MISKOLCI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK. Tőzsdei ismeretek. feladatgyűjtemény

Átírás

1 MISKOLCI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK Tőzsdei ismeretek feladatgyűjtemény Miskolc, 005

2 MISKOLCI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK Összeállította: Galbács Péter demonstrátor

3 . feladat Egy 5 millió forint névértékű váltó (N ) március 0-án jár le. A bank január 0- én kívánja leszámítolni 5%-os bankári diszkontláb mellett (d0,5). Mekkora összeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatláb 30%, akkor a váltót érdemes leszámítoltatni, vagy hitelt érdemes felvenni? A váltók leszámítolásakor használt képlet: PV N N d t. A lejáratig még 69 nap van hátra, így a képletbe behelyettesítve: , , A váltó névértéke tehát forint. Annak eldöntéséhez, hogy a leszámítolás, vagy a hitelfelvétel gazdaságosabb, fel kell használni a diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb alábbi képletét: * d i. d t A feladat adataival behelyettesítve: * 0,5 i 0,640 6,4%. 69 0,5 A diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb 6,4%. Mivel a tényleges kamatláb magasabb, mint az egyensúlyi szint, nem éri meg a hitelfelvétel, diszkontálni érdemesebb. A küszöbnap meghatározása: t 43,33 44 d i 0,5 0,3 Vagyis a lejárat előtt 44, vagy több nappal már megéri a hitelfelvétel.. feladat Egy 0 millió forint névértékű váltó október -án jár le. A bank március -án kívánja leszámítolni 6,5%-os bankári diszkontláb mellett. Mekkora összeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatláb 7%, akkor a váltót érdemes leszámítoltatni, vagy hitelt érdemes felvenni? A hátralévő napok száma 4. A váltó értéke ,48 forint. A diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb 8,6%. Stratégia: hitelfelvétel. Küszöbnap: feladat Egy 0 millió forint névértékű váltó július 8-án jár le. A bank április 7-én kívánja leszámítolni 6%-os bankári diszkontláb mellett. Mekkora összeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatláb 30%, akkor a váltót érdemes leszámítoltatni, vagy hitelt érdemes felvenni? A hátralévő napok száma. A váltó értéke 909,78 forint. A diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb 8,5%. Stratégia: diszkontálás. Küszöbnap: 88. 3

4 4. feladat Egy 45, millió forint névértékű váltó február 8-án jár le. A bank 005. június 30-án kívánja leszámítolni 9%-os bankári diszkontláb mellett. Mekkora összeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatláb 40%, akkor a váltót érdemes leszámítoltatni, vagy hitelt érdemes felvenni? A hátralévő napok száma 43. A váltó értéke , forint. A diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb 35,93%. Stratégia: diszkontálás. Küszöbnap: feladat Egy 36,5 millió forint névértékű váltó december -én jár le. A bank 005. június 7- én kívánja leszámítolni 36%-os bankári diszkontláb mellett. Mekkora összeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatláb 37%, akkor a váltót érdemes leszámítoltatni, vagy hitelt érdemes felvenni? A hátralévő napok száma 543. A váltó értéke forint. A diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb 77,5%. Stratégia: hitelfelvétel. Küszöbnap: faladat Egy kötvény futamideje év, névleges kamatlába 5% (K50000). Az elvárt hozam 0% (r0,). A kötvény névértéke millió forint (N000000). A névértéket egy összegben, a futamidő végén fizetik ki. Mekkora a kötvény árfolyama, ha évente fizetnek kamatot? A cash-flow ábrája az alábbi módon alakul: A kötvény éves kamata forint. A kötvények nettó árfolyama az alábbi módon határozható meg: Behelyettesítve: P N N ( + r) n + K n ( + r) n ( + r) r, P N ,77686.,, 0,. 4

5 A kötvény árfolyama tehát ,86 forint. Felhalmozódott kamattal ebben az esetben nem kell számolni. 7. feladat Egy félévente kamatot fizető, 0 millió forint névértékű kötvény 007. december 30-án jár le. A kötvény névleges kamata évi 5%. A befektetők által elvárt kamatláb 9%. Mennyi a kötvény falhalmozott kamata, a nettó és a bruttó árfolyama 005. június 6-án? Az egy alkalommal fizetett kamat forint (K750000). A hátralévő periódusok száma 6. A kalkulatív kamatláb: ( + 0,09) 0, ,4%. A kötvény nettó árfolyama a 6. feladatnál ismertetett képlet segítségével számolva 604,5 forint. A felhalmozott kamat (X) meghatározását szemlélteti az alábbi ábra: Igaz, hogy: K X, T t amelyből: K X t. T A T az első kamatfizetési időpont és a nulladik időpont közötti távolság (utóbbira vonatkozóan kerül meghatározásra a kötvény nettó árfolyama), a t pedig a nulladik időpont és a kötvény árfolyam-meghatározási napja közötti különbség. Behelyettesítve (T8; t58) a felhalmozott kamatra 65098,90 forint adódik. A kötvény bruttó árfolyama tehát (amely a nettó árfolyam és a felhalmozott kamat összege) 006. június 6-án 55,4 forint. 5

