Számelméleti alapfogalmak

Átírás

1 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 = 0 0 b csak b = 0 esetén teljesül, mert bármely c-re 0 c = b-ből b = 0 következik a 1 csak a = 1-re lesz igaz, mert a c = 1-ből a = 1 (és c = 1) következik 1 b bármely b-re teljesül, hiszen c = b választással 1 b = b a a bármely a esetén fennáll, hiszen a 1 = a (c = 1) 3 Definíció A p IN számt prím, ha p-nek pontosan két osztója van Egy természetes szám összetett, ha egynél nagyobb és nem prím Jelölés: p IP 4 Példa 0 IP, 1 IP, 2 IP, 3 IP, 4 IP, 5 IP, 5 Tétel (Számelmélet alaptétele) Minden egynél nagyobb természetes szám a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen felírható prímszámok szorzataként Vezessük most be a π(x) függvényt, amely a pozitív számokon van értelmezve és megadja, hogy x-ig hány prímszám van 6 Példa π(1) = 0, π(2) = 1, π(2371) = 1, π(10) = 4, 7 Tétel (Prímszámtétel, De la Vallée Poussin, Hadamard, (egymástól függetlenül, 1896)) lim x A tétel azt fejezi ki, hogy x-ig körülbelül a π(x) x formával is jelölni ln x π(x) x/ ln x = 1 x ln x prímszám van Ezt a tényt szokták még 8 Példa Megvizsgáljuk, hogy mekkora az esélye annak, hogy a 150 jegyű számok közül egyet véletlenszerűen kiválasztva az prímszám lesz Másképpen fogalmazva, meghatározzuk, hogy a 150 jegyű számok között mennyi a prímek aránya Ha egy p prím 150 jegyű, akkor < p < π ( ) π ( ) ln 10 ( = ln ln ln 10 Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott 150 jegyű szám prím: π ( ) π ( ) 1 ( ln ) = Mivel 345, a kapott eredményt úgy szemléltethetjük, hogy a 150 jegyű számok közül átlagosan minden 345-ödik prím Ehhez hozzátéve, hogy a prímek keresésénél páros )

2 2 számokkal nem próbálkozunk, nagyjából minden 172-edik kísérletre fogunk prímszámra bukkanni 9 Definíció A d IN számot az a IN és b IN számok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha d a és d b (d közös osztó); ha d 1 d és d 1 a, d 1 b akkor d 1 < d (d a közös osztók közül a legnagyobb) Jelölés: d = gcd(a, b) 10 Példa gcd(10, 0) = 10, gcd(10, 4) = 2, gcd(10, 21) = 1 11 Definíció Ha gcd(a, b) = 1 akkor az a és b számokat relatív prímeknek nevezzük A legnagyobb közös osztó meghatározására két eljárást ismertetünk Az első az általános iskolából ismert, ennek a módszernek egy gyengéjére fel fogjuk hívni a figyelmet A második algoritmus az ókori Görögországból származik, ennél jobb módszert lényegében ma sem lehet mondani a legnagyobb közös osztó meghatározására I gcd(a, b) meghatározása prímtényezőkre való bontással Legyen ismert az a és b természetes számok prímfelbontása: a = p α 1 1 p α 2 2 p αs s, b = p β 1 1 p β 2 2 p βs s, ahol megengedjük, hogy a kitevők között lehet 0 is, de az azonos prímalaphoz tartozó kitevők összege pozitív legyen Tehát bármelyik p i a két prímfelbontás valamelyikében ténylegesen szerepeljen Ekkor gcd(a, b) = p min{α 1,β 1 } 1 p min{α 2,β 2 } 2 p min{αs,βs} s A probléma az, hogy nagy a és b számok esetén a prímfaktorizációt nem lehet belátható időn belül előállítani 12 Példa a = 4200 = , b = 980 = , gcd(a, b) = = 140 II gcd(a, b) meghatározása Euklideszi algoritmussal Az algoritmus ismertetéséhez szükség lesz az alábbi tételre 13 Tétel (Maradékos osztás tétele) Legyenek a > b > 0 tetszőleges természetes számok Ekkor egyértelműen léteznek olyan q és r természetes számok melyekre a = q b + r, 0 r < b

