Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok

Átírás

1 SOROZATOK Alapok

2 Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok. 1, 1, 2, 3, 5,. 1,4,7,10,.. 1, 2,4,8,16,32,.(Sakktábla és búza története) 1, ½,1/3, ¼

3 Alapfogalmak A sorozatok egy halmaz minden eleméhez (sorozat elemihez vagy tagjaihoz) egyértelműen hozzárendelnek egy pozitív egész számot (az elemek sorszámát). Jelölés: A sorozat tagjait a n -nel jelöljük. Pl. a 1 = 1, a 2 =4, a 3 =7 a 6 =?, a 13 =?... Matematikai sorozatokat megadhatunk szövegesen utasítással egyes elemeivel a sorozat tagjai közötti összefüggés megadásával is, azaz rekurzív defininícióval.

4 Adjuk meg a sorozatok első 5 elemét 1. a n =n+3 Tagja a sorozatnak a 130? 2. a n =n (-1) Tagja a sorozatnak a 12? 3. a 1 =1, a 2 =1 a n =a n-1 +a n-2 (Fibonacci sorozat) 4. a n =1, a n =a n-1 +n 19-k-12. (2011. május 3 pont) Melyik a 201-edik pozitív páros szám? Válaszát indokolja! 19-k-13. (2011. október 3 pont) Egy sejttenyészetben 2 naponta kétszereződik meg a sejtek száma. Az első nap kezdetén 5000 sejtből állt a tenyészet. Hány sejt lesz a tenyészetben 8 nap

5 Speciális sorozatok I. A Számtani sorozat Számtani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatot, amelyben az egymást követő tagok különbsége állandó. Ezt az állandót differenciának (latin: különbség) nevezzük, jele: d. Azaz, ha a n = a n-1 +d, akkor ez egy számtani sorozat. Pl. a 1 =1, és d=2 Számítsuk ki a 5 -t MO: a 5 =a 1 +d+d+d+d=a 1 +4 d=1+4 2=9 Mennyi akkor a 26 =? a 26 =a d =1+50=51

6 Speciális sorozatok I. A Számtani sorozat Egy számtani sorozat n-ik elemét az első elem és a differencia segítségével a következőképp számíthatjuk: a n =a 1 +(n-1) d /lsd.függvénytáblázat/ PL. Ismerjük egy számtani sorozat első tagját és differenciáját: a)-17=a 1, 3=d a 14 =?, a 20 =? b) 164 =a 1, d=-4, a 10 =? a 20 =? Számítsuk ki a 1 -t, ha a 9 =14, és a 11 =29

7 Speciális sorozatok A Számtani sorozat Egy trapéz alakú nézőtéren 20 sor van. Minden sorban kettővel több szék van, mint az előtte levőben. Hány néző fér el a színházban, ha az első sorba tízen ülhetnek le? S= a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +.+a 20, azaz számtani sorozat mind a 20 tagját meg kell állapítanunk, és azokat összegezni kell. Ezt határozza meg a következő képlet:

8 Speciális sorozatok A Számtani sorozat 19-k-2. (2005. május 5 pont) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. Mekkora az első 150 tag összege? 19-k-6. (2007. október 3 pont) Egy számtani sorozat első és ötödik tagjának összege 60. Mennyi a sorozat első öt tagjának összege? Válaszát indokolja! 19-N-2. (2005. május 2+3+7) Egy számtani sorozat első tagja 5, második tagja 8. a) Adja meg a sorozat 80. tagját! b) Tagja-e a fenti sorozatnak a 2005? (Válaszát számítással indokolja!) c) A sorozat első n tagját összeadva az összeg 1550.

9 Speciális sorozatok I. A Mértani sorozat Mértani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatot, amelyben a szomszédos tagok hányadosa állandó (nullától különböző). Az állandót hányadosnak (kvóciensnek) nevezzük, jele q. Azaz, ha a n = a n-1 q, akkor ez egy mértani sorozat. Pl. Egy mértani sorozat első tagja a 1 = 1 q=2 Számítsuk ki mennyi a 5 =? MO. a 5 =a 1 q q q q=a 1 q 4 =1 2 4 =17 Mennyi akkor a 10 =?

10 Speciális sorozatok A Mértani sorozat Egy mértani sorozat n-ik elemét az első elem és a differencia segítségével a következőképp számíthatjuk: a n =a 1 q (n-1) /lsd.függvénytáblázat/ 19-k-5. (2007. május 3 pont) Egy mértani sorozat második eleme 32, hatodik eleme 2. Mekkora a sorozat hányadosa? Írja le a megoldás menetét! 19-k-9. (2009. május 3 pont) Egy mértani sorozat első tagja 3, a hányadosa 2. Adja meg a sorozat ötödik tagját! Írja le a megoldás menetét!

11 Vegyes feladatok 19-N-11. (2010. október 9+8 pont) a) Egy számtani sorozat első tagja 7, a nyolcadik tagja 14. Adja meg n lehetséges értékeit, ha a sorozat első n tagjának összege legfeljebb 660. Ismétlés: 19-k-3. (2006. február 2 pont) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? 19-k-7. (2008. május 3 pont) Egy számtani sorozat első tagja 3, differenciája 17. Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját! Számítását részletezze! 19-k-15. (2012. május 2 pont) Egy mértani sorozat első tagja 3, hányadosa ( 2). Adja meg a sorozat első hat tagjának

12 Vegyes feladatok 19-N-7. (2006. október pont) Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 220 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon 230 métert, az azutánin 240 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon 10 méterrel többet, mint az azt megelőző napon. a) Hány méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon? b) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában 7,1 km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? c) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon? 19-N-5. (2006. február 8 pont) Összeadtunk ötvenöt egymást követő pozitív páratlan számot, az összeg értéke 3905.

13 Vegyes feladatok 19-N-9. (2007. május pont) Nyelvtudásomat új szavak megtanulásával fejlesztem. Az első napon, hétfőn nyolc új szót tanulok, a hét további napjain, péntekig naponként hárommal többet, mint az előző napon. A szombat és a vasárnap az ellenőrzés, a felmérés napja,- ekkor veszem észre, hogy sajnos a szavak ötödét elfelejtem. a) Hány új szót tudok egy hét elteltével? A következő hétfőn már kilenc szót tanulok, majd az azt követő hétfőn tíz szót, és így tovább. Egy héten belül naponként szintén hárommal növelem a megtanulandó szavak számát öt napig, majd hétvégén ugyanúgy elfelejtem a héten tanultak ötödét. Az eljárást negyedéven keresztül ismétlem. (Vegyük a negyedévet 13 hétnek.) b) A megtanult (és nem elfelejtett) szavak számát hetenként felírom. Milyen sorozatot alkot az így felírt 13 szám? c) Hány új szót jegyzek meg a 13. héten? d) Hány új szót jegyzek meg ez alatt a negyedév alatt?

14 Kamatos kamat 10-k-15. (2009. május 3 pont) Bea egy bankba elhelyez Ft-ot három éves tartós betétre. Az éves kamatláb mindhárom évben 7,4%. Három év múlva mekkora összeg van forintra kerekítve ezen a számlán? Írja le a számítás menetét! Évi hány %-os kamat mellet nő egy Ft-os bankbetét 13 év alatt Ft-ra? A választ egy tizedesjegyre kerekítve adja meg.