6 8. feladat Egy félévente kamatot fizető, millió forint névértékű kötvény 006. december 5-én jár le. A kötvény névleges kamata évi 0%. A befektetők által elvárt kamatláb 0%. Mennyi a kötvény falhalmozott kamata, a nettó és a bruttó árfolyama 005. június 0-én? A hátralévő periódusok száma 4. A kalkulatív elvárt hozam 4,88%. T8, t77. A kötvény nettó árfolyama ,055 forint, a felhalmozott kamat 975,7475 forint. A kötvény bruttó árfolyama 43349,80 forint. 9. feladat Egy félévente kamatot fizető, 5 millió forint névértékű kötvény 007. május 5-én jár le. A kötvény névleges kamata évi 5%. A befektetők által elvárt kamatláb %. Mennyi a kötvény falhalmozott kamata, a nettó és a bruttó árfolyama 005. május -én? A hátralévő periódusok száma 5. A kalkulatív elvárt hozam 5,83%. T8, t67. A kötvény nettó árfolyama ,6 forint, a felhalmozott kamat 7997,376 forint. A kötvény bruttó árfolyama 98596,63 forint. 0. feladat Egy félévente kamatot fizető, 5 millió forint névértékű kötvény 007. október 0-án jár le. A kötvény névleges kamata évi 4%. A befektetők által elvárt kamatláb 8%. Mennyi a kötvény falhalmozott kamata, a nettó és a bruttó árfolyama 005. március 8-án? A hátralévő periódusok száma 6. A kalkulatív elvárt hozam 3,93%. T8, t39. A kötvény nettó árfolyama 90464,86 forint, a felhalmozott kamat 338,46 forint. A kötvény bruttó árfolyama ,3 forint.. feladat Mekkora tőkét kell elhelyeznünk a bankban 7%-os kamatláb mellett, ha 5 éven át minden év végén forint járadékot akarunk felvenni? Az annuitás jelenértékének képlete: PV c n ( + r) n ( + r) r A feladat szerint c00000, n5, r0,07. Behelyettesítve az elhelyezendő tőke 9079, forint.. 6

7 . feladat 5 éven keresztül minden hónapban egy betét után 84385,7 forint kamatot kapunk. A betét hozama évi 6%. Mennyi a pénzáram jelenértéke? A. feladatnál említett képlet az alábbi alakra módosul: m t r + m PV c, m t r r + m m ahol m az évenkénti kamatfizetések száma. Behelyettesítve: 5 0,06 + PV ,06 0,06 + A feladatban szereplő pénzáram realizálásához forint összegű betétet kell elhelyeznünk. 3. feladat Egy 00 forint névértékű részvény következő osztalékfizetési időpontja 005. június. A megelőző évben szintén erre a napra esett az osztalékok kifizetése; akkor az osztalék mértéke 5% volt (DIV 0 5%). A következő időszakokban az osztalékok folyamatos emelkedésére lehet számítani, a növekedés üteme évi 0% (g0,). Mennyi a részvény bruttó árfolyama 005. január 0-án? Az elvárt hozam 0% (r0,). A feladat szövege alapján DIV Az előre jelzett növekedés alapján DIV 30,5. A szükséges képlet: c P. r g Behelyettesítve: 30,5 P , 0, A részvény nettó árfolyama tehát 305 forint. A felhalmozott osztalék (X) meghatározása a kötvények felhalmozott kamatánál alkalmazott eljárás mintájára történik. A feladat szerint T és t. Behelyettesítve: X DIV 84. A részvény bruttó árfolyama 005. január 0-án 309 forint. 4. feladat Egy befektető Synergon-részvény vásárlására 004. március -én opciót kötött 004. október 30-i lejárattal. A kötési árfolyam 800 forint volt részvényenként (X800). Ismert 7