3 3 A tételben szereplő r-et osztási maradéknak is szokás hívni, míg q-ra használhatjuk a hányados elnevezést Az euklideszi algoritmus során maradékos osztásokat végzünk egymás után, egészen addig míg a maradék 0 nem lesz Ez előbb utóbb be fog következni, mert a maradékos osztásoknál a maradékok csökkenő sorozatot alkotnak A legnagyobb közös osztó az utolsó nem nulla maradék lesz: gcd(a, b) = r n a = q 1 b + r 1, 0 < r 1 < b b = q 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2 r n 2 = q n r n 1 + r n, 0 < r n < r n 1 r n 1 = q n+1 r n, (r n+1 = 0) 14 Példa Mivel egyenlő 1547 és 560 legnagyobb közös osztója? Tehát gcd(1547, 560) = = , 0 < 427 < = , 0 < 133 < = , 0 < 28 < = , 0 < 21 < = , 0 < 7 < = 3 7, 15 Tétel Ha gcd(a, b) = c akkor léteznek olyan x és y egész(!) számok, melyekre c = ax + by Az előző tételben szereplő x és y együtthatókat az Euklideszi algoritmus számításait felhasználva lehet kiszámolni Minden sorban felülről lefelé haladva a maradékot fejezzük ki a-val és b-vel, és felhasználjuk a korábbi számolások eredményét is 16 Példa 427 = ; 133 = = ; 28 = = ; 21 = = ; 7 = = Tehát x = 21 és y = Definíció Legyen n > 0 természetes szám Bevezetjük az Euler-féle ϕ függvényt az alábbi módon Legyen ϕ(1) = 1, továbbá n > 1 esetén ϕ(n) megadja, hogy az 1, 2,, n 1 számok közül hány n-hez relatív prím van 18 Példa ϕ(6) = 2, mert az 1, 2, 3, 4, 5 közül csak az 1 és 5 relatív prím 6-hoz (gcd(2, 6) = 2, gcd(3, 6) = 3, gcd(4, 6) = 2) 19 Tétel Ha 1 < n prímfelbontása n = p α 1 1 p α 2 2 p α s s akkor ) ) ) (1 (1 1p1 (1 1p2 1ps ϕ(n) = n

4 20 Példa ϕ(6) = 6(1 1/2)(1 1/3) = 2; n = p IP esetén ϕ(p) = p(1 1/p) = p 1; n = pq (p, q IP) esetén ϕ(n) = pq(1 1/p)(1 1/q) = (p 1)(q 1) = n p q+1 4

5 5 Kongruenciák Az oszthatóság, a prímszámfogalom, az Euklideszi algoritmus természetes számokra adott értelmezése egyszerű megfontolások után kiterjeszthető az egész számok halmazára A továbbiakban az egész számok körében vizsgálódunk 21 Definíció Legyenek a, b, m ZZ Azt mondjuk, hogy a kongruens b modulo m, ha m (a b) Jelölés: a b (mod m) 22 Példa Az m = 0, ±1 esetek nem túl érdekesek Ugyanis a b (mod 0) akkor és csak akkor igaz, ha 0 (a b), azaz ha a = b A 0 modulusra nézve minden szám csak önmagával kongruens a b (mod ± 1) viszont bármely a és b egészekre teljesül, hiszen ±1 (a b) mindig igaz Most szeretnénk meghatározni, hogy mely x egészek lesznek kongruensek 13-mal modulo 5 Azaz mely x-ekre teljesül, hogy 5 (x 13) Pl x = 13, vagy x = 18 jó lesz, de könnyű további példákat mutatni: x = 23, x = 28, sőt x = 8, x = 3, vagy x = 2 is megfelel Minden olyan x egész jó lesz, amely x = 5k+3 alakú Tehát x =, 2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, Általában azt az x-et szoktuk keresni, melyre 0 x < m, jelen esetben 0 x = 3 < 5 23 Tétel (Euler-Fermat tétel) Ha gcd(a, m) = 1 akkor a ϕ(m) 1 (mod m) Ha m = p prím, és p a akkor a tétel az a p 1 1 (mod p) alakot ölti 24 Példa = = (3 6 ) = 3 (mod 7) Ebből következik, hogy ha 2005 március 11-e péntek, akkor nap múlva péntek + 3 nap = hétfő lesz 25 Definíció Az a és b egészek egymás multiplikatív inverzei modulo m, ha ab 1 (mod m) 26 Tétel Egy a egész számnak akkor és csak akkor létezik multiplikatív inverze modulo m ha gcd(a, m) = 1 27 Példa Az a = 3-nak létezik multiplikatív inverze modulo 10, mert 3 és 10 relatív prímek Könnyű látni, hogy a = 3 esetén b = 7 vagy b = 3 vagy pl b = 77 is jó Általában itt is azon b értéket keressük, melyre 0 < b < m teljesül, jelen példában tehát 0 < b = 7 < 10 I Multiplikatív inverz meghatározása Euklideszi algoritmussal Ha gcd(a, m) = 1 akkor léteznek x és y egészek, melyekre ax + bm = 1 Mivel 1 ax + bm ax (mod m),

6 6 ezért a multiplikatív inverze éppen az x együttható lesz, melyet az Euklideszi algoritmusból tudtunk kiszámolni A gyakorlat szemponjából ezt a meghatározási módszert preferáljuk Az Euler-Fermat tétel is lehetőséget nyújt a multiplikatív inverz megadására II Multiplikatív inverz meghatározása Euler-Fermat tétellel Ha gcd(a, m) = 1 akkor a ϕ(m) = a a ϕ(m) 1 1 (mod m), tehát a multiplikatív inverze éppen a ϕ(m) 1 lesz, melynek meghatározására használjuk valamilyen lehetőleg gyors hatványozó eljárást