Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: november. I. rész

Átírás

1 Dobos Sándor, 005 november melt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005 november I rész 1 feladat Adott a síkon két kör, meghúztuk a közös külső és belső érintőiket Az érintési pontok közötti szakaszok hossza ezeken rendre 6 és Határozzuk meg a körök sugarainak szorzatát! (1) feladat Kifejlesztettek az X - kórtól való fertőzöttség kimutatására egy orvosi tesztet A teszt 1000 beteg vizsgálata során általában 998-nál jelzi a fertőzöttséget Sajnos a vizsgálat még nem tökéletes, 100 egészséges embert megvizsgálva általában 5-nél a teszt fertőzöttséget jelez Az eddigi vizsgálatok szerint megállapítható, hogy a lakosság egy ezreléke beteg gy emberen végrehajtják a tesztet és az fertőzöttséget mutat Mekkora a valószínűsége, hogy valóban beteg az illető? (1) 3 feladat Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely előáll 9, 10 és 11 szomszédos egész szám összegeként is? (1) feladat A={1,, 3, }, B={1,, 3,, 5, 6, 7, 8} a) Hány f: A B függvény létezik? b) zek közül hány olyan van, amely szigorúan monoton növő? c) Az a) pontban tekintett összes függvény között hány olyan van, amely értékkészletének pontosan három eleme van? (1) 1

2 Dobos Sándor, 005 november II rész Az 5-9 feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania 5 feladat A mézeskalácsos mester ha ébren volt, állandóan mézeskalácsokat készített Ha keveset aludt, akkor álmosan ment a munka A túl sok alvástól pedig bágyadtnak érezte magát, ráadásul ilyenkor kevesebb ideje is maradt Rájött, hogy az óránként elkészülő kalácsok mennyisége az alvás és az ébrenlét időtartamának a szorzatával arányos Hány órát aludjon naponta a mester, hogy a lehető legtöbb kalácsot tudja elkészíteni? 6 feladat gy pók egy henger alakú helyiség mennyezetének pereméről a padló átellenes pontjába kétféleképpen is eljuthat ugyanakkora úton: - függőlegesen leereszkedik, majd a padló átmérője mentén folytatja útját, vagy - végig a paláston halad, a palástot síkba terítve útja ekkor egy egyenes szakasz Számítsuk ki a henger magasságának és átmérőjének arányát 7 feladat gy társaságban öt ember találkozott, jelölje őket A, B, C, D, Köztük az ismeretségek kölcsönösek Megkérdeztük őket, kinek hány ismerőse van ötük között A azt mondta, négy embert ismer C-ről kiderült, hogy ugyanannyi ismerőse van, mint D-nek D azt mondta, hogy eggyel kevesebb ismerőse van, mint -nek ismerőseinek száma páratlan a) Hány embert ismer D? b) Ismerheti-e egymást B és D? c) Ismerheti-e egymást C és D? 8 feladat A Bergengóc takarékpénztár annyi kamatot ad egy évre a betéttulajdonosnak, amennyi az infláció mértéke A Bergengóc Állam a kamat 0%-át adóként elvonja Az inflációs ráta 00-ben 5% volt, 005-ben pedig 16% A takarékpénztár év végén a kamattal növeli a betét összegét és a következő évben a megnövelt összeg kamatozik tovább a) 00 január elsején egy illető betett a bankba bergócot (A forint megfelelője a bergóc) Hány bergócot vehet fel 006 január elsején? b) Hány százalékkal csökkent az állam kamatadóból származó bevétele reálértékben, ha mindkét évben a takarékpénztár összes betétállományának reálértéke ugyanannyi volt? 9 feladat egyen H={1,,, 19, 0} a) Hány olyan részhalmaza van H-nak, amelyben az elemek szorzata 5-re végződik? b) Hány olyan részhalmaza van H-nak, amelyben az elemek szorzata 50-re végződik?

