V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam

Átírás

1 01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat szerepel a bajnokságban? Hány mérkőzés van még hátra a bajnokságból? Jelöljük a csapatok számát n-nel! n(n 1) Az összes mérkőzések száma (n-1 forduló): n(n ) Eddig lejátszott mérkőzések száma (n- forduló): A feltétel szerint: n(n ) = 104 ( pont) A másodfokú egyenletet rendezve, megoldva n 1 =16 és n = -1 (tartalmi ellentmondás) (4 pont) Tehát n=16 csapat szerepel a bajnokságban. Hátralévő meccsek száma: = 16

2 01/01 1. évfolyam. A y tízes számrendszerbeli nyolcjegyű számban az és y számjegyek véletlenszerű megválasztásánál mennyi a valószínűsége, hogy 1-vel osztható nyolcjegyű számot kapunk? Az és az y egymástól függetlenül féleképpen választható meg, így összesen 100 adott alakú szám van. 1-vel pontosan azok a számok oszthatók, melyek oszthatók -mal és 4-gyel. 4-gyel pontosan akkor osztható, ha utolsó két számjegyéből alkotott kétjegyű szám osztható 4-gyel. Így y értéke vagy 6. -mal akkor osztható, ha a számjegyek összege osztható -mal. Ha y =, akkor lehetséges értékei 0,, 6 és 9, ami négy számot jelent. Ha y = 6, akkor lehetséges értékei, 5 és 8, ami három számot jelent. A 100 szám közül 7 lesz 1-vel osztható. ( pont) A kérdéses valószínűség 7:100=0,07 Megjegyzés: A valószínűség minden megszokott formátumban elfogadható. Ha nem írja le az oszthatósági szabályokat, de a megoldásában látható, hogy azokra épít, kapja meg a maimális pontot!

3 01/01 1. évfolyam. Egy háromszög két oldala 4 és 1 egység, az általuk közbezárt szög szögfelezője egység hosszú. Mekkora a háromszög harmadik oldala? Használjuk az ábra jelöléseit: A koszinusz tétel alapján (kétszer felírva): = cosα = 15 7cosα y = + 4 4cosα = 5 4cosα A második egyenlet háromszorosából az első egyenletet kivonva kapjuk: y = 78 (*) ( pont) A szögfelező tétel szerint: y = 1 = 4 Ebből: =y =9y Ezt beírva (*)-ba, kapjuk: 6y =78 y= 1 = 1 (a negatív megoldások nem jönnek számításba) c = + y = 4 1 Megjegyzés: Az eredmények elfogadhatók kerekített értékekkel.

4 01/01 1. évfolyam 4. Határozd meg a P(; y) = + 5y + y + 4y + 1 polinom legkisebb helyettesítési értékét! Mennyivel egyenlő ekkor + y? Alakítsuk a polinomot teljes négyzetek összegévé! P(; y) = = + 5y ( + y) + ( y + 1) y + 4y + 1 = + y + y + 4y + 4y = A teljes négyzetek nem negatívak, így a kifejezés legkisebb értéke 11 Ez akkor teljesül, ha mindkét négyzetes tag 0-val egyenlő: Ekkor: y = -0,5 és = 0,5 Így + y = 0 (5 pont)

5 01/01 1. évfolyam 5. Oldd meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletet! sin ( y + cos ) = 0 Két nem negatív szám összege csak úgy lehet 0, ha mindkettő 0. 1 A sin = 0, ha sin = 0,5 4 ekkor cos = vagy cos =. ( pont) Az ( y + cos ) = 0 miatt csak a cos = lehetséges, ( pont) amihez tartozó értékek: 5π 7π 1 = + kπ, = + lπ, ahol k, l egész számok. 6 6 ( pont) Minden értékhez két y érték tartozik, amik y = ±. ( pont) 5