JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE
|
|
- Zsófia Mezeiné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani- és mértani sorozatok, kamatszámítás) Térgeometria (hasáb, henger, gúla, kúp, csonka gúla, csonka kúp, gömb felszíne és térfogata) Logika A vizsgán függvénytáblázat és számológép használható! A TÉMAKÖRÖKHÖZ AJÁNLOTT ÉRETTSÉGI TÍPUSÚ FELADATOK KOORDINÁTA-GEOMETRIA: Aj/k_mat_kord_fl.pdf 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9/b, c, 15, 17, 20, 21/a, 22, 23, 27, 28, 30, 31, 34 SOROZATOK: Aj/k_mat_sorozatok_fl.pdf Számtani sorozatokhoz kapcsolódó feladatok: 2/a, 3, 5/a, 6, 7, 10, 12, 15, 17, 18, 22, 24, 25, 26, 39/a, 42 Mértani sorozatokhoz kapcsolódó feladatok: 1, 4, 8, 11/c, 13, 14, 19, 23, 29/a, 35, 38 Vegyes feladatok (számtani és mértani sorozat): 20, 21, 28, 37, 40/a,b, 43/a Kamatszámítás: 30, 32, 33, 34, 36 TÉRGEOMETRIA: Aj/k_mat_tergeo_fl.pdf Hasáb és henger felszínéhez és térfogatához kapcsolódó feladatok: 5, 6, 7, 10, 14, 16, 21, 22, 23, 24, 25/a, 26/b, 28/a Gúla és kúp felszínéhez és térfogatához kapcsolódó feladatok: 2, 3, 8, 18/a, 19/a Csonka gúla és csonka kúp felszínéhez és térfogatához kapcsolódó feladatok: 17, 32/a) A gömb felszínéhez és térfogatához kapcsolódó feladatok: 1, 11 Egymásba írt testek: 4, 12 Összetett feladatok: 15, 20, 29/c, 33/a LOGIKA: Aj/k_mat_logika_graf_fl.pdf 1/c, 15/b, 19, 20/c, 22, 25 A FELADATOK MEGOLDÁSAI ELLENŐRZÉS CÉLJÁBÓL MEGTALÁLHATÓAK:
2 TOVÁBBI FELADATOK Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Urbán János: Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 11. (Mozaik Kiadó) Koordinátageometria: Az egyenes egyenlete: 3641/b, 3644/d, 3657, 3658 Két egyenes metszéspontja: 3672/a, 3673/b, 3675/a, 3675/a A kör egyenlete: 3693/e, 3694/a, 3695/b, 3699/a Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Urbán János: Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 12. (Mozaik Kiadó) Sorozatok: Számtani sorozat: 4085, 4087, 4088, 4091, 4102 Mértani sorozat: 4116, 4117, 4121 Kamatszámítás: 4135, 4137, 4138 Térgeometria: Területszámítás: 4245, 4246, 4277 A hasáb és henger felszíne és térfogata: 4304, 4306, 4307, 4312, 4314, 4317 A gúla és a kúp felszíne és térfogata: 4351, 4352, 4355, 4356, 4357 A csonka gúla és a csonka kúp felszíne és térfogata: 4389, 4397, 4398, 4408, 4409, 4413 A gömb felszíne és térfogata: 4423/a, 4424/a, 4427, 4433 A FELKÉSZÜLÉST SEGÍTIK MÉG: A tanórákon kiosztott segédanyagok és feladatlapok, valamint a Mozaik Kiadó: Sokszínű matematika 11. és 12. osztályos tankönyve. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ KIDOLGOZOTT PÉLDÁKKAL KOORDINÁTA-GEOMETRIA Vektorok a koordináta-rendszerben: o Két vektor összegének koordinátái: legyen a (a 1 ; a 2 ) és b (b 1 ; b 2 ) ekkor a + b (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ) pl. a (1; 3) és b ( 2; 5), a + b ( 1; 8) o Két vektor különbségének koordinátái: legyen a (a 1 ; a 2 ) és b (b 1 ; b 2 ) ekkor a b (a 1 b 1 ; a 2 b 2 ) vagy b a (b 1 a 1 ; b 2 a 2 ) pl. a (1; 3) és b ( 2; 5), a b (3; 2) vagy b a ( 3; 2) o Vektorok számszorosának koordinátái: legyen a (a 1 ; a 2 ) és α R ekkor α a (α a 1 ; α a 2 ) pl. a (1; 3) és α = -2, ekkor 2 a ( 2; 6) Ellentett vektor a vagyis α = -1 pl. a (1; 3), ekkor a ( 1; 3)