8 továbbá az is, hogy az opciós díj 00 forint volt (c00). A Synergon árfolyama 004. április 3-án 900 (S 0 900), október 30-án pedig 00 forint volt (S 00). Feladat: mennyi volt az egyes időpontokban az opció belsőértéke, illetve időértéke? A rendelkezésekre álló adatok alapján kitölthető az alábbi táblázat. Egy opció belső értéke meghatározható, ha megvizsgáljuk, hogy az adott időpontban érvényes prompt árfolyam mellett mennyit ér az opció az opció vevőjének (mekkora nyeresége származik abból, ha az adott időpontban lehívja az opciót). Egy opció időértéke az az összeg, amellyel a belső értéke meghaladja az opció díját figyelembe véve azt, hogy lejáratkor az opció időértéke mindig zérus. Az opció értéke a belső érték és az időérték összege. Ezek alapján tehát: 004. április október 30. Belső érték Időérték feladat Egy befektető MOL-részvény eladására opciót vásárolt 004. január -én. A lejárat időpontja 004. június 30. volt. Tudjuk, hogy a kötési árfolyam 6000 forint (X6000), az opciós díj pedig 000 forint volt (p000). Ismert továbbá az is, hogy 004. február 7-én a MOL árfolyama 5400 (S ), 004. június 30-án pedig 7000 forinton alakult (S 7000). Az. feladatban ismertetett módszer segítségével előállítható az alábbi táblázat: 004. február június 30. Belső érték Időérték feladat A Synergon prompt árfolyama a mai napon 850 forint (S 0 850). Becslések szerint év elteltével az értékpapír árfolyam vagy 900 forintra emelkedik, vagy 800 forintra süllyed. Mennyi annak a vételi opciónak az értéke, amely 870 forintos kötési árfolyamra vonatkozik? A kockázatmentes kamatláb 0% (r f 0,). A részvény árfolyamának mozgása nem követi a normális eloszlást. Hány opció vásárlásával juthatunk a részvénybe történő befektetéssel azonos pozícióba? A prompt árfolyamok ismeretében S u 900 és S d 800. Az opció belső értéke meghatározható a kötési árfolyam és a prompt árfolyamok segítségével: C u 30; C d 0. 8

9 Olyan mesterséges befektetési portfoliót kell alkotnunk, amelynél az értékpapírok vásárlását hitelből finanszírozzuk. A banktól akkora összegű hitelt kapunk, amelynek törlesztése a kamatokkal együtt pesszimista végkimenetel esetében is megoldható: rf t 0, PV ( S d ) S d e 800 e 74 A hitelösszeg mellett önrészre is szükség van a részvény megvásárlásához: Ennek alapján a befektetés értéke kedvező esetben 00, kedvezőtlen esetben pedig 0 ennyi marad ugyanis a részvény eladási árából, ha a vásárláshoz igénybe vett hitelt kamataival együtt visszafizetjük. Meghatározható az m értéke, amely megmutatja, hogy hány vételi opcióra van szükségünk ahhoz, hogy a részvénnyel történő befektetéssel megegyező pénzáramot kapjuk: Su S d m 3,3333. Cu Cd 30 0 Mivel a feladat szerint nem tételezhetjük fel a normális eloszlás fennállását, az alábbi képletet kell alkalmaznunk az opció helyes árának meghatározásához: rf t rf t e d u e C u C d u d + u d c rf t e Az u és d paraméterek meghatározása: Su 900 S d 800 u,06, illetve d 0, 94. S S Behelyettesítve azt kapjuk, hogy: 0, 0, e 0,94,06 e 30 0,06 0,94 +,06 0,94 c 37,4. 0, e A vételi opció helyes díja tehát 37,4 forint. 7. feladat 004. április -én a MOL prompt ára 6560 (S6560) forint volt. Ismert az is, hogy ugyanezen napon 004. június 30-ra vonatkozóan a részvény határidős ára 9000 forinton alakult. Mennyi az értékpapír határidős egyensúlyi ára, és milyen arbitrázs-technikával élne? A kockázatmentes kamatláb 7,75% (r f 0,0775). Hogy alakulna az ennek révén elérhető nyereség? A megoldás során a brókeri jutalékkal nem kell számolni. Április. és június 30. között 80 nap telik el, így a határidős egyensúlyi ár meghatározása: 80 r t 0,0775 f. F S e 6560 e 6844 Látható, hogy az egyensúlyi árfolyam a ténylegestől elmarad, így megéri a részvénybe történő befektetés, vagyis határidősen eladni, prompt pedig venni érdemes. Az ügylethez nem szükséges saját erő, a teljes vételár hitelből finanszírozható. A vásárláshoz akkora összegű hitelt kapunk, hogy a határidős eladási ár fedezze az adósságszolgálatot. A kapott hitel összege: 9

10 80 0,0775 PV ( 9000 ) 9000 e Az arbitrázsőr nyeresége a hitelösszeg és a prompt vételi árfolyam különbsége, vagyis 836 forint. 8. feladat 004. április -én a MOL prompt ára 6560 (S6560) forint volt. Mennyi az értékpapír határidős egyensúlyi ára 004 június 30-án, és milyen arbitrázs-technikával élne? A kockázatmentes kamatláb 7,75% (r f 0,0775). Hogy alakulna az ennek révén elérhető nyereség? A brókeri jutalék mértéke %. Ismert, hogy az április -én fennálló tényleges határidős árfolyamok a.) 7000 b.) 8000 c.) 6000 forinton alakulnak. A brókeri jutalékok miatt két határidős árat kell meghatározni. Vételnél: Eladásnál: 80 0,0775 F 6560,0 e ,0775 F ,99 e 6675 Első esetben, mivel a tényleges határidős árfolyam a két egyensúlyi árfolyam közé esik, nem nyílik mód arbitrázsra. Második esetben érdemes prompt venni és határidősen eladni. A felvehető hitel összege: 80 0,0775 PV ( 8000) 8000 e 7697 Az arbitrázsőr nyeresége ismét a hitelösszeg és a prompt ár közötti különbség, vagyis 37 forint. Harmadik esetben nyereséges a prompt eladás és a határidős vétel kombinálása. 9. feladat 004. április -én a MOL prompt ára 6560 (S6560) forint volt. Június 6-án a MOL értékpapírjára várhatóan 0%-os mértékű osztalékot fizet. Mennyi az értékpapír határidős egyensúlyi ára? A kockázatmentes kamatláb 7,75% (r f 0,0775). A megoldás során a brókeri jutalékkal nem kell számolni. A MOL-részvény névértéke 000 forint. A határidős egyensúlyi ár meghatározásához mindenekelőtt le kell vonni a prompt árfolyamból a várható osztalék mértékét. Az osztalékot minden esetben a névérték alapján határozzuk meg, így DIV00. A lépéseket egyesítve a szokásos képlet az alábbiak szerint alakul: ,0775 0,0775 F e e forintnyi osztalék esetén tehát a MOL-részvény egyensúlyi árfolyama 6743 forinton alakul. 0