3 Dobos Sándor, 005 november K Dobos Sándor 005 novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója G J H F I 1 feladat Készítsünk ábrát a feladat szövege alapján Használjuk az ábra jelöléseit, legyen a körök sugara a középpontjaiknak megfelelően k és l A kisebb kör K középpontján át párhuzamost húztunk a külső és a belső érintővel ezek az F és H egyeneseket I-ben és J-ben metszik Felírjuk Pitagorasz tételét a derékszögű KI háromszögre (I = l : 6 ( l K Felírjuk Pitagorasz tételét a derékszögű KJ háromszögre (J = l + : ( l K A két egyenlet jobb oldala ugyanakkora, ezért a bal oldalak is egyenlőek: 6 ( l ( l Az egyenletet rendezve a következőt kapjuk: 6 8 kl Tehát a sugarak szorzata 8 Összesen: 1 feladat Jelölje a teljes lakosság számát Tegyük fel, hogy mindenkit leteszteltek Tudjuk, hogy a lakosság egy ezreléke beteg, tehát 999 ezrelék egészséges Nézzük meg, a teszt hány embert mutat fertőzöttnek: ez a betegek 998 ezreléke, tehát 1 998, valamint az egészségesek közül a tévesen kimutatott öt százalék, ez Annak a valószínűsége, hogy egy fertőzöttnek jelzett ember valóban beteg: pont A keresett valószínűség közelítőleg század (Azaz 100 fertőzöttnek kimutatott ember közül csupán kettő a valóban beteg) Összesen: 1 3

4 Dobos Sándor, 005 november 3 feladat egyen a keresett szám n Írjuk fel az n számot 9 szomszédos egész összegeként, melyek közül a legkisebb x: n=x+(x+1)+(x+)+ +(x+8)=9x+36=9(x+) Írjuk fel az n számot 10 szomszédos egész összegeként, melyek közül a legkisebb y: n=y+(y+1)+(y+)+ +(y+9)=10y+5=5(y+9) Írjuk fel az n számot 11 szomszédos egész összegeként, melyek közül a legkisebb z: n=z+(z+1)+(z+)+ +(z+8)=11z+55=11(z+5) 5 pont zek szerint n osztható 9-cel, 5-tel és 11-gyel is zen számok legkisebb közös többszöröse a 95 6 pont Valóban a 95 felírható a kívánt módon, ekkor x=51, y=5 és z=0 1 pont Összesen: 1 feladat A={1,, 3, }, B={1,, 3,, 5, 6, 7, 8} a) Az A halmaz minden eleméhez a B halmaz bármelyik elemét rendelhetem, azaz 8 féle közül választhatok Mivel az A halmazban négy elem van, a függvények száma: b) Ilyenkor az értékkészlet négy elemű és a B halmazból tetszőlegesen választott négy elem esetén a szigorúan monoton növő függvény egyértelműen meghatározott A keresett 8 függvények száma tehát: 70 c) Ha az értékkészlet három elemű, akkor az A halmaz két eleméhez ugyanazt rendeltük, a másik kettőnek az értéke viszont ettől és egymástól is különböző Kiválasztjuk A azon két elemét, melyek értéke azonos lesz, ez 6 féle lehet, hozzájuk a B halmazból 8 féle elemet rendelhetünk Az A halmazból a maradék két elem közül a kisebbhez 7, a nagyobbhoz 6 féle számot rendelhetünk a B halmazból Tehát a keresett függvények száma: Összesen: 1

5 Dobos Sándor, 005 november II rész Az 5-9 feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania 5 feladat Ha a mester 1 óra alatt x darab kalácsot készít el és naponta t órát dolgozik, (-t) órát x pihen, akkor a feltétel szerint: k, ahol k az arányossági tényező t( t) Innen x=kt(-t), ez az 1 óra alatt elkészített kalácsok száma Ha t órát dolgozik, akkor f(t)=kt(-t)t az elkészített mennyiség nnek a függvénynek keressük a maximumát Alkalmazzuk a mértani és számtani közepek közötti egyenlőtlenséget a t, t, 8-t számokra, a közepek köbét látjuk itt, konstanssal szorozva: kt 3 k k t t ( 8 t) k 3 ( t) t t ( 8 t) 16 3 A jobb oldal állandó, ezért a bal oldal akkor a legnagyobb, ha a mértani és a számtani közép éppen egyenlő z akkor és csak akkor teljesül, ha t=t=8-t bből t=16 adódik A mesternek a legtöbb kalács elkészítésének érdekében 8 órát kell aludni és 16 órát dolgozni 6 feladat Jelölje a henger magasságát m, az alapkörének sugarát r Az első ízben megtett út: m+r Terítsük ki a hengerpalástot a síkba és tekintsük az így keletkezett téglalapon a megtett utat a második esetben A hengerpalást egy téglalap, melynek egyik oldala a henger magassága, m A másik oldala az alapkör kerületének fele, r A megtett út ebben az esetben a téglalap átlója, melynek hosszúságát Pitagorasz tételéből kaphatjuk: m r A két út egyenlőségéből: m r m r Mindkét oldal pozitív, négyzetre emelhetünk és rendezünk: mr r, osztva a nem nulla 8r m -tel, a keresett arány: r 8 5

6 Dobos Sándor, 005 november 7 feladat Mivel A négy embert ismer, ő mindenkit ismer z azt is jelenti, hogy mindenki más legalább egy embert ismer, hiszen A-t ismerik zek szerint D is legalább egy embert ismer több embert ismer, mint D és páratlan sokat, tehát hármat ismer bből kiderül, hogy D is és C is embert ismer Az ismerősök számáról a következőket tudjuk: A-nak, B-nek b, C-nek, D-nek, -nek 3 Most megmutatjuk, hogy B-nek 1, vagy 3 ismerőse lehet Szemléltessük az ismeretségeket egy rajzon; az embereket jelölje egy-egy pont, ha ismerik egymást, kössük össze őket Az összekötő vonalak végpontjainak száma a vonalak számának kétszerese z éppen az egyes emberek ismerősei számának összege (A gráfok nyelvén: az élek számának kétszerese a fokszámok összege) z utóbbi +b+++3=(vonalak számának kétszerese) zek szerint b páratlan, lehet 1, vagy 3 Az ismeretségeket szemléltető gráfok a következők lehetnek: A A A B B B C D C D C D A 73 ábra mutatja, hogy B és D ismerheti egymást Ha C és D ismerné egymást, akkor nekik már nem lehetne további ismerősük, így csak A-t és B-t ismerhetné és nem lenne 3 ismerőse Tehát C és D nem ismerik egymást 8 feladat a) 00 január elsején egy illető betett a bankba bergócot Mivel az infláció 5%- os volt, ezért az éves kamata bergóc, ennek 0%-a 5000 bergóc, amelyet az állam elvon A megmaradó rész tehát 005 január elsejétől bergóc, ennek 16%-os kamata bergóc A 0% százalékos elvonás most 380 bergóc, ezért 006 január elsején ( )= bergócot vehet fel a takarékpénztár ügyfele b) egyen az összes betétállomány névleges értéke x bergóc, nevezzük ennek reálértékét x x reál -nak Az állam bevétele x bergóc, ez x reált ér

7 Dobos Sándor, 005 november A 005-ös évben is x reál az összes betét reálértéke, ez 15x bergóc összes betétet jelent Az állam bevétele 1 5 x nnek a kamatadónak a reálértéke: 1 5 x x reál Az állami kamatadó reálértékének csökkenésére vagyunk kíváncsiak Kiszámoljuk, a 00-es reálértéknek a 005-ös reálérték hány százaléka: 100 : 69%, tehát a kérdéses csökkenés kerekítve 31%-os 9 feladat a) Az elemek szorzata pontosan akkor végződik 5-re, ha a részhalmazban minden elem páratlan és van köztük 5-tel osztható zek szerint a keresett részhalmazokban benne van vagy az 5, vagy a 15, vagy mindkettő z három féle lehetőség A további páratlan számok: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 8-an vannak, az általuk alkotott 8 tetszőleges részhalmazt még hozzávehetjük, ezek száma A megfelelő részhalmazok száma ezek szerint pont b) Az elemek szorzata éppen akkor végződik 50-re, ha a szorzat osztható -vel, de -gyel nem és osztható 5-tel Ha a 10 benne van a részhalmazban, akkor a részhalmazbeli többi szám szorzata éppen ötre kell végződjön Az ilyen halmazokat megszámoltuk már az a) részben Ha a 10 nincs benne a részhalmazban, akkor az 5 és a 15 is benne kell legyen Választanunk kell még egy páros, de -gyel nem osztható számot, ez lehet a, 6, 1, 18 valamelyike Az öttel nem osztható páratlan számok tetszőleges részhalmazát most is hozzávehetjük zek szerint a megfelelő részhalmazok száma: pont 7