3 o Vektor hossza: legyen a (a 1 ; a 2 ), ekkor a vektor hossza a = a a 2 2 pl. a ( 3; 4), ekkor a = ( 3) = 25 = 5 o Két vektor skaláris szorzata: legyen a (a 1 ; a 2 ) és b (b 1 ; b 2 ) és a két vektort közös pontba felmérve, α az általuk bezárt szög (0 α 180 ) (1) definíció: a b = a b cos α ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0, mivel cos 90 = 0. (2) koordinátákkal: a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 pl. legyen a (1; 3) és b ( 2; 5), mekkora szöget zár be egymással a két vektor? skaláris szorzat meghatározása a koordináták segítségével (2): a b = 1 ( 2) = 13 két vektor hosszának meghatározása, hogy az (1)-es összefüggéssel szöget tudjunk számolni: a = = 10 és b = ( 2) = 29 (1)-be helyettesítve: 13 = cos α 0, 7634 = cos α α 40,24 o Adott két pont A(a 1 ; a 2 ) és B(b 1 ; b 2 ), az A pontból B-be, illetve B pontból A-ba mutató vektor koordinátái a következő módon számolható: AB (b 1 a 1 ; b 2 a 2 ) és a BA (a 1 b 1 ; a 2 b 2 ) ( végpont koordinátáiból vonjuk a kezdőpont koordinátáit) pl. A(-2; 3) és B(4;-1), ekkor AB (6; 4) és BA ( 6; 4) o Két pont távolsága: Az A és B pontok távolsága megegyezik az AB vektor hosszával. Azaz ha adott A(a 1 ; a 2 ) és B(b 1 ; b 2 ), akkor AB (b 1 a 1 ; b 2 a 2 ) és AB = AB = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 pl. A(-2; 3) és B(4;-1), ekkor AB (6; 4) és AB = AB = ( 4) 2 = 52 o Szakasz felezőpontjának koordinátái: Adott A(a 1 ; a 2 ) és B(b 1 ; b 2 ) pontok által meghatározott szakasz. Legyen a szakasz felezőpontja F. F ( a 1 + b 1 2 pl. A(-2; 3) és B(4; 1), ekkor F(1; 2) ; a 2 + b 2 ) 2 o Szakasz harmadolópontjának koordinátái: Adott A(a 1 ; a 2 ) és B(b 1 ; b 2 ) pontok által meghatározott szakasz. A-hoz közelebbi harmadolópont koordinátái: H 1 ( 2a 1 + b 1 3 pl. A(-2; 3) és B(4; 1), ekkor H 1 (0; 7 ) 3 B-hez közelebbi harmadolópont koordinátái: H 2 ( a 1 + 2b 1 3 pl. A(-2; 3) és B(4; 1), ekkor H 2 (2; 5 ) 3 ; 2a 2 + b 2 ) 3 ; a 2 + 2b 2 ) 3
4 o Háromszög súlypontjának koordinátái: Legyen az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A(a 1 ; a 2 ), B(b 1 ; b 2 ) és C(c 1 ; c 2 ). Ekkor a súlypont koordinátái: S ( a 1 + b 1 + c 1 ; a 2 + b 2 + c 2 ) 3 3 pl. A(-2; 3), B(4; 1) és C(7; 2), ekkor S(3; 2) Egyenes egyenlete és két egyenes metszéspontja o Az egyenest meghatározó adatok a koordináta-rendszerben: Irányvektor: Egy egyenes irányvektora bármely, az egyenessel párhuzamos, nullvektortól különböző vektor. Jele: v (v 1 ; v 2 ) Normálvektor: Egy egyenes normálvektora bármely, az egyenesre merőleges, nullvektortól különböző vektor. Jele: n (A; B) Az egyikből a másik úgy kapható, hogy a koordinátákat felcseréljük és az egyiket ellentettjére változtatjuk. pl. legyen egy egyenes két pontja A(1; -2) és B(4; -1) az