11 0. feladat 004. március 9-én a MOL prompt ára 60 (S60) forint volt. Április -én a MOL értékpapírjára várhatóan 5%-os mértékű osztalékot fizet. Ismert továbbá, hogy október 30-án esedékes határidős árfolyam a.) 9000 b.) 7000 c.) 6000 forinton alakul. Mennyi az értékpapír határidős egyensúlyi ára? A kockázatmentes kamatláb 7,75% (r f 0,0775). A MOL-részvény névértéke 000 forint. A brókeri jutalék mértéke,5%. A MOL-részvény névértéke 000 forint. Milyen arbitrázs technikával élne a három esetben, s hogyan alakulna az ügylettel elérhető nyereség? A határidős egyensúlyi ár meghatározásakor figyelembe kell venni az osztalékot, és a brókeri jutalékot is a brókeri jutalékot mindig a bruttó ár alapján kell kalkulálni. Természetesen ebben az esetben is két egyensúlyi árfolyamunk lesz. Vételhez: 5 0,0775 0,0775 F 60,05 50 e e 7005 Eladáshoz: 5 0,0775 0,0775 F 60 0, e e Az a.) feladatrész esetében van lehetőség arbitrázs-ügyletre, hiszen a tényleges árfolyam magasabb, mint az egyensúlyi. A felvehető hitel összege: 5 0,0775 PV ( 9000) 9000 e 84. A nyereség megszokott módon a prompt árfolyam és a hitelösszeg különbözete, azaz 994 forint. A b.) esetben nem nyílik mód arbitrázs műveletre. A c.) esetben határidősen vehet, és prompt eladhat a befektető.. feladat Az eurobúza prompt árfolyama 004. március 8-án 5000 forinton alakult. Ugyanezen időpontban az eurobúza határidős árfolyama 004. november 30-i lejárat mellett forint. Hogyan alakul az eurobúza határidős egyensúlyi ára? Milyen arbitrázstechnikát alkalmazna? A kockázatmentes kamatláb 7,75% (r f 0,0775). A raktározási költség 000 forint/hó tonnánként. Az egyensúlyi ár meghatározása: 67 r 67 0,0775 F ( S + U ) e f t e 8006 Mivel a tényleges határidős ár magasabb az egyensúlyinál, hitelfelvétel mellett nyereségesen valósítható meg az eurobúza határidős eladása. A felvehető hitel összege:

12 67 0,0775 PV ( 30000) e A határidős nyereség összege 34.. feladat Az Euró árfolyama 004. március 8-án 47 forint volt (S47). Ugyanezen a napon a 005. március 8-i határidős árfolyam 80 forinton alakul. A kockázatmentes euró-kamat,5% (r EUR 0,05), a kockázatmentes forintkamat pedig 7,75% (r HUF 0,0775). Hogyan alakul egy év múlva az Euró egyensúlyi árfolyama? Milyen arbitrázstechnika lenne nyereségesen alkalmazható? (Hitelösszeg: forint 4049 Euró). Az egyensúlyi árfolyam a két kamatláb különbségének segítségével határozható meg az alábbi módon: ( r r ) t ( 0,0775 0,05) HUF EUR F S e 47 e 6. Mivel a tényleges határidős árfolyam magasabb az egyensúlyinál, nyereségesen lehet Eurót határidősen eladni (illetve prompt vásárolni). A hitelt forintban vesszük fel, így azt átváltva 4049 Euróval rendelkezünk. Ezt befektetve év alatt 44 Euróra fog gyarapodni a pénzünk: 0, e 44. Ezt az év letelte után visszaváltjuk forintra a tényleges, 80 forintos árfolyamon, így a kamatperiódus végén forinttal fogunk rendelkezni. Az igénybe vett forinthitel kapcsán felmerülő adósságszolgálat: 0, e Az ügylettel realizálható nyereség a kamatozással nyert forintösszeg és az adósságszolgálat különbsége, azaz hozzávetőlegesen forint. Az arbitrázs-négyszög az alábbi módon alakul: 3. feladat Az Euró árfolyama 004. január -án 47 forint volt (S47). Ugyanezen a napon a 004. július -i határidős árfolyam 75 forinton alakul. Az Euróban denominált betétek kamata,5%, az Euró-hitelek kamata,5%; a forint-betétek kamatlába 6%, míg a forintban felvett

