Tartalom. Speciális pénzáramlások. Feladatmegoldás, jelenértékszámítások hét. Speciális pénzáramlások. Örökjáradék:

Átírás

1 Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 8. hét Tartalom Speciális pénzáramlások Örökjáradék: Olyan végtelen számú tagból álló pénzáramlás, amelynek minden eleme megegyezik. Növekvő örökjáradék: Olyan végetlen számú tagból álló pénzáramlás, amelyben az egyes elemek értéke állandó növekedést mutat. Annuitás (évjáradék) Jelenértéke Jövőértéke Beruházási döntések értékelése Speciális pénzáramlások Örökjáradék: PV ö = C/(1+r) + C/(1+r) C/(1+r) n PV ö = örökjáradék jelenérték C = adott évi jövedelem r = hosszú távon elvárt hozam (kamat)

2 Örökjáradék levezetése - Az egyenletből kiemelve: C/(1+r) PV ö = C/(1+r) x (1 + 1/(1+r) + 1/(1+r) /(1+r) n ), ahol n Ezért egyszerűsítve: - 1/(1+r) mindig kisebb, mint 1 - Végtelenben közelít 0-hoz PV ö = C/(1+r) x 1/(((1-(1/(1+r))) PV ö = C/(1+r) x 1/((1+r-1)/(1+r)) PV ö = C/(1+r) x (1+r) /r = C/r /közös nev. /nev. recipr Örökjáradék levezetése (2) PV ö = C/(1+r) x (1 + 1/(1+r) + 1/(1+r) /(1+r) n ), ahol n a=c/(1+r), valamint x=1/(1+r) PV =a(1 + x + x 2 + ) (1) / X-el szorozva PVx=a(x + x 2 + x 3 + ) (2) A (2)-t az (1)-ből kivonva: PV(1-x) =a (a-t és x-et visszahelyettesítve) PV (1 1/(1+r)) = C /(1+r) / x (1+r) PV x r = C PV = C/r Örökjáradék példa Alapítvány a pénzügyi-válság károsultjainak megsegítésére: Évente megcélzott támogatás: 150,000 Ft Hosszú távon érvényes kamatláb: 10% Mekkora összeget kell befektetni ennek megvalósításához? Megoldás: PV = C / r = 150,000 Ft / 0,1 = 1,500,000 Ft

3 Növekvő örökjáradék Az állandó növekedés kifejezése %- ban történik. PV NÖ = C/(1+r) + C x (1+g) /(1+r) 2 + C x (1+g) 2 / (1+r) C x (1+g) n-1 / (1+r) n C = első évi jövedelem r = elvárt hozam g = éves növekedési ráta Növekvő örökjáradék levezetés C / (1+r) kiemelésével: PV NÖ = C / (1+r) x (1 + (1+g)/(1+r) + ((1+g)/(1+r)) ((1+g)/(1+r)) n ) Egyszerűsítő feltevés szükséges: g<r csak ebben ez esetben konvergál a mértani sor PV NÖ = C / (1+r) x 1/(1-(1+g)/(1+r)) = Növekvő örökjáradék levezetése (2) PV NÖ = C /(1+r) x 1/(1+r 1- g)/(1+r) = C/(1+r) x (1+r)/(r-g) = C /(r-g), ha g<r Az előző örökjáradék példa kiegészítése: - Évente a támogatást 4%-kal növelni szeretnénk. - PV NÖ = 150,000 / (0,12 0,04) = 1,875,000 Ft

4 Annuitás (évjáradék) Annuitás: Véges időszakra vonatkozó, azonos összegű pénzáramlások. PV n = C/(1+r) x (1 + 1/(1+r) + 1/(1+r) /(1+r) n ), C = adott évi jövedelem r = hosszú távon elvárt hozam (kamat). n = időszakok száma (véges) Annuitás Annuitás képletének levezetése legegyszerűbben két örökjáradék különbségével lenne szemléltethető ik évtől induló örökjáradék: C/r 2. N-ik évtől induló örökjáradék: C/r x (1/(1+r) n ) 3. Annuitás n-ik évig = C/r C/r x (1/(1+r) n ) A fenti képletből C/r-t kiemelve: PV A = C/r x (1 (1/(1+r) n ) ) =C x (1/r (1/r x (1 /(1+r) n ) Annuitás példa 4 éven keresztüli pénzáramlás, évi 10 Ft-ot jövedelmez, az első 10 Ft 1 év múlva esedékes. Az elvárt hozam 15%. 1. Év: 10/1,15 = 8,69 2. Év: 10/(1,15) 2 = 7,56 3. Év: 10/(1,15) 3 = 6,57 4. Év: 10/(1,15) 4 = 5,71 Összesen = 28,

5 Annuitás példa (2) Annuitás képlettel számolva: PV A = 10/0,15 x (1-1/(1,15) 4 ) = 28,54 Kerekítésből adódó különbözet 2. Példa: Egy kötvény megvásárlása. Lejárat: 3 év, Névérték: 100 Ft, 10% névleges kamatozás (évente 10%-os kamat, tőketörlesztés a lejáratkor) Annuitás példa (3) 2. példa megoldás: Kamatjövedelmek jelenérték: 10/0,13 x (1 1/1,13 3 ) =23,61 Tőketörlesztés jelenérték: 100/1,13 3 = 69,30 Összesen jelenérték: 92,91 3. Példa: 100,000 Ft Hitel 24% kamatra (negyedéves fizetésekkel), egy évre. Havi törlesztő részlet? 100,000 = C /0,06 x (1 1/1,06 4 ) = 28,860 Ft példa: ellenőrzés Időszak (n.év) Annuitás példa (4) Tőketart. induló Fiz. kamat Tőketart. törlesztés Tőketart. Egyenl

6 Annuitás jövőértéke FV A = C x(1 + (1+r)+(1+r) (1+r) n ) FV A = Mértani sor! =C x ((1+r) n 1)/((1+r) -1) = C x ((1+r) n 1)/( r) Példa: Évi 12 Ft-ot 20 éves időtartamra elhelyezni, 10%-os kamatláb mellett Annuitás jövőértéke (2) Példa megoldás: FV = 12 x ((1+0,1) 20-1)/(0,1)= 12 x 57,27 = 687,24 Ft NPV, IRR példa Befektetés: 3,000, Megtérülés 1. év: +3, év + 1,000 NPV elvárt 10% hozam mellett: -3, ,000 (1/1,1) + 1,000 (1/1,1 2 ) IRR = 0 = -3, ,000 (1/1+IRR) + 1,000(1/1+IRR 2 ) (1/1+IRR) = x 1,000x 2 + 3,000 x 3,000 =

7 NPV, IRR példa (2) X 2 + 3x 3 = 0 Másodfokú egyenlet megoldás: X 1/2 = (-3 +- (9+12))/2 = ( )/2 = X1 = 0,791 X2 = -3,791 nem értelmezhető 1/(1+IRR) = 0,791 IRR = 0, Járadékszámítás feladatok (1) V. 1. Számítsa ki, hogy mekkora annak az annuitásnak a jelenlegi értéke, amely 7 éven keresztül évi 10 ezer $ jövedelmet biztosít 8%-os rögzített kamatláb mellett! Járadékszámítás feladatok (2) V.1. feladat (Megoldás): C= n=7 r=8%=0,08 PV=Cx(1/r 1/(r x (1+r) n )) PV = x (1/0,08 1/(0,08 x (1+0,08) 7 ) = x (12,5 7,2939) = Az annuitás jelenértéke: $

8 Járadékszámítás feladatok (3) V. 4. Feladat: Számítsa ki, hogy mekkora összeget kell befizetni ahhoz a jelenben, hogy végtelen hosszú időn át kapjunk 50e Ft-ot 20%-os kamatláb mellett? Járadékszámítás feladatok (4) V. 4. (Megoldás) C = r=20%=0,2 PV=C/r PV=50.000/0,2 = Járadékszámítás feladatok (5) V. 8. Feladat: Önnek lehetősége van egy évente 1.000$os kifizetést eredményező örökjáradék vásárlására. A befektetés megkövetelt megtérülési rátája 15%. Mekkora az a kínálati ár, amely mellett közömbösek leszünk ezen befektetés megvásárlására, vagy annak mellőzése tekintetében?

9 Járadékszámítás feladatok (6) V.8. (Megoldás) C=1.000 r=15%=0,15 PV=C/r PV=1.000/0,15=6.666,67 A keresett kínálati ár (az örökjáradék jelenértéke) 6.666,67 $ Járadékszámítás feladatok (7) V. 9. Feladat: Egy örökjáradék elnyeréséért készek vagyunk $ összeget fizetni, amely évente $ kifizetést biztosítana végtelen hosszú ideig. Ha a megkövetelt megtérülési ráta időben változatlan marad, akkor milyen nagy összeget volnánk hajlandóak fizetni, ha a befektetés az örökjáradék helyett 20 éves normál annuitással felérő éves kifizetést biztosítana? Járadékszámítás feladatok (8) V. 9. (Megoldás) PV = C=1.250 PV = C/r r= C/PV r=1.250/15.625=0,08=8%

10 Járadékszámítás feladatok (9) V. 9. (Megoldás folyt.) n=20 PV = C x AF(n,r) = C x (1/r 1/(r x (1+r) n ) PV=1.250x(1/0,08 1/(0,08 x (1 + 0,08) n ) PV=12.272, Járadékszámítás feladatok (10) V. 13. Ön egy biztosítási szerződést akar kötni. Most befizet 1 millió forintot, és utána 8 éven át kapna 250 ezer forint járadékot, mindig az év végén. A várható hozam 20%. Mekkora összeg befizetése lenne reális most az 1 millió forint helyett? Ha 1 millió forintot fizet be, mekkora éves járadék lenne reális? Hány évig kellene kapnia évi 250e Ft-ot, hogy az 1 millió forintos befizetett összegét jelenértékben visszakapja? Járadékszámítás feladatok (11) V. 13. (Megoldás) C= r=20%=0,2 n=8 PV=C x AF(n,r) = C x (1/r 1/(r x (1+r) n )= PV= x (1/0,2 1/(0,2 x (1+0,2) 8 ) = x (5 1,1628) = x 3,8372 = A befizetés reális összege Ft

11 Járadékszámítás feladatok (12) V. 13 (Megoldás folyt.) PV= r=20%=0,2 n=8 PV=C x AF(n,r) = C x (1/r 1/(r x(1+r) n ) C=PV /((1/r 1/(r x(1+r) n )= /((1/0,2 1/(0,2 x(1+0,2) 8 )= /3,8372 = Az éves járadék reális összege Ft Járadékszámítás feladatok (13) V. 13 (Megoldás folyt. 2.) PV = C = r= 20% = 0,2 PV A = C x (1/r 1/(r x (1+r) n ) n=log(c/(c-pvxr) / log(1+r)= log( /50.000) / log(1+0,2) = log(5) / log(1,2) = 0,699 / 0,0792 = 8,8258 év Járadékszámítás feladatok (14) V. 22. Feladat: Az éves névleges kamatláb minden lejáratra 14%. Számítsa ki, hogy melyik pénzáramlás értéke a legnagyobb! 100e Ft 2 év múlva, Évente 10e Ft örökké (az első összeg 1 év múlva esedékes), Évente 15e Ft 10 éven át (az első összeg 1 év múlva esedékes), 1 év múlva forint és ezután évente 4%-al nagyobb összeg a végtelenségig

12 Járadékszámítás feladatok (15) V. 22. (Megoldás) r=14%=0,14 C t = t=2 PV=C t /(1+r) t = /(1+0,14) 2 = /1, 2996= Az egyszeri pénzáram jelenértéke Ft Járadékszámítás feladatok (16) V. 22. (Megoldás folyt.) C= r=14%=0,14 PV=C/r PV=10.000/0,14= Az örökjáradék jelenértéke Ft Járadékszámítás feladatok (17) V. 22. (Megoldás folyt.2.) C= r=14%=0,14 n=10 PV=C x (1/r 1/(r x (1+r) n ) = x (1/0,14 1/(0,14 x (1+0,14) 10 )= x (7,1429 1,9267) = x 5,2162 = A harmadik változat jelenértéke a legkedvezőbb, Ft

13 Járadékszámítás feladatok (18) V. 22. (Megoldás folyt.3.) C=7.000 r=14%=0,14 g=4%=0,04 PV=C/(1+r) + C/(1+r) x (r g) = 7.000/(1+0,14) /(1+0,14) x (0,14 0,04) = 7.000/1, /(1,14 x 0,1) = = A pénzáram jelenértéke Ft Beruházási döntések értékelése Nettó jelenérték számítás (NPV) Belső megtérülési ráta (IRR) Nem határoz meg elvárt hozamot. Azt a hozamot keresi, amelynél a nettó jelenérték éppen Összefoglalás Pénz jövőértékének elve Pénz jelenértékének elve Nettó jelenérték Örökjáradék Növekvő örökjáradék Annuitás

14 Kérdések? Köszönöm a figyelmet!