egyenes egy irányvektora pl. az v = AB (3; 1) vagy v = BA ( 3; 1) ezt ismerve az egyenes egy normálvektora: n (1; 3) vagy n ( 1; 3) o Az egyenes normálvektoros egyenlete: A koordináta-rendszerben elhelyezkedő egyenes egyenlete egy olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet az egyenes P(x;y) pontjainak koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem elégítik ki. Ha adott az egyenes egy P 0 (x 0 ; y 0 ) pontja és egy normálvektora n (A; B), akkor az egyenes egynlete a következő alakban írható fel: A x + B y = A x 0 + B y 0. pl. legyen P 0 ( 3; 2) és n (4; 1), ekkor az egyenes normálvektros egyenlete: 4x + ( 1)y = 12 + ( 2) vagyis 4x y = 14 pl. legyen P 0 ( 3; 2) és v (4; 1), ekkor az irányvektor átírható normálvektorrá a korábbi módszerrel (koordinátákat felcseréljük és az egyik előjelét megváltoztatjuk) n (1; 4) pl., ekkor az egyenes normálvektoros egyenlete: x + 4y = vagyis x + 4y = 5 pl. adott az egyenes két pontja A(1; -2) és B(3; 4). Az egyenesnek most két pontját is ismerjük, az egyenlet felírásánál tetszőleges, hogy melyiket használjuk fel. Viszont normálvektort nem ismerünk. Először irányvektort tudunk felírni, hiszen AB vektor az egyenes egy irányvektora, irányvektortból pedig tudunk normálvektort csinálni a korábbi módszerünkkel. AB (2; 6) = v n (6; 2) Az egyenes normálvektoros egyenlete ekkor, pl. A pont koordinátáit felhasználva: 6x 2y = x 2y = 10
5 pl. adott egy szakasz két végpontja A(1; -2) és B(3; 4). Írjuk fel a szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! Szükségünk van az egyenes egy pontjára, mivel felezi a szakaszt, így a felező pont pontja lesz az egyenesnek. F(2; 1) Szükségünk van továbbá az egyenes egy normálvektorára, az A pontból B-be mutató vektor megfelelő lesz, hiszen a szakasz és a felezőmerőleges derékszöget zár be egymással, tehát n = AB (2; 6). Az egyenes normálvektoros egyenlete tehát: 2x + 6y = vagyis 2x + 6y = 10 o Két egyenes metszéspontjának koordinátái: A két egyenes metszéspontjának koordinátái mindkét egyenes egyenletét kielégítik, ezért a két egyenes egyenletéből álló kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kell megoldani és a megoldás adja meg a metszéspont koordinátáit. (Lineáris egyenletrendszert kétféleképpen tudunk megoldani (1) a behelyettesítés módszerével, (2) az egyenlő együtthatók módszerével) pl. legyen az egyik egyenes egyenlete: 2x + 3y = 1, a másik egyenesé x 4y = -5. Keressük a két egyenes metszéspontjának koordinátáit: (1) módszerrel: a második egyenletből kifejezzük x-et: x = y és az első egyenletbe x helyére ezt a kifejezést helyettesítjük, ezzel elérjük, hogy csak egy ismeretlen szerepeljen az egyenletben, melyet meg tudunk oldani a korábbi módszereinkkel: 2(-5 + 4y) + 3y = 1, a zárójelet felbontva: y + 3y = 1, összevonva: y = 1, rendezve az egyenletet: 11y = 11, ahonnan y = 1. Visszahelyettesítve: x = = -1 Tehát a metszéspont: M(-1; 1) (2) módszerrel: a második egyenletet végig szorozzuk 2-vel, hogy az x-es tag számszorzója a két egyenletben megegyezzen: 2x + 3y = 1 2x 8y = 10 } A két egyenletet kivonva egymásból az x-es tagok kiesnek és újra csak egy ismeretlennel kell dolgoznunk tovább: 2x + 3x (2x 8y) = 1 ( 10) 2y + 3y 2x + 8y = 11 11y = 11 y = 1 Visszahelyettesítve egy korábbi egyenletbe: x = -1 o A kör egyenlete: Mivel a kört a síkon egyértelműen meghatározza a középpontja és a sugara, ezért legyen adott a k kör K(u; v) középpontja és r sugara. A P(x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a körre, ha KP = r. A kör egyenlete: (x u) 2 + (y v) 2 = r 2 pl. Legyen egy kör középpontja K(1; -3) és sugara r = 4. Ekkor a kör egyenlete: (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 16 pl. Legyen egy kör középpontja K(1; -3) és a kör egy további pontja P(2; 4).
6 A kör sugara meghatározható, ha kiszámítjuk a középpont (K) és a P pont távolságát. PK ( 1; 7) r = PK = ( 1) 2 + ( 7) 2 = 50 Tehát a kör egyenlete: (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 50 pl. egy kör egy átmérőjének két végpontja A(-1, 3) és B(5; -5). A kör középpontja az átmérő felezőpontja (hiszen tudjuk, hogy d = 2r) K = F(2; -1) sugara: AF (3; 4) r = AF = ( 4) 2 = 5 Tehát a kör egyenlete: (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 25 o A kör és egyenes metszéspontjai: Egy kör és egy egyenes metszéspontjának koordinátái mindkét alakzat egyenletét kielégítik, ezért a két alakzat egyenletéből álló kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldani és a megoldás(ok) adja(ák) meg a metszéspont(ok) koordinátáit. Ebben az esetben csak a behelyettesítő módszer alkalmazható a megoldáskor! Az egyenes a kört metszheti két pontban (ekkor az egyenes a kör egy szelője), az egyenes a kört érintheti egy pontban (érintő), és lehet, hogy a körnek és az egyenesnek nincs metszéspontja. Mivel a kör egyenlete másodfokú, így a behelyettesítés után egy egyismeretlenes, másodfokú egyenletet kell megoldani, melynek lehet két megoldása (két metszéspont), lehet egy megoldása (egy metszéspont) és lehet, hogy nincs megoldása (nincs metszéspont). SZÁMSOROZATOK: jelölések a1 (a sorozat eső tagja), a2 (a sorozat második tagja),, an (a sorozat n-edik tagja, ahol n 1 természetes szám). Számtani sorozat: - Bármely két szomszédos tag különbsége állandó, azaz a n+1 a n = d. d-t a sorozat különbségének vagy differenciájának nevezzük. - Definíció: Tehát az (an) sorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha van olyan a és d szám, hogy a1=a és an+1 = an + d, ha n 1 a 1 ; a 2 = a 1 + d; a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d; a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d, Általánosan: a n = a 1 + (n 1) d - A számtani sorozat első n tagjának összege: S n = a 1+a n n 2 vagy az an-re vonatkozó általános alakot behelyettesítve: S n = 2a 1+(n 1) d 2 - A sorozat bármelyik tagja felírható szomszédainak számtani közepeként: pl. Egy számtani sorozat első tagja 5, különbsége pedig 3. a) Számítsuk ki a sorozat 10. tagját, valamint b) az első 5 tagjának összegét! c) Tagja-e a sorozatnak a 305 és ha igen, akkor hányadik? a1 = 5, d = 3 a) a10 = a1 + (10-1)*d = a1 + 9d = 5 + 9*3 = 32 b) S 5 = 2 5+(5 1) 3 5 = 55 2 c) 305 = a1 + (n-1)*d 305 = 5 +(n-1)*3 300 = (n-1)*3 100 = n = n Mivel egy n 1 természetes számot kaptunk megoldásnak, ezért tagja sorozatnak, méghozzá n