13 hitelekre 8%-os kamatot kell fizetni. Hogyan alakul fél év múlva az Euró egyensúlyi árfolyama? Milyen arbitrázstechnika lenne nyereségesen alkalmazható? (Hitelösszeg: forint 4049 Euró). A rendelkezésre álló adatok alapján felírható az alábbi táblázat: Betétek kamata Hitelek kamata EUR,5%,5% HUF 6% 8% A kamatráták eltérései miatt itt is két egyensúlyi árfolyam fog adódni: ( 0,08 0,05) 0,5 F 47 e 55 ( 0,06 0,05) 0,5 47 e F 5 Mivel a tényleges határidős árfolyam magasabb, mint az egyensúlyi árfolyamok (az Euró drágább), határidőre nyereségesen lehet Eurót eladni (forinthitelből történő prompt vásárlással kombinálva) forintos hitelösszeg esetén 4049 Euróval számolhatunk, amely összeg félévnyi kamatozás után 4079 Euróra növekszik. Átváltva (a tényleges 75 forintos árfolyamon) 75 forintot kapunk. A forinthitel adósságszolgálata hozzávetőlegesen 0408 forint, a nyereség így 8094 forint. 4. feladat A Synergon részvényének prompt árfolyama 004. április 9-én 850 forint (S850). Ezen papírra vonatkozóan egy befektető június 30-i lejárattal vételi opciót vásárol, amelynek kötési árfolyama 900 forint (X900). A kockázatmentes kamatláb 7% (r f 0,07). Az alaptermék árfolyamának szórása 30% (σ0,3). Hogyan alakul a helyesen árazott opció díja? A normális eloszlás feltételezhető az alaptermék árára vonatkozóan. A feladat a Black-Sholes modell felhasználásával oldható meg. A d és d paraméterek meghatározása: ln + 0,07 0,3 900 d + 0,587 0,6 7 0,3 7 d ( 0,587) 0,3 0,399 0, 39. Igaz, hogy N( d ) N(d ). Ezek alapján a normál eloszlás táblázatából könnyen meghatározható, hogy N(d )0,3974; N(d )0,3483. Ezeket behelyettesítve a Black Sholesképletbe: 7 0,07 c 850 0, e 0,3483 8, A helyesen árazott opció díja tehát 9 forint. 3

14 5. feladat A Synergon részvényének prompt árfolyama 004. április 9-én 850 forint (S850). A részvényre 005. június 6-án várhatóan 0 forint osztalékot fognak fizetni. Ezen papírra vonatkozóan egy befektető június 30-i lejárattal vételi opciót vásárol, amelynek kötési árfolyama 900 forint (X900). A kockázatmentes kamatláb 7% (r f 0,07). Az alaptermék árfolyamának szórása 30% (σ0,3). Hogyan alakul a helyesen árazott opció díja? A normális eloszlás feltételezhető az alaptermék árára vonatkozóan. Meg kell határozni az osztalék jelenértékét, s ennek segítségével a módosított prompt árfolyammal kell a Black Sholes-képletet használni: S * S DIV e r f t 48 0, e 830, , ln + 0,07 0,3 900 d + 0,4357 0,43 7 0,3 7 d ( 0,4357) 0,3 0,5689 0, 57 Ezek alapján N(d )0,3336 és N(d )0,843. Behelyettesítve adódik, hogy c4, feladat A Synergon részvényének prompt árfolyama 004. április 9-én 850 forint (S850). Ezen papírra vonatkozóan egy befektető június 30-i lejárattal vételi opciót vásárol, amelynek kötési árfolyama 900 forint (X900), kötési díja pedig 9 forint (a 4. feladat alapján). A kockázatmentes kamatláb 7% (r f 0,07). Az alaptermék árfolyamának szórása 30% (σ0,3). A normális eloszlás feltételezhető az alaptermék árára vonatkozóan. Put call paritással számolva mennyi az értéke egy hasonló lejárati időpontú (004. június 30.), illetve hasonló kötési árfolyamú (X900) eladási opciónak? Mennyi az időérték és a belső érték? A put call paritás megmutatja, hogy egy meghatározott kötési árfolyamú és lejáratú európai vételi opció értéke levezethető egy hasonló kötési árfolyamú és lejáratú európai eladási opció értékéből, és viszont. Igaz tehát az, hogy: c Xe r t + f p + S. Az eladási opció értéke így: 7 0,07 p 900 e ,658. A belső érték ebből 50, az időérték pedig 6,658 forint. 7. feladat Mennyi annak az amerikai vételi opciónak az értéke, amely esetében az alaptermékül szolgáló részvény árfolyama 004. április 9-én (a kötés időpontjában) 6650 forint (S6650), az árfolyam változásának szórása 40% (σ0,4), a normalitás pedig feltételezhető. Az opció lejárata 004. december 30. A kockázatmentes kamatláb 7% 4

15 (r f 0,07). A kötési árfolyam 6000 forint (X6000) június 6-án a részvényre várhatóan 600 forint osztalékot fognak fizetni (DIV600). A Black Sholes-képlet segítségével két időpontra vonatkozóan kell kiszámolni az opció értékét, hiszen az amerikai opciók bármikor lehívhatók. Az osztalékfizetés napján az opció értéke az alábbi módon alakul: ln + 0,07 0, d + 0,405 0,4 48 0,4 48 d 0,405 0,4 0,654 0,7. Ebből adódik, hogy N(d ) 0,659 és N(d ) 0,6064. Ezek alapján c360,5. Második esetben az opció lejáratáig, vagyis december 30-ig kell kiszámítani az opció értékét. Ekkor azonban az osztalék jelenértékével módosítani kell a prompt árfolyamot. A jelenérték 585,33888, így a módosított prompt árfolyam 5065; T55 nap55/ év. Ezek alapján d 0,333 és d ( 0,00), N(d ) 0,557, N(d)0,407. Az opció értékére c90,4 adódik. Lejáratig tartva tehát az opció értéke magasabb, érdemes tehát megvárni a lejáratot. 8. feladat Egy részvényre vonatkozó vételi opció esetében a kötési ár 4900 forint (X4900). A részvény prompt árfolyama 550 forint (S550). Az opció kötésének időpontja 004. május. Az opció 004. június 5-én jár le. A kockázatmentes kamatláb 7,5% (r f 0,075). Az alaptermék árának szórása 40% (σ0,4). Az árváltozás esetében a normális eloszlás feltételezhető. Mennyi a helyesen árazott vételi opció értéke? A behelyettesítések révén d 0,57 0,6; d 0,033 0,; N(d )0,606 és N(d )0,5398. Az opció díjára adódik, hogy c75,. 9. feladat Egy részvényre vonatkozó vételi opció esetében a kötési ár 895 forint. A részvény prompt árfolyama 975 forint. Az opció kötésének időpontja 004. február 8. Az opció 004. július 4-én jár le. A kockázatmentes kamatláb 7,75%. Az alaptermék árának szórása 35%. Az árváltozás esetében a normális eloszlás feltételezhető. Mennyi a helyesen árazott vételi opció értéke? A behelyettesítések révén d 0,6438 0,64; d 0,477 0,43; N(d )0,7389 és N(d )0,6664. Az opció díjára adódik, hogy c4,099. 5

16 30. feladat Egy részvényre vonatkozó vételi opció esetében a kötési ár 775 forint. A részvény prompt árfolyama 000 forint. Az opció kötésének időpontja 004. február. Az opció 004. szeptember 8-án jár le. A kockázatmentes kamatláb 7%. Az alaptermék árának szórása 45%. Az árváltozás esetében a normális eloszlás feltételezhető. Mennyi a helyesen árazott vételi opció értéke? Az osztalék jelenértékével csökkentett prompt árfolyam 80,409. A behelyettesítések révén d 0,39; d 0, ,05; N(d )0,657 és N(d )0,599. Az opció díjára adódik, hogy c35, feladat Egy "A" és "B" részvényből álló portfolió esetén az idő múlásával az alábbiak szerint alakultak a hozamok: Idő "A" részvény "B" részvény 5% 8% 0% 6% 3 5% 4% A portfolióban az "A" részvényből 70%-nyi (W A 0,7), a "B" részvényből 30%-nyi (W B 0,3) található. Hogyan alakul a portfolió hozama és kockázata? Milyenek az ideális részarányok a portfolión belül? Milyen az egyes részvények kockázata? A két részvény (átlagos) hozama a számtani átlaggal, illetve kockázata (a hozamok szórása) a kovariancia vagy a korrigált tapasztalati szórás alapján könnyedén meghatározható: sr n j Ezek alapján r A 0%, r B 6%. Az "A" részvény kockázata: n ( rj r ) ( 5 0) ( 0 0) ( 5 0) s A 5%. Ehhez hasonlóan s B 8%. A portfolió hozama az egyes részvények átlagos hozamainak a portfolión belüli részarányukkal súlyozott átlaga: r P,8%. A két értékpapír közötti kovariancia meghatározása az általános képlet segítségével történhet: ( ) dxdy cov xy. n Behelyettesítve adódik, hogy: ( ) ( 5 0) ( 8 6) + ( 0 0) ( 6 6) + ( 5 0) ( 4 6) cov r A ; r B 40. Az alábbi összefüggéssel meghatározható a korrelációs együttható is: ρ cov( ra; rb ) 40 r A; rb s s 5 8. A B 6

17 A portfolió kockázatának meghatározása az alábbi képlettel lehetséges: s P WA s A + WB sb + WA WB s A sb ρ r A ; r B, amelynél itt 5,9% adódik. Ha a papírok ellentétesen reagálnak, a korrelációs együttható értéke ( ) lesz, a kovariancia pedig ( 40). Ekkor a minimális relatív kockázatú portfolió súlyai ( ra; rb ) cov( r ; r ) ( 40) ( 40) sb cov 8 W A 6,54%. sb + s A A B Igaz, hogy W B W A, tehát W B 38,46% 3. feladat Egy elemző cég négy részvényre vonatkozó becsléseit tartalmazza az alábbi táblázat: Részvény Jelenlegi ár Negyedév múlva várható ár Negyedév múlva várható osztalék A ,5 B ,6 C ,5 D ,9 A piac várható hozama 9% lesz az elkövetkező negyedévben. A kockázatmentes kamatláb évi 8%. Mely papírok felül-, és mely papírok alulértékeltek? Mely papírokba érdemes fektetni? A részvények elvárt hozamát (CAPM-szerinti hozamát) az alábbi képlettel határozhatjuk meg: ri rf + ( rm rf ) β i. A feladat alapján r m 9%, r f 8/4%. Ezek alapján CAPM A 5,5%; CAPM B 0,%; CAPM C,5%; CAPM D 8,3%. Az egyes értékpapírok tényleges hozamai meghatározhatók az alábbi képlettel: P + DIV r ln. P0 Ennek alapján r A 8,9%; r B 6,3%; r C 5,7%; r D 7,8%. Az egyes részvények esetében az α i értékek, amelyek pozitivitása jelzi az alulértékeltséget, a tényleges és az elvárt hozam különbségeként határozhatók meg. Ezek szerint α A 3,4%; α B 6,0%; α C 3,%; α D 8,88%. Valamennyi papír alulértékelt, legerőteljesebben a D részvény, így leginkább abba érdemes befektetést eszközölni. β i 33. feladat A gazdasági kilátásokra vonatkozó becslés adatait az alábbi táblázat tartalmazza: A változás iránya Valószínűség "A" részvény "B" részvény Piaci hozam p i r A r B r M Recesszió 0, 5% 8% 6% Kis növekedés 0,6 0% 6% % 7

18 Nagy növekedés 0, 0% 0% 8% A kincstárjegy hozama jelenleg évi 7% (r f 0,07). Hogyan alakul az egyes papírok bétája, alfája, illetve a portfolión belüli ideális részaránya? A várható hozam meghatározása: E n () r i p i r i. Ezek alapján E(r A )%; E(r B )3,%; E(r M )9,6%. Az egyes részvények, illetve a teljes piac hozamának szórása (a kockázat) a korrigált tapasztalati szórás képletével határozható meg, ahol a súlyokat itt a valószínűségek, az átlagokat pedig a várható hozamok fogják adni. Azaz: s A 0, ( 5 ) + 0,6 ( 0 ) + 0, ( 0 ),3% ( 8 3,) + 0,6 ( 6 3,) + 0, ( 0 3,) 3,48% s B 0, Ezekhez hasonlóan s M 8,4%. A kovariancia meghatározásakor a súlyokat ismét a valószínűségek adják: cov( r A ; r M ) 0, ( 5 ) ( 6 9,6) + 0,6 ( 0 ) ( 9,6) + + 0, ( 0 ) ( 8 9,6) 80, 4 Hasonlóképpen számolva cov(r B ;r M )4,88; cov(r A ;r B ),8. Az egyes részvényekre vonatkozó béta meghatározásához szükséges képlet: cov( ri ; rm ) β i. sm Ebből adódik, hogy β A,; β B 0,. A már ismert módon CAPM A 0,46%; CAPM B 7,57%. Az alfa értékének meghatározásánál a várt hozamok értékét csökkentjük a CAPM-szerinti hozamokkal. α A 9,46%; α B 5,68%. B alulértékelt, így az abba való befektetés tűnik kifizetődőnek. W A 7,74%; W B 9,6%. 34. feladat Az "A" és "B" részvény hozamait tartalmazza az alábbi táblázat: Év "A" részvény "B" részvény Milyen az egyes papírok várható hozama? Mekkora a papírok kovarianciája és korrelációs együtthatója? Mekkora az egyes papírok kockázata? E(r A )7,6%; E(r B )6,%; cov(r A ;r B ),9; s A 8,9%; s B,8%; ρ0,5. 8

19 35. feladat Különböző állampapírok adatait tartalmazza az alábbi táblázat: Névérték Lejárat Évi kamat Árfolyam 00 0, , ,5 4 0 A fél év múlva esedékes, fél éves lejáratú kötvény árfolyama 96,9 ( 0,5 DWIX 0,5 96,9). Milyen arbitrázs-technikával használható ki a helyzet? A feladat a bootstrap-módszer segítségével oldható meg. Az egyes lejáratokon érvényes kamatlábak (amelyek a hozamgörbe egyes pontjait adják) meghatározhatók annak ismeretében, hogy az árfolyam és a névérték között a lejárati idő és a kamatláb teremt kapcsolatot: r0,5 0,5 96 e 00 r 0,5 8,6% Az általános képlet: N ln P r t t Ebből r 7,6%. A kamatfizetést is tartalmazó években az alábbi egyenlőségeket lehet felírni: 0,086 0,5 0,076 r, 5,5 04 5e + 5e + 05e r 6,99% 0 6e + 6e,5 + 6e 6,4% + 06e 0,086 0,5 0,076 0,0699,5 r r 0,086 0,5 0,076 0,0699,5 0,064 r, 5, 5 0 7e + 7e + 7e + 7e + 07e r,5 5,05% Az implicit forward, vagyis az m év múlva n éves lejáratú kamatlábak meghatározásához szükséges képlet: ( m + n) rm + n m rm m rn. n Ennek segítségével 0,5 r 0,5 6,36%; r 0,5 6,45%;,5 r 0,5 4,63%; r 0,5-0,35%. A fél év múlva érvényes kötvényárfolyam alapján számított kamatráta: 00 ln 96,9 r 6,3%. 0,5 Mivel ez a kamat alacsonyabb, mint az általunk számított implicit forward ráta, érdemes két hitelt felvenni, és egy betétet elhelyezni, az alábbi kamatok mellett: 9

20 36. feladat Különböző állampapírok adatait tartalmazza az alábbi táblázat: Névérték Lejárat Évi kamat Árfolyam 00 0, , , A fél év múlva esedékes, fél éves lejáratú kötvény árfolyama 90 ( 0,5 DWIX 0,5 90). Milyen arbitrázs-technikával használható ki a helyzet? A korábban vázolt módon r 0,5,38%; r,65%; r,5 9,65%; r 9,98%; r,5,43%. Az implicit forward kamatlábak: 0,5 r 0,5 0,9%; r 0,5 5,65%;,5 r 0,5 0,97%; r 0,5 7,3%. A DWIX árfolyama alapján számolt kamatláb,07%. Így éves lejáratú hitel vehető fel nyereséggel, s kétszer félévre kell befektetni: 0

21 37. feladat A búza december 5-i határidős ára május -én 6000 forint tonnánként. Mutassa be a fedezeti ügylet kockázatcsökkentő hatását, ha a termelő november 5-én adja el búzáját! November 5- én az azonnal búzaár a.) 0000 b.) forint tonnánként. A tárolási és ügynöki költségek elhanyagolhatók. A kockázatmentes kamatláb 6%. A termelő május -én határidőre elad a 6000 forintos tonnánkénti árfolyamon, majd november 5-én prompt is elad az akkor érvényes azonnali áron, s ekkor december 5-i lejárattal határidősen vesz is. A két december 5-i határidős árfolyam november 5-én 0049, illetve 4098 forint tonnánként. Az a.) esetben a határidős nyereség 595, a b.) esetben 498 forint tonnánként. A tényleges (határidős nyereséggel módosított) prompt eladási ár 595, illetve 580 forint tonnánként. A tényleges prompt ártól függetlenül a tényleges eladási árak gyakorlatilag azonosnak tekinthetők a fedezeti ügylet hatásaként. 38. feladat A MOL tart az olajárak emelkedésétől, ezért május 5-én határidőre vásárol kőolajat augusztus 3-i határidőre. Az ügylet kötésekor a kőolaj ára 50USB/barrel. Milyen irányú fedezeti ügyletet köt a MOL? Mutassa be a fedezeti ügylet kockázatcsökkentő hatását! Július 5-én a kőolaj ára a.) 0USD/barrel b.) 00USD/barrel. A kockázatmentes kamatláb 3%. Tárolási költség USD/barrel/hó. A MOL határidősen vesz május 5-én augusztus 3-i lejárattal, majd július 5-én prompt vesz, s ezen a napon határidős eladási ügyletet is köt, szintén augusztus 3-i lejárattal. A május 5-én kötött, augusztus 3-i lejáratú határidős vételi ár 54,08USD/barrel. A július 5- én érvényes, augusztus 3-re szóló határidős eladási árak,65, illetve 0,96USD/barrel. A határidős nyereség tehát 3,43, illetve 47,88USD/barrel. A tényleges vételár 5,43, illetve 5,USD/barrel. 39. feladat Egy termelőnek várhatóan 5000 tonna búzája lesz. A búza minősége I. osztályú. A tőzsdén viszont kizárólag euróbúzára lehet kontraktust kötni. Egy kontraktusban 00 tonna búza van. A malmi búza árváltozásának szórása 35% (σ S 35). A határidős termék árváltozásának szórása 45% (σ F 45). A két termék közötti korreláció 0,8 (ρ0,8). Mi a határidős kötés iránya? Mekkora a határidős kontraktusszám? A fedezeti arány meghatározása: h σ S ρ. σ F