizetni. Mekkora legyen ez az összeg? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az éves törlesztőrészlet: x. Az első év végén fennmaradó összeg: ,06 x. A második végén: ( ,06 x) 1,06 x = ,06 2 x 1,06 x. A huszadik év végén: ,06 20 x 1,06 19 x 1,06 18 x 1,06 x = ,06 20 x (1 + 1,06 + 1, ,06 19 ) = ,06 20 x 1 1, ,06 1 Ebből felírható a következő egyenlet: ,06 20 x 1 1, ,06 1 = 0. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján az éves törlesztőrészletnek kb Ft nak kell lennie. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 14

15 21. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Legyenek a háromszög oldalai: a 1 a 1 q a 1 q 2 Alkalmazzuk a Pitagorasz tételt: a a 1 2 q 2 = a 1 2 q 4. Ebből rendezés után a következő egyenlet adódik: q 4 q 2 1 = 0. Legyen b = q 2, s a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy b 2 b 1 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai b 1 = és b 2 = A b 2 értéke nem felel meg a feladatnak. A b 1 visszahelyettesítése után a következő adódik: q 2 = A háromszög szögeit így kiszámíthatjuk a szögfüggvények segítségével: sin α = a 1 a 1 q 2 = 1 q 2 = α 38,17 cos β = a 1 a 1 q 2 = 1 q 2 = β 51,83 15

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217. Megoldások 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát: a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 Ezek alapján

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Add meg az alábbi sorozatok következő három tagját! a) ; 7; ; b) 2; 5; 2; c) 25; 2; ; 2. Egészítsd ki a következő sorozatokat! a) 7; ; 9; ; b) 8; ; ; 9; c) ; ; ;

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 1 = 7. 5 Ezt rendezve

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Egy sorozat első tagja ( 5), a második tagja. Minden további tag a közvetlenül előtte álló két tag összegével egyenlő. Mennyi a sorozat első 7 tagjának összege? A szöveg alapján írjuk fel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Sorozatok begyakorló feladatok

Sorozatok begyakorló feladatok Sorozatok begyakorló feladatok I. Sorozatok elemeinek meghatározása 1. Írjuk fel a következő sorozatok első öt elemét és ábrázoljuk az elemeket n függvényében! a n = 4n 5 b n = 5 n 2 c n = 0,5 n 2 d n

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik

Részletesebben

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2. Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam 01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK. I. Kamatos kamat számítása

PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK. I. Kamatos kamat számítása PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK I. Kamatos kamat számítása Kamat: a kölcsönök után az adós által időarányosan fizetendő pénzösszeg. Kamatláb: 100 pénzegység egy meghatározott időre, a kamatidőre vonatkozó kamata.

Részletesebben

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani-

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. A fős osztály dolgozatot írt matematikából és a következő jegyek születtek: 6 darab jeles, 9 darab jó, 8 darab közepes, darab elégséges és darab elégtelen. Készíts gyakorisági táblázatot,

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második tag a 2, a harmadik tag a 3,...

SOROZATOK. A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második tag a 2, a harmadik tag a 3,... SOROZATOK Definíció: A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete számhalmaz. Jelölése: (a n ) A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Tartalom. Speciális pénzáramlások. Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 2010.10.19. 8. hét. Speciális pénzáramlások. Örökjáradék:

Tartalom. Speciális pénzáramlások. Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 2010.10.19. 8. hét. Speciális pénzáramlások. Örökjáradék: Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 8. hét 2010.10.26. 1 Tartalom Speciális pénzáramlások Örökjáradék: Olyan végtelen számú tagból álló pénzáramlás, amelynek minden eleme megegyezik. Növekvő örökjáradék:

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok

Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok SOROZATOK Alapok Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok. 1, 1, 2, 3, 5,. 1,4,7,10,.. 1, 2,4,8,16,32,.(Sakktábla és búza története) 1, ½,1/3,

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY

KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY Név:.Iskola: KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY 2012. november 12. 12. évfolyam I. forduló Pótlapok száma db Matematika 12. évfolyam 1. forduló 1. Az alábbiakban számtani sorozatokat adtunk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint)

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) (KSZÉV Minta (2) 2004.05/II/16) a) Egy számtani sorozat első tagja 9, különbsége pedig 4. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Számokkal kapcsolatos feladatok.

Számokkal kapcsolatos feladatok. Számokkal kapcsolatos feladatok. 1. Egy tört számlálója -tel kisebb, mint a nevezője. Ha a tört számlálójához 17-et, a nevezőjéhez -t adunk, akkor a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? A szám: 17

Részletesebben

A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x

A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x 10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét

Részletesebben

Hatvány, gyök, logaritmus. Válogatás korábbi évek érettségi feladataiból ( , emelt szint)

Hatvány, gyök, logaritmus. Válogatás korábbi évek érettségi feladataiból ( , emelt szint) Hatvány, gyök, logaritmus Válogatás korábbi évek érettségi feladataiból (2014-2017, emelt szint) 2014. máj. E/2. Jelölje H a 5,2 x 3 egyenlőtlenség pozitív egész megoldásainak halmazát. Jelölje továbbá

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. KÖZÉPSZINT 1) Adott az A és B halmaz: Aa; b; c; d, B a; b; d; e; f felsorolásával az A I.. Adja meg elemeik B és A B halmazokat! A B a; b; d A B a; b; c; d; e; f Összesen:

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

2. Százalékszámítás és alkalmazásai

2. Százalékszámítás és alkalmazásai 2. Százalékszámítás és alkalmazásai Tanulási cél: Százalékszámítás ismétlése, megismerni az ÁFA valamint az egyszerű és kamatos kamat számítási módszereit Motivációs példa Az újságban olvassuk, hogy a

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: november. I. rész Dobos Sándor, 005 november melt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005 november I rész 1 feladat Adott a síkon két kör, meghúztuk a közös külső és belső érintőiket

Részletesebben

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben