Értékpapírok. 1 Diszkontpapírok árazása

Átírás

1 Értékpapírok artalom Diszkontpapírok árazása.... Diszkontkötvények árazása....2 Diszkontkincstárjegy árfolyama Váltómatematika Kamatszelvényes kötvények árazása Részvények árfolyama és hozama... 9 Diszkontpapírok árazása A iszkontpapírok rögzített lejáratú hitelpapírok. Egyetlen jövőbeli pénzáramlásuk van, lejáratkor a kibocsátó a névértéket fizeti ki a papír birtokosának. Éven túli lejáratú: elemi kötvény (iszkontkötvény) Rövi lejáratú: o rövi lejáratú állampapír (iszkontkincstárjegy) o váltó. Diszkontkötvények árazása Az elemi kötvény iszkontpapír, vásárlója egyetlen jövőbeli pénzáramlásra számíthat, a lejáratkor a névérték visszafizetésére. Formailag nem kamatozik, éves névleges kamatlábát 0%-nak tekintjük, nincs kamatjöveelme, ezért kamatszelvény nélküli kötvénynek (zéró kuponnak) is nevezik. A kötvény árfolyama névérték alatt volt, kibocsátása névérték alatt van, hozama kizárólag árfolyamnyereségből származik. N PV ( + r n ) n Ahol N az elemi kötvény névértéke (Nominal Value), PV - az elemi kötvény árfolyama (iszkontérték), n lejáratig hátralévő futamiő években, rn - az n éves befektetés elvárt hozama.

2 . péla Egy 5 éve kibocsátott, 0 év futamiejű Ft névértékű elemi kötvénytől a befektetők 6%-ot várnak el. Mekkora a iszkontkötvény árfolyama? PV ,82 Ft ( + 0,06) 5.2 Diszkontkincstárjegy árfolyama A iszkontkincstárjegy rövi lejáratú (maximum éves futamiejű) állampapír, amely csak futamiejében tér el az elemi kötvénytől. (360 napos évvel számolnak) N PV + r n n 360 Ahol N a iszkontkincstárjegy névértéke (Nominal Value), PV - a iszkontkincstárjegy árfolyama (iszkontérték), n lejáratig hátralévő futamiő napokban, (francia mószer) rn - az n éves befektetés elvárt hozama. 2. péla Egy féléves iszkontkincstárjegy hátralévő futamieje 63 nap. A befektetők 4%-os hozamot várnak el. Mekkora a iszkontkincstárjegy elméleti árfolyama? 00% PV + 0, ,30% Váltómatematika A váltó is olyan értékpapír, amely lejáratkor a névértékét fizeti ki a birtokosának. 3. péla Március 20 án kibocsátottak egy hat hónapos lejáratú millió forint névértékű váltót, melyet egy vállalat számos forgatás után bankjának benyújt leszámítolásra június 20 án. A bank 5% os iszkontlábat alkalmaz. A vállalat folyószámlahitelének kamatlába 7% os, melyen jóval millió forint feletti ki nem használt keret van. a) Mennyit fizetne a bank a váltóért, ha egyéb íjakat nem számolna fel? 2

3 b) Mekkora hitelkamatlábnak felel meg a iszkontláb? c) Mekkora a váltónak az a maximális futamieje, aminél röviebb futamiő esetén éremesebb a váltót leszámítolni és ennél hosszabb futamiő esetén, gazaságosabb folyószámlahitelt felvenni? Angol kamatszámítást tételezzünk fel! A leszámítolás esetében az iőarányos kamatot (iszkont) levonják a váltó névértékéből. A leszámítolás képlete: PV N K N N n N Ahol N a váltó névértéke (Nominal Value), PV a váltóért fizetett összeg (iszkontérték), iszkontláb, n lejáratig hátralévő futamiő években, K levont kamat nagysága. ( n) A váltó 6 hónapos lejáratú, tehát szeptember 20 án jár le. A kibocsátás átuma a leszámítolás szempontjából nem érekes. A leszámítolás iőpontjától a váltó benyújtásáig eltelt futamiő az angol mószer szerint 92 nap. (+3+3+9). Az év napjainak száma. PV N n A bank Ft ot fizet a váltóért. 92 ( ) , Mekkora hitelkamatlábnak felel ez meg? A képletet megkapjuk, ha ugyanazt a kamatmennyiséget először az előleges, maj az utólagos kamatszámítás képletével is kifejezzük és a két kamatmennyiséget egyenlővé tesszük, maj a jelenérték helyébe behelyettesítjük a iszkontálás képletét, egyszerűsítünk és r re renezünk. N n K PV r n N n N ( n) r n r 0,5 r n 0,5 ( n) 92 r n 0,559 5,6% A kapott eremény 5,6%. Mivel a folyószámla hitel kamata ennél magasabb, éremesebb a váltót leszámítoltatni és hitelt nem felvenni. Látható, hogy a iszkontlábnak megfelelő hitelkamatláb minig magasabb, mint a iszkontláb, mivel a nevező és 0 közé esik. A képletből az is kitűnik, hogy a két kamatláb közötti 3

4 különbség a hátralévő futamiőtől is függ. Minél nagyobb n értéke, annál nagyobb a különbség. Bizonyos esetekben éremes megtuni azt a maximális futamiő nagyságot, amin belül a váltót éremes már leszámítoltatni, változatlan hitel és váltókoníciókat feltételezve. N n K PV r n N n N ( n) r n r r r n n,ha r r ( n) r > r n Ha a hitelkamatláb kisebb, mint a iszkontláb, akkor hitelt felvenni minig éremesebb, mint váltót leszámítoltatni. n 0,5 0,7 0,7843 Ha a váltó lejáratig hátralévő futamieje 0,78 évnél röviebb, már éremesebb leszámítoltatni, mint hitelt felvenni. A 0,78 év 286 napnak, azaz urván 9,5 hónapnak felel meg. Mivel a váltó hátralévő lejárata 3 hónap volt, nem véletlen, hogy a 2. kérés megválaszolásakor azt kaptuk, hogy a váltót éremesebb leszámítoltatni. 4. péla ételezzük fel, hogy egy váltó lejárata ecember 5. A váltó névértéke millió forint, a kiváltott követelés értéke 850 ezer forint volt, a kibocsátás peig augusztus 2-én történt. A váltó birtokosa az így jellemezhető értékpapírt október 20-án benyújtja bankjához leszámítolás végett. A pénzintézet az ügylet során 25%-os iszkontlábat és angol kamatszámítási mószert alkalmaz. a) A váltó birtokosa a művelet révén mekkora összeghez jut? b) Mekkora hitelkamatnak felel ez meg? PV , r n 0,25 0, ,258 25,8% 4

5 2 Kamatszelvényes kötvények árazása Ebben a részben a több kifizetést teljesítő papírok árfolyamszámításával foglalkozunk. Azt a maximális árfolyamot, melyen még hajlanók vagyunk megvásárolni az aott értékpapírt, az értékpapír belső értékének nevezzük. Egy értékpapír (és bármely vagyontárgy) belső értéke az aott értékpapír pénzáramainak jelenértékösszege. A belső érték számításának általános képlete, tehát megegyezik a jelenérték-számítás általános képletével. PV n C i ( r) i + Ahol PV - az értékpapír belső értéke, n - az értékpapírból származó pénzáramok arabszáma, i - futóinex -től n-ig, Ci - i-ik iőpontban eseékes pénzáram, r - aott értékpapírtól elvárt hozam. 5. péla A 207/I jelű államkötvényt 202. július 23-án bocsátották ki fix 6%-os kamat mellett. A kötvény 207. július 24-én jár le és félévente fizet kamatot, július 24-én és január 24-én. Mekkora a kötvény belső értéke 203. október 9-én, ha a befektető által elvárt hozam 5%? A pénzáramsor egy olyan fix kamatozású kötvényre jellemző, mely egy összegben lejáratkor fizeti vissza a tőkerészt. A belső értéket csak a még ki nem fizetett pénzáramok határozzák meg. Az ábráról leolvasható, hogy 8 kamatot és a tőkerészt nem fizették még ki. A kötvény árfolyamát általában a névérték százalékában szokták megani, két tizeesjegy pontossággal. i 5

6 n PV c + 00% c AF + N DF c n ( + r) 00% r ( r) n + + ( + r) n k n r, n r, n k ( + r) ( + r) Ahol c kötvény kamatlába %-ban, r - a befektető által elvárt hozam, n - a kamatfizetések száma, AFr,n - annuitásfaktor aott r és n esetén, DFr,n - iszkontfaktor aott r és n esetén, N kötvény névértéke, PV - a kötvény belső értéke a következő kamatfizetés előtt egy járaékközzel. Az összeg első tagja a kamatok jelenértékét, míg a másoik a kötvény tőkerészének jelenértékét testesíti meg. Mivel minen kamatfizetés azonos nagyságú, ezek annuitást alkotnak, és jelenértéküket megkapjuk, ha a kamatlábat megszorozzuk az annuitásfaktorral. A képlet a kötvény árfolyamát egy járaékközzel a következő kamatfizetés előtt mutatja meg. Pélánkban a következő kamatfizetés én eseékes, így a képlet a 203. július 24-i árfolyamot fogja megani. A képlet alkalmazásához meg kell határozni az iőszaki (féléves) elvárt hozamot. r eff ( + r ) m r m + r eff 2 ( + 0,05) 2,47% PV c ( + r)n 00 + r ( + r) n ( + r) n 3, ,0247, , ,8% 6

7 A kötvény árfolyama a névérték 03,8%-a lett volna n, ha az elvárt hozam ebben az iőpontban évi 5% lett volna. A 03,8% a 207/I kötvény nettó árfolyama. A kötvény nettó árfolyama megmutatja, hogy mekkora a kötvény belső értéke egy járaékközzel a következő kamatfizetés előtt, ha a jelenleg érvényes elvárt hozammal számolnánk. A felaattal még nem vagyunk készen. Ugyanis az árfolyamot nem júliusra, hanem október 0- re szeretnénk meghatározni. A pontos árfolyam meghatározására több megközelítés áll a renelkezésünkre. Felhalmozott kamat számítása A felhalmozott kamatszámítás Kiszámítanó felhalmozott kamat A kamatfizetés után a kötvény árfolyama pontosan a kifizetett kamat nagyságával csökken, ha minen más feltétel változatlan mara. Az iő múlásával a következő kamatfizetés fokozatosan beépül az árfolyamba. A felhalmozott kamatszámítás feltételezi, hogy ez a beépülés folyamatos és egyenletes. Utolsó kamatfizetéstõl eltelt iõ X Két kamatfizetés között eltelt iõ - járaékköz (fél év) Kamat nagysága (6%) Az egyenlő szárú háromszögek törvényéből következik, hogy a keresett X úgy aránylik az utolsó kamatfizetéstől eltelt iőhöz, ahogy a kamat nagysága aránylik a járaékközhöz. A fennálló egyenes arányosságot X-re renezve megkapjuk a felhalmozott kamat nagyságát. X t c c t X Ahol c - járaékközönként kifizetett kamat nagysága, - járaékköz hossza, t - utolsó kamatfizetéstől az árfolyamszámításig eltelt iő, X - felhalmozott kamat nagysága. Az utolsó kamatfizetés 203. július 24-én volt. Október 9-ig 87 nap telt el. X c t Bruttó árfolyam 03,8%+,43%05,24% 6% 87,43% 7

8 6. péla ételezzük fel, hogy egy Ft névértékű, 202. január 5-én kibocsátott 4 éves lejáratú, 7%-os névleges kamatozású kötvényt kívánunk megvásárolni 203. ecember 8-án. A kamatfizetés félévente történik, résztörlesztésről nincs szó, tehát a névértéket lejáratkor egy összegben fizetik. A befektetéstől elvárt hozamunk 0%. Befektetjük-e megtakarításaink egy részét a fenti kötvénybe, ha annak a vásárlás napjára vonatkozó hivatalos árfolyama Ft? r m + r eff 2 ( + 0,) 4,88% PV c ( + r)n 00 + r ( + r) n ( + r) n 3,5,0488 8,0488, , % A behelyettesítés után látjuk, hogy a nettó árfolyam 94%-os. Mivel kötvényünk névértéke Ft, így ez Ft-nak felel meg. Ezek után számoljuk ki a felhalmozott kamatot: X c t 7% 56 2,99% A névértéket figyelembe véve a felhalmozott kamat nagysága Ft. Az eremény felhasználásával a kötvény bruttó értéke a vásárlás napján, a befektető által elvárt hozam mellett: Pbruttó Ft Ft Ft A Ft kevesebb a kínált elaási árnál, vagyis a Ft-nál. Ezért, ha a befektető ragaszkoik a 0%-os hozamelvárásához, akkor más befektetés után kell néznie, tehát ilyen áron nem vásárolja meg a kötvényt. 8