7 a 101. tagja. pl. Egy színházi nézőtéren a színpad felé haladva a székek száma soronként 4-gyel csökken. Az első sorban 15 az utolsó sorban 99 szék van. Hány szék van összesen a nézőtéren? a1 = 15, d = 4 Először határozzuk meg, hogy hány sor van a nézőtéren: an = a1+(n-1) d, azaz 99 = 15+(n-1) 4 / = (n-1) 4 / :4 21 = n-1 / = n A nézőtéren tehát 22 sor van. S 22 = =1254 pl. Egy számtani sorozat 12. tagja 62, 21. tagja pedig 116. Határozzuk meg a sorozat különbségét és első tagját! a12 = 62 és a21 = 116. A 21. tag felírható a megadott 12. tag és a különbség segítségével a következő módon: a21 = a12 + 9d 116 = d 54 = 9d 6 = d a12 = a1 + 11d 62 = a1 + 11*6-4 = a1 Vagy a21 = a1 + 20d a12 = a1 +11d vagyis 116 = a1 + 20d 62 = a1 + 11d Ezt megoldva, mint egy kétismeretlenes (a1, d) lineáris egyenletrendszert a korábbi eredmények megkaphatóak. Mértani sorozat: - Azokat a sorozatokat, amelyekben a második tagtól kezdve minden tag az előző elem ugyanannyiszorosa, mértani sorozatnak nevezzük. - Definíció: Az (an) sorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan a és q szám, hogy a1 = a és a n+1 = a n q - Ha egy (an) mértani sorozat kezdőtagja a1, hányadosa (kvóciense) q, akkor a sorozat a 2 = a 1 q, a 3 = a 2 q = a 1 q 2, a 4 = a 3 q = a 1 q 3, a n = a 1 q n 1 - Ha q 0, akkor a mértani sorozat első n tagjának összege: S n = a 1 qn 1 - Ha q = 1, akkor az összegképletet nem tudjuk használni. Mivel q = 1 esetén a mértani sorozat minden tagja a1, így S n = n a 1. q 1
8 - A sorozat bármelyik tagjának négyzete megegyezik szomszédainak szorzatával: pl. a) b) Mennyi a sorozat első 5 tagjának összege? c) Tagja-e a sorozatnak a 3072, ha igen, akkor hányadik? a) a6 = a5*q tehát 192 = 96*q, azaz q = 2 a 6 = a 1 q 5 b) S 5 = a 1 q5 1 q = a 1 32 a 1 = 6 S 5 = = 6 31 = c) 3072 = 6 2 n = 2 n 1 exponenciális egyenlet!!! 2 9 = 2 n 1 (mivel az exp. függvény szigorúan monoton) 9 = n-1 10 = n Tehát tagja a sorozatnak, méghozzá a 10. tagja. Kamatszámítás: pl. Év elején Ft-ot helyezünk el a bankban évi 4%-os kamatra. a) Mennyi pénzünk lesz a bankban 5 év múlva? b) Mennyi idő alatt kétszereződik meg a pénzünk? a) q = = 1,04 1 év múlva: ,04 2 év múlva: ( ,04) 1,04 = , év múlva: ( ,04 2 ) 1,04 = , év múlva: ( ,04 4 ) 1,04 = ,04 5 = 24333,06 b) Az előbbi elgondolást folytatva: n év múlva: ,04 n Az akarjuk, hogy megkétszereződjön a pénzünk, tehát azt az n-t keressük, amire: ,04 n = / : ,04 n =2 / exponenciális egyenlet, de nem tudjuk a 2-t 1,04 hatványaként felírni, tehát vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát lg1,04 n = lg2 A logaritmus azonosságainak felhasználásával: n lg1,04 = lg2 / :lg1,04 n = lg2/lg1,04 = 17,67 Azaz 18 év alatt kétszereződik meg a pénzünk.