9 3 Részvények árfolyama és hozama 7. péla Egy elsőbbségi részvényt bocsátottak ki 200. június 0-én 2%-os garantált osztalékfizetési ígérettel. Az osztalékot minen év június 0-én fizetik ki. Mekkora az elsőbbségi részvény belső értéke 203. február 20-án, ha a befektető által elvárt hozam 20%? Nettó árfolyam meghatározása: Felhalmozott kamat: X PV c r 2% 20% 60% c t Bruttó árfolyam: 60%+8,38%68,38% 2% 255 8,38% Június 0-től a következő év február 20-ig 255 nap telik el. ( ). A bruttó árfolyam így 60%+8,38%68,38% lesz. 8. péla Egy elsőbbségi részvényt bocsátottak ki május 0-én, 2%-os garantált osztalékfizetési (C) ígérettel. Az osztalékot minen év május 0-én fizetik ki. Mekkora az elsőbbségi részvény belső értéke 200. február 20-án, ha a befektető által elvárt hozam (r) 20%? Az elsőbbségi részvény nettó árfolyamát az örökjáraék képletébe helyettesítve kapjuk meg: C 2% PVnettó 60%. r 20% Az elsőbbségi részvény nettó árfolyama 60%. A részvényt viszont nem az osztalékfizetés napján vásároljuk, ezért a kötvényeknél tanultak mintájára következő lépésként meg kell határozni a felhalmozott kamatot. Ez a vásárlást megelőző osztalékfizetéstől a vásárlásig eltelt 9

10 iőszakra eső kamat nagyságával egyenlő. Május 0-e és február 20-a között eltelt iő 286 nap. Ez az év 286/-ö része. A felhalmozott kamat ennek ismeretében: 286 K felhalmozott 2% 9,4%. Az elsőbbségi részvény bruttó árfolyamát a nettó árfolyam és a felhalmozott kamat összegeként kapjuk: PVbruttó PVnettó + K felhalmozott 60% + 9,4% 69,4%. A részvény bruttó árfolyama a vásárlás napján 69,4%. Ha a pélában megajuk a részvény névértékét is, ami legyen most 000 Ft, akkor az elsőbbségi részvényünk belső értéke 694 Ft lesz. 9. péla A Magyar telekom részvény 202-ben 9%-os osztalékot fizetett. ételezzük fel, hogy az osztalék hosszú távú növekeési rátája 2%. Osztalékot a részvényre június 0-én fizetnek. A részvénytől elvárt hozam 5%. Mekkora a részvény belső értéke 202. ecember 0-én, ha tujuk, hogy a részvény névértéke 00 Ft? örzsrészvények esetén az árfolyam meghatározása a növekvő örökjáraék segítségével történik. Ebben az esetben feltételezzük, hogy az osztalék az iő múlásával folyamatosan növekszik egy állanó százalékkal a végtelenségig. A törzsrészvény nettó árfolyamát a növekvő örökjáraék képletébe helyettesítve kapjuk meg. Részvény nettó árfolyama PV c 0 ( + g) r g 9% 00Ft ( + 2%) 5% 2% 336Ft Felhalmozott osztalék X c t 9% 00Ft ( + 2%) 83 5,05Ft A bruttó árfolyam 34,05 Ft 0

11 A vásárlásra vonatkozó öntést a kötvények árfolyamszámításánál már megismert logika alapján hozhatjuk meg. Vagy mégsem? Részvények esetén legyünk óvatosak. A matematikai mószerek, ha mégoly tökéletesnek tűnnek is nem alkalmasak minen folyamat leírására. A kötvényeknél a fix kamat, meghatározó a vásárló öntési motivációit illetően. A bemutatott matematikai mószerek azonban a minenkori hozamok ismeretében nyújtanak segítséget az aott értékpapírokra, befektetésekre vonatkozó öntéseket illetően. A részvények esetén a hozam(ráta), vagyis az osztalék, nem a fő motiváló tényező a vásárlási öntés meghozatalakor. A részvények hozamában ugyanis a kötvényekhez viszonyítva meghatározó nagyságrenet tesz ki a részvény árfolyamváltozása, amelyhez viszonyítva jóval kisebb jelentőségű az általa fizetett osztalék. A tanult és alkalmazott matematikai mószereink viszont az árfolyamváltozást nem tuják kezelni, így az nem is jelenik meg az ereményeinkben. 0. péla Egy törzsrészvényre ebben az évben 9%-os osztalékot fizettek. ételezzük fel, hogy az osztalék hosszú távú növekeési rátája (g) 2%. Az osztalékot minen év június 0-én fizetik. A részvénytől elvárt hozam (r) 5%. Mekkora lesz a részvény belső értéke (bruttó árfolyama) tárgyév ecember 20-án, ha tujuk, hogy a részvény névértéke 000 forint? Részvény nettó árfolyama PV c 0 ( + g) r g 9%.000Ft ( + 2%) 5% 2% 3.360Ft Felhalmozott osztalék X c t 9%.000Ft ( + 2%) 93 53,3Ft A bruttó árfolyam 3.43,3 Ft