9 TÉRGEOMETRIA FELSZÍN- ÉS TÉRFOGATSZÁMÍTÁS Területszámítás Ha a háromszög oldalai a, b és c, és ezekkel szemközti szögek rendre α, β és γ ma az a oldalhoz tartozó magasság γ, az a és b oldal által közre zárt szög R, a háromszög köré írt körének sugara s, a háromszög kerületének fele n - oldalú szabályos sokszög: felbontható egybevágó háromszögekre T = n T háromszög
10 A testek felszíne és térfogata T = T körcikk T háromszög
11
12
13
14
15 LOGIKA A kijelentés olyan mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Az egyszerű kijelentések többnyire egyszerű kijelentő mondatok, amelyekben nincsenek logikai műveletek. Pl. Süt a nap./ Kati Zalában született. / Minden ember halandó./ Van gyűrűs bolygó a naprendszerben. Összetett kijelentések összetett mondatokban jelennek meg. Pl. Esik az eső és fúj a szél./ Kovács vagy Mészáros lőtt. Ezek olyan állítások, amelyeket az ÉS, illetve a VAGY szavak kapcsolnak össze. A tagadás olyan logikai művelet, amely egy kijelentés igazságértékét ellentettjére változtatja: a tagadás igazból hamisat, hamisból igazat csinál. Pl. Kijelentés: 3 osztója 2004-nek. (i) Tagadás: 3 nem osztója 2004-nek. (h) vagy Nem igaz, hogy 3 osztója 2004-nek. (h) vagy Nem áll fenn, hogy 3 osztója a 2004-nek. (h) vagy Nem teljesül, hogy 3 osztója a 2004-nek. (h) vagy Hamis az, hogy 3 osztója a 2004-nek. (h) Minden ember matematikus. Tagadás: Van olyan ember, aki nem matematikus. Van olyan kutya, amelyik nyávog. Tagadás: Minden kutyára igaz, hogy nem nyávog. Azaz: Egyik kutya sem nyávog. Pl. Minden fiú szereti a focit. Válassza ki a fenti állítás tagadását az alábbiak közül! A) Van olyan fiú, aki szereti a focit. B) Nincs olyan fiú, aki szereti a focit. C) A lányok szeretik a focit. D) Van olyan fiú, aki nem szereti a focit. E) A lányok nem szeretik a focit. Megoldás: D
Vektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
RészletesebbenMatematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenSorozatok - kidolgozott típuspéldák
1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenTANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenMatematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenTARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebben2018/2019. Matematika 10.K
Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
RészletesebbenNT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag
Részletesebben11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
RészletesebbenMegoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7
A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenTANMENET. a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenMatematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport)
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 11.A, 11.B, 11.D (alap) Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 4 óra Készítették:
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenM/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24
OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5
RészletesebbenJavítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
RészletesebbenMatematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)
Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész
Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
RészletesebbenAz osztályozó vizsgák tematikája matematikából évfolyam
Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 9 12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc. A vizsgázónak 4-5 különböző
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenEgyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint
TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
Részletesebben5. feladatsor megoldása
megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenMATEMATIKA. Szakközépiskola
MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó
RészletesebbenARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY
Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. KÖZÉPSZINT 1) Adott az A és B halmaz: Aa; b; c; d, B a; b; d; e; f felsorolásával az A I.. Adja meg elemeik B és A B halmazokat! A B a; b; d A B a; b; c; d; e; f Összesen:
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I.
1) Az A halmaz elemei a MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. október 15. KÖZÉPSZINT I. 5 -nél nagyobb, de -nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az halmazt! A\
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenHarmadikos vizsga Név: osztály:
. a) b) c) Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! log 6 log log 49 4 7 d) log log 6 log 8 feladat pontszáma: p. Döntsd el az alábbi öt állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! A pontozott
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebben